范文一：简谐运动周期公式的推导

,,,,,?,,,,,?导

【摘要】:,,,,,?,,,,,?,,,,,?,，,,,,,?,,,,,?,导,,,?,,,,,?,,。

【关键辞】:,,,,,,,,,,,,,?,,,,,,

【正,】:

,,,,,?,,,,,?,,,,,?,,,，如图2,,?。,,,,,?,,,,,?图3,,,?,,,,,?似。,图3中，O,,,,?绳(,,,,,?,,,绳,?,,,,,?,,,,,?),,,,,?，,,正,,?,,,,,?面上。把,,O,?,,，,,?上，,,,?，然后拉至A?,,,,,?放手，,,,,,?,,绳,,?,下,,,?面上,A,A’,,,,,?,。如,,,,?,,,,,?放,,，,,,,,?，,,,,?绳,,,,?,,,，,,,,,?,,,,,?面内以O,?为,心，以OA,,?为,,,,?,,,,,?。那么,,O?A,,,,?,,,(,,,,,?分,,),图3中,?,,,,,?全,同。证明如下:

,,，,,,,,?,,,,,?为零(图4中,O?A,,上,?分,,为零?)。

其次，,,,,,?上,,,,?,,同。

,上面,,?,,,,,?,,,,,?,,全,同?,。

,图4中,?,绕O,,?，圈，,,,,,?,,(,,,,),,,,，?,,,，,,,,,?,,,,。,,,,,?以,,,,?,,,,,?,,,,,?,,,,,?,,。

-A O A -A O A

图2

图3

A O

图4

如图5,,?图4,,,?图，并建以O为?坐标,,,OA,,为?x,正,,?建,,坐标?

1

,。

y

r y θ x O x

图5 ,,,,,?,,,,,?,,,,,?:

,2……………………(1) T,,

其中,,,?,,,,,?,,,。 ,

,,,,,?,,,心,?,,,绳,?,,,,,?，,,,,,?,,,,:

2kr,m,r……………………(2)

,中,r,?,,,,,?,,,,，,,,,绳?,形变量;k,,,绳?,,,,,?。 ,(1)(2),,,:

m,2,T k

,零，，,?三月九日

2

范文二：简谐运动位移公式推导

简简简位移公式推简运

问问问问问:量m的系于一端固定的簧，簧量可不,的自问问问问问问问问问问问问问问由端。如，问问a,所示,

将物体略向右移,在簧力作用下,若接触面光滑,问问问问问问问问问问问问问问m物体将作往运,问问问问问求位移x与问问t的函数系式。问问问问

问，a,

分析:m物体在力问问F的作用下运,然位移问问问问问问X与力问问F有,而由问问问问问问簧想起胡克定律,但果只有位移与,故要把力问问问问问问问问问问问问问问问问问问问问问问问问F替成于问问问问X与t的量,再求解微分方程。问问问问问问

推:取物体平衡位置问问问问问问问问问O问问问问坐原点,物体运迹问问问问X问问问问问问问问,向右正。力F,由胡克定律 FkX=-,K问问问问问问问问问问问问问问问度系数,号表示力与位移方向相反。

根据牛第二定律,问问问问问问m物体加速度a=dvdt=d2Xdt2=Fm=-kmx (1)

可令km=ω2 (2)

代入，a,,得

d2Xdt2=-ω2X或d2Xdt2ω2+X=0 (3)问然,想求出位移X与问问t的函数系式,解出此微分方程问问问问问问问问问问问问

求解:于问问d2Xdt2ω2+X=0,即X’’+ ω2X=0 (4)

(4)式属可将的二微分方程,问问问问问问问问问

若问X’=u,消去t,就要把把X”问问问问化于X与t的函数,那问

X’’=dXdt"= dudxdxdt=ududx ,

u dudx+ω2X=0, u =-dudxω2X

下面分离量再求解微分方程,然后两分,得问问问问问问问问问问问问问问问问问问udu=-ω2Xdx

得 12u2=- 12ω2x2+C,即u2ω2x2=- +C1 (5)

u=x’,x’=C1ω2x2- =dxdt

(6)

再次分离量,问问问dxC1ω2x2- =dt (7)

两分,右问问问问问问=t,但左,问问问问问问

问问问问问问问问问问问问问问问问问仔思考,笔者出一求解方法:

运用三角代,令问问问X=C1ωcosz

(7)式左化问问问dcoszωsinz=-sinzdzωsinz=-dzω,两分,得问问问问问 -–zω=t+C2

由此可得, X=C1ωcosω(t+ωC2),

即 X=Acosω(t+ψ) (8)其中 A, Ψ皆常数问问问

此方程即运方程问问问问问问问

若Ψ=0,X-t问问问问问问余弦曲,如，b,所示

问，b,

问问问问问问问问问问问问问:通高照相机拍后m的迹周期的曲,与问问问问问问问问问问问问问问X=Acosω(t+ψ)问像基本吻合,故可判断X=Acosω(t+ψ)即所求问问问,如，问问c,所示。

问，c,

范文三：简谐运动位移公式推导

简谐运动位移公式推导

问题:质量为m的系于一端固定的轻弹簧(弹簧质量可不计)的自由端。如图(a)所示，

将物体略向右移，在弹簧力作用下，若接触面光滑，m物体将作往复运动，试求位移x与时间t的函数关系式。

图(a)

