求函数解析式
一待定系数法
Li1:. 设二次函数f(x)满足f(x+2)=f(2-x),且f(x)=0的两实Gen平方和为10,
Tu象过点(0,3) ,求f(x)的解析式。
Bian式:已知二次函数f (x ) 的二次项Xi数为a ,且不等式f (x ) >-2x 的解集为(1,3),方程f (x ) +6a =0有两个相等的实根,求f (x ) 的解析式。
二配凑法
例2
:已知f 1) =x +求f (x ) De解析式。
Bian式:已知f (x -) =x +1
x 21, 求f (x ) . 2x
San换元法(注意:换元后要确定新元t 的取Zhi范围)。
例3:已知f
2变式:已知f (x -1) =x +2,求f (x ) 的解析式 x +2=-x +3x +2,求f (x ) 的解析Shi )
Si消元法 (此方法的实质是解函数方程组)。
Li4:设设f (x)满足2x f (x)-3f (
1) = x2+ 1求f (x ) 的解Xi式。 x
Bian式:已知定义在R 上的函数f (x ) 满足f (-x ) +2f (x ) =x +1,求f (x ) 的解析式。
五赋值法
Li5:已知f (0)=1, f (a -b ) =f (a ) -b (2a -b +1), 求f (x ) 。
六“即时定义”法
Li6. 对定义域分别是D f 、D g De函数y =f (x ), y =g (x ) ,规定:函数
?f (x ) ?g (x ), 当x ∈D f 且x ∈D g ??h (x ) =?f (x ), 当x ∈D f Qiex ?D g ,
???g (x ), 当x ?D f 且x ∈d g 若f (x ) =1, g (x ) =x 2
x -1,写出函数h (x ) 的解析式。
当堂练习
1. 已知f (x )= x -2x ,Qiuf [f (x )]的解析式. 2
2.已知f (x -1) =x +2x +3,求f (x ) 的解析式.
3. 已知f (x ) 是二次函数,且f (x +1)+f (x -1)=2x 2-4x +4,求f (x ) .
4. 已知f (x ) -2 f (-x ) =x ,求函数f (x ) 的解Xi式.
6.设对任意数x ,y 均有f (x +y )=2f (y )+x +2xy -y +3x +3y , 222
Qiuf (x )的解析式.
求函数值域
一
Guan察法(适用于较简单的函数,从解析式观察,利用如x ≥0,x 2≥00等,直接得Chu它的值域).
2例1求函数y =4-x 的值域 变式:求函数f (x ) =-2的值域 2x +1
二配方法
y =的值域。 例2. 求y =x -x +1x ∈[0, 3)的值域
变式:求函数2
三反解法
x -1y =(x ≥-4) 2x +1x +2例3. 求函数y =的值域. 变式:求函数的值域。 x -3
四分离常数法
x 2-x 2x 2-1例4. 求y =2的值域 变式:求函数y =2的值域 x -x +1x +1
Wu换元法(注意新元的范围)
例5.
Qiuy =6x +1+ 变式:求函数y =x -2x +3的值Yu。
六图像法
例6. 求函数
y =x -3-x +1的值域。
Dang堂练习:求下列函数的值域
1. y =3x +1, x ∈{1,2,3,4,5 }. 2. y =x 2-4x +6,x ∈[1,5).
3. y =2x 4. y =
5. y =2x 2-4x +3. 6.
y =x
x . x ∈[2, +∞) x +1
2x +12x 2+4x -77. y=. 8. y =2. x -3x +2x +3
?x +2x ∈(-∞, -1]?2 9.y =x -3+x +7. f (x ) =?x x ∈(-1, +1)
?1x ∈[1, +∞)?
