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范文一：ansys分析随机振动

Random Vibration Analysis with ANSYS and Verification

Ye Zhou

May 2002

Table of Contents

1I NTRODUCTION TO R ANDOM V IBRATION .................................................................................................................. 3 1.1Failure Modes in Random Vibration .............................................................................................................. 3 1.2Random Vibration Input Curve and Units ...................................................................................................... 3 1.3Normal DistributionCurve . ............................................................................................................................ 4

1.4PSD for Fatigue Calculation .......................................................................................................................... 5

2F ORMULATION .......................................................................................................................................................... 6 2.1Steinberg formulation [1. 9.16]: . .................................................................................................................... 6 2.2Thomson formulation [2. 10.3]: . ..................................................................................................................... 7

2.3Newland formulation [4. 7]: ........................................................................................................................... 7

3ANSYS P ROCEDURES . .............................................................................................................................................. 8 4R EFERENCES ........................................................................................................................................................... 10 5A PPENDIX – ANSYS PSD I NPUT /OUTPUT F ILE ...................................................................................................... 11 5.1Input File ...................................................................................................................................................... 11 5.2Output File . ................................................................................................................................................... 13

List of Figures

Figure 1 Typical white noise curve with a constant input power spectral density (PSD) . ..................................... 4 Figure 2 Sample 1-DOF model . ............................................................................................................................. 6 Figure 3 ANSYS calculated output PSD ............................................................................................................... 8

List of Tables

Table 1 Type of spectral densities.......................................................................................................................... 4 Table 2 Safety index/sigma values used in building codes . ................................................................................... 6 Table 3 ANSYS results verification....................................................................................................................... 9 Table 4 ANSYS PSD result load steps .................................................................................................................. 9

1 Introduction to Random Vibration

Random vibration is being specified for acceptance and qualification tests by many institutions, because it has been shown that random vibration more closely represents the true environments in which the structures and equipment must operate. 1.1

Failure Modes in Random Vibration

There are four basic failure modes that must be considered under random vibration. These failures are:

1. High acceleration levels.

2. High stress levels.

3. Large displacement amplitudes.

4. Electrical signals out of tolerance (electrical component only). 1.2

Random Vibration Input Curve and Units

There are many different types of curves that can be used to show the random vibration input requirements. The most common curve, which is also the simplest, is the white-noise curve shown in Figure 1.

Random vibration input and response curves are typically plotted on log-log paper, with the power spectral density expressed squared acceleration units per Hertz, such as g 2/Hz. The power spectral density P is often referred as the mean squared acceleration density, and it is defined as:

G P f ?=→?2

0lim where G is the root mean square (RMS) of the acceleration expressed in gravity units.

Root mean square acceleration levels are related to the area under the random vibration curve. The input RMS acceleration levels can be obtained by integrating under the input random vibration curve, and the output (or response) RMS acceleration levels can be obtained by integrating under the output or response random vibration curve. The square root of the area then determined the RMS acceleration level, with units:

RMS G G Hz Hz

G Area 22

==?=

For example, the input RMS acceleration level resulting from the white-noise random vibration input specification shown in Figure 1 is calculated as follows:

0. 3) 10100(1. =-=??=f P G RMS (RMS input acceleration level)

Random vibration environments in the industry normally deal in terms of the power spectral density P (or mean squared acceleration density), which is measured in gravity units so that it is dimensionless: gravity

on accelerati g a G ==

(dimensionless)

An acceleration level of 10G means that the acceleration has a magnitude that is 10 times greater than the acceleration of gravity.

Random vibration sometimes is also expressed in terms of velocity or displacement spectral density as

defined in Table 1.

Figure 1 Typical white noise curve with a constant input power spectral density (PSD)

Table 1 Type of spectral densities

1.3 Normal DistributionCurve

The Gaussian distribution curve represents the probability for the value of the instantaneous acceleration levels at any time. The abscissa is the ratio of the instantaneous acceleration to the RMS acceleration, and the ordinate is the probability density, sometimes called probability of occurrences. The total area under the curve is unity.

From the nature of Gaussian distribution, the instantaneous acceleration will exceed the 1σ, which is the RMS value, 31.7% of the time. It will exceed the 2σ value, which is two times the RMS value, 4.6% of the time. It will exceed the 3σ value which is three time the RMS value, 0.27% of the time.

The maximum acceleration levels considered for random vibrations are the 3σ levels [1. 9.13], because the instantaneous accelerations are between the +3σ and the -3σ levels 99.73% of the time, which is very close to 100% of the time. Higher acceleration levels of 4σ and 5σ can occur in the real world, but they are usually ignored because most test equipment for random vibration have 3σ clippers built into the electronic control systems. These clippers limit the input acceleration levels to values that are 3 times greater than the RMS input levels.

When a 10G RMS random vibration environment is being evaluated, input or response, then 2σaccelerations of 20G can be expected some of the time, and 3σ accelerations of 30G can be expected some of the time.

Random vibration qualification tests performed in a laboratory will typically be run using much higher acceleration levels than the values found in the actual environments [1. 9.13]. The laboratory may use input test levels of 8.0G RMS for a period of 2 hours, to try to accumulate the same amount of damage that is expected in a 1.5G RMS environment over a 15-year period. Random vibration qualification tests are often considered to be accelerated life tests.

1.4 PSD for Fatigue Calculation

Using results from random vibrations to evaluate fatigue life is used in many design guidelines such as Ref. 3. Engineers use σ values varying from 2 to 3, or multi-band technique, for fatigue calculation. Choosing high σ values for fatigue calculation is more a matter of conservatism than a matter of correctness. 1.4.1Three band technique

Three-band technique is a simplified approach to the evaluation of random vibration fatigue [1. 9.14]. The basis for the three-band technique is the Gaussian distribution. The Miner’s Rule can be applied to the following frequency categories:

?1σ values occur 68.3% of the time.

?2σ values occur 27.1% of the time (95.4%-68.3%=27.1%).

?3σ values occur 4.33% of the time (99.73%-95.4%=4.33%).

1.4.2Fatigue load compared to Building Codes

Many limit states based building codes divides the loading conditions into two states: serviceability and ultimate states, where serviceability state is used for calculation of fatigue, deflection, etc. North American building codes use the safety index as defined in Table 2. A safety index of x is corresponding to an x σresponse level.

Table 2 Safety index/sigma values used in building codes

2 Formulation

The formulation of a random vibration analysis can be illustrated by a simple 1-DOF example shown in Figure 2. The example calculation is based on the PSD shown in Figure 1.

k 1 = 42832 lb/in m 1 = 0.5 lb-sec2/in

ξ=0.02

Figure 2 Sample 1-DOF model

Many classic textbooks [1. 9.16][2. 10.3] prescribe the input spectral density as in acceleration (g2/Hz), and others use input spectral density as in force (force2/Hz). The following sections describe three variations of formulations. 2.1

Steinberg formulation [1. 9.16]:

2f f out out df P G

P out =Q2P

Where P is input PSD in units of G 2/Hz, G is the output acceleration level in units of length/second2. And Q is the transmissibility of a 1DOF system:

2222) 2() 1() 2(1?

??????

?+-+=ΩΩc R R R R R Q where R Ω=Ω/Ωn , and R c =damping ratio ξ

for a lightly damped system, R c 2=0

211

R Q

Thus,

[]

?+-=

22) /(2) /(1f f n

n out df f f f f P

G ξ

and ξ

π402

f df P G out out =

∞

(Eq. 1)

for a lightly damped system, ξ=1/(2Q ), thus

n n out Q Pf G 2

(RMS), (Eq. 2)

where subscript n refers to quantities at the resonance frequency.

Using the Equation 2, we can calculate the response acceleration RMS of the sample 1-DOF problem as follows:

02. 25) 04. 0() 04. 0(1) 2() 2(12

222

22=???

??+=????

??+=ξξn Q

g inch

inch Q Pf G n n out 53. 13sec

7. 519502. 25sec 1582

. 46sec 6

. 147452

2==???=

Then the base reaction is Reaction

= Wt ? Acceleration = 0.5 lbf-sec 2/inch ? 386 inch/sec2 ? 5195.7 inch/sec2 = 2598 lbf .

2.2

Thomson formulation [2. 10.3]:

The Steinberg formulation can be also written as:

) () () () () () (**

2f f out df

f H f H f S d H H S G ωω

ωωωω

where S (ω) is written as P (ω) in Steinberg formulation.

) /(2) /(11

) (2

n f f i f f f H ξ+-=

2.3

Newland formulation [4. 7]:

In Reference 4. D. E. Newland expresses the spectral density S in terms of forces, as defined in the base

equation of motion:

) (t x ky y c y

m =++ (Eq. 3)

where x(t)is the excitation force.

The formulation for response RMS is as follows:

) () (S H S y ωω=

where S 0 = S x (ω) is the spectral density of the forcing function x (t ), and H (ω) is the complex frequency response function. H (ω) can be derived by putting x (t )=ei ωt and y (t )= H(ω) ei ωt into equation 3:

ic m H ++-=

ωωω21

) (

Hence the output spectral density is

2220

) () (ωωωc m k S S y +-=

and the mean square of the output spectrum is ?++-=

][ωω

ωωωd S k

ic m y E

3 ANSYS Procedures

An ANSYS input file for calculating the 1-DOF example shown in Figure 1 and 2 is attached in the Appendix. This input file was tested using ANSYS 6.0 Multiphysics. The output response spectrum is shown in Figure 3. The input file was modified from ANSYS Verification Example VM68.

