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范文一：三角函数考点
考点一:锐角三角函数的概念
1、如图,在下列网格中,小正方形的边长均为 1,点 A 、 B 、 O 都在格点上,则∠AOB 的正弦值是() A . B . C . D .
2、如图,在正方形网格中,∠ AOB 的正切值是 ______.
3、 P 是∠ α的边 OA 上一点,点 P 的坐标为(12, 5) ,则 tan α等于()
A .
5
13
B .
12
13
C .
5
12
D
.
12
5
考点二:特殊角的三角函数值
考点三:化斜三角形为直角三角形
5、如图,四边形 ABCD 的对角线 AC , BD 相交于点 O ,且 BD 平分 AC .若 BD=8,
AC=6,∠BOC=120°,则四边形 ABCD 的面积为 . (结果保留根号)
考点四:解直角三角形的应用
6、 一艘船正以每小时 30海里的速度由西向东追赶鱼群, 在 A 处见小岛 C 在船的北偏东 60°的方 向上, 已知小岛 C 为中心 10海里的范围内有暗礁, 船从 A 向东南 40分钟到 B 处看见小岛 C 在 北偏东 30°的方向,这艘船继续向东追赶鱼群有没有触礁的危险?
7、如图,线段 AB DC
、 分别表示甲、乙两建筑物的高, AB BC DC BC
⊥ , ⊥ ,从 B 点测得 D 点 的仰角 α为 60°从 A 点测得 D 点的仰角 β为 30°,已知甲建筑物高 36
AB =米.
(1)求乙建筑物的高 DC ;
(2)求甲、乙两建筑物之间的距离 BC 。
B
F
D
D
乙 C
B
A
甲
9、如图,小山的顶部是一块平地,在这块平地上有一高压输电 的铁架,小山的斜坡的坡度 i=1:
3 ,斜坡 BD 的长是 50米, 在山坡的坡底 B 处测得铁架顶端 A 的仰角为 45°,在山坡的坡 顶 D 处测得铁架顶端 A 的仰角为 60°. (1)求小山的高度; (2)求铁架的高度. (≈ 1.73,精确到 0.1米)
10、 气象台发布的卫星云图显示, 代号为 W 的台风在某海岛 (设为点 O ) 的南偏东 45 方向的 B 点生成,测得 OB .台风中心从点 B 以 40km/h的速度向正北方向移动,经 5h 后到达 海面上的点 C 处.因受气旋影响,台风中心从点 C 开始以 30km/h的速度向北偏西 60 方向继续 移动.以 O
为原点建立如图所示的直角坐标系.
(1)台风中心生成点 B 的坐标为
,台风中心转折点 C 的坐标为 ; (结 果保留根号) (2) 已知距台风中心 20km 的范围内均会受到台风的侵袭. 如果某城市 (设为点 A ) 位于点 O 的 正北方向且处于台风中心的移动路线上,那么台风从生成到最初 .. 侵袭该城要经过多长时间?
东
11. 油井 A 位于油库 P 南偏东 75°方向,主输油管道 AP=12km,一新建油井 B 位于点 P 的 北偏东 75°方向,且位于点 A 的北偏西 15°方向.
(1)求∠ PBA ;
(2)求 A , B 间的距离;
(3)要在 AP 上选择一个支管道连接点 C ,使从点 B 到点 C 处的支输油管道最短,求这时 BC 的长. (结果保留根号)
12、 (2016? 重庆)如图所示,某办公大楼正前方有一根高度是 15米的旗杆 ED ,从办公楼顶端 A 测得旗杆顶 端 E 的俯角 α是 45°, 旗杆底端 D 到大楼前梯坎底边的距离 DC 是 20米, 梯坎坡长 BC 是 12米, 梯坎坡度 i=1
:,求大楼 AB 的高度(精确到 0.1米,参考数据:≈ 1.41, ≈ 1.73, ≈ 2.45)
4.如图,点 D (0, 3) , O (0, 0) , C (4, 0)在⊙ A 上, BD 是⊙ A 的一条弦,则 sin
∠ OBD=()
A . B . C . D .
25. (2016? 枣庄)如图,在半径为 3的⊙ O 中,直径 AB 与弦 CD 相交于点 E ,连接
AC , BD ,若 AC=2,则 tanD=.
1. (2016? 安顺)如图,在网格中,小正方形的边长均为 1,点 A , B , C 都在格点上,则∠ ABC 的正切值是 ()
A . 2B . C . D .
2. (2016? 乐山)如图,在 Rt △ ABC 中,∠ BAC=90°, AD ⊥ BC 于点 D ,则下列结论不正确的是()
A . B . C . D .
