女神我有种子
范文一：求和公式
等比数列求和公式
等比数列的意义
一个数列，如果任意的后一项与前一项的比值是同一个常数，
即：A(n+1)/A(n)=q (n∈N*)，
这个数列叫等比数列，其中常数q 叫作公比。
如：
2、4、8、16......2^10
就是一个等比数列，其公比为2，
可写为（A2）的平方=（A1）x （A3）
通项公式
an=a1×q^(n-1) ；
通项公式与推广式
推广式：an=am×q^(n-m) ；
求和公式
等比数列求和公式
Sn=n×a1 (q=1)
Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) (q≠1)
S∞=a1/(1-q) （n-> ∞）（|q|<>
(q为公比，n 为项数）
等比数列求和公式推导
（1）Sn=a1+a2+a3+...+an(公比为q)
（2）q*Sn=a1*q+a2*q+a3*q+...+an*q
=a2+a3+a4+...+a(n+1)
（3）Sn-q*Sn=a1-a(n+1)
（4）(1-q)Sn=a1-a1*q^n
（5）Sn=(a1-a1*q^n)/(1-q)
（6）Sn=(a1-an*q)/(1-q)
（7）Sn=a1(1-q^n)/(1-q)
（8）Sn=k*(1-q^n)~y=k*(1-a^x)
简介
①若 m、n 、p 、q∈N，且m+n=p+q，则am×an=ap×aq；
②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列；
等比数列的性质
③若m 、n 、q∈N，且m+n=2q，则am×an=(aq)^2；
④ 若G 是a 、b 的等比中项，则G^2=ab（G ≠ 0）；
⑤在等比数列中，首项a1与公比q 都不为零.
注意
上述公式中an 表示等比数列的第n 项。
设M=6，N=8，Q=7，得6+8=14，A=4，最后AM*AN=768，A*Q^2=196 等差数列求和公式
公式 Sn=(a1+an)n/2
Sn=na1+n(n-1)d/2; （d 为公差）
Sn=An2+Bn; A=d/2,B=a1-(d/2)
和为 Sn
首项 a1
末项 an
公差d
项数n
等差数列求和公式 - 通项
首项=2×和÷项数-末项
末项=2×和÷项数-首项
末项=首项+（项数-1）×公差 项数=（末项-首项）（除以）/ 公差+1 公差=如：1+3+5+7+……99 公差就是3-1 d=an-a 若 m 、n 、p 、q ∈N ①若m+n=p+q，则am+an=ap+aq ②若m+n=2q，则am+an=2aq（等差中项） 注意：上述公式中an 表示等差数列的第n 项。 §23 等差、等比数列的求和公式 教学要求：掌握等差数列前n 项和的公式；掌握等比数列前n 项和公式. 教学设计： 一、知识回顾 1. 等差数列、等比数列有哪些性质？ 2. 评讲作业 二、问题探究 1. 等比数列求和公式是如何证明？ 2. 等差数列求和公式能否类比得到等比数列的和公式？为什么？ 三、数学建构 1. 等差数列前n 项和公式： 2. 等比数列前n 项和公式： 3. 求和方法：①倒序相加；②错位相减 4. 类比的前提是什么？ 四、思路与方法 1. （１）等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 2+a 4+a 15的值是一个确定 的常数，则数列{S n }中也为常数的项是 ( ) A. S 7 B. S 8 C. S 13 D. S 15 （２）等差数列{a n }中，a 100且a 11＞|a 10|，S n 为其前n 项和， 则 ( ) A. S 1，S 2，…，S 10都小于0，S 11，S 12，…都大于0 B. S 1，S 2，…，S 19都小于0，S 20，S 21，…都大于0 C. S 1，S 2，…，S 5都小于0，S 6，S 7，…都大于0 D. S 1，S 2，…，S 20都小于0，S 21，S 22，…都大于0 （３）已知 {a n }是等比数列，且a n ＞0, 若a 2a 4 ＋2a 3a 5 ＋a 4a 6 ＝25，则a 3 ＋a 5的值等于 . （４）已知数列{a n }的前n 项的和S n =n 2+n +2，则a n =______. 2. 在项数为2n 的等差数列中，各奇数项的和为75，各偶数项的和为90, 末项与首项的差为27，则项数2n 为多少？ 3. 已知等差数列 {a n }的前n 项的和为S n ，若S 100=10, S 10=100，求S 110. 4. 已知{a 2n }是等差数列，设f n (x ) =a 1x +a 2x + +a n x n , n 为偶数. 且f 2n (1) =n , f n (-1) =n . （１）求数列{a 5n }的通项公式；（２）证明：4 n 2 ) <3(n> 五、课堂练习（３０分钟限时练习） 1. 若等差数列{a n }中，a 7+a 9=16, a 4=1，则a 12的值是（ ） A.15 B.30 C.31 D.64 2. 在公比为整数的等比数列{a n }中，如果a 1+a 4=18a 2+a 3=12，则这 个等比数列前8项的和为 A.513 B.512 C.510 D. 2258 3. 设S S a n 是等差数列{a n }的前n 项和，若9S =2，则5=______. 5a 3 4. 等差数列{a S 2n +3a n }、{b n }的前n 项和S n n 、T n 满足T = ，则5={n n +1b 55. 等差数列a n }的前n 项和为S n ，已知S 6=36, S n =324, S n -6=144 (n >6) ，则n =_______. 6. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a n ＝5S n －3 （n ∈N ＋），{b n }是{a n } 的奇数项构成的数列，求数列{b n } 的通项公式． 7. 在等差数列{a n }中，a 1=25, S 17=S 9，求S n 的最大值. 8. 数列{a n 项和为S 1 n }的前n ，且a 1=1，a n +1=3 S n ，n =1，2，3，……. 求：a 2，a 3，a 4的值及数列{a n }的通项公式； 以下是网友分享的关于高等数学级数求和公式的资料5篇，希望对您有所帮助，就爱阅读感谢您的支持。 高等数学级数求和公式篇1 ?23 等差、等比数列的求和公式 教学要求:掌握等差数列前n 项和的公式;掌握等比数列前n 项和公式. 教学设计: 一、知识回顾 1. 等差数列、等比数列有哪些性质, 2. 评讲作业 二、问题探究 1. 等比数列求和公式是如何证明, 1 2. 等差数列求和公式能否类比得到等比数列的和公式,为什么, 三、数学建构 1. 等差数列前n 项和公式: 2. 等比数列前n 项和公式: 3. 求和方法:?倒序相加;?