利用MATLAB图形技术实现

范文一：利用MATLAB图形技术实现麦克斯韦速度分布律教学可视化

第 5 期

第 14 卷第 5 期 Vo1.14,NO.5 黄山学院学报 Journal of Huangshan University 年月 Oct.2012 2012 10

利用 MATLAB图形技术实现

麦克斯韦速度分布律教学可视化

叶剑锋

,黄山学院信息工程学院，安徽黄山 245041,

摘要 ,麦克斯韦分布律是热学气体分子动理论的难点，其数学表达式抽象复杂，教学中不便精确计

算

和准确绘制分布曲线面。利用 MATLAB绘图功能，对麦氏分布率编程，绘制了同一温度下不同气体、同种气

体在不同温度下的分布曲线面。 ,文献标识码 ,文章编号 ,中图分类号 O55,G642 A 1672-447X(2012)05-0105-04

关键词 ,MATLAB,麦克斯韦速度分布律

度区间内的分子数 ,为单个分子的质量 ,为玻麦克斯韦速度 ,速率 ,分布律是热学气体动 m k

理尔

论教学中的很重要的内容，是研究气体分子热兹曼常数 ,T为气体处于平衡态时的热力学温度。

当只考虑速度的大小而不考虑速度的方向时，运动、气体分子碰撞及其气体输运过程的理论依

速度分布率蜕化为速率分布律，可表述为 ,据。但其速度分布函数和速率分布函数分别是速

在平衡状态下，当气体分子间的相互作用可度分量的三元高斯函数和速率的一元高斯函数

以忽略时，分布在任意速率区间 v-v+dv 内的分子数与速率的二次函数的乘积，函数关系比较复杂。

2 2 2 比而且随着不同的气体及所处平衡态温度的变化， 3/2 -m(v+v+v) x y z /2k dN m 2 =4π( )eTdvdv=f(v)dv,2, 率为速度、速率分布的精确计算和分布曲面、曲线的精 N 2πkT

,1,，2,,两式中确绘制变得比较繁杂而不易操作。以往的热学教学

f(v，v，v)=f(v)f(v)f(v)中教师往往 xyz x y z 2 2 2 都代之以草图，降低了科学性。本文用 MATLAB 绘 3/2 -m(v+v+v)x y z /2k m e T ,3, )=( 2πkT 图和模拟能力用于麦克斯韦速度 ,速率 ,分布函 2 2 23/2 -m(v+v+v) x y z /2k 数 m 2麦克斯韦速度 ,速率,分布律f(v)=4π( ,4, 1 ) e Tv 2πkT 的教学和研究中，提高了教学效果。

分别称为麦克斯韦速度分布函数和速率分，当气麦克斯韦速度分布律是在平衡状态下布体函数，其物理意义分别表示分布在单位速度区间 [1] 。单位速率区间内的分子数比率分子间的相互作用可以忽略时,分布在速度区间或

v- v+dv，v-v+du，v-v+dv内的分子比率为 xxxyyyzzz 2 2 2 3/2 -m(v+v+v)x y z /2k基于的麦氏分布律的可视化2 MATLAB m dN e Tdvxdvydvz =( ) N 2πkT

不同气体在同一温度下的麦克斯韦速度分布律2.1 =f(v)f(v)f(v)dvdvdv,1, x y z x y z 利用编程模拟氢气、氮气、氧气和二MATLAB 其中为气体分子总数 ,为分布在上述 N dN 速

收稿日期 ,20123-22 -0

作者简介 ,叶剑锋 ,1981),，安徽休宁人，黄山学院信息工程学院助教，硕士，研究方向为核技术及应

用。

[2] 氧化碳在同一温度 ,,时的麦克斯韦速度分。想到四维情形 T=300K

布函数曲面，程序如下同一气体在不同温度下的麦克斯韦速度分布律:2.2

k=1.38e-23; 利用同样绘制出氢气在温度为MATLAB T=300; 300K、600K、900K、1200K 时的麦克斯韦速度分布函

for i=1:4 数曲面如图 2 所示，程序如下 ,

k=1.38e-23; m=[3.35e-27,4.648e-26,6.03e-26,7.37e-26];

m=3.35e27; -x=-1000:1:1000; y=-

1000:1:1000; for i=1:4 [xx,yy]=meshgrid(x,y); T=[300,600,900,1200]; ff=m(i)/(2*k*T).*exp(-m(i)*xx.^2/(2*k*T)).*exp(-m x1000:2:1000; y=-=-

(i)*yy.^2/(2*k*T)); 1000:2:1000; figure,meshc(xx,yy,ff); [xx,yy]=meshgrid(x,y); colormap(default); colorbar ff =m/(2*k*T (i)).*exp( -m*xx.^2/(2*k*T (i))).*exp( - ''

axis tight;title('f??v_{x},v_{y}??'),xlabel('v_{x}'), m*yy.^2/(2*k*T(i))); ylabel('v_{y}'),zlabel('fv_{x},v_{y}') end figure,meshc(xx,yy,ff);

colormap('default'); colorbar 图 1 只展示了 f(v，v,随速度分量 v，v变化的 x y x y

axis tight;title('f??v_{x},v_{y}??'),xlabel('v_{x}'), 曲面，完整速度分布函数 f,v，v，v,=f,v,f,v,f,v, yzyzx x

ylabel('v_{y}'),zlabel('fv_{x},v_{y }')应是个四维形式，即 f,v，v，v,随 3 个速率分量 v， yzx x

end v，v变化，但四维无法用坐标形式标出。同样可以 yz

虽然不同温度下的曲面形式不变，但是通过做出 f,v，v,f，,v，v,分，布面，利用速度分布函数 f zyzx

观察 f,v，v,轴可见相同的 v，v时， f, v，v,值会 yy yx x x ,v，v,随速度 v，v分量变化的三维情形即可以联 yy x x

随

着温度提升而增加。

第期 5 叶剑锋 ,利用 MATLAB 图形技术实现麦克斯韦速度分布律教学可视化 107??

