对数函数的单调性与奇偶性

范文一：对数函数的单调性与奇偶性

对数函数的单调性与奇偶性导学案

对数函数的图像与性质：

（1）证明：y =

（单调性定义证明） log x 的单调性。

结论：函数______在区间__________上单调递______。探究：复合函数y =

log (-x ) 的单调性呢？

结论：函数______在区间__________上单调递______。总结：复合函数的单调性利用t =g (x ) 间接地求解。

（2）求函数y =

log (x

-4x +3) 的单调区间。（对于一个复合函数的单调性，观察x 与

t 的关系，t 与y 的关系，从而得出y 与x 的单调性）

二：复合函数的奇偶性：奇函数的概念：偶函数的概念：（1）证明f (x ) =

log

1-x

的奇偶性。 a 1+x

（步骤1：__________，步骤2：__________）

（2

）证明f (x ) =

（3）已知f (x ) =

log

(x 的奇偶性。

log (4

+1) -(k -1) x 为偶函数，求k 的值。

范文二：对数函数的单调性、奇偶性的运用

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对数函数的单调性、奇偶性的运用

张军丽

一、对数函数的单调性及其应用

利用函数的单调性可以:?比较大小;?解不等式;?判断单调性;?求单调区间;?求值域和最值.要求同学们:一是牢固掌握对数函数的单调性;二是理解和掌握复合函数的单调性规律;三是树立定义域优先的观念.

1. 比较下列各组数中的两个值大小:

(1)log3.4，log8.5 22

(2)log1.8，log2.7 0.30.3

(3)log5.1，log5.9(a>0且a?1) aa

思路点拨:由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成.

(1)解法1:画出对数函数y=logx的图象，横坐标为3.4的点2

在横坐标为8.5的点的下方，所以，log3.4

+ 解法2:由函数y=logx在R上是单调增函数，且3.4<>

所以log3.4

解法3:直接用计算器计算得:log3.4?1.8，log8.5?3.1，22所以log3.4

+ (2)与第(1)小题类似，logx在R上是单调减函数，且1.8<>

所以log1.8>log2.7; 0.30.3

(3)注:底数是常数，但要分类讨论a的范围，再由函数单调性

scope of the entire project. (2) should include: semi-finished products, quality of materials, installation quality. (3) must b欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 www.ks5u.com e marked with the date, personnel, quality. (4) construction, construction of clearly marked sections, axis. (5) the draw details. (6) the covert acceptance record perfect, intact. 2.16 l measurement, process description the process: become familiar with the structure and design of curtain wall map, partition the whole project, baseline measurements, benchmarking measurement axis, identify key points, put the line, measure, record, replacing the original data measuring elevation

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判断大小.

解法1:当a>1时，y=logx在(0，+?)上是增函数，且5.1<>

所以，log5.1

当0

所以，log5.1>log5.9 aa

解法2:转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小，

令b=log5.1，则，令b=log5.9，则 1a2a

x 当a>1时，y=a在R上是增函数，且5.1<5.9>

所以，b

x 当0

所以，b>b，即. 12

举一反三:

【变式1】(2011 天津理 7)已知则( )

B( C( D( A(

解析:另，，，在同一坐标系下作出三个函数图像，由图像可得

又?为单调递增函数， ? 故选C.

2. 证明函数上是增函数.

思路点拨:此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉利用对函数单调性比较同底数对数大小的方法.

证明:设，且x

又?y=logx在上是增函数 2

即f(x)

2 ?函数f(x)=log(x+1)在上是增函数. 2

举一反三:

【变式1】已知f(logx)=(a>0且a?1)，试判断函数f(x)a

的单调性.

+ 解:设t=logx(x?R， t?R).当a>1时，t=logx为增函数，aa若t<><>

? f(t)-f(t)=， 12

? 0<>1， ? f(t)

数，

当01

或0

2 3(求函数y=(-x+2x+3)的值域和单调区间.

22 解:设t=-x+2x+3，则t=-(x-1)+4.? y=t为减函数，且0<>

?4，

? y?=-2，即函数的值域为[-2，+?.

cord, replacing the original data measuring elevationition the whole project, baseline measurements, benchmarking measurement axis, identify key points, put the line, measure, re, partntact. 2.16 l measurement, process description the process: become familiar with the structure and design of curtain wall maponstruction, construction of clearly marked sections, axis. (5) the draw details. (6) the covert acceptance record perfect, ifinished products, quality of materials, installation quality. (3) must be marked with the date, personnel, quality. (4) c-scope of the entire project. (2) should include: semi3

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22 再由:函数y=(-x+2x+3)的定义域为-x+2x+3>0，即-1<><3.>

2 ? t=-x+2x+3在-1，1)上递增而在[1，3)上递减，而y=t为减函数.

2 ? 函数y=(-x+2x+3)的减区间为(-1，1)，增区间为[1，3.

二、函数的奇偶性

4. 判断下列函数的奇偶性. (1) (2).

