范文一:实数、整式的运算
实数、整式的运算
(2014? 岳阳)计算:|﹣
32
|+ × +13-﹣ 22
(2014·岳阳)解分式方程:
=
(2013·岳阳)计算:2-+(-1) 2013-(π0
(2013·岳阳)先化简,再求值:2121
a a a --+-,其中 a =3
(2012? 岳阳)计算:3﹣
+() ﹣ 1﹣(2012﹣ π) 0+2cos30°
(2012? 岳阳)先化简,再求值:(﹣ ) ÷,其中 x=
(2014? 株洲)计算:
+(π﹣ 3) 0﹣ tan45°
(2014? 株洲)先化简,再求值:? ﹣ 3(x ﹣ 1) ,其中 x=2
(2013·株洲)计算 o 30sin 234--+
(2013·株洲)先化简,再求值:(x ﹣ 1) (x+1)﹣ x (x ﹣ 3) ,其中 x=3
(2012·株洲)计算:12
cos60|3|-+--
(2012·株洲)先化简,再求值:22(2) 2, 3a b b a b --=-=, 其中 .
(2014·长沙)计算:(﹣ 1) 2014 +﹣
1
31-) ( +2 sin45°
(2014·长沙)先简化,再求值:4
x 1x 2x 2-x 1122-+-++) (,其中 x=3
(2013
·长沙)计算:20|3|(2) 1) -+--
(2012·长沙)计算:
30sin 2211-+-o
) (
(2012·长沙)先化简,再求值:b
a a b ab a ++-+-b b 22222,其中 1, 2=-=b a
(2014·益阳)计算:02733-+-
(2014·益阳)先化简,再求值:x 1x ) 2)(22
1(
2=-+-+-,其中 ) (x x
(2014·邵阳)计算:
230sin 2421+--) (
(2014·邵阳)先化简,再求值:
2x ), 1x (1x 11x 1=-?+--其中 ) (
(2014·常德)计算:130sin 220012--+---) () (
(2014·常德)计算
=---1
112a a a
(2014·永州)计算:) 14. 3(30cos 400+-+-π
(2014·永州)先化简,再求值:3x , 1
x 1x 2x 1x x 122=-+-÷+-其中 ) (
(2013张家界)计算:
360sin 2212013020-+----) () (π
(2013·湘潭)先化简,再求值:2x , x
x 41x 11x 1x 22-=+÷++--其中 ) (
范文二:整式的运算
整式的运算综合测试题
一、填空题:
1、下列多项式乘法,可以用平方差公式计算的是( )
A、(3-2a)(2a-3) B、(4a+1111)(-4a-) C、(-3-2a)(2a-3) D、(-a+)(-4a-) 2222
622222222 2、下列运算①(-ab3)=a2b6;②-(ab3)=a2b③(-a+b)=a+b;④(-a+b)=a-2ab+b正确的个数有( )
个
A、1 B、2 C、3 D、4
3、要使4a2-ka+1是完全平方式,那么k的值是( )
A、4 B、-4 C、2 D、±4
4、若k的值使得x2+4x+k=(x+2)2-1成立,那么k的值( )
A、5 B、4 C、3 D、2
5.下列算式正确的是( )
A.x?x?x B.(?3pq)2??6p2q2
4222C.(?bc)?(?bc)??bc D.4?2?2nn?15510?22n?1
6、用小数表示3×10-2的结果为( )
A -0.03 B -0.003 C 0.03 D 0.003
7、已知x?y??6,x?y?5,则下列计算正确的是( )
A.(x?y)??36 B.(y?x)??10 C.xy?2.75 D.x?y?25
8、代数式(y?1)(y?1)(y?1)?(y?1)的值是( )
A.0 B.2 C.-2 D.不能确定 242222
9、如果多项式x2?mx?9是一个完全平方式,则m的值是( )
A、±3 B、3 C、±6 D、6
10、如果多项式x2?8x?k是一个完全平方式,则k的值是( )
A、-4 B、4 C、-16 D、16
二、填空题:
11、计算(-x3)2(-x2)3。
12.(2?3n)2?____;(?
13.计算22002x2y2)?____ 21?()2003的值是__________ 2
2222214.(m?n)(____)??m?n;a?ab?b?( )?(a?b)
15.已知1?3?4?2,1?3?5?9?3,1?3?5?7?16?4,1?3?5?7?9?25?5,
……,根据前面各式的规律可猜测:1?3?5?7???(2n?1)?____.(其中n为自然数)
2222
三、解答题:
16、计算:
⑴(-0.25)2009×4
2008+1 (2)(a?b)(a?b)?(a?b)2?2(a?b)2 2
(3)(2a+1)2-(2a+1)(-1+2a) (4)(x-2)(x+2)-(x+1)(x-3)
(5) 123?122?124 2
x2?y2
17 、(1)已知x+y=8,xy=12,求的值。 2
(2)已知:x?11?8,求x2?2的值。 xx
18、对于算式2(3?1)(3?1)(3?1)(3?1)(3?1)(3?1)?1.
(1)不用计算器,你能计算出来吗?
(2)你知道它计算的结果是几位数吗?个位是几? 2481632
19、七年级学生小颖是一个非常喜欢思考问题而又乐于助人的同学,一天邻居家正在读小学
的小明,请小颖姐姐帮忙检查作业:
7×9= 63 8×8=64
11×13=143 12×12=144
23×24=624 25×25=625
小颖仔细检查后,夸小明聪明仔细,作业全对了!小颖还从这几道题发现了一个规律。
你知道小颖发现了什么规律吗?请用字母表示这一规律,并说明它的正确性。
20、如图所示的长方形或正方形三类卡片各有若干张,请你用这些卡片,拼成一个长方形或正方形图形。
要求:所拼图形中每类卡片都要有,卡片之间不能重叠。
画出示意图,并计算出它的面积。
21、小华看着电视里的舞蹈节目:七个身穿不同民族服装的舞蹈演员正在面对观众进行队列变换,他陷入了沉思:这7个演员面对观众一共会有几种队列变换呢?……为了解决这一问题,他是这样思考和探索的:
①若只有一个演员A,那就只有队列变换A,共1种;
②若有二个演员A、B,那就有队列变换:AB和BA,共2种;
③若有三个演员A、B、C,那就有队列变换:ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA,共6种;
④若有四个演员A、B、C、D,那就有队列变换(小华把这四个字母在纸上不停的变换顺序地排列着、写着)……数数看,哇!有24种,变化如此之快呀,五个、六个、七个演员呢?看来不可再强攻,否则就……,还是智取吧……
再应用表格吧,记得书上有这样的例子,老师也曾示范过,它能更加清楚地反映其中的数字规律呢:
……
⑴你知道这7个舞蹈演员面对观众一共会有几种队列变换吗?说说你的理由。
⑵请你先仔细体会小华的解题策略,然后再探索:220的末位数字是多少?说说你是怎样想的。例如:25的末位数字是5;2043的末位数字是3。
23、观察下列图形:
图1阴影部分是半径为2与半径为1的圆所围成的圆环;图2的基础之上添加的半径为4与半径为3的圆所围成的的两个圆环;以此类推,图3阴影部分分别是半径为:1 、2、3、4、…、2009 、2010的 偶数半径与比其小1的半径所围成的的所有圆环。
⑴、图1阴影部分是。
⑵、图2阴影部分是 。
⑶、求图3所有阴影部分的面积(结果都保留∏)。
…
整式的运算综合测试题
参考答案
1、D;2、C;3、C;4、B;5、C;6、C;7、D;8、D;9、C;10、C;11、- 3∏,12;12、4,3;13、4
13611ab;14、x6,-x6;15、104;16、-3x2-2x-4;17、-7;18、n2+n=n(n+1);19、(1)、;(2)、16a2-(3)、8416
0;(4)、6xy-20y2,-9;20、27;21、作长为6.5cm,宽为1.5cm的长方形;22、(1)、(5a2-5ab-6b2)名,(2)13a2+11ab+2 b2=1528;23、(1)、3∏,(2)、10∏,(3)、(2008+2007+…+4+3+2+1)∏=2017036∏.