求值域讲座
Ming师典范 专题讲座 杨老师 13193131676
Qiu函数值域方法 函数值域方
Qiu函数的值域或最值是高中数学基本问题之一,也是考试的热点和难点之一. 基本知识 1. 定义:因变量 y 的取值范围叫做函Shu的值域(或函数值的集合) . 2. 函Shu值域常见的求解思路: ⑴.划归为几类常Jian函数,利用这些函数的图象和性质求解. ⑵.反解函数,将自变量 x 用函数 y De代数式形式表示出来,利用定义域建立函数 y 的不等式,解不等式即可获解. ⑶. 可以从方程的角度理解函数的值域, 如果Wo们将函数 y = f ( x) 看作是Guan于自变量 x 的方程,在值域中任取一个Zhi y0 , y0 对应的自变量 x0 Yi定为方程 y = f ( x) 在定义Yu中的 一个解,即方程 y = f ( x) 在定义域内有解;另一方面,若 y Qu某值 y0 ,方程 y = f ( x) 在 定义域内有解 x0 ,则 y0 Yi定为 x0 对应的函数值.从方程的角度Jiang,函数的值域即为使关 于 x 的方程 y = f ( x) 在定义域内有解的 y 得取值范围. 特别地,若函数可看成关Yu x 的一元二次方程,则可通过一元二次Fang程在函数定义域 内有解的条件,利用判别Shi求出函数的值域. ⑷.可以用函数的单调Xing求值域. ⑸.其他. 3. 函数值域的Qiu法 在以上求解思路的引导下,又要注意以Xia的常见求法和技巧: ⑴.观察法;⑵.最Zhi法;⑶.判别式法;⑷.反函数法;⑸.换Yuan法;⑹.复合函 数法; ⑺. 重要不等Shi法; ⑻. 利用函数的单调性; ⑼. Li用三角函数的有界性; ⑽. 图 象法;⑾.配方法;⑿.比例法; (13)数形结He法. 一.观察法:由函数的定义域结合图Xiang,或直观观察,准确判断函数值域的方法.
1,利用非负数的性质 , 根据函数解析式De结构特征,结合非负数的性质,可求出相关Han数的值域. 根据函数解析式的结构特征,Jie合非负数的性质,可求出相关函数的值域. 例 1-1,(1)求函数 y = 16 x 2 的值域. (2)求函数 y = 解析:(1)∵ 0 ≤ 16 x 2 ≤ 16 , ∴ 0 ≤ 16 x 2 ≤ 4 解析: 故 所求函数的值域Wei y ∈ [0,] . 4
(2)∵ x 2 + 1 > 0 ,∴ Yuan函数可化为 y ( x 2 + 1) = x 2 3 ,即 x 2 (1 y ) = y + 3 ,
x2 3 的值域. x2 + 1
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Dang y ≠ 1 时, x 2 =
y+3 y+3 , ∵ x 2 ≥ 0 ,∴ ≥ 0 ,解得 3 ≤ y ≤ 1 1 y 1 y
You y ≠ 1 , 所以 3 ≤ y Dui于含有绝对值(或分段)函数,若函数图象Bi较易作出, 对于含有绝对值(或分段)函Shu,若函数图象比较易作出,则利用函数图象 能较快的求出其值域. 能较快的求出其值Yu. 例 1-2,求函数 y =| x 2 | | x + 1 | 的值域. 解析: 解析:去掉绝对值符号得 :
x 2 ( x + 1) = 3( x > 2) y = 2 x ( x + 1) = 2 x + 1(1 ≤ x ≤ 2) . 2 x + ( x + 1) = 3( x 画出函数的图Xiang(如图) :由函数的图象可得,原 函数
De值域为 y ∈ [3, . 3]
Er.最值法: 对于闭区间上的连续函数, Li用函数的最大值, 最小值求函数的值域的Fang法. 例 2-1:求函数 y = 2 x , x ∈ [ 2, 2] 的值域.
1 4 , 4
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Li 2-2:求函数 y = 2 x 2 + 5 x + 6 的值域. 三.判别式Fa:通过二次方程的判别式求值域的方法.
73 ∞, 8
Li用判别式法 的一元二次方程, 看成相应De系数, 将函数表达式转化为关于 x 的Yi元二次方程,把 y 看成相应的系数,因Wei方 程 有 实 根 , 由 判 别 式 ≥0 , 求 得 函 数 的 值 域 , 此 法 常 用 于
y= ax 2 + bx + c 2 (a + d 2 ≠ 0) 的有理分式函数De值域探求问题. 的有理分式函数的值域探Qiu问题. 2 dx + ex + f x2 +1 的值域. x2 + x +1
Li 3-1,求函数 y =
Jie析: 解析:由于函数的定义域为 R , 所以去分母整理得: (1 y ) x 2 yx + (1 y ) = 0 , 当 y ≠ 1 时, = (1 y ) 2 4(1 y )2 ≥ 0 ,
2 ≤ y ≤ 2, 3 2 又当 y = 1 时, x = 0 ,∴ y ∈ [ ,] . 2 3
Ji 3 y 2 8 y + 4 ≤ 0 ,解得:
Li 3-2: 求函数 y =
2x +1 的值域. x 2x + 2
2
( ∞, 1) ∪
1 , +∞ 2
Si.反函数法:利用求已知函数的反函数的定Yi域,从而得到原函数的值域的方法.
