范文一：向量组的等价及向量组的秩

n,,,,,,,T1 设是由若干个维向量构成的集合，向量，若有 T12r

（1）,,,,,,线性无关； 12r

（2）,,,,,,中任一向量都可由线性表示。 T12r

那么，则称r,,,,,,是的一个。称为的，若无极大无关组，即TTT12r

不含非零向量时，称的秩数为0。的秩数记为。 RT()TTT

2设有,,,,,,nn,,,,,,维向量组?：与维向量组?：。如果?中任一向12s12t量都可由?中向量线性表示，反之?中任一向量都可由?中向量线性表示，那么则称向量组

?与?。

3 矩阵的行向量组的秩数称为的；的列向量组的秩数称为的。AAAA的行秩数记为；的列秩数记为 AAAA

1 简化行阶梯形矩阵的性质

（1）主列构成的向量组线性无关；

（2）每一非主列均可由前面的主列线性表示；从而若有非主列，则其列向量组必线性

相关。

（3）主列构成的向量组即为列向量组的一个极大无关组；从而列秩数等于主列的个数。 2 对矩阵进行行的初等变换不改变的列向量组的线性关系。 AA

3 个数大于维数的向量组必线性相关；特别有，nn+1个维向量必线性相关。

4 设向量组,,,,,,,,,,,,中任一向量都可由向量线性表示。那么，如果12s12t

,,,,,,，则向量组必线性相关。 st,12s

等价陈述即其逆否命题为：设向量组,,,,,,,,,,,,中任一向量都可由向量12s12t

,,,,,,线性表示。那么，如果向量组线性无关，则必有。 st,12s

推论1：向量组的极大无关组中所含向量个数被所唯一确定。即的任意两个极大TTT无关组中所含向量个数相等。

推论2：设向量组（?）中任一向量都可由（?）中向量线性表示，则(?) (?)。 RR,

推论3：等价的向量组的秩数相等。

5 对任意矩阵均有，行秩=列秩 =（）。 AAARA

为n阶方阵，则下述条件等价： A

（1）为可逆矩阵： A

6 设（2） ； A,0

（3）： RAn(),

（5）行秩n=列秩= AA

（6）的列向量组线性无关； A

（7）的行向量组线性无关； A

一 计算题

11021,,,,,,,,,,,

,,,,,,,,,,12112, 1 求向量组,,,,,,,,,,的秩，一个极大无关组以及把其余向量表成极,,,,,,,,,,,,,,23111

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,01133,,,,,,,,,,,

大无关组的线性组合。

1390ab,,,,,,,,,,,,

,,,,,,,,,,,, 2 已知向量组2,0,6,,,,,,,,,,,,1,2,1与有123123,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,317,,,,,,,,,110,,,,,,

相同的秩，且,,,,,,ab,可由线性表示，求的值。 3123

二 单项选择题

1设,,,,,,,n,,,,,维向量组（?）：与向量组（?）：的秩均为3，向量组（?）：1234123

,,,,,,,,,,,,,,,,的秩为4，则向量组的秩为 123512354

（） 2， （） 3， （） 4， （） 5。 ABDC

2设,,,,,,,,,,,,n(,,,),,,与是两个维向量组，且秩=秩12s12t12s

(,,,),,,,r，则 12t

（） 两个向量组等价； A

（(,,,,,,,),,,,,,,r） 秩； B1212st

（,,,,,,,,,,,,,,,,,,） 当可由线性表示时，也可由C12s12t12t

,,,,,,线性表示； 12s

（） 当时，两个向量组等价。 Dst,

,,,,,,,,,,,,,T是一个向量组，，且线性无关，证明下述两条件等T12r12r三 证明题 价：

1设 （1）,,,,,,中任一向量都可由线性表示； T12r

（2）中任何向量都线性相关。 Tr，1

2 设向量组r,,,,,,,,,,,,,T的秩为，，证明若线性无关，则T12r12r,,,,,,为的一个极大无关组。 T12r

3 设向量组r,,,,,,,,,,,,,T的秩为，，证明若中任何向量都可由TT12r12r

,,,,,,线性表示，则为的一个极大无关组。 T12r

4设向量,,,,,，，，,(1)s,,,,,,,,,,,,,,,,,，而，，12s1122ss

证明：秩(,,,),,,(,,,),,,=秩； 12s12s

5 举例说明两个向量组的秩相等时这两个向量组未必等价。但若秩相等且其中一个向量

组中的任何向量都可由另一个向量组中的向量线性表示，则这两个向量组等价。

111,,,

,,121,,6 设A,，为矩阵，且，证明的列向量组线性相关。 BB33，AB,0,,230,,,,012,,,,

1设向量组r,,,,,,sr,,1,0的秩为，其中 ，则 12s

（rs,） 必有； A

（r,,,,,,） 向量组中任意个数小于的部分向量组必线性相关； B12s

（r,,,,,,） 向量组中任意个向量必线性无关； C12s

（r,,,,,,） 向量组中任意+1个向量必线性相关。 D12s

2 设向量组,,,,,,,,,,,,中任一向量都可由向量线性表示。则下列结论正12s12t

确的是

（,,,,,,） 当时向量组线性相关； Ast,12s

,,,,,,） 当时向量组线性相关； Bst,12s

（） 当时向量组,,,,,,线性相关； Cst,12t（

（,,,,,,） 当时向量组线性相关。 Dst,12t

3设mn，为矩阵，且，则 RAm(),A

（） 的行向量组与列向量组都线性无关； AA

（） 的行向量组线性无关，列向量组线性相关； BA

（） 当时，的行向量组线性无关，列向量组线性相关； ACmn,

（） 当时，的行向量组与列向量组都线性无关。 DAmn,

11222,,,,,,,,,,

,,,,,,,,,,20112,,,,,,,,,,,4 求向量组,,,,的秩，一个极大无关组以及把其余向量表成极大,,,,,,,,,,13024,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,21123,,,,,,,,,,