错位相减 4. 类比的前提是什么, 四、思路与方法 1. (,)等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 2+a 4+a 15的值是一个确定 的常数，则数列{S n }中也为常数的项是 ( ) A. S 7 B. S 8 C. S 13 D. S 15 (,)等差数列{a n }中，a 10,0，a 11,0且a 11,|a 10|，S n 为其前n 项和， 则 ( ) A. S 1，S 2，…，S 10都小于0，S 11，S 12，…都大于0 B. S 1，S 2，…，S 19都小于0，S 20，S 21，…都大于0 C. S 1，S 2，…，S 5都小于0，S 6，S 7，…都大于0 D. S 1，S 2，…，S 20都小于0，S 21，S 22，…都大于0 (,)已知 {a n }是等比数列，且a n ,0, 若a 2a 4 ，2a 3a 5 ，a 4a 6 ,25，则a 3 2 ，a 5的值等于 . (,)已知数列{a n }的前n 项的和S n =n 2+n +2，则a n =______. 2. 在项数为2n 的等差数列中，各奇数项的和为75，各偶 数项的和为90, 末项与首项的差为27，则项数2n 为多少, 3. 已知等差数列 {a n }的前n 项的和为S n ，若S 100=10, S 10=100，求S 110. 4. 已知{a 2n }是等差数列，设f n (x ) =a 1x +a 2x + +a n x n , n 为偶数. 且f 2n (1) =n , f n (-1) =n . (,)求数列{a 5n }的通项公式;(,)证明:4n 2 ) 五、课堂练习(,,分钟限时练习) 1. 若等差数列{a n }中，a 7+a 9=16, a 4=1，则a 12的值是 ( ) A.15 B.30 C.31 D.64 2. 在公比为整数的等比数列{a n }中，如果a 1+a 4=18a 2+a 3=12，则这 个等比数列前8项的和为 3 A.513 B.512 C.510 D. 2258 3. 设S S a n 是等差数列{a n }的前n 项和，若9S =2，则5=______. 5a 3 4. 等差数列{a S 2n +3a n }、{b n }的前n 项和S n n 、T n 满足T = ，则5={n n +1b 55. 等差数列a n }的前n 项和为S n ，已知S 6=36, S n =324, S n -6=144 (n >6) ，则n =_______. 6. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a n ,5S n ,3 (n ?N ，)，{b n }是{a n } 的奇数项构成的数列，求数列{b n } 的通项公式( 7. 在等差数列{a n }中，a 1=25, S 17=S 9，求S n 的最大值. 8. 数列{a n 项和为S 1 n }的前n ，且a 1=1，a n +1=3 S n ，n =1，2，3，……. 求:a 2，a 3，a 4的值及数列{a n }的通项公式; 高等数学级数求和公式篇2 4 ?瞭解及熟用等比級數的求和公式: a 1(r n -1) a 1(1-r n ) 或當r ?1時，S n = r -11-r 4. 求a -3a +32a -33a +34a -35a 的和。 5. 求32+(-16) +8+(-4) +…至第八項的和。 6. 求等比級數1+ 1 當r =1時， S n =na 1 1. 求4-12+36-108+324-972。 11111 2. 求2+1+++++。 2481632 81632 3. 求-6+4-+-。 3927 2464++…+的和。 39729 7. 一等比級數的首項是2，公比是3，末項是486，求其項 5 數及總和。 8. 設一等比級數的首項是3，前三項的和是 19 ，求其公比。 3 10. 設一等比級數共有六項，已知其公比是 3 ，第三項是576，求首項與總和。 4 11. 設一個等比級數共有七項，其第三項為12，第六項為 -96，求此等比級數的和。 3 ，前四項的和為2 9. 設一等比數列的公比是 325 ，求首項。 8 12. 設一個等比級數共有五項，第一項與第二項的和為2， 第三項與第四項的和為32， 2 6 求此等比級數的和。 13. 設一個等比級數共有五項，第三項為12，首項與第二項的和為9，求此級數的總和。 14. 一個垃圾桶內有6個特大號的袋子，每個特大號的袋子中有6個大號的袋子，每個大號的袋子中有6個中號的袋子，每個中號的袋子中有6個小號的袋子，則這個垃圾桶中共有多少個袋子, 3 15. 設一顆球每次落地後反彈的高度為原來高度的 2 ，現有一顆球自24公尺高處落3 下，求此球自開始落下至第4次著地所經過的總路程是多少公尺, 16. 某人有米4096公斤，第一次賣出所有的 11 ，第二次賣出剩餘的，如此依次賣出22 剩餘的米, 1 ，賣了八次，共賣出多少公斤的2 17. 已知1+2+22+…+2n =2047，求n 。 7 18. 一等比級數有10項，其公比是3，和是 910 (3-1) ，求首項。 2 1111 20. 求1+2+3+…+9。 248512 19. 設f (x ) =3x +1，求f (1)+f (2)+…… +f (10)。 4 高等数学级数求和公式篇3 乘法与因式分解公式 1.1 1.2 1.4 2、三角不等式 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 3、一元二次方程 8 的解 3.2 (韦达定理) 根与系数的关系 一些初等函数: 两个重要极限: e x -e -x 双曲正弦:shx = 2e x +e -x 双曲余弦:chx = 2 shx e x -e -x 双曲正切:thx == chx e x +e -x arshx =ln(x +x 2+1)archx =?ln(x +x 2-1) arthx = 11+x ln 21-x lim s in x =1 9 x ?0x 1x lim (1+) =e x ??x 导数与微分 1 求导与微分法则 ‘=0(c ) ‘=c v ‘(cv ) ‘=u ‘?v ‘(u ?v ) ‘=u ‘v +u v ‘(uv ) u u ‘v -u v ‘‘=()v v 2 ‘=nv n -1v ‘(v n ) v ‘‘)=2v v ‘‘=(ln v )v v ‘‘=(log a v ) v ln a ‘=e v v ‘(e v ) ‘=cos v ?v ‘(sin v ) ‘=-sin v ?v ‘(cos v ) ‘=sec 2v ?v ‘(tan v ) ‘=-csc 2v ?v ‘(cot v ) ‘=sec v ?tan v ?v ‘(sec v ) ‘=-csc v cot v ?v ‘(csc v ) 10 v ‘‘=(arcsin v ) -v 2 v ‘ ‘=-(arccos v ) -v 2v ‘‘=(arctan v ) 1+v 2 v ‘‘=-(arc cot v ) 1+v 2v ‘‘=(arc sec v ) v v 2-1 v ‘ ‘=-(arc csc v ) v v 2-1 1、4、某些数列的前n 项和 4.7 5、二项式展开公式 7、诱导公式: 11 8、和差角公式: 9、和差化积公式: sin(α?