范文一:劳思稳定判据;朱利稳定判据
劳思稳定判据;朱利稳定判据
4.3 李雅普诺夫稳定判据
李雅普诺夫稳定判据;线性连续、离散系统的李雅普诺夫稳定判据 4.4 奈奎斯特稳定判据
奈奎斯特稳定判据;相对稳定性分析
4.5 描述函数法
描述函数的概念;描述函数法的基本思想与条件;典型非线性特性的描述函数;用描述函数
法分析非线性系统的自激振荡
4.6 相平面法
相轨迹的概念、绘制方法;奇点;极限环;非线性系统的相平面分区线性化方法 第5章 控制系统动态性能分析
5.1 控制系统的动态性能指标
典型输入信号、动态性能指标
5.2 线性连续系统的动态性能分析
一阶系统、典型二阶系统的动态性能计算;高阶系统动态性能近似分析 5.3 线性离散系统的动态性能分析
离散系统的动态性能指标计算;差分方程的递推解法、Z变换解法;离散系统极点分布与动
态响应的关系;离散系统动态性能指标的计算公式
5.4 线性连续系统状态方程的求解
5.5 线性离散系统状态方程的求解
5.6 线性连续系统的稳态性能分析
控制系统误差与稳态误差的定义、控制系统型号或无差度的定义;终值定理法;误差系数法;
扰动作用下的稳态误差分析;复合控制系统及误差分析
5.7 线性离散系统的稳态误差分析
主要复习参考书
1. 王万良,自动控制原理,北京:科学出版社
试题形式(总分为100分):
1. 简述题(10%-20%)
2. 计算题(80%-90%)
范文二:注意: Nyquist稳定判据
注意: Nyquist稳定判据不适用于含延迟环节的系统。 ? 5-6控制系统的相对稳定性分析
(一) 相对稳定性的表述
Nyquist曲线接近(-1,j0)点的程度可反映系统相对稳定的裕度。
(二) 相角裕量γ和幅值裕量Kg的定义
1( 相角裕量γ
|G(jω)H(jω)|=1 ω=ωc 幅值交界频率
γ= 180?+ φ(ωc)
γ>0,系统稳定
γ<0,系统不稳定>0,系统不稳定>
2( 幅值裕量Kg
?G(jω)H(jω) = -180? ω=ωg 相位交界频率
Kg = 或 Kg(db)= 20lgKg = -20lg|G(jωg)H(jωg)|
Kg >1 或 Kg(db)>0 , 系统稳定
Kg <1 或="">1><0 ,="" 系统不稳定="">0>
工程上要求: γ= 30?- 60?, Kg>6db 。也可只对γ提要求。
(三) 系统的Nyquist图和Bode图的对应关系
Nyquist图 Bode图
单位圆 0db线
实轴负方向 -180?线
四(Bode的稳定性分析
(一) Bode图上稳定裕量的分析
ωg >ωc ,γ>0 , Kg>0 , 稳定
(二) Bode定理及应用
(1) 线性最小相位系统的幅频特性与相频特性是一一对应的. (2) 某一频率上的相位移,主要决定于同一频率上的对数幅频特性的斜率, 大致为: ?
n?20db/dec对应?n?90?相位移。
应用: 为使γ合适, 应使ωc 处斜率为-20db/dec , 且在ωc 到2ωc 范围内保持不变。
?5-7时频域间的指标关系
一( 二阶系统的时域响应与频域响应的关系
1( 闭环频率指标
,
时,产生谐振
令 ,得谐振频率
将代入M表达式,得谐振峰值
M=时的频率值称截止频率。
0~间的频率段称频带宽度,简称带宽。
2(二阶系统频域指标与时域指标的关系
谐振峰值
谐振频率
带宽频率
截止频率
相位裕度
超调量
调节时间
3(高阶系统频域指标与时域指标
谐振峰值 超调量
调节时间
范文三:代数稳定判据
代数稳定判据
1(劳斯稳定判据(Routh)
1nn,系统特征方程式: as,as,........,as,a,0110nn,
设,各项系数均为实数 a,0n
在判断系统的稳定性时,可是先检查一下系统特征方程的系数是否均为正数或均为负数;假若系数有正有负或等于零(即缺项),则系统是不稳定的。所以判断系统稳定的必要条件为:特征方程的所有系数均大于0或均小于0,下面介绍的Routh判据和Herwitz判据的充分条件。
注:满足必要条件的系统不一定就肯定是稳定。
劳斯阵列:
nasaaa624n,nn,n,1n,asaaa7135n,n,n,n, 2n,bsbbb4123
3n,csccc4123
……………………………………
0s…
其中:
aaaa,n,1n,2nn,3b ,1an,1
aaaa,n,1n,4nn,5b,2an,1 aa,aan,1n,6nn,7b,3an,1
?
baba,1321n,n,c ,1b1
,baban,n,1531c,2b1 ,baban,n,1741,c3b1
?
劳斯稳定判据说明:方程的全部根均在左半S平面的必要和充分条件是方程的全部系数都是正值或都是负值,并且劳斯阵列第一列中所有项都是正号。
注意:第一列中各项系数的精确数值,是没有必要知道的;而只要知道它们的符号就可以了。
例1、有一个特征方程为
32 as,as,as,a,00123
都是正数。 设a,a,a,a0123
Routh阵列:
3saa022 saa13aa,aa112030sa1
0 sa3
方程的所有根都具有负实部的条件:。 aa,aa13032(维茨判据(Hurwitz)
1nn,特征方程: as,as,........,as,a,0110nn,
构造Herwitz行列式:
aa000......1n,n
aaaa0.......321n,n,n,n
aaaaa.......54321n,n,n,n,n, aaaaa.......76543n,n,n,n,n,
.................................
