Jasen_伟哥
范文一：初中数学一题多变、一题多解
一题多解、一题多变
原题条件或结论的变化
所谓条件或结论的变化，就是对某一问题的条件或结论进行变化探讨，并针对问题的内涵与外延进行深入与拓展，从而得到一类变式题组。通过对问题的分析解决，使我们掌握某类问题的题型结构，深入认识问题的本质，提高解题能力。
例1 求证：顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。 变式1 求证：顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形。 变式2 求证：顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形。 变式3 求证：顺次连接正方形各边中点所得的四边形是正方形。 变式4 顺次连接什么四边形各边中点可以得到平行四边形？ 变式5 顺次连接什么四边形各边中点可以得到矩形？ 变式6 顺次连接什么四边形各边中点可以得到菱形？ ??
通过这样一系列变式训练，使学生充分掌握了四边形这一章节所有基础知识和基本概念，强化沟通了常见特殊四边形的性质定理、判定定理、三角形中位线定理等，极大地拓展了学生的解题思路，活跃了思维，激发了兴趣。 一、几何图形形状的变化
如图1，分别以Rt ABC 的三边为边向外作三个正方形，其面积分别为S 1、S 2、S 3，则
S 1、S 2、S 3之间的关系是
S 1
C
S 2
A
B
C
S 1
A
S 3
S 2
B
A
S 1
S 2B
S 3
S 3
图1 图2 图3
变式1：如图2，如果以Rt ?ABC 的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别为S 1、S 2、S 3，则S 1、S 2、S 3之间的关系是变式2：如图3，如果以Rt ?ABC 的三边为边向外作三个正三角形，其面积分别为
S 1、S 2、S 3，则S 1、S 2、S 3之间的关系是变式3：如果以Rt ?ABC 的三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别为S 1、S 2、S 3，为使S 1、S 2、S 3之间仍具有上述这种关系，所作三角形应满足什么条件？证明你的结论。
变式4：如图4，梯形ABCD 中, AB //DC , ∠ADC +∠BCD =90?, 且DC =2AB , 分别以DA 、AB 、BC 为边向梯形外作正方形，其面积分别为S 1、S 2、S 3，则 S 1、S 2、S 3
之间的关系是
S 2
S 1
S 3
S 1
S 2
S 3C
D S S 2
S 3C
D
E C
D
图4 图5 图6
变式5：如图5，梯形ABCD 中, AB //DC , ∠ADC +∠BCD =90?, 且DC =2AB , 分别以DA 、AB 、BC 为边向梯形外作正三角形，其面积分别为S 1、S 2、S 3，则 S 1、S 2、S 3
之间的关系是
变式6：如图6，梯形ABCD 中, AB //DC , ∠ADC +∠BCD =90?, 且DC =2AB , 分别以DA 、AB 、BC 为直径向梯形外作半圆，其面积分别为S 1、S 2、S 3，则 S 1、S 2、S 3
之间的关系是
上述题组设置由易到难，层次分明，把学生的思维逐渐引向深入。这样的安排不仅使学生复习了勾股定理，又在逐渐深入的问题中品尝到成功的喜悦；既掌握了基础知识，也充分认识了问题的本质，可谓是一举两得。 二、图形内部结构的变化
例2. 已知：如图7，点C 为线段AB 上一点，?ACM 、?CBN 是等边三角形。
求证：AN=BM
图7 图8
证明： ?ACM 和?CBN 是等边三角形
∴MC =AC , CN =CB , ∠ACN =∠MCB ∴?ACN ≌?MCB
∴AN =BM
变式1：在例2中，连接DE ，求证：（1）?DCE 是等边三角形（2）DE//AB
分析：(1)可证?ADC ≌?MEC ，则DC=EC,因为∠DCE=60?, 所以?DCE 是等边三角形。 (2)由（1）易证∠EDC =∠ACM=60?, 所以DE//AB 变式2：例2中，连接CF ，求证：CF 平分∠AFB
分析：过点C 作C G ⊥AN 于G,CH ⊥BM 于H, 由?ACN ≌?MCB ，可得到CG=CH, 所以CF 平分∠AFB
变式3：如图8，点C 为线段AB 上一点，?ACM 、?CBN 是等边三角形，P 是AN 的中点，Q 是BM 的中点，求证：?CPQ 是等边三角形 证明： ?ACN ≌?MCB
∴AN =BM , ∠ABM =∠ANC
又 P 、Q 分别是AN 、BM 的中点
∴?BCQ ≌?N C P
∴CQ =CP, ∠BCQ =∠NCP
∴∠PCQ =∠NCP +∠NCQ =∠BCQ +∠NCQ =∠NCB =60?
