方丈久居怡红院
Bian形的?半径，正多边形的?中心角，正多边Xing的?边心距(
2(在正多边形?和圆中，圆的Ban径、边长、边心距中心?角之间的等?量关Xi(
3(正多边形的?画法(
Wen题:1(什么叫正多?边形,
2(从你身边举?出两三个正?Duo边形的实?例，正多边形具?有轴对称、?Zhong心对称
Ma?,其对称轴有?几条，对称中心是?哪一Dian,
1(各边相等，各角也相等?的Duo边形是?正多边形(
2(实例略(正多边形是?轴对Cheng图形?，对称轴有无?数多条;?正多边形Shi?中心
Dui称图?形，其对称中心?是正多边形?对应Ding点的?连线交点( 探究:如果我们以?正Duo边形对?应顶点的交?点作为圆心?，过点Dao顶点?的连线为半?径，
Neng够作一个?圆，很明显，这个正多边?形的Ge个顶?点都在这个?圆上，如图，?
Zheng六边形A?BCDEF?，连结AD、CFJiao于一?点，以O为圆心?，OA为
Ban径?作圆，那么肯定B?、C、?D、E、F都在这个?圆上(
因此，正多边形和?圆的关系十?Fen密切，只要把一个?圆分成相等?的一些弧，就可以作出?这个圆的内?接正多边形?，Zhe个圆就是?这个正多边?形的外接圆?(
我们以圆内?接正六边形?为例证明(
如图所示的?圆，把?O?分成相等De?6?段弧，依次连接各?分点得到六?边ABCD?EF，下面证明，它是正六边?形(
根据正多边?形的定义，各边相等、各Jiao相等、六边形AB?CDEF是??O的内Jie正?六边形，?O是正六边?形ABCD?EF的外接?圆(
为了今后学?习和应用的?方便，?Wo们把一个?正多边形的?外接圆的圆?心叫Zuo这个?多边形的中?心(
外接圆的半?径叫做正多?边形的半Jing?(
正多边形每?一边所对的?圆心角叫Zuo?正多边形的?中心角(
Zhong心到正多?边形的一边?的距离叫做?正多Bian形的?边心距(
Li1(已知正六边?形ABCD?EF，如图Suo示，其外接圆的?半径是a，?求正六边形?的周长和面?积(
ED
O CF
MB A
Li2(利用你手中?的工具画一?个边长为3?cm的正五?边形(
Li3(在直径为A?B的半圆内?，划出一块San?角形区域，如图所示，使三角形的?一边WeiAB?，顶点C在半?圆圆周上，其它两边Fen?别为6和8?，现要建造一?个内接于?ABC?的矩形水池?DEFN，其中D、EZaiAB上?，如图24-94的设计?方案是ShiA?C=8，BC=6(
(1)求?ABC的边?AB上的高?h(
hDNNF,, (2)设DN=x，Qie，当x取何值?时，水池DEF?N的面积Zui?大, hAB
(3)实际施工时?，发现在AB?上距B点1?(85的M处?有一棵大树?，问:这棵Da树是?否位于最大?矩形水池的?边上,如Guo在，为了保护大?树，请设计出另?外的方An，使内接于满?足条件的三?角形中欲建?De最大矩形?水池能避开?大树(
C
NF
h
ADEGB
课时作业
1(如图1所示?，正六边形A?BCDEF?内接于?O，则?ADB的度?数是( )( A(60? B(45? C(30? D(22(5?
(1) (2) (3)
2(圆内接正五?边形ABC?DE中，对角XianAC?和BD相交?于点P，则?APB的Du?数是( )(
A(36? B(60? C(72? D(108?
3(若半径为5?cm的一段?弧长等于半?Jing为2cm?的圆的周长?，?则这段弧所?Dui的圆心角?为( )
A(18? B(36? C(72? D(144?
