想嗦不能嗦不能嗦又想嗦
范文一：三角函数求值域
三角函数的最值
一求下列函数的最值，以及使函数取得这些值得自变量x 的集合：
（1）y =11y = （2） 221+cos x
（3）y =2-sin x
3
二求下列函数的值域
1. y =sin x ，x ∈??π5π?
?4, 4??
2. y =cos(x -π?
3) ，x ∈?π3π?
?2, 2??
3. y =tan ? ?x +π?
3??, x ∈???-π
2,0???
4. y =2-(sin x +1)2, x ∈[0, π]
5sin x +14）y =2cos(x 3-π6) 1 （
5. 求y =sin 2x -4cos x +3的值域。
31三．函数y =a +b sin x 的最大值是2，最小值是2, 求a,b 的值.
四．已知函数y =a -b cos ?2x +π?
?6??(b >0)的最大值是3
2，最小值是-1
2。
（1）求a,b 的值；
（2）求函数g (x )=-4a sin ?bx -π?
?3??在区间[0, π]上的最大值和最小值。
2
范文二：三角函数求值域专题
三角函数求值域专题 例1、求下列函数的值域
cosx,3(1) (2) y,y,1，sinxcosxcosx，3
,,22(3) (4) y,sinx，2sinxcosx，3cosxy,3sin(x，)，4cos(x，)44
例2、求下列函数的值域
11)( (2) yx,cos(sin)yx,,sin2
2,,2(3) (4) y,cosx，3sinx，x,[，]y,2cosx，5sinx,163
例3、求下列函数的值域 y,sinx，cosx，sinxcosx
(1，sinx)(3，sinx)，2例4、求函数y,的值域 2，sinx
2,sinx例5、求函数y,的值域 2,cosx
自主检测
2,,1、函数的值域为…………………………………………………………( ) y,sinx,x,[,]63
1133 (A)[,1，1] (B) (C) (D) [,][,1][,1]2222
22、函数的最大值为?????????????????????????????????????????( ) y,7,8cosx,2sinx
(A)5 (B)15 (C)19 (D)20
2,,3、函数y=的最小值为????????????????????????????????????( ) cosx， x,(,,)cosx22
(A)2 (B) (C),3 (D)3 22
24、y=(sinx,a)在sinx=a时有最小值，在sinx=1有最大值，那么a的取值范围是????????????( )
(A)[,1，1] (B)[,1，0] (C)[0，1] (D) [,1,，,)
445、的值域是?????????????????????????????????????????????????( ) y,sinx，cosx,1
(A)[0，1] (B)[,1，0] (C)[,0.5，0] (D) [,0.5，1]
,6、?求函数的最大值. f(x),3sinx，5sin(x，60)
,,?求函数的最小值. f(x),3sin(x，120)，5sin(x，60)
7、求函数的值域 f(x),(2,cosx)(2,sinx)
28、如果函数的最小值为，求的表达式 g(t)g(t)f(x),sinx,2tsinx，2t
22229、如果，求的值域. 3sin,，2sin,,2sin,sin,，sin,
1210、已知求的最大值与最小值 sinx，siny,，u,sinx,cosy3
6611、求函数的值域 y,sinx，cosx
范文三：三角函数求值域方法导与练
三角函数求值域专题
求三角函数值域及最值的常用方法:
22a，b,sin(x，,)(1) 一次函数型:或利用为:， y,asinx，bcosx,
利用函数的有界性或单调性求解;化为一个角的同名三角函数形式，
, (1):， y,,2sin(3x,)，5y,sinxcosx12
2) ( y,4sinx,3cosx
,y,sinx，3cosx (3).函数在区间上的最小值为 1 ( [0,]2
,,, (4)函数且的值域是___ yx,,tan()(,,,xx,0)(,1][1,),,,,，,244
(2)二次函数型:化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、 换元及
图像法求解;
二倍角公式的应用:
y,sinx，cos2x如: (1)
13 (2)函数的最大值等于( f(x),cosx,cos2x(x,R)42
21cos2x8sinx,，，0 (3).当时，函数f(x)的最小值为 4 ( ,x,,2sin2x
(4).已知k,,4，则函数y,cos2x，k(cosx,1)的最小值是 1 (
(5).若，则的最大值与最小值之和为____2____( 2,,,，,y,,cos6sin,,
(3)借助直线的斜率的关系用数形结合求解;
asinx，bf(x),型如型。此类型最值问题可考虑如下几种解法: ccosx，d
