范文一:复合函数定义域
专题:复合函数的定义域
第一步:函数概念及其定义域 函数的概念:设是A , B 非空数集,如果按某个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个x ,在集合B 中都有唯一确定的数f (x ) 和它对应,那么就称f :A →B 为集合A 到集合B 的函数,记作:y =f (x ), x ∈A 。其中x 叫自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域;与x 的值相对应的y 的值叫做函数值.
第二步:复合函数的定义 一般地:若y =f (u ) ,又u =g (x ) ,且g (x ) 值域与f (u ) 定义域的交集不空,则函数
y =f [g (x )]叫x 的复合函数,其中y =f (u ) 叫外层函数,u =g (x ) 叫内层函数,简言之:复合函数就是:把一
个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数.
f (x ) =3x +5, g (x ) =x 2+1; 复合函数f (g (x )) 即把f (x ) 里面的x 换成g (x ) ,
f (g (x )) =3g (x ) +5=3(x 2+1) +5=3x 2+8
问:函数f (x ) 和函数f (x +5) 所表示的定义域是否相同?为什么?(不相同;原因:定义域是 求x 的取值范围,这里x 和x +5所属范围相同,导致它们定义域的范围就不同了。)
例如:
第三步:介绍复合函数的定义域求法
例1. 已知f (x ) 的定义域为-3,5],求函数f (3x -2) 的定义域;
(
x ≤7 解:由题意得 -3
所以函数f (3x -2) 的定义域为?-1, 7?.
?33??
17
3],求f (x 2+2x ) 定义域。 练1. 已知f (x ) 的定义域为(0,
解 因为复合函数中内层函数值域必须包含于外层函数定义域中,即
2?x +2x >0?x <-2,或x>0?2
?? 0
-3≤x ≤1???x +2x ≤3
即-3≤x <>
6≤3x ≤94≤2+3x ≤1 1解:由题意得 ∴-2≤x ≤3 ∴- ∴- 所以函数f (x ) 的定义域为:[-4,11]
3) ,求f (x -2)的定义域。 例3. 已知f (x +1) 的定义域为[-2,3) 得-2≤x <3,故-1≤x>3,故-1≤x><4 解="" 由f="" (x="" +1)="">4>
,4) ,从而得到-1≤x -2<4,所以1≤x>4,所以1≤x><6 即得f="" (x="">6>
故得函数f (x -2)的定义域为[1, 6)
例4. 已知函数f (x )定义域为是[a , b ],且a +b >0, 求函数h (x )=f (x +m )+f (x -m )(m >0)的定义域 解: ?
?a ≤x +m ≤b ?a -m ≤x ≤b -m
, m >0, ∴a -m
?a ≤x -m ≤b ?a +m ≤x ≤b +m
b -m
b -a
0
2
第四步:总结解题模板
1. 已知f (x ) 的定义域,求复合函数f [g (x )]的定义域
由复合函数的定义我们可知,要构成复合函数,则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中,因此可得其方法为:若f (x ) 的定义域为x ∈(a , b ),求出f [g (x )]中a
方法是:若f [g (x )]的定义域为x ∈(a , b ),则由a
3. 已知复合函数f [g (x )]的定义域,求f [h (x )]的定义域
结合以上一、二两类定义域的求法,我们可以得到此类解法为:可先由f [g (x )]定义域求得f (x )的定义域,再由f (x )的定义域求得f [h (x )]的定义域。
4. 已知f (x ) 的定义域,求四则运算型函数的定义域若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的,其定义域为各基本函数定义域的交集,即先求出各个函数的定义域,再求交集。
浅析复合函数的定义域问题
一、复合函数的构成 设u =g (x ) 是A 到B 的函数,y =f (u ) 是B ' 到C ' 上的函数,且B ?B ' ,当u 取遍B 中的元素时,y 取遍C ,那么y =f (g (x )) 就是A 到C 上的函数。此函数称为由外函数y =f (x ) 和内函数u =g (x ) 复合而成的复合函数。 说明:
⑴复合函数的定义域,就是复合函数y =f (g (x )) 中x 的取值范围。 ⑵x 称为直接变量,u 称为中间变量,u 的取值范围即为g (x ) 的值域。 ⑶f (g (x )) 与g (f (x )) 表示不同的复合函数。
例1.设函数f (x ) =2x +3, g (x ) =3x -5,求f (g (x )), g (f (x )) .
'
⑷若f (x ) 的定义域为M ,则复合函数f (g (x )) 中,g (x ) ∈M . 注意:g (x ) 的值域M ?M ' .
例2:⑴若函数f (x ) 的定义域是[0,1],求f (1-2x ) 的定义域; ⑵若f (2x -1) 的定义域是[-1,1],求函数f (x ) 的定义域; ⑶已知f (x +3) 定义域是[-4, 5),求f (2x -3) 定义域.
要点1:解决复合函数问题,一般先将复合函数分解,即它是哪个内函数和哪个外函数复合而成的. 解答:⑴ 函数f (1-2x ) 是由A 到B 上的函数u =1-2x 与B 到C 上的函数y =f (u ) 复合而成的函数.
函数f (x ) 的定义域是[0,1],∴B=[0,1],即函数u =1-2x 的值域为[0,1].