范文三:整式的加减运算
识点一:整式
1. 单项式:数与字母的乘积的代数式 (单独一个数或字母也是单项式).
多项式:几个单项式的和
??单项式整式??代数式??多项式
??
知识点2 单项式的系数和次数
单项式的系数是指单项式中的数字因数。单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和。 如:a b 的系数是1321,次数是3。 3
注意:(1)圆周率π是常数,2πR 系数是2π)
(2)当一个单项式的系数是1或-1,1通常省略不写,如:a 2, -m 3。
(3)2a 中系数是2,次数是2。
知识点3 多项式的项、常数项、次数
在多项式中,每个单项式叫做多项式的项。其中不含字母的项叫常数项。多项式中次数最高项的次数,就是这个多项式的次数。
如多项式3n -2n +n +1,它的项有3n ,-2n ,n , 1 。其中1不含字母是常数项,4242323
3n 4这一项次数为4,这个多项式就是四次四项式。
22注意:(1)多项式的每一项都包括它前面的符号。如:6x -2x -7包含的项是6x ,-2x ,
-7。
(2)多项式的次数不是所有项的次数之和。
2212ab -ab 2
例1. 下列代数式①-1,②-a ,③x y ,④,⑤,⑥3a +b ,⑦0,⑧m 6c 3π
中,是单项式的是______________。(只填序号)
例2.一个五次多项式,他任何一项的次数( )
A.都小于5 B.都等于5 C.都不小于5 D.都不大于5
易错解析:(1)
式
整式的加减
1. 同类项 合并同类项法则
2. 去括号法则
π2ab 2x 的次数是_______(2)a 3b -ab +b 2-15是_______次________项
一.选择题
1.下列单项式中,书写规范的一个是( )
A.1a B.x ?2 C.0.5xy D.1mn
2. x 是最大的负整数,多项式x n +112+x (其中n 为自然数) 的值为( )
A.-2 B.2 C.0 D.不能确定
3. 单项式2ab 是( )次单项式。
A.2 B.3 C.6 D.7
4. 长方形一边长为a ,周长是10,则长方形的另一边长为 ( )
A.10-a B. 10-2a C. 5-a D.5+a
5. 下列去括号错误的是 ( )
A. a 2-(a -b +c ) =a 2-a +b -c B.5+a -2(3a -5) =5+a -6a +5 C. 3a -4212(3a 2-2a ) =3a -a 2+a D.a 3-[a 2-(-b )]=a 3-a 2-b 33
26. 一个多项式与x -2x +1的差是3x -2,则这个多项式为( )
A. x -5x +3 B.-x +x -1 C.-x +5x -3 D.x -5x -13
7. 已知a -b =3, c +d =2, 则(b +c ) -(a -d ) 的值是( )
A. -1 B.1 C.-5 D.15
8. 按某种标准把多项式进行分类时,3x -4和a b +ab +1属于同一类,则下列哪一个多项式也属于同类( )。
23522A. -x +y B.4x -3 C.abc -1 D.x +2xy -y 3222222
9. 两个三次多项式的和的次数是( )
A. 六次 B.三次 C.不低于三次 D.不高于三次
10. 已知2x y 和-6213m n x y 是同类项,则9m 2-5mn -17的值是 ( ) 3
A:-1 B:-2 C:-3 D:-4
二.填空题
1. 火车上原来有(2a+b)位乘客,到站后上车的人是原来的2倍,同时还有一部分人下车,火车离站时车上共有乘客(5a+4b)位,则下车的人数为______
2. 当x 的值使代数式3-(x +1)的值最大时,多项式1-x -x 的值为_______。 223
11t , n =m , t =-32,则m +n +5=_______。 33
a -2b 14. 规定“*”表示一种运算,且a *b = ,则3*(4*) 的值是_________________. ab 23. 若m =
5. 如图所示,阴影部分的面积表示为
____________.
6. 观察下列算式:
12-02=1+0=1; 22-12=2+1=3; 32-22=3+2=5; 42-32=4+3=7;
请把你观察到的规律用含有n的式子表52-42=5+4=9; 若字母n表示自然数,
示出来 ;
三.解答题
?1?1①3(-ab +2a ) -(3a -b ) +3ab ②2a 2-?(ab -a 2) +8ab ?-ab ?2?2
2③化简再求值:4x 2y -?6xy -34xy -2-x y ?()??+1,其中x =2, y =-。 1
2
1. 观察下列一串单项式的特点:xy ,-2x 2y ,4x 3y ,-8x 4y ,16x 5y ,?
(1)按此规律写出第9个单项式.
(2)试猜想第n 个单项式为多少?它的系数和次数分别是多少?
2. 下列图(1)是一个三角形,分别连接这个三角形三边中点得到图(2);再分别连接图(2)中间小三角形三边的中点,得到图(3).
① 图(1)、图(2)、图(3)中分别有多少个三角形?
②按上面的方法继续下去,第n 个图形中有多少个三角形?
4. 设ax +bx +c 与12-6x -x 是相等的整式,求a 、b 、c 的值。
5. 已知多项式3x -2y +6的值为10,求多项式
22232y -y -3的值 2
6. 已知多项式2x 2+my -12与多项式nx 2-3y +6和差中不含有x , y ,求m +n +mn 的值。
232327. 多项式a x +ax -4x +2x +x +1是关于x 的二次多项式,求a +21+a 2a
8. 老师出了一道题计算(2a 3-3a 2b -2ab 2) -(a 3-2ab 2+b 3-5) +(3a 2b -a 3+b 3) ,“当a =56, b =-28时的值”但在计算的过程中,有一位同学错把“a =56”写成了
“a =-56”,而另外一位同学错把“b =-28”写成了“b =28”,而他们的结果都是正确的,请找出其中的原因。
范文四:整式的运算教案
整式的运算
一、教学目标
1、了解整式及相关概念
2、掌握公式并灵活运用
二、教学重难点
重点:同底数幂的乘除法及幂的乘方、积的乘方
难点:公式的运用及逆运用
三、教学过程
知识梳理
1、整式
单项式、多项式的概念与其次数
注意:1、区分判别字母在分子中与字母在分母中的式子是否整式。
2、多项式是“几个单项式的和”中的和如何理解。
3、单独一个数或一个字母也是单项式
4、常见错误多项式的次数就是把多项式的所有字母的指数相加。与单项式的次数混淆。
2、整式的名称:
根据单项式、多项式的次数与项数而命名。(其中数字一定要大写) 例:ab-π
16
3、多项式的排列 b2 是二次二项式
例题a3-3a2b-5ab3+ab2按b的降幂排列
2、整式的加减
步骤:去括号、合并同类项
例题1、(1)求x2-7x-2与-2x2+4x-1的和
(2) 求4k2+7k与-k2+3k-1的差
12、先化简,再求值:5x2-3x-2(2x-3)-4x2 其中x=- 2
3、同底数幂的乘法 []
公式:am·an=am+n.逆运用:am+n =am·an
注意:m、n为正整数,底数a可以是单项式和多项式
特殊:底数不同时
?-p)n=pm+n n为偶数时:pm(
?-p)n=-pm+n. n为奇数时:pm(
例1、计算:(1)-a2·a6; (2)(-x)·(-x)3 ;(3)ym·ym+1. 解:(1)-a2·a6=-(a2·a6)=-a2+6=-a8;
(2)(-x)·(-x)3=(-x)1+3=(-x)4=x4;
(3)ym·ym+1=ym+(m+1)=y2m+1.