Figure 3 ANSYS calculated output PSD

The ANSYS results are compared with those of the theoretical calculation in the previous sections, shown in Table 3.

Table 3 ANSYS results verification

After a successful PSD analysis, ANSYS exports results into several load steps as shown in Table 4. Results from load step 3-1 and 5-1 are of interest to the example discussed here. Load step 3-1 gives the 1σ RMS displacement, base reactions and member stresses. Nodal displacement output in load step 5-1 actually gives the 1σ RMS acceleration at the nodes.

Table 4 ANSYS PSD result load steps

4 References

1. Dave S. Steinberg, Vibration Analysis for Electronic Equipment, 3rd Ed. John Wiley & Sons 2000 UBCLIB TK7870.S8218 2000

Clear and no-nonsense explanation on random vibration analysis. Practical design advice and notes on fatigue design.

2. William T. Thomson, Vibration Theory and Applications, Prentice-Hall 1965

UBCLIB TA355.T47 1965

Classic textbook with numerical examples.

3. NASA Preferred Reliability Practices, Gudeline No. GD-AP-2303, Spectral Fatigue Reliability, Johnson Space Center, USA

4. D. E. Newland, An Introduction to Random Vibrations and Spectral Analysis, 2nd Ed. Longman Science & Technical 1984

UBCLIB QA935.N46 1984

Complete and accurate documentation on all formulas.

5 Appendix – ANSYS PSD Input/Output File

5.1 Input File

c r e a t e

F I N I S H ! F E A e l e m e n t s o f t h e C V

/C L E A R , S T A R T

/P R E P 7

/T I T L E , C V B e a m E l e m e n t F E A

A N T Y P E , S T A T I C

E T , 1, C O M B I N 40! D I S P L A C E M E N T A L O N G X A X I S , M A S S A T N O D E I

R , 1, 42832. , , 0. 50

M P , E X , 1, 1! N O T U S E D , D U M M Y P R O P E R T Y

N , 1! D E F I N E M O D E L

N , 2, 1

E , 2, 1

D , 1, U X , 0. 0! C O N S T R A I N T T H E B A S E

O U T P R , A L L , A L L

F I N I S H

/e o f

s o l v P S D

/S O L U

A N T Y P E , M O D A L ! P E R F O R M A M O D A L A N A L Y S I S

M O D O P T , S U B S P , 1! S U B S P A C E I E R T A T I O N M E T H O D

! E X T R A C T 2M O D E S F R O M E N T I R E F R E Q U E N C Y R A N G E

M X P A N D , 1, , , Y E S ! E X P A N D 2M O D E S , D O E L E M E N T S T R E S S C A L C U L A T I O N S S O L V E

*G E T , F R E Q 1, M O D E , 1, F R E Q

F I N I S H

/S O L U

A N T Y P E , S P E C T R ! P E R F O R M S P E C T R U M A N A L Y S I S

S P O P T , P S D , 2, O N ! U S E F I R S T 2M O D E S F R O M M O D A L A N A L Y S I S

P S D U N I T , 1, A C C G ! U S E G **2/H Z F O R P S D A N D D I M E N S I O N I N I N C H E S

D , 1, U X , 1. 0! A P P L Y S P E C T R U M A T T H E S U P P O R T P O I N T

P S D F R Q , 1, 1, 10. 0, 100. 0! F R E Q U E N C Y R A N G E O F 10T O 100H E R T Z

P S D V A L , 1, . 1, . 1! W H I T E N O I S E P S D , V A L U E S I N G **2/H Z

P F A C T , 1, B A S E ! B A S E E X C I T A T I O N

D M P R A T , 0. 02! 2%D A M P I N G

P S D C O M ! C O M B I N E M O D E S F O R P S D , U S E D E F A U L T S I G N I F I C A N C E L E V E L

P S D R E S , A C E L , R E L ! C A L C U L A T E R E L A T I V E A C C E L E R A T I O N S O L U T I O N S

S O L V E

F I N I S H

/e o f

p o s t v m

f i n i s h

/P O S T 1

L C D E F , 6, 5, 1! D E F I N E L O A D S T E P A N D S U B S T E P F O R L O A D F A C T O R O P E R A T I O N L C F A C T , A L L , (1/386. 4) ! C O N V E R T A C C E L . R E S U L T T O G

L C A S E , 6

P R N S O L , U , C O M P ! P R I N T N O D A L S O L U T I O N R E S U L T S *G E T , M 1S T D , N O D E , 2, U , X

*D I M , L A B E L , C H A R , 4, 2

*D I M , V A L U E , , 2, 3

L A B E L (1, 1) =' f 1, ' , ' A C C 1S I G '

L A B E L (1, 2) =' H z ' , ' g '

*V F I L L , V A L U E (1, 1) , D A T A , 46. 58, 13. 53

*V F I L L , V A L U E (1, 2) , D A T A , F R E Q 1, M 1S T D

*V F I L L , V A L U E (1, 3) , D A T A , A B S (F R E Q 1/46. 58) , A B S (M 1S T D /13. 53) /C O M

/O U T , v m 68, v r t

/C O M , -------------------V M 68R E S U L T S C O M P A R I S O N --------------/C O M ,

/C O M , |T A R G E T |A N S Y S |R A T I O /C O M ,

*V W R I T E , L A B E L (1, 1) , L A B E L (1, 2) , V A L U E (1, 1) , V A L U E (1, 2) , V A L U E (1, 3) (1X , A 8, A 8, ' ' , F 10. 3, ' ' , F 10. 3, ' ' , 1F 5. 3)

/C O M , ----------------------------------------------------------s e t , 3, 1

p r d i s p

p r r s o l

s e t , 5, 1

p r d i s p

/O U T

F I N I S H

*L I S T , v m 68, v r t

/e o f

p s d o u t

F I N I S H

/p o s t 26

n u m N S e t =2

*d e l , n o d e P l

*d i m , n o d e P l , a r r a y , n u m N S e t

n o d e P l (1) =2

n o d e P l (2) =1

*d o , i P s d o , 1, n u m N S e t , 1

/T I T L E , R E S P O N S E v s I N P U T S P E C T R U M

R E S E T

S T O R E , P S D , 8

N S O L , 2, 1, U , x , b a s e

N S O L , 3, n o d e P l (i P s d o ) , U , x , n o d e 2

R P S D , 4, 2, , 3, 1, R P S D B A S

R P S D , 5, 3, , 3, 1, R P S D R F

! B E L O W I S R E L A T I V E R E S P O N S E

R P S D , 6, 3, , 3, 2, R P S D R F R

P L T I M E , 0, 2500

/G R O P T , L O G X , O N

/G R O P T , L O G Y , O N

/A X L A B , X , F r e q u e n c y (H z )

/A X L A B , Y , P S D G ^2/H z

! p l v a r , 4, 5

! N O T E :D I V I D E O U T P U T L I K E 298. 61I N ^2/S E C ^4/H Z B Y 386. 4^2T O G E T B A C K T O g ^2/H Z -S E E ! B E L O W P R O D , 7, 4, , , R P S D B A S E , , , 1/386. 4**2, 1, 1,

P R O D , 8, 5, , , R P S D R F R , , , 1/386. 4**2, 1, 1,

! P L O T R E S P O N S E P S D V E R S U S I N P U T P S D

p l v a r , 7, 8

/S H O W , P N G

P N G R , C O M P , 1, -1

P N G R , O R I E N T , H O R I Z

P N G R , C O L O R , 2

P N G R , T M O D , 1

/G F I L E , 1200,

! *

/C M A P , _T E M P C M A P _, C M P , , S A V E

/R G B , I N D E X , 100, 100, 100, 0

/R G B , I N D E X , 0, 0, 0, 15

p l v a r , 7, 8

/C M A P , _T E M P C M A P _, C M P

/D E L E T E , _T E M P C M A P _, C M P

/S H O W , C L O S E

/D E V I C E , V E C T O R , 0

/t i t l e , c o n V a n P S D

*e n d d o

/e o f

5.2 Output File

-------------------V M 68R E S U L T S C O M P A R I S O N --------------

|T A R G E T |A N S Y S |R A T I O

f 1, H z 46. 58046. 5821. 000

A C C 1S I G g 13. 53013. 7011. 013

----------------------------------------------------------

U S E L O A D S T E P 3S U B S T E P 1F O R L O A D C A S E 0

S E T C O M M A N D G O T L O A D S T E P =3S U B S T E P =1C U M U L A T I V E I T E R A T I O N =3

T I M E /F R E Q U E N C Y =0. 0000

T I T L E =C V B e a m E l e m e n t F E A

P R I N T D O F N O D A L S O L U T I O N P E R N O D E

*****P O S T 1N O D A L D E G R E E O F F R E E D O M L I S T I N G *****

L O A D S T E P =3S U B S T E P =1

F R E Q =0. 0000L O A D C A S E =0

T H E F O L L O W I N G D E G R E E O F F R E E D O M R E S U L T S A R E I N N O D A L C O O R D I N A T E S

N O D E U X

10. 0000

20. 60799E -01

M A X I M U M A B S O L U T E V A L U E S

N O D E 2

V A L U E 0. 60799E -01

P R I N T R E A C T I O N S O L U T I O N S P E R N O D E

*****P O S T 1T O T A L R E A C T I O N S O L U T I O N L I S T I N G *****

L O A D S T E P =3S U B S T E P =1

F R E Q =0. 0000L O A D C A S E =0

T H E F O L L O W I N G X , Y , Z S O L U T I O N S A R E I N N O D A L C O O R D I N A T E S

N O D E F X

12604. 2

T O T A L V A L U E S

V A L U E 2604. 2

U S E L O A D S T E P 5S U B S T E P 1F O R L O A D C A S E 0

S E T C O M M A N D G O T L O A D S T E P =5S U B S T E P =1C U M U L A T I V E I T E R A T I O N =4 T I M E /F R E Q U E N C Y =0. 0000