无关组的线性组合。

1132,,,,,,,,,,

,,,,,,,,1326,,5 设有向量组,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,1234,,,,,,,,15110,

,,,,,,,,,,,,,,,,312pp，,,,,,,,,

4,,

,,1,, （1）,,,,,,,,为何值时该向量组线性无关？并在此时将向量,用线性表p1234,,6,,,,10,,示；

（2）为何值时该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大无关组。 p

6 设,,,,,,,T,,,,,,是一个向量组，，若中任何向量都可由唯一线TT12m12r

性表示，证明,,,,,,为的一个极大无关组。 T12r

7 设,,,,,,rnr,,,,,,维向量组（?）：，的秩为，向量组（?）：的秩为，12s2112t

向量组（?）：,,,,,,r,,,,,,，的秩为，证明下列结论： 12s312t

（1）若向量组（?）可由（?）线性表示，则rr=； 23（2）若向量组（?）可由（?）线性表示，则rr=； 31（3）若rrrr,=，则； 2312

rrr,r=，则。 3211

8 设向量组rr,,,,,,,,,,,,,,的秩为，证明向量组的秩仍为的充分必要12m12m（4）若

条件是,,,,,,可由线性表示。 ,12m

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范文二：向量组的等价及向量组的秩

向量组的等价及向量组的秩

一 基本概念

1 设是由若干个维向量构成的集合，向量，若有

(1)线性无关;

(2)中任一向量都可由线性表示。

那么，则称是的一个极大无关组。称为的秩数，若无极大无关组，即不含非零向量时，称的秩数为0。的秩数记为。

2设有维向量组?:与维向量组?:。如果?中任一向量都可由?中向量线性表示，反之?中任一向量都可由?中向量线性表示，那么则称向量组?与?等价。

3 矩阵的行向量组的秩数称为的行秩数;的列向量组的秩数称为的列秩数。的行秩数记为行秩;的列秩数记为列秩。

二 主要结论

1 简化行阶梯形矩阵的性质

(1)主列构成的向量组线性无关;

(2)每一非主列均可由前面的主列线性表示;从而若有非主列，则其列向量组必线性相关。

(3)主列构成的向量组即为列向量组的一个极大无关组;从而列秩数等于主列的个数。 2 对矩阵进行行的初等变换不改变的列向量组的线性关系。

3 个数大于维数的向量组必线性相关;特别有，+1个维向量必线性相关。

4 设向量组中任一向量都可由向量线性表示。那么，如果，则向量组必线性相关。

等价陈述即其逆否命题为:设向量组中任一向量都可由向量线性表示。那么，如果向量组线性无关，则必有。

推论1:向量组的极大无关组中所含向量个数被所唯一确定。即的任意两个极大无关组中所含向量个数相等。

推论2:设向量组(?)中任一向量都可由(?)中向量线性表示，则(?) (?)。

推论3:等价的向量组的秩数相等。

5 对任意矩阵均有，行秩=列秩 =()。

6 设为n阶方阵，则下述条件等价:

(1)为可逆矩阵:

(2) ;

(3):

(5)行秩=列秩=

(6)的列向量组线性无关;

(7)的行向量组线性无关;

例 题

一 计算题

1 求向量组的秩，一个极大无关组以及把其余向量表成极大无关组的线性组合。

2 已知向量组与有相同的秩，且可由线性表示，求的值。

二 单项选择题

1设维向量组(?):与向量组(?):的秩均为3，向量组(?):的秩为4，则向量组的秩为

() 2， () 3， () 4， () 5。

2设与是两个维向量组，且秩=秩，则

() 两个向量组等价;

() 秩;

() 当可由线性表示时，也可由线性表示;

() 当时，两个向量组等价。

三 证明题

1设是一个向量组，，且线性无关，证明下述两条件等价:

(1)中任一向量都可由线性表示;

(2)中任何向量都线性相关。

2 设向量组的秩为，，证明若线性无关，则为的一个极大无关组。

3 设向量组的秩为，，证明若中任何向量都可由线性表示，则为的一个极大无关组。

4设向量，而，，证明:秩=秩;

5 举例说明两个向量组的秩相等时这两个向量组未必等价。但若秩相等且其中一个向量组中的任何向量都可由另一个向量组中的向量线性表示，则这两个向量组等价。

6 设，为矩阵，且，证明的列向量组线性相关。

作 业

1设向量组的秩为，其中 ，则

() 必有;

() 向量组中任意个数小于的部分向量组必线性相关;

() 向量组中任意个向量必线性无关;

() 向量组中任意+1个向量必线性相关。

2 设向量组中任一向量都可由向量线性表示。则下列结论正确的是

() 当时向量组线性相关;

() 当时向量组线性相关;

() 当时向量组线性相关;

() 当时向量组线性相关。

3设为矩阵，且，则

() 的行向量组与列向量组都线性无关;