若底数是多项式时,要把底数看成一个整体进行计算
例:(a-b)(b-a)2(-a+b)4
逆运用:已知2=3 ,求2x+3
已知22n+1x=8,求(n-2)2008+n
4、幂的乘方与积的乘方
幂的乘方:(am)n=amn 逆运用:amn=(am)n
积的乘方:(a?b)m=am?bm 逆运用:am?bm = (a?b)m
234 )](3)[(-6)3]4 3
1(4)[(m-n)3]4-[(m-n)2]6 (5)(-xy3z2)2 (6)2a2?b4-3(ab2)2 2
常见习题:
1、若xm·x2m=2,求x9m的值。
2、若a2n=3,求(a3n)4的值。
3、已知am=2,an=3,求a2m+3n的值. 练习:(1)(103)3 (2)[(
4、已知2m=3,2n=4 求23m+2n的值
5、已知xn=5 yn=3 求(x2y)2n的值。
5、同底数幂的除法
公式:am÷an=am-n 逆运用:am-n=am÷an
注:a=1(a为非0的数),a0-p=1 pa
52练习:(1)a5÷a=
(3)y16÷
9 (2)(-x)÷(-x)==y11 (4)6 ÷b5=b2 (5)(x-y)÷(x-y)=
常见习题:
1、已知an=8,amn=64,求m的值。
2、若am=3,an=5,求( 1)am-n的值;(2)a3m-2n的值。
3、(1)若2x=
x1,则x=32
4?3?(2)若 ?=,则x=9?2?
四、课堂总结
本节课先回顾前面学过的代数式,然后引入新课,重要的是几个公式
五、课后练习
单元测试的部分习题
范文五:整式的运算
课题:1.1整式
教学目标:1.在现实情景中进一步理解用字母表示数的意义,发展符号感。
2.了解整式产生的背景和整式的概念,能求出整式的次数。
教学重点:整式的概念与整式的次数。
教学难点:整式的次数。
教学方法:尝试练习法,讨论法,归纳法。
教学用具:投影仪、常用的教学教具
教学过程:
1. 课前复习1的基础上求下列图形的面积:
一个塑料三角尺如图所示,阴影部分所占的面积是_______
2. 小红、小兰和小明的房间的窗户从左到右如下图所示,
其上方的装饰(它们的半径相同)
(1) 装饰物所占的面积分别是_____ ______ _______
(2) 窗户中能射进阳光的部分的面积分别是__________ _____
a
a
b b b
二、单项式、多项式的概念与其次数
注意:(1)区分判别字母在分子中与字母在分母中的式子是否整式。
(2)多项式是“几个单项式的和”中的和如何理解。
(3)单独一个数或一个字母也是单项式,而单独一个非零的次数是0。
(4)单独一个字母的次数是1。
(5)常见错误多项式的次数就是把多项式的所有字母的指数相加。
与单项式的次数混淆。
三、巩固练习:
123211x2?121.在代数式-a,5a?b,ab,(x?y),(a?b),中,其中 34a27
单项式有________________它们各自的系数分别为____________
多项式有______________________________
2.单项式的次数:
5?ab2 2
?a2bc
?2?rr2
3、多项式的次数:
ab?
?16b12xy?2y?2
3ab2c?2a2b?三、整式的名称:
根据单项式、多项式的次数与项数而命名。(其中数字一定要大写)
例:ab? ?
16b2 是二次二项式
巩固练习:
1、单项式、多项式的名称:
2a?3bc 是____次_____项式
12xy?2y?1 是____次_____项式 2
3ab2c?2a2b?abc 是____次_____项式
小 结:(1)这节课,你学到了什么?
(2)整式是指什么?
(3)单项式、多项式的次数是怎样求的?
(4)如何给单项式、多项式起个名字?
作 业:课本P5习题1.1:1,2,3。
教学后记:
课题: 1.2 整式的加减(1)
教学目的:1、经历及字母表示数量关系的过程,发展符号感。
2、 会进行整式加减的运算,并能说明其中的算理,发展有条理的思考及语言表达
能力。
教学重点:会进行整式加减的运算,并能说明其中的算理。
教学难点:正确地去括号、合并同类项,及符号的正确处理。
教学方法:尝试法,讨论法,归纳法。
教学用具:课件。
活动准备:准备好一个数字游戏。
教学过程:
一、 课前练习:
1、填空:整式包括和
?2x2y2、单项式的系数是 、次数是 3
3、多项式3m?2m?5?m是
系数是 一次项是 ,常数项是
4、下列各式,是同类项的一组是( )
(A)2xy与2232122yx (B)2m2n与2mn2 (C)ab与abc 33
5、去括号后合并同类项:(3a?b)?(5a?2b)?(7a?4b)
二、 探索练习:
1、如果用a 、b分别表示一个两位数的十位数字和个位数字,那么这个两位数可以表示为
交换这个两位数的十位数字和个位数字后得到的两位数为
这两个两位数的和为2、如果用a 、b、c分别表示一个三位数的百位数字、十位数字和个位数字,那么这个三位数
可以表示为 交换这个三位数的百位数字和个位数字后得到的三位数为 这两个三位数的差为●议一议:在上面的两个问题中,分别涉及到了整式的什么运算?
说说你是如何运算的?
▲整式的加减运算实质就是
运算的结果是一个多项式或单项式。
三、 巩固练习:
1、填空:(1)2a?b与a?b的差是
(2)、单项式5xy、?2xy、2xy、?4xy的和为(3)如图所示,下面为由棋子所组成的三角形,一个三角形需六个棋子,三个三角形需
2222
( )个棋子,n个三角形需 个棋子
2、计算:
(1)(3k2?7k)?(4k2?3k?1) (2)(3x?2xy?
(3)3a??5a?(a?2)?4??1
3、(1)求x?7x?2与?2x?4x?1的和 (2)求4k?7k与?k?3k?1的差
4、 先化简,再求值:5x?3x?2(2x?3)?4x2222221x)?(2x2?xy?x) 2?2 ? 其中x??1
2
四、 提高练习:
1、 若A是五次多项式,B是三次多项式,则A+B一定是
(A) 五次整式 (B)八次多项式
(C)三次多项式 (D)次数不能确定
2、足球比赛中,如果胜一场记3a分,平一场记a分,负一场
记0分,那么某队在比赛胜5场,平3场,负2场,共积多
少分?
3、一个两位数与把它的数字对调所成的数的和,一定能被11
整除,请证明这个结论。
4、如果关于字母x的二次多项式?3x?mx?nx?x?3的值与x的取值无关,
试求m、n的值。
五、 小结:整式的加减运算实质就是去括号和合并同类项。
六、 作业:第8页习题1、2、3
22
课题:1.2整式的加减(2)
教学目标:1.会进行整式加减的运算,并能说明其中的算理,发展有条理的思考及其语言表达
能力。
2.通过探索规律的问题,进一步体会符号表示的意义,发展符号感,发展推理能力。 教学重点:整式加减的运算。
教学难点:探索规律的猜想。
教学方法:尝试练习法,讨论法,归纳法。
教学过程:
一、探索练习:
……
摆第1个“小屋子”需要5枚棋子,摆第2个需要枚棋子,摆第3个需要枚棋子。 按照这样的方式继续摆下去。
(1)摆第10个这样的“小屋子”需要
(2)摆第n个这样的“小屋子”需要多少枚棋子?你是如何得到的?你能用不同的方法解决
这个问题吗?小组讨论。
二、例题讲解:
三、巩固练习:
1、计算:
(1)(11x3-2x2)+2(x3-x2) (2)(3a2+2a-6)-3(a2-1)
(3)x-(1-2x+x2)+(-1-x2) (4)(8xy-3x2)-5xy-2(3xy-2x2)
2、已知:A=x3-x2-1,B=x2-2,计算:(1)B-A (2)A-3B
3、列方程解应用题:三角形三个内角的和等于180°,如果三角形中第一个角等于第二个角的3倍,而第三个角比第二个角大15°,那么(1)第一个角是多少度? (2)其他两个角各是多少度?
四、提高练习:
1、 已知A=a2+b2-c2,B=-4a2+2b2+3c2,并且A+B+C=0,问C是什么样的多项式?