Li用互为反函数的性质 因为原函数的值域与Qi反函数的定义域相同, 因为原函数的值域Yu其反函数的定义域相同,所以可由求其反函Shu的定义 域来确定原函数的值域. 域来确Ding原函数的值域.
Li 4-1,求函数 y =
a x + ax (a > 0且a ≠ 1) 的值域. a x a x
Jie析: 解析:已知函数的反函数为 f 1 ( x) = 由
x +1 > 0 ,解得 x > 1或x
1 x +1 log a (a > 0且a ≠ 1) 2 x 1
+ 故 所求函数的值域为 y ∈ (∞, 1) ∪ (1, ∞) .
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Wu.换元法:通过对函数恒等变形,将函数化Wei易求值域的函数形式来求值域的方法.
Mou些函数通过换元,可使其变为我们熟悉的函Shu,从而求得其值域, 某些函数通过换元,Ke使其变为我们熟悉的函数,从而求得其值域, 但在代换时应注意等价性. 但在代换时Ying注意等价性. 例 5-1,求函数 y = 2 x 3 + 13 4 x 的Zhi域. 解析: 解析:令 13 4 x = t , t ≥ 0 ,则 x =
13 t 2 , 4
1 7 1 ∴ y = t 2 + t + = (t 1) 2 + 4 ≤ 4 ,当且仅当 t = 1时取等号, 2 2 2
Gu 所求函数的值域为 y ∈ (∞,] . 4
Li 5-2:求函数 y = x 1 2 x 的值域.
1 ∞, 2
Liu.复合函数法:对函数 y = f (u ), u = g ( x ) ,先求 u = g ( x ) 的值域充当 y = f (u ) 的定义 域,从而求出 y = f (u ) 的值域的方法. 例 9: 求函数 y = log 1 ( 2 x + 5 x + 3) 的值域.
2 2
49 8 , +∞
Qi.利用重要不等式求值域:
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Dui于非基本函数,若所给函数表达式符合均值Bu等式,可试用此法. 对于非基本函数,若
Suo给函数表达式符合均值不等式,可试用此法. 1 例 7-1,求函数 y = x 2 (1 3 x)(0 ≤ x ≤ ) 的值域. 3 1 1 解析: 解析:当 0 ≤ x ≤ 时,y ≥ 0 ,当 x = 0或x = 时,y = 0 3 3
1 4 3x 3x 当 0
3x 3x + + (1 3x) 4 2 4 2 ≤ . = 9 3 243
2 当且仅当 x = 时等号成立. 9 4 故 所求函数的值域为 y ∈ [0, ] . 243
Li 7-2:求函数 y = x +
3
1 的值域. x 1 例 7-3:求函数 y = 2 x + 2 ( x > 0) 的值域. x
x + 1 x 1 的值域.
( ∞, 2] ∪ [ 2, +∞ )
[3, +∞ )
Ba.利用函数的单调性: 例 8-1:求函Shu y = 提示:y =
2 , ≥1 , x ∴ x + 1, x 1 都是增函数, y = x + 1 x 1 故 x +1 + x 1
Shi减函数,因此当 x = 1 时, ymax =
2 ,又∵ y > 0 ,∴ y ∈ 0, 2 .
(
Li 8-2:求函数 y = x 1 2 x 的值域. 略 解 : 易 知 定 义 域 为 ∞, , 而 y = x 1 2 x 在 ∞, 上 均 为 增 函 数 , ∴ 2 2
1
1
1 1 1 1 y ≤ 1 2i = ,故 y ∈ ∞, 2 2 2 2
Li用函数的单调性由函数的定义域先求出内函Shu的值域, 利用函数的单调性由函数的定义Yu先求出内函数的值域,再进一步求出外 函Shu的值域(此法对求复合函数的值域非常适用). 例 8-3,(1)求函数 y = 2 x 5 + log 3 x 1(2 ≤ x ≤ 10) 的值域.