T I T L E =C V B e a m E l e m e n t F E A

P R I N T D O F N O D A L S O L U T I O N P E R N O D E

*****P O S T 1N O D A L D E G R E E O F F R E E D O M L I S T I N G *****

L O A D S T E P =5S U B S T E P =1

F R E Q =0. 0000L O A D C A S E =0

T H E F O L L O W I N G D E G R E E O F F R E E D O M R E S U L T S A R E I N N O D A L C O O R D I N A T E S

N O D E U X

10. 0000

25294. 2

M A X I M U M A B S O L U T E V A L U E S

N O D E 2

V A L U E 5294. 2

范文二：随机振动分析(1)

随机振动分析实例

Yunyunsunsun

1 导入几何体。

1.1 启动ANSYS Workbench后点击“browse”，打开安装目录D:\Program Files\ANSYS Inc\v110\AISOL\Samples\Simulation，选中“BoardWithChips”文件后，在Workbench工作窗口中显示如图1所示。

图1 模型图

1.2 在主菜单中将单位设置为Units> U. S. Customary (in, lbm, lbf, °F, s, V, A)。 2 模态分析

2.1 在主菜单“New Analysis”中选择模态分析。在模型树中，点击“Analysis Settings”，在左下角出现的“Details of Analysis Settings”中，将“Max modes to find”设为12，如图2所示。

图2 提取12阶模态图3 固定约束左右两个小孔内壁

2.2 施加固定约束。将左右两个小孔内壁固定住，如图3所示。

2.3 求解模态分析。

计算完毕后，在“Tabular Data”窗口（如果工作窗口下部不显示说明隐藏在右部）中选中12阶频率（图4-1），右击选中“Create Mode Shape Results”，模型树中自动出现12阶“Total Deformation”（图4-2）；高亮显示模型树中“Solution”，右击选中“Evaluate all results”；

最后高亮显示模型树中所有“Total Deformation”，右击选中“Rename Based on Definiton”，如图4-3所示。

（此步过于详细，大家可根据需要执行）

图4-1 图4-2 图4-3 3 随机振动分析

3.1 在主菜单“New Analysis”选择“Random Vibration”，点击“Initial Condition Environment”后面的黑三角，选择“Modal”，如图5-1所示。

图5-1 图5-2

3.2 点击“Analysis Settings”，默认情况下“Number of Modes To Use”，选择所有模态，此处也可根据需要设置模态阶数，如图5-2所示。

3.3 施加PSD 基础激励载荷

将鼠标放置在“Analysis Settings”上右击插入“PSD Base Excitation”，点击“Load Data”后的黑三角，选择“New PSD Load”，如图6-1所示，弹出窗口如图6-2所示，选择PSD载荷类型为PSD G Acceleration，点击OK按钮。

范文三：随机振动疲劳分析

基于MSC. Fatigue的电子设备随机振动疲劳分析

发表时间: 2008-10-27 作者: 郭建平*任康*杨龙*南雁来源: 万方数据

关键字: 随机振动疲劳寿命功率语密度 S-N曲线针对机载电子设备随机振动问题，研究利用数字仿真技术预测结构随机振动疲劳寿命的方法。以某机载电子设备结构为研究对象，根据随机振动理论和有限单元法，采用MSC. Fatigue软件进行随机振动疲劳分析，计算疲劳寿命大小及分布。通过把计算结果与试验结果进行对比，证明利用随机振动疲劳分析方法预测此类产品的疲劳寿命是可行的。

引言

随机载荷下各种结构的疲劳寿命评估，一直是工程上所关心的问题。近年来，随着数字化仿真技术不断发展，各种新的计算方法也不断在产品中得到应用。借助随机振动疲劳分析技术，设计人员可以在产品设计过程中预测产品寿命，根据疲劳寿命分布图直观地判断出设备疲劳寿命大小及薄弱位置，快速判断设计方案疲劳性能优劣。同时还可避免反复多次试验，降低资源消耗，缩短开发周期，提高产品市场竞争力。

某机载电子设备框架在试验过程中出现裂纹。本文利用随机振动疲劳分析方法，应用有限单元法和随机振动理论，在计算机工作平台中完成该结构件的疲劳寿命预测。并根据计算结果和实际设计情况提出相应的改进方案，实践证明改进方案的合理性。

1随机振动疲劳分析理论

1. 1随机振动及其疲劳分析流程

对于一个振动系统，它的输人又称振源或激励，系统所产生的振动也称为对这个输人的响应。当响应是随机的，这种振动称为随机振动。随机振动是不能用时间的确定性函数来描述的一种振动现象，但是从总体上看，这种振动现象存在着一定统计规律性，可用该现象的统计特性进行描述，也就是在频率范围内描述。在通常情况下，描述随机振动载荷或响应的方式是功率谱密度函数。

随机振动疲劳分析一般分两步进行。首先对有限元模型进行频率响应分析计算模型传递函数，得到在单位载荷激励下模型在各阶频率上的应力分布情况;然后再根据功率谱密度函数、材料S-N曲线等计算模型的疲劳寿命大小及分布。

1.2材料S- N曲线估计

在随机振动疲劳分析过程中需要输人材料的应力一寿命曲线即S-N曲线。该曲线是在控制应力的条件下得到的破坏寿命与应力幅值之间关系的折线段，其对于估算零件的疲劳寿命是至关重要的。在MSC.Fatigue软件中，可以根据材料的极限拉伸强度估计材料的S- N曲线。估计S- N曲线时，应力轴的截距范围到材料的断裂应力值，应力值限制在1000次循环，疲劳极限则根据不同系数确定。

1.3 Miner累积损伤理论

随机振动疲劳分析采用的是Miner累积损伤理论。Miner做了如下假设}6-7):试样所吸收的能量达到极限值时产生疲劳破坏。从这一假设出发，如破坏前可吸收的能量极限值为W，试样破坏前的总循环为N,在某一循环数。1时试样吸收的能量为W1，则由于试样吸收的能量与其循环数间存在着正比关系，因此有

因此，若试样的加载历史由σ1，σ2，…，σl这样的l个不同的应力水平构成，各应力水平下的疲劳寿命依次为N1，N2，…，Nl，各应力水平下的循环次数依次为n1，n2，…，nl，则损伤

时，试样吸收的能量达到极限值W，试样发生疲劳破。上式即为Miner累积损伤理论的数学表达式。

2随机振动疲劳分析应用实例

某机载电子设备结构框架如图2所示，电子设备通过10个螺钉固定在框架上，框架再通过4个固定孔与飞机相连。对框架进行随机振动试验，在试验进行约4小时左右发现其中一个固定孔处出现裂纹。现通过随机振动疲劳分析估计框架寿命并对其加以改进。

该框架材料采用是45号结构钢。其物理及力学性能如表1所示。

在MSC. Fatigue软件中根据材料的极限拉伸强度估计材料的S- N曲线，如图3所示。

根据产品设计要求，在试验台上施加如表2所示的加速度平稳随机载荷激励，分别对框架进行X,Y和Z这3个方向的随机振动激励，在每个方向激励下，要求框架4. 5小时内不得出现疲劳破坏。

根据上述工况条件，先通过频率响应计算传递函数，然后再根据材料的S- N曲线及施加的随机振动激励计算框架的疲劳寿命。频率响应计算结果如图4所示，疲劳寿命计算结果如图5所示。由图可见，框架寿命最小处在4个固定孔处，约为4. 3h，这与试验结果比较吻合，因此计算结果是可信的。

根据设计要求，框架结构安装孔位置、安装方式及材料不能改变，因此对结构进行改进时改变4个安装孔所在边的厚度，把其厚度增加2mm，其余保持不变，计算改进后方案的疲劳寿命。改进后的框架频率响应计算结果和疲劳分析结果分别如图6和图7所示。