0000....a0稳定判据:各子阶行列式都大于0,则系统稳定。 即:
aan,1n ,,… ,,a,0,,21n,1aan,3n,2
422s,2s,s,4s,2,0例:特征方程为: Herwitz行列式:
2100
4121 0241
0002
21,,2,0,,,,2,0可见,, 1241
所以系统不稳定。
范文四:劳斯稳定判据
5(2 Routh(劳斯)稳定判据
一、 线性系统稳定的必要条件
一阶系统D(S)= aS+a S=- a/ a若a与 a符号不一致,则特征根的实部就大于零,系10 0101
统不稳定
2,a,a,4aa12021二阶系统D(S)=aS+aS+a若a=0,则特征根,1210 S,1,,22a2
,,4aa20为纯虚根,即在虚轴上,系统处于临界稳定(不稳定) S,1,,22a2
系统稳定的必要条件: 1、特征方程中所有项的系数都必须有相同的符号
2、所有系数都必须不为零。这些条件都是必要的但不充分。
(设特征方程中所有项的系数均大于0.只要有一项等于或小于0,则为不稳定系统);
利用线性系统稳定的必要条件,不必进行公式运算只要缺其中任意一个条件,系统就不稳定。
二、 Routh稳定判据:
求罗斯计算表:任意一行的各项同时乘以一个正数,结果不变。
naaaa?snn,n,n,246
n,1?aaaasn,n,n,n,1357
n,2?bbbbs1234
n,3?ccccs1234
n,4dddd?s1234
??????
0?s
,,aaaaaaaan,1n,2nn,3n,1n,4nn,5,,bb12aan,1n,1式中:,,
,aaaan,1n,6nn,7,b3an,1……
直至其余的b为零。同样的:
,,baabbaabn,n,n,n,15131312,,cc21bb11,……
cb,bccb,bc13131212d,d,12cc11,……
(1) 第一列各数的符号全为正,则说明无正实部的根,系统稳定。否则系统不稳定,第
一列各项符号变化的次数就是不稳定根的数目。
(2) 第一列出现零的情况时,用一个小的正数ε代替,进行计算后,再令ε?,求极限来
判别第一列系数的符号。实际上在无符号变化是表示有一对虚根存在,有符号变化
时则同上(注:即使第一列的系数符号全为正,系统为临界稳定系统)。 (3) 如出现一行全零时,此时存在一些对称(大小相等,符号相反)的根(包括实根和
共轭复根,系统处于临界稳定状态)。则用上一行的系数组成一个辅助方程,对方程
求导后得到的系数代替原为零的各项,再继续。解辅助方程得的根即为特征方程的
根。(注:即使第一列的系数符号全为正,系统为临界稳定系统)。
(2)(3)属于ROUTH 判据的特殊情况
三、劳斯判据的三个步骤:
方程式;? 列写劳斯表;? 根据劳斯表判断系统的稳? 列写系统的特征
定性
举例:1、已知系统的传递函数为:
24S,43S,1000 G(S)= 432S,2S,8S,4S,3
试用Routh判据确定,系统有几个正实部的特征根?系统是否稳定? 4 S 1 8 3
3 S2 4 0
2S 6 3
1S 3 0
0 S 1 没有正实部的特征根 系统稳定
可推导出:一阶系统D(S)= aS+aa1,a0同号则系统稳定。 10
2二阶系统D(S)=aS+aS+aa1,a2,a0同号则系统稳定。稳定的2阶系统210
要求特征多项式的系数全为正或全为负。
32三阶系统: D(S)=aS+aS+aS+aa0,a1,a2,a3均大于0,且a1a2>a3a0,则系统稳定。 3210
(3阶系统稳定的充分必要条件是全部系数同号,且a2a1>a0a3。当a2a1=a0a3时,系统是临界稳定的。)
54322、设系统的特征方程为 S+3S+2S+S+5S+6=0
5劳斯表 S 1 2 5
4S 3 1 6
3 S 5/3 3 0 (取5 9 0)
2 S-22/5 6 0 (取-11 15 0)
1 S 174/11
0 S 15 由第一列的符号可知系统不稳定,且有二个在右半平面的极点。因为第一列中1?3?5/3?-22/5?174/11?15,有两次变号。
3、 劳斯表中某一行的第一个数出现0,其余不为0或没有(这是因为虚轴上的极点所致)
方法:这时系统不稳定,若要继续分析根的分布,可以用一个小的整数ε代替零。
432例:特征多项式F(s)=S+3S+S+3S+1
4 劳斯表 S 1 1 1
3 S3 3 0
2 S 0(+ε) 1 0
1S 3-3/ε(取负值)
0 S 1
系统不稳定,符号变化二次,系统有二个右半平面的根。 4、 劳斯表中出现全为0的行
这种情况表明在s平面内存在大小相等,但是位置径向相反的极点,即存在大小相等符合相
反的实根或一对共轭虚根,或者是对称实轴的两对共轭复根。 处理的方法是利用出现全零行的上一行的元素构成辅助方程,利用辅助方程的导数的系数代
替原来全零行的系数
5432例:S +2S+24S+48S-25S-50=0(必要条件:不稳定)
5劳斯表:S 1 24 -25
442S 2 48 -50 构造辅助方程?2S+48S-50=0
3 42 S 0 0 0?辅助方程2S+48S-50=0求导
5S 1 24 -25
4S 2 48 -50
33S 8 96 0构成新的行8S+96S=0
2 S 24-50 0
1S 112.7 0 0
0 S-50 0 0
系统不稳定(出现全0行,变号一次)。
例.如图所式系统,确定K的稳定范围
432特征方程s+3s+3s+2s+k=0
4劳斯表 s 1 3 k
3 S 3 2 0
2S 7/3 k 0
s (14-9k)/7
s k
为了使系统稳定14-9k>0,k>0。综:14/9>k>0 除K值外,其它参数的设计相同。
范文五:乃奎斯特稳定判据对数稳定判据和稳定裕度
本文由enji2000贡献
ppt文档可能在WAP端浏览体验不佳。建议您优先选择TXT,或下载源文件到本机查看。
第14讲
程向红
奈奎斯特稳定判据 对数稳定判据和稳定裕度 控制系统的校正
1
5.3.5 极坐标图的一般形状 G ( jω ) =
Im
0
( jω )ν (T1 jω + 1)(T2 jω + 1) ? (Tn?ν jω + 1)
K (τ 1 jω + 1)(τ 2 jω + 1) ? (τ m jω + 1)
n>m
ν = 0 0型系统:极坐标图的起点
ω=0
0 Re
ω
2型系统
ω
? ?
