1((????)设x?R，则不等式|x-3|,1的解集为 (2，4) (

2((????)设z= ，其中i为虚Shu单位，则z的虚部等于 -3 (

3((????)已知平行直线l :2x+y-1=0，l :2x+y+1=0，Zel ，l 的距离 1212

(

4((????)某次体检，5位同学的Shen高(单位:米)分别为1.72，1.78，1.80，1.69，1.76(则这组数Ju的中位数是 1.76 (米)(

5((????)若函数f(x)=4sinx+acosx的最大值为5，则常数a= ?3 (

x-1 6((???)已知点(3，9)Zai函数f(x)=1+a 的图象上，则f(x)的反函数f (x)= log (x-1)(x,1) ( 2

2

7((????)若x，y满足 ，则x-2y的最大值为 -2 (

8((???)方程3sinx=1+cos2x在区间0，2π上的解为 或 (

n 9((???)在( - ) 的二项Shi中，所有的二项式系数之和为256，则常Shu项等于 112 (

10((????)已知?ABC的三边Chang分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半Jing等于

(

11((????)某食堂规定，每份午餐可Yi在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各Zi所选的两种水果相同的概率为 (

12((????)如图，已知点O(0，0)，A(1，0)，B(0，-1)，P是曲线y= 上一个动点，则 ? 的取值Fan围是 -1， (

13((????)设a,0，b,0(Ruo关于x，y的方程组 无解，则a+b的取Zhi范围是 (2，+?) (

* 14((???)无穷数列{a }由k个不同的数组成，S 为{a }的前n项He，若对任意n?N ，nnn

S ?{2，3}，则k的最大值为 4 ( n

Er、选择题(本大题共有4题，满分20分，Mei题有且只有一个正确答案，选对得5分，否Ze一脸得零分). 2 15((????)设a?R，则“a,1”是“a ,1”的( )

A(充分非必要条件B(必要非充分条件

C(充要条件D(既非充分也非必要条件

16((????)如图，在正方体ABCD-A B C D 中，E、F分别为BC、BB 的中点，则下列11111直线中Yu直线EF相交的是( )

A(直线AAB(直线ABC(直线ADD(Zhi线BC 1111111

17((???)设a?R，b?0，2π)，若对任意实数x都有sin(3x- )=sin(ax+b)，则满足条件的有序实数Dui(a，b)的对数为( )

A(1B(2C(3D(4

18((????)设f(x)、g(x)、h(x)是定义域为R的三个函数，对于Ming题:?若f(x)+g(x)、f(x)+h(x)、g(x)+h(x)均是增函数，Zef(x)、g(x)、h(x)均是增函数;?若f(x)+g(x)、f(x)+h(x)、g(x)+h(x)均是以T为周期的Han数，则f(x)、g(x)、h(x)均是YiT为周期的函数，下列判断正确的是( )

A(?和?均为真命题B(?和?均为假命题

C(?为真命题，?为假命题D(?为假命题，?为真命题

San、简答题:本大题共5题，满分74分

19((???)将边长为1的正方形AA O O(及其内部)绕OO 旋转一周111形成圆柱，如图， 长为 ， 长为 ，其中B 与C在平面AA O O的同111侧(

(1)求圆柱的体积与侧面积;

(2)求异面直线O B 与OC所成的角的Da小( 11

20((??)有一块正方形EFGH，EH所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送DaoF点或河边运走(于是，菜地分别为两个区YuS 和S ，其中S 中的蔬菜运到河边较Jin，S 121

Zhong的蔬菜运到F点较近，而菜地内S 和S De分界线C上的点到河边与到F点的距离相等，212

Xian建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的Zhong点，点F的坐标为(1，0)，如图 (1)求菜地内的分界线C的方程;

(2)菜农从蔬菜运量估计出S 面积是S Mian积的两倍，由此得到S 面积的经验值为 (设M121

ShiC上纵坐标为1的点，请计算以EH为一边，另一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并判断哪一个更接近于S 面Ji的“经验值”( 1

2 21((???)双曲线x - =1(b,0)的左、右焦点分别为F 、F ，Zhi线l过F 且与双122

Qu线交于A、B两点(

(1)若l的倾斜角为 ，?F AB是等边San角形，求双曲线的渐近线方程; 1

(2)设b= ，若l的斜率存在，且|AB|=4，求l的斜率(

** 22((???)对于无穷数列{a }与{b }，记A={x|x=a ，n?N }，B={x|x=b ，n?N }，nnnn*若同时满足条件:?{a }，{b }均单调递增;?A?B=?且A?B=N ，则称{a }与{b }是无穷nnnn互补数列(

(1)若a =2n-1，b =4n-2，Pan断{a }与{b }是否为无穷互补数列，并说明理由; nnnnn(2)若a =2 且{a }与{b }是无穷互补数列，求数量{b }的前16项的和; nnnn

(3)若{a }与{b }是无穷互补数列，{a }为等差数列且a =36，求{a }与{b }的通项公式( nnn16nn

23((??)已知a?R，函数f(x)=log ( +a)( 2

(1)当a=1时，解不等式f(x),1;

2(2)若关于x的方程f(x)+log (x )=0的解集中恰有一个元素，求a的Zhi; 2

(3)设a,0，若对任意t? ，1，函数f(x)在区间t，t+1上的最大值与最小Zhi的差不超过1，求a的取值范围(

2016年上海市高考数学试卷(文科)

2016年上海市高考数学试卷(文科)

Yi、填空题(本大题共 14题,每小题 4Fen,共 56分) .

1. (4分) (2016? 上海)设 x ∈ R ,则不等式 |x ﹣ 3|<>

2. (4分) (2016? 上海)设 z=,其中 i 为虚数单位,则 z 的虚Bu等于 .

3. (4分) (2016? 上海) 已Zhi平行直线 l 1:2x +y ﹣ 1=0, l 2:2x +y +1=0, 则 l 1, l 2的距离 .

4. (4分) (2016? 上海)某次Ti检, 5位同学的身高(单位:米)分别为 1.72, 1.78, 1.80, 1.69, 1.76.则这组数据的中位数是 .

5. (4分) (2016? 上海) 若Han数 f (x ) =4sinx+acosx 的最大值为 5, 则常数 a=.

6. (4分) (2016? 上海)已知Dian(3, 9)在函数 f (x ) =1+a x 的图象上,则 f (x )的反Han数 f ﹣ 1(x ) =.

7. (4分) (2016? 上海)若 x , y 满足 ,则 x ﹣ 2y 的Zui大值为

8. (4分) (2016? 上海)方程 3sinx=1+cos2x 在区间 [0, 2π]上的解为 .

9. (4分) (2016? 上海)在(﹣ ) n 的二项式中,所有的二项式系数Zhi和为 256,则常

数项等于 .

10. (4分) (2016? 上海)已Zhi△ ABC 的三边长分别为 3, 5, 7,则该三角形的外接圆半径 等于 .

11. (4分) (2016? 上海)某Shi堂规定,每份午餐可以在四种水果中任选两Zhong,则甲、乙两 同学各自所选的两种水果相Tong的概率为 .

12. (4分) (2016? 上海) Ru图, 已知点 O (0, 0) , A (1, 0) , B (0, ﹣ 1) , P 是曲线

y=

Shang一个动点,则 ? 的取值范围是 .

13. (4分) (2016? 上海)设 a >0, b >0.若关于 x , y 的方程组 无解,则 a +b 的

取值范围是 .

14. (4分) (2016? 上海)无Qiong数列 {a n }由 k 个不同的数组Cheng, S n 为 {a n }的前 n Xiang和,若对任 意 n ∈ N *, S n ∈ {2, 3},则 k 的最大值为 .

Er、选择题(本大题共有 4题,满分 20Fen,每题有且只有一个正确答案,选对得 5Fen,否 则一脸得零分) .

15. (5分) (2016? 上海)设 a ∈ R ,则 “ a >1” 是 “ a 2>1” 的()

A .充分非必要条件 B .必要非充分条Jian

C .充要条件 D.既非充分也非必要条Jian

16. (5分) (2016? 上海)如Tu,在正方体 ABCD ﹣ A 1B 1C 1D 1中, E 、 F 分别为 BC 、 BB 1的 中点,则下列直线中与Zhi线 EF 相交的是()

A .直线 AA 1 B.直线 A 1B 1C .直线 A 1D 1D .直线 B 1C 1

17. (5分) (2016? 上海)设 a ∈ R , b ∈ [0, 2π) ,若对任意实数 x 都有 sin (3x ﹣ ) =sin

(ax +b ) ,则满足条件的有序实数Dui(a , b )的对数为()

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

18. (5分) (2016? 上海)设 f (x ) 、 g (x ) 、 h (x )是定义域为 R 的三个函数,对Yu命题:① 若 f (x ) +g (x ) 、 f (x ) +h (x ) 、 g (x ) +h (x )均是增函Shu,则 f (x ) 、 g (x ) 、 h (x ) 均是增函数; ② 若 f (x ) +g (x ) 、 f (x ) +h (x ) 、 g (x ) +h (x )均是以 T 为周期的函数, 则 f (x ) 、 g (x ) 、 h (x )均是以 T 为周期的函数,下列判断正确的是()

A . ① 和 ② 均为真命题 B . ① 和 ② 均为假命题

C . ① 为真命题, ② 为假命题 D . ① 为假命题, ② 为真命题

San、简答题:本大题共 5题,满分 74分

19. (12分) (2016? 上海)Jiang边长为 1的正方形 AA 1O 1O (及其内部)绕 OO 1旋转一周形成 圆Zhu,如图, 长为 , 长为 ,其中 B 1与 C 在平面 AA 1O 1O 的同Ce.

