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标 题: 7.1（1）数列（数列及通项）
关键词: 数列、通项
描 述: 教学目标
1.理解数列的概念、表示、分类等；
2.了解数列与函数之间的关系；
3.理解数列的通项公式，会用数列的通项公式写出数列的项；会根据较简单数列的前几项写出数列的一个通项公式；
4.培养认真观察的习惯，初步形成从特殊到一般的归纳和猜想能力.
教学重点与难点
1.理解数列的概念；
2.根据数列的前几项抽象、归纳出数列的通项公式.
学 科: 高二年级>数学第一册>7.1（1） 语 种: 汉语
媒体格式: 教学设计.doc 学习者: 学生
资源类型: 文本类素材 教育类型: 高中教育>高中二年级
作 者: 袁建平 单 位: 上海市建平中学
地 址: 浦东新区崮山路517号（200135）
Email: yuanjp502@yahoo.com.cn
7.1 (1)数列（数列及通项）
上海市建平中学 袁建平
一、教学内容分析
本小节的重点是数列的概念．在由日常生活中的具体事例引出数列的定义时，要注意抓住关键词“次序”，准确理解其概念，还应让学生了解数列可以看作以正整数集（或它的有限子集）为定义的函数 ，使学生能在函数的观点下理解数列的概念，这里要特别注意分析数列中项的“序号 ”与这一项“ ”的对应关系（函数关系），这对数列的后续学习很重要．
本小节的难点是能根据数列的前几项抽象归纳出一些简单数列的通项公式．要循序渐进的引导学生分析归纳“序号 ”与“ ”的对应关系，并从中抽象出与其对应的关系式．突破难点的关键是掌握数列的概念及理解数列与函数的关系，需注意的是，与函数的解析式一样，不是所有的数列都有通项公式；
给出数列的有限项，其通项公式也并不唯一，如给出数列的前 项，若 ，则 都是数列的通项公式，教学上只要求能写出数列的一个通项公式即可．
二、教学目标设计
理解数列的概念、表示、分类、通项等，了解数列与函数的关系 ，掌握数列的通项公式，能用通项公式写出数列的任意一项，对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式．发展和培养学生从特殊到一般的归纳能力，提高观察、抽象的能力．
三、教学重点及难点
理解数列的概念；能根据一些数列的前几项抽象、归纳出数列的通项公式．
四、教学流程设计
五、教学过程设计
一、复习回顾
思考并回答问题： 函数的定义
二、讲授新课
1、概念引入
请同学们观察下面的例子，看看它们有什么共同特点：（课本p5）
① 食品罐头从上到下排列成七层的罐头数依次为：
3，6，9，12，15，18，21
② 延龄草、野玫瑰、大波斯菊、金盏花、紫宛花、雏菊花的花瓣数从少到多依次排成一列数：3，5，8，13，21，34
③ 的不足近似值按精确度要求从低到高排成一列数：
1，1.7，1.73，1.732，1.7320,1.73205,
④ -2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂 依次排成一列数：
-2，4，-8，16，
⑤ 无穷多个1排成一列数：1，1，1，1，1，
⑥ 谢尔宾斯基三角形中白色三角形的个数，按面积大小，从大到小依次排列成的一列数：1，3，9，27，81，
⑦ 依次按计算器出现的随机数：0.098,0.264,0.085,0.956
由学生回答上面各例子的共同特点：它们均是一列数，它们是有一定次序的，由此引出数列及有关定义：
1、定义：按一定次序排列起来的一列数叫做数列．
其中，数列中的每一个数叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（首项），第2项，第3项 ,第 项，
数列的一般形式可以写成:
简记作
2、函数观点：数列可以看作以正整数集 （或它的有限子集）为定义域的函数 ，当自变量按照从小到大的 顺序依次取值时，所对应的一列函数值
3、数列的分类：
有穷数列： 项数有限的数列 （如数列①、②、⑦）
无穷数列：项数无限的数列 （如数列③、④、⑤、⑥）
4、数列的通项：
如果数列 的第 项 与 之间可以用一个公式 来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式．
启发学生练习找上面各数列的通项公式：
数列① ：
数列④：
数列⑤： （常数数列）
数列⑥：
指出（由学生思考得到）数列的通项公式不一定都能由观察法写出（如数列②）；数列并不都有通项公式（如数列③、⑦）；由数列的有限项归纳出的通项公式不一定唯一 （如数列①的通项还可以写为：
5、数列的图像：请同学练习画出数列①的图像，得出其特点：数列的图像都是一群孤立的点
2、例题精析
例1：根据下面的通项公式，写出数列的前5项：（课本P6）
（1） ；
（2）
解：（1）前5项分别为：
（2）前5项分别为：
[说明]由数列通项公式的定义可知，只要将通项公式中 依次取1，2，3，4，5，即可得到数列的前5项.