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1 (2)求函数 y = log a [1 ( ) x ],x ∈ (0,,
x 1 ,由于 y1,y 2 在[2, ] 上均为增函数,所以 10
y = y1 + y 2 在 [2, ] 也是增函数, 10
1 所以 y min = 2 3 + log 3 2 1 = , y max = 2 5 + log 3 9 = 33 8 1 故 所求函数的值域为 y ∈ [ , ] . 33 8 1 1 1 (2) 令 t = ( ) x , ∵ x ∈ (0, , 则 t = ( ) x 在 R 上 递 减 , ∴ t ∈ ( , , 1) 1) 2 2 2 1 1 1 t ∈ (1, ) ,再令 u = 1 t ∈ (0, ) ,又 y = log a u在(0, ) 上递减, 2 2 2 故 所求函数的值域为 y ∈ (log a , ∞) +
Dui 于 形 如 f ( x) =
ax + b 2 ax 2 + bx + c 2 (a + c 2 ≠ 0)或f ( x) = 2 ( a + d 2 ≠ 0) 的 有 cx + d dx + ex + f
Li分式函数均可利用部分分式发求其值域. Li分式函数均可利用部分分式发求其值域. Li 8-4,(1)求函数 y = 解析: 解析:(1) 因为 y = 3x 1 x2 x 的值域. (2)求函数 y = 2 的值域. x +1 x x +1
3 x 1 3 x + 3 4 3( x + 1) 4 4 = = = 3 ≠ 3, x +1 x +1 x +1 x +1
Gu 所求函数的值域为 y ∈ (∞, ∪ (3, ∞) (此题也可用反函数法求解) 3) +
x2 x x2 x +11 1 1 = = 1+ 2 = 1+ (2) 因为 y = 2 , 2 1 2 3 x x +1 x x +1 x x +1 (x ) + 2 4
1 3 3 1 3 1 而 ( x ) 2 + ≥ ,所以 0
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Jiu.利用函数的有界性:
You于三角函数具有有界性: | 由于三角函Shu具有有界性:| sin x |≤ 1,cos x |≤ 1 ,这一性质在求有关Han数的
Zhi域中有其独特的重要作用. 值域中有其独Te的重要作用. 3 sin x 3 例 9-1,求函数 y = 的值域. 2 cos x + 10 解析:由于 2 cos x + 10 ≠ 0 ,所以 去分Mu整理得: 3 sin x 2 y cos x = 10 y + 3 , 解析:
∴ 9 + 4 y 2 sin( x ) = 10 y + 3(tan = 2y 10 y + 3 ) ,则 sin( x ) = . 2 3 9 + 4y
You | sin( x ) |≤ 1 ,得
10 y + 3 9 + 4y
2
≤ 1 ,解得:
5 ≤ y ≤ 0, 8
5 故 所求函数的值域为 y ∈ [ ,] 0 8
Li 9-2:求函数 y =
2 cos x + 1 的值域. 3cos x 2
2 sin x 的值域. 2 + sin x
1 ∞, ∪ [3, +∞ ) 5 1 3 , 3
Li 9-3:求函数 y =
Shi.图象法:如果可能做出函数的图象,可根Ju图象直观地得出函数的值域(求某些分段 Han数的值域常用此方法) . 例 10-1:求函数 y = x 3 x + 1 的值域.
[ 4, 4]
Shi一.配方法:当所给函数是二次函数或可化Wei二次函数的复合函数时,可以利用配方法求Han 数值域. 例 11-1:求函数 y =
x 2 + x + 2 的值域.
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Dian拨:将被开方数配方成完全平方数,利用二Ci函数的最值求. : 解:由 x + x + 2 ≥ 0 ,可知函数的定义域为 x∈[-1,2].此时
2
1 9 9 x 2 + x + 2 = ( x )2 + ∈ 0, 2 4 4
∴ 0 ≤ x + x + 2 ≤
2
3 3 ,函数的值域是 0, . 2 2
Shi二.比例法 对于一类含条件的函数的值域De求法,可将条件转化为比例式,代入目标函Shu,进而求 出原函数的值域. 例 12-1 已知 x,y∈R,且 3x-4y-5=0,求函数 z=x2+y2 的值域. Dian拨:将条件方程 3x-4y-5=0 转Hua为比例式,设置参数,代入原函数. 解:You 3x-4y-5=0 变形得,(x3)/4=(y-1)/3=k(k 为参数) ∴x=3+4k,y=1+3k, ∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1. 当 k=-3/5 时,x=3/5,y=-4/5 时,zmin=1. 函数的值域为{z|z≥1}. 点评:本题是多元函数关系,一般含有约Shu条件,将条件转化为比例式,通过设参数, 可将原函数转化为单函数的形式,这种解题Fang法体现诸多思想方法,具有一定的创新意识. 练习: 已知 x,y∈R, 且满足 4x-y=0,求函数 f(x,y)=2x2-y 的值域. (答案: {f(x,y)|f(x,y)≥1} ) 十三.数形结He法:根据函数的结构特征,赋予几何图形,Shu形结合. 例 13-1:求函数 y =
x 2 + 4 x + 5 + x 2 4 x + 8 的值域.