asinx，bcosx,c?转化为再利用辅助角公式求其最值;
?利用万能公式求解;
?采用数形结合法(转化为斜率问题)求最值。
sinx例1:求函数的值域。 y,cos2x,
解法1:数形结合法:求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx, sinx)与定点Q(2,
0)所确定的直线的斜率的范围。作出如图得图象，当过Q点y
sinx的直线与单位圆相切时得斜率便是函数得最y,Pcos2x,
3,值，由几何知识，易求得过Q的两切线得斜率分别为、OQx3
333[,],。结合图形可知，此函数的值域是。 333
2ysinx解法2:将函数变形为，?由，,,yxxycossin2,,y,sin()x2cos2x,，1y
3333|2|y22,,,y[,],，解得:，故值域是 |sin()|1x，,,,,,，(2)1yy233331，y
22t1,tsinx,解法3:利用万能公式求解:由万能公式，，代入cosx,221，t1，tsinx2t2t,0得到则有知:当，则，满足条y,0320ytty，，,y,y,2cos2x,,,13t
33332t,0,,,,y[,],，由，，故所求函数的值域是。 件;当?,,,4120y3333
21,tsinx2t解法4:利用重要不等式求解:由万能公式，，代入y,sinx,cosx,22cos2x,1，t1，t
2tt,0t,0得到当时，则，满足条件;当时，y,0y,2,,13t
222322y,,,,,,,，如果t > 0，则，y,,,1132311,,，3(3)tt,,，3(3)tttttt
3223此时即有;如果t <>
333[,],0,,y。综上:此函数的值域是。 333
2cos,x例2.求函数的最小值( ,yx,,,(0)sinx
分析:利用函数的有界性求解(
2解法一:原式可化为，得1sin()2，，,yx,，即yxxxsincos2(0)，,,,,
2，,,， sin()x2，1y
2y,3y,,3,1y故，解得或(舍)，所以的最小值为( 321，y
2cos,x表示的是点与连线的斜率，其中解法二:,A(0,2)Bxx(sin,cos),yx,,,(0)sinx
22k,3y点B在左半圆上，由图像知，当AB与半圆相切时，最小，此时，aba，,,1(0)AB
y所以的最小值为( 3
点评:解法一利用三角函数的有界性求解;解法二从结构出发利用斜率公式，结合图像求解(
(4)换元法(
2t,1代数换元法代换: 令:再y,sinxcosx，sinx，cosxsinx，cosx,t,则y,，t2用配方、
例题:求函数的最大值( yxxxx,,，，sincossincos
211t,12(22),,,tsincosxxt，, 解:设，则，则，ytt,，,sincosxx,,222
1y当时，有最大值为( ，2t,22
(5)降幂法
2型如型。此类型可利用倍角公式、降幂公式进行y,asinx，bsinx,cosx，c(a,0)
降次、整理为再利用辅助角公式求出最值。 yAxBx,，sin2cos2型
7,,22例1:求函数的最值，并求f(x),53cosx，3sinx,4sinxcosx(,x,)424取得最值时x的值。
分析:先化简函数，化成一个角的一种函数再由正弦，余弦函数的有界性，同时应注意
角度的限定范围。
解:由降幂公式和倍角公式，得
1，cos2x1,cos2x f(x),53，3,2sin2x22
,23cos3x,2sin2x，33
, ,4cos(2x，)，336
23217,,,,,,,,cos(2，,),x2?， ?，? ,x,,x，,262424364
7,?的最小值为，此时，无最大值。 fx()x,fx()33,2224
πππ,,，，2x,，fxxx()2sin3cos2,，,例2. 已知函数，( ,,,,424，，,,
(I)求的最大值和最小值; fx()
ππ，，fxm()2,,x,， (II)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围( m,,42，，
axbxsincos，分析:观察角，单角二次型，降次整理为形式(
，，π,,解:(?) ?fxxxxx()1cos23cos21sin23cos2,,，,,，,,,,,2,,，，
π,,,，,12sin2x( ,,3,,
πππππ2π，，,,?x,，??212sin23，,x 又，，即， ???2x,,,,,423633，，,,
( ?fxfx()3()2,,，maxmin
ππ，，?fxmfxmfx()2()2()2,,,,,,，x,， (?)，， ,,42，，
且， ?mfx,,()2mfx,，()2maxmin
?14,,m，即的取值范围是( (14)，m
(5)典型应用题
PAOB60:扇形的半径为1，中心角为，是扇形的内接矩形，问在怎样的位置时，PQRS
B 矩形的面积最大，并求出最大值( PQRS
Q 分析:引入变量，,AOPx，建立目标函数( P
OP，,AOPxPSx,sinOSx,cos解:连接，设，则，，