ω
0
ω
0型系统
1型系统
ω = 0 是一个位于正实轴的有限值 ω = ? 极坐标图曲线的终点位于坐 标原点,并且
这一点上的曲线与一 个坐标轴相切。
ν = 1 1型系统:在总的相角中 ? 90? 的相角是 jω 项产生的
ω = 0 极坐标是一条渐近于平行与虚轴的直线的线段 ω = ? 幅值为零,且曲线收敛
于原点,且曲线与一个 坐标轴相切。
2
n ?m = 3
ν = 2 2型系统:
在总相角中 ?180? 的相角是由 ( jω ) 2 项产生的 如果
G ( jω )
n ?m = 2
ω =?
0
Re
的分母多项式阶次
n ?m = 1
高于分子多项式阶次,那么
G ( jω )
图5-34b高频区域内的极坐标图
的轨迹将沿者顺时针方向收敛于原点
当 ω = ? 时, G ( jω ) 轨迹将与实轴或虚轴相切
3
R(s) G(s)
C(s)
5.5奈奎斯特稳定判据 (Nyquist Stability Criterion) C (s) G(s) = 闭环传递函数为 R ( s ) 1 + H ( s )G ( s ) 的全部根,都必须位于左半s平面。 虽然开环传递函数 H ( s)G ( s) 的极点和零点可能位于右半s平面, 但如果闭环传递函数的所有极点均位 于左半s平面,则系统是稳定的。
H(s)
图3-35 闭环系统
为了保证系统稳定,特征方程 1 + H ( s )G ( s ) = 0
充要条件
4
5.5.2影射定理 设 F (s) 为两个s的多项式之比,并设P为 F (s) 的极点数,Z为 F (s) 的零点数,它们位于s平面上的某一封闭曲线内, 且有多重极点和多重零点的情况。设上述封闭曲线不通过
F (s)
的任何极点和零点。于是,s平面上的这一封闭曲线影射到
F (s) 平面上,也是一条封闭曲线。当变量s顺时针通过封闭曲线时
在 F (s) 平面上,相应的轨迹顺时针包围 F (s) 原点的总次数R等于Z-P。
5
若R为正数,表示 F (s) 的零点数超过了极点数; 若R为负数,表示 F (s) 的极点数超过了零点数。 在控制系统应用中,由 H ( s)G(s) 很容易确定
F ( s ) = 1 + H ( s )G ( s) 的P数。因此,如果, F (s)
的轨迹图中确定了R,则s平面上封闭曲线内的零点数 很容易确定。
H (s)G( s) = B( s ) A(s)
两者的极点数相同
A( s ) + B ( s) A( s )
6
F ( s) = 1 + H ( s)G ( s) =
5.5.3影射定理在闭环系统稳定性分析中的应用 为了分析线性控制系统的稳定性,令s平面上的封闭曲线包 围整个右半s平面。这时的封闭曲线由整个 jω 轴(从ω = ?? 到 ω = +? )和右半s平面上半径为无穷大的半圆轨迹构成 该封闭曲线为奈奎斯特轨迹(轨迹的方向为顺时针方向)。 因为奈奎斯特轨迹包围了整个右半s平面,所以它包围了
1 + H ( s )G ( s ) 的所有正实部的极点和零点。
如果 1 + H ( s )G ( s) 在右半s平面不存在零点, 则不存在闭环极点,因而系统是稳定的。
7
jω
Im
1+ GH平面
s平面
01 1+ G( jω)H( jω)
Re
?
0
σ
Im
GH平面
图5-37 s平面内的封闭曲线
1 + H ( jω )G ( jω )
1
1+ G( jω)H ( jω)
×
0
Re
G( jω)H ( jω)
曲线对原点的包围,恰等于
H ( jω )G ( jω ) 轨迹对-1+j0点的包围
8
5.5.5关于奈奎斯特稳定判据的几点说明 这一判据可表示为: Z = R + P 式中
Z = 函数
F ( s) = 1 + H ( s)G ( s )
在右半s平面内的零点数
R=
对-1+j0点顺时针包围的次数
H ( s )G ( s )
P = 函数
在右半s平面内的极点数
如果P不等于零,对于稳定的控制系统,必须 Z = 0 或 R = ? P ,这意味着必须反时
针方向包围-1+j0点P次。 如果函数
H ( s)G ( s ) 在右半s平面内无任何极点,则
Z=R
因此,为了保证系统稳定, 的轨迹必须不包围-1+j0点。
G ( jω ) H ( j ω )
9
5.5.6 G ( s ) H ( s ) 含有位于
jω + j?
j0
+ ?
jω 上极点和/或零点的特殊情况
s平面
D
C?