由图可见，改进后的框架的疲劳寿命约为34h。对改进后框架进行试验，结果表明其通过了三个方向总计13. 5h试验。

3结论

本文通过试验结果与计算结果相比较，验证了MSC. Fatigue在随机振动疲劳分析中的可行性，其计算结果可以作为设计合格与否及不同方案疲劳性能优劣的参考依据。另外在计算中没有考虑材料的表面处理及其它可能因素，因此计算结果存在一定误差。改进后的框架经多长时间会出现裂纹，没有进行试验验证。

范文四：随机振动地震分析

随机结构激励模型及随机振动反应分析

结构在服役期间，必将受到各种荷载的作用。对于建筑结构，在服役期间不可避免的会受到风力的作用，而且甚至会受到地震的作用；海洋上的结构，如海上风力发电高塔，海洋平台等，会受到海洋波浪的作用；行驶在路面上的车辆，由于路面的不平顺使得车辆受到动力作用；飞机在飞行中由于大气的自由流动也会受到扰动。这些作用在结构上的荷载，不仅随着时间发生变化，而且具有明显的随机性。而对于随机动力荷载下结构响应的问题，确定性的动力分析无法考虑随机性，随机振动理论应运而生。

随机振动的物理数学基础早在30年代已基本奠定。1827年Brown对悬浮在水中微小花粉粒子杂乱运动的观察，为最早的系统对随机激励响应的实验研究。19世纪后期Maxwell和Boltzmann用统计方法描述系统可能状态和达到的概率，但没有考虑统计随时间的演化。1919年Rayleigh用“随机振动”一词描述一等价于平面随机行走的声学问题。用随机方法研究动力学行为始于1905年，Ein stein从理论上解释了Brown运动，1915年Smoluchowski扩展了Einstein的结果并进行实验研究。1908年Langevin导出含有随机项的微分方程，成为随机微分方程的第一个例子，Fokker于1915年、Plank于1917年、Колмогоров于1931年、伊藤于1946年都对随机微分方程的研究作出贡献。1933年Андронов等应用随机微分方程讨论随机扰动下一般动力系统的运动。1920年Taylor引入相关函数概念，Wiener于1930年和Хинчин于1934年分别建立了谱的理论，这些数学工具首先应用于通讯和控制系统而不是结构和机械的强度分析，因为工程技术尚无此要求。随机振动的研究始于50年代中期。由于喷气和火箭技术的发展在航空和航天工程中提出一系列问题，如大气湍流引起的飞机颤振，喷气噪音导致的飞行器表面结构声疲劳，传动系统中滚动件不光滑而啮合不完善的损伤积累，火箭推进中运载工具有效负载可靠性等，都促使研究者运用已有数学工具，并借鉴这些工具在通讯等学科中的应用以解决面临的工程问题。Miles于1954年和Powell于1955年分别研究了飞行器结构颤振损伤积累的时间无规和空间涨落。1955年Morrow和Muchmore把谱分析引进随机振动并建立了结构随机响应等基本概念。1957年Erigen研究了连续体的随机振动并讨论振型相关性。1958年Crandall主编《随机振动》的出版标志着随机振动这一振动力学分支的诞生。60年代以来，随机振动在应用和理论方面都发展迅速。振动测试技术是随机振动应用的前提。在70年代之前基本采用模拟式仪器。由于计算机技术的迅速发展及1965年Cooley和Tukky发明快速Fourier变换算法，70年代以来数字式测试设

备广泛采用。在此基础上系统的识别与诊断及随机振动实验技术有很大发展，应用范围也愈来愈广泛，由飞机和火箭扩展到汽车、船舶及高层建筑、海洋工程结构等。在理论研究中，非线性随机振动备受重视。1959年Caughey研究提出随机等效线性化方法，而该方法在1954年便被Booton应用于控制系统。1961年Crandall建立随机摄动法。1966年以后，Stratonovich、Khasminskii、Papanicolaou与Kohler等发展了随机平均法。

结构随机振动分析，一方面要研究随机激励模型，地震、海浪、风等荷载形式都是极为复杂的，模拟这些随机动力荷载，即要掌握大量的数据资料，也要把握其内在的物理机制，这些工作都不是轻而易举能够解决的；另一方面研究随机振动分析方法。对于线性的结构，由于服从叠加原理，能够较为容易的解决。而非线性结构，对于实际的结构，即使是确定性的动力问题，都是难以求解的，随机振动更是困难。

1. 随机结构激励的一般模型

随机激励的一般模型可分为平稳模型和非平稳模型两种。平稳模型就是平稳随机过程。结构随机激励的平稳模型记为Fs(t)，则Fs(t)的均值是常数、相关函数只依赖于时间差，即

mF(t)=mF,RF(t1,t2)=RF(t)

(t=t2-t1)

(1.1)

当mF(t)=0时，Fs(t)的相关函数与其谱密度SF(w)之间有如下关系：

RFs(?)??SFs(?)ei??d?

SFs(?)?

RFs(?)e

?i??

(1.2)

即RFs(?)和SFs(?)构成Fourier变化对。当mF(t)10时，Fs(t)的协方差函数?Fs(?)与其SFs(?)之间有上述关系式(1.2)。

对于结构随机激励的平稳模型，我们只要知道它的均值和相关函数、或者均值和谱密度就可完全确定这个模型的统计特性。在确定具体的结构随机激励平稳模型时，我们总是根据大量的实测时程曲线去统计确定均值和相关函数的具体表达形式、或者均值和谱密度的具体表达形式，二者只要知道其中一个，即可由关系式(1.2)求得另一个。不同的平稳随机模型主要反映在相关函数或谱密度的具体表达形式上的不向。

结构随机激励的平稳模型就是非平稳随机过程，可以分为两类：均匀调制非

平稳模型和调制非平稳模型。

(1) 均匀调制非平稳随机模型：这种随机模型又称为可分离式非平稳随机模型，它可以表示为确定性函数与平稳随机过程的乘积，即

F(t)=f(t)Fs(t)

(1.3)

式中f(t)是表示随机激励非平稳特性的确定性函数；Fs(t)是平稳随机过程。假定模型(1.3)中F(t)的均值mF(t)=0因此，平稳随机过程Fs(t)的均值mF(t)=0。

对于均值不为零的非平稳随机激励F'(t)，我们取F(t)=F'(t)-mF'(t)，从而有模型(1.3)的形式。当已知Fs(t)的相关函数RFs(?)或者谱密度SFs(?)时，非平稳随机干扰F(t)的相关函数和谱密度可容易地求得为

RF(?)?f?t1?f?t2?RFs(?) (1.错误！未找到引用源。)

SF(?)?f?t?SFs(?)

(1.5)

与平稳随机模型类似，非平稳随机模型的统计特性也完全由其均值和相关函数或者是均值和谱密度所确定。在工程实际中，为了建立起这种随机激励的非平稳模型，在大量实测记录统计分析的基础上，首先合理确定平稳随机过程RFs(?)的统计特性——相关函数或者谱密度，其次合理确定反映该随机干扰非平稳待性的确定性函数f(t)。

(2)调制非平稳随机模型：这种非平稳随机模型可以表示为

F(t)=

￥

A(t,w)e-iwtdZ(w)

(1.6)

式中A(t,w)是时间t和频率w的确定性函数，称为调制函数；Z(w)是均值为零的正交增量过程，它通过下式与某个平稳过程?Fs(?)联系起来：

2EdZ(w)=SF(w)dw s(1.7)

式中SF(w)是Fs(?)的谱密度。

这里假定模型(1.6)中F(t)的均值mF(t)=0。对于均值不为零的非平稳随机激励F'(t)，总可以取F(t)=F'(t)-mF'(t)，从而有模型(1.6)的形式。

调制非平稳随机模型的相关函数和谱密度可分别表示为

RF(t1,t2)=

￥

A(t1,w)A*(t2,w)SF(w)e

iw(t2-t1)

dw (1.8) (1.9)

SF(t,w)=A(t,w)SF(w)

式中*表示复共轭。因此，调制非平稳随机模型的统计特性完全由调制函数

A(t,w)和平稳过程Fs(t)的统计特性——相关函数或谱密度完全确定。

1.1. 脉动风速随机模型

风荷载是高耸结构(如烟囱、电视塔、输电线塔和桅杆等)、高层建筑、大跨和桥梁结构等的主要荷载。作用于结构的风力主要与风速有关。

脉动风速的随机模型：实测资料表明，在一次大风过程中，在风速最强的时段内，任意固定高度处的风速总是围绕其平均值平稳地变化，因此，风速v(z,t)可以分解为两部分：平均风速va(z)和脉动风速vd(z,t)，即风速可以表示为

v(z,t)=va(z)+vd(z,t)

(1.10)

平均风速沿高度的变化规律一般符合指数律或对数律。

(1) 指数律：根据实测结果的分析，Davenport等人提出的指数律可以表示为

va(z)vas

骣z÷÷ =?÷÷?zs桫

(1.11)

式中zs和uas分别是标准高度及标准高度处的平均风速；a是地面粗糙度（指数律用）。地面粗糙的程度愈大，a亦愈大。

(2) 对数律：根据近地风速摩擦层的理论研究和实测结果的分析，Гaндин等人提出的对数律可以表示为

va(z)vas

lnz-lnz0lnzs-lnz0

(1.12)