∴?CPQ 是等边三角形
图7是一个很常见的图形，其中蕴含着很多的关系式，此题还可 适当引导学生探索当点C 不在线段AB 上时所产生的图形中的一些结论，通过该题的变式训练，让学生利用自己已有的知识去探索、猜想，进而培养了学生思维的创造性。 三、因某一基本问题迁移的变化
例4如图9，要在燃气管道L 上修建一个泵站，分别向A 、B 两镇
供气，问泵站修在什么地方使所用的输气管线最短？ 图9
分析：设泵站应建在P 处。取点B 关于L 的对称点B ’, 如图1，PB ’=PB,要使PA+PB最小只要PB ’+PA最小，而两点之间距离最短，连接AB ’与L 的交点P 即是泵站所建的位置。本题特点：一直线同旁有两定点，关键要在直线上确定动点的位置，使动点到定 点的距离之和最短，我们常常把这类问题称作“泵站问题”。
变式1：如图2，在?ABC 中，AC=BC=2, ∠ACB=90?,D 是BC 的中点，E 是AB 边上一动点，则EC+ED的最小值是
图2
解：C 、D 是两定点，E 是在直线AB 上移动的一动点，以CA 、CB 为边作正方形ACBF ，则C 关于AB 的对称点一定是F, 连接DF 交AB 于E, 这时EC+ED最小。因为D 是BC 的中点，在直角三角形FBD 中，
B
A
L
P
B'
A F
C
D
B
EC +ED =ED +EF =DF =BD 2+BF 2=22+12=5.
变式2：如图3，点P 是边长为1的菱形ABCD 对角线AC 上一动点，M 、N 分别是AB 、BC 边上的中点，则PM+PN的最小值
分析：M 、N 是两定点，P 是在直线AC 上移动的一动点，作N 关于AC 的对称点G ，由于四边形ABCD 是菱形，所以G 一定在DC 上，且为DC 的中点，连接MG 交AC 于P, 四边形AMGD 为平行四边形，连接PM 、
D
A
B N
C
PN ，则PM+PN最小，PM+PN=PM+PG=MG=BC=1
变式3：如图，梯形ABCD 中，AD//BC,AB=CD=AD=1, ∠B=60?, 直
线MN 为梯形的对称轴，P 为MN 上一点，那么PC+PD的最小值为
解:C、D 是两定点，P 是直线MN 上一动点，因为图形ABCD 中，
AD//BC,AB=CD=AD=1,所以四边形ABCD 为等腰梯形，而直线MN 为梯形ABCD 的对称轴，则D 关于MN 的对称点是A 点，连接AC 交MN 于点P,
连接PD, 则有PA=PD,要使PC+PD的值最小，就要使PA+PC最小，所以PC+PD=PA+PC=AC,因为∠B=60?，可证得?ABC 为直角三角形，AC=ABtan∠B=1?tan 60?=3, 则PC+PD 的最小值为3.
变式4：如图，已知⊙O 的半径为r , C、D 是直径AB 同侧圆周上的两点，弧 AC的度数为96?，弧 BD的度数为36?, 动点P 在AB 上，则CP+PD的最小值为 解：如图，设D ’是D 关于直径AB 的对称点，连接CD ’交AB 于P ，则P 点使CP+PD最小。
弧CD 的度数为180?-96?-36?=48?，弧CD ’的度数为120?， 所以∠COD ’=120?, 从而易求CP+PD=CD’=r , 所以CP+PD的最小值为r .
