Zoan
范文一：凸函数的性质
凸函数的性质及其应用
陈少璋
09信计一班
摘 要:函数是数学中最重要的基本概念，也是数学分析的重点研究对象。而凸函数则是其中重要的一类。凸函数广泛应用于数学规划，控制论等领域。函数凸性是数学分析中的一个重要概念，它在判定函数的极值、研究函数的图像以及证明不等式诸方面都有广泛的应用。凸分析作为数学的一个比较年轻的分支，是在50年代以后随着数学规划，最优控制理论、数理经济学等应用数学学科的兴起而发展起来的。本文主要是研究几类凸函数的性质与应用。探讨拟凸函数、严格拟凸函数及强拟凸函数的定义、性质以及这三类函数之间相互转换的充分必要条件，也讨论拟凸函数的连续性和可微性。同时也对强伪凸函数性质进行研究，得到一些有意义的结论。
关键词: 凸函数 性质 应用
1.引言
凸函数是一类重要的函数，它的概念最早由Jensen给出。它在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用，现已成为数学规划、对策论、数理经济学、变分学和最优控制等学科的理论基础和有力工具。为了理论上的突破，加强它们在实践中的应用，产生了广义凸函数。
凸函数有许多良好的性质，例如，其中一个很重要的性质就是:在凸集中，凸函数的任何局部最小也是全局最小。它在数学的许多领域中都有着广泛的应用，现已成为数学规划、对策论、数理经济学、变分学和最优控制等学科的理论基础和有力工具。
本世纪初建立了凸函数理论以来, 凸函数这一重要概念已在许多数学分支中得到了广泛应用。现行高等数学教材中, 也都对函数的凸性作了介绍,由于各版本根据自己的需要,对凸函数这一概念作了不同形式的定义,本文就以凸函数几种定义的等价性给以证明,并给出简单的应用，应用凸函数的概念与性质来证明几个重要且常用的不等式和凸函数在证明一般不等式中的应用;研究凸函数在最优化中的应用，研究比凸函数更一般的各类凸函数，给出它们的定义及以及其之间的关系;以及广义凸函数求极小的问题(即广义凸规划)和广义凸函数求最大的问题。
2. 凸函数的概念与等价定义
2.1 凸函数的概念
人们常用凸与凹来反映曲线的弯曲方向。这种从几何直观给出的关于曲线凸(凹)的概念反映在数学上就是表达该曲线的凸(凹)性概念。
1
II定义2.1.1([1]) 设是定义在区间上的函数, 若对上的任意两点fx，，
fxfx，xx，，，，，,,fx，，1212If,xx,,常有，则称为上的凸函数。 12,,22,,
xx12I]) 若在定义上成立不等式(?) 定义2.1.2 ([2
xx，,,fxfx，，，，，1212f,,fx，，2,,2I<，则称是上严格的凸函数。>
x,xa,，，aa 例1.1.1 指数函数(>0,?1)是(-?，+?)上的严格凸函数。
x,xa,，，aa不难验证，恒正的函数(>0,?1)满足关系式
xx，,,12xx,,,,，，，，12,,xx,212,,，由指数函数的单调性可知，当 时，必有
,,xx,，，，，12 ，再由不相等正数的几何平均值小于它们的算术平均值，则有
，xxxxxx,,,,，,,，，，，，，，，，121212,,,,,xx，，，，122,,22<><，>
x,xa,，，aa因此，(>0,?1)是(-?，?)上的严格凸函数。
2.2 凸函数的等价定义
II定义 2.2.1([3]) 设在区间上有定义，在上成为凸函数当且fxfx，，，，
Ixx仅当对任意 ,?,任意?(0,1)有,12
fxxfxfx,,,,，,,，,11，，，，，，，，，，1212
I若不等号反向，则称 为上的凹函数。 fx，，
I若“?”改为“<”，则称 为上的严格凸函数。="">
II定义2.2.2([4]) 设在区间上有定义,在上成为凸函数当且仅fxfx，，，，
fxfx，xx，，，，，,,1212If,xx当对任意,?,有 . 12,,22,,
II定义2.2.3([5]) 设在区间上有定义，在上成为凸函数当仅fxfx，，，，
2
n,,x,i,,n1i,1,,Ixxxffx,当对任意,?,?,有 ，，,i12nnn,,i,1,,,,
Ixxx推论:若 在区间上成为凸函数，则对任意<,有>
fxfxfxfxfxfx,,,，，，，，，，，，，，，213231 ,,xxxxxx,,,213232
I注:若在上连续，则上述定义1,2,3等价。 fx，，
3. 凸函数的简单性质
在本节中，来叙述关于凸函数的一些常用的简单的性质。
，， 设fx定理3.1 ([6])在区间I上为凸函数，对任意，则: k,0
，，，，时，在区间上为凸函数，时，在区间上为凹函数。 kfxkfxk,0k,0
，，，，gxfx，，，，定理3.2([7]) 设，是间I上的凸函数，则其和fx，gx也是I上的凸函数。
由定理3.1和定理3.2可知下面的推论
，，，，gxfx推论:设，是间I上的凸函数，则线性组合的函数
，，，，，，kfx，kgxk,k,0为I上的凸函数，，，，，为I上的凹kfx，kgx(k,k,0)12121212函数。
，，，，gxfx,,，，，，定理3.3([8]) 若设，是间I上的凸函数，则maxfx,gx为I上的凸函数
，，,u定理3.4([9]) 设是单调递增的凸函数，u = f (x)是凸函数，则复合函
,,，，数,fx也是凸函数
1，，，，fxfx,0定理3.5([10]) 设为区间I上的凹函数，，则为区间I，，fx上的凸函数，反之不真。
1，，x,x,R,,,0,1证明:要证为区间I上的凸函数，即证任意有 12，，fx
3
1,1,,,因为，，，为凹函数。故有 fx,0,，，，，，，，，，fx，1,xfxfx,,1212
. 所以: ，，，，，，，，，，f,x，1,,x,,fx，1,,fx1212
11, ，，，，，，，，，，f,x，1,,x,fx，1,,fx1212
1,1,,只需证明:,由于,，，，，，，，，，，，fx，1,fxfxfx,,1212
1,1,,22，，，，，，，，fx，fy,2fxfy，故 成立，结论得,，，，，，，，，，fx，1,xfxfx,,1212
证。
1,2x,2x，，fx,e,0另:设为R上的凸函数，但仍为凸函数。 ,e，，fx
，，定理3.6([11]) 若fx在区间I上为凸函数，对任意，则为I的内xx,I
''''，，，，fx,fx点。则单侧导数皆存在，且。 ，，，，fx,fx,,，，
，，，，推论:若fx为I上的凸函数，则fx在I上的内点连续。
x,,,a,b,，,,R,，，,,定理3.7([12]) fx为区间a,b上的凸函数，对任意对0，，，，，，fx,,x,x，fx任意有. x,I00
，，,,证明:(必要性) 已知fx为区间a,b上的凸函数，则由定理2.5可知
，，，，fx,fx''0，，fx，，x,,,a,bfx对任，存在，且单调于。 ,00，x,x0
''，，，，,,,fx,,fx，，，，，，x,xfx,,x,x，fx故对当时有，同理，当,0，0000
''，，，，，，，，，，fx,fxx,xfx,,x,x，fx时，当时有，因为 .故对，,,,0，0000
''，，，，fx,,,fx，，，，，，,x,,,a,bfx,,x,x，fx对，总有. ,0，0000
,x,x,x,,,a,bx,(充分性)对，由题设，对，存在使得 1232
，，，，，，，，,,fx,,x,xfx,x,a,b 22
4
fx,fxfx,fx，，，，，，，，3221x,x,x,x在上式中分别令得. 证毕。 ,,,13x,xx,x3221
4. 凸函数的判定定理
，，是否为凸函数，常常并不方便。因此需要利用凸函数的定义判别函数,x
建立一系列的便于应用的判别法。
，，定理4.1([13]) 若函数是区间上的递增可积函数，则变动上限积,x,,a,b
x分所定义的函数是上的一个凸函数。 ,,a,b，，，，,x,,tdt,a
a,x,x,b12证明:设，则
x，x12xx，x2,,122，，2，，，，，，,x,,，,x,,tdt,,tdt ,,x，x1212,,x12,,2
x，x12xx，xx,x2,,12212，，，，,tdt,,，,,tdt，，由于,x是递增的，故 ,,x，x12,,x122,,2
x，x,,12，，，，,x,2,，,x,0，，从而得.这样，由定义1可知，,x是凸函数。 ,,122,,
''II，，,x，，定理4.2([14]) 若在间上存在，则,x在上成为凸函数的充分必
''，，xI,,0要条件是:在上
x，xx,x1212，，,xx,x证明:(1)必要性，已知为凸函数，令，并设 ,t,,h1222
t，h，t,h,，，，，,h,0因而，这样就有t,，即，，，，，， ,t，h，,t,h,2,t,0，，,2
''tutu,，，，，，,,,''''，，,t,0tlim用反证法，假定，由，，可知，存在,,u,02u
''，，，，,t，u,,t,u,,,u(0,u,h)，使得 ,,0,h,0
d''，，，，，，，，，，,,,t，u，,t,u,2,t,,t，u,,t,u另外，从 知 du
u,0，，，，，，,t，u，,t,u,2,t是u的减函数。但这函数当时等于。 0
'',0，，,t,0，，，，，，因此，,t，u，,t,u,2,t.这与结论矛盾，因而
充分性，两次应用中值定理有 Lagrange
5
'，，，，，，,h，t,,x，h,x，,h(0,,,1)，
''''''，，，，及,,，,h,,x，,h,，，x，,,h(0,,,1)，
'2'''，，，，，，从而,x，h,,x，h,x，,h,，，x，,,h
'''，，，，，，，，再由,x,0得,x，h,,x，h,x
x，xx，x1212在上式中，令及得 ,,x，h,xx,x，h,xx,1222
x，xx,xx，xx,x,,,,,,,,''12121221，，，，，，，，,x,,x,x,,x,，,，, ,,,,,,,,212222,,,,,,,,
x，x,,12，，，，,x,2,，,x,0，，两式相加得 .故是凸函数。证毕。 ,x,,122,,
''''II，，，，,x,x,0，，定理4.3([15]) 若在区间上存在，，则在区间是严,x格凸函数。
5. 关于凸函数的几个重要不等式
Jensen5.1 不等式
I，，定理5.1.1([16]) (凸函数的基本不等式)设,x是间上的凸函数，则对
Ix,x,...,x中任意个数成立不等式n12nxxxxxx，，，，，，，，...，,，,，...，,,,12n12nx,x,...,x,，当仅当时等号。 ,,,12nnn,,
IJensen，，定理5.1.2([16]) (总和不等式)若,x是上的连续凸函数，
p,p,...,p是一组不为零的非负数，则成立不等式: 12n
,,px，px，...，pxpx|，px，...，px，，，，，，,,,1122nn1122nn,,,， ,,,p，p，...，pp，p，...，p12n12n,,
x当仅当都相等时等式成立。 i
p,p,...,p证明:(1)特别地，设都是非负有理数，12n
mmmn12l,l...lm,m...mp,,p,,...,p,，为自然数;为非负数，这样 12n12n12nlll12n
6
mmmn12xx...x，，，12npxpx...pxlll，，，1122nn12n，分子，分母同乘以,mmmpp...p，，，n1212n...，，lll12n
l.l...l，上面分式就成了凸函数的基本不等式的样子，此时 12n
n,m.l...l，m.l...l，...，ml...l，因而得证。 12n21nn1n,1
pp,p,...,p一般地，设都是非负实数，记,z(k,1,2,...n) 12nkp，p，...，p12n
zz,z(m,则可具有公分母的有理数列，使)这样由(1)有 nkmkmk
，，，，，，，，,zx，zx，...，zx,z,x，z,x，...，z,x1m12m2nmn1m12m2nmn
，，考虑到,x具有连续性，因而对上面不等式的两边极限，立得 ，，，，，，,zx，zx，...，zx,z,x，...，z,x，证毕。 1122nn11nn
IJensen，，定理5.1.3([17]) (积分不等式)若,x是上的连续凸函数，
b，，，，而fx与px是,,a,b上的连续函数，，则成立 ，，，，px,0,pxdx,0,a
bb,,pxfxdxpxfxdx，，，，，，，，，，,,,,,aa, ,,,bb,,，，，，pxdxpxdx,,aa,,
ba,xakkn,，(,0,1,2,...,)knJensen证明:令，由总和不等式有 ba,xxx,,,,kk，1kn
，，pxfx，...，pxfxpxfx，...，pxfx，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，,,00n,1n,100n,1n,1, ,,,，，，，，，，，px，...，pxpx，...，px0n,10n,1，，