3. (2016? 广东)如图,在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为(4, 3) ,那么
cos α的值是()
A . B . C . D .
24. (2016? 自贡)如图,在边长相同的小正方形网格中,点 A 、 B 、 C 、 D 都在这些小正方形的顶点上, AB , CD 相交于点 P ,则 的值 =, tan ∠ APD 的值 =.
范文二：三角函数考点练习
1、三角函数的图像
题 1、 图像变换 (09全国Ⅱ) 若将函数 ()tan 04y x πωω??
=+
> ??
?
的图像向右平移
6
π个 单位长度后,与函数 tan 6y x πω??
=+
??
?
的图像重合,则 ω的最小值为 A .
16 B. 14 C. 13 D. 12
2、三角公式
题 2、诱导公式 (09四川)已知函数 ) )(2
sin() (R x x x f ∈-
=π
,下面结论错误 ..
的是 A. 函数 ) (x f 的最小正周期为 2πB. 函数 ) (x f 在区间[0,
2
π
]上是增函数 C. 函数 ) (x f 的图象关于直线 x =0对称 D. 函数 ) (x f 是奇函数
题 3、同角关系(09辽宁)已知 tan 2θ=,则 22sin sin cos 2cos θθθθ+-= A 43-
B 54
C 34-
D 4
5
题 4、两角和与差的三角函数(09山东)设函数 f(x)=cos(2x+3
π)+sin2
x. (1)求函数 f(x)的最大值和最小正周期 . (2) 设 A,B,C 为 ?ABC 的三个内角, 若 cosB=31, 1() 24
c f =-, 且 C 为锐角, 求 sinA.
题 5、二倍角公式(09天津)在 ABC ?中, A C AC BC sin 2sin , 3, 5=== (1)求 AB 的值, (2)求 ) 4
2sin(π
-A 的值。
题 6、辅助角公式(09重庆)设函数 2() sin(
) 2cos 1468
x x
f x ππ
π=--+。 (1) 求 () f x 的最小正周期; (2) 若函数 () y g x =与 () y f x =的图像关于直线 1x =对 称,求当 4
[0,]3
x ∈时 () y g x =的最大值。
题 7、正余弦定理(09北京)在 ABC ?中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c , 3
π
=
B ,
5
4
cos =
A , =b , (1)求 C sin 的值, (2)求 ABC ?的面积。
3、三角函数性质
题 8、单调性(09
安徽)已知函数 () cos (0) f x x x ωωω+>, () y f x =的图像与 直线 2y =的两个相邻交点的距离等于 π,则 () f x 的单调递增区间是 (A ) 5[, ],1212k k k Z ππππ-+∈(B ) 511[, ],1212k k k Z ππππ++∈(C ) [, ],36k k k Z ππππ-+∈(D ) 2[, ],63
k k k Z ππππ++∈题 9、对称性 (09全国Ⅰ)如果函数 ()cos 2y x φ=3+的图像关于点 43π??
???
, 0中心对 称,那么 ||?的最小值为
A
6πB 4π C 3π D 2
π
题 10、周期性 (09
江西)函数 () (1)cos f x x x =的最小正周期为 A . 2πB .
32πC . πD . 2
π
题 12、奇偶性(08山东) f (x ) =) 0, 0)(cos() sin(3><+-+ω??ω?ωπx x="" 为偶="" 函数,且函数="" )="" (x="" f="" y="图象的两相邻对称轴间的距离为" .="" 2π(1)求="" f="">
π
)的值; (Ⅱ)将 函数 ) (x f y =的图象向右平移
6
π
个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到原来 的 4倍,纵坐标不变,得到函数 y =g (x ) 的图象,求 g (x ) 的单调递减区间。
题 13、 有界性 (08北京)
已知函数 2π() sin sin 2f x x x x ωωω??
=++ ??
?
(0ω>) 的最小正周期为 π.
(1)求 ω的值; (2)求函数 () f x 在区间 2π03
??????
上的取值范围。
范文三：考点7 三角函数
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考点 7 三角函数
1. (2010·陕西高考理科·T 3)对于函数 () 2sin cos f x x x =,下列选项中正确的是( ) (A ) () f x 在(
4π, 2
π
)上是递增的 (B ) () f x 的图象关于原点对称 (C ) () f x 的最小正周期为 2π (D ) () f x 的最大值为 2 【命题立意】 本题考查倍角公式、三角函数的基本性质,属保分题 . 【思路点拨】 () 2sin cos f x x x =?() sin 2f x x =?() f x 是奇函数 ?B.