2、设A=2x2-3xy+y2-x+2y,B=4x2-6xy+2y2-3x-y,若│x-2a│+(y+3)2=0,且B-2A=a,求A的值。
2、 已知有理数a、b、c在数轴上 (0为数轴原点)的对应点如图:
试化简:│a│-│a+b│+│c-a│+│
小 结:要善于在图形变化中发现规律,能熟练的对整式加减进行运算。
作 业:课本P11习题1.3:1(2)、(3)、(6),2。
教学后记:
课题:1.3 同底数幂的乘法(一)
教学目标:1.使学生在了解同底数幂乘法意义的基础上,掌握幂的运算性质(或称法则),
进行基本运算;
2.在推导“性质”的过程中,培养学生观察、概括与抽象的能力.
教学重点和难点:幂的运算性质.
课堂教学过程设计
一、运用实例 导入新课
引例 一个长方形鱼池的长比宽多2米,如果鱼池的长和宽分别增加3米,那么这
个鱼池的面积将增加39平方米,问这个鱼池原来的长和宽各是多少米?
学生解答,教师巡视,然后提问:这个问题我们可以通过列方程求解,同学们在什么地方有问题?
要解方程(x+3)(x+5)=x(x+2)+39必须将(x+3)(x+5)、x(x+2)展开, 然后才能通过合并同类项对方程进行整理,这里需要用到整式的乘法.(写出课题:第七章 整式的乘除)
本章共有三个单元,整式的乘法、乘法公式、整式的除法.这与前面学过的整式的加减法一起,称为整式的四则运算.学习这些知识,可将复杂的式子化简,为解更复杂的方程和解其它问题做好准备.
为了学习整式的乘法,首先必须学习幂的运算性质.(板书课题:7.1 同底数幂的乘法)在此我们先复习乘方、幂的意义.
二、复习提问
1、乘方的意义?
2、指出下列各式的底数与指数:
(1)34;(2)a3;(3)(a+b)2;(4)(-2)3;(5)-23.
其中,(-2)3与-23的含义是否相同?结果是否相等?(-2)4与-24呢?
三、讲授新课
1.利用乘方的意义,提问学生,引出法则
计算103×102.
解:103×102=(10×10×10)×(10×10)(幂的意义)
=10×10×10×10×10
=105.
2.引导学生建立幂的运算法则
将上题中的底数改为a,则有
a3·a2=(aaa)·(aa)=aaaaa=a5,
即a3·a2=a5=a3+2.
(乘法的结合律)
用字母m,n表示正整数,则有即am·an=am+n.
3.引导学生剖析法则
(1)等号左边是什么运算?(2)等号两边的底数有什么关系?
(3)等号两边的指数有什么关系?(4)公式中的底数a可以表示什么
(5)当三个以上同底数幂相乘时,上述法则是否成立?
要求学生叙述这个法则,并强调幂的底数必须相同,相乘时指数才能相加.
四、应用举例 变式练习
例1 计算:
(1)107×104; (2)x2·x5.
解:(1)107×104=107+4=1011; (2)x2·x5=x2+5=x7.
提问学生是否是同底数幂的乘法,要求学生计算时重复法则的语言叙述.
例2 计算:(1)-a2·a6; (2)(-x)·(-x)3 ;(3)ym·ym+1.
解:(1)-a2·a6=-(a2·a6)=-a2+6=-a8;
(2)(-x)·(-x)3=(-x)1+3=(-x)4=x4;
(3)ym·ym+1=ym+(m+1)=y2m+1.
师生共同解答,教师板演,并提醒学生注意:(1)中-a2与(-a)2的差别;(3)中的指数有字母,计算方法与数字相同,计算后指数要合并同类项.(2)中(-x)4=x4学生如不理解,可先引导学生回忆学过的有理数的乘方.
课堂练习
计算:(1)105·106; (2)a7·a3; (3)y3·y2;(4)b5·b; (5)a6·a6; (6)x5·x5. 对于第(2)小题,要指出y的指数是1,不能忽略.
计算:(1)y12·y6; (2)x10·x; (3)x3·x9;
(4)10·102·104; (5)y4·y3·y2·y; (6)x5·x6·x3.
(1)-b3·b3; (2)-a·(-a)3;(3)(-a)2·(-a)3·(-a);(4)(-x)·x2·(-x)4;
五、小结
1.同底数幂相乘,底数不变,指数相加,对这个法则要注重理解“同底、相乘、不变、相加”这八个字.
2.解题时要注意a的指数是1.
3.解题时,是什么运算就应用什么法则.同底数幂相乘,就应用同底数幂的乘法法则;整式加减就要合并同类项,不能混淆.
4.-a2的底数a,不是-a.计算-a2·a2的结果是-(a2·a2)=-a4,而不是(-a)2+2=a4.
5.若底数是多项式时,要把底数看成一个整体进行计算
教后记:
教学时不要生硬地提出问题,应力求顺乎自然、水到渠成.讲课要注意联系过去尚不甚巩固的知识,将新旧知识有机地融合在一起.这节课就是以此为宗旨引入新课的.
课题:1.4幂的乘方与积的乘方(1)
教学目标:1、经历探索幂的乘方与积的乘方的运算性质的过程,进一步体会幂的意义,发展推
理能力和有条理的表达能力。
2、了解幂的乘方与积的乘方的运算性质,并能解决一些实际问题。
教学重点:会进行幂的乘方的运算。
教学难点:幂的乘方法则的总结及运用。
教学方法:尝试练习法,讨论法,归纳法。
教学用具:投影仪、常用的教学用具
活动准备:
232241、计算(1)(x+y)·(x+y) (2)x·x·x+x·x
(3)(0.75a)·(3143n-1n-24a) (4)x·x-x·x 4
教学过程:
一、 探索练习(通过练习,复习乘方的知识,紧接着利用乘方的知识探索新课的内容):
4241、 6表示_________个___________相乘. (6)表示_________个___________相乘.
323a表示_________个___________相乘. (a)表示_________个___________相乘.
2423在这个练习中,要引导学生观察,推测(6)与(a)的底数、指数。并用乘方的概念解答
问题。
24 2、(6)=________×_________×_______×________
nmnm =__________(根据a·a=a) =__________
23(a)=_______×_________×_______
nmnm =__________(根据a·a=a) =__________
m2(a)=________×_________
nmnm =__________(根据a·a=a) =__________
mn(a)=________×________×?×_______×_______
nmnm =__________(根据a·a=a) =__________
mn即 (a)= ______________(其中m、n都是正整数)
通过上面的探索活动,发现了什么?
幂的乘方,底数__________,指数__________.
学生在探索练习的指引下,自主的完成有关的练习,并在练习中发现幂的乘方的法则,从猜测到探索到理解法则的实际意义从而从本质上认识、学习幂的乘方的来历。教师应当鼓励学生自己发现幂的乘方的性质特点(如底数、指数发生了怎样的变化)并运用自己的语言进行描述。然后再让学生回顾这一性质的得来过程,进一步体会幂的意义。
巩固练习:
1、 1、计算下列各题:
(1)(103)3 (2)[(234 )](3)[(-6)3]4(4)(x2)5 (5)-(a2)7 3
(6)-(as)3(7)(x3)4·x2 (8)2(x2)n-(xn)2 (9)[(x2)3]7
学生在做练习时,不要鼓励他们直接套用公式,而应让学生说明每一步的运算理由,进一步体会乘方的意义与幂的意义。
2、 判断题,错误的予以改正(通过练习巩固刚学习的新知识,加深知识的应用)。
(1)a5+a5=2a10 ( )
(2)(s3)3=x6 ( )
(3)(-3)2·(-3)4=(-3)6=-36 ( )
(4)x3+y3=(x+y)3 ( )
(5)[(m-n)3]4-[(m-n)2]6=0 ( )
学生通过练习巩固刚刚学习的新知识。在此基础上加深知识的应用.
二、 提高练习:
1、 1、计算 5(P3)4·(-P2)3+2[(-P)2]4·(-P5)2
[(-1)m]2n+1m-1+02002―(―1)1990
2、 若(x2)n=x8,则m=_____________.