ω =0
Im ' ? A
GH平面
K G ( s) H (s) = s (Ts + 1)
j0
B ε <1 a="" f="">1>
E
ω = ?? ? σ
' '
B'
'
ω =?D ,E ,F
ω = 0+
Re
j?
C'
s 沿着 jω 轴从 ? j? 运动到 j 0 ? 变量
,从 j 0 到 j 0 +
,变量
s 沿着半径为 ε
10
+ (ε < 1)的半圆运动,再沿着正="" jω="" 轴从="" j="" 0="" 运动到="" j?="">
1 ,ν = 2,3,? 的开环传递函数 H ( s)G( s) 对于包含因子 sν
,当变量s沿半径为 ε ( ε < 1="" )的半圆运动时,h="" (="" s="" )g="" (="" s="" )="" 的图形中将有="" ν="">
个半径为无穷大的顺时针方向的半圆环绕原点。 考虑开环传递函数: K
G ( s) H ( s) =
s = εe
jθ
s? s ?εe
limjθ G ( s ) H ( s ) =
K
ε2
e ?2 jθ
s 2 (Ts + 1)
当s平面上的
θ = ?90? ? 90?
时, H ( s)G ( s ) 的相角 180? ? ?180?
11
jω + j?
j0 j0
+ ?
Im D
C?
s平面
GH平面
ω = 0+
E
B ε <1 a="">1>
σ
ω = 0?
1
ω = ?? ω =?
?
Re
j?
在右半s平面内没有极点,并且对所有的正K值,轨迹包围
1 + j 0 点两次。所以函数 1 + H ( s )G ( s )
在右半s平面内存在两个零点。因此,系统是不稳定的。
12
5.6稳定性分析 如果在s平面内,奈奎斯特轨迹包含 1 + H ( s)G ( s) 的Z个零点 和P个极点,并且当s变量顺时针沿奈奎斯特轨迹运动时,不
1 + H ( s )G ( s ) 通过的任何极点或零点,则在 H ( s )G ( s )
平面上相对应的曲线将沿顺时针方向包围 ? 1 + j 0 点
R = Z ? P 次(负R值表示反时针包围 ? 1 + j 0 点)。
H ( s)G ( s ) 如果这时 a)不包围-1+j0 在右半s平面内没有极点,说明系统是稳定的;否 则,系统是不稳定的。 b)反时针包围-1+j0 点。如果反时针方向包围的次数,等于
H ( s)G ( s ) 在右半s平面内没有极点数,则系统是稳定的;否则
系统是不稳定的。 c)顺时针包围-1+j0 点。系统是不稳定的。
13
例5-3 设闭环系统的开环传递函数为:
H ( s )G ( s ) = K (T1s + 1)(T2 s + 1)
H ( jω )G( jω ) 的轨迹如图5-41所示。
H ( s )G ( s ) 在右半s平面内没有任何极点,并且
H ( jω )G ( jω ) 的轨迹不包围 ? 1 + j 0
,所以对于任何的值,该系统都是稳定的。
14
Nyquist Diagram 0.6
0.4
0.2
Imaginary Axis
0
-0.2
-0.4
-0.6 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 Real Axis 0.2 0.4 0.6 0.8 1
图5-41 例5-3中的 H ( jω )G ( jω ) 极坐标图
15
例5-4 设系统具有下列开环传递函数:
K H ( s)G ( s) = s(T1s + 1)(T2 s + 1)
试确定以下两种情况下,系统的稳定性:1增益K较小2增益K较大。
Im ω = 0?
GH平面
ω =0
P=0 R=0
Im
GH平面
1
×
ω =? ω = ??
+
?
Re
Z =0
×
1
ω =? ω = ??
?
P=0 R=2
Re
Z =2
ω =0
ω = 0+
小K值时是稳定的
j? ? j 0 ? ? j 0 + ? + j?
大K值时是不稳定的
16
K (T s + 1) H ( s)G ( s) = 2 2 例5-5 设开环传递函数为: s (T1s + 1) 该系统的
闭环稳定性取决于 T 和 T2
1
相对大小。试画出该系统的奈奎斯特图,并确定系统的稳定性。
Im
GH平面
T1 < t2="">
H ( s)G ( s)
Im
GH平面
ω =0 × ?1 ω = 0+
ω = ?? ω =?
jω
?
的轨迹不包围
1 + j0
Re
系统是稳定的
ω =0
+
ω = 0 ?1
×
ω = ?? ω=?
?
Re
T1 = T2
T1 < t2="">
H ( s)G ( s)
T1 = T2
的轨迹通过 ? 1 + j 0
点,这表明闭环极点位于轴上 G( jω)H( jω)矢量穿过 1+ j0点
17
T1 > T2 H ( s)G ( s)
Im
GH平面
的轨迹顺时针方向包围 ? 1 + j 0 点两次,因此系统有两个闭 环极点位于右半s平面,
系 统是不稳定的。
ω = 0+
1
×
ω =? ω = ??
?
Re
ω = 0?
T1 > T2
18
开始
19
例5-6 设一个闭环系统具有下列 K 开环传递函数: G ( s ) H ( s) = s (Ts ? 1) 试
确定该闭环系统的稳定性。 解
ω = 0+
Im
GH平面
ω=?
1
×
Re ω = ??