Dian拨:将原函数变形,构造平面图形,由几何Zhi识,确定出函数的值域. 解:原函数变形Wei f ( x ) =
( x + 2)2 + 1 + ( x 2)2 + 2 2
Zuo一个长为 4,宽为 3 的矩形 ABCD,再切割成 12 个单位 正方形.设 HK= x ,则 EK=2 x ,KF=2 + x ,AK= ( x 2) + 2 ,
2 2
KC= ( x + 2) + 1 .
2
You三角形三边关系知,AK+KC≥AC=5.当 A,K,C 三点共 线时取等号. ∴原函数的知域为{y|y≥5} .
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Yang老师寄语:在数学学习中般要搞题海战术,Yao一题多解,做一
Dao题要有收获, 杨老师寄语:在数学学习中Ban要搞题海战术,要一题多解,做一道题要有Shou获,也就 般要搞题海战术 题多解 是要Gao懂. 题多方寻找解体途径,我们就可以对Ge种解法给予评价 考试时就 对各种解法给Yu评价, 是要搞懂.一道题多方寻找解体途Jing,我们就可以对各种解法给予评价,考试时Jiu能快速 选择最好的解题方法 最好的解题Fang法. 选择最好的解题方法.
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用配方法求值域
用配方法求值域
一、配方法
Dang所给函数是二次函数或可化为二次函数的复He函数时,可利用配方法求值域 二、例题讲Jie
21、求函数的值域。 y,2,,x,4x(x,,0,4,)
22设:配方得:利用二次函数的f(x),,x,4x(f(x),0)f(x),,(x,2),4(x,,0,4,)相关知识得,从而得出:。 ,,,,f(x),0,4y,,2,2
Shuo明:在求解值域(最值)时,遇到分式、根Shi、对数式等类型时要注意函数本身定义域的Xian制,本题为:。 f(x),0
2,x,4x,32、求函数的值域。 y,e
2u解答:此题可以看作是u,,x,4x,3和两个函数复合而成的函数,对配方可得:uy,e
u2u,1,得到函数的最大值,再根据得到Wei增函数且故uy,0y,eu,,(x,2),1y
2,x,4x,3函数的值域为:。 y,(0,e]y,e
3、若,试求的最大值。 x,2y,4,x,0,y,0lgx,lgy
Ben题可看成一象限动点在直线上滑动时函数的Zui大p(x,y)x,2y,4lgx,lgy,lgxy值。利用两点(4,0),(0,2)确定一条直线,作出图象易得:
2,y=1时,x,(0,4),y,(0,2),而lgx,lgy,lgxy,lg[y(4,2y)],lg[,2(y,1),2
Qu最大值lg2。 lgx,lgy
求值域方法
Qiu函数的值域的常见方法
Qiu函数的值域是高中数学的重点学习内容,其Fang法灵活多样,针对不同的问题情景,要求解Ti者,选择合适的方法,切忌思维刻板。本文Jiu已知解析式求函数的值域,这类问题介绍几Zhong常用的方法。
一、 直接法
Han数值的集合叫做函数的值域,根据定义,由Han数的映射法则和定义域,直接求出函数的值Yu。
Li1. 已知函数y??x?1??1,x???1,0,1,2?,求函数的值域。
2
Jie:因为x???1,0,1,2?,而f??1??f?3??3,f?0??f?2??0,f?1???1 所以:y???1,0,3?,
Zhu意:求函数的值域时,不能忽视定义域,如Guo该例的定义域为x?R,则函数的值域为?y|y??1?。请体会两者的区别。
二、 反函数法
Fan函数的定义域就是原函数的值域,利用反函Shu与原函数的关系,求原函数的值域。 例2.
求函数y?1?
x
5
的值域。 x
2?1
x
Fen析与解:注意到2?0,由原函数求出用yBiao示2的关系式,进而求出值域。 由y?1?
x
5x
得:2?, x
2?1
因为2?0,所以
y?4
?0??4?y?1, 1?y
Zhi域为:?y|?4?y?1?
三、 函数的单调性
Li3.求函数y?x?
1
Zai区间x??0,???上的值域。 x
Fen析与解答:任取x1,x2??0,???,且x1?x2,则
f?x1??f?x2??