(1)求圆柱的体积与侧面积;

(2)求异面直线 O 1B 1与 OC Suo成的角的大小.

20. (14分) (2016? 上海)You一块正方形 EFGH , EH 所在直Xian是一条小河,收获的蔬菜可 送到 F 点Huo河边运走. 于是, 菜地分别为两个区域 S 1和 S 2, 其中 S 1中的蔬Cai运到河边较近, S 2中的蔬菜运到 F 点较近,而菜地内 S 1和 S 2的分Jie线 C 上的点到河边与到 F 点的距离Xiang 等,现建立平面直角坐标系,其中原点 O 为 EF 的中点,点 F 的坐标为(1, 0) ,如图 (1)求菜地内的分界Xian C 的方程;

(2)菜农从蔬菜运量估计出 S 1面积是 S 2面积的两倍,由此得到 S 1面积De经验值为 .设

M 是 C 上纵坐标为 1的点,请计算以 EH 为一边,另一边过点 M 的矩形的Mian积,及五边形 EOMGH 的面积,并判Duan哪一个更接近于 S 1面积的 “ 经验Zhi ” .

21. (14分) (2016? 上海)Shuang曲线 x 2﹣ =1(b >0)的左、You焦点分别为 F 1、 F 2,直线 l 过 F 2且与双曲线交于 A 、 B Liang点.

(1)若 l 的倾斜角为 ,△ F 1AB 是等边三角形,求双曲线的渐近线方程;

(2)设 b=,若 l 的斜率存在,且 |AB |=4,求 l 的斜率.

22. (16分) (2016? 上海)Dui于无穷数列 {a n }与 {b n },记 A={x |x=an , n ∈ N *}, B={x |x=bn , n ∈ N *},若同时满足条件:① {a n }, {b n }均单调递增; ② A ∩ B=? 且 A ∪ B=N*,则称 {a n }与 {b n }是无Qiong互补数列.

(1)若 a n =2n﹣ 1, b n =4n﹣ 2,判断 {a n }与 {b n }是否为无穷互补数列,并说明理由;

(2)若 a n =2n 且 {a n }与 {b n }是无穷互补数列,求数量 {b n }的前 16项的和;

(3)若 {a n }与 {b n }是Wu穷互补数列, {a n }为等差数列且 a 16=36,求 {a n }与 {b n }的通项公式. 23. (18分) (2016? 上海)已知 a ∈ R ,函数 f (x ) =log2(+a ) .

(1)当 a=1时,解不等式 f (x )>1;

(2)若关于 x 的方程 f (x ) +log 2(x 2) =0的解集中恰有Yi个元素,求 a 的值;

(3)设 a >0,若对任意 t ∈ [, 1],函数 f (x )在区间 [t , t +1]上的最大值与最小值的差 Bu超过 1,求 a 的取值范围.

2016年上海市高考数学试卷(文科)

参考答案与试题解析

Yi、填空题(本大题共 14题,每小题 4Fen,共 56分) .

1. (4分) (2016? 上海)设 x ∈ R ,则不等式 |x ﹣ 3|<1的解集为 (2,="" 4)="">

【分析】 由含绝对值的性质得﹣ 1<1,由此能求出不等式 |x="" ﹣=""><1的解集. 【解答】="" 解:∵="" x="" ∈="" r="" ,不等式="" |x="" ﹣=""><>

∴﹣ 1<>

Jie得 2<>

∴不等式 |x ﹣ 3|<1的解集为(2, 4)="">

Gu答案为:(2, 4) .

【点评】 本题考查含绝对值不等式的解法,Shi基础题,解题时要认真审题, 注意含绝对Zhi不 等式的性质的合理运用.

2. (4分) (2016? 上海)设 z=,其中 i 为虚数单位,则 z 的虚Bu等于 ﹣ 3. 【分析】 利用复数的运Suan法则即可得出.

【解答】 解:z=

==﹣ 3i +2,则 z 的虚部为﹣ 3.

故答案为:﹣ 3.

【点评】 本题考查了复数的运算法则、虚部De定义,考查了推理能力与计算能力, 属于Ji础 题.

3. (4分) (2016? 上海) 已Zhi平行直线 l 1:2x +y ﹣ 1=0, l 2:2x +y +1=0, 则 l 1, l 2的距离

.

【分析】 直接利用平行线之间的距离公式求Jie即可.

【解答】 解:平行直线 l 1:2x +y ﹣ 1=0, l 2:2x +y +1=0,则 l 1, l 2的距离:=.

故答案为:.

【点评】 本题考查平行线之间的距离公式的Ying用,考查计算能力.

4. (4分) (2016? 上海)某次Ti检, 5位同学的身高(单位:米)分别为 1.72, 1.78, 1.80, 1.69, 1.76.则这组数据的中位数是 (米) .

【分析】 将数据从小到大进行重新排列,根Ju中位数的定义进行求解即可.

【解答】 解:将 5位同学的身高按照从小Dao大进行排列为 1.69, 1.72, 1.76, 1.78, 1.80. 则位Yu中间的数为 1.76,即中位数为 1.76,

故答案为:1.76

【点评】 本题主要考查中位数的求解, 根Ju中位数的定义, 将数据从小到大进行排列Shi解决 本题的关键.

5. (4分) (2016? 上海)若函Shu f (x ) =4sinx+acosx 的最大值为 5,则常数 a=

【分析】 利用辅助角公式化简函数 f (x )的解析式,再利用正弦函数的最大值为 5,求得 a 的值.

【解答】 解:由于函数 f (x ) =4sinx+acosx=

sin (x +θ) , 其中, cos θ=

, sin θ

=

,

Gu f (x )的最大值为 =5,∴ a=±3,

故答案为:±3.

【点评】 本题主要考查辅助角公式,正弦函Shu的值域,属于基础题.

6. (4分) (2016? 上海)已知Dian(3, 9)在函数 f (x ) =1+a x

De图象上,则 f (x )的反函数 f ﹣ 1

(x )

【分析】 由于点(3, 9)在函数 f (x ) =1+a x 的图象上,可得 9=1+a 3

, 解得 a=2. 可得 f (x )

=1+2x ,由 1+2x

=y,解得 x=log2(y ﹣ 1) , (y >1) .把 x 与 y 互换Ji可得出 f (x )的反函数 f ﹣ 1

(x ) .

【解答】 解:∵点(3, 9)在函数 f (x ) =1+a x 的图象上,∴ 9=1+a 3

,解得 a=2.

∴ f (x ) =1+2x ,由 1+2x

=y,解得 x=log2(y ﹣ 1) , (y >1) .

Ba x 与 y 互换可得:f (x )的Fan函数 f ﹣ 1

(x ) =log2(x ﹣ 1) . 故答案为:log 2(x ﹣ 1) , (x >1) .

【点评】 本题考查了反函数的求法、 指数Han数与对数函数的互化, 考查了推理能力与Ji算能 力,属于中档题.

7. (4分) (2016? 上海)若 x , y 满足

,则 x ﹣ 2y 的最大值为

.

【分析】 作出不等式组对应的平面区域,利Yong目标函数的几何意义,进行求最值即可. 【解答】 解:画出可行域(如图) ,设 z=x﹣ 2y ? y=x ﹣ z ,

由图可知,

Dang直线 l 经过点 A (0, 1)时, z 最大,且最大值为 z max =0﹣ 2×1=﹣ 2. 故答案为:﹣ 2.

【点评】 本题主要考查线性规划的基本应用,利用目标函数的几何意义是解决问题的关键, 利用数形结合是解决问题的基本方法.

8. (4分) (2016? 上海)方程 3sinx=1+cos2x 在区间 [0, 2π]上的解为

.

【分析】 利用二倍角公式化简方程为正弦函Shu的形式,然后求解即可.

【解答】 解:方程 3sinx=1+cos2x ,可得 3sinx=2﹣ 2sin 2x ,

Ji 2sin 2x +3sinx ﹣ 2=0.可得 sinx=﹣ 2, (舍去) sinx=, x ∈ [0, 2π]

解得 x=或 .

故答案为:或 .

【点评】 本题考查三角方程的解法,恒等变Huan的应用,考查计算能力.