式中z0是风速等于零的高度，随地面粗糙程度而变化，因而也称为地面粗糙度（对数律用）。地面粗糙的程度愈大、z0愈大。

脉动风速是随机的，可以用随机过程来表示，而且大量的实测分析结果表明，它是平稳随机过程，且由(1.10)知，脉动风速的均值是零。

利用风速实测记录统计确定脉动风速的相关函数或谱密度的方法通常有两种：一种是将强风记录进行相关分析直接得到相关曲线，然后通过曲线拟合求得相关函数的具体表达形式；另一种是将强风记录通过超低频滤波器直接得到谱曲线，然后通过曲线拟合求得谱密度的具体表达形式。

1.2. 地震地面运动的随机模型

由于地震发生、震源机制、传播途径与场地条件等因素的随机性，使观测地震动加速度时程具有显著的随机性。地震动的随机性包括两个层面：一是地震活动的随机性，地震活动性指的是地震活动的时、空、强度和频度的规律；另一层面是地震动过程的随机性。基于随机过程理论研究地震动源于真实强震记录的获得，1947年Housner针对强震记录所表现出的强烈不规则性，提出用随机过程理论解释和描述地震动的加速度时程。至今，已有多种随机地震动模型提出。按所提出的随机地震动模型平稳与否，可以将现有的描述地震动随机性的方法归纳为平稳地震动随机模型和非平稳地震动模型。鉴于非平稳模型的不成熟性，在此只讨论平稳模型。

(1) 时域平稳模型

1947年，Housner提出用平稳脉冲序列模拟真实地震动，假定地震动加速度可以简化成一系列集中脉冲的集合，每个脉冲的大小一定，但到达时刻是随机的，其分布是均匀的。加速度的表达式为：

ag(t)=?

Vd(t-ti)

(1.13)

式中，ag(t)为t时刻的加速度，V表示集中速度脉冲，d(t)为Dirac函数，

表示第i个脉冲的到达时刻。尽管这个模型存在着一些问题，但作为一个开创

性工作是值得充分肯定的。Goodman等推广了Housner的概念，仍然假定地震动加速度为一系列集中脉冲，但不仅每个脉冲的到达时刻是随机的，而且大小也是随机的。彼此独立，有相同的分布。时域平稳模型只能在现象上获得和真实地震动相似的时间序列，但是真实地震动的特征，如能量在频域的分布等，无法通过这种方法体现。因此，在工程上时域平稳模型没有得到广泛的应用。

(2) 频域平稳模型

和时域上模拟相比，在频域上进行地震动模拟的研究更为活跃。针对地震动加速度时程功率谱并不是常数这一特点，Kanai提出了过滤白噪声模型。他假定基岩传来的地震波是白噪声，基岩上的土层为单自由度体系，求这个单自由度体系的绝对加速度功率谱，并用这个谱来模拟地表加速度功率谱。谱的表达式为：

骣

2?w÷÷1+4xgw÷÷?桫g÷轾

犏犏1-犏犏臌

SA(w)=

骣骣w鼢珑2w鼢+4xg鼢鼢wg鼢wg珑桫桫

(1.14)

式中，wg,xg分别为场地土卓越频率和阻尼比，S0为白谱强度，这个谱具有

单峰形状。后来Tajimi用上式求解了建筑物结构的最大反应。1964年，Housner 和Jennings根据美国若干地震动记录确定了Kanai公式中的参数，并证明了无阻尼速度反应谱和功率谱有近似关系。由Kanai-Tajimi模型可容易地得到地面运动速度和位移的功率谱函数

Sv(w)=w-2SA(w) Sx(w)=w-4SA(w)

(1.15) (1.16)

但是，当w=0时，Sv(w)和Sx(w)出现明显的奇异点，它使地面速度和位移无界，这显然是与实际不符合的。

为了克服这一缺点，胡聿贤和周锡元引入一低频减量wc，提出一种修正模型：

SA(w)=nS0 2222n

(wg-w)+(2xgwgw)w+wc

4wg+(2xgwgw)2

(1.17)

式中，S0为白噪声功率谱密度；xg为地基过滤器阻尼比；wg为地基过滤器圆频率；wc为低频减量；n为参数，取4～6。

为了保持Kanai-Tajimi谱的原有特征，Ruiz和Penzien建议了另外一种削减低频的模型：

SA(w)=

S0 222w22www222

(1-2)+4xg(1-)+4x1222

wgwgw1w1

w21+4x2

w44w1

(1.18)

其中，频率参数w1和阻尼参数x1是为了给出所需要的过滤特征而选择的。

针对过滤白噪声模型无法反映基岩加速度频率特性的问题，松岛丰在过滤白噪声模型的基础上，将基岩地震动的谱密度由白噪声过程修正为马尔柯夫有色谱：

SA(w)=

(1-

1+4x2

2g2

w2w2w)+4x1+g222wgwgwh

(1.19)

式中，wh是反映基岩特性的谱参数，可取为wh=8prad，这一模型仍然有Kanai谱同样的缺点，即地面速度和位移的方差无界。

由上述随机地震动模型可以看出，以平稳过程功率谱密度函数描述的随机地震动模型的发展，实际上是一个基于白噪声模型或过滤白噪声的改进过程。同时应该指出，过于复杂的模型形式并没有在本质上改善模型精度，反而是形式最简单的Kanai-Tajimi模型应用最广泛。虽然，该模型积分将使地面速度和位移功率谱无界，但是由于现在更多的将随机振动问题转化到时域处理，该缺点已经显得无足轻重。但是，当w=0时，Sv(w)和Sx(w)出现明显的奇异点，它使地面速度和位移无界，这显然是与实际不符合的。

()

2. 线性体系随机振动的反应分析

2.1. 单自由度体系的随机振动时域分析

单自由度体系的运动微分方程为：

&&&mu(t)+cu(t)+ku(t)=P(t)

(20)

式中m为质量，c为阻尼，k为刚度，P(t)为外力，u(t)为质点位移响应。将上式两边同除以m，可写成常用的标准形式，

式中：w1=

&&&u(t)+2x1w1u(t)+w1u(t)=F(t)

(21)

P(t)F(t)=单自由度体系的自振频率；

x1=，阻尼比；，

m单位质量的外激励。

对于大多数工程结构而言，x1=1，此时方程的解为：式中：

数学期望：

u(t)=蝌F(t)h(t-t)dt='

0w1

F(t)e

-x1w1(t-t)

sinw1(t-t)dt

(22)

h(t)=

1-x1w1t'

esinw, t 0 1'w1

(23)

自相关函数：

Eu(t)=

￥

EF(t-t1)h(t1)dt

(24)

Ru(t1,t2)=Eu(t1)u(t2)

=蝌 =蝌

-?-?ゥ

ゥ

EF(t1-t1)F(t2-t2)gh(t1)gh(t2)dt1dt2 RF(t1-t1,t2-t1)h(t1)h(t2)dt1dt2

(25)

由以上两式，只要输入EF(t-t1)、RF(t1-t1,t2-t2)已知，通过脉冲响应函数h(t)，即可求出有关的值。如果F(t)为平稳随机过程，则

EF(t-t1)及RF(t1-t1,t2-t2)与t无关，通过积分后，仍然与t无关，即输入是平稳的，输出亦是平稳的。同理，输入如是各态历经的，则输出亦是各态历经的。频域分析

在时间域计算统计值一般比较复杂，常涉及繁琐的积分运算，因而常把它变换到频域中去，可有一定的简化。利用维纳－辛钦关系式可得频域的功率谱密度为：

Sx(w)=

1￥-iwt

Redtòu- 2p

1ゥ-iwt

=R(t+t-t)h(t)h(t)edt1dt2dt蝌 F1212-?? 2p

ゥ

iwt-iwt

=蝌h(t1)e1dt1gh(t2)e2dt2g SF(w)eiwtdt =ò

￥-

(26)

H(iw)SF(w)eiwtdw

式中：

H(iw)=

h(t)=

12p

￥

- ￥

h(t)e-iwtdt

H(iw)eiwtdw

(27) (28)

H(iw)是h(t)的傅立叶变换。h(t)是系统对于单位脉冲函数（即?函数）的响应，称为脉冲响应。因此H(iw)亦有相应的意义。实质上，因为H(iw)是

F(t??1)?e?i??1即F(t)=eiwt=1时、系统的位移响应u(t)，因此，如设输入

F(t)=eiwt时，系统的平稳响应为：

y(t)=H(iw)eiwt (29)

h(t)是系统对于单位脉冲函数的响应，称为脉冲响应，表征着时域内的响应

特性，如果取F(t)=eiwt=1时的系统的位移响应，表征着频域内的响应特性，一般我们称它为系统的频率响应（或频率响应函数）。因此线性系统的特性可以用脉冲响应或者频率响应来表示。当系统输入F(t)时，通过H(iw)的传递可得出输出的响应，对于位移响应u(t)来说，它表示了振幅的放大率，因此频率响应函数也常称为传递函数。对于单自由度体系：传递函数可表示为：

H(iw)=

=22

w1-w+i2xw1w

轾2

犏w11-犏臌

()+i2x()

ww1

(30)

输入F(t)为白噪声时的响应

当输入F(t)为白噪声时，其功率谱密度应为：

SF(w)=S0 -?