β) =sin αcos β?cos αsin βcos(α?β) =cos αcos β sin αsin βtg (α?β) = tg α?tg β 1 tg α?tg βctg α?ctg β 1 ctg (α?β) = ctg β?ctg α sin α+sin β=2sin α+β 22α+βα-β sin α-sin β=2cos sin 22α+βα-β cos α+cos β=2cos cos 22α+βα-β cos α-cos β=2sin sin 22 cos α-β 10、倍角公式: sin 2α=2sin αcos α 12 cos 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α=cos 2α-sin 2αctg 2α-1 ctg 2α= 2ctg α2tg α tg 2α= 1-tg 2α 11、半角公式: sin 3α=3sin α-4sin 3αcos 3α=4cos 3α-3cos α3tg α-tg 3αtg 3α= 1-3tg 2α sin tg α 2 =?=? -cos αα+cos α cos =?222 1-cos 1-cos αsin αα1+cos 1+cos αsin α == ctg =?== 1+cos αsin α1+cos α21-cos αsin α1-cos α α 2 13 12、正弦定理: a b c ===2R 13、余弦定理:c 2=a 2+b 2-2ab cos C si n A si n B si n C x = 14、反三角函数性质:a r c si n π 2 -a r c c o s x a r c t g x = π 2 -a r c c t g x 高等数学级数求和公式篇4 基本初等函数求导公式 ‘ (1) (C ) =0 ‘ (3) (sinx ) =cos x 2 ‘(tanx ) =sec x (5) μμ-1 ‘(x ) =μx (2) 14 ‘ (4) (cosx ) =-sin x 2’(cotx ) =-csc x (6) ‘ (7) (secx ) =sec x tan x x x ‘(a ) =a ln a (9) ‘ (8) (cscx ) =-csc x cot x x x ‘(e) =e (10) (11) (loga x ) ‘= 1 x ln a (lnx ) ‘= (12) 1x ， (arcsinx ) ‘= (13) 1-x 2 11+x 2 (14) (arccosx ) ‘=- 1-x 2 15 11+x 2 (arctanx ) ‘= (15) (arccotx ) ‘=- (16) 函数的和、差、积、商的求导法则 v =v (x ) 都可导，则 设u =u (x ) ， (u ?v ) ‘=u ‘?v ‘ (uv ) ‘=u ‘v +u v ‘ (Cu ) ‘=C u ‘(C 是常数) (1) (2) (3) ‘ ?u ?u ‘v -u v ‘ ?=2v v ?? (4) 反函数求导法则 若函数 x =?(y ) 在某区间I y 内可导、单调且?’(y ) ?0，则它的 反函数y =f (x ) 在对应 I 区间x 内也可导，且 dy 1= 1dx f ‘(x ) = dy ?’(y ) 或 16 复合函数求导法则 设y =f (u ) ，而u =?(x ) 且f (u ) 及?(x ) 都可导，则复 合函数y =f [?(x )]的导数为 dy dy du =?’(x ) dx du dx 或y ‘=f ‘(u ) 高等数学级数求和公式篇5 I. 基本函数的导数 01. (C )’=0; 02. (x μ)’=μx μ-1; 03. (sin x )’=cos x ; 04. (cos x )’=-sin x ; 05. (tan x )’=sec 2x ; 06. (cot x )’=-csc 2 x ; 07. (sec x )’=sec x tan x ; 08. (csc x )’=-csc x cot x ;09. (a x ) ‘=a x ln a ; 10. (e x )’=e x ; 11. (log 1 a x )’=x ln a ; 12. (ln x )’ 17 =1x ; 13. ( arcsin x )’= 1 ; 14. ( arccos x )’ =-;15. (arctan x )’ = 1 1+x 2 ; 16. (arc cot x )’=-1 1+x 2 。 II. 和、差、积、商的导数 01. (u ?v )’=u ‘?v ‘; 02. (Cu )’=Cu ‘; 03. (uv )’=u ‘v +uv ‘; 04. ? u ?’u ‘v -uv ‘ ?v ?? =v 2(v ?0) 。 18 III 复合函数的导数 若y =f (u ), u =?(x )，则 dy dx =dy du du dx 或 y ‘(x )=f ‘(u )?’(x )。 ? 计算极限时常用的等价无穷小 12 lim sin x x lim tan x x lim (1-cos x ) x x ?0x ?0x ?02 lim (e x -1) x lim ln (1+x ) x -1 x ?0x ?0x ?0 x 1 x n ? 两个重要极限: lim x ?0 sin x ?1? =1 lim 1+?=e x ??x ?x ? g (x ) ? 若 lim f (x )=A >0, lim g (x )=B ，则 lim f (x ) =A B ? 罗尔定理:在(a , b )内可导，且f (a )=f (b )，F ‘(x )?0 19 若f (x )在[a , b ]上连续，则存在一ξ?(a , b )，使f ‘(ξ)=0。 ? 拉格朗日中值定理:若f (x )在[a , b ]上连续，在(a , b )内可导，则存在一 ξ?(a , b )，使得f (b )-f (a )=f ‘(ξ)(b -a )。 ? 柯西中值定理:若f (x )、F (x )在[a , b ]上连续，在(a , b )内可导，且F ‘(x )?0 f (b )-f (a )f ‘(ξ) 则存在一ξ?(a , b )，使得x -x 0F b -F a F ‘ξf (x )=lim F (x )=0(或?) ，? 罗必达法则:若(1)x ?lim (2)f ‘(x )及F ‘(x )a (或?) x ?a (或?) 