本例利用“泵站问题”进行迁移变式，逐步探究了几种常见的图形中两条线段之和最短问题，这样有利于学生解题思想方法的形成、巩固，达到了透彻理解该基本问题的目的。
A
P
D' C
D B
范文二：初一数学一题多解
例题一、如图1，已知AB//CD，试找出、和的关系并证明。 ，B，BED，D
我们找出他们的关系是:。证明如下: ，BED,，B，，D
方法一:如图2，过点E作EF//AB。因为AB//EF，所以，BEF,，B;因为AB//CD，
，所以，所以，所以AB//EFEF//CD，FED,，D
，BED,，BEF，，FED,，B，，D。
方法二:如图3，过点E作EF//AB。
,,，BEF，，B,180，BEF,180,，BAB//EFAB//CD因为，所以，即;因为，
,,，FED，，D,180，FED,180,，DAB//EFEF//CD，所以，所以，即;因为
:，BEF，，BED，，FED,360，所以
::,,,，B，，D。 ，BED,360,(，BEF，，FED),360,(180,，B，180,，D)
,，ABD，，BDC,180AB//CD方法三:如图4，连接BD。因为，所以，即
,;在ΔBED中，，ABE，，EDC,180,(，EBD，，EDB)
,，BED,，ABE，，EDC，所以。 ，BED,180,(，EBD，，EDB)
FG,ABAB//CD方法四:如图5，过点E做，垂足为点F，交CD于点G。因为，
,,,，EGD,180,，EFB,90，GED,90,，D所以;在直角ΔEGD中，，在直角ΔEFB
,，FEB,90,，B中，，所以
,,,,。 ,，B，，D，BED,180,(，GED，，FEB),180,(90,，D，90,，B)方法五:如图6，延长BE交CD于点F。因为，所以;在ΔEFDAB//CD，EFD,，B
,,，EFD，，D,180,，FED，BED,180,，FED中，，又因为，所以
。 ，BED,，EFD，，D,，B，，D
例题二、证明: 如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直
角三角形(
已知:如图1，在?ABC中，AD=BD=CD(
求证:?ABC是直角三角形(
证法1 如图1，利用两锐角互余(
?AD=CD，CD=BD，
??1=?A，?2=?B。
在?ABC中，??A+?B+?ACB=180?，
??A+?B+?1+?2=180?，
?2(?A+?B)=180?，
??A+?B=90?，
??ACB=90?，??ABC是直角三角形。
证法2 如图2，利用等腰三角形的三线合一(
延长AC到E使CE=AC，连接BE(
?AD=BD，
?CD是?ABE的中位线(
1CD,BE?。 2
1?CD,AB， 2
?AB=BE(
?BC?AC，??ABC是直角三角形(
证法3 如图3，利用此三角形与某个直角三角形相似(或全等)(
过点D作DE?BC交BC于点E(
?CD=BD，
1BE,BC， ?2
BEBD1,,?， BCAB2
??B是公共角，
??BDE??BAC。
??ACB=?DEB=90?，??ABC是直角三角形。 证法4 如图4，利用如果一条直线垂直于两平行线中的一条，则也垂直于另一条(
取BC中点E，连接DE(
?AD=BD，?DE是?ABC的中位线(
?DE?AC(
?CD=BD，CE=BE，
?DE?BC(
?AC?BC，??ABC是直角三角形(
证法5 如图5，构造四边形，并证其为矩形(
延长CD到E使DE=CD，连接AE、BE( ?AD=BD=CD(
?AD=BD=CD=DE,且AB=CE(
?四边形ABCD是矩形(
??ACB=90?，??ABC是直角三角形( 证法6 如图6，利用勾股定理的逆定理(
设AC=b，BC=a，AB=c，取BC中点E，连接DE( ?DE是?ABC的中位线(
11DE,AC,b。 ?22
?CD=BD，?DE?BC。
222DE，BE,BD在Rt?DEB中，?，
222111,,,,,,b，a,c?。 ,,,,,,222,,,,,,
222a，b,c?，??ABC是直角三角形。 证法7 如图7，利用两直线平行，再证同旁内角相等。
延长CD到E使DE=CD，连接BE。 ?AD=BD，?1=?2，
??ADC??BDE(SAS)，
??ACD=?E，AC=BE，
?AC?BE，
??ACB+?EBC=180?。
又?AD=CD，?AB=CE。
?BC是公共边，
??ACB??EBC(SSS)。
??ACB=?EBC。
??ACB=90?，??ABC是直角三角形。 证法8 如图8，利用直径所对的圆周角是直角。
以D为圆心，DA长为半径作圆。
AD=BD=CD， ?