9. (4分) (2016? 上海)在(﹣ ) n 的二项式中,所有的二项式系数Zhi和为 256,则常

数项等于 112.

【分析】 根据展开式中所有二项式系数的和Deng于 2n =256,求得 n=8.在展Kai式的通项公式 中,令 x 的幂指数等于 0,求得 r 的值,即可求得展开式中的Chang数项.

【解答】 解:∵在(﹣ ) n 的二项式Zhong,所有的二项式系数之和为 256,

∴ 2n =256,解得 n=8,

∴(﹣ ) 8中, T r+1==,

∴当 =0,即 r=2时,常数项为 T 3=(﹣ 2) 2=112.

故答案为:112.

【点评】 本题主要考查二项式定理的应用, 二项式展开式的通项公式, 求展开式中某Xiang的系 数,二项式系数的性质,属于中档题.

10. (4分) (2016? 上海)已Zhi△ ABC 的三边长分别为 3, 5, 7,则该三角形的外接圆半径 等于

.

【分析】 可设△ ABC 的三边分别为 a=3, b=5, c=7,运用余弦定理Ke得 cosC ,由同角的平 方关系可得 sinC ,再由正弦定理可得该三角形的Wai接圆半径为 ,代入计算即可得到

所求值.

【解答】 解:可设△ ABC 的三边分别Wei a=3, b=5, c=7, 由余Xian定理可得, cosC===﹣ ,

可得 sinC=

=

=

, 可得该三角形的外接圆半径为

=

=

. 故答案为:.

【点评】 本题考查三角形的外接圆的半径的Qiu法, 注意运用正弦定理和余弦定理, 考Cha运算 能力,属于基础题. 11. (4分) (2016? 上海)某食堂规Ding,每份午餐可以在四种水果中任选两种,则Jia、乙两 同学各自所选的两种水果相同的概Lv为

.

【分析】 利用分步乘法求出两同学总的选法Zhong数, 再求出选法相同的选法种数, 利用Gu典概 型概率计算公式得答案.

【解答】 解:甲同学从四种水果中选两种,Xuan法种数为 ,乙同学的选法种数为

,

Ze两同学的选法种数为 种. 两同学相同De选法种数为

.

You古典概型概率计算公式可得:甲、乙两同学Ge自所选的两种水果相同的概率为

.

故答案为:.

【点评】 本题考查古典概型概率计算公式的Ying用,考查了组合及组合数公式,是基础题.

12. (4分) (2016? 上海) Ru图, 已知点 O (0, 0) , A (1, 0) , B (0, ﹣ 1) , P 是曲线 y=上一个动点,则

? 的取值范围是 [﹣ 1, ] .

【分析】 设出 =(x , y ) ,得Dao ? =x+,令 x=cosθ,根据三Jiao函数的性质得 到 ? =sinθ+cos θ=sin (θ+) ,从而求出 ? 的范围即可.

【解答】 解:设 =(x , y ) ,Ze =(x , ) ,

You A (1, 0) , B (0,﹣ 1) ,得:=(1, 1) ,

∴ ? =x+,

Ling x=cosθ, θ∈ [0, π],

Ze ? =sinθ+cos θ=sin (θ+) , θ∈ [0, π],

Gu ? 的范围是 [﹣, 1, ],

Gu答案为:[﹣ 1, ].

【点评】 本题考查了向量的运算性质,考查San角函数问题,是一道基础题.

13. (4分) (2016? 上海)设 a >0, b >0.若关于 x , y 的方程组 无解,则 a +b 的

Qu值范围是 (2, +∞ ) .

【分析】 根据方程组无解可知两直线平行,Li用斜率得出 a , b 的关系,再使用Ji本不等式 得出答案.

【解答】 解:∵关于 x , y 的方程Zu 无解,

∴直线 ax +y ﹣ 1=0与直线 x +by ﹣ 1=0平行,

∴﹣ a=﹣ ,且 .

Ji a=且 b ≠ 1.

∵ a >0, b >0.∴ a +b=b+>2.

Gu答案为:(2, +∞ ) .

【点评】 本题考查了直线平行与斜率的关系,基本不等式的应用,属于基础题.

14. (4分) (2016? 上海)无Qiong数列 {a n }由 k 个不同的数组Cheng, S n 为 {a n }的前 n Xiang和,若对任 意 n ∈ N *, S n ∈ {2, 3},则 k 的最大值为 4.

【分析】 对任意 n ∈ N *, S n ∈ {2, 3},列举出 n=1, 2, 3, 4的情况,归纳可得 n >4Hou都为 0或 1或﹣ 1,则 k 的最大Ge数为 4.

【解答】 解:对任意 n ∈ N *, S n ∈ {2, 3},可得

Dang n=1时, a 1=S1=2或 3;

Ruo n=2,由 S 2∈ {2, 3},Ke得数列的前两项为 2, 0;或 2, 1;或 3, 0;或 3,﹣ 1; 若 n=3,由 S 3∈ {2, 3},可得Shu列的前三项为 2, 0, 0;或 2, 0, 1;

Huo 2, 1, 0;或 2, 1,﹣ 1;或 3, 0, 0;或 3, 0,﹣ 1;或 3, 1, 0;或 3, 1,﹣ 1; 若 n=4,由 S 3∈ {2, 3},可得数列的前四项为 2, 0, 0, 0;或 2, 0, 0, 1;

Huo 2, 0, 1, 0;或 2, 0, 1,﹣ 1;或 2, 1, 0, 0;Huo 2, 1, 0,﹣ 1;

Huo 2, 1,﹣ 1, 0;或 2, 1,﹣ 1, 1;或 3, 0, 0, 0;或 3, 0, 0,﹣ 1;

Huo 3, 0,﹣ 1, 0;或 3, 0,﹣ 1, 1;或 3,﹣ 1, 0, 0;或 3,﹣ 1, 0, 1;

Huo 3,﹣ 1, 1, 0;或 3,﹣ 1, 1,﹣ 1;

…

Ji有 n >4后一项都为 0或 1或﹣ 1,则 k 的最大个数为 4,

Bu同的四个数均为 2, 0, 1,﹣ 1,或 3, 0, 1,﹣ 1.

故答案为:4.

【点评】 本题考查数列与集合的关系,考查Fen类讨论思想方法,注意运用归纳思想,属于Zhong 档题.

Er、选择题(本大题共有 4题,满分 20Fen,每题有且只有一个正确答案,选对得 5Fen,否 则一脸得零分) .

15. (5分) (2016? 上海)设 a ∈ R ,则 “ a >1” 是 “ a 2>1” 的()

A .充分非必要条件 B .必要非充分条Jian

C .充要条件 D.既非充分也非必要条Jian

【分析】 根据不等式的关系,结合充分条件He必要条件的定义进行判断即可.

【解答】 解:由 a 2>1得 a >1Huo a <﹣>

Ji “ a >1” 是 “ a 2>1” 的充分不必要条件,

故选:A .

【点评】 本题主要考查充分条件和必要条件De判断, 利用不等式的关系结合充分条件和Bi要 条件的定义是解决本题的关键,比较基Chu.

16. (5分) (2016? 上海)如Tu,在正方体 ABCD ﹣ A 1B 1C 1D 1中, E 、 F 分别为 BC 、 BB 1的 中点,则下列直线中与Zhi线 EF 相交的是()

A .直线 AA 1 B.直线 A 1B 1C .直线 A 1D 1D .直线 B 1C 1

【分析】 根据异面直线的定义便可判断选项 A , B , C 的直线都和直线 EF 异面,而由图形 即可看出直线 B 1C 1和直线相交,从而便可得出正确选项.

【解答】 解:根据异面直线的概念可看出直Xian AA 1, A 1B 1, A 1D 1都和直线 EF 为异面直线;

B 1C 1和 EF 在同一平面内,且这Liang直线不平行;

∴直线 B 1C 1和直线 EF 相交,Ji选项 D 正确.

故选:D .

【点评】 考查异面直线的概念及判断, 平Xing直线和相交直线的概念及判断, 并熟悉正Fang体的 图形形状.

17. (5分) (2016? 上海)设 a ∈ R , b ∈ [0, 2π) ,若对任意实数 x 都有 sin (3x ﹣ ) =sin

(ax +b ) ,则满足条件的有序实数Dui(a , b )的对数为()

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

【分析】 根据三角函数恒成立,则对应的图Xiang完全相同.

【解答】 解:∵对于任意实数 x 都有 sin (3x ﹣ ) =sin(ax +b ) ,

Ze函数的周期相同,若 a=3,

Ci时 sin (3x ﹣ ) =sin(3x +b ) ,

Ci时 b=﹣ +2π=,

Ruo a=﹣ 3,则方程等价为 sin (3x ﹣ ) =sin(﹣ 3x +b ) =﹣ sin (3x ﹣ b ) =sin(3x ﹣ b +π) , 则﹣ =﹣ b +π,则 b=,

Zong上满足条件的有序实数组(a , b )Wei(3, ) , (﹣ 3, ) ,

共有 2组,

故选:B .