【规范解答】 选 B. 因为 () 2sin cos f x x x =sin 2x =,所以 () f x 是奇函数,因而 () f x 的图象关于原点 对称,故选 B.
2. (2010·陕西高考文科·T 3)函数 () 2sin cos f x x x =是( ) (A)最小正周期为 2π的奇函数 (B )最小正周期为 2π的偶函数 (C)最 小正周期为 π的奇函数
(D )最小正周期为 π的偶函数
【命题立意】 本题考查倍角公式、三角函数的基本性质,属保分题 .
【思路点拨】 () 2sin cos f x x x =?() sin 2f x x =?() f x 是奇函数 ? C正确 .
【规范解答】 选 C. 因为 () 2sin cos f x x x =sin 2x =,所以 () f x 是最 小正周期为 π的奇函数 . 3. (2010·辽宁高考理科·T 5)设 ω>0,函数 y=sin(ωx+3π)+2的图象向右平移 3
4π个单位后与原图象重 合,则 ω的最小值是( ) (A )
23 (B)43 (C)3
2
(D)3 【命题立意】 本题考查了三角函数的周期性 . 【思路点拨】 由周期求 ω.
【规范解答】 选 C. 由题意可得最小正周期 T =
43π, 所以 223
T
23
ππω===,故选 C.
4. (2010·北京高考文科·T 15)已知函数 2
() 2cos 2sin f x x x =+.
(Ⅰ)求 () 3
f π
的值 .
(Ⅱ)求 () f x 的最大值和最小值 .
【命题立意】 本题考查诱导公式、三角变换中的二倍角公式及三角函数的最值的求法 . 【思路点拨】 直接把
3π代入求 () 3
f π
的值 . 求 () f x 的最值时,通过观察 () f x 解析式的形式,可以统一三 角函数名,转化为求解二次函数的最值问题 . 【规范解答】 (Ⅰ) 22() 2cos
sin 3
33f π
ππ=+=31
144
-+=-. (Ⅱ) 2
2
() 2(2cos1) (1cos ) f x x x =-+-
2
3cos 1, x x R =-∈x R , ∈()
因为 []cos 1,1x ∈-, 所以,当 cos 1x =±时 , () f x 取最大值 2;当 cos 0x =时, () f x 取最小值 -1. 【方法技巧】 三角函数式化简的常用技巧有:统一角、统一三角函数名,降幂扩角,升幂缩角等 . 5. (2010 ·海南高考·理科 T4) 如图, 质点 P 在半径为 2的圆周上逆时针运动,
其初始位置为 0P ,
角速度为 1,那么点 P 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函数图象大致为
( )
【命题立意】 本小题主要考查了三角函数的定义 . 【思路点拨】 把距离转化成角度与时间的函数关系 . 【规范解答】 选 C. 设初始位置点 p 的弧度为 α=4
π
-
,则时间 t 时为 4
t π
θ=-
,由三角函数的相关定义
可知, p 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函数关系式为 2sin() 4
d t π
=-
,故选 C.
6. (2010·安徽高考理科·T 9)动点 (), A x y 在圆 2
2
1x y +=上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转, 12
秒旋转一周 . 已知时间 0t =时, 点 A
的坐标是 1(2, 则当 012t ≤≤时, 动点 A 的纵坐标 y 关于 t
(单
位:秒)的函数的单调递增区间是( ) (A)[]
0,1
(B)[]1, 7 (C)[]7,12 (D)[]0,1和 []
7,12
【命题立意】 本题主要考查考生的运算求解能力.
【思路点拨】 由动点 (), A x y 在圆 2
2
1x y +=上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,可知与三角函数的定
义类似, 由 12秒旋转一周能求出每秒钟所转的弧度, 很容易得出, 当 t 在 [0,12]变化时, 点 A 的纵坐标 y 关于 t (单位:秒)的函数的单调性的变化,从而确定单调递增区间 . 【规范解答】 选 D. 设射线 OA 与 x 轴正方向夹角为 α,则 0t =时 3
π
α=
,每秒钟旋转
6
π
,在 []0,1t ∈时, [, ]32
ππα∈,在 []7,12t ∈时, 37[, ]2
3
ππ
α∈,动点 A 的纵坐标 y 关于 t 都是单调递增的,故 D 正确 .
7. (2010·天津高考文科·T 8)如
为了
得到这个函数的图象,只要将 y sin x x R =∈() 的图象上所有的点( ) (A)向左平移 3π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 1
2倍, 纵坐标不变 (B)向左平移 3
π
个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2倍,纵坐标 不变
(C)向左平移
6π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 1
2倍,纵坐标不变 (D)向左平移 6
π
个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2倍,纵坐标不变
【命题立意】 考查正弦函数的图象及变换 . 【思路点拨】 由图象几个特殊点求出函数解析式 .