图同一气体在不同温度下速度分布函数 2

不同气体同一温度下的麦克斯韦速率分布律hold on 2.3

麦克斯韦速率分布函数 f,v,是一个二维形 plot(v,f3)

hold on 式。图 3 为氢气、氮气、氧气和二氧化碳等 4 种气体

plot(v,f4) 在相同的温度 ,T=300K,时的麦克斯韦速度分布函

grid 数曲线，程序为 ,

legend(H_2',N_2',O_2',CO_2') ''''T=300; xlabel('v/(m/s)'),ylabel('f/(v)') k=1.38e23 -; 由图 3 可以清晰的看到由于分布函数满足归一 v=0:10:5000 ;

化结果，随着气体分子量的增大，其统计速率变 m1=3.35e-27;

化的趋势递减，速率分布的密度加重，其最可几 m2=4.648e-26;

速率减小。 m3=6.03e26; -

m4=7.37e-26; f1 =4pi (v.^2).* (m1(2*pik*T))^1.5.*exp (m1* (v. **/*-

^2)/(2*k*T)) f2 =4*pi* (v.^2).* (m2/(2*pi*k*T))^1.5.*exp (-m2* (v.

^2)/(2*k*T)) f3 =4*pi* (v.^2).* (m3/(2*pi*k*T))^1.5.*exp (m3* (v. -

^2)/(2*k*T)) f4 =4*pi* (v.^2).* (m4/(2*pi*k*T))^1.5.*exp (-m4* (v.

^2)(2*k*T)) / plot(v,f1)

hold on 图 3 同一温度下不同气体的速率分布函数 plot(v,f2) 同一气体在不同温度下的麦克斯韦速率分布律2.4

同一气体氢气在不同温度 ,、、300K600K900K 1200K, 时的麦克斯韦速度分布函数曲线如图 4 所示，程序为 , m=3.35e-27;

k=1.38e-23 ;

v=0:10:8000 ; T1=300 T2=600 图 4 同一气体在不同温度下速率分布函数 T3=900 T4=1200; 结束语3 f1 =4*pi* (v.^2).* (m/(2*pi*k*T1))^1.5.*exp (-m* (v.^2)

/(2*k*T1)) 结合编程绘图功能，讨论了同种气MATLAB f2 =4*pi* (v.^2).* (m/(2*pi*k*T2))^1.5.*exp (-m* (v.^2) 体在不同温度下及其不同气体在同一温度下的

/(2*k*T2)) 麦克斯韦速度 ,速率 ,的可视化，能够使抽象的麦

f3 =4*pi* (v.^2).* (m/(2*pi*k*T3))^1.5.*exp (-m* (v.^2) 克斯韦速度 ,速率 ,分布规律，变得具体、形象、生

/(2*k*T3)) 动，易于让学生掌握速率分布曲线具体内容 ,MATLAB 为 f4 =4*pi* (v.^2).* (m/(2*pi*k*T4))^1.5.*exp (-m* (v.^2) [4] 热学教学提供了简捷直观的途径，便于学习者对物理的原理、概念、公式和图像作深入了解。 /(2*k*T4))

于 plot(v,f1,v,f2,v,f3,vf4,) 参考文献 , hold on [1]秦允豪.热学[M].北京:高等教育出版社,2004,58-63. grid [2]彭芳麟.数学物理方程的 MATLAB解法与可视化 [M].北京 :

清华大学出版社,2004:85-153. legend('300K','600K','900K','1200K')

[3]王向贤,朱浩瑞.基于 MATALB的麦克斯韦速率分布函数的 xlabel('v/(m/s)'),ylabel('f/(v)') 数字化教学[J].宜春学院学报，2011,33(4):17-19. 图 4 清晰显示，随着温度的上升，氢气的最 [4]王明美.MATALB在麦克斯韦速率分布律教学中的应用 [J]. 可合肥师范学院学报,2010,28(6):40-42. 几速率增加，在归一化条件的约束下，其速度变 [3] 责任编辑 ,胡德明趋势增加。

化

Simulation of the Maxwell-Boltzmann Distribution LawTechnology by MATLAB

Ye Jianfeng

(School of Information Engineering，Huangshan University，Huangshan24504，1China)

Abstract: Maxwell-Boltzmann distribution law is a tough nut in gas movement theory. the A s equat ion form is rather complicated, it's inconvenient to make accurate accounting or draw distribution a curve o r surface precisely in teaching. Through using the drawing function of MATLAB, the distribution curve o r surface can be drawn in different gasesin the same temperature the or same gas in different te mperatures.

eywords: MATLAB; MaxweBoltzmann distributionlaw Kll-

范文二：统计分布律

第三章气体分子热运动速率和能量的统计分布律

3-1 设有一群粒子按速率分布如下：

试求(1)平均速率V ；（2）方均根速率V 解：（1）平均速率：

V =

2?1. 00+4?2. 00+6?3. 00+8?4. 00+2?5. 00

?3. 18(m/s)

2+4+6+8+2

（3）最可几速率Vp

(2) 方均根速率

∑N i V i 2

?3. 37(m/s)