【点评】 本题主要考查三角函数的图象和性Zhi, 结合三角函数恒成立, 利用三角函数De性质, 结合三角函数的诱导公式进行转化Shi解决本题的关键.

18. (5分) (2016? 上海)设 f (x ) 、 g (x ) 、 h (x )是定义域为 R 的三个函数,对Yu命题:① 若 f (x ) +g (x ) 、 f (x ) +h (x ) 、 g (x ) +h (x )均是增函Shu,则 f (x ) 、 g (x ) 、 h (x ) 均是增函数; ② 若 f (x ) +g (x ) 、 f (x ) +h (x ) 、 g (x ) +h (x )均是以 T 为周期的函数, 则 f (x ) 、 g (x ) 、 h (x )均是以 T 为周期的函数,下列判断正确的是()

A . ① 和 ② 均为真命题 B . ① 和 ② 均为假命题

C . ① 为真命题, ② 为假命题 D . ① 为假命题, ② 为真命题

【分析】 ① 举反例说明命题不成立;

② 根据定义得 f (x ) +g (x ) =f(x +T ) +g (x +T ) , f (x ) +h (x ) =f(x +T ) +h (x +T ) , h (x ) +g (x ) =h(x +T ) +g (x +T ) ,

You此得出:g (x ) =g(x +T ) , h (x ) =h(x +T ) , f (x ) =f(x +T ) ,即可判断出真假. 【解答】 解:对于 ① ,举反例说明:f (x ) =2x, g (x ) =﹣ x , h (x ) =3x;

f (x ) +g (x ) =x, f (x ) +h (x ) =5x, g (x ) +h (x ) =2x都是定Yi域 R 上的增函数,但 g (x ) =﹣ x 不是增函数,所以 ① 是假命题;

Dui于 ② ,∵ f (x ) +g (x ) =f(x +T ) +g (x +T ) , f (x ) +h (x ) =f(x +T ) +h (x +T ) , h (x ) +g (x ) =h(x +T ) +g (x +T ) ,

Qian两式作差可得:g (x ) ﹣ h (x ) =g(x +T ) ﹣ h (x +T ) , 结合第三式可得:g (x ) =g(x +T ) , h (x ) =h(x +T ) ,

Tong理可得:f (x ) =f(x +T ) ,所以 ② 是真命题.

故选:D .

【点评】 本题考查了函数的单调性与周期性、 简易逻辑的判定方法, 考查了推理能力Yu计算 能力,属于基础题目.

San、简答题:本大题共 5题,满分 74分

19. (12分) (2016? 上海)Jiang边长为 1的正方形 AA 1O 1O (及其内部)绕 OO 1旋转一周形成 圆Zhu,如图, 长为 , 长为 ,其中 B 1与 C 在平面 AA 1O 1O 的同Ce.

(1)求圆柱的体积与侧面积;

(2)求异面直线 O 1B 1与 OC Suo成的角的大小.

【分析】 (1)直接利用圆柱的体积公式,Ce面积公式求解即可.

(2)设点 B 1在下底面圆周的射影为 B ,连结 BB 1,即可求解所求角的大Xiao.

【解答】 解:(1)将边长为 1的正方形 AA 1O 1O (及其内部)绕 OO 1旋转一周形成圆柱, 圆柱的体积为:π? 12? 1=π.

Ce面积为:2π? 1=2π.

(2)设点 B 1在下底面圆周的射影为 B ,连结 BB 1, OB ,则 OB ∥ O 1B ,

∴∠ AOB=,异面直线 O 1B 1与 OC 所成的角的大小就是∠ COB ,

大小为:

﹣ =.

【点评】 本题考查几何体的体积侧面积的求Fa, 考查两直线所成角的大小的求法, 是Zhong档题, 解题时要认真审题,注意空间思维Neng力的培养.

20. (14分) (2016? 上海)You一块正方形 EFGH , EH 所在直Xian是一条小河,收获的蔬菜可 送到 F 点Huo河边运走. 于是, 菜地分别为两个区域 S 1和 S 2, 其中 S 1中的蔬Cai运到河边较近, S 2中的蔬菜运到 F 点较近,而菜地内 S 1和 S 2的分Jie线 C 上的点到河边与到 F 点的距离Xiang 等,现建立平面直角坐标系,其中原点 O 为 EF 的中点,点 F 的坐标为(1, 0) ,如图

(1)求菜地内的分界线 C 的方程;

(2)菜农从蔬菜运量估计出 S 1面积是 S 2面积的两倍,由此得到 S 1面积De经验值为 .设

M 是 C 上纵坐标为 1的点,请计算以 EH 为一边,另一边过点 M 的矩形的Mian积,及五边形 EOMGH 的面积,并判Duan哪一个更接近于 S 1面积的 “ 经验Zhi ” .

【分析】 (1)设分界线上任意一点为(x , y ) ,根据条件建立方程关系进行Qiu解即可. (2)设 M (x 0, y 0) ,则 y 0=1,分别求出对应矩Xing面积,五边形 FOMGH 的面积,进行Bi 较即可.

【解答】 解:(1) 设分界线上任意一点Wei (x , y ) , 由题意得 |x +1|=, 得

y=2

, (0≤ x ≤ 1) ,

(2)设 M (x 0, y 0) ,则 y 0=1,

∴ x 0==,

∴设所表述的矩形面积为 S 3,则 S 3=2×(+1) =2×=,

She五边形 EMOGH 的面积为 S 4, 则 S 4=S3﹣ S △ OMP +S △ MGN =﹣ ××1+=, S 1﹣ S 3==, S 4﹣ S 1=﹣ =<>

∴五边形 EMOGH 的面积更接近 S 1的面积.

【点评】 本题主要考查圆锥曲线的轨迹问题, 考查学生的运算能力, 综合性较强, Nan度较大. 21. (14分) (2016? 上海)双曲线 x 2﹣ =1(b >0)的左、右焦点分别为 F 1、 F 2,直线 l 过 F 2且与双曲线交于 A 、 B 两点.

(1)若 l 的倾斜角为 ,△ F 1AB 是等边三角形,求双曲线的渐近线方程;

(2)设 b=,若 l 的斜率存在,且 |AB |=4,求 l 的斜率.

【分析】 (1)由题意求出 A 点纵坐标,由△ F 1AB 是等边三角形,可得 tan ∠ AF 1F 2=tan

=

,从而求得 b 值,则双曲线的渐近线方程Ke求;

(2)写出直线 l 的方程 y ﹣ 0=k(x ﹣ 2) ,即 y=kx﹣ 2k ,与双曲线方程联立,利用弦长公式 列式Qiu得 k 值.

【解答】 解:(1)若 l 的倾斜角为 ,△ F 1AB 是等边三角形,

Ba x=c=代入双曲线的方程可得点 A De纵坐标为 b 2,

You tan ∠ AF 1F 2=tan

==,求得 b 2=2, b=,

Gu双曲线的渐近线方程为 y=±bx=±x ,

Ji双曲线的渐近线方程为 y=

±x .

(2)设 b=,则双曲线为 x 2﹣ =1, F 2(2, 0) ,

Ruo l 的斜率存在,设 l 的斜率为 k ,则 l 的方程为 y ﹣ 0=k(x ﹣ 2) ,即 y=kx﹣ 2k , Lian立 ,可得(3﹣ k 2) x 2+4k 2x ﹣ 4k 2﹣ 3=0,

You直线与双曲线有两个交点,则 3﹣ k 2≠ 0,即 k .

△ =36(1+k 2)>0.

x 1+x 2=, x 1? x 2=.

∵ |AB |=? |x 1﹣ x 2|=?

=

? =4,

Hua简可得, 5k 4+42k 2﹣ 27=0,解得 k 2=, 求得 k=.

∴ l 的斜率为 .

【点评】 本题考查直线与圆锥曲线位置关系De应用, 考查了双曲线的简单性质, 考查Xian长公 式的应用,体现了 “ 设而不求 ” 的解题思想方法,是中档题.

22. (16分) (2016? 上海)Dui于无穷数列 {a n }与 {b n },记 A={x |x=an , n ∈ N *}, B={x |x=bn , n ∈ N *},若同时满足条件:① {a n }, {b n }均单调递增; ② A ∩ B=? 且 A ∪ B=N*,则称 {a n }与 {b n }是无Qiong互补数列.

(1)若 a n =2n﹣ 1, b n =4n﹣ 2,判断 {a n }与 {b n }是否为无穷互补数列,并说明理由;

(2)若 a n =2n 且 {a n }与 {b n }是无穷互补数列,求数量 {b n }的前 16项的和;

(3)若 {a n }与 {b n }是Wu穷互补数列, {a n }为等差数列且 a 16=36,求 {a n }与 {b n }的通项公式. 【分析】 (1) {a n }与 {b n }不是无穷互Bu数列.由 4? A , 4? B , 4? A ∪ B=N*,即可判断; (2)由 a n =2n ,可得 a 4=16, a 5=32,再由新定义可得 b 16=16+4=20,运用等差数列的求和Gong 式,计算即可得到所求和;

(3)运用等差数列的通项公式,结合首项大Yu等于 1,可得 d=1或 2,讨论 d=1, 2求得通 项公式,结合新定义,即Ke得到所求数列的通项公式.