【规范解答】 选 A. 由图象可得:
sin(2) 3
y x π
∴=+,故选 A.
【方法技巧】 由 y=Asin()(0, 0) y x A ω?ω=+>>的一段图象,求这个函数的解析式,结果往往不统一,要
具体问题具体分析, 由周期求 ω; 确定 ?时, 若能求出距离原点最近的右侧图象上升 (或下降) 的零点 0x
,
令 00x ω?+=(或 0x ω?π+=) ,即可求出 ?,也可用最高点或最低点的坐标来求 . 8. (2010·浙江高考理科·T 4)设 02
x π
,则“ 2
sin 1x x <”是“ sin="" 1x="" x=""><”的(>
(A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件 (C )充分必要条件 (D )既不充分也不必要条件
【命题立意】 本题考查三角函数、不等式、简易逻辑等知识,考查推理运算能力 .
【思路点拨】 解决本题一种方法是利用不等式的性质进行推导;另一种方法是借助函数图象比较大小 . 【规范解答】 选 B. 方法一: 02
x π
, 0sin 1x ∴<, 2sin="" sin="" x="" x="">< ,="" 2sin="" sin="" x="" x="" x="" x=""><>
2sin 1x x
”的必要而不充 分条件 .
方法二:由 2sin 1x x
得 sin x <,由 sin="" 1x="" x=""><得>
sin x x
,考查函数 1sin , , y x y y x ===,
作出三个函数的图象:
由图象可知,
22sin 1(0,)
x x x x <>
1sin 1(0,)
x x x x <>
12
x x <>
因此“ 2
sin 1x x
”是“ sin 1x x <”的必要而不充分条件 .="" 9.="" (2010·福建高考文科·t="" 10)将函数="" ()="" sin()="" f="" x="" x="+ω?的图象向左平移">
π
个单位 . 若所得图象 与原图象重合,则 ω的值不可能等于( )
(A)4 (B)6 (C)8 (D)12 【命题立意】 本题考查三角函数的图象平移,解三角方程 .
【思路点拨】 先进行平移后,再比较与原函数的差异,解三角方程,或采用代入法求解 . 【规范解答】 选 B. 把函数图象向左平移
2π个单位 , 得 y sin x sin x 22?π?π????
=ω++?=ω+ω+? ? ? ???????
,
又该函数图象与原函数图象重合,所以 ()sin x sin x 2π??
ω+
ω+?=ω+? ???
恒成立, 2k 2
π
∴ω+?=π+?, ()4k k Z ∴ω=∈,所以 k 不可能为 6. 【方法技巧】 注意应把 ()sin x ω+?变为 sin x 2?π???ω+
+? ? ?????
,而非 sin x 2π??ω++? ???. 图象的变换问题, 依据三角函数的图象的变换口诀 “左加右减, 上加下减” 即可解决 . 一般地, 函数 sin() y x ω?=+的图象, 可以看作把曲线 sin y x ω=上所有点向左 (当 ?>0时 ) 或向右 (当 ?<0时 )="" 平行移动="">
ω
个单位长度而得 到 .
10. (2010·浙江高考文科·T 12)函数 2
() sin (2) 4
f x x π
=-
的最小正周期是 【命题立意】 本题主要考查了二倍角余弦公式的灵活运用,属容易题 . 【思路点拨】 对解析式进行降幂扩角转化为余弦函数 . 【规范解答】 ()2124cos 21+??? ?
?
--
=πx x f ,可知其最小正周期为 2π. 【答案】
2
π
11. (2010·福建高考理科·T 14)已知函数 ()()3sin x-
06??
=> ??
?
f x πωω和 ()()2cos 21=++g x x ?的 图象的对称轴完全相同 . 若 0,
2??
∈????
x π,则 ()f x 的取值范围是 . 【命题立意】 本题主要考查利用三角函数的对称性求三角函数的解析式, 并求三角函数在给定区间的值域 . 【思路点拨】 由图象的对称轴完全相同,可得 ()f x 与 ()g x 的周期相同,求出 ω的值,进而求解值域 . 【规范解答】 函数 ()()3sin x-
06??
=> ??
?
f x πωω和 ()()2cos 21=++g x x ?的图象的对称轴完全相同, 则 ()f x 与 ()g x 的周期相同, 2∴=ω, ()3sin 2x-
6??
= ??
?f x π,又 0, 2π??∈????
x , 52, 666πππ??
∴-∈-????x , ()3,3. 2??