由于很多物理现象如地震等，可以用白噪声近似地来表达，它具有很简单的功率谱，即功率谱密度为常数，如公式(31)所示，所以是理论分析经常利用的平稳随机过程的一个重要的数学模型。

位移响应的功率谱密度可以表示为：

Su(w)=H(iw)SF(w)

=2镲轾骣2镲轾w犏?w÷4镲镲÷w1睚1-?+犏2x犏÷?犏镲÷?ww1犏桫1犏镲臌犏镲臌镲铪

(错误！未找到引用源。)

由于Eu=0，所以方差值等于均方值，即：

s=Du=Eu=Ru(0)=

￥

Su(w)dw

S0w

￥

轾犏1-犏犏犏臌

骣w÷÷÷?w1÷桫

(33)

轾w

+犏2x犏犏臌w1

pS0

2xw1

2.2. 多自由度体系的随机振动

多自由度体系的振动方程应为：

&&&+ku=p(t) mu+cu

(34)

最常用的解法是振型分解法，由于它具有正交性，因而根据需要，用很少几项，就能有效的描述所求的位移响应。设位移按振型分解为：

式中Φ为振星，q为广义坐标。

将上式代入(34)，并利用正交性，可以得到：式中：

M=ΦTmΦ,C=ΦTcΦ,K=ΦTkΦ,P(t)=ΦTp(t)

u=Φq (35)

&&&+Kq=P(t) Mq+Cq

(36)

(37)

上式中M、C、K、P依次表示广义质量、广义阻尼（设为瑞雷阻尼）、广义刚度、广义荷载，除P外其它矩阵均为对角矩阵。根据对角矩阵的特点，上式可以变成若干个振型计算结果的叠加。对于第j个振型，上式为：

或：

Mjqj?Cjqj?Kjqj?Pj(t)

(38)

qj?2?j?jqj??qj?2

Pj(t)Mj

?Fj(t)

(39)

对于n个自由度的体系，这样的独立方程共有n个。

对于位移响应，由式(35)，可得：

u(t)???j?z?qj(t)

j?1

(40)

为了表示广泛起见，对于某处任何响应量R(z,t)可表示为：

R(z,t)??Aj(z)qj(t)

j?1

(41)

式中Aj(z)为第j个振型，的响应函数，它等于第j个振型上的惯性力Mj?j?j(z)

所引起响应量。经简化可得到：

R(z,t)=

j=1

Aj(z)òFj(t-t1)hj(t1)dt1

￥

R(z,t+t)=

k=1

Ak(z)òFk(t+t-t2)hk(t2)dt2

￥

(42)

因此，自相关函数可表示为：

RR(z,t)=ER(z,t)R(z,t+t) =邋

nj=1k=1

蝌

ゥ

Aj(z)Ak(z)RFF(t+t1-t2)hj(t1)hk(t2)dt1dt2

(43)

相应的谱密度公式为：

SR(z,w)=

12p

￥

RR(z,t)e-iwtdt

ゥ

j=1k=1

2p =邋

蝌邋

￥

ゥ-?

Aj(z)Ak(z)RFF(t+t1-t2)hj(t1)hk(t2)e-iwtdt1dt2

j=1k=1

Aj(z)Ak(z)蝌hj(t1)e

iwt1

dt1

hk(t2)e

-iwt2

dt2

2p =邋

RFF(t3)e

-iwt3

dt3

Aj(z)Ak(z)Hj(-iw)Hk(iw)SFF(w)

j=1k=1

(44)

对于小阻尼体系，由振型j产生的响应同振型k产生的响应几乎是独立的。这样，上式中各交叉项都相对地小，可以略去。这样就只保留脚标相同的各项，得：

SR(z,w)?

Aj2Hj(iw)SFF(w)

(45)

j=1

式中SFF(w)常写成SF(w)。

SFF(w)根据Fj(t)的定义可求得：

式中：

SFF(w)=

(w)

{fj}[SP(w)]{fk}P

MjMkMjMk

(46)

{fj}=[fj1,fj2,L,fjn]T

轾SPP(w)SPP(w)LSPP(w)犏11121n犏SPP(w)SPP(w)LSPP(w) 犏'21222n

[SP(w)]=犏PiiMMM犏M

犏

SPP(w)SPP(w)LSPP(w)犏n1n2nn臌

(47)

得到功率谱密度SR(z,w)，根方差sR就可以容易的写出了，其值为各个振型影响的叠加，即：

sR=

(48)

+ò

AHn(iw)SF(w)dw

当系统受到多个集中力或分布力输入同时激振时，除了给出各个输入的功率谱密度或相关函数外，还必须给出各个输入之间的互谱密度或互相关函数。只有各个输入毫不相关而独立时，才可按各个输入分别求出响应，然后叠加。

3. 非线性体系随机振动的反应分析

严格地说，结构体系的振动总不同程度地具有某种非线性，只是在小变形的微幅振动下大多数体系的非线性特征不明显，我们可以较好地用线性的模型来捞述。但是，对于大变形振动或本身含有非线性元件的体系振动，我们必须用非线性的模型来描述，并探讨非线性反应分析的相应方法。结构非线性振动的反应分析比线性的情况要复杂和困难得多．根本的原因是叠加原理对非线性振动不适用。由于这个原因，致使对线性振动反应分析非常有效的Duhamel积分法和振型分解法对非线性振动都不适用。此外，非线性随机振动还有一大困难，就是体系在正态型随机下，由于非线性的影响，反应也不一定是正态型的。这就使得我们不能由反应的二阶统计量来直接得到反应的概率分布。

理沦上，对于非线性随机振动，当体系的状态反应是Марков过程矢量时，出于反应的转移概率密度满足FPK方程，因此，在一定的初始条件下，我们可以通过求解FPK方程来得到反应的概率密度，这种方法称为FPK方程法。但是，FPK方程的解析解只对很少一类问题才能求得，此外，也只有在体系的干扰是白噪声或过滤白噪声的情况下，状态反应才是Марков过程矢量，因此，人们为了揭示一般的非线性随机振动的运动规律而不得不寻求其它的近似方法。非线性随机振动分析的基本方法主要有FPK方程法、统计矩截断法、随机摄动法和随机等价线性化法。 3.1. FPK方程法

由于单自由度和多自由度非线性体系在白噪声或过滤白噪声激励下随机振动的运动方程都可以化成Ito型状态微分方程：

Y&t)=fY(t),t+Y(t),tW(t)(

t?T;Y(t0)Y0或y0

)

(

()(

))

(49)

所以体系的状态反应Y(t)是矢量Марков过程。因此，Y(t)的转移概率密度满足FPK方程。

考虑非线性随机振动的一般状态方程(49)，令体系状态反应Y(t)的转移概率密度为py,ty0,t0，满足如下FPK向前方程：

()

?py,ty0,t0

抖t

(

)=-

i=1

抖轾1

ay,tp+()i臌yi犏2

i=1j=1

轾aij(y,t)p

臌抖yiyj犏

(50)

ij=1,2,...,n)与体系的状态方程(49)有关，其式中导出矩ai(y,t)和aij(y,t)(，

具体表达式为：

ai(y,t)=fi(y,t)

aij(y,t)=2T

犏臌

(i=1,2,...,n)

ij=1,2,...,n)(，

(51)

其中是fi(y,t)矢量函数f(y,t)的第i个分量；=(y,t)；=p，是矢

量白噪声W(t)的谱密度矩阵；犏臌

是矩阵的第i行、第j列的元犏臌ij

素。

FPK方程(50)的初始条件有两种情况： 1)当状态方程(49)的初始条件

Y(t0)=Y0

(52)

是矢量随机变量时，则FPK方程(50)的初始条件是

py,ty0,t0

()

t=t0

=p(y0,t0)

(53)

式中p(y0,t0)是矢量随机变量Y0的联合概率密度。

2)当状态方程(49)的初始条件

Y(t0)=y0

(54)

是矢量常量时，则FPK方程(50)的初始条件是

py,ty0,t0

()

t=t0

?d(y

i=0

-yi0)

(55)

FPK方程(50)的边界条件由分布在整个实轴上的概率密度的基本性质确定，即

py,ty0,t0

()

xi=饱

=0(i=1,2,...,n)

(56)

由于状态矢量Y(t))的转移概率密度py,ty0,t0是从体系运动的初始状态

Y(t0)=y0转移到X(t)=x的概率密度，因此

()

1)当状态方程是式(54)那样的确定性初始条件时，py,ty0,t0就是体系状态欠量Y(t)的概率密度。

2)当状态方程是式(52)那样的随机初始条件时，则体系状态矢量Y(t)的概率密度可由全概率公式求得为

()

p(y,t)=

￥

py,ty0,t0p(y0,t0)dy0

()

(57)

特别地，当体系的状态方程(49)中fY(t),t=fY(t)，

Y(t),t=Y(t)不显含t时(如通常的非线性随机振动那样)，则由式(51)

()()

知，导出矩ai(y,t)=ai(y),aij(y,t)=aij(y)与t无关。在这种情况下，当t变大时反应Y(t)趋于平稳。平稳状态反应Y(t)的转移概率密度py,ty0,t0=ps(y)与初始条件和时间都无关，并满足如下稳态的FPK方程：

抖轾1

-aypy+()()is臌yi犏2i=1抖

()

i=1j=1

轾aij(y,t)ps(y)=0 犏臌yi yj

(58)

因此，稳态的FPK方程的求解只需要边界条件.