分析:m物体在弹力F的作用下运动，显然位移X与弹力F有关，进而由弹簧联想起胡克定律，但结果只有位移与时间，故要把弹力F替换成关于X与t的量，再求解该微分方程。

推导:取物体平衡位置O为坐标原点,物体运动轨迹为X轴，向右为正。设弹力为F,

由胡克定律 F=?kX,K为劲度系数，负号表示力与位移方向相反。

dvd2FkX根据牛顿第二定律，m物体加速度a====-x (1) 2dtdtmm

k2可令=ω (2) m

代入(a),得

d2d2XX22=?ωX或+ωX=0 (3) 22dtdt

显然，想求出位移X与时间t的函数关系式，须解出此微分方程

2d2X2求解:对于+ωX=0，即X’’+ ωX=0 2dt

(4)

(4)式属可将阶的二阶微分方程，

若设X’=u，消去t,就要把把X”转化为关于X与t的函数，那么

dX"dudxduX’’== =u , dtdxdtdx

dudu22u +ωX=0, u =?ωX dxdx

下面分离变量再求解微分方程，然后两边积分，得

2,udu=?ω,Xdx

11222222得 u=? ω x+C，即u=? ω x+C1 (5) 22

dx22u=x’,x’=,C1? ω x = dt

(6)

dx再次分离变量，=dt 22,C1? ω x

(7)

两边积分，右边=t，但左边较为复杂，

经过仔细思考，笔者给出一种求解方法:

C1,运用三角代换，令X=cosz ω

dcosz?sinzdzdz(7)式左边化为==-, ωsinzωsinzω

z两边积分，得 -–=t+C2 ω

C1,由此可得， X=cos(ωt+ωC2), ω

即 X=Acos(ωt+ψ) (8) 其中 A, Ψ皆为常数

此方程即为简谐运动方程

若Ψ=0,X-t为余弦曲线，如图(b)所示

图(b)

验证:通过高频照相机拍摄后发现m的轨迹为周期摆动的简谐曲线，与X=Acos(ωt+ψ)图像基本吻合，故可判断X=Acos(ωt+ψ)即为所求,如图(c)所示。

图(c)

范文四：简谐运动周期公式的推导

简谐运动周期公式的推导

假设质点的位移与时间的关系遵从正弦的规律，即它的振动图象(x—t图象)是一

条正弦，这样的运动叫做简谐运动。

由定义可知，质点的位移时间关系为

………………(1) ，，x,Asin,t，,

对时间求导数可得速度随时间变化的规律:

dx，，………………(2) v,,A,cos,t，,dt

再次对埋单求导数可得加速度随时间变化的规律:

dv2，，a,,,A,sin,t，,………………(3) dt

由牛顿第二定律可知，质点受到的合力为:

F,ma………………(4) 由(3)(4)可知:

2………………(5) ，，F,,mA,sin,t，,

将(1)式代入(5)式可得:

2F,,m,x………………(6) 上式中，m和都是常数，从而可以写成下面的形式 ,

F,,kx………………(7)

2m,,k对于的弹簧振子来说，(7)式中的k表示弹簧的劲度系数，即

k,,………………(8) m

由数学知识知，质点完成一次全振动的时间，即周期

,,T,………………(9) ,

由(8)(9)可得:

mT,2,………………(10) k

对于单摆的周期公式。设单摆的摆长为l，球的质量为m，做小角度摆动时，在某个

x,,,sin,,瞬间的摆角为，偏离平衡位置的位移为x。根据知，它的回复力 l

1

mg………………(11) F,,xl

mg对比(7)式可知，，将这个结果代入(10)可得单摆小角度摆动的周期 k,l

l………………(12) T,2,g

2

范文五：简谐运动周期公式的推导

简谐运动周期公式的推导

【摘要】:本文通过简谐运动与圆周运动的联系，用圆周运动的周期公式推导出了简谐运动周期公式。

【关键辞】:简谐运动、周期、匀速圆周运动、周期公式

【正文】:

考虑弹簧振子在平衡位置附近的简谐运动，如图2所示。它的运动及受力情况和图3所示的情况非常相似。在图3中，O点是弹性绳(在这里我们设弹性绳的弹力是符合胡克定律的)的原长位置，此点正好位于光滑水平面上。把它在O点的这一端系上一个小球，然后拉至A位置由静止放手，小球就会在弹性绳的作用下在水平面上的A、A’间作简谐运动。如果我们不是由静止释放小球，而是给小球一个垂直于绳的恰当的初速度，使得小球恰好能在水平面内以O点为圆心，以OA长度为半径做匀速圆周运动。那么它在OA方向的投影运动(即此方向的分运动)与图3中的简谐运动完全相同。证明如下:

首先，两个运动的初初速度均为零(图4中在OA方向上的分速度为零)。

其次，在对应位置上的受力情况相同。

由上面的两个条件可知这两个运动是完全相同的。

在图4中小球绕O点转一圈，对应的投影运动(简谐运动)恰好完成一个周期，这两个时间是相等的。因此我们可以通过求圆周运动周期的方法来求简谐运动的周期。

-A O A -A O A

图2

图3

O A

图4

如图5作出图4的俯视图，并建以O为坐标原点、OA方向为x轴正方向建直角坐标

1

系。

y

y r θ x O x

图5 则由匀速圆周运动的周期公式可知:

,2T,……………………(1) ,

其中是匀速圆周运动的角速度。 ,

小球圆周运动的向心力由弹性绳的弹力来提供，由牛顿第二定律可知:

2kr,m,r……………………(2)

式中的r是小球圆周运动的半径，也是弹性绳的形变量;k是弹性绳的劲度系数。 由(1)(2)式可得:

mT,2, k

2

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