∑N i

3-2 计算300K 时，氧分子的最可几速率、平均速率和方均根速率。

解：V P =

8RT

2RT

2?8. 31?300

=395m /s

32?10-3

V =

πμ

8?8. 31?300

=446m /s -3

3. 14?32?10=

3?8. 31?300

=483m /s

32?10-3

3RT

3-3 计算氧分子的最可几速率，设氧气的温度为100K 、1000K 和10000K 。

解：V P =

2RT

代入数据则分别为：

T=100K时 V P =2. 28?102m /s T=1000K时 V P =7. 21?102m /s T=10000K时 V P =2. 28?103m /s

3-4 某种气体分子在温度T 1时的方均根速率等于温度T 2时的平均速率，求T 2/T1。

解：因V

3RT

V =

8RT 2

πμ

由题意得：

3RT

8RT 2

μπμ

∴T 2/T1=

3π

3-5 求0℃时1.0cm 3氮气中速率在500m/s到501m/s之间的分子数（在计算中可

将dv 近似地取为△v=1m/s）

解：设1.0cm 3氮气中分子数为N ，速率在500~501m/s之间内的分子数为△N ，

由麦氏速率分布律：

-V 2m 22KT

△ N=N ?4π() e ?V 2??V

2πKT

2KT

∵ Vp2= ，代入上式

m △N=

-1

V ρ?2e V p

V 2

V p

因500到501相差很小，故在该速率区间取分子速率V =500m/s，又V P =

2?8. 31?273

?402m /s △V=1m/s -3

28?10

（）代入计算得：△N=1.86×10－3N 个 v p

3-6 设氮气的温度为300℃，求速率在3000m/s到3010m/s之间的分子数△N 1

与速率在1500m/s到1510m/s之间的分子数△N 2之比。解：取分子速率为V 1=3000m/s V2=1500m/s, △V 1=△V 2=10m/s

由5题计算过程可得： △V 1=

-1p

V ?2e V p V ?2e V p

V 12

V p

?V 1

△N 2=

-1p

V 22

V p

?V 2

∴ △N/△N 2=

V 12-(V p ) () ?e V p (V 12

) e V p

-(V 12

) V p

V 1

其中V P =

2?8. 31?573

=2. 18?103m/s -3

2?10

v 1v 2

， =0.687

v p v p

?N 11. 3752?e -1. 375

∴ =?0. 969 2-0. 6872

?N 20. 687?e

解法2：若考虑△V 1=△V 2=10m/s比较大，可不用近似法，用积分法求△N 1，

△N 2

dN=

?V p -3e

-V 2

V P

2dV

V 2V 1

V 1

△N 1=?dN =?dN -?dN

V 2

△N 2=?dN =?dN -?dN

V 3

V 4V 4V 3

v i

令X i =、2、3、4利用16题结果:

v p

V i

dN =N [erf (x i ) -

x i e -x i

∴ △N 1=N [erf (x 2) -

x i e -x 2]-N [erf (x 1) -

x 1e -x 1] （1）

△N 2=N [erf (x 4) -

x 4e -x 4]-N [erf (x 3) -

x 3e -x 3] （２）

其中V P =

2RT

=2. 182?103m /s

x 1=

V 1V

=1. 375 x 2=2=1. 379 V P V P V 3V

=0. 687 x 4=4=0. 6722 V P V P

x 3=

查误差函数表得：

erf(x1)=0.9482 erf(x2)=0.9489 erf(x3)=0.6687 erf(x4)=0.6722

将数字代入（１）、（２）计算，再求得：

?N 1

=0. 703 ?N 2

3-7 试就下列几种情况，求气体分子数占总分子数的比率：（1）速率在区间v p ～1.0v p 1内（2）速度分量v x 在区间v p ～1.0v p 1内

（3）速度分量v p 、v p 、v p 同时在区间v p ～1.0v p 1内

解：设气体分子总数为N ，在三种情况下的分子数分别为△N 1、△N 2、△N 3 （1）由麦氏速率分布律： △ N=?dN =?dN -?dN

V 1

V 2

V 1

令v 2=1.01vp ，v i =vp ，x i =题结果可得；

v i v v

，则x 1=1=1，x 2=2=1. 01，利用16v p v p v p

22?N 122

=erf (x 2) -x 2e -x 2-erf (x 1) +x 1e -x 1 N 查误差函数表：erf （x 1）=0.8427 erf（x 2）=0.8468 ∴

?N 1

=0. 008 N

（2）由麦氏速率分布律：

dN x =

v e

-1p

2v x

v p

dv x

-(v x 2

) v p

∴?N 2=

1v -p ?e

v 2v p 0

v 2

dv x -

1v -p ?e

v 1

v x 2

) v p

dv x

v x 2v ) ]d (x ) v p v p

?N 21

=N ?

v v 1

exp[-(x ) 2]d (x ) -

v p v p ?

v 1

v p 0

exp[-(

令x =

v x v v

， x 1=1=1，x 2=2=1. 01 v p v p v p

?N 21∴=

N ?

x 2

-x 2

dx -

x 1

-x 2

?dx

利用误差函数：

erf (x ) =

e xp (-x 2) dx

?N 21

=[erf (x 2) -erf (x 1) N 2 1

=[0. 8468-0. 8427]=0. 21%2

（3）令x =

v x

，由麦氏速度分布律得： v p

22v x +v 2y +v z

dN 313

=v -p e N πv 2p

?dv x dv y dv z

3x 1-x 1?N 313x 2-x 2

=() [?e dx -?e dx ]

00N

?N 23=() =(0. 002) 3=0. 8?10-8

3-8根据麦克斯韦速率分布函数，计算足够多的点，以dN/dv为纵坐标，v 为横坐标，作1摩尔氧气在100K 和400K 时的分子速率分布曲线。解：由麦氏速率分布律得：