( ?1 ? j ω T ) K = jω ( ? 1 + j ω T ) ( ?1 ? j ω T )
=
K ( ?1 ? j ω T ) jω (1 + (ωT ) 2 )
K (1 + jωT ) = jω (1 + (ωT ) 2 )
=
图5-44 H ( jω )G ( jω ) 极坐标图
ω = 0?
K (1 ? jεT )
ω=0
ω = ?ε , ε > 0
jε 1 + (ωT ) 2
90? ? arctgε
90? + arctgε
20
ω = 0 ω = ε ,ε > 0
+
=
K (1 + jεT ) jε 1 + (ωT )
2
ω = 0+
Im
GH平面
ω=?
1
×
H ( s )G ( s )
Re ω = ??
在右半s平面内有一个极点 s = 1
P =1
T
图5-44中的奈奎斯特图表明, H ( s )G ( s ) 轨迹顺时针方向包围-1+0点一次
图5-44 H ( jω )G ( jω ) 极坐标图
ω = 0?
R =1
Z = R+P=2
这表明闭环系统有两个极点在右半s平面, 因此系统是不稳定的。
21
K G ( jω ) H ( jω ) = j ω ( ?1 + j ωT )
K = jω ( ? 1 + j ω T ) ( ? 1 ? j ω T )
( ?1 ? j ω T )
=
K
( ?1 ? j ω T )
jω (1 + (ωT ) 2 )
ω = 0 ? ω = ?ε , ε > 0
K (1 + jωT ) = jω (1 + (ωT ) 2 )
= ? K (1 ? jεT ) ? jε 1 + (ωT ) 2
90? ? arctgε
90? + arctgε
22
ω = 0+
ω = ε ,ε > 0
=
K (1 + jεT ) jε 1 + (ωT )
2
例5-7 设一个闭环系统具有下列开环传 递函数试确定该闭环系统的稳定性。
K ( s + 3) G (s) H ( s) = , K >1 解 s( s ? 1) jω + 3 ω=? 3 G ( jω ) H ( j
ω ) = K jω ( jω ? 1) ( jω + 3)(? jω ? 1) =K 渐近线 jω ( jω ? 1)(? jω ? 1)
ω = 0+
Im
GH平面
ω = ??
4K
1 ?K
×
ω =?
Re
ω 2 ? jω ? 3 jω ? 3 ? 4ω + (3 ? ω 2 ) j =K =K 2 jω (ω + 1) ω (ω 2 + 1)
4K K (3 ? ω 2 ) = 2 + j 2 (ω + 1) ω (ω + 1)
GH ( ? j? ) = 0 + j 0 GH ( j 0 ) = ?4 K ? j?
GH ( j 0 ) = ?4 K + j?
+
ω = 0?
图5-45 H ( jω )G( jω ) 极坐标图
4K GH (? j 3 ) = = ?K (3 + 1)
23
GH ( j?) = 0 ? ? j 0
15
10
5 Imag Axis
0
×
1
-5
-10
-15
-10
-8
-6
-4 Real Axis
-2
0
2
24
渐近线
80 60
40
20 Imag Axis
0
-20
-40
-60
-80 -10
-8
-6
-4 Real Axis
-2
0
2
25
渐近线
Nyquist Diagram 150 0 dB
100
50
Imaginary Axis
0
-50
-100
-150 -8 -7 -6 -5 -4 Real Axis -3 -2 -1 0
26
ω = 0+
继续例5-7
K ( s + 3) G (s) H ( s) = , K >1 s ( s ? 1)
Im
GH平面
ω=? 3
4K ?1 ?K
H ( s )G ( s )
在右半s平面内有一个极点 s = 1
P = 1 因此开环系统是不稳定的
ω = ??
×
Re
ω =?
图5-45表明
H ( s)G ( s)
轨迹逆时针方向包围-1+j0一次 ω = 0? R = ?1 图5-45 H ( jω )G( jω ) 极坐标图
Z = R+P =0 没有零点位于右半s平面内,闭环系统是 说明 1 + H ( s )G ( s ) 稳定的。
这是一个开环系统不稳定,但是 回路闭合后,变成稳定系统的例子。 27
例5-8 一单位反馈控制系统的开环传递函数为
G (s) = K (T1T2 s 2 + T2 s + 1)(T3 s + 1) 式中 K , T1 , T 2和T3
均为正值。为使系统稳定,开环增益 K 与时间常数
T1 , T 2和T3 之间满足什么关系,
解 : G ( jω ) =
K [T1T2 ( jω ) 2 + T2 jω + 1](T3 jω + 1)
频率特性
e j? (ω )
G ( jω ) =
K
[(1 ? T1T2ω 2 ) 2 + (T2ω ) 2 ][1 + (T3ω ) 2 ] T2ω ? arctgT3ω ? (ω ) = ?arctg
2 1 ? T1T2ω
G ( j 0+ ) = K ? j 0
G ( j ? ) = ?0 + j 0
28
T1 = 1, T2 = 2, T3 = 3, K = 2
1.5
1
0.5
Imag Axis
0
×
-0.5
-1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5 Real Axis
1
1.5
2
29
T1 = 1, T2 = 2, T3 = 3, K = 2
1.5
1
0.5
Imag Axis
0
×
-0.5
-1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5 Real Axis
1
1.5
2
30
G ( jω ) =
K [T1T2 ( jω ) 2 + T2 jω + 1](T3 jω + 1)
展开
,与负实
轴的交点
=
=
K T1T2T3 ( jω ) 3 + (T1T2 + T2T3 )( jω ) 2 + (T2 + T3 ) jω + 1
K 1 ? T2 (T1 + T3 )ω 2 + (T2 + T3 ? T1T2T3ω 2 ) jω
2
令虚部为零即可 T2 + T3 ? T1T2T3ω = 0
K G ( jω c ) = 与负实轴相交于 1 ? T2 (T1 + T3 )ω 2
K T +T 1 ? (T1 + T3 ) 2 3 T1T3 <>
ωc = ?