3、 、若[(x3)m]2=x12,则m=_____________。
4、 若xm·x2m=2,求x9m的值。
5、 若a2n=3,求(a3n)4的值。
6、已知am=2,an=3,求a2m+3n的值.
小 结:会进行幂的乘方的运算。
作 业:课本P16习题1.7:1、2、3。
教学后记:
课题:1.4 积的乘方
教学目的:1、经历探索积的乘方的运算的性质的过程,进一步体会幂的意义,发展推理能力
和有条理的表达能力。
2、了解积的乘方的运算性质,并能解决一些实际问题。
教学重点:积的乘方的运算
教学难点:正确区别幂的乘方与积的乘方的异同。
教学方法:探索、猜想、实践法
教学过程:
一、课前练习:
1、计算下列各式:
(1)x5?x2?_______ (2)x6?x6?_______ (3)x6?x6?_______
(4)?x?x3?x5?_______(5)(?x)?(?x)3?_______(6)3x3?x2?x?x4?_______
(7)(x3)3?_____ (8)?(x2)5?_____ (9)(a2)3?a5?_____
(10)?(m3)3?(m2)4?________ (11)(x2n)3?_____
2、下列各式正确的是( )
538(A)(a)?a (B)a?a?a (C)x?x?x(D)x?x?x 236235224
二、探索练习:
1、 计算:2?5?_________?_________?_______?(___?___)
2、 计算:2?5?_________?_________?_______?(___?___)
3、 计算:2?5?_________?_________?_______?(___?___)
从上面的计算中,你发现了什么规律?_________________________
4、猜一猜填空:(1)(3?5)?3
(3)(ab)?an(__)4(__)121212888333?5(___) (2)(3?5)m?3(__)?5(___) ?b(___) 你能推出它的结果吗?
结论:积的乘方等于把各个因式分别乘方,再把所得的幂相乘。
三、巩固练习:
1、 计算下列各题:(1)(ab)?(__)?(__) (2)(2m)?(__)?(__)?_______
(3)(?6663332pq)2?(__)2?(__)2?(___)2?_____(4)(?x2y)5?(__)5?(__)5?____ 5
2、 计算下列各题:(1)(ab)3?_______ (2)(?xy)5?_______ (3)(ab)?________?_____ (4)(?
3
4
2
323
ab)?_________?______ 2
(5)(2?102)2?_______?_____ (6)(?2?102)3?_______?_____ 3、 计算下列各题:
(1)(?
13222
xyz) (2)(?anbm)3 (3)(4a2b3)n 23
(4)2a2?b4?3(ab2)2 (5)(2a2b)3?3(a3)2b3 (6)(2x)2?(?3x)2?(?2x)2 (7)9m4(n2)3?(?3m2n3)2 (8)(3a2)3?b4?3(ab2)2?a4 四、提高练习: 1、计算:?2
n
100
?0.5100?(?1)2003?
1n3m?2nm
2、已知2?3,2?4 求2的值 2
55
44
33
3、已知x?5 yn?3 求(x2y)2n的值。 4、已知a?2,b?3,c?5, 试比较a、b、c的大小
4、 太阳可以近似地看做是球体,如果用V、r分别表示球的体积和半径,
43v??r,太阳的半径约为6?105千米,它的体积大约是多少立方米? 那么
3
(保留到整数)
五、小结:本节课学习了积的乘方的性质及应用,要注意它与幂的乘方的区别。 六、作业:第18页习题 1、2、3、4、
课题:1.5同底数幂的除法
教学目标:1、经历探索同底数幂的除法的运算性质的过程,进一步体会幂的意义,发展推理能
力和有条理的表达能力。
2、了解同底数幂的除法的运算性质,并能解决一些实际问题。 教学重点:会进行同底数幂的除法运算。
教学难点:同底数幂的除法法则的总结及运用。 教学方法:尝试练习法,讨论法,归纳法。 活动准备:
1、填空:(1)x?x?
4
2
(2)2a
??
33
?
?2?
(3)??b3c2??
?3?
2
2、计算: (1)2y3?y3?2y2 (2)16x2y2教学过程:
三、 探索练习:
??
3
?????4xy?
3
32
26(1)2?2?4?
2
6
4
??
108
(1)10?10?5?
10
8
5
??
?个10??????????个10
m???????1010?10???10mn
(3)10?10=n?=10?10???10=
1010?10???10???????
?
?个10
m
?-3?(4)?-3???-3?=
-3n
m
n
??个?-3??????????????个?-3?
??????????-3???-3?????-3??=?-3???-3????-3?=
-3?-3???-3???????????
?
?个?-3?
从上面的练习中你发现了什么规律? 猜一猜:am?an?四、 巩固练习:
1、填空: (1)a5?a?(3)y16?2、计算:
=y (4)
11
?a?0,m,n都是正整数,且m>n?
(2)??x????x??
5
2
96
?b5?b2 (5)?x?y???x?y??
(1)?ab??ab (2)?y
4
3m?3
?y
n?1
?1?
(3)??x2???0.25x2
?4?
5
??
2
(4)??5mn????5mn?
6
?
42
? (5)?x?y???y?x???x?y?
8
4
3、用小数或分数表示下列各数:
?355??5??2?3?2?3
(1)?? (2)3 (3)4 (4)?? (5)4.2?10 (6)0.25
?118??6?
五、 提高练习:
1、已知an?8,amn?64,求m的值。
2、若am?3,an?5,求( 1)am?n的值;(2)a3m?2n的值。3、(1)若2=
x
0?3
1
,则x=32
x
(2)若?-2???-2???-2?,则x=
x
3
2x
(3)若0.000 000 3=3×10,则x?小 结:会进行同底数幂的除法运算。
作 业:课本P21习题1.7:1、2、3、4。 教学后记:
4?3?
(4)若???,则x=
9?2?
x
课题:1.6 单项式的乘法
教学目标:1、使学生理解并掌握单项式的乘法法则,能够熟练地进行单项式的乘法计算;
2、注意培养学生归纳、概括能力,以及运算能力.
教学重点和难点:准确、迅速地进行单项式的乘法运算. 课堂教学过程设计
一、从学生原有认知结构提出问题
1.下列单项式各是几次单项式?它们的系数各是什么?
2.下列代数式中,哪些是单项式?哪些不是?
3.利用乘法的交换律、结合律计算6×4×13×25. 4.前面学习了哪三种幂的运算性质?内容是什么? 二、讲授新课
1.引导学生得出单项式的乘法法则
利用乘法交换律、结合律以及前面所学的幂的运算性质,计算下列单项式乘以单项式:
(1) 2x2y·3xy2
=(2×3)(x2·x)(y·y2)
=6x3y3;(利用乘法交换律、结合律将系数与系数,相同字母分别结合,有理
数的乘法、同底数幂的乘法)
(2) 4a2x5·(-3a3bx)
=[4×(-3)](a2·a3)·b·(x5·x)
=-12a5bx6.(b只在一个单项式中出现,这个字母及其指数照抄)
学生练习,教师巡视,然后由学生总结出单项式的乘法法则:
单项式相乘,把它的系数、相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.
2.引导学生剖析法则
(1)法则实际分为三点:①系数相乘——有理数的乘法;②相同字母相乘——同底数幂的乘法;③只在一个单项式中含有的字母,连同它的指数作为积的一个因式,
不能丢掉这个因式.
(2)不论几个单项式相乘,都可以用这个法则. (3)单项式相乘的结果仍是单项式. 三、应用举例 变式练习
例1 计算:
(1)(-5a2b3)(-3a); (2)(2x)3(-5x2y); (4)(-3ab)(-a2c)2·6ab(c2)3.
解:(1)(-5a2b3)(-3a)
=[(-5)(-3)](a2·a)·b3 =15a3b3; (2) (2x)3(-5x2y) =8x3·(-5x2y) =[8×(-5)](x3·x2)·y =-40x5y;
(4) (-3ab)(-a2c)2·6ab(c2)3
=(-3ab)·a4c2·6abc6 =[(-3)×6]a6b2c8 =-18a6b2c8.