-v 2dN m

=4πN () 2e 2KT v 2 dv 2πKT

将π=3.14，N=NA =6.02×1023T=100K m=32×10-3代入上式得到常数：

m m

A=4πN A ( ) 2e B =

2KT 2πKT

∴

2dN

=Ae -BV ?V 2 （1） dv

为了避免麻烦和突出分析问题方法，我们只做如下讨论：

由麦氏速率分布律我们知道，单位速率区间分布的分子数随速率的变化，必然在最可几速率处取极大值，极大值为：令y =

2dN

=Ae -BV ?V 2则 dv

22dy

=A [e -BV ?2V +V 2?e -BV (-2BV )]=0 dv

得V =V P =

1 B

又在V=0时，y=0，V →∞时，y →0 又V P 1=

1=B 1

2KT 1

V P 2=m

=B 2

2KT 2

∵T 1=100Kp 2，通过小孔的分子数相当于和面积为A 的器壁碰撞的分子数。

从1跑到2的分子数：N 1=n 1V 1?A ?t

从2跑到1的分子数：N 2=n 22?A ?t

实际通过小孔的分子数：（从1转移到2）

?N =N 1-N 2=At (n 1V 1-n 2V 2)

4因t=1秒，n =T 1=T2=T

，V =KT

8RT

πμ

M =m ?n ==

P 218RT P

(1-4πμKT KT ) (P 1-P 2)

∴=

1μ

A 4RT

8RT

πμ

A (P 1-P 2)

2πRT

若P 2＞P 1，则M v 0时，粒子数为零）。（1）由N 和V 0求a 。

（2）求速率在1.5V 0到2.0V 0之间的分子数。（3）求分子的平均速率。

解：由图得分子的速率分布函数： Va

(0?V ?V 0) V 0N

(V 0?V ?2V 0) N

0 (V ?2V 0)

(1) ∵dN =Nf (V ) dv

N =

∴

∞

N f (V ) dV =

V 0

+V 0

V 0

adv

1a 3=V 02+aV 0=V 0a 2V 022N

3V 0

a =

(2) 速率在1.5V 0到2.0V 0之间的分子数

?N =

2V 0

1. 5V 0

Nf (V ) dV =?

2V 0

1. 5V

adV

=a (2V 0-1. 5V 0) 12N N =?V 0=23V 03

3-14 证明：麦克斯韦速率分布函数可以写作： dN

=F (x 2) dx 其中x =

v p =v p

x ?e

-x 2

2KT

F (x ) =

证明：

dN =Nf (v ) dv

-m

=4πN () 2e 2KT v 2dv

2πKT

mv 2

=4πN π==4N

3-2v 2v 2p

-3

p v 22p

v 2v p

v 2dv

?v d (

v ) v p

?e -x x 2dx

∴

2dN 4N

=?e -x ?x 2=F (x 2) dx

3-15设气体分子的总数为N ，试证明速度的x 分量大于某一给定值v x 的分子数

为：?N v x ∝∞=

[1-erf (x )] 2

（提示：速度的x 分量在0到∞之间的分子数为

） 2

证明：由于速度的x 分量在区间v x ～v x +dvx 内的分子数为：

dNv x =

v e

-1p

2v x

v p

?dv x

故在v x ～∞范围内的分子数为：

?N V x →∞==

∞

v x

dN v x

v x 0

∞

2v x

dN x -?dN v x

由题意：

dN v x ?

v x

dN v x =

v x

1v -p e

v p

?dv x

令x =

v x

v p

利用误差函数得：

v x

dN v x =

N 2?2?

e -x dx

erf (x ) 2N V x →∞==

N N -22erf (x )

∴

[1-erf (x )]2

3-16 设气体分子的总数为N ，试证明速率在0到任一给定值v 之间的分子数为：

?N 0→v =N [erf (x ) -

e -x ]

其中x =

，v p 为最可几速率。 v p

[提示：d (xe -x ) =e -x dx -2x 2e -x dx ] 证明：

?N 0→v =N ?f (v ) dv 0v

=N ?

=v 0-v 2m 4π() 2e 2KT v 2dv 2πKT 3m 4N 4N ??v 0v 3v -p e v 2

v 2p -v 2v p v 2dv v 2?dv v 2

p 0e -v -1p

令X =v ，则dv =v p dx v p

4N ∴?N 0→v =2?x 0e -x x 2dx 21-x 2[e dx -d (xe -x ) x ] 22由提示得：xe -x dx =

?N 0→v =4N ?x 21x -x 2[?e dx -?d (xe -x )]020∴ 2-x 2=N [erf (x ) -e ]

3-17 求速度分量v x 大于2 vp 的分子数占总分子数的比率。

解：设总分子数N ，速度分量v x 大于2 vp 的分子数由15题结果得：

N ?N 2v x ∝∞=[1-erf (x )] 2

其中x =2v p v ==2 v p v p

可直接查误差函数表得：erf （2）=0.9952

也可由误差函数：

erf（z ）=2z 3z 6z 9z ''[z -+--+??] 1! ?33! ?74! ?95! ?11将z=2代入计算得：

erf （2）=0.9752 ∴?N 2v p →∞

N =1-0. 9952=0. 24% 2

3-18 设气体分子的总数为N ，求速率大于某一给定值的分子数，设（1）v=vp

（2）v=2vp ，具体算出结果来。

解：（1）v=vp 时，速率大于v p 的分子数：

?N 1=N ?f (v ) dv =N [?f (v ) dv -?f (v ) dv ] v 00∞∞v

利用16题结果：

?N =N [1-erf (x ) +2

xe -x 2] 这里x =v =1 v p

∴?N 1=N [1-0. 8427+0. 41]=0. 57N

（2）v=2vp 时，x =v =2，则速率大于2v p 的分子数为： v p

2?2e -4]=0. 046N ?N 2=N [1-erf (2) +

3-19 求速率大于任一给定值v 的气体分子每秒与单位面积器壁的碰撞次数。

解：由18题结果可得单位体积中速率大于v 的分子数为：

n v →∞=n [1-erf (x ) +2

xe -x ],(n =2N ) V

在垂直x 轴向取器壁面积dA ，则速率大于v 能与dA 相碰的分子，其v x 仍在0～∞间，由《热学》P30例题，每秒与单位面积器壁碰撞的速率大于v 的分子数为：