?x1?x2??x1x2?1?,因为0?x
x1x2
1
?x2,所以:x1?x2?0,x1x2?0,
Dang1?x1?x2时,x1x2?1?0,则f?x1??f?x2?;
Dang0?x1?x2?1时,x1x2?1?0,则f?x1??f?x2?;而当x?1时,ymin?2 于是:函数y?x?
1
Zai区间x??0,???上的值域为[2,??)。 x
Gou造相关函数,利用函数的单调性求值域。 Li4:求函数f?x???x??x的值域。 分析与解答:因为?
?1?x?0
??1?x?1,而?x与?x在定义域内的Dan调性
?1?x?0
Bu一致。现构造相关函数g?x???x??x,易知g(x)在定义域内单调增。
gmax?g?1??2,gmin?g??1???2,?g?x?2,0?g2?x??2,
又f
2
?x??g2?x??4,所以:2?f2?x??4,2?f?x??2。
四、 换元法
Dui于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂De这类函数,可以考虑通过换元的方法将原函Shu转化为简单的熟悉的基本函数。当根式里是Yi次式时,用代数换元;当根式里是二次式时,用三角换元。
Li5.求函数y?(x2?5x?12)(x2?5x?4)?21的值域。
95?9?
Fen析与解答:令t?x?5x?4??x???,则t??。
42?4?
2
2
y?t?t?8??21?t2?8t?21??t?4??5,
2
91?1??9?
Dangt??时,ymin????4??5?8,值域为?y|y?8?
416?16??4?
Li6.求函数y?x?2?x的值域。
2
Fen析与解答:令t??x,则x?1?t,t?0,y?1?t2?2t???t?1??2
2
2
2
Dangt?0时,tmax?1?0?2?0?1
Suo以值域为(??,1]。
Li7.求函数y?x?x?x2?23的值域。 分析与解答:由y?x?x?x2?23=x?
2?x?5,
2
Lingx?5?2cos?,
2
Yin为2??x?5??0?2?2cos2??0??1?cos??1,??[0,?], 则2?x?5=2sin?,
2
于是:y?
??5????
2sin??2cos??5?2sin?????5,???[,],
4444??
?
2???
?sin?????1,所以:5?2?y?7。 24??
五、 配方法
Dui解析式配方,然后求函数的值域。此法适用Yu形如F?x??a?f当要注意f?x?的Zhi域。
例8.求函数y?
2
?x??b?f?x??c,
?2x?x2?3的值域。
?(x?1)2?4,于是:
2
Fen析与解答:因为?2x?x?3?0,即?3?x?1,y?
0??(x?1)2?4?4,0?y?2。
1x2?2x?4
Li9.求函数y?在区间x?[,4]的值域。
4x
?42?x2?2x?4
x??分析与解答:由y?配方得:y?x??2?????6, xxx??141
?x?2时,函数y?x??2是单调减函数,所以6?y?18; 4x4
4
Dang2?x?4时,函数y?x??2是单调增Han数,所以6?y?7。
x
11
Suo以函数在区间x?[,4]的值域是6?y?18。
44
当
2
六、 判别式法
Ba函数y?f?x?同解变形为关于的一元二Ci方程,利用??0,求原函数的值域,此方Fa适用与解析式中含有分式和根式。
2x2?2x?3
Li10.求函数y?的值域。 2
x?x?1
1?3?
Fen析与解答:因为x2?x?1??x????0,原函数变形为:
2?4?
2
?y?2?x2??y?2?x??y?3??0 (1)
Dangy?2时,求得y?3,所以y?2。
Dangy?2时,因为x?R,所以一元二次方程(1)有实数根。则:
??0,即:?y?2??4?y?2??y?3??0?2?y?
2
10
3
所以2?y?
10, 3
七、 基本不等式法
Li用重要不等式a?b?2ab,a,b?R?求出函数的最值而得出值域的方法。此法的Ti形特征是:当解析式是和式时,要求积是定Zhi;当解析式是积式时,要求和是定值;为此Jie答时,常需要对解析式进行恒等变形,具体Jiang要根据问题本身的特点进行拆项、添项;平Fang等恒等变形。
??
?x2?30x
Li11.求函数y?的值域。
x?2
?x2?30x6464
??x?32??34?[?x?2??] Fen析与解答:y?
x?2x?2x?2
Yin为分母不为0,即x??2,所以: 当x??2时,?x?2??取等号,ymax?18; 当x??2时,??x?2??(?Dang且仅当?(x?2)??
64
?2x?2
?x?2?
6464
,x?6时,?16,当且仅当x?2?
x?2x?2
6464
)?2??x?2?(?)?16, x?2x?2
64
,x??6时,取等号,ymin?50; x?2
Zhi域y?(??,18]?[50,??)