例2：写出下面数列的一个通项公式，使它前面的4项分别是下列各数：
（1）1，5，9，13；
（2）
（3）
解：（1）
（2）
（3）
[说明]：认真观察各数列所给出的项，寻求各项与其项数的关系，归纳其规律，抽象出其通项公式.
例3：观察下列数列的构成规律，写出数列的一个通项公式（补充题）
（1）
（2）9，99，999，9999，
（3）
（4）2，0，2，0，2，0，
解：（1）
（2）
（3） 可写成
（4） 2=1+1，0=1-1
（或 ，
或 ）
[说明] 本例的（2）-（4）说明了对数列项的一般分拆变形技巧．
例4、根据图7-5中的图形及相应的点数，写出点数的一个通项公式 ： （课本P7）
解：
[说明] 本类“图形分析”题，解题关键在于正确把握图形依次演变的规律，再依点数写出它的通项公式
三、巩固练习
练习7.1（1）
四、课堂小结
本节课学习了数列的概念，要注意数列与数集的区别，数列中的数是按一定次序排列的，而数集中的元素没有次序；
本节课的难点是数列的通项公式，要会根据数列的通项公式求其任意一项，并会根据数列的一些项由观察法写出一些简单数列的一个通项公式．
五、课后作业
1．书面作业：课本习题7．1 A组 习题1.----5
2．思考题：（补充题及备选题）
1．有下面四个结论,正确的是（C）
①数列的通项公式是唯一的；
②每个数列都有通项公式；
③数列可以看作是一个定义在正整数集上的函数
④在直角坐标系中，数列的图象是一群孤立的点
A、①②③④ B、③ C、④ D、③④
2．若一数列为： ，则 是这个数列的（B）
A、第6项 B 、第7项 C、第8项 D、第9项
3．数列7，9，11，13，… 2n-1 中，项的个数为（C）
A、 B 、2 －1 C、 －3 D、 －4
4．已知数列的通项公式为：
，它的前四项依次为____________
解：前四项依次为：
5．试分别给出满足下列条件的无穷数列 的一个通项公式
（1）对一切正整数n，
（2）对一切正整数n，
解：（1） （不唯一）
（2） 等（不唯一）
6．写出下列数列的一个通项公式
（1）
（2）3，8，15，24，35，…
（3）
（4）0，0.3,0.33,0.333,0.3333,…
（5）1，0，-1，0，1，0，-1，0，…
解：（1） ；
（2）
（3）
（4）
（5）
7．根据下面的图像及相应的点数，写出点数的一个通项 公式：
解：以中间点为参照点，把增加的点作为方向点来分析，有：
第1个图形有一个方向，点数为1点；
第2个图形有2个方向，点数为1+2 1=3点；
第3个图形有3个方向，点数为1+3.2=7点；
第4个图形有4个方向，点数为1+4 3=13点；
…………
第n个图形有n个方向，点数 点
六、教学设计说明
本节课为概念课，按照“发现式”教学法进行设计
结合一些具体的例子，引导学生认真观察各数列的特点，逐步发现其规律，进而抽象、归纳出其通项公式
例题设计主要含以下二个题型：
（1） 由数列的通项公式，写出数列的任意一项；
（2） 给出数列的若干项，观察、归纳出数列的一个通项公式
补充的思考题，可作为学有余力的同学的能力训练题，也可作为教师的备选题．
参考资料：上海教育资源库
高一数学教案集合
高一数学教案集合知识结构 本小节首先从初中代数与几何涉及的集合实例人手,引出集合与集合的元素,高中数学第三册第二章第一节,高中数学"推理案例赏识"教案,高等数学第十章教案
高一数学教案集合
高一数学教案集合http://ufae81.chinaw3.com/shuxue.html
高一数学教案集合
参考资料：高一数学教案集合
高一数学
解：（1）令t＝loga X，则x＝a^t，f（t）＝（a/a^2-1)(a^t-1/a^t)