O A S 3R RSxx,,cossin( 3
333,？,,,，,Sxxxx(cossin)sinsin(2)， 3366
3,,S,P，所以当x时，在圆弧中心位置，( ？0,,x,max663
点评:合理引进参数，利用已知条件，结合图形建立面积与参数之间的函数关系式，这是解
题的关键(
类型6:条件最值问题(不要忘了条件自身的约束)。
12 例1. 已知，求的最大值与最小值( sinsinxy，,sincosyx,3
分析:可化为二次函数求最值问题(
12解:(1)由已知得:，，则( ？sin[1,1]y,,sin[,1]x,,sinsinyx,,33
111111222，当时，有最小值;当,sinx,sincosyx,？,,,,sincos(sin)yxx122212
422时，有最小值( sinx,,sincosyx,93
2222例2:已知，求的取值范围。 3sin,，2sin,,2sin,y,sin,，sin,
分析:用函数的思想分析问题，这是已知关于sinα，sinβ的二元条件等式求二元二次
函数的值域问题，应消元，把二元变一元，注意自变量的范围。
322222解:?，? ? sin,,,sin,，sin,3sin,，2sin,,2sin,0,sin,,1232,sinsin0,,，,,,22,0sin? 解得,,,,332,sinsin1,,，,,,2,
1112222sinsinsinsin(sin1)? y,,，,,,,，,,,,,，222
2 ?0,sin,。 ,3
442220sinsin?sinα=0时，; 时， ?。 sin,y,0,y,,,，,,maxmin399
y,x，1,x例3 :求函数的最大值和最小值，并指出当x分别为何值时取到最大值和最小值。
,20解:?定义域为0?x?1，可设且 x,cosx,,,2
,220， 1,x,1,cos,,sin,,,,2
,22? y,cos，sin,sin，cos,2sin(，),,,,,4
32,,,,,1,y,2,sin(，),10?，?，?即 ,,,,，,,,242444
3,,,,,?当或，即θ =0或(此时x=1或x=0)，y=1; ，,，,,,,,24444
1,,y,2当，即时，(此时)，， ，,x,,,242
1当x=0或x=1时，y有最小值1;当时，y有最大值。 x,22
评析:利用三角换元法求解此类问题时，要注意所设角的取值范围，要同原函数定义域相一致，尽量恰到好处。
【反馈演练】
,,1(函数的最小值等于____,1_______( y,2sin(,x),cos(，x)(x,R)36
3,2(已知函数，，直线和它们分别交于M，N，则,,fxx()3sin,gxx()sin()x,m2
10MN,_________( max
2,cosx3(当时，函数的最小值是______4 _______( 0,,xfx(),24cossinsinxxx,
33, sinx34(函数的最大值为_______，最小值为________. y,3cos2x，
(1,1),5(函数的值域为 . yxx,,costan
22[,], 11226(已知函数，则的值域是 . fx()fxxxxx()(sincos)|sincos|,，,,22
,,，，,,,27(已知函数在区间上的最小值是，则的最小值等 于fxx()2sin(0),,,,,,,34，，31_________( 22
3sin,y,8((1)已知，函数的最大值是_______. ,,,(0,)213sin，,
2(2)已知，函数的最小值是____3___. x,(0,),yx,，sinsinx
,9(在?OAB中，O为坐标原点，，则当?OAB的面积达最大A(1,cos),B(sin,1),,(0,],,,,2 ,,值时，_____________ ( 2
10(已知函数( fxxxxx()2cos(sincos)1,,，,，R
(?)求函数的最小正周期; fx()
π3π，，，(?)求函数在区间上的最小值和最大值( fx(),,84，，
π,,fxxxxxxx()2cos(sincos)1sin2cos22sin2,,，,,,,解:(?)( ,,4,,
因此，函数的最小正周期为( fx()π
π3ππ3π3π,,，，，，，，fxx()2sin2,,(?)因为在区间上为增函数，在区间上为减函,,,,,,88844，，，，,,
π3π3π3πππ,,,,,,,,f,2f,0f,,,,,,2sin2cos1数，又，，， ,,,,,,,,884244,,,,,,,,
π3π，，，,1故函数在区间上的最大值为，最小值为( fx()2,,84，，
π9ππ,,，，，fxx()2sin2,,解法二:作函数在长度为一个周期的区间上的图象如下: ,,,,844，，,,
y
2
,,
,
,,,,,,,？, x O ,,,,,
,2
π3π，，，由图象得函数在区间上fx(),,84，，
3π,,f,,1的最大值为，最小值为( 2,,4,,
1，cos2x,211(若函数的最大值为，试确定常数a2，3f(x),，sinx，asin(x，),42sin(,x)2
的值.