() 的行向量组线性无关，列向量组线性相关;

() 当时，的行向量组线性无关，列向量组线性相关;

() 当时，的行向量组与列向量组都线性无关。

4 求向量组的秩，一个极大无关组以及把其余向量表成极大无关组的线性组合。

5 设有向量组

(1)为何值时该向量组线性无关,并在此时将向量用线性表示;

(2)为何值时该向量组线性相关,并在此时求出它的秩和一个极大无关组。

6 设是一个向量组，，若中任何向量都可由唯一线性表示，证明为的一个极大无关组。

7 设维向量组(?):，的秩为，向量组(?):的秩为，向量组(?):，的秩为，证明下

列结论:

(1)若向量组(?)可由(?)线性表示，则=;

(2)若向量组(?)可由(?)线性表示，则=;

(3)若=，则;

(4)若=，则。

8 设向量组的秩为，证明向量组的秩仍为的充分必要条件是可由线性表示。

范文三：向量组的等价及向量组的秩

向量组的等价及向量组的秩

一 基本概念

1 设T是由若干个n维向量构成的集合，向量?1,?2,?,?r?T，若有

（1）?1,?2,?,?r线性无关；

（2）T中任一向量都可由?1,?2,?,?r线性表示。

那么，则称?1,?2,?,?r是T的一个极大无关组。称r为T的秩数，若T无极大无关组，即T不含非零向量时，称T的秩数为0。T的秩数记为R(T)。

2设有n维向量组Ⅰ：?1,?2,?,?s与n维向量组Ⅱ：?1,?2,?,?t。如果Ⅰ中任一向量都可由Ⅱ中向量线性表示，反之Ⅱ中任一向量都可由Ⅰ中向量线性表示，那么则称向量组Ⅰ与Ⅱ等价。

3 矩阵A的行向量组的秩数称为A的行秩数；A的列向量组的秩数称为A的列秩数。A的行秩数记为行秩A；A的列秩数记为列秩A。

二 主要结论

1 简化行阶梯形矩阵的性质

（1）主列构成的向量组线性无关；

（2）每一非主列均可由前面的主列线性表示；从而若有非主列，则其列向量组必线性相关。

（3）主列构成的向量组即为列向量组的一个极大无关组；从而列秩数等于主列的个数。 2 对矩阵A进行行的初等变换不改变A的列向量组的线性关系。

3 个数大于维数的向量组必线性相关；特别有，n+1个n维向量必线性相关。 4 设向量组?1,?2,?,?s中任一向量都可由向量?1,?2,?,?t线性表示。那么，如果s?t，则向量组?1,?2,?,?s必线性相关。

等价陈述即其逆否命题为：设向量组?1,?2,?,?s中任一向量都可由向量?1,?2,?,?t线性表示。那么，如果向量组?1,?2,?,?s线性无关，则必有s?t。

推论1：向量组T的极大无关组中所含向量个数被T所唯一确定。即T的任意两个极大无关组中所含向量个数相等。

推论2：设向量组（Ⅰ）中任一向量都可由（Ⅱ）中向量线性表示，则R(Ⅰ)? R(Ⅱ)。 推论3：等价的向量组的秩数相等。

5 对任意矩阵A均有，行秩A=列秩A =R（A）。

6 设A为n阶方阵，则下述条件等价：

（1）A为可逆矩阵：

（2） A?0；

（3）R(A)?n：

（5）行秩A=列秩A=n

（6）A的列向量组线性无关；

（7）A的行向量组线性无关；

例 题

一 计算题

?1??1??0??2???1???????????121?12 1 求向量组??,??,??,??,??的秩，一个极大无关组以及把其余向量表成极?2??3??1??1??1???0????1????1?????3????3????????????

大无关组的线性组合。

?1??3??9??0??a??b????????????? 2 已知向量组?1??2?,?2??0?,?3??6?与?1??1?,?2??2?,?3??1?有

??3??1???7???1??1??0?????????????

相同的秩，且?3可由?1,?2,?3线性表示，求a,b的值。

二 单项选择题

1设n维向量组（Ⅰ）：（Ⅱ）：?1?,2?,3?,4?1,??与向量组2,3的秩均为3，向量组（Ⅲ）：?1?,2?,3?,5的秩为4，则向量组?1,?2,?3,?5??4的秩为

（A） 2， （B） 3， （C） 4， （D） 5。

2设?1,?2,?,?s与?1,?2,?,?t是两个n维向量组，且秩(?1,?2,?,?s)=秩(?1,?2,?,?t)?r，则

（A） 两个向量组等价；

（B） 秩(?1,?2,?,?s,?1,?2,?,?t)?r；

（C） 当?1,?2,?,?s可由?1,?2,?,?t线性表示时，?1,?2,?,?t也可由?1,?2,?,?s线性表示；

（D） 当s?t时，两个向量组等价。

三 证明题

1设T是一个向量组，?1,?2,?,?r?T，且?1,?2,?,?r线性无关，证明下述两条件等价：

（1）T中任一向量都可由?1,?2,?,?r线性表示；

（2）T中任何r?1向量都线性相关。

2 设向量组T的秩为r，?1,?2,?,?r?T，证明若?1,?2,?,?r线性无关，则?1,?2,?,?r为T的一个极大无关组。

3 设向量组T的秩为r，证明若T中任何向量都可由?1,?2,?,?r?1,?2,?,?r?T，

线性表示，则?1,?2,?,?r为T的一个极大无关组。

4设向量???1??2????s(s?1)，而?1????1，?2????2,?,

证明：秩(?1,?2,?,?s)=秩(?1,?2,?,?s)；

5 举例说明两个向量组的秩相等时这两个向量组未必等价。但若秩相等且其中一个向量组中的任何向量都可由另一个向量组中的向量线性表示，则这两个向量组等价。 ?s????s，

?11?1???121?，B为3?3矩阵，且AB?0，证明B的列向量组线性相关。 6 设A???230???0?1?2????