n,1n,1,,pxfx,xpxfx,x，，，，，，，，，，,,,,,kkkkkkk,0k,0,,,从而，，当令时，即得 n,,n,1n,1,,，，，，px,xpx,x,,,,kkkk,k,0,k,0
7
bb,,pxfxdxpxfxdx，，，，，，，，，，,,,,,aa，证毕。 ,,,,bb,,，，，，pxdxpxdx,,aa,,
例5.1.1 若为上的正连续函数，则 ，，fx,,a,b
bb11,,，，，，lnfxdxlnfxdx, ,,,,aa,,baba,,
lnu证明:考虑到函数是凹函数，，，为上的正连续函数，当设fx,,a,b
bb,,fxdxlnfxdx，，，，,,,,aaJensen，，，根据积分不等式立得ln，整理可得 px,1,,,bb,,dxdx,,aa,,bb11,,，，，，lnfxdxlnfxdx,. ,,,,aa,,baba,,
n
pa,iinn,1ia,0,p,0,(i,1,2,...n)例5.1.2 若，则 paln,palnaii,,iiiiin,1,1iip,i,1i
1''Jensen，，证明:设，，，因故,x是凸函数。由,x,xlnx(x,0)，，,x,,0,x
nnn
papapaaln,,,iiiiiiin,1,1,1iiip总和不等式有，两边同乘以立得 ,ln,innni,1ppp,,,iii,1,1,1iii
n
pa,iinn,1i，证毕。 paln,palna,,iiiiin,1,1iip,i,1i
Hadamard5.2不等式
Hadamard，，,x,,a,b定理5.2.1([18]) (不等式)设是上的连续凸函数，
bab1ab，,，，，，，,,,，，xdx,,则. ,,,,,a2ba2,,,
8
证明:由于，，是上的连续凸函数，由凸函数的基本定理可知 ,x,,a,b
b,xa，x,ab1，，，，,,，，，，，，，，，，，，,x,,,b,x,a，x,a,b ,,b,ab,a,,
两边积分可得
bbb11ab，,,，，，，,,，，xdxabxdxbxadx，，，，，，，，，，,,，,, ,,,,,,,,,,aaa，，baba2,,,,
b1ab,，，，，，,，，xdx,因而..................................(A) ,,aba2,
a，bbb2，，，，，，,xdx,,xdx，,xdxx,a，b,t又，若令，得 a，b,,,aa2
，，ababb22，，，，，，,xdx,,,a，b,tdt,,a，b,tdt，所以 ，ab,,,ab2
bb，，，，，，,,,xdx,,a，b,x，,xdx，，，又是上的连续凸函数，即 ,x,,a,b，ab,,a2
a，b,,，，，，,,,a，b,x，x,2 ,,2,,
bb，，abab,,,,，，2，，,,,,,,xdxdxba故 ,,,,，ab,,a22,,,,2
b，1ab,,，，,,,xdx即........................................................(B) ,,,a,ba2,,
bab1ab，,，，，，，,,,，，xdx,,由A，B两式可得，证毕。 ,,,,,a2ba2,,,
6 凸函数的应用
6.1 凸函数在证明不等式中的应用
在许多证明题中，我们常常遇到一些不等式的证明，其中有一类不等式利用凸函数的性质来证明可以非常简洁、巧妙。证明不等式是凸函数的一个重要应用领域，但关键是构造能够解决问题的凸函数。
xy，xye，e2例6.1.1 证明不等式. e,2
x''x，，，，，，,x,e,x,e,0x,证明:设，因，所以是严格凸函数。
9
xyxy，，，，，,，,,,由凸函数的定义可知,() ,x,y,,22,,
这就是要证的不等式。
222例6.1.2若则，， 1,x，1,x,4,x，xx,1,x,1,121212
12''，，,x,1,x(x,1)证明:设，因 ，，,x,,,0322，，1,x，，x,,故,是,1,1上的凹函数，因而
xx1，,,12，，，，，，xx,,,，,，这便是要证的不等式。 ,,1222,,
younger证明不等式:
,,xy,,x，,y(x,y,,,,均为正数， ,，,,1)
1''，，，，fx证明:令fx,lnx，则，为凹函数，从而，，fx,,,02x
,,x，，，，ln,x，,y,lnx，y由的单调增加性: e
,,，，,,ln，，,x，,ylnx，ye,e,x，,y,x，y 即 .
,,11x,xy,，x,y例6.1.4对任何正数，当时有 ,,1,,1,2y
,,11x,y证明:注意不等式系数之和，及系数均为正数，可考虑，,1,,
用凸凹性来证明。
1''，，fx,lnx设，则为凹函数，故 ，，fx,,,02x
,,,,,,,,11x11x,,,,,,fyfyf，或 ，,，，，,,1,,1,,,,,2y,2y,,,,
,,,,,,,,,,11x,11x,11,,,,，，lny，,lny，ln,lny，,,,lnx,,,1lny,lnx,,1,,1,,,,2y2y2,,,,,,,
,,,,,11x,,,lny，,,1,,,11,x,2ylnxx,,y，,xe,e 由的单调增加性知:，即，证毕。 e,,1,2y
10
rrr115,,,,例6.1.5设证明:. aba,b,0,a，b,1,r,0,，，，,,,,,r,1ab2,,,,
r1,,证明:设，对 ，，,x,x，(r,0)r,0,0,x,1,,x,,
r,12r,1112r1,,,,,,''x,rr,1x，1,，x，，，，，,,,,,,,3xx2xx,,,,,, r,r,12211r1,,,,,,224,,，，,rx，1,，x，2x，1,x,0,,,,,,24xxxx,,,,,,
，，故,x为上严格凸函数，因而 (0,1)
rrr1115，ab,,,,,,,,22，证毕。 ，，，，，，，,,，,,,,,,abab,,,,,,,,r,1222ab,,,,,,,,
6.2 一般凸函数和凸集
n定义6.2.1([19]) 集合，若，以及任意的数，,,,,0,1,x,S,,y,SS,E
均有
，，，则称为凸集。特别地，若为凸集，也为闭集，则称,x，1,,y,SSS
为闭凸集。 S
i定理6.2.1([19]) 集合为凸集的充分必要条件是，及任意数,x,SS
kkiR,,0(i,1,2,...,k,k,2),,,1，，,x,S有.设函数fx定义在凸集上，其,,iii,1,1ii
Tx,(x,x,...,x)中， 12n
12,,0，，,x,R,,x,R,,,,0,1定义6.2.2([20]) 若存在常数，使得，有
2121212，，，，，，f,，，，，x，1,,x,,fx，1,,f，，x,2,1,,x,x，，fx，则称为一致凸函数。
1212,x,R,,x,R,x,x，，,,,0,1定义6.2.3([21]) 若，及，有
1212，，，，f，，，，,x，1,,x,,fx，1,,f，，x，，fx，则称为严格凸函数。
12，，,x,R,,x,Rfx定义6.2.4([22]) 设为可微的凸函数，若，满足
212，，，，fxx,x,0，，fx，则称为伪凸函数，其中 x
11
,,fxfxfx,,,，，，，，，,,. fx,,...,，，,x,,xxx,,,12n,,
1212，，定义6.2.5([23]) 若,x,R,,x,R，f，，，，x,fx,,,0,1，有
1212，，f，，，，，，,x，1,,x,maxfx,fx,,，则称，，为严格拟凸函数。 fx
,”改为“”，则称，，为拟凸函数 若把上式中的“fx,
1212,x,R,,x,R,x,x定义6.2.6([24]) 若，及，，，有 ,,0,1
1212，，f，，，，，，,x，1,,x,maxfx,fx,,，，，则称为强拟凸函数。 fx
6.3 广义凸函数求极小的问题
R，，，其中为闭凸集，而为广义凸函数，则称考虑，，，，,,fxpminfx,x,R
上述问题为广义凸规划问题。
R，，定理6.3.1([25]) 设为凸集，为严格拟凸函数，则规划问题 fx
，，，，,,，的任意局部最优解都为整体最优解。 pminfx,x,R
，，N,x，，证明:设为p的局部最优解，即存在，使得为下面问题的最优xx
min
，，，，y,R,fy,fx，，解:，若存在有，由于fx为严格拟凸函，，，，x,R,N,xfx
，，,,，，，，，，，，f,x，1,,y,maxfx,fy,fx，，，，,,,0,1,,0,1数，故，有，当，足够1，，，，,x，1,,y,N,x接近时，有，此与x为局部最优解相矛盾，证毕。
R，，定理6.3.2([26]) 设为凸集，fx为强拟凸函数，若如下规划问题存在
，，，，，，,,p最优解:pminfx,x,R,则的最优解必唯一。
121212x,R,x,R,x,x,，，，，pfx证明:若和都为的最优解，由于为强xx
12,,x，1,x,R,，，，，,,,0,1拟凸函数，故都有 121212，，f，，，，，，,x，1,,x,maxfx,fx,,，，，，,fx,fx
12，，p此与和都为的最优解矛盾，证毕。 xx
R，，fx定理6.3.3([27]) 设为凸集，为拟凸函数，则问题 ，，，，,,pminfx,x,R的最优解集合为凸集。
12
1212证明:若x,R,x,R,x与为，，的最优解，有 p,,,,,0,1,x
121212，，f，，，，，，,x，1,,x,maxfx,fx,,，，，，,fx,fx
1212，，故上式必等号，即f，，，，，，,x，1,,x,fx,fx
1212R，，，，由为凸集，故,x，1,,x,R，因此,x，1,,x也为，，的最优解 。 p
证毕。
6.4 广义凸函数求极大的问题
R，，,,，，pmaxfx,x,R，，考虑中为闭凸集，而为广义凸函数。 fx
R，，定理6.4.1([28]) 设为闭凸集，为连续的严格拟凸函数，则规划问fx
RR，，,,，，pmaxfx,x,R，，题的最优解一定在的边界上达到，除非fx在上为常
数。
R，，p，，证明:设fx在上不为常数，存在最优解，即存在 x,IntR,,0,
00，，N,x,Ry,R,y,x,，，,,0,1使得现任意则存在，及使得 ，，x,N,x00
0000f，，，，x,fy，，,若由fx为严格拟凸函数，故 ，，x,,y，1,,x00
0，矛盾。 ，，，，,,，，，，，，fx,f,y，1,,x,maxfx,fy00000
00f，，，，x,fy,，，若由fx为连续的严格拟凸函数，故有
00000 ，，，，，，，，，，,,，，fx,f,y，1,,x,maxfy,fx,fy00
0R，，，，pfx,f，，y，，fx由x为的最优解，故必有，因此在上为常数，此与
假设矛盾，证毕。
，，fx定理6.4.2([29]) 设为连续的严格拟凸函数，并约束集合
，，，，pp,,R,x/Ax,b,x,0，若规划问题的最优解存在，则的最优解可以R在的顶点达到。
，，p证明:令x,R为的最优解，设
Tx,(x,x,...,x),0;x,0,x,0,...,x,0;12n12s为线性相关的，于是，存在x,...,x,0;p,p...ps，1n12,s
13
sT使得. ,p,0，，,,,,...,,,0,jj12sj,1
Tnx,,,,x，,,记，则.考虑，其中A,,0，，,,,,,,...,,,0,0,...,0,E12s
minxj,,0,,j(1,j,s)设存在有，令 ,,0,,0,j00j0,j
min,xj''',,0,,x,x,,,,x,x，,,,存在有，令;令 0j(1,j,s),,,jj,j
'''x,R,x,R,可知它们的非零向量比至少少1个;有 x
,,,,'''xxxxx,,，，,，, ,,,,，，，，，，，，,,,,,,,,
''''''，，f，，，，x,fx，，fx,max,,f，，，，x,fx若，由为连续的严格拟凸函数有 fx
'''，，pf，，，，x,fx此与为的最优解矛盾，故必有 x
''''''，，,,，，，，，，，，fx,maxfx,fx,fx,fx，，由fx为连续的严格拟凸函数有而
'''，，，，pfx,f，，，，x,fx为的最优解，故有 x
''',,0,x,x,,,,x,x，,,若都有令 ,j,1,2,...,s,j
11''''''''''''，，x,R,x,R,x,x;x,x，xfx,f，，，，x,fx则.类似于(1)可证 22
xx,0x,0x重复上述过程，最多可通过步找到最优解或或。而对应s
x的非零分量是线性无关的，可知为凸多面体的极点。
参考文献
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[28] 张筑生，数学分析新讲，北京大学出版社，1991年.