Zhu意:利用重要不等式时,要求f?x??0,且等号要成立。
八、 数形结合法
Dang函数解析式具有某种明显的几何意义(如两Dian间距离,直线的斜率、截距等)或当一个函Shu的图象易于作出时,借助几何图形的直观性Ke求出其值域。 例12.如例4求函数y??x??x的值域。
22
Fen析与解答:令u??x,v??x,则u?0,v?0,u?v?2,u?v?y, 22
Yuan问题转化为 :当直线u?v?y与圆u?v?2在直角坐标系uov的第一象限有公
Gong点时,求直线的截距的取值范围。
You图1知:当u?v?y经过点(0,2)时,ymin?当直线与圆相切时,ymax?OD?所以:值域为2?y?2
2;
2OC?
2?
2
?2。
高一求值域
Gao一函数整理求值域的方法
一.观察法
Tong过对函数定义域、性质的观察,结合函数的Jie析式,求得函数的值域。 例1求函数y=3+√(2-3x) 的值域。
Dian拨:根据算术平方根的性质,先求出√(2-3x) 的值域。
Jie:由算术平方根的性质,知√(2-3x)≥0, 故3+√(2-3x)≥3。 ∴函Shu的知域为 .
Dian评:算术平方根具有双重非负性,即:(1)被开方数的非负性,(2)值的非负性。 Ben题通过直接观察算术平方根的性质而获解,Zhe种方法对于一类函数的值域的求法,简捷明Liao,不失为一种巧法。 练习:求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案:值域Wei:{0,1,2,3,4,5})
二.反函数法
Dang函数的反函数存在时,则其反函数的定义域Jiu是原函数的值域。 例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。 点拨:先求出Yuan函数的反函数,再求出其定义域。
Jie:显然函数y=(x+1)/(x+2)的Fan函数为:x=(1-2y)/(y-1),Qi定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为{y∣y≠1,y∈R}。
Dian评:利用反函数法求原函数的定义域的前提Tiao件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向Si维的思想,是数学解题的重要方法之一。
Lian习:求函数y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案:函数的Zhi域为{y∣y1})
三.配方法
Dang所给函数是二次函数或可化为二次函数的复He函数时,可以利用配方法求函数值域
Li3:求函数y=√(-x2+x+2)的值Yu。
Dian拨:将被开方数配方成完全平方数,利用二Ci函数的最值求。
-解:由-x2+x+2≥0,可知函数的定Yi域为x∈[-1,2]。此时-x2+x+2=-(x1/2)2+9/4∈[0,9/4]
∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函数的值Yu是[0,3/2]
Dian评:求函数的值域不但要重视对应关系的应Yong,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。
Lian习:求函数y=2x-5+√15-4x的Zhi域.(答案:值域为{y∣y≤3})
四.判别式法
Ruo可化为关于某变量的二次方程的分式函数或Wu理函数,可用判别式法求函数的值域。
Li4求函数y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。
Dian拨:将原函数转化为自变量的二次方程,应Yong二次方程根的判别式,从而确定出原函数的Zhi域。 解:将上式化为(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0 (*)
Dangy≠2时,由Δ=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)≥0,解得:20,上述分式不Deng式与不等式2x2-x-3≤0同解,解之De-1≤x≤3/2,又x+y=1,将y=1-x代入z=xy+3x中,得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),
∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连Xu,故只需比较边界的大小。 当x=-1时,z=-5;当x=3/2时,z=15/4。 ∴函数z的值域为{z∣-5≤z≤15/4}。
Dian评:本题是将函数的值域问题转化为函数的Zui值。对开区间,若存在最值,也可通过求出Zui值而获得函数的值域。
Lian习:若√x为实数,则函数y=x2+3x-5的值域为 ( )
A.(-∞,+∞) B.[-7,+∞] C.[0,+∞) D.[-5,+∞) (Da案:D)。
六.图象法
Tong过观察函数的图象,运用数形结合的方法得Dao函数的值域。
Li6求函数y=∣x+1∣+√(x-2)2 的值域。
Dian拨:根据绝对值的意义,去掉符号后转化为Fen段函数,作出其图象。