?点C、B在圆上，AB是直径。
??ACB=90?。
??ABC是直角三角形。
例题三、某人买13个鸡蛋、5个鸭蛋、9个鹌鹑蛋，共用去9.25元，如果买2个鸡蛋、4个鸭蛋、3个鹌鹑蛋，则共用去3.20元，试问只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各1个，共需多少钱,
这类题目的特点是所能列出的方程的个数少于未知数的个数，看似不可解，但由于所求的并不是每一个未知数的值，而是一个代数式的值。所以可解。这类题对学生来说是有一些难度的，但如果掌握了以下方法，既可以化繁为简，又可以收到一题多解，提高学生能力的效果。
下面让我们先来列出方程。
设鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋的单价分别为x、y、z元，则根据题意，可得方程
13x，5y，9z,9.25,x，y，z，求的值。 ,2x，4y，3z,3.20,
解法一:变元法:
1,z,x,,,2把z看成常数，解关于x、y的方程，可得 ,11,10z,y,,20,
1,z11,10zx，y，z然后代入所求式中，得: x，y，z,，，z,1.05220
答:只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各1个，共需1.05元。
解法二:直接构造法:
x，y，zx，y，z因为题目中要求的值，所以将原方程互助组变形直接构造出。
13x，5y，9z,9.255(x，y，z)，8x，4z,9.25,,, ,,2x，4y，3z,3.204(x，y，z),2x,z,3.20,,
21(x，y，z),22.05?4+?得 ，
？x，y，z,1.05
答:略
解法三:间接构造法:
，?的两边同乘以常数b，得 将原方程组中的?两边同乘以常数a
13ax，5ay，9az,9.25a, ,2bx，4by，3bz,3.20b,
(13a，2b)x，(5a，4b)y，(9a，3b)z,9.25a，3.20b?+?得
?我们想要求的代数式是x+y+z，
?令 13a，2b,5a，4b,9a，3b
可得a=1，b=4，代入上式得 21x+21y+21z=9.25+12.80=22.05
? x+y+z=1.05
例题四、三角形一题多解
如图:已知AB=AC，E是AC延长线上一点，且有BF=CE，连接FE交BC于D。求证:FD=DE。
证法一
证明:过E点作EM ?AB交DC延长线于M点，则?M=?B，又因为?ACB=?B
?ACB=?ECM=?M，所以CE=EM， 又EC=BF 从而EM=BF，?BFD=?DEM 则?DBF??DME，故 FD=DE;
证法二
证明:过E点作EM ?AB交DC延长线于M点，则?M=?B，又因为?ACB=?B
?ACB=?ECM=?M，所以CE=EM， 又EC=BF 从而EM=BF，?BFD=?DEM
则?DBF??DME，故 FD=DE;
证法二
证明:过F点作FM?AE，交BD于点M，
则?1=?2 = ?B 所以BF=FM，
又 ?4=?3 ?5=?E
所以?DMF??DCE，故 FD=DE。
例题五、平行四边形一题多解
如图4，平行四边形 ABCD中AD=2AB,E、F在直线AB上，且
AE=BF=AB,求证:DF?CE.