?N ==?∞

0n v →∞f (v x ) v x dv x =1v n v →∞4

212=n v [1-erf (x ) +xe -x ]4 x =v v p

3-20 在图3-20所示的实验装置中，设铋蒸汽的温度为T=827K，转筒的直径为

D=10cm，转速为ω=200πl/s，试求铋原子Bi 和Bi 2分子的沉积点P ′到P

点（正对着狭缝s 3）的距离s ，设铋原子Bi 和Bi 2分子都以平均速率运动。

解：铋蒸汽通过s 3到达P ′处的时间为：

t =D 在此时间里R 转过的弧长为： v

1ωD 2

S =D ωt =22v

∵μBi =209 μBi 2=418 ∴S Bi =ωD 2

2v =ωD 2

2Bi

8RT

代入数据得： S Bi =ωD 2

2Bi

8RT =1. 53(cm )

范文三：玻尔兹曼分布律

玻尔兹曼分布律 - 物理应用

玻尔兹曼分布形成了分子运动论的基础，它解释了许多基本的气体性质，包括压强和扩散。玻尔兹曼分布通常指气体中分子的速率的分布，但它还可以指分子的速度、动量，以及动量的大小的分布，每一个都有不同的概率分布函数，而它们都是联系在一起的。

玻尔兹曼分布可以用统计力学来推导。它对应于由大量不相互作用的粒子所组成、以碰撞为主的系统中最有可能的速率分布，其中量子效应可以忽略。由于气体中分子的相互作用一般都是相当小的，因此玻尔兹曼分布提供了气体状态的非常好的近似。

在许多情况下(例如非弹性碰撞)，这些条件不适用。例如，在电离层和空间等离子体的物理学中，特别对电子而言，重组和碰撞激发(也就是辐射过程)是重要的。如果在这个情况下应用玻尔兹曼分布，就会得到错误的结果。另外一个不适用玻尔兹曼分布的情况，就是当气体的量子热波长与粒子之间的距离相比不够小时，由于有显著的量子效应也不能使用玻尔兹曼分布。另外，由于它是基于非相对论的假设，因此玻尔兹曼分布不能做出分子的速度大于光速的概率为零的预言。

玻尔兹曼分布律 - 推导

麦克斯韦速度分布律是讨论理想气体在平衡状态中在没有外力场作用下分子按速度分布的情况。这时分子在空间分布是均匀的，气体分子在空间各处的密度是一样的。如果气体分子处于外力场(如重力场、电场或磁场)中，分子按空间位置的分布又将遵守什么规律呢,能有关。实际上，麦克斯韦已导出了理想气体分子按速度的分布，即在速度区间dvxdvydvz的分子数与该区间内分子的平动动能εk有关，而且与e,εk/kT成正比。据(9.29)式可得玻耳兹曼把麦克斯韦速度分布律推广到气体分子在任意力场中运动的情形。在这种情况下，应考虑到分子的总能量ε,εk，εp，这里εk是分子的动能，εp是分子在力场中的势能。同时，由于一般说来势能随位置而定，分子在空间的分布是不均匀的，需要指明分子按空间位置的分布，即要指出位置坐标分别在x到x，dx，y到y，dy，z到z，dz区间内的分子数或百分比，这里dxdydz叫位置区间，而dvxdvydvz叫速度区间。这样，一般讲来，从微观上统计地说明理想气体的状态时，以速度和位置表示一个分子的状态就需要指出其分子在dvxdvydvzdxdydz所限定的各个状态区间分子数或百分比。于是，玻耳兹曼得到理想气体在平衡态下的状态区间内分子的百分比为:

此式表明了在温度为T的平衡态下任何系统的微观粒子按状态的分布。显然，在某一状态区间的分子数与该状态区间的一个分子的能量ε有关，而且与e,ε/kT成正比。这个结论叫玻耳兹曼分布定律(又称玻耳兹曼分子按能量分布律)。e,ε/kT叫玻耳兹曼因子，是决定各区间内分子数的重要因素。在能量越大的状态区间内的分子数越小，而且随着能量的增大按指数规律急剧地减小。也就是说，据统计分布来看，分子总是优先占据低能量状态。这是玻耳兹曼分子按能量分布律的一个要点。

上式就是玻尔兹曼分布律的一种常用形式，它是分子按势能的分布律。玻耳兹曼分布律是一个普遍的规律，它对任何物质的微粒(气体、液体、固体的原子和分子、布朗粒子)在任何

[1]保守力场中运动的情形都成立。

范文四：速度分布律到能量分布律

从MaxWell

滕汉瑜

(天水师范学院，物信学院，甘肃，天水 741001)

：近独立粒子在平衡态下分子平动速度的MaxWell速度分布律中的速度用在没有外场，研究对象为理想气体分子在经典极限条件（,e,,1）下的能量

等价替换，得到关于能量的 MaxWell能量分布律,进而得到MaxWell能量分布函

数,作出能量分布曲线图.并利用MaxWell能量分布函数求出气体分子最概然能

量和平均能量,在直角坐标系中画出不同温度下的能量分布曲线图.