∴∈-????f x
【答案】 132??-????
,
【方法技巧】 另解:因为 k x A y ++=) sin(?ω和 k x A y ++=) cos(?ω在对称轴位置取得最值 . 设 x=x0
为函数 ()f x 与 ()g x 的对称轴,则
又 x 0, 2π??∈????, 52x , 666πππ??∴-∈-????, ()3f x ,3. 2??
∴∈-???? 12. (2010·江苏高考·T 10)设定义在区间 ??
?
?
?
20π,
上的函数 y=6cos x的图象与 y=5tan x的图象交于点 P , 过点 P 作 x 轴的垂线, 垂足为 P 1, 直线 PP 1与函数 y=sin x 的图象交于点 P 2, 则线段 P 1P 2的长为 ________. 【命题立意】 本题考查三角函数的图象、数形结合的思想 .
【思路点拨】 图象相交,即三角函数值相等,建立关系式,求出 2
sin 3
x =,结合图象,采用数形结合的思 想分析 12PP 的值即可 . 【规范解答】
【答案】
23
13. (2010·北京高考理科·T 15)已知函数 () f x 22cos 2sin 4cos x x x =+-. (Ⅰ)求 () 3
f π
的值 .
(Ⅱ)求 () f x 的最大值和最小值 .
【命题立意】 本题考查了诱导公式、三角变换中的二倍角公式,及二次函数在给定区间的最值问题 . 【思路点拨】 直接把
3π代入求 () 3
f π
的值 . 求 () f x 的最值时,通过观察 () f x 解析式的形式,可以统一三 角函数名,转化为求解二次函数的最值问题 . 【规范解答】 (I ) 2239
() 2cos
sin 4cos 123
33344f π
πππ=+-=-+-=-.
(II ) 2
2
() 2(2cos1) (1cos ) 4cos f x x x x =-+-- =23cos 4cos 1x x -- =227
3(cos) 33
x --, x R ∈, 因为 cos x ∈[1,1]-,
所以,当 cos 1x =-时, () f x 取最大值 6;当 2cos 3
x =
时, () f x 取最小值 73-.
【方法技巧】 三角函数式化简的常用技巧有:统一角、统一三角函数名,降幂升角,升幂降角等 . 14. (2010·湖南高考文科·T 16)已知函数 2
() sin 22sin f x x x =-, (1)求函数 () f x 的最小正周期 .
(2)求函数 () f x 的最大值及 () f x 取最大值时 x 的集合 . 【命题立意】 考查三角函数的基本公式和基本性质 .
【思路点拨】 首先化成 f(x)=Asin(wx+φ)+d的形式,再考查三角函数的基本性质 . 【规范解答】 (1) ) 2cos 1(2sin ) (x x x f --= 1) 4
2sin(2-+
=
π
x ,
∴函数 ) (x f 的最小正周期为 ππ
==
22T .
(2) 由 (1)知,当 2
24
2π
ππ
+
=+
k x ,即 时 ) (8
Z k k x ∈+
=π
π, ) (x f
1. 因此函数
) (x f 取最大值时 x 的集合为
.
【方法技巧】 1. 一般首先利用三组公式把函数化成 f(x)=Asin(wx+φ)+d的形式 . 一组是立方差公式、立方 和公式、平方差公式、完全平方公式 . 二组是诱导公式和基本关系式 . 三组是倍角公式、半角公式和两角和 公式的逆运算 .
2. 考查基本性质,包括单调性、周期性、对称性和函数值域等 .
15. (2010·湖南高考理科·T 16
)已知函数 2
() 22sin f x x x =-. (1)求函数 () f x 的最大值 . (2)求函数 () f x 的零点的集合 .
【命题立意】 考查三角函数的基本公式和基本性质 .
【思路点拨】 首先化成 f(x)=Asin(wx+φ)+d的形式,再考查三角函数的基本性质 . 【规范解答】 (1)因为 f(x)=) 2cos 1(2sin 3x x -- =2sin(2x+1) 6
-π
,
所以,当 2x+
6
π
=2k2ππ+, 即 x=k. 1) () (6取得最大值 时,函数 x f Z k ∈+ππ
(2)方法 1:由 (1)及 f(x)=0,得 sin(2x+2
1
) 6=π,
所以 2x+
故函数 f(x)的零点的集合为 {x|x=kπ}, 3
Z k k x ∈+=π
ππ,或 .
方法 2:由 f(x)=0得 2
由 sinx=0可知 x=k. 3
tan ; π
ππ+
==
k x x 可知 由 故函数 f(x)的零点的集合为 {x|x=kπ}, 3
Z k k x ∈+
=π
ππ,或 .