在0X )处存在，且F ‘(x )?0，(3)lim x ?a (或?) f (x )f ‘(x ) ，则lim 。 =lim ?)x ?a (或?) F (x ) x ?a (或?) F ‘(x ) f ‘(x ) 存在(或F ‘(x ) ? 泰勒公式: n f ‘(x 0)f ‘‘(x 0)f ()(x 0)2n f (x )=f (x 0)+(x -x 0)+(x -x 0)+ +(x -x 0)+R n (x ) 1! 2! n ! f (n +1)(ξ)n +1 20 其中:R n (x )=(x -x 0) ,ξ?(x 0, x )。 n +1! n f ‘(0)f ‘‘(0)2f ()(0)n ? 马克劳林公式: f (x )=f (0)+x +x + +x +R n (x ) 1! 2! n ! f (n +1)(ξ)n +1 x , ξ?(0, x )。 其中:R n (x )= n +1! x 2x 3x n e θx n +1 e =1+x +++ ++x (02! 3! n ! n +1! x x 3x 5x 7x 2m -1m -1 + (-?2n x 2x 4x 6n x + (-?123n =1+x +x +x + +x + (-11-x 1n 2n 24 =1-x +x - +-1x + (-11+x n +1 x 2x 3x 4n x + (-1? 驻点:导数为零的点 ?x 1+x 2?f (x 1)+f (x 2)拐点:f ，则称f (x )在[a , b ]上是 21 凸的， ?> 22?? ?x +x ?f (x 1)+f (x 2)，则称f (x )在[a , b ]上是凹的， f 12?2?2? 若曲线在x 0两旁改变凹凸性，则称(x 0, f (x 0))为曲线的拐点。 ? 凹凸性判断(充分条件):设f ‘‘(x )存在，若a 0，则曲线是为凹的。 设曲线方程y =f (x )，f (x )具有二阶导数，则函数y =f (x ) 在(x , y )的曲率K 为:K = y ‘‘ (1+y ‘) 22/3 (工程中，若y ‘基本积分公式: μ+1x 1μ ?kdx =kx +C ?x dx =μ+1+C ?x =ln x +C 11 ? 1+x 2=arctan x +C ?=arcsin x +C ?cos xdx =sin x +C ?sin xdx =-cos x +C ; 1122 22 dx =sec xdx =tan x +C =csc ?cos 2x ??sin 2x ?xdx =-cot x +C ?sec x tan xdx =sec x +C ?csc x cot x =-csc x +C x a x x x a +C e dx =e +C ?dx =?ln a ?shxdx =chx +C ?chxdx =shx +C *?tan dx =-ln cos x +C *?cot xdx =-ln sin x +C *?sec xdx =ln sec x +tan x +C *?csc xdx =ln csc x -cot x +C 11x -a 11x =ln +C dx =arctan +C *?2*?222 x -a 2a x +a x +a a a dx dx *? *? =arcsin x dx +C *?=ln x ++C a (=ln x ++C 基本积分方法 1换元法:(1)设f (u )具有原函数F (u )，而u =?(x )可导， 23 则有: ??(x )???’(x )dx =?f (u )du =F ???(x )??+C ; ?f ? (2)设x =?(t )在区间[α, β]上单调可导，且?’(t )?0，又设f ???(x )???’(x )具 -1 ‘??t ?t dt =F ??有原函数F (t )，则有:?f (x )dx =?f ?()()???(t )??+C 。 2分布积分法: ?udv =uv -?vdu 3. 有理函数积分:?? A (x -a ) ??n Mx +N (x 2 +Px +q ) n dx 2 du ， 1+u 2 4. 万能代换(三角函数的有理式的积分):设tan =u ，则dx = 2u 1-u 2 24 sin x =，cos x =。 1+u 21+u 2 2222 1+2+3+ +n =? x 2 1 n (n +1)(2n +1)。 6 ? 定积分中值定理: ?f (x )dx =f (ξ)(b -a ) (a ?ξ?b )。 a b ? 定理:如果函数f (x )在区间[a , b ]上连续，则积分上限 的函数 Φ(x )=?f (t )dt 在[a , b ]上具有导数，并且它的导数是 a x Φ’(x )= d x f (t )dt =f (x ) (a ?x ?b ) ?a dx ? 定积分换元公式: ?(α)=a , ?(β)=b ， ?f (x )dx =?α a 25 b β f ???(t )???’(t )dt 。 π ? ?? 2 f (sin x )dx =?2f (cos x )dx π π xf (sin x )dx = π f (sin x )dx ?2 π ? 定积分的分步积分: ? b a udv =[uv ]a -?vdu 26 a b b ?n -1n -331π , (n 为正偶数)π??n n -2422 I n =?2sin n xdx =? 0n -1n -342? , (n 为大于1的奇 数)??n n -253 ? 弧长计算公式:? s = ? b a ; ??x =?(t )β α?t ?β() ， s =?; ??y =φt α()?? ??x =r (θ)cos θβ α?θ?β()?s =θ。 ?y =r θsin θ， ?α()?? 向量代数 x 1+λx 2y 1+λy 2z 1+λz 2 27 , y =, z =? 定比分点公式:x =。 1+λ1+λ1+λ b =a b cos θ， a b =a x b x +a y b y +a z b z 。 ? 数量积: a a b +a b +a b a b cos θ==。 a b ? 向量积: a ?b =a x b x i j a y b y k a z b z 。 ? 平面 平面的一般方程:Ax +By +Cz +D =0(向量n ={A , B , C } 为平面法向 量)。 平面点法式方程:A (x -x 0)+B (y -y 0)+C (z -z 0)=0。 x y z 平面的截距式方程:++=1(a , b , c 为平面在三个坐标轴上的截 a b c 28 距)。 两个平面的夹角:两个平面方程为:π1平面:A 1x +B 1y +C 1z +D =0， π2平面:A 2x +B 2y +C 2z +D =0，则两平面的夹角?的余弦为: cos ?= 两平面平行的条件: A 1B 1C 1D 1 。 ==? A 2B 2C 2D 2 两平面垂直的条件: A 1A 2+B 1B 2+C 1C 2=0。 