MaxWell velocity distribution law from

the energy distribution law

TENGHanyu

(Tianshui Normal University, College of matter information,

Gansu, Tianshui 741001)

：MaxWel速度分布律；能量分布律；分子最概然能量；分子平均能量

Abstract: Nearly independent particles in the equilibrium state under the moving

speed of the molecular velocity distribution law MaxWell speed used in the field in

the absence of research for the ideal gas molecules in the classical limit condition

(,e,,1) under the equivalent energy replacement, energy MaxWell on energy

distribution law, which has been MaxWell energy distribution function, to make the

energy distribution curves. and take advantage of the energy distribution function

MaxWell gas molecules calculated most probable energy and average energy, in the

Cartesian coordinate system to draw different temperatures in the energy distribution

curves.

Key words: MaxWell velocity distribution law ;Energy distribution law ;Most

probable molecular energy ;Average energy of molecules

天水师范学院毕业论文（设计）

1 引言：

气体分子以各种大小的速度沿各个方向运动着,而且由于相互碰撞,每个分子的速度都在不断地改变.因此,若在某一特定的时刻去考察某一特定的分子,则它们的速度具有怎样的数值和方向,完全是偶然的.然而就大量分子整体看来,在一定条件下,它们的速度遵从着一定的统计规律.

近独立粒子在平衡态下分子平动速度遵从MaxWell速度分布律，由MaxWell速度分布律可得分子速度及速度分量的概率，从而得到分子速度分量各平均值.现在考虑如果研究对象为理想气体分子且没有外场，那么分子能量就只有平动动

能，一般情况下气体满足经典极限条件），速度和动能可以用12来转化，Emv,2

我们将MaxWell 速度分布律中的速度用动能来替换，即用动能做变量，就可以

由MaxWell速度分布律得到按能量分布的函数，并且可以求出分子最概然能量和

平均能量.

2 MaxWell能量分布律的导出：

vxvvvz用表示气体分子的速度,用、、分别表示气体分子在、、三方yyxz

向的分量，导出了近独立粒子在平衡态下的MaxWell速度分布律.分子平动速度

（质心速度）分布在vvdv~，vvdv~，间隔内，或平动速度分量在、xxxvvdv~，vvdv~，、间隔内的分子数占总分子数的比率以及一个分子的速yyyzzz

[1]度（质心速度）在上述间隔内的概率为

m3222,，，()vvvdNvm()xyz2kT 2 (1) ,,dwvedvdvdv()()txyz,NkT2

其中mk是气体分子的质量，是玻耳兹曼常数，是气体温度.如果用动能T

分量EvEEvv、、等价替换(1)式中的速度分量、、可得： yyxzxz

13,，，EEE()dNEm()1XYZ3 kT2 (2) ,,dwEedEdEdEmEEE()()/8tXYZXYZ,NkT82

分子平动动能在xz分量、分量不加限制（可取一切可能的值）而分量分布在y

天水师范学院毕业论文（设计）

x间隔内的分子数占总分子数的比率及一个分子的平动动能分量，EEdE~，xxx

在上述分量间隔内的概率可由（2）式对E、的一切可能值(0，)积分得到: E,yz

11,EdNE()mxxkT2 ,,dwEedEmE()()/2txxx,NkT2E1x,11 kT2 (3) ,edEE()/xx,kT2

同样可得分子平动动能在EEdE~，分量（或分量）分布在（或zyyyy

）间隔内的分子数占总分子数的比率及相应的分布概率为 EEdE~，zzz

11,EdNE()myykT2 ,,dwEedEmE()()/2tyyy,NkT2

E1y,11kT 2 (4) ,edEE()/yy,kT2

11,EdNEm()zzkT2 ,,dwEedEmE()()/2tzzz,NkT2

E1z,11kT2 (5) ,edEE()/zz,kT2

由（2）式、（3）式、（4）式和（5）式可得：

dNE() dwEdwEdwEdwE()()()(),, (6)ttxtytzN

（6）此式说明气体总能量在EEdE~，间隔内的分子所占比率等于各能量分量

在其相应间隔（EEdE~，EEdE~，EEdE~，、、）内的分子所占比率yyyxxxzzz的乘积，同时也说明能量在xz、、三方向的分量是彼此独立的. y

如果将(2)式利用球极坐标积分可得：

13,EdNE()1kT2 (7) ,,,dwEeEdE()2()t,NkT

(7)式代表能量分布在EEdE~，范围内的分子数占总分子数的比率.将(7)

式作一变换,去掉dE可以得到MaxWell能量分布函数为

1,E21kT (8) fEEe,()3kT,()

12因Ev,,fE()，取值在(0，)，所以取值在(0，).如果将看作EEmv,2

天水师范学院毕业论文（设计）的变量, 为的因变量,那么在平面直角fE()E

坐标系中画出MaxWell能量分布函数图像如下

图1所示:

与之间的关系图(能量分布曲线)fE()E

形象的描绘出气体分子能量分布的情况,图1中

任一区间间隔内曲线下的窄条面积EEdE~，

表示能量分布在该区间内的分子所占比率,而任一有限范围曲线EE~dNN/12

下的面积则表示分布在这个范围内的分子所占比率.由图1可知,能量分,NN/

布曲线从坐标原点出发,经一极大值后随的逐渐增大而逐渐趋于横轴;气体分E

子在能量较大和能量较小的范围内的分子所占比率很小;而中等能量的分子所占比率很大.图1中峰值所对应的EE值就是最概然能量的值,要确定的值,可Epp

取能量分布函数对的一级微商,并令其等于 fE()0E

E,kTdeE() ,0dE

1 (9) EkT,p2

(8)表明最概然能量EEE与温度有关;越大就越大; 越小, 就越TTTppp

大.而E越大，图像的峰值离纵轴越远,但曲线下p

的面积恒等于1,所以曲线就变的越平坦. 下图2是气体分子能量在两个不同温度TT、下的分布12

曲线图.