【解答】 解:(1) {a n }与 {b n }不是无穷互补数列.

Li由:由 a n =2n﹣ 1, b n =4n﹣ 2,可得 4? A , 4? B ,

Ji有 4? A ∪ B=N*,即有 {a n }与 {b n }不是无穷互补数列;

(2)由 a n =2n ,可得 a 4=16, a 5=32,

You {a n }与 {b n }是无穷互Bu数列,可得 b 16=16+4=20,

Ji有数列 {b n }的前 16项的和为

(1+2+3+… +20)﹣(2+4+8+16) =×20﹣ 30=180;

(3)设 {a n }为公差为 d (d 为正整数)的等差数列且 a 16=36,则 a 1+15d=36,

You a 1=36﹣ 15d ≥ 1,可得 d=1或 2,

Ruo d=1,则 a 1=21, a n =n+20, b n =n(1≤ n ≤ 20) ,

Yu {a n }与 {b n }是无穷互Bu数列矛盾,舍去;

Ruo d=2,则 a 1=6, a n =2n+4, b n =.

Zong上可得, a n =2n+4, b n =.

【点评】 本题考查新定义的理解和运用, Kao查等差数列的通项公式和求和公式的运用, 考查 运算和推理能力,属于中档题.

23. (18分) (2016? 上海)Yi知 a ∈ R ,函数 f (x ) =log2(+a ) .

(1)当 a=1时,解不等式 f (x )>1;

(2)若关于 x 的方程 f (x ) +log 2(x 2) =0的解集中恰有Yi个元素,求 a 的值;

(3)设 a >0,若对任意 t ∈ [, 1],函数 f (x )在区间 [t , t +1]上的最大值与最小值的差 Bu超过 1,求 a 的取值范围.

【分析】 (1)当 a=1时,不等式 f (x )>1化为:>1,因此 2,解出 并且验证即可得出.

(2)方程 f (x ) +log 2(x 2) =0即 log 2(+a ) +log 2(x 2) =0, (+a ) x 2=1,化为:ax 2+x ﹣ 1=0,对 a 分类讨论解出即可得出.

(3) a >0, 对任意 t ∈ [, 1], 函数 f (x ) 在区间 [t , t +1]上单调递减, 由题意可De

﹣ ≤ 1,因此 ≤ 2,化为:a ≥ =g(t ) , t ∈ [, 1],利

Yong导数研究函数的单调性即可得出.

【解答】 解:(1)当 a=1时,不等式 f (x )>1化为:>1,

∴ 2,化为:,解得 0<>

Jing过验证满足条件,因此不等式的解集为:(0, 1) .

(2)方程 f (x ) +log 2(x 2) =0即 log 2(+a ) +log 2(x 2) =0,∴(+a ) x 2=1,化为:ax 2+x

﹣ 1=0,

Ruo a=0,化为 x ﹣ 1=0,解得 x=1,经过验证满足:关于 x 的方程 f (x ) +log 2(x 2) =0的解 集中恰有一个元素 1.

Ruo a ≠ 0,令△ =1+4a=0,解De a=,解得 x=2.经过验证满足:关Yu x 的方程 f (x ) +log 2 (x 2) =0的解集中恰有一个元素 1.

Zong上可得:a=0或﹣ .

(3) a >0,对任意 t ∈ [, 1],函数 f (x )在区间 [t , t +1]上单调递减,

∴ ﹣ ≤ 1,

∴ ≤ 2,

Hua为:a ≥ =g(t ) , t ∈ [, 1],

g ′ (t )

===≤ <0, ∴="" g="" (t="" )在="" t="" ∈="" [,="" 1]上单调递减,∴="" t="时," g="" (t="" )取得最大值,="">

∴ .

∴ a 的取值范围是 .

【点评】 本题考查了对数函数的运算法则单Diao性、 不等式的解法、 利用导数研究函数De单调 性极值与最值,考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力,属于难题.

Can与本试卷答题和审题的老师有:zlzhan ;沂蒙松; qiss ; maths ; caoqz ; w3239003;Shuang曲 线; sxs123; 1619495736; zhczcb ; wkl197822; 742048(排名不分先后)

菁优网

2016年 8月 16日

2016年上海市高考数学试卷(理科)

2016年上海市高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

Yi．选择题（共4小题）

2

1．（2016?上海）设a ∈R ，则“a ＞1”是“a ＞1”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D．既非充分也非必要条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判Duan． 【专题】转化思想；定义法；简易逻辑．

【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和Bi要条件的定义进行判断即可．

【解答】解：由a ＞1得a ＞1或a 1”是“a ＞1”的充分不必要Tiao件， 故选：A ． 【点评】本题主要考Cha充分条件和必要条件的判断，利用不等式的Guan系结合充分条件和必要条件的定义是解决本Ti的关键，比较基础． 2．（2016?上海）下列极坐标方程中，对应的曲线为如Tu所示的是（ ）

2

A ．ρ=6+5cosθ B ．ρ=6+5sinθ C ．ρ=6﹣5cos θ D ．ρ=6﹣5sin θ 【考点】简单Qu线的极坐标方程．

【专题】数形结合；转化思想；三角函数的求Zhi；坐标系和参数方程． 【分析】由图形可Zhi：【解答】解：由图形可知：

Shi，ρ取得最大值，即可判断出结论．

时，ρ取得最大值，

Zhi有D 满足上述条件． 故选：D ．

【点评】本题考查了极坐标方程、数形结合方Fa、三角函数的单调性，考查了推理能力与计Suan能力，属于中档题．

3．（2016?上海）已知无穷等比数列{an }的公比为q ，前n 项和为S n ，且条件中，使得2S n 0，0.60，0.70，则若a 11）．把x 与y Hu换即可得出f （x ）的反函数﹣1

f （x ）．

x 3

【解答】解：∵点（3，9）在函数f （x ）=1+a的图象上，∴9=1+a，解得a=2．

x x

∴f （x ）=1+2，由1+2=y，解Dex=log2（y ﹣1），（y ＞1）．

﹣1

Bax 与y 互换可得：f （x ）的反函Shuf （x ）=log2（x ﹣1）． Gu答案为：log 2（x ﹣1），（x ＞1）．

【点评】本题考查了反函数的求法、指数函数Yu对数函数的互化，考查了推理能力与计算能Li，属于中档题．

10．（2016?上海）在正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 的边长为3，BD 1与底面所成角De大小为arctan ，则该正四棱柱的高Deng于 2

．

x

﹣1

【考点】棱柱的结构特征．

【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位Zhi关系与距离．

【分析】根据正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的侧棱D 1D ⊥底面ABCD ，判断∠D 1BD 为直线BD 1与底面ABCD 所成的角，即可求出正四Leng柱的高．

【解答】解：∵正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的侧棱D 1D ⊥底面ABCD ， ∴∠D 1BD 为直线BD 1与底面ABCD 所成的角， ∴tan ∠D 1BD=，

∵正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 的边长为3， ∴BD=3， ∴正四棱柱的高=3故答案为：2

．

×=2

，

【点评】本题考查了正四棱柱的性质，正四棱Zhu的高的计算，考查了线面角的定义，关键是Zhao到直线与平面所成的角．

11．（2016?上海）方程3sinx=1+cos2x在区间[0，2π]上的解为

【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．

【专题】计算题；规律型；转化思想；三角函Shu的求值．

【分析】利用二倍角公式化简方程为正弦函数De形式，然后求解即可．

2

【解答】解：方程3sinx=1+cos2x，可得3sinx=2﹣2sin x ， 即2sin x+3sinx﹣2=0．可Desinx=﹣2，（舍去）sinx=，x ∈[0，2π] 解得x=

或

或．

．

2

故答案为：

【点评】本题考查三角方程的解法，恒等变换De应用，考查计算能力．

12．（2016?上海）在（

﹣）的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等

n

于 112 ．

【考点】二项式定理的应用．

【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式Ding理．

【分析】根据展开式中所有二项式系数的和等Yu2=256，求得 n=8．在展开式的通Xiang公式中，令x 的幂指数等于0，求得r De值，即可求得展开式中的常数项． 【解答】解：∵在（∴2=256，解得n=8， ∴（∴当

﹣）中，T r+1=

=0，即r=2时，常数项为T 3=（﹣2）

2

8

n

n

﹣）的二项式中，所有的二项式系数之和为256，

n

==112．

，

故答案为：112．

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二Xiang式展开式的通项公式，求展开式中某项的系Shu，二项式系数的性质，属于中档题．