∴0≤1-2x ≤1,∴-1≤-2x ≤0,即0≤x ≤1,∴函数f (1-2x ) 的定义域[0,
2
1
]. 2
⑵ 函数f (2x -1) 是由A 到B 上的函数u =2x -1与B 到C 上的函数y =f (u ) 复合而成的函数.
f (2x -1) 的定义域是[-1,1],∴A=[-1,1],即-1≤x ≤1,
∴-3≤2x -1≤1, 即u =2x -1的值域是[-3,1],∴y =f (x ) 的定义域是[-3,1]. 要点2:若已知
f (x ) 的定义域为A ,则f [g (x )]的定义域就是不等式g (x ) ∈A 的x 的集合;若已知
f [g (x )]的定义域为A ,则f (x ) 的定义域就是函数g (x ) (x ∈A ) 的值域。
⑶ 函数f (x +3) 是由A 到B 上的函数u =x +3与B 到C 上的函数y =f (u ) 复合而成的函数.
f (x +3) 的定义域是[-4,5), ∴A=[-4,5)即-4≤x <5,∴-1≤x>5,∴-1≤x><8即u =x="" +3的值域b="">8即u>
又f (2x -3) 是由A ' 到B ' 上的函数u ' =2x -3与B 到C 上的函数y =f (u ) 复合而成的函数,而B =B ' , 从而
u ' =2x -3的值域B ' =[-1, 8) ∴-1≤2x -3<8∴2≤2x>8∴2≤2x><11, ∴1≤x="">11,>
∴f (2x -3) 的定义域是[1,
11 2
11). 2
例3:已知函数f (x ) 定义域是(a,b ),求F (x ) =f (3x -1) -f (3x +1) 的定义域.
?解:由题,?,,当?33≥??∴?33?
?a <3x>3x>
?
?3?3
??a <>
?a +1b +1
?a +1b -1
, ) . 当?33,即a <>
说明: ① 已知f (x ) 的定义域为(a,b),求f (g (x )) 的定义域的方法:
已知f (x ) 的定义域为(a ,b ) ,求f (g (x )) 的定义域。实际上是已知中间变量的u 的取值范围,即u ∈(a ,b ) ,g (x ) ∈(a ,b ) 。通过解不等式a
若已知f (g (x )) 的定义域为(a ,b ) ,求f (x ) 的定义域。实际上是已知复合函数f (g (x )) 直接变量x 的取值范围,即x ∈(a ,b ) 。先利用a
x -1+x , (x ≥1) 求f (x ) 的值域。
x -1,(x ≥1) ; 则有g (u ) =u 2+u +1,(u ≥0)
而g (u ) =u 2+u +1,(u ≥0) 的值域即f (x ) f (x ) 是由u (x ) =x -1与g (u ) =u 2+u +1复合而成,
2
的值域,但g (u ) =u +u +1的本身定义域为R , 其值域则不等于复合函数
f (x ) 的值域了。
x 2
例5:已知函数f (x -3) =lg 2,求函数
x -6
22
f (x ) 的解析式,定义域及奇偶性。
u +3x 22
u 3; 分析:因为f (x -3) =lg 2定义域为{x |x ≤-6或x ≥6} 令u =x -3,则f (u ) =lg ,
u -3x -6
且u 3 所以 f (x ) =lg 然而只就f (x ) =lg
x +3
, x 3,定义域不关于原点对称,故x -3
f (x ) 是非奇非偶函数。
x +3
解析式而言,定义域是关于原点对称的,且f (-x ) =-f (x ) ,所以是奇函数。就本题而x -3
2
言f (u ) 就是外函数其定义域决定于内函数u =x -3,u 3的值域,而不是外函数f (u ) 其解析式本身决定的定
义域了。
2.求有关复合函数的解析式,
2
例6.①已知 f (x ) =x +1, 求f (x -1) ;
2
②已知 f (x -1) =(x +1) +1,求f (x ) .
1
,求f (x ) ; x
112
②已知f (x -) =x +2,求f (x +1) .
x x
例7.①已知f (x -1) =x +要点3:已知已知
f (x ) 求复合函数f [g (x )]的解析式,直接把f (x ) 中的x 换成g (x ) 即可。
f [g (x )]求f (x ) 的常用方法有:配凑法和换元法。
配凑法就是在
f [g (x )]中把关于变量x 的表达式先凑成g (x ) 整体的表达式,再直接把g (x ) 换成x 而得
f (x ) 。
换元法就是先设g (x ) 去x 得到
,再把x (关于t 的式子)直接代入f [g (x )]中消=t ,从中解出x (即用t 表示x )
f (t ) ,最后把f (t ) 中的t 直接换成x 即得f (x ) ,这种代换遵循了同一函数的原则。
例8.①已知f (x ) 是一次函数,满足3f (x +1) -2f (x -1) =2x +17,求f (x ) ;
②已知3f (x ) +2f () =4x ,求f (x ) .
要点4:⑴ 当已知函数的类型求函数的解析式时,一般用待定系数法。
⑵ 若已知抽象的函数表达式,则常用解方程组、消参的思想方法 求函数的解析式。已知
1
x
f (x ) 满足某
个等式,这个等式除
1
f (x ) 是未知量外,还出现其他未知量,如f (-x ) 、f () 等,必须根据已知等式再构造
x
出其他等式组成方程组,通过解方程组求出二、练习:
f (x ) 。
1.已知f (2x +1) =x 2-2x ,求f (22+1) 和f (22+3) . 解:令2x +1=22+1,设x =
令2x +1=22+3,设x =
2,f (22+1) =(2) 2-22=2-22, 2+1,
f (22+3) =(2+1) 2-2(2+1) =3+22-22-2=1. ?x -1, x >0
2.已知f (x ) =x -1, g (x ) =?,求f (g (x )) .