[29] Neculai Andrei，Convex functions [J]，2005.
Abstract : Function is the most important basic concepts in maths, also is the main research object of the mathematical analysis. However, convex function is one important category. Convex function are widely used in mathematical programming, cybernetics, etc. Convex function is one of the important concept in mathematical analysis, and it is judging function, the function extreme value of the research and the image that inequality is widely used. As one of the youngest branches of mathematics, convex analysis developed with the spring up of mathematical programming, the optimal control theory, and mathematical economics since the 1950’s. This article is to study a few kinds of convex-function’s properties and applications. Discusses convex function and strictly to is quasi-convex function and strong to the definition of convex function, nature and function transformation between the three kinds of the sufficient and necessary conditions of multiplicative convex functions to also discuss the continuity and differentiable sex. At the same time also on strong pseudo convex function nature of the study, and get some significant conclusions. Keywords: convex function applications properties
15
16
范文二：凸函数的性质
第29卷 第1期2008年3月
内蒙古农业大学学报
Journal of I
nner Mongolia Agricultural University
Vol . 29 No . 1Mar . 2008
凸函数的性质
阿荣, 敖日格乐
3
(1. 内蒙古农业大学职业技术学院, 土默特右旗 014109; 2. 内蒙古教育出版社, 呼和浩特 010010)
摘要: 文章主要研究了凸函数的连续性及可微性、相应地给一些凸函数的一般性质。
关键词: 凸函数; 凹函数; 线凸函数中图分类号: O 174. 13 文献标识码: A 文章编号:1009-3575(2008) 01-0206-05
C ONVEX Rong, Aorigele
(1. and Technical college of InnerM ongolia A gricultural U niversity, 014109, China;
2. InnerM ongolia Education press , Huhhot, 00010, China )
Ab s tra c t: The article mainly discusses the continuity and differentiability of Convex Functi on . I n additi on, it als o p r ovides the gener 2al character of Convex Functi on .
Key wo rd s: Convex functi on; concave functi on
1 凸函数及简单性质
定义:设I 为R 上的一个区间, 函数f:I →R 称为I 上的凸函数是指:
f[(1-λ) x 1+λx 2]≤(1-λ) f (x 1) +λf (x 2)
(1)
Πx 1, x 2∈I , Πλ∈(0, 1)
如果(1) 中不等号始终是严格的, 那么称f 为I 上的严格凸函数; 如果(1) 中等号始终是成立的, 那么称f 为I 上的线凸函数; 如果-f 是凸函数, 那么f 为凹函数。
本文主要研究凸函数, 关于凹函数由两者之间的关系可以得到和凸函数类似的结果。下面的定理1和定理2揭示了凸函数的几何意义。
定理1:f (x ) 在区间[a, b ]上是线凸函数的充分必要条件为f (x ) 在[a, b ]区间上是一条直线, 即f (x ) =f (b ) +
(x -b )
a -b
a -b
(2)
证明:必要性:设f (x ) 为[a, b ]上的线凸函数, 那么Πx ∈[a, b ]可表示为λ=x =λa +(1-λ) b 或
(3) (4)
且f (x ) =f[λa +(1-λ) b ]=λf (a ) +(1-λ) f (b ) 将(3) 的后一式代入(4) 就得
3
收稿日期: 2007-05-14
作者简介: 阿荣(1980-) , 女(蒙古族) , 助教, 主要从事高等数学的教学与研究.
第1期 阿荣等: 凸函数的性质207
f (x ) =f (b ) +
(x -b )
a -b
(x -b ) , 取Πx 1, x 2∈[a, b ]不妨令x 1
a -b
(5)
充分性:若f (x ) =f (b ) (0, 1) , 则x =λx 1+(1-λ) x 2∈(x 1, x 2)
我们只要证明:f (x ) =f[λx 1+(1-λ) x 2]=λf (x 1) +(1-λ) f (x 2) 即可
∵f (x ) =f (b ) +f (x ) =f (x 2) +
(x -b ) ∴当x ∈[x 1, x 2] 时有
a -b
f (x 2) -f (x 1)
(x -x 2) (6)
x 2-x 1
由x =λx 1+(1-λ) x 2∈(x 1, x 2) 知
f (x ) =f[λx 1+(1-λ) x 2]=f (x 2) +-λ) x 2-x 2]=λf (x 1) +(1-λ) f (x 2)
f (x ) -f (x ) f (x ) -f (x ) (x -x 2) =f (x 2) [λx 1+(1
x 2-x 1x 2-x 1
(7)
因而充分性得证。
定理1说明了线凸函数其实是一个直线函数。
定理2:若f (x ) 为区间[a, b ]上的凸函数, 1, 2]x 1
f (x 2) -f (x 1x 2) f (x ) ≤f (x 2) +
2-反之亦然<)>
λ∈证明:设f (x [a, b ]上的凸函数, 那么Πx ∈[x 1, x 2], 可表示为x =λx 1+(1-λ) x 2 λ=[0, 1] 或
x -x 2
Πx 1, x 2(x 1
x 1-x 2
(8)
由凸函数的定义有:
λf (x 1) +(1-λ) f (x 2) f (x ) =f[λx 1+(1-λ) x 2]≤而把λ=
x -x 代入(9) 有
x 1-x 2
f (x 2) -f (x 1)
(x -x 2)
x 2-x 1
(9)
f (x ) =f[λx 1+(1-λ) x 2]≤f (x 2) (10) (11)
反之若f (x ) ≤f (x 2) +
f (x 2) -f (x 1)
(x -x 2) Πx 1, x 2∈[a, b ] Πx ∈[x 1, x 2]
x 2-x 1
x -x 2
〈2〉
x 1-x 2
λ∈[0, 1]λ和x 是一一对应的, 那么Πx ∈[x 1, x 2]都可表示为x =λx 1+(1-λ) x 2 〈1〉 因 x =λx 1+(1-λ) x 2 从而λ=
〈1〉〈2〉已经说明了λ和x 是在[x 1, x 2]上一一对应, ∴将〈1〉代入(11) 就有λf (x 1) +(1-λ) f (x 2) f (x ) =f[λx 1+(1-λ) x 2]≤
因x 1, x 2是从[a, b ]中任选的, 再由x 的任意性和λ的任意性加上凸函数的定义就有:f (x ) 在[a, b ]上是凸函数。
定理2揭示了凸函数的几何意义, 见图1若P, Q , R 为f (x ) 的图像上三个点, 并且Q 在P 与R 之间, 则Q 在弦PR 上或在PR 的下方。
下面介绍凸函数的等价形式:
定理3:f 为(a, b ) 内的凸函数, 则等价于
(ⅰ) Πx 1, x 2∈(a, b ) x 2>x 1 Πx ∈(x 1, x 2) 则f (x ) -f (x ) f (x ) -f (x )
(12)
x 1-x x 2-x
208内蒙古农业大学学报 2008年
几何意义为左差商不大于右差商, 见图2
。
图1图2
(ⅱ) Πx 1, x 2∈(a, b ) x 2>x 1 Πx ∈(x 1, x 2) f (x ) -f (x 1) f (x 2) -f (x 1)
)
x -x 1x 2-x 1(ⅲ) Πx 1, x 2∈(a, 2x (x 1, x 2) f (x ) -x f (-(x )
(14)
x 1-x 2x -x 2
证明:设x =(1-λ) x 1+λx 2 则 (12) 等价于
f (x ) -f (x ) f (x ) -f (x )
即f (x ) =f [(1-λ) x 1+λx 2]≤(1-λ) f (x 1) +λf (x 2) , (ⅱ)
λ(x 1-x 2) (1-λ) (x 2-x 1) (ⅲ) 也可用类似的方法证明。
(x ≠y ) 作为x 或y 的函数在(a, b ) 内
x -y
推论1:若f (x ) 为(a, b ) 内的凸函数, 则F (x, y ) =不减。
证明:将F (x, y ) =
() ()
(x ≠y ) 作为x 的函数, 那么令x 2>x 1且x 1, x 2∈(a, b ) , 设f (x )
x -y
f (x 1) -f (y ) f (x 2) -f (y )
即
x 1-y x 2-y
f (x 2) -f (y )
x 2-y
为(a, b ) 内的凸函数, 那么分三种情形
<1>x 2>y >x 1 由(12) 可知F (x 1, y ) ≤F (x 2, y )
<2>x 2>x 1>y 由(13) 可知
F (x 1, y ) ≤F (x 2, y )
f (x 1) -f (y )
x 1-y
即
<3>y >x 2>x 1由(14) 可知F (x 1, y ) ≤F (x 2, y ) , 综合<1><2><3>
可知F (x, y ) 作为x 的函数在(a, b ) 内不减, 因y 与x 的对称性可知, F (x, y ) 作为y 的函数在(a, b ) 内不减。
2 凸函数的连续性
为了讨论凸函数的连续性, 引进凸函数的两个性质
引理1:设f (x ) 在(A, B ) 内为凸函数, 那么f (x ) 在(A, B ) 中的任意闭子区间有界。
第1期 阿荣等: 凸函数的性质209
证明:设[a, b ]<(a, b="" )="" 令m="max" {f="" (a="" )="" ,="" f="">