=
T2 + T3 T1T2T3
K
ω =ωc
T2 + T3 1 ? T2 (T1 + T3 ) T2T1T3
T2 + T3 (T1 + T3 ) > K +1 T1T3
31
6
4
T1 = 1, T2 = 2, T3 = 3, K = 8
×
2
Imag Axis
0
-2
-4
-6
-2
-1
0
1
2
3 Real Axis
4
5
6
7
8
32
6
4
T1 = 1, T2 = 2, T3 = 3, K = 8
×
2
Imag Axis
0
-2
-4
-6
-2
-1
0
1
2
3 Real Axis
4
5
6
7
8
33
5.7相对稳定性 5.7.1相位裕度和增益裕度 对于大的K值,系统是不稳定的。 当增益
减小到一定值时,G ( jω ) 的轨迹通过-1+j0点。 对于小的K值,系统是稳定的。
G ( jω ) 的轨迹对-1+j0点
K大时
G平面
Im
1
0
Re
×
K小时
图5-46 G ( jω ) 的极坐标图
点的靠近程度,可以用来 度量稳定裕量(对条件稳定 系统不适用)。在实际系统 中常用
相位裕量和增益裕 量表示。
G ( jω ) =
K (τ 1 jω + 1)(τ 2 jω + 1) ? (τ m jω + 1) ( jω )ν (T1 jω + 1)(T2 j
ω + 1) ? (Tn ?ν jω + 1)
n>m
34
1相位裕度、相角裕度(Phase Margin)
γ
设系统的截止频率(Gain cross-over frequency)为 ωc
A( jω c ) = G ( jω c ) H ( jω c ) = 1
定义相角裕度为 相角裕度的含义是
γ = 180? +
G ( jω c ) H ( jω c )
对于闭环稳定系统,如果开环相频特性再滞后 度,则系统将变为临界稳定。
γ
当 γ > 0 时,相位裕量为正值; 当 γ < 0="" 时,相位裕度为负值。="" 为了使最小相位系统稳定,相位裕度必须为正。="" 在极坐标图上的临界点为0分贝和="" 80?="">
35
dB
Positive Gain Margin
dB
Negative GainMargin
ωc
0
ωx
Logω
ωx
0
Logω
ωc
90? ?180? ? 270?
90?
Logω
180? ? 270?
Logω
Positive Phase Margin Stable System
Negative Phase Margin Unstable System
36
2增益裕度、幅值裕度(Gain Margin)
h
设系统的相位穿越频率(Phase cross-over frequency) ω x k = 0,?1, ? ? (ω x ) =
G( jω x ) H ( jω x ) = (2k + 1)π 定义幅值裕度为 幅值裕度 h 的含义是,
1 h= G ( jω x ) H ( jω x )
对于闭环稳定系统,如果系统开环幅频特性再增大 h 倍,则系统将变为临界稳定状态。 若以分贝表示,则有
h = ?20 log G ( jω x ) H ( jω x )
增益裕度为负值。
当增益裕度以分贝表示时,如果 h > 1 h( dB ) > 0 增益裕度为正值; 如果 h < 1="">
则 h( dB ) < 0="" 正增益裕度(以分贝表示)表示系统是稳定的;负增益裕度(以="">
示系统是不稳定的。
37
dB
Positive Gain Margin
dB
Negative Gain Margin
ωc
0
ωx
Logω
ωx
0
Logω
ωc
90? ?180? ? 270?
90?
Logω
180? ? 270?
Logω
Positive Phase Margin Stable System
Negative Phase Margin Unstable System
38
Positive Gain Margin
1 h
Im
G Plane
1
Negative Im Phase Margin
G Plane
1
-1
γ
G ( jω )
Re
γ
-1
1 h
G ( jω )
Re
Positive Phase Margin
Negative Gain Margin
Stable System
Unstable System
39
判断系统稳定 的又一方法
γ >0
h( dB ) > 0
γ = 180? +
G ( jω c ) H ( jω c )
h = ?20 log G ( jω x ) H ( jω x )
40
对于稳定的最小相位系统,增益裕度指出了系统在不稳定之前, 增益能够增大多少。对于不稳定系统,增益裕度指出了为使系 统稳定,增益应当减少多少。 一阶或二阶系统的增益裕度为多少, 一阶或二阶系统的增益裕度为无穷大,因为这类系统的 极坐标图与负实轴不相交。因此,理论上一阶或二阶系统 不可能是不稳定的。当然,一阶或二阶系统在一定意义上 说只能是近似的,因为在推导系统方程时,忽略了一些小 的时间滞后,因此它们不是真正的一阶或二阶系统。如果 计及这些小的滞后,则所谓的一阶或二阶系统可能是不稳 定的。
41
5.7.2关于相位裕度和增益裕度的几点说明 控制系统的相位裕度和增益裕度是系统的极坐标图对-1+j0点 靠近程度的度量。这两个裕度可以作为设计准则。 只用增益裕度和相位裕度,都不足以说明系统的相对稳定性。 为了确定系统的相对稳定性,必须同时给出这两个量。 对于最小相位系统,只有当相位裕度和增益裕度都是正 值时,系统才是稳定的。负的裕度表示系统不稳定。适 当的相位裕度和增益裕度可以防止系统中元件变化造成 的影响,并且指明了频率值。 为了得到满意的性能,相位裕度应当在 30?与60? 之间, 增益裕度应当大于6分贝。
42
例5-9 一单位反馈系统的开环传递函数为
K G (s) = s (1 + 0.2s )(1 + 0.05s )
K=1时系统的相位裕度和增益裕度。 要求通过增益K的调 整,使系统的增益裕度20logh=20dB,相位裕度 γ ? 40? 解: 增益裕度 相位穿越频率 ω x
(ω x ) =
G ( jω x ) H ( jω x ) = ?180?