因为f（-t）＝（a/a^2-1)(1/a^t-a^t)＝-f（t），所以f（t）是奇函数
设x1<x2，则－x1>x2,
因为f（x2）-f（x1）=（a/a^2-1){(a^x2-a^x1）+（1/a^x1-1/a^x2）}
当a>1时，a^2-1>0,a^x2-a^x1>0,1/a^x1-1/a^x2>0(不知楼主能不能看懂这里，细想一下，不难的)，
所以f（x2）-f（x1）>0,f（x）是增函数，
当0<a<1时，a/(a^2-1)<0,a^x2-a^x1<0,1/a^x1-1/a^x2<0,所以f（x2）-f（x1）>0，（负负得正），f（x）是增函数，
所以f（x）总是增函数，
（2）f(1-m)+f(1-m^2)＜0，而f（x）是奇函数，增函数，
所以f(1-m)＜f(m^2-1)，这里请想一下，
又f(x)的定义域为-1到1的开区间，
所以-1<(1-m)<(m^2-1)<1 ※
解上面的不等式得1<m<根号2，
（3）f（x）是增函数,所以y=f(x)-4是增函数，在（-∞，2）上y最大也应<f(2)-4≤0（这里楼主要仔细想想是不是这么回事），
代入到f（t）＝（a/a^2-1)(a^t-1/a^t)中后可得（a/a^2-1)(a^2-1/a^2)≤4，解不等式得，1≤a≤根号3，因为a不能等于1，所以1<a≤根号3
说明，解最后一个不等式时，要令n=a^2,代入后，就能解开
高一数学
1.已知函数f(x)是定义在R上的函数,且f(1)=2009,且对于任意的x∈R满足f(x+2)-f(x)≤3*2^x,f(x+6)-f(x)≥63*2^x,
(1)若记g(x)=f(x)-2^x,求证:g(x)是周期函数
(2)求f(2009)的值
奇怪啊，几位楼上的朋友的解答中，
g(x+2)=<g(x)<=g(x+6)------(1)
g(x+6)>=g(x+2)------(2)
咋就能推出
g(x+2) = g(x) = g(x+6)
呐。。
就像
2 <= 3 <= 4 ...(1)
4 >= 2 ...(2)
不能推出
2 = 3 = 4
啊。
因此，
俺决定重做。
由
f(x+2)-f(x)≤3*2^x,
f(x+6)-f(x)≥63*2^x
有
f(x+2) <= f(x) + 3*2^x
f(x) <= f(x+6) - 63*2^x
g(x+2) = f(x+2) - 2^(x+2) <= f(x) + 3*2^x - 4*2^x = f(x) - 2^x = g(x)
g(x) = f(x) - 2^x <= f(x+6) - 63*2^x - 2^x = f(x+6) - 2^(x+6) = g(x+6)
g(x+2) <= g(x) <= g(x+6)
g(x+4) = g(x+2 + 2) <= g(x+2) <= g(x)
g(x+4) = g(x-2 + 6) >= g(x-2) >= g(x-2 + 2) = g(x)
g(x) <= g(x+4) <= g(x),
所以，
g(x+4) = g(x)
g(x)是周期函数，4是g(x)的1个周期。
所以
f(2009) - 2^(2009) = g(2009) = g(4*502 + 1) = g(1) = f(1) - 2 = 2009 - 2
f(2009) = 2^(2009) + 2007
2.在△ABC中，若a+c=2b
求cosA+cosC-cosAcosC+1/3sinAsinC
a+c = 2b, b > 0.
a/b + c/b = 2,
sinB > 0.
a/b = sinA/sinB,
c/b = sinC/sinB.
sinA/sinB + sinC/sinB = 2,
sinA + sinC = 2sinB = 2sin(PI - A - C) = 2sin(A+C).