) }那么对[a, b ]上任一点z =(1-λ) a +λb λf (z ) ≤(1-λ) f (a ) +λf (b ) ≤M +(1-λ) M =M ∴M 为f (x ) 在[a, b ]上的上界。另一方面把[a, b ]中的点z 写成z =∴-t ∈, ]
2
+t 的形式, 那么有t ∈22
, ] -t ∈[a, b ] f -t ) ≤M
2222
) =f 再由f (x ) 为[a, b ]上的凸函数, 则f +t ) -t ) ]f +t ) +f 222222222
-t )
或
f (z ) =f 2
+t ) ≥2f 2
) -f 2
-t )
∴f (z ) ≥2f 2
) -M =m
∴f (x ) 在[a, b ]有上下界。
引理2:设f (x ) 为(A, B ) , ) [a, b ]上, Πk >0当x 1, x 2∈[a, ]x f ) ≤k |x 1-x 2|
证明:取h a -b +h 属于(A, B ) , 由引理1可知f 在[a -h, b +h ]上有界。设上界为M , 下界为m , 若x 1≠x 2, 令x =x 2|x 2-x 1|
(x 2-x 1) , λ=
|x -x |
h +|x 2-x 1|
则x ∈[a -h, b +h ] 且x 2=λx +(1-λ) x 1
λf (x ) +(1-λ) f (x 1) =λ[f (x ) -f (x 1) ]+f (x 1) f (x 2) ≤
λ(M -m ) <∴f (x="" 2)="" -f="" (x="" 1)="">
|x 2-x 1|
h
(M -m ) =k |x 2-x 1|, 其中k =
同理可证f (x 1) h
-f (x 2) ≤k |x 1-x 2|因而|f (x 1) -f (x 2) |≤k |x 1-x 2| Πx 1, x 2∈[a, b ]
有了以上准备工作下面证明文章最主要结论之一
定理4:设f (x ) 为(A, B ) 内的凸函数, 那么在(A, B ) 内连续。
证明:任取x 0∈(A, B ) , 从而总存在一个区间[a, b ]<(a, b="" )="" 满足x="" 0∈(a,="" b="" )="" ,="" 因而由引理2,="" 对πx="" ∈[a,="" b="" ],有一个常数k="">0有|f (x ) -f (x 0) |≤k |x -x 0|那么对Πε>0, 取Δ=
ε
k
ε, 那么当|x -x 0|<δ时|f (x="" )="" -f="" (x="" 0)="">
∴f (x ) 在x 0点连续, 由x 0的任意性知, f (x ) 在(A, B ) 内连续。
3 凸函数的可微性
定理5:设f 为(a, b ) 内的凸函数, 那么f 在(a, b ) 内处处左右可导, 同时满Πx 1, x 2∈(a, b ) , (x 1
f ’_(x 1) ≤f ’+(x 1) f (x 2) -f (x 1)
x 2-x 1
≤f ’_(x 2) ≤f ’+(x 2) (15)
证明:由一的推论1可知F (x ) =<1>当x 1
f (x ) -f (x 2)
在(x 2, b ) 内为不减函数, 且
x -x 2
f (x ) -f (x 2)
x -x 2
f (x 2) -f (x 1)
x 2-x 1
210内蒙古农业大学学报 2008年
∴inf
f (x ) -f (x )
x -x 2
x →x 2x >x 2
x >x 2
是有限的。
f (x ) -f (x 2)
x -x 2
再因f ’+(x 2) =li m =
b >x >x 2
inf
f (x ) -f (x 2)
x -x 2
∴f ’+(x 2) f (x ) -f (x )
x -x 1
f (x 2) -f (x 1)
x 2-x 1sup
f (x ) -f (x )
x -x 1
<2>同样也可证a
f (x 2) -f (x 1)
x 2-x 1
=li m
x →x 2
x
=
a
由x 1, x 2的任意性知:f 在(a, b ) 处处左右可导。
再因:若x 1, x 2∈(a, b ) 且x 2>x 1, 取Δx >0且x 2+Δx x 1那么
f (x ) -f (x +Δx )
f (x ) -f (x -Δx )
f (x ) -f (x )
x 2-x 1
-Δx
Δx -Δx
即
f (x 2+Δx ) -f (x 2)
Δx
f ’+(x 2) ≥f ’_(x 2) f (x 2-Δx ) -f (x 2)
f (x 2) -f (x 1)
x 2x 1
x f (x 2) -f (x 1)
x 2-x 1
f (x 2) -f (x 1)
x 2-x 1
’(1) f ’+(x 1) 。
因此f (x ) 在[a, b ])
推论2:设f 为(f (a, b ) 内的不可导点至多可数个。
证明:f , (x 0) ≠f ’+(x 0) 的点x 0∈(a, b ) , 由定理5的结论(15) 知:任何两个不同的不可导点x 1, x 2∈(b ) , 区间(f ’_(x 1) , f ’+(x 1) 与(f ’_(x 2) , f ’+(x 2) 不相交, 从而这个区间至多可数个, 因而不可导点至多可数个。参 考 文 献:
[1] G . Kia mbaetMAT HE MATI C AL ANALYSI SMARCE L DEKKER. I N G Ne w York, 1975. [2] 陈传璋. 复旦大学数学系, 数学分析(第二版) 〔M 〕. 北京:高等教育出版社, 1983. [3] 周民强. 实变函数(第二版) 〔M 〕. 北京:北京大学出版社, 1995.
范文三：凸函数的性质
凸函数的性质
【摘自[前苏]克拉斯诺西尔斯基等著《凸函数与奥尔里奇空间》（中译本）】
通常称函数f (x ) 在区间(a , b ) 内是“下(上) 凸函数”，若对于(a , b ) 内任意两点x 1和
x 2(x 1≠x 2) 与任意t ∈(0, 1) ，都满足“琴生(Jesen)不等式”
f [tx 1+(1-t ) x 2]
(>)
或
f (t 1x 1+t 2x 2)
(>)
[其中t 1和t 2为正数且t 1+t 2=1]
它的特别情形(取t =
1
) 是 2
f (x 1)+f (x 2)?x +x ?
(x 1≠x 2) (※※※) f 12?
>()2?2?
在§2-7中曾把它作为下(上) 凸函数的定义. 。我们将证明，对于连续函数来说，不等式(※※※) 与琴生不等式(※) 是等价的。正因为这样，我们在教科书中就用简单的不等式(※※※) 定义了下(上) 凸函数（因为我们研究的函数都是连续函数）。下凸函数简称为凸函数，上凸函数简称为凹函数。请读者注意，这些称呼同国内某些教科书中的称呼是不一致的。但是，我们的上述称呼与．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．新近出版的许多教科书或发表的论文中的称呼是一致的。
因为函数的“上凸”与“下凸”是对偶的，所以，下面只讨论下凸函数的性质。相信读者一定能够把下面得出的结论，类比到上凸函数上。
（一）琴生不等式的几何意义 我们先解释一下琴生不等式的几何意义。如图一，
设x 1
1
3 图一
x 2-x 3x -x 1
）。x 1+3x 2（根据解析几何中的定比分点公式（*）
x 2-x 1x 2-x 1
f (x 3)
x -x 3x -x 1x 2-x 3x -x
f (x 1) +31f (x 2) [注意t 1=2] , t 2=3
x 2-x 1x 2-x 1x 2-x 1x 2-x 1
（*）
区间[a , b ]上的点x =ta +(1-t ) b (0≤t ≤1) .
2 凸函数的性质
从而，得不等式
f (x 3) -f (x 1) f (x 2) -f (x 1) f (x 2) -f (x 3)
（基本不等式）
x 3-x 1x 2-x 1x 2-x 3
它说明(见图一) ，弦AC 的斜率小于弦AB 的斜率，而弦AB 的斜率又小于弦CB 的斜率。
（二）凸函数的性质 为简单起见，下面只讨论与我们的问题有关的凸函数的性质。 若f (x ) 在区间(a , b ) 内是下凸函数，则
'(x ) ≤f +'(x )； 且f -
'(x ) 和右导数f +'(x ) 【因此，⑴ 在每一点x ∈(a , b ) 都有左导数f -凸函数是连续函数】， 而
（*）
'(x ) 和右导数f +'(x ) 都是单调增大的函数。 ⑵ 左导数f -
证⑴ 设0
a
根据基本不等式，则有
a
x -h 2 x -h 1 x x +h 1
x +h 2
图二
b
f (x ) -f (x -h 2) f (x ) -f (x -h 1) f (x +h 1) -f (x ) f (x +h 2) -f (x )
h 2h 1h 1h 2③ ② ①
考虑函数
f (x ) -f (x -h )
（0
h
根据上述不等式中最左边的不等式①，当h →0时，函数φ(h ) 是单增的且有上界，所以有极限
f (x ) -f (x -h )
lim φ(h ) =lim =f -'(x ) h →0h →0h
φ(h ) =
类似地，根据最右边的②，函数
?(h ) =
f (x +h ) -f (x )
（0
h
当h →0时是单减的且有下界，所以有极限
f (x +h ) -f (x )
=f +'(x )
h →0h →0h
'(x ) ≤f +'(x ) . 根据中间一个不等式③，φ(h ) ＜?(h ) ，再让h →0，得f -
lim ?(h ) =lim
'(x ) 是单调增大的。设x 1
h 足够小，使
x 1
根据基本不等式，
图三
（*）
有左导数f -'(x ) 说明函数f (x ) 在点x 左连续，有右导数f +'(x ) 说明函数f (x ) 在点x 右连续。
2
凸函数的性质 3
f (x 1+h ) -f (x 1) f (x 2) -f (x 2-h )
h h
'(x 1)
'(x 2) ≤f +'(x 2) ]，就得到f +'(x 1)
假若函数f (x ) 在区间(a , b ) 内可微分，根据教科书中的定理2-3，则
导数f '(x ) 是增大的?函数f (x ) 是下凸的。
现在，我们又证明了“函数f (x ) 是下凸的?导数f '(x ) 是增大的”[注意，
'(x ) 'f (x ]) 。因此，对于可微函数来说， f '(x ) =f =+-
它是下凸的。 ．．．．．?它的导函数是增大的．．．．．．．．．
根据对偶性，它是上凸的。 ．．．．．?它的导函数是减小的．．．．．．．．．
若f (x ) 是区间(a , b ) 内的连续函数，则不等式
f (x 1)+f (x 2)?x +x ?
(x 1≠x 2) (※※※) f 12?
>()22??
与琴生不等式
f [tx 1+(1-t )x 2]
(>)
是等价的。
证 显然，在琴生不等式中取t =2，就是不等式(※※※) 。剩下来就是要证明，从不等式(※※※) 也可以推出琴生不等式(※) 。为简单起见，我们只证明其中的情形“＜”。事实上，(反证法) 假若琴生不等式(※) 不成立，即至少有一个t ∈(0, 1)和有x 1与x 2(x 1≠x 2)，使
f [t x 1+(1-t ) x 2]≥t f (x 1) +(1-t ) f (x 2)
作(连续) 函数
φ(t ) =f [tx 1+(1-t ) x 2]-[tf (x 1) +(1-t ) f (x 2)] (0≤t ≤1, x 1≠x 2)
并记它的最大值为M ，则M ≥0(根据反证法的假设) 。首先假定M >0，并把函数φ(t ) 在区间[0, 1]上取到最大值M 的最大值点的最小者记为t 0，则0
'=(t 0-δ)x 1+(1-t 0+δ)x 2 和 x 2'=(t 0+δ)x 1+(1-t 0-δ)x 2 x 1
则根据不等式(※※※) ，即
'+x 2'?f (x 1')+f (x 2')?x 1
f ?