【方法技巧】 1. 一般首先利用三组公式把函数化成 f(x)=Asin(wx+φ)+d的形式 . 一组是立方差公式、立方 和公式、平方差公式、完全平方公式 . 二组是诱导公式和基本关系式 . 三组是倍角公式、半角公式和两角和 公式的逆运算 .
2. 考查基本性质,包括单调性、周期性、对称性和函数值域等 . 16. (2010·广东高考文科·T 16)设函数 ()3sin 6f x x πω?
?
=+ ??
?
, 0ω>, (), x ∈-∞+∞, 且以
2
π
为最小正周期. (1)求 ()0f .
(2)求 ()f x 的解析式. (3)已知 9
4125f απ??+=
??
?,求 sin α的值. 【命题立意】 本题考查三角函数的性质以及三角变换 .
【思路点拨】 (1)直接将 x=0代入函数解析式求解 . (2)由已知条件求出 ω,从而求出 () f x 的解析式. (3)由 9(
) 4
12
5f α
π
+
=
?34
cos sin . 55
α=?=± 【规范解答】 (1) (0)3sin(0) 6
f π
ω=?+=3
3sin
. 62
π
= (2) 22
T π
π
ω
==
, ∴4ω=,所以 () f x 的解析式为 () 3sin(4). 6
f x x π
=+
(3)由 9(
) 4
125f α
π
+
= ,得 93sin[4() ]41265αππ++=,即 3
sin() 25πα+=
,
∴3
cos 5
α=
, ∴
【方法技巧】 三角函数的性质问题,往往都要先化成 () sin() f x A x ω?=+的形式再求解 .
17. (2010·广东高考理科·T 16) 已知函数 () sin(3)(0, (, ),0f x A x A x ??π=+>∈-∞+∞<) 在="">
x π
=时取得最大值 4. (1)求 f(x)的最小正周期 . (2)求 f(x)的解析式 . (3)若 f(
23α+12π)=12
5
, 求 sin α. 【命题立意】 本题考查三角函数的性质以及三角变换 . 【思路点拨】 (2)由已知条件 ?A , ??() f x .
(3)由 212() 3
12
5f π
α+
=
?231
cos 2sin 55
αα=?
=sin α?= 【规范解答】 (1)由 2T π
ω=
,
得 2. 3
T π
=
(2)由 () f x 可取 得最大值 4,得 4. A =又 () f x 在 12
x π
=处取得最大值,所以 3212
2
k π
π
?π?
+=+
,
得 24
k π
?π=+
,因为 0?π<,所以>
π
?=
,所以 () 4sin(3) 4
f x x π
=+
.
(3) 2212() 4sin[3() ]31231245f π
ππαα+
=++=,即 3sin(2) 25πα+=, 3
cos 25
α=,所以 2312sin 5α-=
, 21
sin 5
α=
,所以 sin 5α=±
【方法技巧】 (1)三角函数的性质问题,往往都要先化成 () sin() f x A x ω?=+的形式再求解, (2)在求 ?的过程中,要考虑 ?的规定范围 .
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范文四：三角函数考点分析
三角函数图像与性质
知识要点
1
2、 sin()(0, 0) y A x A ω?ω=+>>的图像和性质
(1)定义域 (2)值域 (3)周期性 (4)奇偶性 (5)单调性
典型考点
例 1已知函数 () 2sin(2) 4
f x x π
=-
(1)求函数的定义域; (2) 求函数的值域; (3) 求函数的周期; (4)求函数的最值及相应的 x 值集合; (5)求函数的单调区间; (6)若 3[0,
]4
x π
∈,求 () f x 的取值范围; (7)求函数 () f x 的对称轴与对称中心;
(8)若 () f x ?+为奇函数, [0,2) ?π∈,求 ?;若 () f x ?+为偶函数, [0,2) ?π∈,求 ?。
例 2. (1)将函数 1sin(2) 24y x π=
-的图象向 ______平移 _______个单位得到函数 1
sin 22
y x =的 图象 (只要求写出一个值 ) (2)要得到 1cos(2) 24y x π=
-的图象 , 可以把函数 sin()cos() 66
y x x ππ
=--的图象向 ______平移 _______
个单位 (只要求写出一个值 ).
巩固练习: 一、选择题
1. 函数 sin(2)(0) y x ??π=+≤≤是 R 上的偶函数,则 ?的值是( ) A. 0 B.
4π C. 2
π
D. π2. 将函数 x y 4sin =的图象向左平移 12
π
个单位,得到 ) 4sin(?+=x y 的图象,则 ?等于 A . 12
π-
B . 3
π
-
C .