21，2cosx,1,2解: f(x),，sinx，asin(x，),42sin(,x)2
22cosx,,22 ,，sinx，asin(x，),sinx，cosx，asin(x，)2cosx44
,,,22 ,2sin(x，)，asin(x，),(2，a)sin(x，)444
,22，a,2，3,因为的最大值为的最大值为1，则 f(x)2，3,sin(x，)4
a,,3,所以
212(已知函数( fxxx()2sinsin2,，
(1)若(求使为正值的的集合; x,[0,2],fx()x
,2(2)若关于的方程在内有实根，求实数的取值范围. [0,]x[()]()0fxfxa，，,a4
,解:(1)? ,，,12sin(2)xfxxx()1cos2sin2,,，4
2,,,,,,sin(2)x ？,,，,,fxx()012sin(2)0424
,,,5 ,,，,,,，222kxk,,444
3, ,,,，kxk,,4
37,, 又 ? ,,x,[0,2].,x(0,)(,),44
,22,,,,，，,,,sin(2)[,]x2,x,,,(2)当时，? x,[0,],,4443224，，
2则，? fx()[0,2],fxfx()()[0,6]，,
22?方程有实根，得 [()]()0fxfxa，，,a,,[f(x)，f(x)]? a,,[6,0]
【高考赏析】
(1)(本小题满分13分)
2fxxxcosx()3cossin,，，,,,, 设函数(其中)，且的图象,,,,0,Rfx()
,y在轴右侧的第一个最高点的横坐标为。 6
(I)求的值。 ,
,,5，，,, (II)如果在区间上的最小值为，求的值。 fx()3,,,36，，
(本小题13分)
313解:(I)fxxx()cos2sin2,，，，,,,222
3,,, sin2,，，，x,,,,32,,
,,,依题意得,，, 2,,632
1解之得, .,2
,3(II)由(I)知,f(x)=sin(x+，， ),32
57，，，，,,,, ,0,,又当时，xx,,，,,,,,3636，，，，
1, 故,,，, sin()1,x23
513，，,, (),从而在上取得最小值fx,,，，,,,3622，，
，3113,, 3.因此，由题设知故,，，,,222
2.(本小题满分12分)
ππ2已知函数f(x)=3sin(2x,)+2sin(x,) (x?R) 612(?)求函数f(x)的最小正周期 ; (2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.