第(1)小题由学生口答,教师板演;第(2),(3),(4)小题由学生板演,根据学生板演情况,教师提醒学生注意:先做乘方,再做单项式相乘,中间过程要详细写出,待熟练后才可省略.
课堂练习 1.计算:
(1) 3x5·5x3;(2)4y·(-2xy3);
2.计算:
(1)(3x2y)3·(-4xy2);(2)(-xy2z3)4·(-x2y)3. 3.计算:
(1)(-6an+2)·3anb; (4)6abn·(-5an+1b2).
例2 光的速度每秒约为3×105千米,太阳光射到地球上需要的时间约是5×102秒,地球与太阳的距离约是多少千米?
解:(3×105)×(5×102)=15×107=1.5×108. 答:地球与太阳的距离约是1.5×108千米.
先由学生讨论解题的方法,然后由教师根据学生的回答板书. 课堂练习:一种电子计算机每秒可作108次运算,它工作5×102秒可作多少次运算? 四、小结
1.单项式的乘法法则可分为三点,在解题中要灵活应用. 2.在运算中要注意运算顺序. 教后记:
在教学中,除了在难点与关键处给以适度的启示与点拨之外,尽量引导学生去独立探索和思考.凡学生力所能及之处,教师一概不包办代替,在课堂内最大限度地给学生创造思维自由驰骋的时间和空间.问题由教师提出,而结论则由学生通过一定的智力活动后而获得.
课题:1.6整式的乘法(2)
教学目标:1.经历探索整式的乘法运算法则的过程,会进行简单的整式的乘法运算.。
2.理解整式的乘法运算的算理,体会乘法分配律的作用和转化思想,发展有条理的思
考及语言表达能力。
教学重点:整式的乘法运算。
教学难点:推测整式乘法的运算法则。 教学方法:尝试练习法,讨论法,归纳法。 活动准备:计算:
(1) (1) ?m?m (2) (xy)3?(xy)2 (3) 2(ab-3) (4)-3(ab2c+2bc-c) (5)(―2a3b)?(―6ab6c) (6) (2xy2)?3yx 教学过程:
一、探索练习:
课件展示图画,让学生观察图画用不同的形式表示图画的面积.并做比较.
由此得到单项式与多项式的乘法法则。
第一表示法:x2-
2
2
12
x 4
1x) 4112
故有:x(x-x)= x2-x
44
第二表示法:x(x-
观察式子左右两边的特点,找出单项式与多项式的乘法法则。用乘法分配律来验证。
单项式与多项式相乘:就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项再把所得的积相加。 二、例题讲解: 例2:计算
(1)2ab(5ab2+3a2b) (2)
21(ab2?2ab)?ab 32
三、巩固练习:
1、判断题:
(1) 3a3·5a3=15a3 ( ) (2)6ab?7ab?42ab ( ) (3)3a?(2a?2a)?6a?6a ( ) (4) -x2(2y2-xy)=-2xy2-x3y ( ) 2、计算题:
(1) a(a?2a) (2) y(
4
2
3
8
12
16
22
11
y?y2) (3) 2a(?2ab?ab2) 23
1
3
4
2
(4) -3x(-y-xyz) (5) 3x2(-y-xy2+x2) (6) 2ab(a2b-abc) (7) (a+b2+c3)·(-2a) (8) [-(a2)3+(ab)2+3]·(ab3)
(9) [(?3a2)2?3ab2c]?(2ab2) (10)(? (11) (
1236xy)(x2y?xy2?y) 2325
3234
x?xy?y2)?(?x2y2) 253
四、应用题:
1、有一个长方形,它的长为3acm,宽为(7a+2b)cm,则它的面积为多少? 五、提高题: 1、计算: (1)( x3)2―2x3[x3―x(2x2―1)] (2)xn(2xn+2-3xn-1+1) 2、已知有理数a、b、c满足 |a―b―3|+(b+1)2+|c-1|=0,
求(-3ab)·(a2c-6b2c)的值。 3、已知:2x·(xn+2)=2xn+1-4,求x的值。
4、若a3(3an-2am+4ak)=3a9-2a6+4a4,求-3k2(n3mk+2km2)的值。 小 结:要善于在图形变化中发现规律,能熟练的对整式加减进行运算。 作 业:课本P11习题1.3
教学后记:单项式与多项式相乘,学生对乘法的分配律掌握得不好,出现漏乘,并且出现弄错
符号的现象,有一部分学生乘法,还有对合并同类项和同底数幂相混淆的情况,或把加法看作是同底数幂来进行计算。
课题:1.6 整式的乘法(3)——多项式乘以多项式
教学目标:1.经历探索多项式乘法的法则的过程,理解多项式乘法的法则,并会进行多项式乘
法的运算。
2.进一步体会乘法分配律的作用和转化的思想,发展有条理的思考和语言表达能力。 教学重点:多项式乘法的运算。
教学难点:探索多项式乘法的法则,注意多项式乘法的运算中“漏项”、
“符号”的问题
教学方法:探索法、讨论法,归纳法。 活动准备:预先剪好几张长方形卡片。 教学过程: 一、 课前练习:
1、 计算:(1)(?3xy)?________(2)(?
3
332
xy)?________ 2
(3)(?2?107)4?________ (4)(?x)?(?x)2?_________ (5)(?a2)3?a5?______ (6)(?2a2b)3?(?a5bc)2?______ 2、计算:(1)?2x(2x?3x?1) (2)(?
2
125
x?y?)(?6xy) 2312
二、 探索练习:
如图,计算此长方形的面积有几种方法?如何计算? 小组讨论
你从计算中发现了什么?
多项式与多项式相乘, 三、 巩固练习: 1、计算下列各题:
(1)(x?2)(x?3) (2)(a?4)(a?1) (3)(y?)(y?)
2
(4)(2x?4)(6x?) (5)(m?3n)(m?3n) (6)(x?2)
2
2
1213
34
(7)(x?2y) (8)(?2x?1) (9)(ax?b)(cx?d)
22
(10)(x?2)(x?2x)?(x?2)(x?2x) (11)(?3x?y)(?3x?y)
四、 提高练习: 1、若(x?5)(x?20)?
2
x2?mx?n 则m=_____ , n=________
2、若(x?a)(x?b)?x?kx?ab ,则k的值为( )
(A) a+b (B) -a-b (C)a-b (D)b-a 3、已知(2x?a)(5x?2)?10x2?6x?b 则a=______ b=______ 4、若x2?x?6?(x?2)(x?3)成立,则X为 5、计算: (x?2)2+2(x?2)(x?2)?3(x?2)(x?1) 6、某零件如图示,求图中阴影部分的面积S
7、在x2?px?8与x2?3x?q的积中不含x与x项,求P、q的值 五、 小结:本节课学习了多项式乘法的运算,要特别注意多项式乘法的运算
中不要“漏项”、和“符号”的正确处理。
六、作业:第28页习题 1、2
3
课题:1.7平方差公式(1)
教学目标:1、经历探索平方差公式的过程,进一步发展学生的符号感和推理能力;
2、会推导平方差公式,并能运用公式进行简单的计算; 3、了解平方差公式的几何背景。
教学重点:1、弄清平方差公式的来源及其结构特点,能用自己的语言说明公式及其特点; 2、会用平方差公式进行运算。 教学难点:会用平方差公式进行运算 教学方法:探索讨论、归纳总结。 准备活动:
计算: 1、?x?2y? 2、?2n?5??n?3? 3、?m?4n??m?4n?
2
教学过程: 一、 探索练习: 1、计算下列各式:
(1)?x?2??x?2? (2)?1?3a??1?3a? (3)?x?5y??x?5y? 2、观察以上算式及其运算结果,你发现了什么规律? 3、猜一猜:?a?b??a?b??