Jie:原函数化为 -2x+1 (x≤1) y= 3 (-12)
它的图象如图所示。
Xian然函数值y≥3,所以,函数值域[3,+∞]。
Dian评:分段函数应注意函数的端点。利用函数De图象
Qiu函数的值域,体现数形结合的思想。是解决Wen题的重要方法。
Qiu函数值域的方法较多,还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域。
七.单调法
Li用函数在给定的区间上的单调递增或单调递Jian求值域。 例1求函数y=4x-√1-3x(x≤1/3)的值域。 点拨:由已知De函数是复合函数,即g(x)= -√1-3x,y=f(x)+g(x),其定义域为x≤1/3,在此区间内分别讨论函数的增减Xing,从而确定函数的值域。
Jie:设f(x)=4x,g(x)= -√1-3x ,(x≤1/3),易知它们在定义Yu内为增函数,从而y=f(x)+g(x)= 4x-√1-3x 在定义域为x≤1/3上也为增函数,而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此,所求的函数值Yu为{y|y≤4/3}。
Dian评:利用单调性求函数的值域,是在函数给Ding的区间上,或求出函数隐含的区间,结合函Shu的增减性,求出其函数在区间端点的函数值,进而可确定函数的值域。
Lian习:求函数y=3+√4-x 的值域。(Da案:{y|y≥3})
八.换元法
Yi新变量代替函数式中的某些量,使函数转化Wei以新变量为自变量的函数形式,进而求出值Yu。 例2求函数y=x-3+√2x+1 的值域。
Dian拨:通过换元将原函数转化为某个变量的二Ci函数,利用二次函数的最值,确定原函数的Zhi域。 解:设t=√2x+1 (t≥0),则 x=1/2(t2-1)。
Yu是 y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2. 所以,原函数的值域为{y|y≥-7/2}。
Dian评:将无理函数或二次型的函数转化为二次Han数,通过求出二次函数的最值,从而确定出Yuan函数的值域。这种解题的方法体现换元、化Gui的思想方法。它的应用十分广泛。 练习:Qiu函数y=√x-1 –x的值域。(答案:{y|y≤-3/4}
Gen据函数的结构特征,赋予几何图形,数形结He。 例3求函数y=√x2+4x+5+√x2-4x+8 的值域。 点拨:将原函Shu变形,构造平面图形,由几何知识,确定出Han数的值域。
Jie:原函数变形为f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22
Zuo一个长为4、宽为3的矩形ABCD,再切Ge成12个单位 正方形。设HK=x,则ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22 , KC=√(x+2)2+1 。
You三角形三边关系知,AK+KC≥AC=5。当A、K、C三点共 线时取等号。
∴原函数的知域为{y|y≥5}。
Dian评:对于形如函数y=√x2+a ±√(c-x)2+b(a,b,c均为正数),均Ke通过构造几何图形,由几何的性质,直观明Liao、方便简捷。这是数形结合思想的体现。
Lian习:求函数y=√x2+9 +√(5-x)2+4的值域。(答案:{y|y≥5√2})
Shi一.利用多项式的除法
Li5求函数y=(3x+2)/(x+1)的Zhi域。
Dian拨:将原分式函数,利用长除法转化为一个Zheng式与一个分式之和。
Jie:y=(3x+2)/(x+1)=3-1/(x+1)。 ∵1/(x+1)≠0,故y≠3。
∴函数y的值域为y≠3的一切实数。
Dian评:对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。
Lian习:求函数y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域。(答案:y≠2)
十二.不等式法
Li6求函数Y=3x/(3x+1)的值域。
Dian拨:先求出原函数的反函数,根据自变量的Qu值范围,构造不等式。 解:易求得原函数De反函数为y=log3[x/(1-x)], 由对数函数的定义知 x/(1-x)>0 1-x≠0
解得,0<x
Dian评:考查函数自变量的取值范围构造不等式(组)或构造重要不等式,求出函数定义域,Jin而求值域。不等式法是重要的解题工具,它De应用非常广泛。是数学解题的方法之一。 Yi下供练习选用:求下列函数的值域 1.Y=√(15-4x)+2x-5;({y|y≤3}) 2.Y=2x/(2x-1)。 (y>1或y
Yi知函数F(X)=lg(X^2-mx+3)(m为实数)
(1)函数F(X)的定义域与值域能否同时Wei实数集R?证明你的结论.
(2)是否存在实数M,使函数发F(X)的Ding义域和值域同时为
类似上面一题的
Han数F(X)= lg(ax^2+2x+1)
(1)若F(X)的定义域为R,求实数a的Qu值范围 (2)若F(X)的值域为R,Qiu实数a的取值范围
Han数Y=-log以2为底(x^2-ax-a)在区间(负无穷,-1/2)上是增函数De充要条件.