ππ(解:(?) f(x)=3sin(2x,)+1,cos2(x,) 612
3π1π = 2[sin2(x,), cos2(x,)]+1 212212
ππ =2sin[2(x,),]+1 126
π,) +1 = 2sin(2x3
2π? T= =π 2
πππ (?)当f(x)取最大值时， sin(2x,)=1，有 2x, =2kπ+ 3325π5π即x=kπ+ (k?Z) ?所求x的集合为{x?R|x= kπ+ ， (k?Z)}( 1212
范文四：三角函数求值域专题
求三角函数值域及最值的常用方法：
对三角函数的考查，历来都是高考的重点，也是基础。考试大纲中对三角函数的要求是重基础，从近几年的高考试卷来看，三角函数的最值问题在高考中经常出现，本文总结归纳了三角函数求最值的几种类型，掌握这几种类型后，几乎所有三角函数的最值问题都可迎刃而解。
类型1、利用辅助角公式：y =a sin x +b cos x =角函数形式。
22
例1：求函数f (x ) =5cos x +3sin x -4sin x cos x (
a 2+b 2?sin(x +?) ，化为一个角的三
π
4
7π
的最值，并24
求取得最值时x 的值。
解：由降幂公式和倍角公式，得
1+cos 2x 1-cos 2x
+-2sin 2x 22
=23cos 3x -2sin 2x +33 f (x ) =53=4cos(2x +
∵
π
6
+3
7π2ππ3ππ1
<2x +≤，="" ∴，∴-≤cos(2x=""><)>
424364262
7π
∴f (x ) 的最小值为-22，此时x =，f (x ) 无最大值。
24
π
例2：已知函数f (x ) =2sin 2
?π??ππ?+x ?2x ，x ∈??． ?4??42?
（I ）求f (x ) 的最大值和最小值；
（II ）若不等式f (x ) -m <2在x>
?上恒成立，求实数m 的取值范围．
42
解：（Ⅰ）∵f (x ) =?1-cos
?ππ?
??
???π??
+2x ??2x =1+sin 2x 2x ?2??
π??
=1+2sin 2x -?．
3??
又∵x ∈??，∴≤2x -≤，即2≤1+2sin 2x -?≤3，
633423????
?ππ?
ππ2π
?
π?
∴f (x ) max =3，f (x ) min =2．
?ππ?
??
（Ⅱ）∵f (x ) -m <2?f (x="" )="">
42
∴m >f (x ) max -2且m
∴1
练习：函数y =sin x +cos x 在区间[0,
π
2
上的最小值为 ．
类型2、化为y =a sin 2x +b sin x +c 二次函数类型
2
例3：求函数y ＝2cos x ＋5sinx －4的值域． 解:原函数可化为
当sinx ＝1时，y max ＝1； 当sinx ＝－1时，y min ＝－9，
∴原函数的值域是[－9，1]．
练习：函数f (x ) =cos x -
1
cos 2x (x ∈R ) 的最大值等于 ． 2
3、y =
a sin x +b
型：反解sin x ，利用正弦的有界性（或分离常数法）
c sin x +d
sin x -1
的值域。
2-sin x sin x -1
解：由y =变形为(y +1)sin x =2y +1，
2-sin x
2y +1
则有sin x =，
y +12y +1
|≤1 由|sin x |=|
y +1
2y +122?||≤1?(2y +1) 2≤(y +1) 2?-≤y ≤0，
3y +1
2
则此函数的值域是y ∈[-, 0]
3
2cos x +1
例5:求函数y =的值域.
2cos x -1
21
, cos x ≤1，可直接得到：y ≥3或y ≤. 法一：原函数变形为y =1+
2cos x -13
例4:求函数y =
∴此函数的值域是 -∞, ??[3, +∞)
3
??
1??
法二：原函数变形为cos x =
1y +1y +1
, cos x ≤1, ∴≤1, ∴y ≥3或y ≤.
32y -12y -11??
??