3π
D .
12
π 3. 在函数 x y sin =、 x y sin =、 2sin(2) 3y x π=+、 2cos(2) 3
y x π
=+中,最小正周期为 π的函数的个 数为( ) .
A . 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4. x x x f 3
2
cos 32sin
) (+=的图象中相邻的两条对称轴间距离为 ( ) A . 3π B . π34 C . π23 D . π67
5. 函数 ) 2
5
2sin(π+=x y 的一条对称轴方程( )
A . 2π-=x B . 4π-=x C . 8π=x D . =x π4
5
6. 使 x y ωsin =(ω>0)在区间 [0, 1]至少出现 2次最大值,则 ω的最小值为( )
A . π25
B . π4
5
C . π
D . π2
3
7. 将函数 sin()() 6y x x R π=+∈的图象上所有的点向左平行移动 4
π
个单位长度,再把图象上各点的横坐
标扩大到原来的 2倍(纵坐标不变) ,则所得到的图象的解析式为
A . 5sin(2)() 12y x x R π=+∈ B . 5sin()() 212x y x R π
=+∈ C . sin()() 212x y x R π=-∈ D . 5sin()() 224
x y x R π
=+∈
二、填空题
1. 函数 x
x
y cos 2cos 2-+=
的最大值为 ________.
2. 若函数 () 2sin(2) 3
f x kx π
=+的最小正周期 T 满足 12T <, 则自然数="" k="" 的值为="">
3. 若 ) 10(sin 2) (<=??x x="" f="" 在区间="">
]3π
上的最大值是 2,则 ?=________.
4. 设 (sincos ) sin cos f x x x x +=,则 (cos) 6
f π
=
5.已知函数 1()
(0) () 2
2cos (0)
x x f x x x π?≤?=??<>
,若 []0() 2f f x =,则 0x
6. 函数 ]), 0[)(26
sin(
2ππ
∈-=x x y 为增函数的区间
三、解答题 1. . 已知函数 1cos sin 2
3cos 212++=x x x y , R x ∈. (1) 当函数
y 取得最大值时,求自变量 x 的集合; (2)该函数的图象可由 ) (sin R x x y ∈=经过怎样
的平移和伸缩变换得到?
2. 向量 a = (cosx + sinx
, b = (cosx – sinx, f (x) = a·b .
(Ⅰ)求函数 f (x)的单调区间;
(Ⅱ)若 2x 2 – πx ≤ 0,求函数 f (x)的值域.
3、已知函数 2() [2sin() sin ]cos, 3
f x x x x x x R π
=++∈,求函数 () f x 的最小正周期。
4、已知函数 . cos 2) 6
2sin() 62sin() (2x x x x f +-++
=π
π
. (I )求 ) (x f 的最小正周期及最大值; (II )求 ) (x f 的对称轴 (Ⅲ ) 求 f (x)的单调递增区间 .
5、已知函数 f(x)=4sin2
(
4
π
(42x ππ≤≤) (1)求 ) (x f 的最大值及最小值;
(2)若不等式 |f(x)-m|<2恒成立, 求实数="" m="">
6、已知 A 为三角形的內角,求 222cos cos () 3
y A A π
=++的取值范围.
7、已知函数 2() ) 2sin ()(). 6
12
f x x x x R π
π
=-
+-
∈(I )求函数 () f x 的最小正周期;
(II )求使函数 () f x 取得最大值的 x 集合。
范文五：三角函数考点分析
三角函数考点分析与试题预测
文/刘桂华
考点1：三角函数式的化简与求值
命题走向 三角函数式的化简与求值问题只要集中在：已知一个三角函数式的值，求另一个三角函数式的值. 解答此类问题的思路主要有两种：一是由已知条件求出相关的角，再代式求值；二是解题过程中不求出角，而是寻求已知与结论之间的角的联系，借助三角公式求解.
重点关注 诱导公式中角的灵活变换.
试题预测 已知a
, β∈(
π
2
, π) ，且sin
α
2
+cos
α
2
=
2
sin(α-β) =-
35
，求cos β的值.
参考答案
cos α=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β) +sin αsin(α-β) =-考点2：三角函数的图像与性质
310
.
命题走向 高考主要考查根据图像写出函数的解析式，或者通过对三角函数式的化简，考查三角函数图像的五点作图法和图像变换法，并综合考查三角函数的周期、最值、单调性、奇偶性和对称性等内容.
重点关注 图像与坐标轴的交点坐标以及最值. 试题预测 函数y =sin 2x -
??
π??π?在区间上的简图是 -π???
3?2
x
A.
B.