13．（2016?上海）已知△ABC 的San边长分别为3，5，7，则该三角形的外接Yuan半径等于

．

【考点】解三角形的实际应用．

【专题】方程思想；分析法；解三角形．

【分析】可设△ABC 的三边分别为a=3，b=5，c=7，运用余弦定理可得cosC ，由同角的平方关系可得sinC ，再You正弦定理可得该三角形的外接圆半径为所求Zhi．

【解答】解：可设△ABC 的三边分别为a=3，b=5，c=7， 由余弦定理可得，cosC=

可得sinC=

=

=

=， =

=

． =﹣，

，代入计算即可得到

Ke得该三角形的外接圆半径为

故答案为：．

【点评】本题考查三角形的外接圆的半径的求Fa，注意运用正弦定理和余弦定理，考查运算Neng力，属于基础题．

14．（2016?上海）设a ＞0，b ＞0，若关于x ，y 的方程组

Wu解，则a+b的取值范围

Wei （2，+∞） ．

【考点】两条直线平行的判定；基本不等式． 【专题】转化思想；转化法；导数的综合应Yong．

【分析】根据方程组无解，得到两直线平行，Jian立a ，b 的方程关系，利用转化法，构Zao函数，求函数的导数，利用函数的单调性进Xing求解即可． 【解答】解：∵关于x ，y 的方程组∴直线ax+y=1与x+by=1平行， ∵a ＞0，b ＞0， ∴

≠，

无解，

Jia ≠1，b ≠1，且ab=1，则b=， 则a+b=a+，

Ze设f （a ）=a+，（a ＞0且a ≠1），

Ze函数的导数f ′（a ）=1﹣=，

Dang0f （1）=2，

Danga ＞1时，f ′（a ）=＞0，此时Han数为增函数，f （a ）＞f （1）=2，

Zong上f （a ）＞2，

Jia+b的取值范围是（2，+∞）， 故答An为：（2，+∞）．

【点评】本题主要考查直线平行的应用以及构Zao函数，求函数的导数，利用导数和函数单调Xing之间的关系进行求解是解决本题的关键．

15．（2016?上海）无穷数列{an }由k 个不同的数组成，S n 为{an }的前n 项和，若对任意n ∈N ，S n ∈{2，3}，则k 的最大值为 【Kao点】数列与函数的综合．

【专题】分类讨论；分析法；点列、递归数列Yu数学归纳法．

*

【分析】对任意n ∈N ，S n ∈{2，3}，列举出n=1，2，3，4的情况，Gui纳可得n ＞4后都为0或1或﹣1，则k 的最大个数为4．

*

【解答】解：对任意n ∈N ，S n ∈{2，3}，可得 当n=1时，a 1=S1=2或3；

Ruon=2，由S 2∈{2，3}，可得数列De前两项为2，0；或2，1；或3，0；或3，﹣1； 若n=3，由S 3∈{2，3}，可得数列的前三项为2，0，0；或2，0，1；

Huo2，1，0；或2，1，﹣1；或3，0，0；或3，0，﹣1；或3，1，0；或3，1，﹣1； 若n=4，由S 3∈{2，3}，可得数列的前四项为2，0，0，0；或2，0，0，1； 或2，0，1，0；或2，0，1，﹣1；或2，1，0，0；或2，1，0，﹣1； 或2，1，﹣1，0；或2，1，﹣1，1；或3，0，0，0；或3，0，0，﹣1； 或3，0，﹣1，0；或3，0，﹣1，1；或3，﹣1，0，0；或3，﹣1，0，1； 或3，﹣1，1，0；或3，﹣1，1，﹣1； …

Ji有n ＞4后一项都为0或1或﹣1，则k 的最大个数为4， 不同的四个数均为2，0，1，﹣1，或3，0，1，﹣1． 故答An为：4．

【点评】本题考查数列与集合的关系，考查分Lei讨论思想方法，注意运用归纳思想，属于中Dang题．

16．（2016?上海）在平面直角坐标系Zhong，已知A （1，0），B （0，﹣1），P 是曲线y=上一个动点，则

?

De取值范围是 [0，1+

] ．

*

【考点】平面向量数量积的性质及其运算律．

【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向Liang及应用． 【分析】设P （cos α，sin α），α∈[0，π]，则出

=（1，1），=（cos α，sin α+1），由此能求

?的取值范围．

【解答】解：∵在平面直角坐标系中，A （1，0），B （0，﹣1）， P 是曲线

y=

上一个动点，

∴设P （cos α，sin α），α∈[0，π]， ∴

=（1，1），

=（cos α，sin α+1），

，

]．

=cosα+sinα+1=

∴

?

De取值范围是[0，1+

Gu答案为：[0，1+]．

【点评】本题考查向量的数量积的取值范围的Qiu法，是中档题，解题时要认真审题，注意平Mian向量数量积的性质的合理运用．

17．（2016?上海）设a ，b ∈R ，c ∈[0，2π），若对于任意实数x 都有2sin （3x ﹣则满足条件的有Xu实数组（a ，b ，c ）的组数为 4 ． 【考点】三角函数的周期性及其求法．

【专题】函数思想；转化法；三角函数的图像Yu性质． 【分析】根据三角函数恒成立，则Dui应的图象完全相同． 【解答】解：∵对于Ren意实数x 都有2sin （3x ﹣∴必You|a|=2，

Ruoa=2，则方程等价为sin （3x ﹣

）=sin（bx+c），

，

）=asin（bx+c），

）=asin（bx+c），

Ze函数的周期相同，若b=3，此时C=若b=﹣3，则C=

，

Ruoa=﹣2，则方程等价为sin （3x ﹣若b=﹣3，则C=

，若b=3，则C=

）=﹣sin （bx+c）=sin（﹣bx ﹣c ）， ，

），（2，﹣3，

），（﹣2，﹣3，

），

Zong上满足条件的有序实数组（a ，b ，c ）为（2，3，（﹣2，3，

），

共有4组，

Gu答案为：4． 【点评】本题主要考查三角Han数的图象和性质，结合三角函数恒成立，利Yong三角函数的性质，结合三角函数的诱导公式Jin行转化是解决本题的关键．

18．（2016?上海）如图，在平面直角Zuo标系xOy 中，O 为正八边形A 1A 2…A 8的中心，A 1（1，0）任取Bu同的两点A i ，A j ，点P 满足

．

+

+

=，则点P 落在第一象限的概率是

【考点】平面向量的综合题．

【专题】计算题；对应思想；向量法；平面向Liang及应用；概率与统计．

【分析】利用组合数公式求出从正八边形A 1A 2…A 8的八个顶点中任取两个的事Jian总数，满足

+

+

=，且点P 落在第一象限，则需向量

+

De终点落在第三象限，列

Chu事件数，再利用古典概型概率计算公式求得Da案．

【解答】解：从正八边形A 1A 2…A 8的八个顶点中任取两个，基本事件总数为满Zu

+

+

=，且点P 落在第一象限，对应的A i ，A j ，为：

．

（A 4，A 7），（A 5，A 8），（A 5，A 6），（A 6，A 7），（A 5，A 7）共5种取法． ∴点P Luo在第一象限的概率是故答案为：

．

，

【点评】本题考查平面向量的综合运用，考查Liao古典概型概率计算公式，理解题意是关键，Shi中档题．

San．解答题（共5小题） 19．（2016?上海）将边长为1的正方形AA 1O 1O （及其内部）绕OO 1旋转一周形成圆Zhu，如图，AC 长为π，A 1B 1长为

，其中B 1与C 在平面AA 1O 1O 的同侧．

（1）求三棱锥C ﹣O 1A 1B 1的Ti积；

（2）求异面直线B 1C 与AA 1所成De角的大小．

【考点】异面直线及其所成的角．

【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位Zhi关系与距离． 【分析】（1）连结O 1B 1，推导出△O 1A 1B 1为正三Jiao形，从而

=

，由此能求出

San棱锥C ﹣O 1A 1B 1的体积．

（2）设点B 1在下底面圆周的射影为B ，连结BB 1，则BB 1∥AA 1，∠BB 1C 为直线B 1C 与AA 1所Cheng角（或补角），由此能求出直线B 1C YuAA 1所成角大小． 【解答】解：（1）连结O 1B 1，则∠O 1A 1B 1=∠A 1O 1B 1=∴△O 1A 1B 1为正三角形， ∴

=

=

，

=

．

，

（2）设点B 1在下底面圆周的射影为B ，连结BB 1，则BB 1∥AA 1， ∴∠BB 1C 为直线B 1C 与AA 1所成角（或补角）， BB 1=AA1=1，