2-x , x <>
2
分析:f [g (x )]是用g (x ) 替换y 替换呢?所以要按x 注:g [f
=f (x ) 中的x 而得到的,问题是用g (x ) 中的x -1替换呢,还是用2-x
>0、x <>
(x )]是用f (x ) 替换y =g (x ) 中的x 而得到的,问题是用f (x ) 替换g (x ) 中的x -1呢,还是替换
2-x 呢?所以要看x 2-1>0还是x 2-1<0,故按x 2-1="">0、x 2-1<>
?x 2-2,x >1
?x 2-2x Key:。 x >0;注:g [f (x )]=?3-x 2,,?-1
?x 2-2,x <-1?x>-1?x><0?x -4x="">0?x>
三、总结:
1.复合函数的构成; 设函数y
=f (u ) ,u =g (x ) ,则我们称y =f (g (x )) 是由外函数y =f (u ) 和内函
数u
=g (x ) 复合而成的复合函数。其中x 被称为直接变量,u 被称为中间变量。复合函数中直接变量x 的取值
范围叫做复合函数的定义域,中间变量u 的取值范围,即是g (x ) 的值域,是外函数y 2.有关复合函数的定义域求法及解析式求法:
⑴定义域求法: 求复合函数的定义域只要解中间变量的不等式(由a 要求中间变量的值域范围(由a
=f (u ) 的定义域。
;求外函数的定义域只
先求出外函数的定义域。特别强调,此时求出的外函数的定义域一定是前一个复合函数的内函数的值域,例2(3)
反映明显。
⑵解析式求法:待定系数法、配凑法、换元法、解方程组消元法. 四:外函数解析式其本身决定定义域的主要依据有: ⑴ 当⑵ 当⑶ 当⑷ 当⑸ 当
f (x ) 为整式或奇次根式时,x ∈R ;
; f (x ) 为偶次根式时,被开方数不小于0(即≥0)
f (x ) 为分式时,分母不为0;当分母是偶次根式时,被开方数大于0;
f (x ) 为指数式时,对零指数幂或负整数指数幂,底不为0(如f (x ) =x 0,f (x ) =x -2=
1中x
x 2
≠0)。
f (x ) 是由一些基本函数通过四则运算结合而成的,它的定义域应是使各部分都有意义的自变量x 的值组成
=f (x ) 的定义域是各段上自变量x 的取值集合的并集。
的集合,即求各部分定义域集合的交集。 ⑹ 分段函数y
⑺ 由实际问题建立的函数,除了要考虑使解析式有意义外,还要考虑实际意义对自变量的要求
⑻ 对于含参数字母的函数,求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论,并要注意函数的定义域为非空集合。
⑼ 对数函数的真数必须大于零,底数大于零且不等于1。 ⑽ 三角函数中的切割函数要注意对角变量的限制。
范文二:函数的定义域
高考要求掌握求函数值域的基本方法(直接法、换元法、判别式法);掌握二次函数值域(最值)或二次函数在某一给定区间上的值域(最值)的求法
求函数最大、最小值问题历来是高考热点,这类问题的出现率很高,应用很广们应注意总结最大、最小值问题的解题方法与技巧,以提高高考应变能力因函数的最大、最小值也等于求出来了
由给定函数解析式求其定义域这类问题的代表,实际上是求使给定式有意义的x 的取值范围
(1)已知函数类型,求函数的解析式:待定系数法;
(2)已知f (x ) 求f [g (x )]或已知f [g (x )]求f (x ) :换元法、配凑法; (3)已知函数图像,求函数解析式;
(4)f (x ) 满足某个等式,这个等式除f (x ) 外还有其他未知量,需构造另个等式:解方程组法;
(5)应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等
(1)给出函数解析式的:函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合;
(2)实际问题:函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外,还应考虑使实际问题有意义;
(3)已知f (x ) 的定义域求f [g (x )]的定义域或已知f [g (x )]的定义域求f (x ) 的定义域: ①掌握基本初等函数(尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数)的定义域; ②若已知f (x ) 的定义域[a , b ],其复合函数f [g (x ) ]的定义域应由a ≤g (x ) ≤b 解出
函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的(1)求常见函数值域;(2)求由常见函数复合而成的函数的值域;(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域
①直接法:利用常见函数的值域来求
一次函数y=ax+b(a≠0) 的定义域为R ,值域为R ; 反比例函数y =
k
(k ≠0) 的定义域为{x|x≠0},值域为{y|y≠0}; x
二次函数f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0) 的定义域为R ,
2
(4ac -b ) }; 当a>0时,值域为{y |y ≥
4a
当a<0时,值域为{y |y="" ≤(4ac="" -b="" )="">0时,值域为{y>
4a
②配方法:转化为二次函数,利用二次函数的特征来求值;常转化为型如:
2
f (x ) =ax 2+bx +c , x ∈(m , n ) 的形式;
③分式转化法(或改为“分离常数法”)
④换元法:通过变量代换转化为能求值域的函数,化归思想;
⑤三角有界法:转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域; ⑥基本不等式法转化成型如:y =x +
k
(k >0) ,利用平均值不等式公式来求值域; x
⑦单调性法:
⑧数形结合:根据函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域⑨逆求法(反求法):通过反解,用y 来表示x ,再由x 的取值范围,通过解不等式,
得出y 的取值范围;常用来解,型如:y =题型讲解
ax +b
, x ∈(m , n ) cx +d
例1已知函数f (x )定义域为(0,2) ,求下列函数的定义域:
2(1) f (x ) +23;
(2)y =2
分析:x 的函数f(x) 是由u=x与f(u)这两个函数复合而成的复合函数,其中x 是自变量,u f(x),f(u)是同一个函数,故(1)为已知0<u <2,即0<x <2x 的取值范围
22
2
解:(1)由0<x <2, 得
2
说明:本例(1)是求函数定义域的第二种类型,即不给出f(x)的解析式,由f(x)的定义域求函数f[g(x)]的定义域是二种类型的综合求函数定义域的第三种类型是一些数学问题或实际问题中产生的函数关系,求其定义域,后面还会涉及到
例2已知函数f (x ) =
1+x
的定义域为A ,函数y =f ??f (x )??的定义域为B ,则 1-x
(A ) A B =B (B ) A ?B (C ) A =B (D ) A B =B
解:A ={x |x ≠1},y =f [f (x )]=f (令-1+
1+x 21
) =f (-1+) =-, 1-x 1-x x
2
≠1且x ≠1,故B ={x |x ≠1} {x |x ≠0}1-x
∴B ?A ?A B =B , 故选取D
例3求下列函数的值域
① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②f (x ) =2+4-x ③y =
x ④y =x +x +1解:①∵-1≤x ≤1,∴-3≤3x ≤3,
∴-1≤3x+2≤5,即-1≤y ≤5,∴值域是[-1,5] ②∵4-x ∈[0, +∞) ∴f (x ) ∈[2, +∞即函数f (x ) =2+-x 的值域是 { y| y≥③y = ∵
x x +1-11
==1- x +1x +1x +1
1
≠0 ∴y ≠1 x +1
即函数的值域是 { y| y∈R 且y ≠1}(此法亦称分离常数法④当x>0,∴y =x +
121
) +2≥2, =(x -
x x
121
) -2≤-) =-(-x -
-x -x
当x<0时,y =-(-x="">0时,y>
∴值域是(-∞, -2] [2,+∞) 配方法)
1
函数y =x +的图像为:
x
∴值域是(-∞, -2] [2,+∞)
例4求下列函数的值域:
(1)y =3x -x
+2; (2)y =; (3)y =
2
3x +1
; x
-2
(4)y =x +
(5)y =x (6)y =|x -1|+|x +4|;
1-sin x 2x 2-x +22x 2-x +11
(x >) ; (9)y =(7)y =2; (8)y =
2-cos x 2x -12x +x +1
解:(1)(配方法) y =3x -x +2=3(x -) +
∴y =3x -x +2的值域为[
2
2
1
6
2
2323≥, 1212
23
, +∞)
12
改题:求函数y =3x 2-x +2,x ∈[1,3]的值域解:(利用函数的单调性)函数y =3x 2-x +2在x ∈[1,3]上单调增, ∴当x =1时,原函数有最小值为4;当x =3时,原函数有最大值为26∴函数y =3x 2-x +2,x ∈[1,3]的值域为[4,26](2)求复合函数的值域:
设μ=-x 2-6x -5(μ≥0),则原函数可化为y
=又∵μ=-x 2-6x -5=-(x +3) 2+4≤4, ∴0≤
μ≤4[0,2],
∴y =的值域为[0,(3)(法一)反函数法: y =
3x +12x +1
的反函数为y =,其定义域为{x ∈R |x ≠3},
x -3x -2
∴原函数y =
3x +1
的值域为{y ∈R |y ≠3}x -2
(法二)分离变量法:y =∵
3x +13(x -2) +77
, ==3+
x -2x -2x -2
77
≠0,∴3+≠3, x -2x -2
∴函数y =
3x +1
的值域为{y ∈R |y ≠3} x -2
(4)换元法(代数换元法
):设t =≥0,则x =1-t , ∴原函数可化为y =1-t +4t =-(t -2) +5(t ≥0) ,∴y ≤5, ∴原函数值域为(-∞,5]
2
22
说明:
总结y =a x +型d 值域,变
形:y =ax 2+b
或
y =ax 2+b (5)三角换元法:
∵1-x ≥0?-1≤x ≤1,∴设x =cos α, α∈[0,π],
则y =cos α+sin α=
2
α+)
4
π
∵α∈[0,π],∴α+
π
π5ππ∈
[, ],∴sin(α+) ∈[, 4444
α+
π
4
) ∈[-,
∴原函数的值域为[-1?-2x -3(x ≤-4) ?
(-4
?2x +3(x ≥1) ?