C.
D.
参考答案 A
考点3：三角函数图像的伸缩与平移变换
命题走向 根据已知正、余弦函数得到要求的函数的解析式. 重点关注 从正、余弦函数得到余、正弦函数的技巧
.
π
试题预测 为了得到函数y =sin(2x +) 的图像，只需将函数y =cos 2x 的图像
6
A. 向左平移
π
6
个长度单位 B.向右平移
π
6
个长度单位
C. 向左平移
π
3
个长度单位 D.向右平移
π
3
个长度单位
参考答案 B
考点4：三角函数求值域
命题走向 结合倍角公式与辅助角公式，利用题中所给自变量的范围求三角函数的值域.
重点关注 辅助角公式与三角函数型函数的值域的求法. 试题预测 已知函数f (x ) =cos(2x -间[-
π
,
π
3
) +2sin(x -
π
4
) sin(x +
π
4
求函数f (x ) 在区) ，
π
122
]上的值域.
参考答案
[-
2
.
考点5：三角形中的三角函数问题
命题走向 由于这类问题在考查解三角形的同时，又考查运用三角公式进行恒等变形的
能力，所以备受命题者的青睐. 解答此类问题主要是充分运用三角形内角和定理、正弦定理与余弦定理并结合三角公式进行三角变换，从而得解. 考生在解题中要注意方程思想的运用.
重点关注 三角形内角和定理以及边化角、角化边的灵活运用.
试题预测 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a cos B =2b cos A .
(1)求证：
a -b c
2
22
=
13
.
(2)若
1+sin 2B cos B -
s in B
2
2
=-3，求最小边的边长.
参考答案 (1)证明过程省略. (2)
最小边的边长为考点6：三角函数与向量的综合问题
10
.
命题走向 高考常在三角函数与向量的交汇处命制试题，通过考查向量的概念与运算，同时也考查了三角恒等变形与求值等问题. 考生在解答这类问题时，一定要熟悉向量的数量积的定义和性质，注意方程思想的运用，还要掌握函数图像平移公式的应用.
重点关注 向量的坐标运算以及向量垂直与平行的坐标判定.
q =(sinA , 1) ，试题预测 设△ABC 的三个角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量p =(a , 2b ) 且p //q .
(1)求角B 的大小.
(2)若△ABC 是锐角三角形，m =(cosA , cos B ), n =(1, sin A -cos A tan B ) ，求m ?n 的取值范围.
参考答案 (1)B =
π6
或B =
5π6
. (2)
32
考点7：三角函数与导数的综合运用
命题走向 近几年高考的命题突出以能力立意，强调对知识的综合性与应用性的考查，因此常在知识的交汇处设计试题.
重点关注 三角函数的求导与求极值.
试题预测
设函数f (x ) =数f '(-1)的取值范围是
A. [3, 6]
B.[3, 4+
C.[4-
, 6] D.[4-4+ 参考答案 A
考点8：三角函数与其他知识的综合运用 命题走向 三角函数作为常见函数应用很广，几乎可以与高中数学里的任何知识联系到一起，而这也正是命题者所期望的. 重点关注 审题清楚，理清题意.
试题预测 设函数f (x ) =4sin(2x +1) -x ，则在下列区间中函数f (x ) 不存在零点的是
A. [-4, -2] B.[-2, 0] C.[0, 2] D.[2, 4] 参考答案 A
考点9：三角函数的应用
命题走向 考生在复习时既要注意在有些实际问题中建立三角函数模型，然后利用三角函数知识来解决问题，也要注意在代数、平面向量、立体几何、解析几何、导数等问题中建立三角函数模型，使问题获得简捷的解法.
重点关注 正、余弦定理与平面几何知识的综合应用. 试题预测 某海轮以30千米/小时的速度航行，在A 点测得海面上油井P 在南偏东60?，向北航行40分钟后到达B 点，测得油井P 在南偏东30?，海轮改为北偏东60?的航向再行驶80分钟到达C 点，求P 、C 之间的距离.
参考答案 P、C 之间的距离是207千米.
考点10：三角函数与新信息题的综合运用 命题走向 高考通过构建新的概念、新的运算等，考查考生的理解能力与三角函数的综合运用能力.
重点关注 对新知识的理解能力.
试题预测 在数学拓展课上，老师规定了一种运算：a *b 则函数f (x ) =sin x *cos x 的值域为 .
22
?a , a ≤b
=?
?b , a >b
θ3
x +
3
cos θ2
x +4x -1，其中θ∈0?
?
2
?
5π?
，则导?6?
. 如1*2=1, 3*2=2，
参考答案 [-1, ]