证法一、易知ΔADF、ΔBCE为等腰三角形，故?1=?F, ?2=
?E,又CD?AB,故?3=?F, ?4=?E,从而?1=?3，?2=?4，而
000?1+?2+?3+?4=180，故?3+?4=90，表明?COD=90，所以DF
?CE。
证法二、如图5，连接MN，则CD=BF,且CD?BF，故BFCD为平行
四边形，则CN=BN=AB,同理,DM=MA=AB,故CN=DM且CN?DM，得平行四
边形CDMN，易见CD=DM，故CDMN也是菱形，根据菱形的对角线互相垂
直，结论成立。
证法三、如图6，连接BM、AN, 可证ΔAFN中，BN=BF=BA,则ΔAFN
为直角三角形，即DF?AN,利用中位线定理可知AN?CE，故DF?CE。
证法四、如图7，作DG?CE交AE延长线于G，则EG=CD=AB=AE,故
AD=AG=AF,从而DF?DG,而DGCE,故DF?CE
例题六、如图所示，一个长为a，宽为b的矩形，两个
阴影都是长为c的矩形与平行四边形，则阴影部分面
积是多少。
解法一
将大矩形进行平移将平行四边形
进行转换。
(a-c)(b-c)
解法二 图2重叠面积为c的平方，大矩形面积为ab，小矩形为ac，平行四边形为bc，阴影面积为ab-ac-bc+cc=(a-c)(b-c)
范文三：初中数学一题多变一题多解(四)
一题多解,一题多变(四)
一、一题多解,拓宽解题思路
一题多解是从不同的视角、 不同的方位审视分析同一问题中的数量、 位置关系, 用不同 解法求得相同结果的思维过程。 通过探求同一问题的不同解法, 可以引出相关的多个知识点 和解题方案, 有助于培养学生的洞察力和思维的变通性、 独创性, 从而培养学生的创新思维 的意识。
比如,我在华师版八年级数学第二十章《平行四边形的判定》曾举到这样一道例题:如 图 1,在梯形 ABCD 中, AB ∥ CD ,∠ A=90°, AB=2, BC=3, CD=1, E 是 AD 中点. 求 证:CE ⊥ BE .
证法一:如图 2,作 CE ⊥ AB ,在 Rt △ CBF 中,由勾股定理易得:CF=2
2,又 E 是 AD 的中点, 故 DE=AE=2, 分别在 Rt △ CDE 和 Rt △ BEA 中, 由勾股定理易得:2 CE =3, 2
BE =6,在 Rt △ CBE 中,由勾股定理的逆定理可得 : △ CEB 是 Rt △,即 CE ⊥ BE 得证 . 证法二:如图 3, 分别延长 CE 、 BA 交于点 F , 易得△ CDE ≌△ FEF , 则 CE=FE, AF=1, 又 AB=2,所以 BF=3,又因为 BC=3,所以 BC=BF,在△ BFC 中,由三线合一定理得:CE ⊥ BE .
证法三:如图 4, 取 CB 的中点 F , 连结 EF , 则 EF 是梯形 CDAB 的中位线, 易得 EF=2, 则 EF=CF=BF,则∠ CEF=∠ FCE, ∠ FEB=∠ FBE, 在△ CEB 中,由三角形内角和定理易得∠ CFB=90°,即 CE ⊥ BE 。
二、一题多变,挖掘习题涵量
1.变换题设或结论
比如,同样对上述问题,我还对该题进行了多种角度的变式讨论,开阔了学生的眼界, 活跃了学生的思维。
变换 1:在梯形 ABCD 中, AB ∥ CD , BC=AB+CD, E 是 AD 中点。求证:CE ⊥ BE .
变换 2:在梯形 ABCD 中, AB ∥ CD , CE ⊥ BE . , E是 AD 中点. 求证: BC=AB+CD。 变换 3:在梯形 ABCD 中, AB ∥ CD , BC=AB+CD, CE⊥ BE . 判断 E 是 AD 中点吗?为什么?