∴y ≥5,
∴函数值域为[5,+∞) (7)判别式法:∵x +x +1>0恒成立,∴函数的定义域为R 2
2x 2-x +2由y =2得:(y -2) x 2+(y +1) x +y -2=0 ①
x +x +1
①当y -2=0即y =2时,①即3x +0=0,∴x =0∈R
②当y -2≠0即y ≠2时,∵x ∈R 时方程(y -2) x 2+(y +1) x +y -2=0恒有实根, ∴ =(y +1) 2-4?(y -2) 2≥0,∴1≤y ≤5且y ≠2, ∴原函数的值域为[1,5](8)y =
2x -x +1x (2x -1) +1111
==x +=x -++,
2x -12x -12x -12x -12
2
2
11111∵x >,∴x ->
0,∴x -+≥2x -122
2
当且仅当x -
1+1
时,即x =时等号成立
=
2x -
2
2
1∴y ≥
11
,∴原函数的值域为, +∞) 22
(9)(法一)方程法:原函数可化为:sin x -y cos x =1-2y ,
x -?) =1-
2y (其中cos ?=
?=
,
∴sin(x -?) =
[-1,1],
4, 3
∴|1-2y |≤3y 2-4y ≤0,∴0≤y ≤
∴原函数的值域为[0,]43
x 2-5x +6
例5求函数y =2的值域
x +x -6
方法一:(判别式法)去分母得 (y-1) x +(y+5)x-6y -6=0 ① 当 y ≠1时 ∵x ∈R ∴△=(y+5)+4(y-1) ×6(y+1)≥0 由此得 (5y+1)≥2
2
2
1
-+51
检验 y =- 时 x =-=2(代入①求根)
56
2?(-)
5
∵2 ? 定义域 { x| x≠2且 x ≠3} ∴y ≠-再检验 y=1 代入①求得 x=2 ∴y ≠1
1 5
1x 2-5x +6
综上所述,函数y =2的值域为 { y| y≠1且 y ≠-}
5x +x -6
方法二:(分离常数法)把已知函数化为函数
y =
(x -2)(x -3) x -36
(x≠2) ==1-
(x -2)(x +3) x +3x -3
由此可得 y ≠1 ∵ x=2时 y =-
11
即 y ≠- 55
1x 2-5x +6
∴函数y =2的值域为 { y| y≠1且 y ≠-5x +x -6
例6 (分段函数法及图像法)求函数y=|x+1|+|x-2|的值域
解法1:将函数化为分段函数形式:
?-2x +1(x <-1)>-1)>
y =?3(-1≤x <2)>2)>
?2x -1(x ≥2) ?
画出它的图象,由图象可知,函数的值域是{y|y≥3}
解法2:(几何法或图象法)∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x 到两定点-1,2的距离之和,∴易见y 的最小值是3,∴函数的值域是[3,+∞] 如图
例7求函数y =2x +4-x 的值域
解:(换元法) 设 t =-x 则 t ≥0 x=1-t
代入得 y =f (t ) =2?(1-t 2) +4t =-2t 2+4t +2=-2(t -1) 2+4 ∵t ≥0 ∴y ≤4 例8设函数f (x ) =log 2(1)求函数的定义域;
(2)问f (x ) 是否存在最大值与最小值?如果存在,请把它写出来;如果不存在,请说明理由
2
x +1
+log 2(x -1) +log 2(p -x ) , x -1
?x +1?x -1>0??x >1
解:(1)由?x -1>0,解得? ①
?x
?p -x >0?
当p ≤1时,①不等式解集为?;
当p >1时,①不等式解集为{x |1
1) p -12(p +1) 2
) +], (2)原函数即f (x ) =log 2[(x +1)(p -x )]=log 2[-(x -24p -1
≤1,即1
p -1
3时,函数f (x ) 有最大值2log 2(p +1) -2 当1<>
当
小结:对于二次函数f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0) ,
⑴若定义域为R 时,
①当a>0时,则当x =-②当a<0时,则当x>0时,则当x>
2
b
时,其最小值y min =(4ac -b ) ; 2a 4a 2b
时,其最大值y max =2a ⑵若定义域为x ∈ [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x 0是否属于区间[a,b]x 0∈[a,b],
则f (x 0) 是函数的最小值(a>0)时或最大值(a<0)时,再比较f (a="" ),="" f="" (b="" )="" 的大小决定函数的最大(小)值②若x="" 0?[a,b],则[a,b]是在f="" (x="" )="" 的单调区间内,只需比较f="" (a="" ),="" f="" (b="" )="">0)时,再比较f>
即可决定函数的最大(小)值
(3)若给定区间不是闭区间,则可能得不到最大(小)值;
(4)当顶点横坐标是字母时,则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论
利用方程思想来处理函数问题,一般称判别式法 判别式法一般用于分式函数,其分子
或分母只能为二次式解题中要注意二次项系数是否为0求函数值域常用的一些方法(观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等),随着知识的不断学习和经验的不断积累,还有如不等式法、三角代换法等有的题可以用多种方
法求解,有的题用某种方法求解比较简捷,同学们要通过不断实践,熟悉和掌握各种解法,并在解题中尽量采用简捷解法
学生练习x
f(x)与g(x) =3-的图象关于直线y=x对称,则函数f(x-1) 的定义域为
3x -x 2
(1)y=; (2)y=25-x 2+ln cos x
|x -1|-1
f(x)=
x -1
的定义域为R ,则实数a 的取值范围是( )
ax 2+ax -3
12
2
已知函数f(x)的定义域为[a,b],且a+b>0,求f(x) 的定义域;
x
(2)已知函数f(2) 的定义域为[1,2],求f(log2x) 的定义域f(x)的定义域为[0,1],g(x)=f(x+a)+f(x-a), 求函数g(x)的定义域
f(x)=log2
x +1
+log2(x-1)+log2(p-x) x -1
(1)求函数f(x)的定义域;(2)f(x)是否存在最大值或最小值?如果存在,请把它写出来;如果不存在,请说明理由100张10元时,床位可以全部租出;当床价高于10元时,每提高一元,将有3张床位空闲该宾馆要给床位定一个合适的价格,条件是①为方便结算,床位应为1元的整数倍;②该宾
馆每日的费用支出为575元,床位出租收入必须高于支出,而且高出得越多越好,若用x 表示床价,用y 表示该宾馆一天出租床位的净收入(即除去每日的支出费用后的收入), (1)把y 表示为x 的函数,并求出定义域;
(2)试确定该宾馆床价定为多少时,既符合上述条件,又能使净收入最多?