作 业

1设向量组?1,?2,?,?s的秩为r，其中 s?1,r?0，则

（A） 必有r?s；

（B） 向量组?1,?2,?,?s中任意个数小于r的部分向量组必线性相关；

（C） 向量组?1,?2,?,?s中任意r个向量必线性无关；

（D） 向量组?1,?2,?,?s中任意r+1个向量必线性相关。

2 设向量组?1,?2,?,?s中任一向量都可由向量?1,?2,?,?t线性表示。则下列结论正确的是

（A） 当s?t时向量组?1,?2,?,?s线性相关；

（B） 当s?t时向量组?1,?2,?,?s线性相关；

（C） 当s?t时向量组?1,?2,?,?t线性相关；

（D） 当s?t时向量组?1,?2,?,?t线性相关。

3设A为m?n矩阵，且R(A)?m，则

（A） A的行向量组与列向量组都线性无关；

（B） A的行向量组线性无关，列向量组线性相关；

（C） 当m?n时，A的行向量组线性无关，列向量组线性相关；

（D） 当m?n时，A的行向量组与列向量组都线性无关。

?1??1??2??2??2???????????20?1124 求向量组??,??,??,??,??的秩，一个极大无关组以及把其余向量表成极大?1??3??0???2??4???2????1????1????2????3????????????

无关组的线性组合。

?1???1??3???2?????????1?32?,????6? 5 设有向量组?1???,?2???,?3???1??5???1?4?10??????3???1???p?2???p??????????

?4???1?? （1）p为何值时该向量组线性无关？并在此时将向量??用?1,?2,?3,?4线性表?6???10????

示；

（2）p为何值时该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大无关组。 6 设T是一个向量组，?1,?2,?,?m?T，若T中任何向量都可由?1,?2,?,?r唯一线性表示，证明?1,?2,?,?r为T的一个极大无关组。

7 设n维向量组（Ⅰ）：?1,?2,?,?s，的秩为r1，向量组（Ⅱ）：?1,?2,?,?t的秩为r2，向量组（Ⅲ）：?1,?2,?,?s，?1,?2,?,?t的秩为r3，证明下列结论：

（1）若向量组（Ⅰ）可由（Ⅱ）线性表示，则r2=r3；

（2）若向量组（Ⅱ）可由（Ⅰ）线性表示，则r1=r3；

（3）若r2=r3，则r1?r2；

（4）若r1=r3，则r2?r1。 8 设向量组?1,?2,?,?m的秩为r，证明向量组?1,?2,?,?m,?的秩仍为r的充分必要条件是?可由?1,?2,?,?m线性表示。

范文四：[新版]向量组的等价及向量组的秩

向量组的等价及向量组的秩 一 基本概念

1 设是由若干个维向量构成的集合，向量，若有T,,,,,,？,Tn12r

(1)线性无关; ,,,,,,？12r

(2)中任一向量都可由线性表示。 T,,,,,,？12r

那么，则称是T的一个极大无关组。称为T的秩数，若T无极大无关组，即,,,,,,？r12r

T不含非零向量时，称T的秩数为0。T的秩数记为。 RT()

2设有维向量组?:与维向量组?:。如果?中任一向,,,,,,？,,,,,,？nn12s12t量都可由?中向量线性表示，反之?中任一向量都可由?中向量线性表示，那么则称向量组?与?等价。

AAAA的行向量组的秩数称为的行秩数;的列向量组的秩数称为的列秩数。3 矩阵

AAAA的行秩数记为行秩;的列秩数记为列秩。 二 主要结论

1 简化行阶梯形矩阵的性质

(1)主列构成的向量组线性无关;

(2)每一非主列均可由前面的主列线性表示;从而若有非主列，则其列向量组必线性相关。

(3)主列构成的向量组即为列向量组的一个极大无关组;从而列秩数等于主列的个数。

AA2 对矩阵进行行的初等变换不改变的列向量组的线性关系。

3 个数大于维数的向量组必线性相关;特别有，+1个维向量必线性相关。nn

,,,,,,？,,,,,,？4 设向量组中任一向量都可由向量线性表示。那么，如果12s12t

,,,,,,？，则向量组必线性相关。 st,12s

,,,,,,？,,,,,,？ 等价陈述即其逆否命题为:设向量组中任一向量都可由向量12s12t

st,,,,,,,？线性表示。那么，如果向量组线性无关，则必有。 12s

TTT 推论1:向量组的极大无关组中所含向量个数被所唯一确定。即的任意两个极大无关组中所含向量个数相等。

推论2:设向量组(?)中任一向量都可由(?)中向量线性表示，则(?) (?)。RR,

推论3:等价的向量组的秩数相等。

5 对任意矩阵均有，行秩=列秩 =()。 AAARA

6 设为n阶方阵，则下述条件等价: A

(1)为可逆矩阵: A

(2) ; A,0

(3): RAn(),

(5)行秩=列秩= AAn

(6)的列向量组线性无关; A

(7)A的行向量组线性无关;