点到平面的距离:平面:Ax +By +Cz +D =0，平面外一点:M (x 1, y 1, z 1)，则点M 到平面的距离:d =? 空间直线 ?A 1x +B 1y +C 1z +D =0 两个平面的交线:?。 A x +B y +C z +D =0?222 点向式方程:直线上的一点M 0(x 0, y 0, z 0)，直线的一个向量S ={m , n , p }， 29 ?x =x 0+mt x -x 0y -y 0z -z 0? ==则直线方程为:，参数方程为:?y =y 0+nt m n p ?z =z +pt 0? 两直线的夹角:L 1: x -x 01y -y 01z -z 01x -x 02y -y 02z -z 02 ，L 2:，则 ==== m 1n 1p 1m 2n 2p 2 两直线的夹角余弦为:cos ?= 两直线平行: m 1n 1p 1 ==， m 2n 2p 2 两直线垂直:m 1m 2+n 1n 2+p 1p 2=0， 两直线共面(平行或相交): x -x 01y -y 01z -z 01?L :x 2-x 1?1m =n =p 111 两直线:?，共面的条件:m 1? ?L :x -x 02=y -y 02=z -z 02 m 22 30 ?m n p ?222 y 2-y 1n 1 n 2 z 2-z 1p 1p 2 =0。 直线与平面的夹角 平面: π:Ax +By +Cz +D =0，直线:L :? 若直线与平面相交，夹角:sin ?= x -x 0y -y 0z -z 0 == m n p ; ?若直线与平面平行:Am +Bn +Cp =0; ?若直线与平面 垂直: ? 多元函数微积分 A B C ==。 m n p ?f ?f ?f =cos ?+sin ? (?为x 轴到方向l 的转角) 1. 方向导 数: ?l ?x ?y ?f ?f ?f i +j +k 2. 梯度: grad f (x , y , z )= ?x ?y ?z 31 3. 二元函数的极值:z =f (x , y )，f x (x 0, y 0)=0，f y (x 0, y 0)=0。令f xx (x 0, y 0)=A ， f xy (x 0, y 0)=B ，f yy (x 0, y 0)=C 。?当AC -B 2>0时具有极值，且当A 极大值，当A >0具有极小值;?当AC -B 23. 二重积分的计算??f (x , y )d σ=?a dx ??1(x )f (x , y )dy =?c dy ?φ1(y )f (x , y )dx D b ?2(x ) d φ2(y ) ??f (x , y )d σ=??f (r cos θ, r sin θ)rdrd θ D D ??f (r cos θ, r sin θ)rdrd θ=?α D β ??2(θ)f (r cos θ, r sin θ)rdr ?d θ?????1(θ)? ?2(θ)?1(θ) =?d θ? α β 32 f (r cos θ, r sin θ)rdr 4. 曲面的面积计算: A =?? σ=?? D D M 平面薄片的重心: x =M = ??x ρ(x , y )d σ D D M , y == M ??ρ(x , y )d σ ??y ρ(x , y )d σ D ρx , y d σ()?? D 22 I =y ρx , y d σ, I =x ()平面薄片的转动惯量: x ??y ??ρ(x , y )d σ D D 33 5. 三重积分的计算: ???f (x , y , z )dv =? D b a dx ? y 2(x )y 1(x ) dy ? z 2(x , y ) z 1(x , y ) f (x , y , z )dz 曲线积分和曲面积分 1. 对弧长的曲线积分: ?? ?x =?(t ) (α?t ?β) y =φt ()?? ? L f (x , y )ds =?f ??t , φt ?()() ??α f (x , y , z )ds =?f ??t , φt , ωt ()()() ?α β 34 ? ? β Γ 2. 对坐标的曲线积分: x =?(t ), y =φ(t ) L P (x , y )dx +Q (x , y )dy =? β α {P ???(t ), φ(t )???’(t )+Q ???(t ), φ(t )??φ’(t )}dt 2 2 3. 对曲面的积分: ?? ? f (x , y , z )dS =??f ?x , y , z x , y () ?D xy 4. 对坐标的曲面积分: ? 无穷级数 收敛级数的基本性质: 1. 如果级数?u n 收敛于和s ，则它的各项同乘以一个常 数k 所得的级数 35 n =1? ?ku n =1 ? n 也收敛，且其和为ks 。 ? ? 2. 如果级数s 、?v n 分别收敛于和s 、σ，则级数?(u n ?v n )也收敛，且其和 n =1 n =1 为s ?σ。 3. 在级数中去掉、加上或者改变有限项，不会改变级数的 收敛性。 4. 如果级数?u n 收敛，则对这级数的项任意加括 号所成的级数 n =1? (u + +u )+(u 1 n 1 n 1+1 + +u n 2+ +u n 2+1+ +u n k + 仍收敛，且其和不变。 36 ? )() 5. (级数收敛的必要条件)如果级数?u n 收敛，则它的一般项趋于零，即 n =1 lim u n =0。 n ?? 常数项级数的审敛法: 定理1. 正项级数?u n 收敛的充分必要条件是:它的部分和数列{s n }有界。 n =1? 定理2(比较审敛法). 设?u n 和?v n 都是正项级数，且u n ?v n (n =1,2, )。 n =1 n =1 ?? 若级数?v n 收敛，则级数?u n 收敛;反之，若级数?u n 发散，则级数?v n 发 n =1 n =1 n =1 37 n =1 ???? 散。 推论1. 设?u n 和?v n 都是正项级数，如果级数?v n 收 敛，且存在自然数N ， n =1 n =1 n =1 ? ? ? 使当n ?N 时有u n ?kv n (k >0)成立，则级数?u n 收敛; 如果级数?u n 发散， n =1? n =1 ?? 且当n ?N 时有u n ?kv n (k >0)成立，则级数?v n 发散。 n =1 ? 1 推论2. 设?u n 为正项级数，如果有p >1，使u n ?p (n =1, 2, )，则级数?u n 38 n n =1n =1? 1 收敛;如果u n ?(n =1, 2, )，则级数?u n 发散。 n n =1 ? ? ? 定理3(比较审敛法的极限形式). 设?u n 和?v n 都是正项级数，如果 n =1 n =1 ?? u n lim =l (0? 定理4(比值审敛法，达朗贝尔(D’Alembert)判别法). 