二、 巩固练习:
1、下列各式中哪些可以运用平方差公式计算 (1)?a?b??a?c? (2)?x?y???y?x? (3)?ab?3x???3x?ab? (4)??m?n??m?n? 2、判断:
(1)?2a?b??2b?a??4a?b ( ) (2)?
2
22
2
?1??1?1
x?1??x?1??x2?1 ( ) ?2??2?2
2
2
(3)?3x?y???3x?y??9x?y ( )(4)??2x?y???2x?y??4x?y ( ) (5)?a?2??a?3??a?6 ( ) (6)?x?3??y?3??xy?9 ( )
2
3、计算下列各式:
(1)?4a?7b??4a?7b? (2)??2m?n??2m?n? (3)?a?(4)??5?2x??5?2x? (5)2?3a
?1
?3
2
1??11?b??a?b? 2??32?
?
2
??3a
?2
?
(6)?
?1??1?
x?2??x?2????3?x???x?3? ?2??2?
4、填空:
(1)?2x?3y??2x?3y?? (2)?4a?1?
???16a
2
?1
(3)
?
1?1
??ab?ab?3??749?
?
22
?9
(4)2x?三、 提高练习:
???
?
?3y?4x2?9y2
?
1、求?x?y??x?y?x2?y2的值,其中x?5,y?2 2、计算:
(1)?a?b?c??a?b?c?
(2)x?2x?12x?1??x?2??x?2?x?4
4
2
2
2
?
??????
3、若x?y?12,x?y?6,求x,y的值。
小 结:熟记平方差公式,会用平方差公式进行运算。
作 业: 课本P30习题1.11:1。 教学后记:
22
课题:1.7平方差公式(二)
教学目的:进一步使学生理解掌握平方差公式,并通过小结使学生理解公式数学表达
式与文字表达式在应用上的差异.
教学重点和难点:公式的应用及推广 教学过程: 一、复习提问
1.(1)用较简单的代数式表示下图纸片的面积. (2)沿直线裁一刀,将不规则的右图重新拼接成一个矩形,并用代数式表示出你新拼图形的面积.
讲评要点:
沿HD、GD裁开均可,但一定要让学生在裁开之前知道
HD=BC=GD=FE=a-b,
这样裁开后才能重新拼成一个矩形.希望推出公式:
2、(1)叙述平方差公式的数学表达式及文字表达式; (2)试比较公式的两种表达式在应用上的差异.
说明:平方差公式的数学表达式在使用上有三个优点.(1)公式具体,易于理解;(2)公式的特征也表现得突出,易于初学的人“套用”;(3)形式简洁.但数学表达式中的a与b有概括性及抽象性,这样也就造成对具体问题存在一个判定a、b的问题,否则容易对公式产生各种主观上的误解.
依照公式的文字表达式可写出下面两个正确的式子:
经对比,可以让人们体会到公式的文字表达式抽象、准确、概括.因而也就“欠”明确(如结果不知是谁与谁的平方差).故在使用平方差公式时,要全面理解公式的实质,灵活运用公式的两种表达式,比如用文字公式判断一个题目能否使用平方差公式,用数学公式确定公式中的a与b,这样才能使自己的计算即准确又灵活.
3、判断正误:
(1)(4x+3b)(4x-3b)=4x2-3b2; (×) (2)(4x+3b)(4x-3b)=16x2-9; (×) (3)(4x+3b)(4x-3b)=4x2+9b2; (×) (4)(4x+3b)(4x-3b)=4x2-9b2; (×) 二、新课
例1 运用平方差公式计算:(1)102×98; (2)(y+2)(y-2)(y2+4). 2.运用平方差公式计算:
(1)103×97;(2)(x+3)(x-3)(x2+9);(3)59.8×60.2; 3、请每位同学自编两道能运用平方差公式计算的题目. 例2 填空:
(1)a2-4=(a+2)( );(2)25-x2=(5-x)( );(3)m2-n2=( )( ); 思考题:什么样的二项式才能逆用平方差公式写成两数和与这两数的差的积? (某两数平方差的二项式可逆用平方差公式写成两数和与这两数的差的积) 练习:填空:1.x2-25=( )( );2.4m2-49=(2m-7)( );
3.a4-m4=(a2+m2)( )=(a2+m2)( )( );
例3 计算:
(1)(a+b-3)(a+b+3); (2)(m2+n-7)(m2-n-7). 三、小结
1.什么是平方差公式?一般两个二项式相乘的积应是几项式? 2.平方差公式中字母a、b可以是那些形式?
3.怎样判断一个多项式的乘法问题是否可以用平方差公式? 四、布置作业
1.运用平方差公式计算:
(1)(a2+b)(a2-b);(2)(-4m2+5n)(4m2+5n);(3)(x2-y2)(x2+y2);(4)(9a2+7b2)(7b2-9a2). 2.运用平方差公式计算: (1)69×71; (2)53×47; 教后记:
在用几何的方法对平方差公式进行解释的时候,学生难以理解。在用平方差公式进行计算的时候学生对于a,b的找法仍然不熟练,在什么情况下应用这个公式不了解,导致不能用平方差公式进行计算的也用它进行计算。
课题:1.8完全平方公式(1)
教学目标:1、经历探索完全平方公式的过程,进一步发展学生的符号感和推理能力;
2、会推导完全平方公式,并能运用公式进行简单的计算; 3、了解完全平方公式的几何背景。
教学重点:1、弄清完全平方公式的来源及其结构特点,能用自己的语言说明公式及其特点; 2、会用完全平方公式进行运算。 教学难点:会用完全平方公式进行运算 教学方法:探索讨论、归纳总结。 准备活动: 计算: (1)(mn+a)(mn - a) (2)(3a – 2b)(3a+2b) (3)(3a + 2b)(3a+2b) (4)(3a – 2b)(3a - 2b) 四、 探索练习:
一块边长为a米的正方形实验田,因需要将其边长增加b米,形成四块实验田,以种植不同的新品种。(如图)
b
用不同的形式表示实验田的总面积,并进行比较
你发现了什么? a
a b
观察得到的式子,想一想: (1)(a+b)2等于什么?你能不能用多项式乘法法则说明理由呢? (2)(a-b)2等于什么?小颖写出了如下的算式: (a—b)2=[a+(—b)]2。
她是怎么想的?你能继续做下去吗? 由此归纳出完全平方公式:
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a—b)2=a2—2ab+b2
教师在此时应该引导观察完全平方公式的特点,并用自己的言语表达出来。 例:(利用完全平方公式计算)
2
(1)(2x-3)
2
解: (2x-3)
22
=(2x)- 2·(2x)·3 + 3 =4x – 12x +9 五、 巩固练习:
1、下列各式中哪些可以运用完全平方公式计算 (1)?a?b??a?c? (2)?x?y???y?x?
(3)?ab?3x???3x?ab? (4)??m?n??m?n? 2、计算下列各式:
(1)?4a?7b??4a?7b? (2)??2m?n??2m?n? (3)?a?(4)??5?2x??5?2x? (5)2?3a23a2?2 (6)?
?1?31??11?b??a?b? 2??32?
????
?1??1?
x?2??x?2????3?x???x?3? ?2??2?
4、填空:
(1)?2x?3y??2x?3y?? (2)?4a?1?
???16a
2
?8a?1
(3)
?
1?1
??ab?ab?3??749?
?
22
?_________?9
六、 提高练习:
1、求?x?y??x?y???x?y?的值,其中x?5,y?2
2
2、若(x?y)?12,(x?y)?16,求xy的值。
小 结:熟记完全平方公式,会用完全平方公式进行运算。
作 业: 课本P36习题1.13:1、2。
教学后记:学生基本上能套用平方差公式进行运算,但是也有出现以下错误:
(1)(a+b)2=a2+b2 (2)(3+a)(2-a)=6-a2
对公式的真正理解有待加强。
22
课题:1.8完全平方公式(2) 教学目标:
1、 经历探索完全平方公式的过程,进一步发展符号感和推理能力。 2、 会运用完全平方公式进行一些数的简便运算。
3、 综合运用平方差和完全平方公式进行整式的简便运算。
教学重点:运用完全平方公式进行一些数的简便运算。及综合运用平方差和完全平方公式进
行整式的简便运算。
教学难点:灵活运用平方差和完全平方公式进行整式的简便运算。 教学方法:尝试归纳法 教学过程:
(一) 课前复习:
1、 算下列各题:
222
1、(x?y) 2、(3x?2y) 3、(a?b) 4、(?2t?1)
12
2
5、(?3ab?