例 题

一 计算题

11021,,,,,,,,,,,

,,,,,,,,,,12112,,,,,,,,,,, 1 求向量组的秩，一个极大无关组以及把其余向量表成极,,,,,,,,,,,,,,23111

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,01133,,,,,,,,,,,

线性组合。大无关组的

1390ab,,,,,,,,,,,,

,,,,,,,,,,,,,,,,,,2,0,6,,,,,,1,2,1 2 已知向量组与有123123,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,317,110,,,,,,,,,,,,

相同的秩，且可由,,,,,线性表示，求的值。 ,ab,3123

二 单项选择题

,,,,,,,,,,,,1设维向量组(?):与向量组(?):的秩均为3，向量组(?):n1234123

,,,,,,,,,,,,,,,,的秩为4，则向量组的秩为 123512354

CABD() 2， () 3， () 4， () 5。

,,,,,,？,,,,,,？(,,,),,,？n2设与是两个维向量组，且秩=秩12s12s12t

(,,,),,,？,r，则 12t

A() 两个向量组等价;

B(,,,,,,,),,,,,,？？,r() 秩; 1212st

C() 当可由线性表示时，也可由,,,,,,？,,,,,,？,,,,,,？12s12t12t

线性表示; ,,,,,,？12s

() 当时，两个向量组等价。 Dst,

三 证明题

1设是一个向量组，，且线性无关，证明下述两条件等T,,,,,,？,T,,,,,,？12r12r

价:

(1)中任一向量都可由线性表示; T,,,,,,？12r

(2)中任何向量都线性相关。 Tr，1

2 设向量组T的秩为，，证明若线性无关，则,,,,,,？,T,,,,,,？r12r12r

为T的一个极大无关组。 ,,,,,,？12r

3 设向量组TT的秩为，，证明若中任何向量都可由,,,,,,？,T,,,,,,？r12r12r

T线性表示，则为的一个极大无关组。 ,,,,,,？12r

4设向量，而，，,,,,,，，，,？(1)s,,,,,,,,,,,,？,,,,,12s1122ss证明:秩=秩; (,,,),,,？(,,,),,,？12s12s

5 举例说明两个向量组的秩相等时这两个向量组未必等价。但若秩相等且其中一个向量组中的任何向量都可由另一个向量组中的向量线性表示，则这两个向量组等价。

111,,,

,,121,,33，AB,0BB6 设，为矩阵，且，证明的列向量组线性相关。A,,,230

,,,,012,,,,

作 业

,,,,,,？ 1设向量组的秩为，其中 sr,,1,0，则 r12s

Ars,() 必有;

B,,,,,,？() 向量组中任意个数小于的部分向量组必线性相关;r12s

C,,,,,,？() 向量组中任意个向量必线性无关; r12s

() 向量组中任意+1个向量必线性相关。 D,,,,,,？r12s

2 设向量组中任一向量都可由向量线性表示。则下列结论正,,,,,,？,,,,,,？12s12t

确的是

() 当时向量组线性相关; A,,,,,,？st,12s

() 当时向量组线性相关; B,,,,,,？st,12s

C() 当时向量组线性相关; ,,,,,,？st,12t

() 当时向量组线性相关。 D,,,,,,？st,12t

3设A为矩阵，且，则 mn，RAm(),

(A) A的行向量组与列向量组都线性无关; (BA) 的行向量组线性无关，列向量组线性相关;

CA() 当时，的行向量组线性无关，列向量组线性相关;mn,

DA() 当时，的行向量组与列向量组都线性无关。 mn,

11222,,,,,,,,,,

,,,,,,,,,,20112,,,,,,,,,,, 求向量组4的秩，一个极大无关组以及把其余向量表成极大,,,,,,,,,,,,,,13024,

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,21123,,,,,,,,,,

无关组的线性组合。

1132,,,,,,,,,,

,,,,,,,,1326,,,,,,,,,,5 设有向量组 ,,,,,,,,,,,1234,,,,,,,,15110,

,,,,,,,,,,,,,,,,312pp，,,,,,,,,

4,,

,,1,,,,p,,,,,,, (1)为何值时该向量组线性无关,并在此时将向量用线性表1234,,6

,,,,10,,

示;

p(2)为何值时该向量组线性相关,并在此时求出它的秩和一个极大无关组。

TT,,,,,,？,T,,,,,,？6 设是一个向量组，，若中任何向量都可由唯一线12m12r

T,,,,,,？性表示，证明为的一个极大无关组。 12r

7 设维向量组(?):，的秩为，向量组(?):的秩为，,,,,,,？,,,,,,？rrn12s2112t

向量组(?):，的秩为，证明下列结论:,,,,,,？,,,,,,？r12s312t

(1)若向量组(?)可由(?)线性表示，则=; rr23

(2)若向量组(?)可由(?)线性表示，则=; rr31

(3)若=，则; rrrr,2312

(4)若=，则。 rrr,r3211

8 设向量组的秩为，证明向量组的秩仍为的充分必要,,,,,,？,,,,,,,,？rr12m12m条件是可由线性表示。 ,,,,,,？,12m

范文五：关于矩阵的等价与向量组的等价

２００８年１２月韶关学院学报?自然科学Ｄｅｃ．２００８

关于矩阵的等价与向量组的等价

曹青春，冯秀芹

（肇庆学院数学系，广东肇庆５２６０６１）

摘要：证明了数域，上的两个ｍｘｎ矩阵Ａ与Ｂ行（列）等价当且仅当它们的行（列）向量组等价．同时，还得到了一些有用的推论．

关键词：矩阵；初等变换；等价；秩中图分类号：０１５１

文献标识码：Ａ

文章编号：１００７—５３４８（２００８）１２—００２５—０３

无论是在线性方程组的讨论中，还是在向量空间的理论中，向量组之间的线性关系（包括等价性）都起着基本而重要的作用【１－３］．在本文里，引入了两个矩阵行等价和列等价的概念，揭示它们与向量组的等价之