若正项级数?u n 的 n =1 lim 后项于前项之比值的极限等于ρ:n ??lim u n +1 ρ>1=ρ，则当ρu n u n +1 =?)时级数发散;ρ=1时级数可能收敛也可能发散。 n ??u 39 n 定理5(根值审敛法，柯西判别法). 设?u n 为正项级数，如果它的一般 n =1 =ρ，则当ρ 1(或项u n 的n 次根的极限等于ρ :n ? =?)时级数发散;ρ=1时级数可能收敛也可能发散。 n 定理6(莱布尼茨定理). 如果交错级数?(-1)u n 满足条件:(1) n =1 ? n -1 (2)lim u n =0，则级数收敛，且其和s ?u 1，其余项r n 的u n ?u n +1 (n =1,2,3 )， n ?? 绝对值r n ?u n +1。 定理7. 如果级数?u n 绝对收敛，则级数?u n 必定收敛。 n =1 n =1 ? ? 40 幂级数 定理1(阿贝尔(Abel )定理). 如果级数?ax n 当x =x 0(x 0?0)时收敛，则 n =1? 适合不等式x n =1 ? x =x 0时发散，则适合不等式x >x 0的一切x 使这幂级数发散。 推论:如果幂级数?ax n 不是仅在x =0一点收敛，也不是在整个数轴上都收 n =1 ? 敛，则必有一个完全确定的正数R 存在，使得:当x R 时，幂级数发散;当x =R 与x =-R 时，幂级数可能收敛也可能发散。 ? a n +1 定理2. 如果lim =ρ，其中a n +1、a n 是幂级数?ax n 的相邻两项的系数， n ??a n =1n ? (ρ?0)?则这幂级数的收敛半径R =??+? (ρ=0) ?0 (ρ=+?)?? 41 性质1. 设幂级数?ax n 的收敛半径R (R >0)，则其和函数s (x )在区间(-R , R ) n =1 ? 内连续。如果幂级数在x =R (或x =-R )也收敛，则和函数s (x )在(-R , R ](或 [-R , R ))连续。 性质2. 设幂级数?ax n 的收敛半径R (R >0)，则其和函数s (x )在区间(-R , R )内 n =1? ‘?? ??n ?n ‘是可导的，且有逐项求导公式s ‘(x )= ?a n x ?=?(a n x )=?na n x n -1，其中 n =1?n =1?n =1 x 性质3. 设幂级数?ax n 的收敛半径R (R >0)，则其和函数s (x )在区间(-R , R )内 n =1 ? 是可积的，且有逐项积分公式?0s (x )dx =?0 x x ??x a n n +1??n ?n a x dx =a x dx =x , ????n ??0n 42 n =1n =1n +1?n =1? 其中x ? 傅立叶级数 ix e =cos x +i sin x 欧拉公式: ?πcos nxdx =0 (n=1,2,3, ) ?πsin nxdx =0 (n=1,2,3, ) - - ππ ?πsin kx cos nxdx =0 (n=1,2,3, ) - π ?πsin kx sin nxdx =0 (n=1,2,3, , k ?n ) - π ?πcos kx cos nxdx =0 (n=1,2,3, , k ?n ) - π 函数展开成傅里叶级数 (f (x )是周期为2π的周期函数) a 0? f (x )=+?(a k cos kx +b k sin kx ) 43 2k =1 1π? ?a 0=π?-πf (x )dx ? 1π? ?a n =?-πf (x )cos nxdx (n=0,1,2, )其中:? π 1π? ?b n =π?-πf (x )sin nxdx (n=1,2,3, )? 定理(收敛定理，狄利克雷(Dirichlet )充分条件):设f (x )是周期为2π的周期函数，如果它满足: (1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点， (2)在一个周期内至多只有有限个极值点， 则f (x )的傅里叶级数收敛，并且: 当x 是f (x )的连续点时，级数收敛于f (x ); 1 f (x -0)+f (x +0)?当x 是f (x )的间断点时，级数收敛于???。 2定理. 设f (x )是周期为2π的函数，在一个周期上可积，则 (1)当f (x )为奇函数时，它的傅里叶系数为: ?a n =0 (n=0,1,2,3, ) ??2π b =f x sin nxdx n=1,2,3, ()()?n π?0? (2)当f (x )为偶函数时，它的傅里叶系数为: 2π? 44 ?a n =?0f (x )cos nxdx (n=0,1,2,3, )π? ?b n =0 (n=1,2,3, )? 周期为2l 的周期函数的傅里叶级数 定理:设周期为2l 的周期函数f (x )满足收敛定理的条件，则它的傅里叶级 a 0? 数展开式为:f (x )=+?(a k cos kx +b k sin kx ) 2k =1 1l n πx ?a =f x cos dx (n=0,1,2, )()n ??-l ?l l 其中系数a n , b n 为:? ?b =1l f (x )sin n πx dx (n=1,2,3, )n ?l ?-l l ?n πx ?? 当f (x )为奇函数时，f (x )=? b n sin ? l ??n =1 ? 2l n πx b =f x sin dx (n=1,2,3, ) () 其中系数b n 为:n ?0l l a 0??n πx ? 当f (x )为偶函数时，f (x )=+? a n cos ? 2n =1?l ? 2l n πx 45 a =f x cos dx (n=0,1,2, ) ()其中系数a n 为:n ?0l l ? 微分方程: dy ?y ?=? 齐次方程: ? dx ?x ? u = y dy du ?y =ux ?=u +x x dx dx dy du du dx ?y ? =? ?=?(u )?u +x =?(u )?=dx d x ?u -u x ?x ? 46 等差数列通项公式 我们能够期待，随着教育与娱乐的发展，将有更多的人欣赏音乐与绘画。 但是，能够真正欣赏数学的人数是很少的。 ——贝尔斯 【例1】如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，…，第n(n是正整数)个图案中由 个基础图形组成( (2010?衡阳) 【例2】((本题10分)用黑白两种颜色的正六边形地砖按如下所示的规律拼成若干图案: (1)当黑砖n=1时，白砖有多少块?当黑砖n=2时，白砖有多少块?当黑砖n=3时，白砖有多少块? (2)当n=100的时候，白砖有多少块呢, (3)第n个图案中，白色地砖共有多少块( 变式训练*举一反三 1.用正三角形、正四边形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4个，则第n个图案中正三角形的个数为 (用含n的代数式表示) (2010?