22??
'+x 2') 2=t 0x 1+(1-t 0) x 2] 可得[注意(x 1
f [t 0x 1+(1-t 0) x 2]
f [(t 0-δ) x 1+(1-t 0+δ) x 2]+f [(t 0+δ) x 1+(1-t 0-δ) x 2]
2
3
4 凸函数的性质
两端再同时减去[t 0f (x 1) +(1-t 0) f (x 2)]，便得到
M =φ(t 0)
这是不可能的 (M
φ(t 0-δ) +φ(t 0+δ)
2
<>
其次，若M =0，根据反证法的假设，则至少有一点t ∈(0, 1) 使φ(t ) =0. 重复上面的作法，则得
0=φ(t )
φ(t -δ) +φ(t +δ)
2
≤M =0
这也是不可能的(0<0)。因此，对于一切t ∈(0,="" 1)="" 和任意x="" 1与x="" 2(x="" 1≠x="" 2)，都有φ(t="" )=""><0，即函数f (x="" )="">
f [tx 1+(1-t ) x 2]
正因为对于连续函数来说，不等式(※※※) 与琴生不等式(※) 是等价的，所以我们在教科书中就把简单的不等式(※※※) 作为下(上) 凸函数的定义. 。
4
范文四：凸函数的性质 关于凸函数性质的总结
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科技教育
关于凸函数性质的总结
王 华 石家庄理工职业技术学院 河北石家庄 050228
=摘 要>文[1]归纳并证明了八个凸函数定义及它们之间的等价关系。本文继续讨论凸函数的性质。 =关键词>凸函数 连续 可导 单调性 下凸 性质 几何意义 关于凸函数的定义,前面己发表论文(下称文[1])中提到常见的有八个.本文在文[1]的基础上就各定义间的关系、几何意义作进一步思考,得到了有关凸函数的性质,以下凸函数为例。先给出下凸函数的基本定义。
命题:若f在I上可导,则下述两个断语等价(1)f(x2)\-x1)+f(x1);(2)f(
x1+x1f(x1)+f(x2)
1
)。[x1+x2x1-x2
f(?x1)(x2
称函数f(x)=x2是下凸函数,其特征是任意两点之间的弧,在连接该两点弦的下方.即当设x1<x2,则在x1,x2,之间任意一点x的函数值不会大于x所对应的弦上点的纵坐标。
过点(x1,f(x1))与(x2,f(x2))的弦的方程为y-f(x2)=f(x1)-f(x2)
x(x-xf(x1)-f(x2)1-x22)即y=x(x-x22)+f(x2),其中(x,y)
1-x为弦上的流动坐标.若是下凸函数, xI(x1.x2)应有f(x)[y,即得
定义 设函数f(x)定义于区I,Px1,x2II,xI(x1,x2)当f(x)[
f(x1)-f(x2)
x-x(x-x2
2)+f(x2),,,(1),
1称f(x)在I上下凸。
1.根据文[1]中所得到的定义,可知当f在I上一阶可导时,由f?在I单增,可推出等价不等式f(x)\f(?x0)(x-x0)+f(x0)。
证明:必要性:计算f(x)-f(?x0)(x-x0)-f(x0)=f(?N)(x-x0)-
f(?x0)(x-x0)
=(f(?N)-f(?x0))(x-x0)(N介于x和x0之间)由于f在?I单增,可知上面两个因子同号,故有f(x)\f(?x0)(x-x0)+f(x0).
充分性:设Px,x0II有f(x)\f(?x0)(x-x0)+f(x0),当x1,x2II而x1<x2时就有f(x1)\f(?x2)(x1-x2)+f(x2)及
2
f(x2)\f(?x1)(x2-x1)+f(x1),两式相加即有
0\[f(?x2)-f(?x1)](x1-x2)。由x1<x2可见f(?x1)[f(?x2),即f?在I上单增。
性质1 设f在I上可导,
f在I下凸ZPx,x0II,f(x)\f(?x0)(x-x0)+f(x0),,,(2)由于f=f(?x0)((x-x0)+f(x0)是过点(x0,f(x0))的曲线的切线,由于上面不等式的几何意义是:下凸曲线总在曲线上任一点的切线之上。
2.当f在I上二阶可导时,则可得
性质2 f在I上二阶可导,f在I下凸ZPxII,f?(?x)\0,(3)证明:必要性:据文[1]定义6,f在I上二阶可导,在下凸]f(?x)在I单增]f?(x)\0,PxII
充分性:Pxf(?x1)1,x2II,有f(x2)f(x1)+(xf?(?N)
2-x1)+(x2-x1)2(N介于x1,x2之间)
由f?(?x)\0可见有f(x2)\f(?x1)(x2-x1)+f(x1)。据文[1]定义7,f在I下凸。
据性质2及性质1证明中的充分性,可知已做了下面证明链的证明:
f(x)在I单增]f?(x)\0,PxII]Px1,x2II,f(x2)\f(?x1)(x2-x1)+f(x1)]f?在I上单增。
3.文[1]第三段中式(3)?:Px1,x1+x2f(x12II,f(
3
x2[+x1
2
),是由式(2)f[fx1
1+(1-t)x2][tf(x1)+(1-t)x2中令t=而得。似乎它只是下凸的必要条件,不能用式(2)来判断函数y=f(x)在I上的凸性。
本段来证明
证明:(1)](2) Px1,x2II,令x3=,则x1-x3=xx2-x2
2-x3=
于是f(xx1+x2x1)\f?(
)(x1-x2x1+x2
1-x3)+f(x3)=f?()+f(
x1+x2
2
)f(x2)\f?(
x1+x2x2)(x)=-x1x1+x2
2-x3)+f(x3f?()+f(x1+x2
2
)两式相加,即得f(x1)+f(xx1+x2
2)\2f(2
)(2)](1)过点(x1,f(x1))与(x2,f(x2))的弦为y=g(x)=f(x1)+
f(x2)-f(x1)
xx(x-x1),(x2-11<x2)
4
据已知条件(2)g(
x1+x2)=f(xf(x2)-f(x1)x1+x2
1)+(-x1)=21f(x1)+f(x2)x12\f(+x2
2
)
f(x1+x2
)-f(x1)
即f(x1+(x2-xx[1))-f(x1)=
f(x2)-f(x1)1+x1x2-x1x2-x2-x1
1f(xx2-x1
亦即
1+
2
)-f(x1)[
f(x1+(x2-x1))-f(x1)
x2-x1
x2-x=
1
f(x2)-f(x1)x2-x1
当令上式中的x2-x1=
x2-x1
(x2-x1是两点(x1,f(x1)),(x2,f(xx2-x1
5
2))横坐标的差,令x2-x1=即当此二点的横坐标缩小一半时)
上式依然成立:
f(xx2-x1
x1+
2-x1
2
2
)-f(x1)
f(x1+
2
)-f(x1)
f(x2)-f(x1)x[
2-x1
xx[
2-1x2-x1
22
用数学归纳法易证PnIN有f(x1+
x2-x1
2)-f(x1)
f(x2)-f(x[
1)2121
2n
6
由f于I上可导,当令ny]由f在I可导即可得f?(x1)[f(x2)-f(x1)
x2-x1
235
科技教育
此即f(x2)\f(x1)+f(?x1)(x2-x1)
4.本文第二段中已证得:PxII,f?(?x)\0,是f在I下凸的充要条件。本段再证
命题:若f在I下凸,则下述两个断语等价
(1)PxII有f?(?x)\0
x1+x2f(x1)+f(x2)
(2)Px1,x2II有f()[
22x1+x2
证明:1]2 令x0=
2x1+x2x1-x2x1-x2
f(x1)+f(x2)-f()=f(x0+)+f(x0-)-2f
222
(x0)
x1-x2x1-x2x1-x2x1-x2
=f(?x0+H)+f(?x0-H)(-) 0<12
2222
H1,H2<1
x1-x2x1-x2x1-x2x1-x2=[f(?x0+H)-f(?x0-H1)]=f?(?N)1
7
2222
x1-x2x1-x2
+H][H21
22
x1-x12x1-x2x1-x2
=f(??N)(H)\0(N介于HH之间)1+H2)(12
222
f(x1)+f(x2)x1+x2
于是\f()。
22
x1+x2x1+x2x1+x2
2]1 f(x1)=f()+f(?)(x1-)+f??(N)(x1
x1+x22
)(N介于x1,x2之间)2
x+x2x+x2x+x2
由f(x2)\f(1)2>0,故得f(x1)\f(1)+f?(1)
222
x1-x2
,2
x1+x2x1+x2x2-x1
同理有f(x2)\f()f(?)
222
8
x1+x2
两式相加f(x1)+f(x2)\2f()
2
(下接第243页)识在不断加深。同时客观的认识到在特定时期内和一定的科技发展水平下,过快的人口增长对环境的负面影响是相当大的。一方面培养学生乐观的人生态度,另一方面又发展学生的辨证唯物主义思维。3.设置情景,感染教育。俗话说:/触景生情0。课堂教学中为学生提供情感的环境氛围,使学生与学生、学生与环境相统一,不知不觉的受到影响,产生情感上的共鸣,促进道德品质的发展,而且这种方法起到的教育作用往往持久而稳定。
由于人口的激增,城市规模的无限制扩大,城市人口的迅猛增长,给经济发展和社会生活带来一系列问题,如环境污染、交通拥挤、住房困难、失业人口增多、社会秩序混乱等等。在这部分内容中,课前我搜集了石家庄有关环境污染的视频和图片资料,学生在观看这些视频和图片的时候不断发出感慨,甚至还有愤怒的谴责声,顿时激起了学生感情上的共鸣,认识到环境污染的严重性和环境保护的重要性。
4.联系实际,巧设案例。把所学的地理知识和掌握的基本规律,同生产、生活实际相结合,培养学生理论联系实际的观点和思想方法,是智能培养的需要,也是地理学科渗透德育的重要内容。如常常可以看到,某个工厂的区位不合理,但仍然留
9
在那里)))工业惯性,我列举了石家庄的华北制药厂;保护和改善城市环境中,上海有一项重要措施)))建立卫星城,开发新区,我列举了石家庄三年大变样中不同工业部门的分布趋势;城市交通运输中城市道路网,我展示了石家庄街道布局图......通过身边的这些例子,既有利于学生对问题的理解,又培养了学生理论联系实际的学风。
2005.
[5]李金./论地理教学的德育功能0.5中学地理教学参考6,199710.
由第三段和第四段的两个命题,对文[1]不等式(3)?作为下凸函数充要条件,应该认识更清楚了。
至此可断言:?当f在I上一阶可导时,(2)可作为f在I下凸的等价定义;o当f在I二阶可导时,(2)(3)都可作为f在I下凸的等价定义。
附带证明,把以上所有不等号改为严格不等号时,即得函数在I上严格下凸。
5.最后再证明下(上)凸函数都是连续。
命题:若f在I下凸,则(1)Px0II,有f(?x0),f?+(x0)都存在,且f?-(x0)[f?+(x0);(2)f在I连续。
证明:Px0II,取x<x0<x2,据文[1]定义5中式(5)[
f(x0)-f(x1)
x0-x1
10
f(x0)-f(x2)f(x0)-f(x1)
,又据其几何意义,函数F(x)=单调函
0201
f(x0)-f(x1)f(x0)-f(x2)
单调有上界;x2yx0+时单调
x0-x1x0-x2
f(x0)-f(x2)f(x0)-f(x1)
及lim存在,而这两
0201x2yx0+
数,故当
x1yx0时?有下界,
于是极限
lim
x1yx0+
个极限即f?-(x0)及f+?(x0),故对式(5)取极限,即可得f?-(x0)[f?+(x0)。
同时也可知即
x1yx0-x1yx0-
lim[f(x0)-f(x1)]=0=
x2yx2+
lim[f(x0)-f(x2)]此
limf(x)=
11
x2yx0+
lim
f(x)=f(x0)故f(x)在I的内点连续。即f在I上
连续是f在I下(上)凸的必要条件。
参考文献:
[1]关于凸函数八个定义的思考.石家庄铁道学院四方学院北方大学园校区论文集,2005.