cos x -3
练习：求函数y =的值域 。
cos x +3a sin x +b
4、型如f (x ) =型
c cos x +d
∴此函数的值域是 -∞, ?[3, +∞)
3
此类型最值问题可考虑如下几种解法：
①转化为a sin x +b cos x =c 再利用辅助角公式求其最值； ②采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。 例6：求函数y =
sin x
的值域。
cos x -2
解法1：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx , sinx ) 与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。作出如图得图象，当过Q 点的直线与单位圆相切时得斜率
sin x
便是函数y =得最值，由几何知识，易求得过Q 的两
cos x -2
切线得斜率分别为
域是[-。
33
sin x
解法2：将函数y =变形为y cos x -sin x =2y ，
∴n s i (
cos x -2
x ) +φ=
由
|sin(x +φ) |=
≤1?(2y ) 2≤1+
y 2，解得：，故值域是[-≤y ≤
3333
例7：求函数y =
2-cos x
(0
sin x
解法一：原式可化为
y sin x +cos x =2(0
x +?) =2，
即
sin(x +?) =
≤1，解得y ≥或y ≤（舍），所以
y
解法二：y =
2-cos x
(0
sin x
22
其中点B 在左半圆a +b =1(a <0) 上，由图像知，当ab="" 与半圆相切时，y="">
k AB =
y
点评：
解法一利用三角函数的有界性求解；解法二从结构出发利用斜率公式，结合图像
求解．
练习：
求函数y =
2-sin x
的值域。
2-cos x
5、y =a sin x cos x +b (sinx +cos x ) 型：换元法．
含有sin x ±cos x 与sin x ?cos x 的最值问题。解此类型最值问题通常令t =sin x ±cos x ，
t 2=1±2sin x ?cos x ，-2≤t ≤2，再进一步转化为二次函数在区间上的最值问题。注意
t 的范围。
例8：求函数y ＝(1＋sinx)(1＋cosx) 的值域． 解：原函数即为
y ＝1＋sinx ＋cosx ＋sinxcosx ，
∴原函数即为
【反馈演练】
cos 2x
1．当0
4cos x sin x -sin 2x
π
sin x
的最大值为_______，最小值为________.
cos x +2
1+cos 2x π
3．若函数f (x ) =+sin x +a 2sin(x +的最大值为2+3，求a 的值.
42-x )
2
2．函数y =
4．已知函数f (x ) =2sin x +sin 2x ．
2
（1）若x ∈[0,2π]．求使f (x ) 为正值的x 的集合； （2）若关于x 的方程[f (x )]+f (x ) +a =0在[0,
2
π
4
]内有实根，求实数a 的取值范围.
范文五：求三角函数的值域
()
三角函数y＝sinx及y＝cosx是有界函数，即当自变量x在R内取一
定的值时，因变量y有最大值y＝1和最小值y＝－1，这是三角函数maxminy＝sinx及y＝cosx的基本性质之一，利用三角函数的这一基本性质，我
们可以使一些比较复杂的三角函数求最值的问题得以简化．虽然这部分
内容在教材中出现不多，但是，在我们的日常练习和历年高考试题中却
频频出现，学生也往往对这样的问题颇感棘手．笔者根据日常的教学积
累，对三角函数求值域或最值的方法，加以归纳总结如下．
1
如果所给的函数是同名不同次或可化为同名不同次及其他能够进行
配方的形式，可采用此方法．
21 求函数y＝2cosx＋5sinx－4的值域．
原函数可化为
当sinx＝1时，y＝1； max
当sinx＝－1时，y＝－9， min
?原函数的值域是y?[－9，1]．
注：此种方法在求三角函数的值域或最值问题中较为常见．但在最
后讨论值域时，往往容易忽略自变量(例1中以sinx为自变量)的取值范
围而出现错误应该引起注意．
cosx
2 求下列函数的最值，并求出相应的x值．
y＝asinx＋bcosx或可转化为此种形式的函数，其最大值和最小值分别为y＝ max
3
如果函数的表达式中仅含有某一个三角函数名，我们可考虑此种方
法，用因变量y表示出该函数，再利用该函数的值域求对应的原函数的值域．
? 原函数的值域是
4
上面的求反函数法实际上就是在应用函数的有界性求最值，在此只
不过是为了更加突出一下．
由原式可得
(3y－1)sinx＋(2y－2)cosx＝3－y，
则上式即为
利用函数的有界性有
?原函数的值域是
5
5 求下列函数的值域：
＝2； 极小 当sinx＝－1时，y有极小值，y
?原函数的值域是
(2)原函数化为部分分式为：
?原函数的值域是
6
6 求函数y＝(1＋cosx)sinx，x?[0，π]的最大值．
原函数即为：
7
7 求函数y＝(1＋sinx)(1＋cosx)的值域．
原函数即为
y＝1＋sinx＋cosx＋sinxcosx，
?原函数即为
8
原函数化为
9
两点的直线的斜率，在平面直角坐标系中作出点(2，2)和单位圆，则很容易确定y的取值范围．
2222＋1)x－(4k－4k)x＋4k－8k＋3＝0， 得(k
2222 Δ＝(4k－4k)－4(k＋1)(4k－8k＋3)
2 ＝－12k＋32k－12．
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