(ω x ) = ?90? ? arctg 0.2ω x ? arctg 0.05ω x = ?180?
即 arctg 0.2ω x + arctg 0.05ω x = 90?
0.2ω x + 0.05ω x =? 1 ? 0.2ω x × 0.05ω x
tgθ1 ? tgθ 2 tg (θ1 ? θ 2 ) = 1 ? tgθ1tgθ 2 ω x = 10 1 ? 0.2ω x × 0.05ω x = 0
43
h(dB) = ?20 log G ( jω x ) H ( jω x )
= ?20 log 1 jω x (1 + j 0.2ω x )(1 + j 0.05ω x )
在 ω x 处的开环对数幅值为
= 20 log 10 + 20 log 1 + (0.2 × 10) 2 + 20 log 1 + (0.05 × 10) 2
= 20 + 7 + 1 = 28dB
44
相位裕度
增益穿越频率 ωc 截止频率
根据K=1时的开环传递函数
G ( jω c ) H ( jω c ) = 1
G ( jω c ) = 1 jω c (1 + j 0.2ω c )(1 + j 0.05ω c )
=
1
ωc
2 2 (1 + 0.04ω c )(1 + 0.0025ω c )
=1
ωc = 1
(ω c ) = ?90? ? arctg 0.2ω c ? arctg 0.05ω c = ?104?
γ = 180? + ? (ω c ) = 180? ? 104? = 76?
45
K = 1 K = 2.5
Bode Diagram 20 10 Magnitude (dB) 0 -10 -20 -30 -40 -90
K = 5.2
h(dB) h(dB)
h(dB)
Phase (deg)
-135
γ
γ
γ
1
-180
-225 10
0
10 Frequency (rad/sec)
K ?? ωc ?
ωc
46
由题意知
ωx
h = 10
K
G ( jω x ) = 0.1
= 0.1
2 2 (1 + 0.04ω x )(1 + 0.0025ω x )
K = 0.1 × 10 1 + 4 1 + 0.25 = 2.5
验证是否满足相位裕度的要求。 根据 γ ? 40? 的要求,则得:
(ω c ) = ?90? ? arctg 0.2ω c ? arctg 0.05ω c = ?180? + 40? = ?140?
arctg 0.2ω c + arctg 0.05ω c = 50?
ωc = 4
K = 4 × 1.28 × 1.02 = 5.2
0.2ω c + 0.05ω c = 1.2 1 ? 0.2ω c × 0.05ω c
K
2 2 ω c (1 + 0.04ω c )(1 + 0.0025ω c )
=1
不难看出,K = 2.5
就能同时满足相位裕度和增益裕度的要求。 47
例5-11 设一单位反馈系统对数幅频特性如图5-50所示(最小 相位系统)。1写出系统的
开环传递函数2判别系统的稳定 性3如果系统是稳定的,则求 r (t ) = t 时的稳态误差。
解:1由图得
G ( jω ) = K (1 + j jω (1 + j
ω
0.1
)
ω
0.01
)(1 + j
ω
5
)
看对数幅频特性
48
L(ω )
dB
80
-20dB/dec
60
G ( jω ) =
K (1 + j jω (1 + j
ω
0.1
)
)(1 + j ) 0.01 5
ω
ω
40
-40dB/dec
20
-20dB/dec 5 0.01 0.1 1 -40dB/dec
0
ω
rad/s
-20
-40 -3 10
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
49
20 lg K + 20 lg 1 + (
K × 10 =1 100 × 1
1 2 1 2 1 ) ? 20 lg 1 + ( ) ? 20 lg 1 + ( ) 2 = 20 lg1 0.1 0.01 5 10(1 + 10s )
G (s) = s(1 + 100s)(1 + 0.2s ) K = 10
2由于是最小相位系统,因而可通过计算相位裕度γ 是否大于零来判断系统的稳定性。
由图可知 ω c = 1 在
(ω c ) = ?90? + arctg
ωc
处
1 1 1 ? arctg ? arctg = ?106.4? 0. 1 0.01 5
1 1 = = 0.1 K v 10
50
则得 γ = 180? + ? (ω c ) = 73.6? >>0 系统稳定 3单位斜坡输入时,系统的稳
态误差为
e ss =
5.7.3 标准二阶系统中阶跃瞬 态响应与频率响应之间的关系 书上例5-13p203
R(s)
_
ωn2 S(S+2ξωn)
C(s)
图3-8 标准形式的二阶系统方块图
在图3-8所示的标准二阶系统中,单位阶跃响应中 的最大超调量可以精确地与频率响应
中的谐振峰值 联系在一起。因此,从本质上看,在频率响应中包 含的系统动态特性信息与
在瞬态响应中包含的系统 的动态特性信息是相同的。
2 ωn G ( s) = s ( s + 2ξω n )
2 ωn G ( jω ) = jω ( jω + 2ξω n )
设截止频率
ωc
则有
G ( jω c ) =
2 ωn
ω c ω c2 + 4ξ 2ω n
2
=1
51
ωc
ω c2
+ 4ξ ω n = ω n
2 2
2
G ( jω c ) =
4
2 ωn