[2]陈传璋等.数学分析(上册).高等教育出版社,1979.
[3]王景克.高等数学解题方法与技巧.中国林业出版社,2001.[4]同济大学数学教研室.高等数学(上册)(第四版).高等教育出版社,1993.
5.身体力行,榜样教育。教师被誉为/人类灵魂的工程师0,赋予崇高的社会地位。现代社会是一个信息社会,竞争在很大的程度上取决于对信息的掌握。而信息的掌握在很大的程度上取决与对人才的培养,因此教育是立国之本。中国教育部部长周济说:/教育以育人为本,以学生为主导;办学以人才为本,以教师为主体。0教师不仅是传授知识的源泉,而且是传承文明的楷模,要以身作则用自己的实际行动去影响学生。
首先课上应公平对待每一位学生,做一位信守承诺遵守时间的老师。上课准时,下课不拖堂。不论学生成绩好与坏,都要一视同仁,给予同等程度的礼遇。让学生深切感受到你的公平性、原则性。那么这些观念慢慢的就会在学生的内心扎根,
12
发芽,甚至影响学生的一生。
13
范文五：凸函数的若干性质
周口师范学院本科毕业论文(设计)
凸函数的若干性质
摘要: 在很多数学问题的分析与证明中都要用到凸函数,所以研究凸函数的性质就显得尤为重要.本文在参考众多文献的基础上,对凸函数的若干性质进行了归纳和总结,主要论述了凸函数的运算性质、几何性质、有界性等等,给出了凸函数应用的几个实例.在此基础上又对凸函数进行了推广,阐述了对数性凸函数的若干结论.
关键词: 凸函数;Jensen不等式;对数性凸函数
引言
凸函数是一类重要的函数,它的概念最早见Jensen [1905]著述中.在本世纪初建立了凸函数理论以来,凸函数这一重要概念已在许多数学分支中得到了广泛应用,例如:它在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用,现已成为数学规划、对策论、数理经济学、变分学和最优控制等学科的理论基础和有力工具.凸函数也是一种性质特殊的函数,到目前为止,对凸函数的研究已经从定义的研究到凸性的研究,再到凸性应用方面的研究.对函数凸凹性的研究,在数学中的多个分支都有用处,特别在不等式的推导方面,凸函数有着十分重要的应用.现在对凸函数的研究工作有中间凸函数情形下函数成为凸函数的条件,利用半严格凸和中间凸性给出凸函数的一个判别准则,实值函数成为凸函数的一些条件等等. 如何推广函数的凸性概念,使得在更广泛的函数范围内,凸函数的许多重要性质仍然得以保留,于是研究凸函数的一些性质就显得十分必要了.
很多文献都对凸函数的性质进行了讨论,文献[1]给出了凸函数的定义、定理和一些简单性质.文献[2]讨论了凸函数的运算性质.文献[3]讨论了凸函数的有界性质.文献[4]讨论了凸函数的连续性、可微性,给出了凸函数应用的几个实例.文献[7]讨论了一些不等式如何利用凸函数的性质进行证明,给出了一些重要不等式的证明过程,如Jensen不等式的证明方法及详细步骤.文献[11]在凸函数的前提下讨论了对数性凸函数,给出了对数性凸函数的一些性质.
本文在参考上述文献的基础上,总结了凸函数的运算性质、几何性质、有界性等等,然后又对其性质进行了应用.另外,本文又对凸函数进行了推广,给出了
1
周口师范学院本科毕业论文(设计)
对数性凸函数的若干结论,于是对凸函数性质的研究具有一定的理论意义和实践价值.
1预备知识
凸函数是一类重要的函数,凸函数有许多良好的性质.函数的凸性是函数在区间上变化的整体性态,把握区间上的整体性态,不仅可以更加科学准确的描绘函数的图像,而且有助于对函数的定性分析.在对凸函数的性质展开研究之前,我们先来回顾一下有关凸函数的概念、定义和定理.
1.1 凸函数的概念
凸函数是用来区分增减函数的增减方式不同的两种类型的函数:即使一个函数是增函数,也有如图(1)所示的两种方式,于是我们规定图(1)中1的增加方式 叫做凹函数,反之,把2规定为凸函数.
yy
fx，，
1 2
1 2
3
xx
图(1) 图(2) 1.2 凸函数的几何特征
如图(2)所示,按图(1)所规定的方式,图(2)中的曲线为凸函数,其中fx，，1,2,3,三条直线在曲线内围成一个三角形,三角形的三边所对应的弧段都在fx，，
所对应直线的下方.于是我们从凸函数的几何特征出发,给出凸函数的一个几何意义上的概念,就是曲线上任意两点之间的弧段总在这两点连线的下方. fx，，
2fxx,例如我们熟悉的函数和的图像,它们图像不同的特点fxx,，，，，21
2fxx,是:曲线上任意两点的弧段总在这两点连线的下方;而曲线fxx,，，，，21
2
周口师范学院本科毕业论文(设计) 则相反,即任意两点的弧段总在这两点连线的上方. 1.3 凸函数的等价定义及判定定理
1,,定义1 设为定义在区间上的函数,若对上任意的两点 fxmn,mn,，，，，，，xx,,任意的实数总有 ,,0,1，，12
fxxfxfx((1))()(1)(),,,,，,,，,, 1212
为区间上的凸函数;若上式仅不等号成立,则称为区间则称fxmn,fx，，，，，，
上的严格凸函数.反之,如果总有 mn,，，
fxxfxfx((1))()(1)(),,,,，,,，,, 1212
则称为区间上的凹函数,若仅不等号成立,则称为区间上fxmn,fxmn,，，，，，，，，
的严格凹函数.
xx定义2 设在区间上有定义,若对上任意两点,和正数fxmn,mn,，，，，，，12,,,,,，,1,且,总有 ,0,1，，1212
, fxxfxfx,,,,，,，()()，，11221122
则称为区间上的凸函数. fxmn,，，，，
在定义2的基础上我们可以得到下面的定义3.
定义3(Jensen不等式) 若函数在区间内是凸函数,则对任意 fxcd,，，,,
n
,,1,,0,(),且,有 in,1,2,3,xcd,,,,,iiii,1
nn,,. fxfx,,,，，,,iiii,,ii,,11,,
证 应用数学归纳法,当时,由凸函数的定义,有 n,2
fxxfxfx()()(),,,,，,，, 11221122
,,，,1,即时不等式成立.设时成立,即对任意及 xxxcd,,,,,n,2nk,,,1212k
n
q,1q,0in,1,2,3,,,,有 ,iii,1
3
周口师范学院本科毕业论文(设计)
nn,,. fqxqfx,，，,,iiii,,ii,,11,,
n
,,1,,0设及(),. in,1,2,3,xxxxcd,,,,,,,,,ii121kk，i,1
n,iq,1令q,,,则.由数学归纳法假设可推得 ik,1,2,,ii1,,i,1，1k
fxxxx,,,,，，，，，，112211kkkk，，
,,xxx,,,，，，1122kk =(1)fx,，,,,,，，，kkk1111,,，k1,,
,,，，，，(1),,fqxqxqxfx，，，，kkkkk，，，1112211
,,，，，，(1),,qfxqfxqfxfx，， ，，，，，，，，kkkkk，，，1112211，，
，，,,,k12 (1)fxfxfx,,，，，,，，，，，，，kk112,,111,,,,,,，，，kkk111，，
n
，,,,fxfx. ，，，，,kkii，，11i,1
nn,,,所以对任何正整数(2)总有成立. nfxfx,,,，，,,iiii,,ii,,11,,
1注 当时便得到定义4. ,,,,===12nn
E定义4 若函数在区间上是凸函数,则不等式 fx，，
xxxfxfxfx，，，，，，()()(),,1212nnf,. ,,nn,,
,,E定义5 若函数fx()0,在区间上存在二阶导数,且,则,有 fx,,xE，，
Jensen不等式成立,即
, fxxxfxfxfx,,,,,,，，，,，，，，，，，，，，，11221122nnnn
xE,qqqq，，，,1其中,,0(in,1,2,3,)且. ii12n,,E 证 由于fx()0,,则是区间上的凸函数,由定义3也可得此结论. fx，，
4
周口师范学院本科毕业论文(设计) 在凸函数定义的基础上我们再给出凸函数的几个判定定理.
定理1 函数为区间上的凸函数的充要条件是:对于上的fxmn,mn,，，，，，，
fxfxfxfx,,，，，，，，，，2132xxxxxx任意三点,,(,,),总有. ,123123xxxx,,2132
E定理2 设在区间上可导,则下述论断互相等价: fx，，
E1)是区间上的凸函数; fx，，
,E2)是区间上的增函数; fx()
,Exx3)对区间上的任意两点,有. fxfxfxxx()()(),，,，，1221121
Exx证 在区间上任取两点,,对充分小的正数,由于1)2),xx,h，，1212
xhxxxh,，,,,,所以由定理1得 1122
fxfxhfxfxfxhfx,,,，,，，，，，，，，，，，，112122, ,,hxxh,21
，E因是区间上的可导函数,令可得 fxh,0，，
fxfx,，，，，21,,, fxfx()(),,12xx,21
,E所以fx()是区间上的增函数.
,xx在以,为端点的区间上,由Langrange中值定理和2)3),fx()xx,，，1212
E是区间上的增函数得
,,, fxfxfxxfxxx()()(),,,,,,，，，，，，2121121
移项后得
,, fxfxfxxx()()(),，,，，21121
xx,且当时仍可得到相应的结论. 12
Exx3)1),任取区间上的任意两点,, xx,xxx,，,,,1，，，，1212312
,由3)并利用与得 01,,,xxxx,,,,1,xxxx,,,,，，，，，，，，13122321
5
周口师范学院本科毕业论文(设计)
,,, fxfxfxxxfxfxxx()1,，,,，,,,，，，，，，，，，，，，，，133133312
,,, fxfxfxxxfxfxxx(),，,,，,,，，，，，，，，，，，，233233321
,分别用和1乘上述两式并相加,便得 ,,
, ,,,,fxfxfxfxx()11，,,,，,，，，，，，，，，，12312
E则是区间上的凸函数. fx，，
EE 定理3 设为区间上的二阶可导函数,则在区间上为凸函数fxfx，，，，
,,的充要条件是,. fx,0xE,，，
,EE 证 1)必要性 因为在区间为凸函数,则是区间上的增函数 fx()fx，，
,,,即,. fx,0xE,，，
,,,2)充分性 因为,,所以是区间上的增函数,即fx()fx,0xE,xE,，，
为上的凸函数. fxxE,，，
2凸函数的性质
2.1 凸函数的运算性质
性质1 若为凸函数,则(1)若,,0,则称为凸函数; fx,fx，，，，(2)若,,,则称为凹函数. ,fx0，，
xx,证 因为凸函数,由定义若对上任意两点和正数,fxmn,,,0,1，，，，，，12
总有
fxxfxfx((1))()(1)(),,,,，,,，,. 1212
(1)当,,0时在上式两端同时乘以,得:
, ,,,,,,,,,,fxxfxfxfxfx((1))()(1)()1，,,，,,，,，，，，，，，，，，，，121212
即为凸函数. ,fx，，
,,(2)当,时在上式两端同时乘以得: 0
, ,,,,,,,,,,fxxfxfxfxfx((1))()(1)()1，,,，,,，,，，，，，，，，，，，，121212
6
周口师范学院本科毕业论文(设计) 即为凹函数. ,fx，，
若为凸函数,则为凹函数,反之亦然. 性质2fx,fx，，，，
注 性质2是性质1的特例,即. ,,,1
性质3 若,为凸函数,则为凸函数. fxgxIxfxgx,max(),()，，，，，，,,
xx证 因,为凸函数,则对上任意两点,和正数,fxgxmn,,,0,1，，，，，，，，12总有
, fxxfxfxIxIx,,,,,,，,,，,,，,111，，，，，，，，，，，，，，，，121212
, gxxgxgxIxIx,,,,,,，,,，,,，,111，，，，，，，，，，，，，，，，121212
Ixxfxxgxx,,,,,,，,,，,，,1max1,1 ，，，，，，，，，，，，,,121212
. ,，,,,IxIx1，，，，，，12
所以为凸函数. Ixfxgx,max(),()，，,,
性质4 若为凸函数,则 fxFxfxfxfx,max,,,，，，，，，，，，，,,i12n(in,1,2,,)亦为凸函数.