变换 4:在梯形 ABCD 中, AB ∥ CD , BC=AB+CD, E 是 AD 中点. 求证:
ABCD 2
1梯形 S S CEB =? 2.变换题型 即将原题重新包装成新的题型, 改变单调的习题模式, 从而训练学生解各种题型的综合 能力,培养学生思维的适应性和灵活性,有助于学生创新思维品质的养成。
例如:如图 5,已知△ ADE 中 , ∠ DAE=120°, B 、 C 分别是 DE 上两点 , 且△ ABC 是等 边三角形 , 求证; CE BD BC ?=2
分析:本题为证明题, 具有探索性, 可引导学生从结论出发找到需证明△ ABD ∽△ ECA , 从而使问题变得容易解决。
变换一:改为填空题, 如图 5, 已知△ ADE 中 , ∠ DAE=120°, B 、 C 分别是 DE 上两点, 且△ ABC 是等边三角形 , 则线段 BC 、 BD 、 CE 满足的数量关系是 。
本题表面上虽是对原题的简单形式变换, 但实质上有探究的思想, 即需要将 BC 分别代 换为 AB 、 AC ,从而归结为找△ ABD 与△ ECA 的关系问题。
变换二:改为选择题,如图 5,已知△ ADE 中 , ∠ DAE=120°, B 、 C 分别是 DE 上两点 , 且 △ ABC 是等边三角形,则下列关系式错误的是( )
A . CE BD BC ?=2 B . DE DB AD ?=2
C . ED EC AE ?=2 D . ED EB AE ?=2
名为选择题,实为要探究得出图中共有三对相似三角形,从而得知 A 、 B 、 C 选项均正 确,选 D 。
变换三:改为计算题 , 如图 5,已知△ ADE 中 , ∠ DAE=120°, B 、 C 分别是 DE 上两点 , 且△ ABC 是边长为 4的等边三角形 , 且 BD=2,求 CE 的长 .
仍然要探究出线段 BC 、 BD 、 CE 满足的数量关系,从而转化为知二求一的问题。
变换四:改为判断题,如图 6,若图中∠ DAE=135°,△ ABC 是以 A
为直角顶点的等
腰直角三角形,则 CE BD BC ?=2的结论还成立吗 ?
把问题条件改变, 用同样的思想方法探究得出同样的结论, 进一步引申了原例的思想方 法,拓展了学生的思维空间。
变换五:改为开放题,如图 5,已知△ ADE 中 , ∠ DAE=120°, B 、 C 分别是 DE 上两 点 , 且△ ABC 是等边三角形 , 则图中有哪些线段是另外两条线段的比例中项?
结论的开放,给学生更多的思考空间,锻炼了学生开放型思维的能力。
变换六:改为综合题,如图 7,在△ ABC 中, AB=AC=1,
点 D 、 E 在直线 BC 上运动,设 BD=x, CE=y.
(1) 如果∠ BAC=30°, ∠ DAE=105°,试确定 y 与 x 之间
的函数关系式;
(2)如果∠ BAC 的度数为 α,∠ DAE 的度数为 β,当 α、
β满足怎样的关系式时,(1)中 y 与 x? 之间的函数关系式还成立,并说明理由。 此种变换将相似与函数知识结合,培养了学生综合探究的能力。
三、一题多用,培养应用意识
比如,已知一条直线上有 n 个点,则这条直线上共有多少条线段? 这是七年级数学中我们已解决的问题,易得共有
2
) 1(-n n 条线段,运用这个数学模型, 可以解决很多数学问题。
例如:(1)全班 50个同学,每两人互握一次手,共需握手多少次?
(2)甲、乙两个站点之间有 5个停靠站,每两个站点之间需准备一种车票,则共需准备 多少种车票?
(3)如图 8,共有多少个三角形?
(4)如图 9,共有多少个角?
(5) n 边形共有多少条对角线?
(6)在 9名班干中选出两名优秀班干,则甲和乙同时当选的概率是多少?
范文四：初中数学一题多变一题多解(三)
一题多解一题多变(三)
例如,在讲解下面一道几何题时,我通过设疑激思,引导学生复习了全等三角形、相似 三角形、 勾股定理、 平行四边形等相关几何知识, 并和学生一起总结归纳此种习题的解题规 律和方法。
已知,如图, □ ABCD 中, AE ⊥ BC 于 E , AF⊥ CD 于 F , FG ⊥ AE 于 G , EH ⊥ AF 于 H ,连 接 AC 、 EF 、 AM ,若 AC =20, EF =16,求 AM 的长 .