22
(1)y=(1-x )/(1+x); (2)y=(1-2sinx)/(1+sinx)
x 2-x x
(1)y=2(;(2)y=x --2x ;(3)y= -
2x +x +1x +2x +2
10已知函数f(x)=lg(x2-2mx+m+2)
(1)若f(x)的定义域为R ,求实数m 的取值范围; (2)若f(x)的值域为R ,求实数m 2
11若函数y=x-3x -4的定义域为[0,m],值域为[-25/4,-4],则m 的取值范围是12已知f(x)的值域为[3/8,4/9],试求y=f(x)+-2f (x ) 的值域13现有直径为d 的圆木,要把它锯成横断面为矩形的梁,从材料力学知道,横断面为矩形的木梁强度与梁宽和梁高的平方的乘积成正比,比例系数为k 14函数y=|x–3|–|x+1|15已知1/2≤t ≤1, 则2/t–t 16函数y= –x 2–2ax(0≤x ≤1) 的最大值是a 2, 那么实数a 的取值范围17在区间[1/2,2]上函数f(x)=x2+px+q与g(x)=2x+1/x2在同一点取得相同的最小值,那么f(x)在区间[1/2,2]参考答案: ∞))
?(2,3], (2) [-5, -3π/2]?(-π/2,π/2)?(3π/2,5] (1)b>a,b>-a, ∴ b>|a|,
a ≤0时,x ∈[-, b ],a>0时,x ∈[-b , -
a ]? [a , b ] (2)[4,16]
-1/2≤a ≤0时,a<-a ≤1+a,x∈[-a,1+a];="" 当0≤a="" ≤1/2时,x="" ∈[a,1-a];="">-a><-1 或a="">1/2时,g(x)(1)1<>
1);
p -12(p +1) 2
(2)f(x)=log2[(x+1)(p-x)]=log2[-(x-) +],
24
当(p-1)/2≤1, 即1<>
当1<(p-1)>(p-1)>
3时,f(x)最大值为2log 2(p+1)-2, 无最小值
?100x -575(6≤x ≤10, x ∈N ) ?100x -575(x ≤10)
y =?=? 2
[100-(x -10) ?3]x -575x >10??-3x +130x -575(10
(2)当x ≤10时,y ≤425; 当x>10,则当x=22时,y 有最大值约833元-1/2,+∞) (-1/3≤y<1)>1)>
(3)讨论:x>0时,-1<><><>
12(7/9,7/8],换元法
13 Q=kx(d-x ) ≤2kd /9, x=d/3 x为梁宽
2
2
3
14 4,
15 7/2(单调性求最值)
16–1≤a ≤0(配方法求二次函数的最值) 17 4 ,平均值不等式求最值
例1 求下列函数的最大值或最小值:
(1)
y =4(2
)y =x (3)y =
解:(1
)y =4=4
2
2
由3+2x -x ≥0得-1≤x ≤3,
∴当x =1时,函数取最小值2,
当x =-1 or x =3时函数取最大值4
(2=t (t ≥0, x ≤,则x =
2∴y =
1
1-t 2
2
,
1-t 2
1
-t =-(t +1) 2+1, 22
1
时取等号,∴函数取最大值
当t =0,即x =
12
2
(3)解法(一)用判别式法:
由y =
,无最小值2x 2+2x +5x 2+x +1
得(y -2) x 2+(y -2) x +y -5=0, x ∈R ,
①若y =2,则2=5矛盾, ∴y ≠2,
?y ≠2
②由y ≠2,这时,?, 2
??=(y -2) -4(y -2)(y -5) ≥0
解得:2
1
, ∴函数的最大值是6,无最小值2
解法(二)分离常数法:
32x 2+2x +5=2+由y ==2+22x +x +1x +x +13 2(x +) +24
∵(x +) +1
2233≥,∴2
例2 (1)函数y =a x 在[0,1]上的最大值与最小值的和为3,则a (2)对于满足0≤p ≤4的一切实数,不等式x 2+px >4x +p -3恒成立,则x 的取值范围为(-∞, -1) (3,+∞)
(3)已知函数f (x ) =2x -1,g (x ) =1-x 2,构造函数F (x ) ,定义如下:当|f (x ) |≥g (x ) 时,F (x ) =|f (x ) |,当|f (x ) |
(A ) 有最小值0,无最大值 (B ) 有最小值-1,无最大值
(C ) 有最大值1,无最小值 (D ) 无最小值,也无最大值
11
范文三:函数定义域教案
个性化辅导授课案
学生:_____ 科目: 教师:_____ 第 阶段第 次课 时间:20__年___月___日___ _段 一、 授课目的与考点分析:
1、进一步理解函数的定义域与值域的概念;
2、会应用代换、方程思想求简单的函数解析式;
3、会求基本初等函数、简单的复合函数及含参变量函数的定义域
4、会求实际问题中的函数解析式、定义域
5、会用集合、区间或不等式表示函数的定义域
二、授课内容:求函数的定义域
一、函数的基本概念、函数与映射的共同点和区别
二、师生共同探讨研究函数主要是研究函数的哪些性质,主要从定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等各个方面来研究函数的性质
三、求函数的解析式
1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系,是函数与自变量建立联系的一座桥梁,其一般形式是y,f(x),不能把它写成f(x,y),0;
2、求函数解析式一般要写出定义域,但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时,可以不标出定义域;一般地,我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形;
3、求函数解析式的一般方法有:
(1)直接法:根据题给条件,合理设置变量,寻找或构造变量之间的等量关系,列出等式,解出y。
(2)待定系数法:若明确了函数的类型,可以设出其一般形式,然后代值求出参数的值;
(3)换元法:若给出了复合函数f,g(x),的表达式,求f(x)的表达式时可以令t,g(x),以换元法解之;