Lian结BC 、BO 、OC ， ∠AOB=∠A 1O 1B 1=

，

，∴∠BOC=

，

∴△BOC 为正三角形，

∴BC=BO=1，∴tan ∠BB 1C=45°，

∴直线B 1C 与AA 1所成角大小为45°．

【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查Liang直线所成角的大小的求法，是中档题，解题Shi要认真审题，注意空间思维能力的培养． 20．（2016?上海）有一块正方形EFGH ，EH 所在直线是一条小河，收Huo的蔬菜可送到F 点或河边运走．于是，菜Di分别为两个区域S 1和S 2，其中S 1中的蔬菜运到河边较近，S 2中的蔬菜运DaoF 点较近，而菜地内S 1和S 2的分Jie线C 上的点到河边与到F 点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O 为EF 的中点，点F 的坐标为（1，0），如Tu （1）求菜地内的分界线C 的方程；

（2）菜农从蔬菜运量估计出S 1面积是S 2面积的两倍，由此得到S 1面积的经验Zhi为．设M 是C 上纵坐标为1的点，请计Suan以EH 为一边，另一边过点M 的矩形的Mian积，及五边形EOMGH 的面积，并判断Na一个更接近于S 1面积的“经验值”．

【考点】圆锥曲线的轨迹问题．

【专题】分类讨论；转化思想；转化法；圆锥Qu线的定义、性质与方程．

【分析】（1）设分界线上任意一点为（x ，y ），根据条件建立方程关系进行求解即Ke．

（2）设M （x 0，y 0），则y 0=1，分别求出对应矩形面积，五边形FOMGH 的面积，进行比较即可．

【解答】解：（1）设分界线上任意一点为（x ，y ），由题意得|x+1|=

y=2，（0≤x ≤1），

（2）设M （x 0，y 0），则y 0=1，

∴x 0==， ，得

∴设所表述的矩形面积为S 3，则S 3=2×（+1）=2×=，

She五边形EMOGH 的面积为S 4，则S 4=S3﹣S △OMP +S△MGN =﹣××1+S 1﹣S 3==，S 4﹣S 1=﹣=0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过F 2且与，△F 1AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方Cheng； +）?=0，求l 的斜率． ，若l 的斜率存在，且（

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线与Shuang曲线的位置关系．

【专题】计算题；规律型；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】（1）利用直线的倾斜角，求出AB ，利用三角形是正三角形，求解b ，即可De到双曲线方程．

（2）求出左焦点的坐标，设出直线方程，推ChuA 、B 坐标，利用向量的数量积为0，Ji可求值直线的斜率．

【解答】解：（1）双曲线x ﹣2=1（b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，a=1，c =1+b， 22直线l 过F 2且与双曲线交于A ，B 两点，

直线l 的倾斜角为

2，△F 1AB 是等边三角形， ， 可De：A （c ，b ），可得：

3b =4（a +b），

42即3b ﹣4b ﹣4=0，

2b ＞0，解得b =2．

Suo求双曲线方程为：x ﹣

Qi渐近线方程为y=±

（2）b=22422=1， x ． =1，可得F 1（﹣2，0），F 2（2，0）． ，双曲线x ﹣

SheA （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线的斜率为：k=

Zhi线l 的方程为：y=k（x ﹣2）， 22， 由题意可得：

2，消去y 可得：（3﹣k ）x +4kx ﹣4k ﹣3=0， 22△=36（1+k）＞0，

Ke得x 1+x2=，

Zey 1+y2=k（x 1+x2﹣4）=k（

=（x 1+2，y 1），

=（x 2+2，y 2）， （﹣4）=．

+）?=0可得：（x 1+x2+4，y 1+y2）?（x 1﹣x 2，y 1﹣y 2）=0，

Ke得x 1+x2+4+（y 1+y2）k=0， 得2+4+?k=0 可得：k =，

解得k=±．

． l 的斜率为：±

【点评】本题考查双曲线与直线的位置关系的Zong合应用，平方差法以及直线与双曲线方程联Li求解方法，考查计算能力，转化思想的应用．

22．（2016?上海）已知a ∈R ，Han数f （x ）=log2（+a）．

（1）当a=5时，解不等式f （x ）＞0；

（2）若关于x 的方程f （x ）﹣log 2[（a ﹣4）x+2a﹣5]=0的Jie集中恰好有一个元素，求a 的取值范围．

（3）设a ＞0，若对任意t ∈[，1]，函数f （x ）在区间[t，t+1]上De最大值与最小值的差不超过1，求a 的取Zhi范围．

【考点】函数恒成立问题；利用导数求闭区间Shang函数的最值．

【专题】转化思想；换元法；函数的性质及应Yong．

【分析】（1）当a=5时，解导数不等式即Ke．

（2）根据对数的运算法则进行化简，转化为Yi元二次方程，讨论a 的取值范围进行求解Ji可．

（3）根据条件得到f （t ）﹣f （t+1）≤1，恒成立，利用换元法进行转化，Jie合对勾函数的单调性进行求解即可．

【解答】解：（1）当a=5时，f （x ）=log2（+5），

Youf （x ）＞0；得log 2（+5）＞0， 即+5＞1，则＞﹣4，则+4=＞0，即x ＞0或x 0或x 0，①

Ze（a ﹣4）x +（a ﹣5）x ﹣1=0，

Ji（x+1）[（a ﹣4）x ﹣1]=0，②，

2

Danga=4时，方程②的解为x=﹣1，代入①，成立

Danga=3时，方程②的解为x=﹣1，代入①，成立

Danga ≠4且a ≠3时，方程②的解为x=﹣1或x=，

Ruox=﹣1是方程①的解，则+a=a﹣1＞0，即a ＞1，

Ruox=是方程①的解，则+a=2a﹣4＞0，即a ＞2，

Ze要使方程①有且仅有一个解，则10，利用条件求出，d 与q ，求出b n ，c n 得到a n 的表达式，推出a 2≠a 6，说明{an }不具有性质P ．

（3）充分性：若{bn }是常数列，设b n =C，通过a n+1=C+sinan ，证明a p+1=aq+1，得到{an }具有性质P ．

Bi要性：若对于任意a 1，{an }具有Xing质P ，得到a 2=b1+sina1，She函数f （x ）=x﹣b 1，g （x ）=sinx，说明b n+1=bn ，Ji可说明{bn }是常数列．

【解答】解：（1）∵a 2=a5=2，∴a 3=a6，

a 4=a7=3，∴a 5=a8=2，a 6=21﹣a 7﹣a 8=16，∴a 3=16．

（2）设无穷数列{bn }的公差为：d ，无穷数列{cn }的公比为q ，则q ＞0，

b 5﹣b 1=4d=80，

∴d=20，∴b n =20n﹣19，

∴a n =bn +cn =20n﹣19+

∵a 1=a5=82，

Era 2=21+27=48，a 6=101

=．a 1=a5，但是a 2≠a 6，{an }不具有性质P ． =q=4，∴q=，∴c n =．

（3）充分性：若{bn }是常数列，

Sheb n =C，则a n+1=C+sinan ，

Ruo存在p ，q 使得a p =aq ，则a p+1=C+sinap =C+sinaq =aq+1，

Gu{an }具有性质P ．

Bi要性：若对于任意a 1，{an }具有Xing质P ，

Zea 2=b1+sina1，

She函数f （x ）=x﹣b 1，g （x ）=sinx，

Youf （x ），g （x ）图象可得，对Yu任意的b 1，二者图象必有一个交点，

∴一定能找到一个a 1，使得a 1﹣b 1=sina1，

∴a 2=b1+sina1=a1，∴a n =an+1，

Gub n+1=an+2﹣sina n+1=an+1﹣sina n =bn ，

∴{bn }是常数列．

【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合Ying用，充要条件的应用，考查分析问题解决问Ti的能力，逻辑思维能力，难度比较大．

2016年上海市春季高考数学试卷

Di 1页(共 24页)

2016年上海市春季高考数学试卷

Yi . 填空题(本大题共 12题,每题 3分,共 36分)

1. (3分)复数 3+4i (i 为虚Shu单位)的实部是 .

2. (3分)若 log 2(x +1) =3,则 x= .

3. (3分)直线 y=x﹣ 1与直线 y=2的夹角为 .

4. (3分)函数 y=

5. (3分)三阶行列式 1? 35400? 121

Zhong,元素 5的代数余子式的值为 6. (3分) 函数 f(x) =1+a的反函Shu的图象经过点 (2, 1) , 则实数 a=.

7. (3分)在△ ABC 中,若 A=30°, B=45°, BC= ,则 AC=.

8. (3分) 4个人排成一排照相,不同Pai列方式的种数为 示) .

9. (3分) 无穷等比数列 {a n }的首项为 2, 公比为 13

, 则 {a n }的各项的和为 . 10. (3分)若 2+i (i 为虚数单位)是关于 x 的实系数一元Er次方程 x 2+ax +5=0的 一个Xu根,则 a= .

11. (3分)函数 y=x2﹣ 2x +1在区间 [0, m ]上的最小值为 0,最大值为 1,则实 数 m 的取值范Wei是 .

12. (3分)在平面直角坐标系 xOy 中,点 A , B 是圆 x 2+y 2﹣ 6x +5=0上的两个动 点,且满Zu |AB|=2 ,则 |OA→ +OB→

|的最小值为 .