解法一:(勾股定理解法)
∵ FG⊥ AE AF⊥ CD
∴ AM=AG2+GM2=AF2-GF 2+EM2-EG 2
=AC2-CF 2-(EF2-EG 2)+EM2-EG 2 =AC2-CF 2-EF 2+EM2
∵ AE ⊥ BC, AF⊥ CD , FG⊥ AE, EH⊥ AF
∴ CD∥ EF,BC ∥ FG
∴ 四边形 EMFC 是平行四边形
∴ EM=CF
∴ AM 2=AC2-CF 2-EF 2+EM2=AC2-EF 2=202-162=144
∴ AM=12
解法二:(相似法)
∵ Rt △ AFC 和 Rt △ AEC 有公共斜边 AC
∴四个点 A 、 F 、 C 、 E 到斜边 AC 的中点的距离都相等 , 都等于斜边 AC 的一半
∴四点 A 、 F 、 C 、 E 在以 AC 为直径的一个圆上
∴∠ CEF=∠ CAF
∵ AE ⊥ BC, FG⊥ AE
∴ BC ∥ FG
∴∠ CEF=∠ EFG
∴∠ EFG=∠ CAE
∵∠ EGF=∠ CFA=90°
∴△ EFG ∽△ CAF ∴
5
42016===AC EF AF FG ∴ 43=GF AG ∵三角形的三条高线交于一点
∴ AM ⊥ EF
∴∠ GAM=∠ EFG
∴△ AMG ∽△ EFG ∴
4
3==GF AG EF AM ∴ 4316=AM ∴ AM=12
以上两种方法是利用勾股定理和相似三角形的方法进行求解的,这两种方法是初中几 何问题中求解线段长度问题的常用方法, 学生基本都有思路。 教师只要适当点拨, 学生就可 顺利完成,获得初步成功体验后,多数学生跃跃欲试,想探讨更多的解法。此时教师适时点 拨:可不可以通过引适当的辅助线, 使问题简单化、 明朗化呢?因为已知线段 AC 和 EF 与所 求线段 AM 不在一个三角形或四边形中,你是怎么想的呢?经过老师的点拨同学们好像眼前 一亮,都开始了自己的探索。经过大家的集思广议,又得到如下八种解法。
解法三 :过点 M 作 MN ∥ EF 交 CD 于 N 点,并连接
AN.
(解法三图) (解法四图)
∵ EH ⊥ AF, AF⊥ CD
∴ EH ∥ CD
∴四边形 EFNM 为平行四边行
∴ MN=EF=16 ,EM=FN
∵由解法一知:四边形 EMFC 是平行四边形
∴ EM=CF
∴ CF=FN
∵ AF ⊥ CN
∴ AN=AC
∵△ AEF 的高线 EH 与 FG 交于一点 M
∴ AM ⊥ EF
∵ EF ∥ MN
∴ AM ⊥ MN
在 Rt △ AMN 中由勾股定理知:
AM 2=AN2-MN 2=AC2-EF 2==202-162=144
∴ AM=12
解法四:过 M 点作线段 EF 的平行线交线段 CB(或 CB 的延长线 ) 于 N 点 , 连接 AN 首先 :证出四边形 MNEF 为平行四边形可得 MN=EF=16
其次 :证出 AN=AC=20
再次 :证出 AM ⊥ MN 方法同上
最后由勾股定理求出 AM=12
解法五、六:
过 A 点作 KN ∥ EF,FN ∥ AE,EK ∥ AF, 连接 MN,MK
可证四边形 ANFE 和四边形 AKEF 为平行四边形
∴ AN=AK=EF=16
同上方法可证 AM ⊥ KN
由△ MFN ≌△ CEA(SAS)可证 MN=AC=20
由勾股定理得 AM=12
同理我们还可以分别过 E 点、 F 点作线段 AM 的平行线,还可以有四种方法求出线段 AM 的长。通过师生共同努力我们探究出十种求线段 AM 长的方法。
范文五：“一题多变和一题多解”提高数学学习效率
“一题多变和一题多解”提高数学学习效率 【摘要】高中数学教学中,用一题多解和一题多变的形式,可以使所学的知识得到活化，融会贯通，而且可以开阔思路，培养学生的发散思维和创新思维能力，从而达到提高学生的学习兴趣，学好数学的效果.