证 由性质3和数学归纳法可证得.
性质5 若,为凸函数,则为凸函数. fxgxFxfxgx,，，，，，，，，，，，
xx 证 因,为凸函数,即对上任意两点,和正数, fxgxmn,,,0,1，，，，，，，，12总有
fxxfxfx((1))()(1)(),,,,，,,，,, 1212
gxxgxgx((1))()(1)(),,,,，,,，,, 1212
Fxxfxxgxx,,,,,,，,,，,，，,111，，，，，，，，，，，，121212
,，,，，,fxfxgxgx11,,,,，，，，，，，，，，，，1212
,，，,，，，，，fxgxfxgx1，，，，，，，，，，,,1122，，，，
,，,FxFx1.，，，，，，,,12
则为凸函数. Fxfxgx,，，，，，，，
7
周口师范学院本科毕业论文(设计)
n
Fxfx,性质6 若为凸函数,则()为凸函数. in,1,2,,fx，，，，，，,iii,1证 由性质5和数学归纳法可证得.
2,,性质 设,都是上的非负单调递增(递减)的凸函数,则 7fxgxmn,，，，，，，
也是上的凸函数. Fxfxgx,mn,，，，，，，，，
证 因,都是上的非负单调递增(递减)的凸函数,则对fxgxmn,，，，，，，
xx上任意两点,有 mn,，，12
fxfxgxgx,,,0，，，，, ，，，，，，，，2121，，，，
. (3) fxgxfxgxfxgxfxgx，,，，，，，，，，，，，，，，，，，12211122
xx又因为,是非负的凸函数,即对上任意两点,和 fxgxmn,,,0,1，，，，，，，，12
总有
fxxfxfx((1))()(1)(),,,,，,,，,, 1212
gxxgxgx((1))()(1)(),,,,，,,，,. 1212
所以
Fxxfxxgxx,,,,,,，,,，,，,111，，，，，，，，，，，，121212
,，,，,fxfxgxgx11，，，，,,,, ，，，，，，，，，，，，1212，，，，
2,，,，fxgxfxgxfxgx1,,,，， ，，，，，，，，，，，，，，222112，，
2，,1,fxgx. ，，，，，，11再由(3)式可知
Fxxfxxgxx,,,,,,，,,，,，,111，，，，，，，，，，，，121212
2,，,，,,,fxgxfxgxfxgx1，， ，，，，，，，，，，，，，，222112，，
2，,1,fxgx ，，，，，，11
8
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,,，，,，,,,,,,,111fxgxfxgx，，，，，，，，，，，，，，1122
,，,fxgxfxgx1，，，，，，，，，，,,1122
,，,FxFx1.，，，，，，,,12
即也是上的凸函数. Fxfxgx,mn,，，，，，，，，
性质8 若是奇函数,且当时,是凸函数(凹函数),那么当 fxfxx,0，，，，
时,是凹函数(凸函数). fxx,0，，
若是偶函数,且当时,是凸函数(凹函数),那么当fxfxx,0x,0，，，，时,是凸函数(凹函数). fx，，
分析 利用凸凹函数的定义及奇偶函数图像的性质可直接得出.
,1性质9 若是上的连续递增的凸函数,则是递增的yfx,mn,xfy,，，，，，，
凹函数.
xx证 因是上的凸函数,所以对上任意两点,和fxmn,mn,,,0,1，，，，，，，，12
有
fxxfxfx((1))()(1)(),,,,，,,，,. 1212
又因为在上是连续递增的,并且反函数单调性不变,则有 yfx,mn,，，，，
,,11, ffxfxffxxxx,,,,,,，,,，,,，,1((1))(1)，，，，，，，，，，121212
,1所以是递增的凹函数. xfy,，，
11HgRR:,性质10 若为区间上的凸函数,为单调增加的凸函数,则fx，，
亦为凸函数. gfx，，，，
Hxx证 因为凸函数,即对上任意两点,和正数总有 fx,,0,1，，，，12
fxxfxfx((1))()(1)(),,,,，,,，,. 1212
11gRR:,又为单调增加的凸函数,所以
. gfxxgfxfxgfxgfx((1))()(1)()1,,,,,,，,,，,,，,，，，，，，，，，，，，，，121212
即亦为凸函数. gfx，，，，
9
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2.2 凸函数的几何性质
H,Hxxxxxx,,性质11 若是上的凸函数,则对,,,且,有 ,fx，，123123
fxfxfxfx()()()(),,fxfx()(),313221. ,,xxxxxx,,,213132
xx,,xx3221, 证 令,,1,,,,则,由的凸性可知 xxx,，,,,1fx，，，，213xx,xx,3131
, fxfxxfxfx,，,,，,,,,,11，，，，，，，，，，，，21313
从而有
, fxfxfxfxfxfxfx,,，,,,,,,,,11()()，，，，，，，，，，，，，，,,2113131
, fxfxfxfxfxfxfx,,,,,，,,,,,1()()，，，，，，，，，，，，,,3213331
把代入得 ,
fxfx()(),xxfxfx,,()()312121, fxfxfxfx,,,,,()()，，，，,,2131xxxxxx,,,312131
xxfxfxfxfx,,,()()()()323231fxfxfxfx,,,,,()(). ，，，，,,3231xxxxxx,,,313231
所以
fxfxfxfx()()()(),,fxfx()(),313221. ,,xxxxxx,,,213132
分析 此性质的几何意义是分别连接曲线上的两点, fxAxfx,，，，，，，111
fxfx()(),21的弦的斜率不超过与 Axfx,Axfx,Axfx,，，，，，，，，，，，，222333111xx,21
fxfx()(),31的弦的斜率,不超过与的弦的斜率 Axfx,Axfx,，，，，，，，，333222xx,31
fxfx()(),32. xx,32
性质12 若是上的凸函数,且不恒为常数,则存在一点yfx,,,，,,d，，，，
使得在上递减,在上递增. fx,,,dd,，,，，，，，，
10
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证 若是上的凸函数,则对于,且, ,,abR,yfx,,,，,,ab,，，，，
可得 ,,xab,，，
fbfafbfx()()()(),,, ,babx,,
因此时, fbfa,，，，，
fbfa,，，，，,0. ba,
从而
fbfx()(),, ,0bx,
即
, fbfxfbfx()()0,()(),,,
所以当,且时,在上递增;当,且fbfa()(),fx()fbfa()(),b,，,ab,ab,，，时,在上递减. fx(),,,b，，
所以存在一点使得fx()在上递减,在上递增. ,,,dd,，,d，，，，2.3 凸函数的有界性
3,,HH13 性质 若是上的凸函数,则在内的任意闭子区间上有界. fxfx，，，，
H证 设是内的任意闭子区间,对,存在,使得 ab,,,xab,01,,,,,,,
,由凸函数的定义可知 xab,，,,,1，，
. fxfabfafbfafb,，,,，,,,,,,11max(),()，，，，，，，，，，,,，，
MMfafb,max,，，因此在上有上界,设其上界是,则. fxab,，，，，，，,,，，
1再证在上有下界.对,令,则 fxab,,,xab,txab,,，，，，，,,,,2
ababab，，，11,,，，fftt,，，,()() ,,,,22222,,，，
111abab，，, ,，，,,，ftftfxM()()(),,22222
即
11
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ab，,,fxfM,,2. ，，,,2,,
ab，,,mfM,,2所以在上有下界,设其下界是.记, mfxab,，，,,,,2,,综上所述,. mfxMxab,,,,,，，,,
3,,性质14 设函数在区间内为凸函数,则在任意一闭子区间fxab,fx，，，，，，
L，上满足Lipschitz条件:即,,使得有 ,,,,,ab,,xx,,,,0，，,,,,12
fxfxLxx,,,. ，，，，1212
， 因,则,,使得,, 证,,,,,ab,,,，,hhab,,,,xx,,,,h0，，，，,,,,,,12
xxxxh,，若,,取,在区间内为凸函数,由定理1知 fxab,，，，，1232
fxfxfxfx,,，，，，，，，，Mm,2132, ,,xxxxh,,2132
其中Mm,分别为在上的上下界,从而 fx,,,，hh,，，,,
Mm,. fxfxxx,,,，，，，1212h
xxxxh,,若,,取,因在区间内为凸函数,由定理1知 fxab,，，，，1232
fxfxfxfx,,，，，，，，，，2312, ,xxxx,,2312
即
fxfxfxfx,,，，，，，，，，Mm,2132, ,,xxxxh,,1223
因此
Mm,, fxfxxx,,,，，，，1212h
Mm,取,则有 ,,xx,,,,L,,,12h
fxfxLxx,,,. ，，，，1212
2.4 凸函数的连续性
12
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4,,HH性质 若是上的凸函数,则在上连续. 15fxfx，，，，
对,都存在闭区间,使得,令 证abH,,xab,,,,xH,,,,
, ,,,,xxxxabx,min,,,,32
由性质11知当时,有 ,x,0
fxfafbfx()()()(),,. ,,，,,,,xfxxfxx()()xabx,,
当时,有 ,x,0
fbfxfxfa()()()(),,. ,,，,,,,xfxxfxx()()bxxa,,
因而有
,,,,fxfafbfx()()()(). fxxfxx()()max,，,,,,,,xabx,,,,
再由性质13可知,上式右端是有下界的变量,因此,当时,有 ,,x0
. fxxfx()()0，,,,
H所以在点连续,由的任意性可知,在上连续. xxfxfx，，，，2.5 凸函数的可微性
4,,16性质 若函数在区间内是凸函数,那么在内处处fxmn,fxmn,，，，，，，，，
左右可导,同时满足对任意的有 xxmnxx,,,,,，，，，1212
fxfx()(),12,,,, fxfxfxfx,,,,. ，，，，，，，，,，,，1122xx,12
证 若函数在区间内是凸函数,则对, fxmn,,,xxmnxx,,,,，，，，，，，，1212
fxfx()(),2xxxn,,,Fx,在内为不减函数,且当时 由性质11知xn,，，，，122xx,2
fxfxfxfx()()()(),,221,, xxxx,,221
fxfx()(),2lim所以是有限的. xx,2xx,2
再因
13
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fxfx()(),2,, fx,lim，，，2xxxx,,，，22xx,2
,fx所以由单调有界定理可知存在且 ，，，2
fxfx()(),21,. fx,，，，2xx,21
axxx,,,同样也可证时有 12
fxfxfxfx()()()(),,121,, fx,lim,，，,1xx,1xxxx,,121
,fxxx所以存在.由,的任意性知在内处处可导. fxmn,，，，，，，,112
xxxx,xxn，,,xxx,,,再因,若,且,取且,, ,mn,,x,0，，1221221那么
fxfxxfxfxx,，,,，,，，，，，，，，fxfx()(),222221, ,,,,,,xxxx21即
fxxfxfxxfx，,,，,,，，，，，，，，fxfx()(),222221. ,,,,,,xxxx21另则 ,,x0
fxfx()(),21,,fxfx,,. ，，，，，,22xx,21
同理可证
fxfx()(),12,,fxfx,,, ，，，，,，11xx,12
所以
fxfx()(),12,,,,fxfxfxfx,,,,. ，，，，，，，，,，,，1122xx,12
注 从凸函数的基本定义出发,上述16个性质是由凸函数的运算性质、几何
性质,逐步过渡到凸函数的有界性、连续性、可微性,于是我们可以看到凸函数有
很好的性质.下面我们逐步展开对凸函数及其性质的应用的探讨.