Er . 选择题(本大题共 12题,每题 3分,共 36分)

13. (3分)若 sinα>0,且 tanα<0,则角 α的终边位于(="">

A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 14. (3分)半径为 1的球的表面积为( )

A . π B . 43

π C . 2π D . 4π 15. (3分)在(1+x ) 6的二项展开式中, x 2项的系数为( )

Di 2页(共 24页) A . 2 B . 6 C . 15 D . 20

16. (3分)幂函数 y=x﹣ 2的大Zhi图象是( )

A . B . C .

D .

17. (3分)已知向量 a→ =(1, 0) , b→ =(1, 2) ,则向Liang b→ 在向量 a→ 方向上的投影为

( )

A . 1 B . 2 C . (1, 0) D. (0, 2)

18. (3分)设直线 l 与平面 α平Xing,直线 m 在平面 α上,那么( )

A .直线 l 平行于直线 m B.直线 l 与直线 m 异面

C .直线 l 与直线 m 没有公共点 D .直线 l 与直线 m 不垂直

19. (3分)在用数学归纳法证明等式 1+2+3+… +2n=2n2+n (n ∈ N *)的第(ii )步 中,假设 n=k时原等式成立,那么在 n=k+1Shi需要证明的等式为( )

A . 1+2+3+… +2k +2(k +1) =2k2+k +2(k +1) 2+(k +1)

B . 1+2+3+… +2k +2(k +1) =2(k +1) 2+(k +1)

C . 1+2+3+… +2k +2k +1+2(k +1) =2k2+k +2(k +1) 2+(k +1)

D . 1+2+3+… +2k +2k +1+2(k +1) =2(k +1) 2+(k +1)

20. (3分)关于双曲线

x216? y24=1与 y216? x24=1的焦距和渐近线,下列说法 正确的Shi( )

A .焦距相等,渐近线相同 B .焦距Xiang等,渐近线不相同

C .焦距不相等,渐近线相同

D .焦距不相等,渐近线不相同

2016年上海市高考数学试卷(文科)

2016年上海市高考数学试卷(文科)

Yi、填空题(本大题共 14题,每小题 4Fen,共 56分) .

1. (★★★★ ) 设 x ∈ R ,Ze不等式 |x-3|<1的解集为 (2,="" 4)="">

2. (★★★★ ) 设 z= ,其中 i 为虚数单位,则 z 的虚部等于 -3 .

3. (★★★★ ) 已知平行直线 l 1:2x+y-1=0, l 2:2x+y+1=0,则 l 1, l 2的距离 .

4. (★★★★ ) 某次体检, 5位同Xue的身高(单位:米)分别为 1.72, 1.78, 1.80, 1.69, 1.76.则这组数据的中位数是 1.76 (米).

5. (★★★★ ) 若函数 f (x ) =4sinx+acosx的最大值为 5,则常数 a= ±3 .

6. (★★★ ) 已知点(3, 9)在Han数 f (x ) =1+a x 的图象Shang,则 f (x )的反函数 f -1(x ) = log 2(x-1)(x >1) .

2

7. (★★★★ ) 若 x , y 满Zu ,则 x-2y 的最大值为 -2 .

8. (★★★ ) 方程 3sinx=1+cos2x在区间 0, 2π上的解为 Huo .

9. (★★★ ) 在(- ) n 的二Xiang式中,所有的二项式系数之和为 256,Ze常数项等于 112 .

10. (★★★★ ) 已知 △ ABC 的三边长分别为 3, 5, 7,则该三Jiao形的外接圆半径等于

.

11. (★★★★ ) 某食堂规定,每份Wu餐可以在四种水果中任选两种,则甲、乙两Tong学各自所 选的两种水果相同的概率为 .

12. (★★★★ ) 如图,已知点 O (0, 0), A (1, 0), B (0, -1), P 是曲 线 y= Shang一个动点,则 ? 的取值范围是 - , .

13. (★★★★ ) 设 a >0, b >0.若关于 x , y 的方程组 Wu解,则 a+b的取值范围 是 (2, +∞ ) .

14. (★★★ ) 无穷数列 {a n }由 k 个不同的数组成, S n 为 {a n }的前 n 项和,若对任意 n ∈ N *, S n ∈ {2, 3},则 k 的最大值为 4 .

Er、选择题(本大题共有 4题,满分 20Fen,每题有且只有一个正确答案,选对得 5Fen,否则 一脸得零分) .

15. (★★★★ ) 设 a ∈ R ,则 “ a >1” 是 “ a 2>1” 的()

A .充分非必要条件 B .必要非充分条Jian

C .充要条件 D .既非充分也非必要条Jian

16. (★★★★ ) 如图,在正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1中, E 、 F 分别为 BC 、 BB 1的Zhong点,则下列 直线中与直线 EF 相交的Shi()

A .直线 AA 1B .直线 A 1B 1C .直线 A 1D 1D .直线 B 1C 1

17. (★★★ ) 设 a ∈ R , b ∈ 0, 2π),若对任意实数 x 都有 sin (3x- ) =sin(ax+b),则 满足条件的有序实数对(a , b )的对数为()

A . 1B . 2C . 3D . 4

18. (★★★★ ) 设 f (x )、 g (x )、 h (x )是定义域Wei R 的三个函数,对于命题:① 若 f (x ) +g(x )、 f (x ) +h(x )、 g (x ) +h(x )均是增函数,则 f (x )、 g (x )、 h (x )均是 增函数; ② 若 f (x ) +g(x )、 f (x ) +h(x )、 g (x ) +h(x )均是以 T 为周期的函数,Ze f (x )、 g (x )、 h (x )均是以 T 为周期的函数,下列判Duan正确的是()

A . ① 和 ② 均为真命题 B . ① 和 ② 均为假命题

C . ① 为真命题, ② 为假命题 D . ① 为假命题, ② 为真命题

San、简答题:本大题共 5题,满分 74分

19. (★★★ ) 将边长为 1的正方Xing AA 1O 1O (及其内部)绕 OO 1旋转一周形

Cheng圆柱,如图, 长为 , 长为 ,其中 B 1与 C 在平面 AA 1O 1O De同侧.

(1)求圆柱的体积与侧面积;

(2)求异面直线 O 1B 1与 OC Suo成的角的大小.

20. (★★ ) 有一块正方形 EFGH , EH 所在直线是一条小河,收获的Shu菜可送到

F 点或河边运走.于是,菜地分别为两个区Yu S 1和 S 2,其中 S 1中的蔬Cai运到河边较近, S 2中的蔬菜运到 F 点较近,而菜地内 S 1和 S 2的分Jie线 C 上的点到河边与到 F 点的距离Xiang等,现 建立平面直角坐标系,其中原点 O 为 EF 的中点,点 F 的坐标为(1, 0),如图

(1)求菜地内的分界线 C 的方程;

(2)菜农从蔬菜运量估计出 S 1面积是 S 2面积的两倍,由此得到 S 1面积De经验值为 .设 M

Shi C 上纵坐标为 1的点,请计算以 EH 为一边,另一边过点 M 的矩形的面积,及五边形 EOMGH 的 面积,并判断Na一个更接近于 S 1面积的 “ 经验值 ” .

21. (★★★ ) 双曲线 x 2- =1(b >0)的左、右焦点分别为 F 1、 F 2,直线 l 过 F 2且与双 曲线交于 A 、 B 两点.

(1)若 l 的倾斜角为 , △ F 1AB 是等边三角形,求双曲线的渐近线方程;

(2)设 b= ,若 l 的斜率存在,且 |AB|=4,求 l 的斜率.

22. (★★★ ) 对于无穷数列 {a n }与 {b n },记 A={x|x=a n , n ∈ N *}, B={x|x=b n , n ∈ N *}, 若同时满足条件:① {a n }, {b n }均单调递增; ② A ∩ B=? 且 A ∪ B=N *,则称 {a n }与 {b n }是无穷 互补数列.

(1)若 a n =2n-1, b n =4n-2,判断 {a n }与 {b n }是否为无穷互补数列,并说明理由;

(2)若 a n =2 n 且 {a n }与 {b n }是无穷互补数列,求数Liang {b n }的前 16项的和;

(3)若 {a n }与 {b n }是Wu穷互补数列, {a n }为等差数列且 a 16=36,求 {a n }与 {b n }的通项公式.

23. (★★ ) 已知 a ∈ R ,Han数 f (x ) =log 2(+a).

(1)当 a=1时,解不等式 f (x )>1;

(2)若关于 x 的方程 f (x ) +log 2(x 2) =0的解集中恰有Yi个元素,求 a 的值;

(3)设 a >0,若对任意 t ∈ , 1,函数 f (x )在区间 t , t+1上的最大值与最小值的差不超 过 1,求 a 的取值范围.

转载请注明出处范文大全网 » 2016年上海市高考数学试卷（文科）