【关键词】一题多变;一题多解
很大部分的高中生对数学的印象就是枯燥、乏味、不好学、没兴趣.但由于高考“指挥棒”的作用，又只能硬着头皮学.如何才能学好数学,俗话说“熟能生巧”，很多人认为要学好数学就是要多做.固然，多做题目可以使学生提高成绩，但长期如此，恐怕也会使学生觉得数学越来越枯燥.
我觉得要使学生学好数学，首先要提高学生的学习兴趣和数学思维能力.高考数学题“源于课本，高于课本”，这是历年高考试卷命题所遵循的原则.教师在教学或是复习过程中可以利用书本上的例题和习题，进行对比、联想，采取一题多解与一题多变的形式进行教学.使学生更积极参与到课堂中来,从而激发学生对数学学习的兴趣和信心，不仅能使学生克服思维定势的影响，可以使所学的知识得到活化，融会贯通，开阔思路，培养学生的发散、创新思维能力.
例1(人教a版必修5 p44)已知一个等差数列{an}的前10项和310，前20项和1220，由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗,
解法一(课本给出的解法)由题意知s10=310,s20=1220,
将它们代入公式sn=na1+n(n-1)2d，得
10a1+45d=310,
20a1+190d=1220.
解这个关于a1与d的方程组，得到a1=4,d=6.
1)2×6=3n2+n. ?sn=4n+n(n-
我在授课的过程中通过启发式教学进一步引导学生思考其他的解法.
解法二设sn=an2+bn，
由s10=310,
s20=1220.得100a+10b=310,
400a+20b=1220.
解得a=3,b=1，?sn=3n2+n.
解法三?snn是等差数列，设其公差为d.
已知s10=310,s20=1220,?d=s2020-s101010=61-3110=3.
?snn=s1010+(n-10)×d=31+(n-10)×3=3n，
?sn=3n2+n.
通过以上三种解法的讨论，巩固了所学过的等差数列的前n项和公式和通项公式，同时掌握了利用等差数列的相关性质解题的方法，突破了本节课的重点，不但达到了认知目标，还有利于培养学生思维的变通性、广阔性、创造性，培养学生的发散思维;让学生寻找更加简练的解题方法，使学生拥有成功的喜悦，借此调动学生
积极钻研思考的学习积极性，提高学习的兴趣.
接着我补充了两个变式题，加深理解，进一步巩固本类题型的求解方法.
变式1已知等差数列{an}的前10项和310，前20项和1220，求
. 前25项和
变式2已知等差数列{an}的前10项和310，前20项和1220，求前30项和.
这两题除了可以利用例题中的三种解法进行解答，在变式2中可以再次引导学生寻找不同的解法.
解法四利用sn,s2n-sn,s3n-s2n成等差的性质求解.
?{an}是等差数列,?s10,s20-s10,s30-s20也成等差.
?公差d=(s20-s10)-s10=1220-620=600.
?s30-s20=s10+2×600=310+1200=1510.
?s30=1510+1220=2730.
另解?{an}是等差数列,
?s10,s20-s10,s30-s20也成等差.
?2(s20-s10)=s10+(s30-s20)同样可求得
?s30=1510+1220=2730.
本文通过例题的引申拓展，一题多解和一题多变，巧妙借题发挥，让学生参与到发现与解决数学问题的情境中，探索解决问题的最佳方法，体验数学学习过程中分析解决问题的艰辛和成功的喜悦，有效提高了课堂效率，同时培养了学生良好的思维品质.在练习的讲
评过程当中，教师也应该善用一题多解和一题多变教学.
在数学教学中，实施“一题多解与一题多变”式的教学，有利于培养学生发散性思维，深化思维活动，拓宽思维，激发学生的学习兴趣，优化学生的数学素质，从而提高数学教学质量.
【参考文献】
一题多解与一题多变及其教学.数学教学,2009. ,1,周继光.
,2,张秀妮.一题多解的研究.科学教育前沿，2010.
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