图2中TT,T，所以对应的峰值较低，最212

概然能量E值较大，所以气体分子能量分布曲p2

线的形状由温度决定.

对MaxWell能量分布函数为乘以0,,后在()范围内积分可以求出气体分子E

平均能量为

天水师范学院毕业论文（设计）

EEfEdE,(),0

,1,E21kT ,EEedE3,()kT,

4kT= （10） ,

(10)式说明气体分子的平均能量也与温度有关;温度越高,分子平均能量就越大；温度越低，分子平均能量就越小.

3 结束语

综上可知将分子平动速度（质心速度）分布的Maxwell速度分布律变换成按能量分布的Maxwell能量分布律是可行的.需要指出的是、都指的是分子dN,N数的统计平均值.在任一瞬时刻实际分布在某一能量区间内的分子数,一般说来是与统计平均值有偏差的.偏差有时大,有时小;有时正,有时负.这种对于统计规律的偏离现象是难免的.概率论指出,如果按速度分布律推算出分布在某一速度

区间内的分子数的统计平均值,n则实际分子数对于这一统计平均值的偏离范围

是,,n.而分子数,n越大偏离的百分数就越小;如果分子数,n越小,则偏离的百分数就越大.因此Maxwell速度分布律只对大量的分子组成的体系成立,所以Maxwell能量分布也应该是对大量的分子组成的体系成立.而具有某一确定的能量的分子有多少,是根本没有意义的.

通过Maxwell能量分布函数求出最概然能量和平均能量,它们都是与温度有关系的,在直角坐标系下画出不同温度的能量分布曲线图.可以看出Maxwell速度分布律不仅对分子速度适用，而且对分子能量也是适用的.

MaxWell速度分布律讨论了气体分子速度的分布情况,它是研究物质内部分子运动规律及其结构的一种方法.而Maxwell能量分布律研究了气体分子能量的

分布情况,它也是研究物质内部分子运动规律及其结构的另一种方法. 参考文献：

[1] 汪志诚.热力学统计物理第三版[M].北京:高等教育出版社,2003.257～259.

天水师范学院毕业论文（设计） [2] 王文赜,刘保义.大学物理第23卷[J].第11期.2004.11. [3] 李椿,章立源,钱尚武.热学[M].北京:高等教育出版社出版.1979.72. [4] 同济大学应用数学系.高等数学第5版[M].北京:高等教育出版社.2002.91.

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范文五：速度分布律到能量分布律~文档

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从MaxWell 速度分布律到能量分布律

滕汉瑜

(天水师范学院，物信学院，甘肃，天水 741001)

摘要:近独立粒子在平衡态下分子平动速度的MaxWell速度分布律中的速度

,用在没有外场，研究对象为理想气体分子在经典极限条件()下的能量e,,1

等价替换，得到关于能量的 MaxWell能量分布律,进而得到MaxWell能量分布函

数,作出能量分布曲线图.并利用MaxWell能量分布函数求出气体分子最概然能

量和平均能量,在直角坐标系中画出不同温度下的能量分布曲线图.

MaxWell velocity distribution law from

the energy distribution law

TENGHanyu

(Tianshui Normal University, College of matter information,

Gansu, Tianshui 741001)

关键词:MaxWel速度分布律;能量分布律;分子最概然能量;分子平均能量

Abstract: Nearly independent particles in the equilibrium state under the moving

speed of the molecular velocity distribution law MaxWell speed used in the field in

the absence of research for the ideal gas molecules in the classical limit condition

天水师范学院毕业论文(设计)

,() under the equivalent energy replacement, energy MaxWell on energy e,,1

distribution law, which has been MaxWell energy distribution function, to make the

energy distribution curves. and take advantage of the energy distribution function

MaxWell gas molecules calculated most probable energy and average energy, in the

Cartesian coordinate system to draw different temperatures in the energy distribution

curves.

Key words: MaxWell velocity distribution law ;Energy distribution law ;Most probable molecular energy ;Average energy of molecules

1 引言:

气体分子以各种大小的速度沿各个方向运动着,而且由于相互碰撞,每个分

子的速度都在不断地改变.因此,若在某一特定的时刻去考察某一特定的分子,则

它们的速度具有怎样的数值和方向,完全是偶然的.然而就大量分子整体看来,在

一定条件下,它们的速度遵从着一定的统计规律.

近独立粒子在平衡态下分子平动速度遵从MaxWell速度分布律，由MaxWell

速度分布律可得分子速度及速度分量的概率，从而得到分子速度分量各平均值.

现在考虑如果研究对象为理想气体分子且没有外场，那么分子能量就只有平动动

12能，一般情况下气体满足经典极限条件)，速度和动能可以用来转化，Emv,2

我们将MaxWell 速度分布律中的速度用动能来替换，即用动能做变量，就可以

由MaxWell速度分布律得到按能量分布的函数，并且可以求出分子最概然能量和

平均能量.