吉林) 2.一串有黑有白，其排列有一定规律的珠子，被盒子遮住一部分(如上右图所示)，则这串珠子被盒子遮住的部分有 颗( (2010?本溪) 问题思考 如何口算已知等差数列的通项公式, 变式训练*深度拓展 课后训练*巩固复习 1.一个正整数数表如下(表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的2倍) (2012石景山) 第1行 1 第2行 3 5 第3行7 9 11 13 … … 则第4行中的最后一个数是 ，第行中共有 个数， n 第n行的第n个数是 ( 2.一组按规律排列的数:2，0，4，0，6，0，…，其中第7个数是 ，第个数是 .n (用含字母n的代数式表示，n为正整数)( (2011北京.怀柔) 3.如图，学校准备新建一个长度为L的读书长廊，并准备用若干块带有花纹和没有花纹的两种规格大小相同的正方形地面砖搭配在一起，按图中所示的规律拼成图案铺满长廊，已知每个小正方形地面砖的边长均为0.3m( LL12(1)按图示规律，第一图案的长度= ;第二个图案的长度= ; Ln(2)请用代数式表示带有花纹的地面砖块数n与走廊的长度(m)之间的关系; 等差数列求和公式 观察可能导致发现,观察将揭示某种规则、模式或定律。 ——波利亚 【例1】如图，观察下列图案，它们都是由边长为1cm的小正方形按一定规律拼接而成的，依此规律，则第16个图案中的小正方形有 个((2008?辽宁) 变式训练*举一反三 1.右下图(1)是一个水平摆放的小正方体木块，图(2)、(3)是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，至第七个叠放的图形，此时第七个图形中小正方体木块总数应是( ) A(25 B(66 C(91 D(120 2.木材加工厂堆放木料的方式如图所示，依次规律，可得出第26堆木料的根数是 (2010?黔南州) 第一堆第二堆第三堆 变式训练*深度拓展 1.如图，在一个三角点阵中，从上向下数有无数多行，其中各行点数依次为2，4，6，…，2n，…，请你探究出前n行的点数和所满足的规律、若前n行点数和为930，则n=( ) (2010?绵阳) A、29 B、30 C、31 D、32 A4 1 A3 1 2.细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题: A5 1 SS1 1222A2 S(1)12,;(2)13,;，,,，,,SS3 S4 12A226 2 1 5 S1 32?S (3)14,;，,,S？3O 1 A1 1 2 A7 6 用含n(n是正整数)的等式表示上述变化规律; 推算出OA10的长; 2222SSSS，，，，？12310(3)求出的值( 课后训练*巩固复习 1.如图所示，以O为端点画六条射线后OA，OB，OC，OD，OE，O后F，再从射线OA上某点开始按逆时针方向依次在射线上描点并连线，若将各条射线所描的点依次记为1，2，3，4，5，6，7，8…后，那么所描的 第2013个点在射线 上( 222222. 1990,1989，1988,1987......，2,1 数列求通项公式和及求和 一、 通项公式 二、 数列求和 补充:222 2 33 (1)(21) (1) 2, 264 n n n n n n n ++++++=+++= 2 311 典型例题 一.通项 类型 1:等差求通项思想:叠加求通项,用于 11() () n n n n a a f n a a f n ---=?=+型; 例 1:(03全国 19)已知数列 |n a |满足 ) 2(3, 1111≥+==--n a a a n n n (I )求 ; , 32a a (II )证 明:2 13-=n n a 变式 1:(08四川)设数列 {}a n 中, 12a =, 11n n a a n +=++,则通项 a n = 变式 2:(08江西 5) 在数列 {}n a 中, 12a =, 11 ln(1) n n a a n +=++,则 n a =( ) A . 2ln n + B . 2(1)ln n n +- C . 2ln n n + D . 1ln n n ++ 类型 2:等比求通项思想:叠乘求通项,用于 11 () () n n n n a f n a a f n a --=?=?型; 例 2:在数列 {}n a 中, 111, (2), 1 n n a n a n a n -==≥-则 ? n a = 变式 1:设 {}n a 是首项为 1的正项数列, 122 1(1) 0(1,2) n n n n n a na a a n +++-+== 则它的通项公式是 n a =_____ 变式 2:在数列 {}n a 中,已知 211, , n n a S n a ==求通项 n a ; 类型 3: 已知 n S 求通项 n a : { 112, 1n n s s n n s n a --≥== , 例 3:(07福建 21) 数列 {}n a 的前 n 项和为 n S , 11a =, *12() n n a S n +=∈N . (Ⅰ) 求数列 {}n a 的通项 n a ; (Ⅱ)求数列 {}n na 的前 n 项和 n T . 变式 1:(09全国 19)设数列 {}n a 的前 n 项和为 n S ,已知 11a =, 142n n S a +=+. (Ⅰ)设 12n n n b a a +=-,证明数列 {}n b 是等比数列; (Ⅱ)求数列 {}n a 的通项公式; 变 式 2:(07重 庆 ) 已 知 各 项 均 为 正 数 的 数 列 {}n a 的 前 n 项 和 n S 满 足 11S >, 6(1)(2) n n n S a a =++ n ∈N . (Ⅰ ) 求 {}n a 的 通 项 公 式 ; (Ⅱ ) 设 数 列 {}n b 满 足 (21) 1n b n a -=,并记 n T 为 {}n b 的前 n 项和,求证:231log (3) n n T a n ->+∈N , . 变式 3:若 2log (1) n S n +=,则 ? n a = 例 4:(06重庆)在数列 {}n a 中,若 111, 23(1) n n a a a n +==+≥,则该数列的通项 n a =___ 变式 1:(08四川 21)已知数列 {}a n 的前 n 项和 , 22n n n S a =- (Ⅰ ) 求 34a a 、 ; (Ⅱ ) 证明:数列 {}12a a n n +-是一个等比数列 . (Ⅲ ) 求 {}a n 的通项公式 . 变式 2:(06福建 22)已知数列 {}n a 满足 12211, 3, 3n n a a a a ++===2n a -, *() n N ∈, (I )证明:数列 {}1n n a a +-是等比数列; (II )求数列 {}n a 的通项公式; 例 5: (08全国 19) 在数列 {}n a 中, 11a =, 122n n n a a +=+. 