平稳状态反应Y(t)的转移概率密度ps(y)与初始条件无关，显然，ps(y)就是Y(t)的平稳概率密度；此外，由于ps(y)与时间t无关，因此。Y(t)还是严格平稳的。

状态矢量Y(t)的概率密度能完整地反映体系状态运动规律的随机信息，由它可以求得Y(t)的各阶统计矩。非线性随机振动的FPK方程法就是要通过求解体系的状态矢量或扩充了的状态矢量(在过滤白噪声激励下)的FPK方程来得到状态矢量或扩充了的状态矢量的联合概率密度。因此，从理论上来说，FPK方程法是非线性随机振动分析最严密、最完美的方法。然而，遗憾的是，PPK方程的精确解对于非线性体系的非平稳反应只是在少数一阶体系的情况下才能得到；即使对于平稳反应的情况，也只有少数几类特殊的单自由度和多自由度体系才能得到。因此，对于比较一般的非线性随机振动问题，还只能用近似的分析方法。 3.2. 随机等价线性化方法

随机等价线性化法是非线性确定性振动的等价线性化法对随机问题的推广。它的基本思想是把受随机激励的非线性体系的运动方程用一个等价的线性方程来近似，然后使两个方程之差的误差项的某种量度最小的原则来确定等价线性方程中的参数。这种方法既适用于弱非线性体系，也适用于强非线性体系，在工程实际中应用较广，是目前解决工程结构非线性随机振动问题最有效的方法。

考虑如下单自由度非线性体系

&&&mx+g(x,x)=F(t)&x(0)=x(0)=0

(59)

式中激励F(t)是任意的随机过程。

设与方程(59)等价的线性方程为

&&&mx+cex+kex=F(t)&x(0)=x(0)=0

(60)

其中的参数ce和ke称为等价线性阻尼和等效线性刚度，它们要选择得使构造的等价线性方程“最优”地逼近原来的非线性方程(59)的解。因此，现在的中心问题就是要在某种准则下“最优”地确定参数ce和ke。一旦这些参数确定，我们就可以用线性随机振动的理论通过求等价线件体系的反应来作为原非线性体系的近似反应。

令e(t)表示原方程(59)和等价的线性方程(60)之差的误差项，即

&e(t)=g(x,x)-cex&-kex

(61)

误差项e(t)是一个随机过程。为了使误差最小，等价线性化通常的准则是使误差过程e(t)的平方的期望最小，并按此准则来确定参数ce和ke。

由式(61)，得

()

&=E轾g(x,x)-cex&-kex犏臌

{

}

(62)

根据多元函数求极值的方法，可以证明使E(e2)取极小的充分必要条件是

抖Ee2抖ce

()=

Ee2ke

()=

0 (63)

利用这个条件并注意期望与导数的可交换性，得

&&&&E轾xgx,x-cEx-keE(xx())=0 e犏臌 2

&&E轾xgx,x-cExx-kEx=0()()ee犏臌

()

(64)

以上方程联立求解，可得所要求的参数

&(x,x&Ex2E轾xg)-犏ce=

2&Ex2Ex

2&&ExE轾xg(x,x)-犏ce=

2&Ex2Ex

()()

()()()()

&&E(xxxgx,x)E轾犏()

轾&-犏Exx臌() 轾&&x,x&E(xxxg)E犏()

轾&-犏Exx臌()

(65)

用式(65)确定参数ce和ke时，需要知道等式右边的那些期望值。在不作任何

&假设的情况下，这些期望值是很难求得的，因为它们—般要求知道x(t)和x(t)的

&,t)，这是未知的。联合概率密度p(x,t;x

当激励F(t)是平稳过程时，—般在平稳反应的状态下来确定等价线性体系的阻尼ce和ke。在这种情况下，由于平稳位移和速度反应互不相关，即

&Ex(t)x(t)=0，于是式(65)变成

()

ce=

轾&x,x&xg犏臌()

2&Ex

&E轾xg(x,x)犏臌ce= 2

(66)

在随机等价线性化中，通常用等价线性体系反应的联合概率密度代替原非线性体系反应的联合概率密度来确定式(65)或(66)(中的那些期望。因此，当激励是

&正态非平稳或乎稳过程时，由等价线性方程(60)可容易地确定反应x(t)和x(t)的&联合概率密度pxx&(x,x)，然后将其代人式(65)或(66)求期望，即可求得等价阻尼ce

和ke。

&当F(t)是零均值的正态过程(可以是严稳或非平稳的)时，假定g(x,x)满足正

态截断法的条件，令

则式(64)可以写成

可求得

E轾g(Y)Y犏臌

T轾=E犏 YgY

臌(

Y={y1,y2}E轾g(Y)Y犏臌

&={x,x}

(67)

轾-轾keceE犏YY犏臌臌

=0 (68)

轾YY)E犏臌

(69)

YY将式(69)代人式(68)，两边右乘E-1轾，得犏臌轾T

kece=E轾 YgY犏犏臌(臌

)

(70)

即

轾抖g(Y犏ke=Ey犏抖臌1轾抖g(Y犏ce=Ey犏抖臌2

))

轾g(x,x&)犏=E犏x臌轾g(x,x&)犏=E&犏x臌

(71)

式(71)右端的期望可以重复利用正态截断法降阶，直到表示为x和x&的一阶矩、二阶矩和二阶联合矩的函数。由于激励F(t)的均值是零，因此，x和x&的一阶矩(均值)也为零，而它们的二阶矩和二阶联合矩可容易地由等价线性方程(60)求得。由于式(65)、(66)和(71)右端的那些期望是由等价线性方程(60)求得的．因此，这

些期望表达式个总含有ce和ke。为了求得ce和ke的具体值，一般需用选代法求解。

对于非平稳随机干扰的情况，由式(65)或(71)可明显地看出，由于ce和ke，直接与反应的统计矩有关，而非平稳反应的统计矩是时间t的函数，因此，体系的等价阻尼和刚度ce=ce(t)和ke=ke(t)是随时间变化的。这时等价阻尼和刚度以及体系反应统计矩，需要从t1=Dt的离散时刻起骤迭代求解，—直算到所需要的时刻tk=kDt。由单自由体系就可以清楚了解随机等价线性化方法，多自由体系求解不再赘述。 3.3. 随机摄动法

随机摄动法是非线性确定性振动的摄动方法对随机问题的直接推广，它可用来确定弱非线性体系受随机激励的近似反应的统计矩。

考虑如下单自由度非线性体系

&&&&mx+c0x+kx+eg(x,x)=F(t)

(72)

式中e=1，F(t)是正态平稳随机过程。按照摄动法的基本思想，假设方程(72)的解可以展开成参数e的幂级数：

x(t)=x0(t)+ex1(t)+e2x2(t)+...

(73)

&将g(x,x附近展成Talyor级数后，把式(73)代入方程(72)，令e的同幂)在x0和x&0

次项相等，则得如下一系列线性方程：

&&&mx+c0x+kx0=F(t)00&&&&mx+c0x+kx1=-g(x0,x110)&&&mx+c0x+kx2=-22M

抖x0

&抖g(x0,x0)

x1-

&g(x0,x0)&x0

&x1

(74)

令是线性微分算子

d2d

l=m2+c+k

dtdt

(75)

的单位脉冲反应，则方程(74)的解可以按顺序依次求得，其平稳解可以表示为

x0(t)=

x1M

òh(t-t)F(t)dt

(t)=-òh(t-t)g(x(t),x&(t))dt

(76)

于是，体系反应x(t)的统计矩可由式(73)和(76)求得。由式(73)，得反应均值

2轾轾E轾xt=Ext+eExt+eE()()()01犏犏犏臌臌臌

轾x2(t)+... 犏臌

(77)

式中

E轾x0(t)=òh(t)E轾Ft-t)dt犏犏臌臌(0

￥

轾&E犏x1(t)=-òh(t)E轾gx(t-t),xt-t)dt 犏0(臌0臌0M

￥

()

(78)

&&t的前二阶矩表示出来，g(x0,x其中E轾可按正态截断法降阶后由x0(t)和x也0()0)犏臌

可按如下求期望的公式计算：

&E轾g(x0,x=0)犏臌

蝌

ゥ

&&& g(x0,xpx,xdx0dx0)(00)0

(79)

&t也是正态过程，因此由于假定激励F(t)是正态过程，所以反应x0(t)和x0()&它们的平稳联合概率密度p(x0,x由它们的—阶和二阶矩唯一确定。这些一阶和0)

二阶矩可由式(76)的第一式容易地求出。

由式(73)得反应的相关函数为或写成

Rx(t)=Rx(t)+e轾Rt+Rt+oe()()犏x1x0

0臌x0x1

2轾=Rx(t)+e犏R(t)+Rxx(-t)+oe

001臌x0x1

Ex(t)x(t+t)=Ex0(t)x0(t+t)+eEx0(t)x1(t+t)+

()