12231
c) 6、(x?y)2 7、(x?1)2 3322
2、 通过教科书中一个有趣的分糖果场景,使学生进一步巩固
(a?b)2?a2?2ab?b2,同时帮助学生进一步理解(a?b)2与a2?b2的关系。
(二)提出问题,引入新课:
若没有计算器的情况下,你能很快算出9982的结果吗? (三)新课:
1、例:利用完全平方公式计算:(1)1022 (2)1972
先分析,再课件演示解答过程 2、练习:利用完全平方公式计算:(1)982 (2)2032
3、例:计算:(1)(x?3)?x (2)y?(x?y) 方法一:按运算顺序先用完全平方公式展开,再合并同类项; 方法二:先利用平方差公式,再合并同类项。 注意:(2)中按完全平方公式展开后,必须加上括号 4、练习:计算:
(1)(a?3)(a?3)?(a?1)(a?4) (2)(xy?1)?(xy?1) (3)(2a?3)?3(2a?1)(a?4)
5、例:计算:(1)(a?b?3)(a?b?3)(2)(x?y?2)(x?y?2)
2
2
2
2
2
2
2
练习:(a?b?3)(a?b?3)
6、补例:若x2?4x?k?(x?2)2 ,则 若x?2x?k是完全平方式,则k =
(四)小结:利用完全平方公式可以进行一些简便的计算,并体会公式中
的字母既可以表示单项式,也可以表示多项式。
(五)作业:第38页习题1、2、3
教后记:简便计算完成得较好,但形如(x?y?2)(x?y?2)的计算多数
同学没有掌握,不会分组拆项。
2
课题:1.9整式的除法
教学目标:1、经历探索整式除法运算法则的过程,会进行简单的整式除法运算; 2、理解整式除法运算的算理,发展有条理的思考及表达能力。
教学重点:可以通过单项式与单项式的乘法来理解单项式的除法,要确实弄清单项式除法的含
义,会进行单项式除法运算。
教学难点:确实弄清单项式除法的含义,会进行单项式除法运算。 教学方法:探索讨论、归纳总结。 教学工具:课件,投影仪。 准备活动: 填空:1、x4?x?
2、an?an?1?
3、x6?
?x3
教学过程: 一、 探索练习,计算下列各题,并说明你的理由。
(1)x5y?x2 (2)8m2n2?2m2n (3)a4b2c?3a2b
提醒:可以用类似于分数约分的方法来计算。
讨论:通过上面的计算,该如何进行单项式除以单项式的运算?
★ 结论:单项式相除,把系数、同底数幂分别相除后,作为商的因式;对于只在被除式里含
有的字母,则连同它的指数一起作为商的一个因式。 二、 例题讲解: 1、计算(1)??
??
????????
?323?3
xy??3x2y2 (2)10a4b3c2?5a2bc (3)?2a?b???2a?b? ?5?
??????
做巩固练习1。
2、月球距离地球大约3.84×105千米,一架飞机的速度约为8×102千米/时,如果乘坐此飞机飞行这么远的距离,大约需要多少时间? 做巩固练习2。 三、 巩固练习: 1、计算:
(1)?12xyz??4xyz (2)?(3) 2mn?1
3
42
??
164
abc?2a3c 4
1352n?1
???a?b?3 6a?b? (4)?8m
3
?
22
?
2、计算:(1)?3a??b2?8a3b (2)8abc?2ab???
3
43
23
?????
232?
abc? 3??
小 结:弄清单项式除法的含义,会进行单项式除法运算。
作 业: 课本P41习题1.15:1、2、4。 教学后记:
课题:1.9 多项式除以单项式
教学目的:使学生熟练地掌握多项式除以单项式的法则,并能准确地进行运算. 教学重点:多项式除以单项式的法则是本节的重点. 教学过程“ 一、复习提问
1、计算并回答问题:
(3)以上的计算是什么运算?能否叙述这种运算的法则? 2.计算并回答问题:
以上的计算是什么运算?能否叙述这种运算的法则?
3.请同学利用2、3、6其间的数量关系,写出仅含以上三个数的等式.
说明:希望学生能写出 2×3=6,(2的3倍是6) 3×2=6,(3的2倍是6) 6÷2=3,(6是2的3倍) 6÷3=2.(6是3的2倍)
然后向大家指明,以上四个式子所表示的三个数间的关系是相同的,只是表示的角度不同,让学生理解被除式、除式与商式间的关系. 二、新课
1.新课引入.
对照整式乘法的学习顺序,下面我们应该研究整式除法的什么内容?在学生思考的基础上,点明本节的主题,并板书标题. 2.法则的推导.
引例:(8x3-12x2+4x)÷4x=(?)
分析:
利用除法是乘法的逆运算的规定,我们可将上式化为 4x · ( ? ) =8x3-12x2+4x.
原乘法运算: 乘式 乘式 积 (现除法运算):(除式) (待求的商式) (被除式)
然后充分利用单项式乘多项式的运算法则,引导学生对“待求的商式”做大胆的猜测:大体上可以从结构(应是单项式还是多项式)、项数、各项的符号能否确定、各具体的项能否“猜”出几方面去思考.根据课上学生领悟的情况,考虑是否由学生完成引例的解答.
解:(8x3-12x2+4x)÷4x
=8x3÷4x-12x2÷4x+4x÷4x
=2x2-3x+4x.
思考题:(8x3-12x2+4x)÷(-4x)=?
以上的思想,可以概括为“法则”:
法则的语言表达是
3、巩固法则.
例1 计算:
(l)(28a3-14a2+7a)÷7a; (2)(36x4y3-24x3y2+3x2y2)÷(-6x2y).
解:(l)(28a3-14a2+7a)÷7a
=28a3÷7a-14a2+7a+7a÷7a
=4a2-2a+1;
(2)(36x4y3-24x3y2+3x2y2)÷(-6x2y)
=36x4y3÷(-6x2y)-24x3y2÷(-6x2y)+3x2y2÷(-6x2y)
小结:
(l)当除式的系数为负数时,商式的各项符号与被除多项式各项的符号相反,要特别注意;
(2)多项式除以单项式是利用相应法则,转化为单项式除以单项式而求得结果的.
(3)在学习、巩固新的法则阶段,应尽量要求学生写出表现法则的那一步.
本节是学习多项式与单项式的除法,因此对于单项式除以单项式的计算则可以从简. 练习:1.计算:
(1)(6xy+5x)÷x; (2)(15x2y-10xy2)÷5xy;(3)(8a2b-4ab2)÷4ab;
(4)(4c2d+c3d3)÷(-2c2d).
例2 化简[(2x+y)2-y(y+4x)-8x]÷2x.
解:[(2x+y)2-y(y+4x)-8x]÷2x=(4x2+4xy+y2-y2-4xy-8x)÷2x=(4x2-8x)÷2x=2x-4.
三、小结
1.多项式除以单项式的法则写成下面的形式是否正确?
(a+b+c)÷m=a÷m+b÷m+c÷m.
答:上面的等式也反映出多项式除以单项式的基本方法(两个要点):
(1)多项式的每一项除以单项式; (2)所得的商相加.
2.多项式除以单项式的商在项数与各项的符号与什么式子有联系?有何联系? 教后记:
学生在学习过程中,容易将符号搞错即不清楚每个项应该取什么符号,而且会漏项,在
这两个方向应该加强训练。学生对于法则的表达能力较差。