求数列 {}n a 的前 n 项和 n S . 变式 1:(08四川 21)已知数列 {}a n 的前 n 项和 , 22n n n S a =- (Ⅰ ) 求 34a a 、 ; (2)求 {}a n 的通项公式 . 例 6:(08全国 19)在数列 {}n a 中, 11a =, 122n n n a a +=+. (Ⅰ)设 1 2 n n n a b -= .证明:数列 {}n b 是等差数列; (Ⅱ)求数列 {}n a 的前 n 项和 n S . 变式 1:(08天津 20)已知数列 {}n a 中, 11a =, 22a =,且 11(1) n n n a q a qa +-=+-, (20) n q ≠≥ , . (Ⅰ)设 1() n n n b a a n +=-∈*N ,证明 {}n b 是等比数列; (Ⅱ)求数列 {}n a 的通项公式; 小结:先证明新数列为等差或等比再求通项问题,先从问题入手按证明等差或等比方法证明问题, 再由等差或等比的通项公式间接解决问题。 例 7:数列 {}n a 中, *1121, (), 2 n n n a a a n N a +== ∈+则 100? a = 例 7: (04全国卷 ) 若数列 {}n a 满足 11211, 2(1) n n a a a a n a -==++- (2) n ≥, 则 {}n a 的通项 n a = { 1, 1 __,2n n =≥ . 变式 1:数列 {}n a 满足 *12323(1)(2)() n a a a na n n n n N ++++=++∈ (2) n ≥, 则 n a =? 明 (Ⅰ ) 数列 { n S n }是等比数列; (Ⅱ ) S n +1=4a n . 6. (07福建)等差数列 {}n a 的前 n 项和为 1319n S a S ==+, (Ⅰ)求 {}n a 的通 项 n a 与前 n 项和 n S ; (Ⅱ)设 () n n S b n n *=∈N ,求证:数列 {}n b 中任不同的三项不可能成为 等比数列; 7.(07北京)数列 {}n a 中, 12a =, 1n n a a cn +=+(c 是常数, 123n = , , , ) ,且 123 a a a , , 成公比不为 1的等比数列. (I )求 c 的值; (II )求 {}n a 的通项公式. 8.(07山东)设 {}n a 是公比大于 1的等比数列, n S 为数列 {}n a 的前 n 项和.已知 37S =,且 123334a a a ++, , 构成等差数列. (1)求数列 {}n a 的通项公式. (2)令 31ln 12n n b a n +== , , , , 求数列 {}n b 的前 n 项和 T . 9. (06陕西 ) 已知正项数列 {an },其前 n 项和 S n 满足 10S n =an 2+5an +6且 a 1,a 3,a 15成等比数列, 求数列 {an }的通项 a n . 二.数列求和 例 1:求下列数列的前 n 项和:2222101010(1) lg , lg , , lg 333 n n (2)320042008求分母为 ,包含在正整数 与 之间的所有不可约分数的和; 123(3), , , , 2482 n n 变式:数列 {}n a 为等差数列, 11232, 12, a a a a =++=(1)求 {}n a 通项公式; (2) () n n n b a x x R =?∈,求数列 {}n b 前 n 项和; 1111(4), , , , 153759(21) (23) n n ???-?+ 1111111(5)1,1,1, ,(1) 224242 n -+++++++ 小结求和方法: (1)公式法:用于等差与等比数列; (2)倒序相加法:若某数列中,与首末两项等距离的两相和等于首末两项和,可采用把正着 写的和倒着写的两个式子相加,就得到一个与常数数列求和相关的式子 (3) 错位相减法:设数列 {}n a 的等比数列, 数列 {}n b 是等差数列, 则求数列 {}n n b a 的前 n 项 和时,常常将 {}n n b a 的各项乘以 {}n b 的公比,并向后错一项; (4)裂项相消法:把通项公式是分子为非零常数,分母为非常数列的等差数列的两项积的形 1 a = 1111() () n n k k n n k =-++, 1111 () (1)(2) 2(1) (1)(2) n n n n n n n =-+++++ (5)分组求和法:把一组需要求和的数列拆分成两组或两组以上的特殊数列来求和 练习:1. (07福建 ) 数列 {}n a 的前 n 项和为 n S ,若 1(1) n a n n = +,则 5 ? S = {}? n n a a = =1002. 的通项 则 S 22222 2123499100? -+-++-= 123410{}12345678910n a a a a a a ==+=++=+++=3. 数列 中, , , , ,则 ? {}363? n n a a n =-+++= 12304. 数列 满足:,则 a a a 1115. 1? 1212312s n =+ +++=++++++ 6.等差数列前 3项之和为 12,后 3项之和为 132,所有各项之和为 240,则项数 ? n = 7. (2) 21n n =-+-n n 数列 {a}满足:a , 求前 n 项和 ? =n S 8 . 函 数 () , 1x f x x =+求 111(1)(2)(2008)( ) () () (1)? 200820072 f f f f f f f ++++++++= 等差数列独有特点: 1. 若 {},{}n n a b 为等差数列 , 前 n 项和分别为 n n S T 、 , 若 () n n S f n T =,则 (21) n n a f n b =-; 2. 判定等差数列 n S 何时取最大值:法 1根据 n S 相应二次函数的对称性; 法 2判定 n a 何时开始 为负; 3. 判定等差数列 n S 何时开始 0>或 0<,由> 2 n n n a a S += ,即判定 1n a a +何时正负发生 改变; 补充 :等差、 等比数列中:利用对称性设出相邻几项:如等比相邻 3项设为:1 , , aq a aq -, 等比相邻 4项设为:3 1 3 , , , aq aq aq aq --; 等差相邻 3项:, , a d a a d -+ 二. 等差与等比数列:五要素 ( 1() n n a d q n a S 、 或 、 、 、 , 知三求二) 范文二：高三数学等差等比数列的求和公式
范文三：高等数学级数求和公式5篇
范文四：初二数学中的等差数列通项求和公式
范文五：2012届高考数学数列求通项公式和及求和