4(已知正六边?形边长为a?，则它的内切?圆面积为_?_____?_(
5(在?ABC中，?ACB=90?，?B=15?，以C为圆心?，CA长为半?径的Yuan交A?B于D，如图2所示?，若AC=6，则AD的长?为____?____(
(四边形AB?CD为?O的内接梯?形，如Tu3所示?，AB?CD，且CD为直?径，?如果?O 6
De半径等于?r，?C=60?，那图中?OAB的边?长AB是_?_____?;?ODA的周?长是___?____;?BOCDe度?数是___?_____?(
7(等边?ABC的边?长为a，求其内切圆?的内接正方?形DEFG?的面积(
8(如图所示，?已知?O?的周长等于?6cm，?求以它的半?径为边长的?正六边形A?BCDEF,
?的面积(
9(如图所示，正五边形A?BCDE的?对Jiao线AC?、BE相交于?M(
(1)求证:四边形CD?EM是菱Xing?; 2 (2)设MF=BE?BM，若AB=4，求BE的长?(
正多边形的面积
正多边形的面积
Wo们知道，正四边形（正方形）面积等于a2,正三角形的面积等于
2a。我不禁想到了：那么正五边形、正六边Xing呢？通过画图计算，4
B
Wo发现正六边形的面积公式比较容易推导，
Er正五边形的则复杂一些。
Ru图是一个边长为a的正六边形。连
E
JieAC,DF,过B作BG⊥AC。∴BG= ,AC= 。
2∴S?ABC= ?BG=
B
E
21
2
a。∴4
a
S正六边形=
2a4
×
2+a× =
3 2
a。 2
Yong类似的方法，我求得了正五边形的面积公式，不过结果十分复杂。我求得
S正五边形= 2sin54°cos54°+
a2。我想化简这个结果。sin54°sin72°
Tong过观察公式sin2α=2sinαcosα,我
Fa现可以将2sin54°cos54°化简Weisin108°,即cos18°。得到这Ge结果，我挺满意，又考虑能不能把sin54°sin72°也变成与cos18°有关De形式。经过尝试，我进行了以下变形：sin54°sin72°=cos36°cos18°,而又有cos2α=2cos2α?1，所以cos36°cos18°=2cos318°?cos18°。所以2sin54°cos54°+sin54°sin72°=2cos318°。∴S正五边形=2cos318°a2。而利用黄金三角形，可以Qiu得cos18°=
4
。虽然
Zhe是根式的形式，但是代入原式会异常复杂，Huan不如三角函数的表示形式简明。
Wo又想有没有能够适用于所有正多边形的公式，而不用屡次尝试化简三角函数。
Hen快，我找到了一个普遍适用的新
…
Fang法。作出该正多边形的中心O，连接OB，OC，过O作OE⊥BC。设该正多边形
A
Wei正n边形，边长为a。∴OB=OC,∠BOC=
D
360°n
, ∴BE=CE=,∠BOE=
2
BEtan∠BOE12
a180°n
。。
∴OE=
=
a
a2tan
B
C
∴S正多边形= na×
2tan
n
=
n
4tan
n
a2。发
Xian了这个结论，我很高兴，将
n=3,n=4,n=6逐一带入，都与之前De结果相符。
Zhe时，我又联想到了圆。圆可以看成正无数边Xing，那么圆的面积公式S圆=πr2与这个公Shi是否统一呢？我发现将边心距OE= 为h，那么a=2tanS正多边形=ntan
180n
180n
a2tan
记
h。将其代入S正多边形=
n
4tan
a2得到
h2。将这个公式与S圆=πr2类比，可得Dang正n边形变
180n
Shu无限大时，ntan就无限接近于π。不过ntan
180n
Wo又想到了，前面我用OE来近似表示半径，Na如果用OB来表示呢？同样，我求得OB= S正多边形=nsinnsin
180°n
180°n
a2sinn
，记OB=h’，∴a=2sin180°n
h’。代入得
cos
180°
h′2。同上，当正n边形变数无限大时，
180n
cos
180°n
Ye无限接近于π。当ntan
n
nsin
180°n
cos
180°n
无限接近似
近时，即有tan
180
≈sin
180°n
cos
180°n
，又
sinαcosα
=tanα, ∴cos2
180°n
Deng于1，即n无穷大。这说明了该结论的正确Xing。
You图像可以看出，函数值无限接近
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