间的密切联系．同时，还将得到关于矩阵的一些推论．

定义１［１】设Ａ，曰为数域Ｆ上的ｍｘｎ矩阵，如果Ａ可经过一系列的初等行（列）变换化为Ｂ，则称Ａ与Ｂ行（列）等价．

定义２Ｅ１］设ａ，，啦，…，瓯与卢。，／３５，…，忍是ｒｔ，维行向量空间Ｆ５的两个向量组，如果它们能够互相线性表示，则称ｏｔｌ，（９／２，…，儡与ＪＢｌ，岛，…，危等价．

为节省篇幅，在下面的讨论中本文将不加指明地引用文献［１］中的有关概念和结论．定理１证明

设Ａ，Ｂ数域Ｆ上的ｍ×ｔｚｌ矩阵，则矩阵Ａ与召行等价当且仅当Ａ与曰的行向量组等价．

设Ａ的行向量组为仪。，Ｏｒ５，…，ｄ。，而Ｂ的行向量组为卢。，／３：，…，风用分块矩阵来表示即为：

ｄ』

岱ｌ

．曰＝

Ａ＝

嘞

●●●

岛

ａ。』ｌ口。

如果矩阵Ａ与召是行等价的，则存在一个ｍ阶叮逆矩阵ｇ＝（ｇ＃）ｍｘｍ使得Ｂ＝必．于是，利用分块矩阵

的乘法规则，可得：

Ｂ－－ｑｆｌｃｘｌ＋ｑａ‘ｘ２＋…＋ｑ—％．，ｉ＝１，２，…，ｍ．

所以，向量组／３，，＆，…，凤可由向量组ａ，，“：，…，％线性表示．同理，由于Ａ＝Ｑ—Ｂ，这就意味着向量组０ｃ，，

０ｃ：，…，仅。也可由向量组ＪＢ。，伤，…，卢。线性表示．因此，矩阵Ａ与Ｂ的行向量组等价．

反之，假定Ａ与Ｂ的行向量组等价，则秩㈣，毗，…，嘲＝秩够，，＆，…，剐，令它们共同的秩为ｒ．如果ｒ＝０

则Ａ＝Ｂ＝０，显然有矩阵Ａ与Ｂ是行等价的．下面假定ｒ＞Ｏ且Ｏｔ¨ａ¨…，％是ａ。，０ｃ：，…，‰的极大线性无关

组屈．，成，…，孱，是ＪＢ，，压，…，／３．的极大线性无关组，则ａ和ａ‘，…，ａ‘与／３，。％／３，…，／３，等价．于是，存在一个ｒ

阶矩Ｉ阵使得：

收稿日期：２００８—０７＿２８

基金项目：肇庆学院教学研究项目（０２１０７３）

作者简介：曹青春（１９５７一），女，河南新乡人，肇庆学院数学系讲师，主要从事代数方面的研究

届ｉ．屈：

●●●

０ｃｆ．

＝ｃｒ。

吣

●●●

Ｂｉ一％

这时，ｃ０是生成子空间１隈￡（哦，％，…，吣）中由基吒，ｑ：，…，嘎到基危属：，…礁的过渡矩阵，因而是可逆的．

当ｒ：ｍ时，注意到上面的ｉ，，如，…，０可分别取为ｌ，２，…，ｍ，因而（１）式和Ｃ。的可逆性表明，矩阵Ａ与Ｂ是行等价的．

当ｒ＜ｒｒｚ－时，对Ａ作适当的初等行变换（通过行的交换），可使得：

仪１

ｄｉ．

％

●●●

吒

●＇＇

Ａ＝Ｊ

ｑ吣

仪“

●●●

甜１．

～ｌｏ★ｌ

ａ。

∞．

又因为每个吒，可由ｄ“，“妒…，吣线性表示：理＆＝也１０［ｉ；＋ｄｋ２ｃｘ‘＋…＋如ｐ，＜五ｓｍ所以将Ａ，的前，行的适当倍

数分别加到后面的１７１，一ｒ行，可使得它们全部变为零．对于矩阵曰，亦作同样的处理．因此，可以证明存在ｍ阶可逆矩阵ｕ和秽使得：

ｊＱｉ，

ａ‘

慨慨

（２）

ＵＡ＝Ｉ“ｔ，ＶＢ２ｉ＆

０

｜０

｜Ｏ

０

同时，由（１）式可得到：

卢ｆ．８ｉ｜

●●●

气吣

～

反

０

●●●

：［々￡，ｌ

（３）

啦０｜；

Ｏ

Ｏ

其中，ｋ为ｍ—ｒ阶的单位矩阵．进一步，由（２）、（３）两式可得：

Ｉ屈。

ａｆｌ

慨

ａＬ：

●●●

曰＝Ｖ。１Ｉ展

０

妒?［？

ｏ艮

理ｉ

妒恬ＥＯ…］ＵＡ．

０

●●●

０

Ｏ

取：

ｆｃｒ。０１

剐。【０Ｅ—Ｐ

则Ｔ为一个ｍ阶可逆矩阵，且Ｂ＝硒，从而Ａ与Ｂ行等价．定理１证毕．