2sin[(A+C)/2]cos[(A-C)/2] = 4sin[(A+C)/2]cos[(A+C)/2] ...(1)
0 < (A+C)/2 < (A+B+C)/2 = PI/2
0 < sin[(A+C)/2] < 1
由（1），
cos[(A-C)/2] = 2cos[(A+C)/2]
cos(A/2)cos(C/2) + sin(A/2)sin(C/2) = 2[cos(A/2)cos(C/2) - sin(A/2)sin(C/2)]
3sin(A/2)sin(C/2) = cos(A/2)cos(C/2) ...(2)
0 < A < PI, 0 < A/2 < PI/2
0 < C < PI, 0 < C/2 < PI/2
0 < cos(A/2) < 1
0 < cos(C/2) < 1.
由（2），
tan(A/2)tan(C/2) = 1/3
1/3sinAsinC = tan(A/2)tan(C/2)sinAsinC
= 4[sin(A/2)sin(C/2)]^2
= [1 - cosA][1 - cosC]
cosA + cosC - cosAcosC + (1/3)sinAsinC
= cosA + cosC - cosAcosC + (1-cosA)(1-cosC)
= cosA + cosC - cosAcosC + 1 - cosA - cosC + cosAcosC
= 1
高一数学
A∩B=空集
1、A为空集时，则：a-1≧2a+1，得：a≦-2；
2、A不为空集时，即a>-2时：
（1）a-1≧1，得：a≧2，又a>-2，所以：a≧2；
（2）2a-1≦0，得：a≦1/2，又a>-2，所以：-2<a≦1/2；
所以，A不为空集时，-2<a≦1/2或a≧2；
综上，实数a的取值范围是：a≦1/2或a≧2；
希望能帮到你，如果不懂，请Hi我，祝学习进步！
2a-1≦0哪来 不是2a+1吗？
写错。。。囧。。。
A∩B=空集
1、A为空集时，则：a-1≧2a+1，得：a≦-2；
2、A不为空集时，即a>-2时：
（1）a-1≧1，得：a≧2，又a>-2，所以：a≧2；
（2）2a+1≦0，得：a≦-1/2，又a>-2，所以：-2<a≦-1/2；
所以，A不为空集时，-2<a≦-1/2或a≧2；
综上，实数a的取值范围是：a≦-1/2或a≧2；
高一数学!!!
设函数f(x)=x-a/x-1,集合M={x丨f(x)<0},P={x丨f'(x)>0},若M是P的真子集，则实数a的值域是（）
答案
f'(x)=[(x-a)'(x-1)-(x-a)(x-1)']/(x-1)²
=(x-1-x+a)/(x-1)²
=(a-1)/(x-1)²
(x-1)²>0
所以f'(x)>0则a>1
M是P的真子集
所以P不是空集
所以不等式要成立
所以a>1
此时只要分母不为0
x≠1
即P={x|x≠1}，且a>1
显然M也有x≠1
f(x)<0
所以(x-a)(x-1)<0
因为a>1
所以有1<x<a,显然满足M是P的真子集
所以a>1
已知集合A=｛x｜x²－6x+8>0｝B={x|(x-a)(x-3a)<0}
1 若A是B的子集，求a的取值范围
2 若A交B={x|3<x<4},求a的取值范围
答案
1.A={x|x²-6x+8<0}=(2,4)
①a=0时,B={x|x^2<0}=空集,不满足题意,舍去a=0
②a>0时,a<3a
∴B={x|(x-a)(x-3a)<0}=(a,3a)
∵A是B的子集
∴a≤2且3a≥4
∴a∈[4/3,2]
③a<0时,3a<a<0
此时A∩B=空集,不满足题意,舍去a<0
综上,a∈[4/3,2]
2.A={x|x²-6x+8<0}=(2,4)
①a=0时,B={x|x^2<0}=空集,不满足题意,舍去a=0
②a>0时,a<3a
∴B={x|(x-a)(x-3a)<0}=(a,3a)
∵A∩B={x|3<x<4}
∴a=3(此步画数轴最清楚)
③a<0时,3a<a<0
此时A∩B=空集,不满足题意,舍去a<0
综上,a=3
1.函数f(x)=1/1-x(1-x)的最大值是（）
A.4/5 B.5/4 C.3/4 D.4/3
2.已知f(x)=x-1/x+1,g(x)=f(x)的反函数，则g(x)=()
A.在R上是增函数 B.小于-1上是增函数
C.大于1上是减函数 D.小于-1上是减函数
答案
1.选项D,
理由:
f(x)=1/[1-x(1-x)]=1/(x^2-x+1)=1/[(x-1/2)^2+3/4].