14
周口师范学院本科毕业论文(设计) 3凸函数性质的应用
abcd+++abcd4例3.1 证明不等式,其中均为正数. abcdabcd,abcd,,,，，
证 设,,0.由的一阶和二阶导数 xfxxx,lnfx，，，，
1,,,,. fxx,，ln1fx,，，，，x可见在,0时为严格凸函数.依Jensen不等式有 xfxxx,ln，，
abcd，，+1,,ffafbfcfd,，，+. ，，，，，，，，，，,,44,,
从而
abcdabcd，，，，++1, lnlnlnln+ln,，，aabbccdd，，444
即
abcd，，+abcd，，+,,abcd. ,abcd,,4,,
又因
abcd，，+4, abcd,4所以
abcd+++abcd4. abcdabcd,，，
y例3.2 证明当,,z都为正数且互不相等时,有 x
xyz，，,. xxyyzzlnlnln，，xyz，，ln，，3
1,,,证 设(t,),则,,所以在fttt,lnftfttft,，,1ln,00，，，，，，，，t
上是严格凸函数. 0,，,，，
对,xyz,,,且时,依Jensen不等式有 xyz,,0
fxfyfz，，，，，，，，xyz，，,,f,, ,,33,,即
xyzxyz，，，，xxyyzzlnlnln，，,, ln333
15
周口师范学院本科毕业论文(设计) 所以
xyz，，,. xxyyzzlnlnln，，xyz，，ln，，3
11ba，,1p 设,0,,0(),,1,.则 例3.3(Holder不等式)1,,iniipq
11nnnpq,,,,pq. abab,,,,iiii,,,,,,,,,,,iii111
1,,证 设,,则,0,即是上的严fxx=ln,x,，,0,fx0,，,fx(),，，，，，，，，2x
,xx,格凸函数,对于,0,由Jensen不等式得 12
,,xx1112, ffxfx，,，，，，，12,,pqpq,,
pq取,带入上式得 xaxb,,,12
,,1111pqpq, fabfafb，,，，，，，,,pqpq,,
即
,,,,1111pqpq. ,，,,，,,ababablnlnlnln,,,,pqpq,,,,
11pqabab，,由在上单调递增,得. 0,，,lnx，，pq
11pnnq,,,,pq记 ()带入上式得 kn,1,2,,aaabbb,,,,,kiki,,,,,,,,,,ii11
pqabab11kkkk,，(kn,1,2,,). 11nnpqpqnnpqab,,,,pq,,ikab,,ii,,,,,,11ii,,11,,,,ii
对上式两边求和,则
nnnnnab1111ppqqkk,，,，,aabb1, ,,,,,kiki11pqpq,,,,,11111kkikinnpq,,,,pqab,,ii,,,,,,11ii,,,,
即
16
周口师范学院本科毕业论文(设计)
11nnnpq,,,,pq. abab,,,,iiii,,,,,,,,,,,iii111
注 从上面几个例子我们看到在利用凸函数的性质证明不等式时构造合适
的函数能达到简化不等式证明的目的.
4凸函数的推广
4.1 对数性凸函数的定义
EE 设为区间上的正值函数,如果在区间上为凸函数,即对fxlnfx，，，，,,xxE,和所有的实数有 ,,0,1，，12
, ln1ln1lnfxxfxfx,,,,，,,，,，，，，，，，，，，1212
Exx,则称在区间上为对数性凸函数,如果对于严格不等式成立,则称fx，，12
E在区间上为严格对数性凸函数. fx，，
4.2 对数性凸函数的性质
11,,EE定理4.2.1 设为区间上的正值函数,则在区间上为对数性fxfx，，，，
,,xxE,凸函数的充要条件是对和所有的实数有 ,,0,1，，12
1,,，，,fxxfxfx,,，,,1. ，，，，，，，，1212
EE定理4.2.2 设为区间上的正值函数且二阶可导,则在区间上fxfx，，，，
2,,,fxfxfx,为对数性凸函数的充要条件是对,有. ,,xE，，，，，，，，
EE证 必要性 若为上的对数性凸函数,则在区间上为凸函fxlnfx，，，，
,，，,fx，，,,,0ln0fx,，，数,由凸函数的判定定理知,即, ，，,,，，fx，，，，
即
2,,,fxfxfx,，，，，，，，，，，,0. 2fx，，
22,,,fxfxfx,,0，，fx由于,,故. 0，，，，，，，，，，
充分性 设,则 gxfx,ln，，，，
17
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,fx，，,,, gxfx,,，，ln，，，，，，fx，，
2,,,,fxfxfx,，，，，，，，，，，,,, gx,,0，，2fx，，
EE所以在上为凸函数,由定义知在上为对数性凸函数. gxfx，，，，
E性质4.2.3 如果函数和为区间上的对数性凸函数,则 fxfx，，，，12
E也为区间上的对数性凸函数. fxfx，，，，12
E如果函数在区间上为对数性凸函数,则 推论4.2.4 fxin,1,2,，，，，i
n
E,fx也为区间上的对数性凸函数. ，，ii,1
E性质4.2.5 如果函数和为区间上的对数性凸函数,则 fxfx，，，，12
E也为区间上的对数性凸函数. fxfx，，，，，12
E推论4.2.6 如果函数在区间上为对数性凸函数,则 fxin,1,2,，，，，i
n
Efx也为区间上的对数性凸函数. ，，,ii,1
13,,EE定理4.2.7 设为上的正值函数,则为上的对数性凸函数的fxfx，，，，
Exxx充要条件是对上的任意三点,,总有 123
11,,xxxx2132，，，，fxfx，，，，23. ,,,,,fxfx，，，，12，，，，
xx,32E,,证 必要性 记,则.由为上的对数性xxx,，,,,1fx，，，，213xx,31
凸函数可知
xx,xx,3221,,1,xxxx,,, fxfxxfxfxfxfx,,,,,,,13131，，，，，，，，，，，，，，2131313
整理后,得
11,,xxxx2132，，，，fxfx，，，，23. ,,,,,fxfx，，，，12，，，，
18
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Exxxx充分性 任取上两点,且,,在上任取一点 xx,,,131313
xx,32,,所以,,由必要性的推导逆过程便可得证. ,xxx,，,,,1,,0,1，，，，213xx,31
注 定理4.2.2和定理4.2.7分别是由定理3和定理1类比得到的.
EE 推论 4.2.8 设为上的正值函数,则为上的对数性凸函数的fxfx，，，，
Exxxxxx充要条件是对上的任意三点,,(,,)总有 123123
111,,,xxxxxx213132，，，，，，fxfxfx，，，，，，233. ,,,,,,,,fxfxfx，，，，，，112，，，，，，
EE定理 4.2.9 设为上的正值函数,若为上的对数性凸函数,则 fxfx，，，，
E为上的凸函数. fx，，
E,,xxE,证 由于为上的对数性凸函数,则由定理4.2.1得,对和所fx，，12
有的实数有 ,,0,1，，
1,,，，,fxxfxfx,,，,,1. ，，，，，，，，1212
E又由于为上的正值函数,则,,,,,从fxfxfx,,，,,1100，，，，，，，，12而由引理得
,,1,fxfxfxfx,，,,,1, ，，，，，，，，，，1212
由不等式的传递性得
, fxxfxfx,,,,，,,，,11，，，，，，，，，，1212
E故为上的凸函数. fx，，
4.3 对数性凸函数的应用
111111mnxyxy,，例 4.3.1 如果,y,0, ,且m,1,则, ，,1x,0mnmn
xy,其中等式成立当且仅当.
分析一 仔细观察本题中所要证的不等式我们发现本题刚好类似于对数性
19
周口师范学院本科毕业论文(设计) 凸函数,下面我们不妨构造函数,用对数性凸函数对本题进行证明. fxx,，，
证 (1)当或或时,显然成立. xy,,0,0xy,,0,0xy,,0,0
y(2)当,0,,0时,构造函数,则 xfxx,，，
2,,,fxfxfx,,,1,0. ，，，，，，，，所以由定理4.2.2可知,函数(,0)为对数性凹函数. xfxx,，，
11又因为,由定理4.2.1有 ，,1mn
1111,,mnfxfyfxy,，, ，，，，,,mn,,于是
1111mnxyxy,，. mn
1111mnxyxyxy,，,,(3). mn
xy,必要性 当时显然成立
1111111,1,11111mnmnnmnxyxy,，xy,充分性 对求的偏导数,得,即, xyxx,,mmmn
xy,故.
分析二 我们先对此不等式进行适当的变形,不妨在不等式的两边同取自然
对数得
11,,xy,,mnlnln, xy,，,,,,mn,,,,
即
11xy,,lnlnlnxy，,，. ,,mnmn,,由此我们就可以找到合适的凸函数了.
1,,证 设(x,),因,,故为x,上的严格fxx,,lnfxfx,000，，，，，，2x
20
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11凸函数,又因,故 ，,1mn
xy11,,,，,,,lnlnlnxy, ,,mnmn,,
即
xy11,,lnlnln，,，xy, ,,mnmn,,
从而
1111mnxyxy,，. mn
注 证法一和证法二各有其优缺点,但是无论哪一种证法都体现出用凸函数证明不等式的巧妙性.
小结
本文主要总结了凸函数的一些性质.首先是给出了凸函数的概念,然后是凸函数的几个常用的等价定义和判定定理,其次在此基础上总结了凸函数的一些性质,这些性质之间都相互联系着,最后利用凸函数性质证明了几个不等式.通过利用凸函数的性质对不等式的证明可以看出,用凸函数的性质证明有关不等式不仅可使难度较大且证明过程复杂的问题转化成证明比较容易,证明过程简单的问题,而且在丰富证明不等式方法,简化不等式证明过程中发挥了一定作用.最后又给出了对数性凸函数的定义、性质和一些简单的应用.通过对凸函数的性质的探讨,我们已经发现和了解到凸函数具有很大的研究空间,于是总结一些凸函数的性质对于今后的学习和研究具有很大的价值和实际意义.
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