(4)构造方程组法:若给出f(x)和f(,x),或f(x)和f(1/x)的一个方程,则可以x代换,x(或1/x),构造出另一个方程,解此方程组,消去f(,x)(或f(1/x))即可求出f(x)的表达式;
(5)根据实际问题求函数解析式:设定或选取自变量与因变量后,寻找或构造它们之间的等量关系,列出等式,解出y的表达式;要注意,此时函数的定义域除了由解析式限定外,还受其实际意义限定。
四、求函数定义域
1、函数定义域是函数自变量的取值的集合,一般要求用集合或区间来表示;
2、常见题型是由解析式求定义域,此时要认清自变量,其次要考查自变量所在位置,位置决定了自变量的范围,最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题;
3、如前所述,实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外,还受实际意义限制,如时间变量一般取非负数,等等;
4、对复合函数y,f,g(x),的定义域的求解,应先由y,f(u)求出u的范围,即g(x)的范围,再从中解出x的范围I;再由g(x)求出y,g(x)的定义域I,I和I的交集即为复合函数的定义域; 1212
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5、分段函数的定义域是各个区间的并集;
6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论,若参数在不同的范围内定义域不一样,则在叙述结论时分别说明;
7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论,但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集,作为该函数的定义域;
五、结合习题讲解使学生更深刻的体会函数定义域的求法
六、习题巩固
11,xf(x)f(x),,log,求函数的定义域,并讨论它的奇偶性和单调性. 1、已知函数2x1,x
2(求下列函数的定义域、值域:
121x2x,xx,21y,,1()(1) (2) (3)y,3 y,82
三、本次课后作业:
四、学生对于本次课的评价:
? 特别满意 ? 满意 ? 一般 ? 差
学生签字: 五、教师评定:
1、 学生上次作业评价: ? 好 ? 较好 ? 一般 ? 差 2、 学生本次上课情况评价: ? 好 ? 较好 ? 一般 ? 差
教师签字:
教研组签字: 教务处签字:
教务处盖章:
20 年 月 日
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范文四:函数的定义域
函数的定义域
教学目的:1. 理解函数的定义域;
2. 学会求函数的定义域;
教学重点:求函数的定义域 教学难点:求函数的定义域 课 型:复习 教学过程:
一、复习引入:1. 定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合 2. 求函数定义域一般有三类问题:
(1)f (x ) =
(3)f (x ) =
4-x -1 (2)f (x ) =
2
x 2-3x -4
x +1-2
11+
11+x
(4)f (x ) =
(x +1) 0x -x
(5)y =
(7)y =-x 2-x 2-1 (8
)f (x ) =lgcos x
?-x (x <>
1?
x -2+3+ (6) f (x ) =?2(0≤x <>
x +7?-x 2(1≤x ≤4)
?
(1)给出函数解析式:分式__________ . 开偶次方根____________
零次方___________. 对数式___________.正切式___________
(2)抽象函数求定义域:已知f (x ) 的定义域求f [g (x )]的定义域或已知
f [g (x )]的定义域求f (x ) 的定义域:①若已知f (x ) 的定义域[a , b ],其
lg (4-x )1-x
(9)y = (10). f (x ) =lg
x -4x -3
复合函数f [g (x ) ]的定义域应由a ≤g (x ) ≤b 解出;②若复合函数 f [g (x ) ]的定义域为[a , b ],则f (x ) 的定义域为g (x )在[a , b ]上的值域.
例2、抽象函数求定义域:
2
f x 1. 已知函数f (x )的定义域为?, 则的定义域为________; 1, 4???
()
(3)实际问题:函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外,还
应考虑使实际问题有意义;
二、例题分析
例1给出解析式求定义域:求下列函数的定义域:
11
2. 若函数y =f (x ) 的定义域为[-1,1],则函数y =f (x +) ?f (x -)
44
的定义域为_______________.
第 1 页 共 2 页
3. 已知函数f (x )的定义域为??0, 1??, g (x )=f (x +a )+f (x -a ), 则函数g (x )的定义域为(a >0)________________. 4.
已知f
⑴y =f
?x ?
-2; _________; ⑵y =f ?(a ≠0). __________.
?a ?
)
6. 函数f (x )
=的定义域为R ,求实数k 的范围.
求f (x +5)的定义域为________. 的定义域为[2,3],
四、作业:1、函数f (x ) =
1
3
例3、定义域的逆向问题:
x -1
1. 函数f (x )=2的定义域为R ,则实数a 的取值范围是
ax +ax -3
3x 2-x
13
+lg(3x +1) 的定义域是
1133
13
A . (-, +∞) B . (-, 1) C . (-, ) D . (-∞, -)
_____.
2. 若函数y =ax 2-ax +______. 三、【当堂检测】
1. y =的定义域为__________.