y=1/x,当X>0时,Y是单调递减函数.
而,(X-1/2)^2+3/4>0,要使f(x)有最大值,
而(X-1/2)^2+3/4,的取值必须在X=1/2的左边,Y随X的增大而减小,那么f(x)就有最大值,当X=1/2时,(X-1/2)^2+3/4,有最小值,则f(x)最大=1/3/4=4/3,选项D.
2.选项B,
理由,
f(x)=x-1/x+1,f(x)的反函数为:X=[f(x)+1]/[1-f(x)],
即,f-1(x)=(x+1)/(1-x)=-(x+1)/(x-1)=-[1+2/(x-1)]=-1+2/(1-X).
令,Y=2/(1-X),
当X<-1时,此时Y为单调递增,那么f(x)-1(x)=g(x),就是单调递增函数.选项是B,
再看看A,肯定错,
C呢?,Y=-1+2/(1-X),X>1,是单调递增,也不对.
D呢?,X<-1.是递增函数.你可选一个数代入就知了.
参考资料：加点悬赏啦
高一数学
首先是斜率为0时直线为：X=5
直线不为0时，设直线方程为Y=kx+b.因为直线过点（5，10）所以可得10=5k+b,所以b=10-5k 这是第一式
又因为原点到直线的距离为b 除以根号下1+k2(指的是k的平方)，所以得到b 除以根号下1+k2=5 这是第二式
由一二式可得（即组成方程组）：
k=3/4,b=25/4
所以直线方程为：Y=3/4X+25/4
化简为：4Y=3X+25
高一数学
定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．已知函数；
（1）若函数f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围；
（2）已知m＞-1，函数g（x）在[0，1]上的上界是T（m），求T（m）的取值范围．
【解析】
（1）由题意知，|f（x）|≤3在[1，+∞）上恒成立．可得-3≤f（x）≤3，，化为在[0，+∞）上恒成立，因此．设2x=t，，，先证明其单调性，即可得出其最值．
（2），对m分类讨论：m＞0，m=0，-1＜m＜0，利用二次函数和反比例函数的单调性即可得出．
【答案】
解：（1）由题意知，|f（x）|≤3在[1，+∞）上恒成立．
∴-3≤f（x）≤3，，
∴在[0，+∞）上恒成立，
∴．
设2x=t，，，
由x∈[0，+∞）得 t≥1，设1≤t1＜t2，
，
．
∴h（t）在[1，+∞）上递减，p（t）在[1，+∞）上递增，
h（t）在[1，+∞）上的最大值为h（1）=-5，p（t）在[1，+∞）上的最小值为p（1）=1．
∴实数a的取值范围为[-5，1]．
（2），
若m＞0，x∈[0，1]，则g（x）在[0，1]上递减，
∴g（1）≤g（x）≤g（0）即．
若-1＜m＜0，x∈[0，1]，则g（x）在[0，1]上递增，
∴g（0）≤g（x）≤g（1）即．
①当m＞0时，，|g（x）|＜1此时 T（m）≥1，
②当m=0，即，g（x）=1，|g（x）|=1此时 T（m）≥1，
③当-1＜m＜0时，，此时．
综上所述：当m≥0时，T（m）的取值范围是[1，+∞）；
当-1＜m＜0时，T（m）的取值范围是 ．
【点评】
本题综合考查了恒成立问题的等价转化、指数函数类型的函数的单调性、分类讨论的思想方法等基础知识与基本方法，属于难题．
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