利用转置矩阵的知识，由定理１可得下面的定理２．

定理２设Ａ，Ｂ为数域Ｆ上的ｍＸｌｔ矩阵，则矩阵Ａ与Ｂ列等价当且仅当Ａ与Ｂ的列向量组等价．由定理１和定理２，还可得到如下一系列推论．推论１证明

若ｎ阶方阵Ａ，Ｅ以ｙ满足Ａ＝明且曰＝Ｍ，则必存在一个ｎ阶可逆矩阵丁，使得Ｂ＝烈．

由条件Ａ＝ＵＢ和日＝蹦知，Ａ与Ｂ的行向量组是等价的．所以推论１由定理１得证．

推论２设Ａ，Ｂ分别为数域Ｆ上的ｍＸｍ和１ＴＬＸｎ矩阵，若秩（ＡＢ）＝秩（日），则对于任意ｒｔＸ￥矩阵Ｃ，有秩（ＡＢＣ）＝秩（ＢＣ）．

证明

。

设Ｂ的行向量组为卢。，卢：，…，卢。，而ＡＢ的行向量组为ｙ。，ｙ：，…，‰．由分块矩阵的乘法规则可

知．乘积ＡＢ的每个行向量都是Ｂ的行向量组的线性组合：

ｙＦ忌ｉ１

ｆｌｌ＋ｋ‘卢２＋…十尼￡。卢。，ｉ＝ｌ，２，…，ｍ．

所以，￡（＂，ｙ：，…，‰）∈￡够。，岛，…，风）．这样，再由秩似曰）＝秩（曰）可知，￡（ｙｔ，饮，…，‰）＝￡∞?，岛，…，风）．

从而可得，ＡＢ的行向量组与Ｂ的行向量组等价．再由定理ｌ得，矩阵ＡＢ与Ｂ行等价，于是，存在一个ｍ阶可逆矩阵Ｐ使得ＰＡＢ＝丑因此，对于任意ｍＸｓ矩阵Ｃ，有ＰＡＢＣ＝ＢＣ，进而有秩（ＡＢＣ）＝秩（ＰＡＢＣ）＝秩（ＢＣ）。

推论３设Ａ，Ｂ分别为数域Ｆ上的ｒｒｔｘｎ和ｒｉ，Ｘｌｚ矩阵，若秩（ＡＢ）＝秩似）则存在一个ｎ阶可逆矩阵Ｃ，使得ＡＣ＝ＡＢ．

证明

由分块矩阵的乘法规则可知，乘积ＡＢ的每个列向量都是Ａ的列向量组的线性组合，类似于推

论２的证明（应用定理２）易知，Ａ的列向量组与的ＡＢ列向量组等价．所以，存在一个ｎ阶可逆矩阵Ｃ，使得

ＡＣ＝ＡＢ．

由定理ｌ和定理２，可将所含向量个数相同的两个凡维行（列）向量组的等价问题转化为“同型”的两个矩阵的行（列）等价问题．其实，当两个ｎ维行（列）向量组中所含向量的个数不等时，这种转化仍然是有效

的．例如，设０１．１，０１２，…，Ｏｔ。与．；Ｂ。，卢２，…，展是丽组坨维行向量，且ｔ＜ｍ．令卢ｌ＋１印。＋２＝…嘏ｌ－Ｏ，则ｄｌ，ＯＬ２，…，ｄ。与

局，侥，…，／３，等价当且仅当ａ。，“：，…，‰与卢。，＆，…，屈，卢州，…，熊等价．这样，可将两向量组中所含向量个数

不等的情形转化为相等的情形．因此，本文中的定理１和定理２具有普遍的意义．

（下转第７８页）

Ｅｘｐｌｏｒｅｂｙ

ａ

ｏｎ

ＥＳＷＬｔｒｅａｔｍｅｎｔ

ｏｆｕｒｅｔｈｒａｌｃａｌｃｕｌｉ

ｗａｔｅｒｂａｌｌｏｏｎ－ａｓｓｉｓｔｅｄｐｏｓｉｔｉｏｎｉｎｇ

ｅｑｕｉｐｍｅｎｔ

ＬＩＴａｉ—ｃｈｕｎ，ＬＡＮＨａｎ－ｒｏｎｇ，ＬＥＩＺｈｉ－ｆｅｎｇ

（ＣｒｕｓｈｅｄＳｔｏｎｅｓｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ，ＳｈａｏｇｕａｎＲａｉｌｗａｙＨｏｓｐｉｔａｌ，Ｓｈａｏｇｕａｎ５１２０２３，Ｇｕａｎｇｄｏｎｇ，Ｃｈｉｎａ）

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅａｕｔｈｏｒｈａｓｄｅｖｅｌｏｐｅｄ

ｏｎ

ａ

ｗａｔｅｒ

ｂａｌｌｏｏｎ－ａｓｓｉｓｔｅｄｐｏｓｉｔｉｏｎｉｎｇｅｑｕｉｐｍｅｎｔ．Ｉｔｈａｓｂｅｅｎｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｅｄｂｒｅａｋｔｈｅ

ｕｓｅ

７５ｍａｒｒｉｅｄａｎｄ

ｃａｓｅｓ

ｃｈｉｌｄ—ｂｏｒｎｍｅｎ，ａｎｄ

ｉｔ

ｃａｎｓｔｏｎｅ

ｗｉｔｈｔｈｅｅｘｔｒａｃｏｒｐｏｒｅａｌｓｈｏｃｋｗａｖｅ．Ａｓ

ａ

ｒｅｓｕｌｔ，

ａｎ７５

ｗｅｒｅ

ｓａｔｉｓｆｉｅｄｗｉｔｈｔｈｉｓｔｒｅａｔｍｅｎｔ．Ｔｈｅ

ｏｆｔｈｅｂａＵｏｏｎ—ａｓｓｉｓｔｅｄｐｏｓｉｔｉｏｎｉｎｇｅｑｕｉｐｍｅｎｔｔｏｔｒｅａｔ

ｃａｎ

ｍａｌｅｕｒｅｔｈｒａｌｓｔｏｎｅｗｉｔｈｔｈｅｅｘｔｒａｃｏｒｐｏｒｅａｌｓｈｏｃｋｗａｖｅｉｓｒｅａｌｌｙｇｒｅａｔ．Ｔｈｅｐａｔｉｅｎｔｓｐａｉｎｓ，ａｎｄｗｈｏｌｅｐｒｏｃｅｓｓｉｓｑｕｉｔｅ

ａ

ｂｅｔｒｅａｔｅｄｗｉｔｈｏｕｔａｎｙ

ｓｉｍｐｌｅ．Ｗｈａｔ’ｓ

ｍｏｒｅ，ｔｈｅｒｅｗｉｌｌ

ｎｏｔ

ｂｅａｎｙｐｌｉｃａｔｉｏｎｓａｆｔｅｒｓｕｒｇｅｒｙ．Ｔｈｉｓｉｓ

．

ｇｏｏｄｍｅｔｈｏｄｆｏｒｔｈｅｔｒｅａｔｍｅｎｔｏｆｍａｌｅｕｒｅｔｈｒａｃａｌｃｕｌｉ．

ｗａｖｅ

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｅｘｔｒａｃｏｒｐｏｒｅａｌｓｈｏｃｋｔｈｒａｌｃａｌｃｕｌｉ

ｌｉｔｈｏｔｒｉｐｓｙｃｙｓｔｉｃ；ａ

ｗａｔｅｒ

ｂａｌｌｏｏｎ—。ａｓｓｉｓｔｅｄｐｏｓｉｔｉｏｎｉｎｇｅｑｕｉｐｍｅｎｔ；ｕｒｅ‘

（ＥＤ．：Ｘ，Ｊ）

坐★＊女坐啦妇％＿女螺女女业女女蛳女女＊ｔ女蛳％业啦坐女＊誓＊★ｔ女＊妊坐女★啦＊蛳业女啦妇ｔ＊坐女＊坐业蛳蛳幽

（上接第２７页）

参考文献：

【１］北京大学数学力学系．高等代数（第二版）【Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９７８．［２］谢永东．判定向量维等价性的一个充分条件［Ｊ］．工科数学，１９９７，１３（２）：１５０－１５１．［３］宋福民，万福令。关于两列岛量组等侩的一些注ｉｇ［ｊＪ．工科数学，１９９８，１４（３）：１４４—１４６Ｔ

Ｏｎｔｈｅｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅｏｆｍａｔｒｉｃｅｓａｎｄｖｅｃｔｏｒｓｅｔｓ

ＣＡＯ

Ｑｉｎｇ－ｃｈｕｎ，ＦＥＮＧ

ｍａｔｒｉｃｅｓ

ａｎｄ

Ｘｉｕ－ｑｉｎ

（ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ＺｈａｏｑｉｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｚｈａｏｑｉｎｇ

ａｒｅ

５２６０６１，Ｇｕａｎｇｄｏｎｇ，Ｃｈｉｎａ）

ｃｏｌｕｍｎｓ（ｒＯＷＳ）ｉｆ

ａｒｅ

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｉｔｉｓｐｒｏｖｅｄｔｈａｔｔｗｏｏｎｌｙｉｆｔｈｅｉｒｃｏｌｕｍｎ

ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔｒｅｌａｔｉｖｅｔｏ

ａｎｄ

ｒｏｗｓ）ｖｅｃｔｏｒ

ｓｅｔｓａｒｅ

ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ．Ｉｎａｄｄｉｔｉｏｎ，ｓｏｍｅｉｎｔｅｒｅｓｔｅｄｃｏｒｏｌｌａｒｉｅｓ

ｏｂｔａｉｎｅｄ．

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｍａｔｒｉｘ；ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ；ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ；ｒａｎｋ

（ＥＤ．：Ｘ，Ｊ）

关于矩阵的等价与向量组的等价

作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：

曹青春， 冯秀芹， CAO Qing-chun， FENG Xiu-qin肇庆学院数学系,广东肇庆,526061韶关学院学报

JOURNAL OF SHAOGUAN UNIVERSITY2008，29(12)1次

参考文献(3条)

1.宋福民;万福令 关于两列向量组等价的一些注记 1998(03)2.谢永东 判定向量组等价性的一个充分条件 1997(02)3.北京大学数学力学系 高等代数 1978

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