(){(E(x(t)x(t+t))}+o(e)

)

(80)

()()

(81)

其中第二个等式利用了性质Rxx(t)=Rxx(-t)。由式(76)，可得

Rx(t)=

Rxx

蝌h(t)h(t)R(t+t-t)dtdt

&(t+tx(t)g(x(t+t-t),x(t)=-òh(t)E轾犏臌

￥

ゥ

-t1)dt1

)

(82)

x0(t)gx0(t+t-t1),&x0(t+t-t1)可按正态截断法降解来求得,也可式中E轾犏臌

()

&t+t-t1)的三维联合高斯概率密度按求期望的方用x0(t)、x0(t+t-t1)、x0(

法来确定。

式(81)两边做Fourier变换，可得反应X(t)的功率谱密度为

Sx(w)=Sx(w)+2eRe轾Sxx(w)+oe2 犏0臌01

()

(83)

×表示对式中Re轾犏臌

轾×取实部。这里利用了Rxx(-t)的Fourier变换犏0臌

(-w)=S*x(w，“*”表示负共轭，Sxx(w)是由Rxx(t)的Fourier变换得x)

到的互谱密度。

用摄动法求解时，原则上说来，可以求得反应统计矩的e任意阶项，但在具体计算时，e高阶项的统计矩却很难求得。这是因为当阶数增加时，方程(74)右端的非齐次项将很快变成激励F(t)的很复杂的函数。因此在工程实际中，对于

e=1的情况，若能求得e的零阶和一阶项的统计矩，就已经提供了一个有用的

近似解了。同上节，由单自由体系就可以清楚了解随机摄动方法，多自由体系求解不再赘述。

4. 随机振动的可靠性分析

结构随机振动分析的最终目的是要定量地评价结构的可靠性，即在概率的意义上定量地评价结构的安全积度。结构随机振动将产生一定统计强度的结构反应。结构反应超过某一允许的界限将使结构失效或破坏。此外，结构随机振动与确定性振动类似，将使结构产生一定统计特性的疲劳效应。疲劳积累的过程也就是结构损伤积累的过程，损伤积累到一定的程度同样使结构失效或破从。结构随机振动的可靠性通常称为结构的动力可靠性。它是指结构在随机动力荷载作用下，在给定的一段时间内不发生破坏或失效的概率。因此，结构的动力可靠性分析必须涉及：1)结构或构件的统计特性；2)随机激励的统计特性；3)结构失效或破坏准则；4)结构动力反应的概率分析。但是，作为结构动力可靠性的基本理论，一般假定结构特性、荷载特性甚至破坏准则都是已知的．主要研究如何通过结构动力反应的概率分析来确定结构在给定的一段时间内不发生破坏的概率。

自1945年Rice最早研究随机过程超越某—固定界限以来。随机疲劳损伤与动力可靠性的研究进行了半个世纪。到目前为至，已经发展起来的方法大致可以分为两类：一类是直接从体系的随机状态方程入手，通过求解状态反应的FPK方程发展起来的方法；另一类是直接从体系的随机动力反应入手，通过分析反应超越界限的概率而发展起来的方法。由于结构的随机累积损伤和动力可靠性分析难度较大，目前仅只针对准自由度体系或单个反应的分析得到了初步的解决，提出了许多近似的方法。对于多自由度体系，由于反应之间的相关性．其损伤与可靠性分析变得更为困难，还有待进一步研究解决。

参考文献

[1] D.E. 纽兰著，随机振动与谱分析概论，机械工业出版社，1980

[2] Clough R.W, Penzien J (1975). Dynamics of Structures [M]. New York: McGraw-Hill. [3] 胡聿贤著，地震工程学，地震出版社，1988年 [4] 陈英俊等，结构随机振动，人民交通出版社，1993

范文五：随机振动分析报告

Alex-dreamer制作PSD：（可以相互传阅学习，但是鄙视那些拿着别人成果随意买卖！）

PSD随机振动应用领域很广，比如雷达天线，飞机，桥梁，天平，地面，等等行业。虽然现在对这方面公开资料很少，但是我相信以后会越来越多，发展的越来越成熟。学术的浪潮总体是向前的，不会因为几个大牛保密自己的成果就会阻止我们对PSD研究，因此结合我的经验和爱好，我研究了一下两种PSD加载分析。我标价的原则是含金量大小和花费我的时间以及我的经验值，如果你觉得值，就买；不值就不要下了。因为我始终认为：士为知己者死，女为悦己者容。算是互相尊重。如果你得到这份资料，那就祝你好运！

Good luck!-Alex-dreamer(南理工)

一：目的：根据abaqus爱好者提出的PSD随机振动分析，提出功率谱如何定义及如何加载？如果功率谱是加速度的平方，如何加载？如果在输入点施加载荷功率谱如何定义？本文将给出详细的分析过程。

二：随机振动基本概念

1. 随机振动的输入量和输出量都是概率统计值，因此存在不确定性。输入量为PSD（功率谱密度）曲线，分为加速度、速度、位移或者力的PSD曲线；最常见的是加速度PSD，常用语BASE MOTION基础约束加载。

2. 随机振动的响应符合正态分布，PSD实际上是随机变量的能量分布，也就是在不同频率上的方差值，反映不同频率处的振动能量，PSD曲线所围成的面积是随机变量总响应的方差值；

3. RMS为随机变量的标准方差，将PSD曲线包络面积开平方即为RMS。

4. 随机振动输出的位移、应力、应变等值都是对应不同频率的方差值（即PSD值），量纲为x^2，当然也可以输出这些变量的均方根值（即RMS值）；abaqus6.10以上版本可以直接在场变量里面输出设置。见下文。

5. 如果是单个激励源，定义为非相关性分析，如是多个激励源，则需要定义相关性参数。因此出现type=uncorrelated。

三：模型简介：

1）

2）

3）该模型很简单，是hypermesh中一个双孔模型。网格划分在hypermesh中完成，保证了雅克比>0.7以及网格其它质量的要方案1（对应connect模型）：在上方两个孔采用全约束方式，且加载的功求。网格与几何具有较高的吻合度。

率谱PSD密度是加速度功率谱，也就是说基于BASE基础约束，进行随机振动

PSD分析。结果分析底部孔处某节点的结果响应。

4）方案2（对应connect模型）：在底部圆孔施加载荷force类型的功率谱PSD，

与前者不同的是，这个不是基础施加PSD，而上某输入位置施加PSD。

5）重点和难点见一下详细介绍。

四：建模和导入在此略去。

1）导入模型；

Fig 1 导入网格模型

2）分析布定义以及设置

第一步先进行频率提取分析，这里提取前20阶模态。采用lanczos法。

第二步进行随机振动分析布设置，低频5Hz开始，高频2000Hz截至。

Damping设置：开始模态阶数：1，结束模态阶数20，阻尼0.001。

Fig 2 分析布设置

Fig 3 模态分析设置

Fig 4 随机振动参数设置

Fig 5 随机振动参数设置

3）结果输出设置

我们关心均方根应力输出，那么输出变量是勾选RS即可。其他变量输出读者自己选择。

4）历史变量输出。假如我们关心底部某节点的输出。

Fig 5 随机振动参数设置

3）结果输出设置

我们关心均方根应力输出，那么输出变量是勾选RS即可。其他变量输出读者自己选择。

4）历史变量输出。假如我们关心底部某节点的输出。

Fig 6 均方根输出设置

Fig 7 历史输出设置

5）边界条件设置

对基础点进行约束，也就是我们施加PSD的位置。

Fig 8 历史输出设置

6）如何编辑关键字？Model-?Edit Keywords---?random_force-m

*Elastic 207000., 0.3

** BOUNDARY CONDITIONS **

*Modal Damping ** OUTPUT REQUESTS ** **

** FIELD OUTPUT: F-Output-2 **

*Output, field *Node Output A, AR, U, UR, V, VR

** HISTORY OUTPUT: H-Output-1 **

*Output, history

*Node Output, nset=output

A1, A2, A3, AR, AR1, AR2, AR3, RA1 RA2, RA3, RAR1, RAR2, RAR3, RU1, RU2, RU3 RUR1, RUR2, RUR3, RV1, RV2, RV3, RVR1, RVR2 RVR3, U1, U2, U3, UR, UR1, UR2, UR3 V1, V2, V3, VR, VR1, VR2, VR3 *End Step

6）结果分析

Fig 9 应力输出

Fig 10 均方根应力输出

Fig 11加速度响应输出

Fig 12 输出点加速度响应输出

Fig 13 模态阶数与频率关系输出

方案二：这次采用指定点输入激励PSD，来研究模型响应。原节点处固定方式不变，关键字有一定差异，详见下文。

Tip：我这里输入定义了节点集，因此引入INPUT命名。 1）分析布同上；输出点我变了，读者可以随意定义。 2）边界条件同上；

3）关键字编辑（对应connect-force模型）：

*Elastic **

** BOUNDARY CONDITIONS **

*Modal Damping ** OUTPUT REQUESTS ** **

结果分析：

其它输出这里就不详细分析了。

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