1a
的定义域为R ,则实数a 的取值范围为
1+x
f (x )?的定义域为A ,函数y =f ?的定义域为B , ??1-x
则 A . A B =B B . A üB C . A =B D . A B =B
2. 已知函数f (x ) =
1
+sin x 3. 函数y =的定义域为 -sin x 2
4. 函数f (x ) =5. 设f (x ) =lg
2. 函数f (3-2x ) 的定义域为[-1,2],则函数f (x ) 的定义域______. 3. 函数f (x +1) 的定义域为[-2,3],则f (2x -1)的定义域是______. 4. 若函数y =
x -2
+lg 4-x 的定义域是 x -3
2+x x 2
,则f () +f () 的定义域为( ) 2-x 2x
f )x 的(
定义域是??0, 2??,则函数
A . (-4,0) (0,4)B . (-4, -1) (1,4) C . (-2, -1) (1,2)D . (-4, -2) (2,4)
6. 函数f (x ) =
y =f (x +1)+f (x -1)的定义域为____________.
5. 设f (x
)是定义在?-3上的函数,求下列函数的定义域:
?1
的定义域为( )
log 2(-x 2+4x -3)
A . (1,2) (2,3) B . (-∞,1) (3,+∞) C . (1,3) D . [1,3]
第 2 页 共 2 页
范文五:函数定义域求法
求函数定义域的几种类型
一、 含分式的函数
在求含分式的函数的定义域时,要注意两点:(1)分式的分母一定不能为0;
(2)绝对不能先化简后求函数定义域。
2x,1例1 求函数的定义域( fx,,,x,1
二、 含偶次根式的函数
注意(1)求含偶次根式的函数的定义域时,注意偶次根式的被开方数不小于0,通过求不等式来求其定义域;(2)在研究函数时,常常用到区间的概念,它是数学中常用的术语和符号,注意区间的开闭情况.
yax,,3 例1 求函数(a为不等于0的常数)的定义域.
三、 复合型函数
注意 函数是由一些基本初等函数通过四则运算而得到的,则它的定义域是各
基本函数定义域的交集,通过列不等式组来实现.
0(x,3)yx,,32例1 求函数,的定义域( 32x,3
练习
11、求下列函数的定义域。?y=
|x|,x
2x,10 ?y= x,3
1(3)y= 1,|x|
- 1 -
求函数定义域的几种类型
1 (4)y= 1x,2,x,2
2x,3x,4(5) f(x),x,1,2
四、抽象函数
,一,、已知的定义域,求的定义域, 其解法是:若的定义域为,则中,从中解得的取值范围即为的定义域。
例1. 设函数的定义域为,则
(1)函数的定义域为________。
(2)函数的定义域为__________。
练习
1已知f(x)的定义域为[1,3],求f(x-1)的定义域.
1f(x)2已知函数的定义域为(0,1),则函数的定义域是________。 f(x,1)2
2xy,f(x)A,[4,,,)的定义域为,给出下列函数:,3设函数y,f(2x,4),y,f()4
16y,f(2x),y,f(,),其定义域仍是A的有( ) x
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
fx(2)yfx,()[0,2]4((江西卷3)若函数的定义域是,则函数的定义域是gx(),x,1B
[0,1)(1,4](0,1)[0,1][0,1)A( B( C( D(
,二,、已知的定义域,求的定义域。
- 2 -
求函数定义域的几种类型
其解法是:若的定义域为,则由确定的范围即为
的定义域。
例2. 已知函数的定义域为,则的定义域为________。
练习
f(2x,4)f(x)1已知函数的定义域为(0,1),则函数的定义域是________。
f(x)2已知f(2x-1)的定义域为[-1,1],求的定义域
,三,、已知的定义域,求的定义域。 其解法是:可先由定义域求得的定义域,再由的定义域求得
的定义域。
例3. 函数定义域是,则的定义域是( ) A. B. C. D.
练习
21函数f(2x-1)的定义域为[1,3],求函数f(x+1)的定义域.
2已知f(2x-1)定义域为[0,1],求f(3x)的定义域
- 3 -
求函数定义域的几种类型
解g(x),D,,,,,
注f(x)定义域f[g(x)]的定义域为D1 ,,,,,,,,根据x,D求g(x)的范围1
,四,、运算型的抽象函数
求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域,其解法是:先求出各个函数的定义域,再求交集。
例4. 已知函数的定义域是,求的定义域。
练习
11y,f(x)1.若函数的定义域为[,1,1],求函数的定义域。 y,f(x,),f(x,)44
2,xx2,,,,fx,lgf,f,,2((2006年湖北卷)设,则的定义域为 (B) ,,,,2,x2x,,,,
,,,,,,,,,4,0:0,4,4,,1:1,4 A. B.
,,,,,,,,,2,,1:1,2,4,,2:2,4C. D.
五、对于实际问题中函数的定义域
例5 用长为L的铁丝弯成下部为矩形,上部为半圆形的框架(如图),若矩形底边长为2x,求此此框架围成图形的面积y关于x的函数关系式(
Lxx,,2π 解:因为半圆的半径为x ,所以矩形的另一边长为. 2
πLxx,,2π2π+42所以,. yxx,,2,,,xLx222
20x,,,L,由得0,x,. ,12,π(2Lxx,,π)0,,2x ,,2
- 4 -
求函数定义域的几种类型
Lπ+42故所求的函数关系式为y=,x?( 0 , ). ,,,xLx2,π2
【点评】定义域不但要使函数的解析式有意义,还要对实际问题有意义;对于实际问题,即使题目没有明确要求写出定义域,也要注意注明.
- 5 -
-1>0,故按x>-2,或x>