2 MaxWell能量分布律的导出:

vz用表示气体分子的速度,用、、分别表示气体分子在、、三方vxvvyyxz

向的分量，导出了近独立粒子在平衡态下的MaxWell速度分布律.分子平动速度

vvdv~，(质心速度)分布在间隔内，或平动速度分量在、vvdv~，xxx

vvdv~，、间隔内的分子数占总分子数的比率以及一个分子的速vvdv~，yyyzzz

天水师范学院毕业论文(设计)

[1]度(质心速度)在上述间隔内的概率为

m3222,，，()vvvdNvm()xyz (1)2kT2,,dwvedvdvdv()()txyz,NkT2

k其中是气体分子的质量，是玻耳兹曼常数，是气体温度.如果用动能mT

Ev分量、、等价替换(1)式中的速度分量、、可得:EEvvyyxzxz

13,，，EEE()dNEm()1XYZ3kT (2)2,,dwEedEdEdEmEEE()()/8tXYZXYZ,NkT82

z分子平动动能在分量、分量不加限制(可取一切可能的值)而分量分布在xy

间隔内的分子数占总分子数的比率及一个分子的平动动能分量，xEEdE~，xxx

E,在上述分量间隔内的概率可由(2)式对、的一切可能值(0，)积分得到:Eyz

11,EdNE()mxxkT 2,,dwEedEmE()()/2txxx,NkT2E1x,11 (3)kT2,edEE()/xx,kT2

EEdE~，z同样可得分子平动动能在分量(或分量)分布在(或yyyy

)间隔内的分子数占总分子数的比率及相应的分布概率为EEdE~，zzz

11,EdNE()ymykT2 ,,dwEedEmE()()/2tyyy,NkT2

E1y,112kT (4),edEE()/yy,kT2

11,EdNEm()zzkT2 ,,dwEedEmE()()/2tzzz,NkT2

E1z,11kT2 (5),edEE()/zz,kT2

天水师范学院毕业论文(设计)

由(2)式、(3)式、(4)式和(5)式可得:

dNE() (6)dwEdwEdwEdwE()()()(),,ttxtytzN

EEdE~，(6)此式说明气体总能量在间隔内的分子所占比率等于各能量分量

EEdE~，在其相应间隔(、、)内的分子所占比率EEdE~，EEdE~，yyyxxxzzz

的乘积，同时也说明能量在、、z三方向的分量是彼此独立的.xy

如果将(2)式利用球极坐标积分可得:

13,EdNE()1kT2 (7),,,dwEeEdE()2()t,NkT

EEdE~，(7)式代表能量分布在范围内的分子数占总分子数的比率.将(7)

dE式作一变换,去掉可以得到MaxWell能量分布函数为

1,E21kT (8)fEEe,()3,kT()

12E,因，取值在(0，)，所以取vEmv,2

,值在(0，).如果将看作的变量, fE()fE()E

为的因变量,那么在平面直角坐标系中画出E

MaxWell能量分布函数图像如下图1所示:

与之间的关系图(能量分布曲线)形象的描绘出气体分子能量分布fE()E

EEdE~，的情况,图1中任一区间间隔内曲线下的窄条面积表示能量分布在该

dNN/区间内的分子所占比率,而任一有限范围曲线下的面积则表示分EE~12

,NN/布在这个范围内的分子所占比率.由图1可知,能量分布曲线从坐标原点出发,经一极大值后随的逐渐增大而逐渐趋于横轴;气体分子在能量较大和能E

量较小的范围内的分子所占比率很小;而中等能量的分子所占比率很大.图1中

EE峰值所对应的值就是最概然能量的值,要确定的值,可取能量分布函数Epp

天水师范学院毕业论文(设计)

0对的一级微商,并令其等于 fE()E

E,kTdeE() ,0dE

1 (9)EkT,p2

EEE(8)表明最概然能量与温度有关;越大就越大; 越小, 就越TTTppp

E大.而越大，图像的峰值离纵轴越远,但曲线下p

的面积恒等于1,所以曲线就变的越平坦. 下图2是气体分子能量在两个不同温度、下的分布TT12

曲线图.

图2中，所以对应的峰值较低，最TT,T212

E概然能量值较大，所以气体分子能量分布曲p2

线的形状由温度决定.

对MaxWell能量分布函数为乘以后在()范围内积分可以求出气体分子0,,E

平均能量为

EEfEdE,(),0

,1E,21kT,EEedE ,3kT(),

4kT= (10),

(10)式说明气体分子的平均能量也与温度有关;温度越高,分子平均能量就

越大;温度越低，分子平均能量就越小. 3 结束语:

综上可知将分子平动速度(质心速度)分布的Maxwell速度分布律变换成按

天水师范学院毕业论文(设计)

dN,N能量分布的Maxwell能量分布律是可行的.需要指出的是、都指的是分子数的统计平均值.在任一瞬时刻实际分布在某一能量区间内的分子数,一般说来是与统计平均值有偏差的.偏差有时大,有时小;有时正,有时负.这种对于统计规律的偏离现象是难免的.概率论指出,如果按速度分布律推算出分布在某一速度

,n区间内的分子数的统计平均值则实际分子数对于这一统计平均值的偏离范围

,n,n是.而分子数越大偏离的百分数就越小;如果分子数越小,则偏离的,,n

百分数就越大.因此Maxwell速度分布律只对大量的分子组成的体系成立,所以Maxwell能量分布也应该是对大量的分子组成的体系成立.而具有某一确定的能量的分子有多少,是根本没有意义的.

MaxWell速度分布律讨论了气体分子速度的分布情况,它是研究物质内部分子运动规律及其结构的一种方法.而Maxwell能量分布律研究了气体分子能量的分布情况,它也是研究物质内部分子运动规律及其结构的另一种方法.

参考文献:

[1] 汪志诚.热力学统计物理第三版[M].北京:高等教育出版社,2003.257,259.

[2] 王文赜,刘保义.大学物理第23卷[J].第11期.2004.11.

[3] 李椿,章立源,钱尚武.热学[M].北京:高等教育出版社出版.1979.72.

[4] 同济大学应用数学系.高等数学第5版[M].北京:高等教育出版社.2002.91.

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