ω c4
+ 4ξ ω n ω c = ω n
2 2 2
ω c ω c2 + 4ξ 2ω n
2
=1
ωc 2 =
4ξ 2ω n 2 ? (4ξ 2ω n 2 ) 2 + 4ω n 4 2
ω c 2 = ω n 2 ( ( 4ξ 4 + 1 ? 2ξ 2 )
(ω ) = ?90? ? arctg ω 2ξω n
ωc = ωn
(4ξ 4 + 1 ? 2ξ 2
根据相位裕度的定义
= 90? ? arctg 2ξ
γ = 180? + ? (ω c ) = 180? ? 90? ? arctg
ωc 2ξω n
4ξ 4 + 1 ? 2ξ 2
γ = arctg
2ξ 4ξ 4 + 1 ? 2ξ 2
52
上式说明相位裕度仅仅与阻尼比有关。
90 80 70 60 50 40 30 20 10 0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
图5-51标准二阶系统的相位裕度与阻尼比之间的关系
53
相位裕度与阻尼比直接相关。图5-51表示了 相位裕度与阻尼比的函数关系。对于标准
二阶系 统,当时,相位裕度与阻尼比之间的关系近似地 用直线表示如下:
γ=
ξ
100
因此,相位裕度相当于阻尼比。对于具有一对 主导极点的高阶系统,当根据频率响应估
计瞬 态响应中的相对稳定性(即阻尼比)时,根据 经验,可以应用这个公式。
54
3.5
3
对于小的阻尼比, 谐振频率与阻尼自 然频率的值几乎是 相同的。因此,对 于小的阻
尼比,谐 振频率的值表征了 系统瞬态响应的速 度。
ω r = ω n 1 ? 2ξ 2
2.5
2
1.5
1
0.5
0 0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
ωd = ωn 1 ? ξ 2
55
ξ
Mr
的值越小 3.5 和
Mr
Mp
的值越大。 3
ωr
和 Mp 与ξ 2.5
2 之间的函数关系如图5-52 所示。可以看出,当 1.5 ξ > 0.4 时, r 和 M p M 1
之间存在相近的关系。对于很小的
ξ
0.5
值
Mr
将变得很大,而 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
M p 却不会超过1。
56
5.7.4截止频率与带宽(Cutoff frequency and bandwidth) 参看图5-53,当闭环频率 响应的幅值下降到零频率 值以下3分贝时,对应的 频率称为截止频率。
C ( jω ) C ( j 0) 20 lg < 20="" lg="" 3db="" r="" (="" jω="" )="" r="" (="" j="" 0)="">
dB 0 ?3
L(ω)
3
带宽
ω > ωb
对于的
C ( j 0) 20 lg = 0dB R( j 0)
ωb
ω
图5-53 截止频率与系统带宽 系统
20 lg
C ( jω ) < db="" r="" (="" jω="" )="">
ω > ωb
57
闭环系统滤掉频率大于截止频率的信号分量,但是可 以使频率低于截止频率的信号分量通过。 闭环系统的幅值不低于-3分贝时,对应的频率范围称 为系统的带宽。带宽表示了这样一个频率,从此频率开 始,增益将从其低频时的幅值开始下降。 因此,带宽表示了系统跟踪正弦输入信号的能 力。对于给定的 ω n ,上升时间随着阻尼比 ξ 的增加而增大。另一方面,带宽随着 ξ 的增加而减小。因此,上升时间与带宽 之间成反比关系。
58
带宽指标取决于下列因素: 1、对输入信号的再现能力。大的带宽相应于小的上升时 间,即相应于快速特性。粗略地说,带宽与响应速度成反 比。 2、对高频噪声必要的滤波特性。 2 为了使系统能够精确地跟踪任意输入信号,系统必须具有 大的带宽。但是,从噪声的观点来看,带宽不应当太大。 因此,对带宽的要求是矛盾的,好的设计通常需要折衷考 虑。具有大带宽的系统需要高性能的元件,因此,元件的 成本通常随着带宽的增加而增大。
59
一阶系统的带宽为其时间常数的倒数。 二阶系统,闭环传递函数为
2 ωn C (s) = Φ( s) = 2 2 R( s) s + 2ξωn s + ω n
Φ ( jω ) =
1
ω2 2 ω 2 (1 ? 2 ) + (2ξ ) ωn ωn
因为
Φ( j 0) = 1
,由带宽的定义得
2 ωb 2 ω (1 ? 2 ) + (2ξ b ) 2 = 2 ωn ωn
于是
ωb = ω n 1 ? 2ξ 2 + (1 ? 2ξ 2 ) 2 + 1
60
第六章 控制系统的校正 在前面几章中。讨论了控制系统几种基本方法。掌握了这 些基本方法,就可以对控制系统进行定性分析和定量计算。 本章讨论另一命题,即如何根据系统预先给定的性能指标, 去设计一个能满足性能要求的控制系统。基于一个控制系统 可视为由控制器和被控对象两大部分组成,当被控对象确定 后,对系统的设计实际上归结为对控制器的设计,这项工作 称为对控制系统的校正。 在实际过程中,既要理论指导,也要重视实践经验,往往 还要配合许多局部和整体的试验。所谓校正,就是在系统中 加入一些其参数可以根据需要而改变的机构或装置,使系统 整个特性发生变化,从而满足给定的各项性能指标。工程实 践中常用的校正方法,串联校正、反馈校正和复合校正。
61
结束 谢谢~
62
本TXT由“文库宝”下载:http://www.mozhua.net/wenkubao
转载请注明出处范文大全网 » 劳思稳定判据;朱利稳定判据