(1)思路点拨:首先要注意定义域的考查，然后严格按照证明奇偶性基本步骤进行.

解:由

所以函数的定义域为:(-1，1)关于原点对称

又

所以函数是奇函数;

总结升华:此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质.说明判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数

式的恒等变形.

(2)解:由

所以函数的定义域为R关于原点对称

又

即f(-x)=-f(x);所以函数.

总结升华:此题定义域的确定可能稍有困难，函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，要求掌握.

三、对数函数性质的综合应用

2 5(已知函数f(x)=lg(ax+2x+1).

(1)若函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围;(2)若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围.

思路点拨:与求函数定义域、值域的常规问题相比，本题属非常规问题，关键在于转化成常规问题.f(x)的定义域为R，即关于x

2的不等式ax+2x+1>0的解集为R，这是不等式中的常规问题.f(x)

2的值域为R与ax+2x+1恒为正值是不等价的，因为这里要求f(x)

2取遍一切实数，即要求u=ax+2x+1取遍一切正数，考察此函数的图象的各种情况，如图，我们会发现:

使u能取遍一切正数的条件是.

2 解:(1) f(x)的定义域为R，即:关于x的不等式ax+2x+1>0的解集为R，

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当a=0时，此不等式变为2x+1>0，其解集不是R;

当a?0时，有 a>1.

? a的取值范围为a>1.

2 (2) f(x)的值域为R，即u=ax+2x+1能取遍一切正数

a=0或0?a?1，

? a的取值范围为0?a?1.

x 6(已知函数h(x)=2(x?R)，它的反函数记作g(x)，A、B、C三点在函数g(x)的图象上，它们的横坐标分别为a，a+4，a+8(a>1)，记ΔABC的面积为S.

(1)求S=f(a)的表达式; (2)求函数f(a)的值域;

(3) 判断函数S=f(a)的单调性，并予以证明;(4)若S>2，求a的取值范围.

解:(1)依题意有g(x)=logx(x>0). 2

并且 A、B、C三点的坐标分别为A(a， loga)， B(a+4， 2log(a+4))， C(a+8， log(a+8)) (a>1)， 22

?A，C中点D的纵坐标为〔loga+log(a+8)〕 22

? S=|BD|?4?2=4|BD|=4log(a+4)-2loga-2log(a+8). 222

(2)把S=f(a)变形得:S=f(a)=2〔2log(a+4)-loga-log(a+8)〕222=2log=2log(1+). 22

2 由于a>1时，a+8a>9， ?1<><，又函数y=logx2在(0，+?)上是增函数，>

? 0<><><><2log.>

(3)S=f(a)在定义域(1，+?)上是减函数，证明如下:任取a，1a，使1

(1+)-(1+)=16()=16?，

由a>1，a>1，且a>a， 1221

? a+a+8>0， +8a>0， +8a>0， a-a<0，>

<1+，再由函数y=logx在(0，+?)上是增><>

函数，于是可得f(a)>f(a) 12

? S=f(a)在(1，+?)上是减函数.

(4)由S>2，即得，解之可得:1

范文三：(10)对数函数的单调性奇偶性的运用

高一数学对数函数的单调性、奇偶性、公式的运用

经典例题透析

类型一、指数式与对数式互化及其应用

1(将下列指数式与对数式互化:

(1);(2);(3);(4);(5);(6).

思路点拨:运用对数的定义进行互化.

解:(1);(2);(3);(4);(5);

(6).

总结升华:对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重

要手段.

举一反三:

【变式1】求下列各式中x的值:

(1) (2) (3)lg100=x (4)

思路点拨:将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.

解:(1);

(2); x2 (3)10=100=10，于是x=2;

(4)由.

类型二、利用对数恒等式化简求值

2(求值: 解:.

中要注意格式:?它们是同底的;?指数中含有对数形式;?其值为真数. 总结升华:对数恒等式

举一反三:

+ 【变式1】求的值(a，b，c?R，且不等于1，N>0)

思路点拨:将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算.

解:.

类型三、积、商、幂的对数

3(已知lg2=a，lg3=b，用a、b表示下列各式.

高一数学对数函数的单调性、奇偶性、公式的运用

(1)lg9 (2)lg64 (3)lg6 (4)lg12 (5)lg5 (6) lg15 26 解:(1)原式=lg3=2lg3=2b(2)原式=lg2=6lg2=6a

2 (3)原式=lg2+lg3=a+b(4)原式=lg2+lg3=2a+b

(5)原式=1-lg2=1-a(6)原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a 举一反三:

【变式1】求值

22 (1) (2)lg2?lg50+(lg5) (3)lg25+lg2?lg50+(lg2)

解:

(1)

22 (2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)=lg2+lg2lg5+(lg5)=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1

2 (3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)

2 =2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.

ab 【变式2】已知3=5=c，，求c的值.

a 解:由3=c得:

同理可得

222 【变式3】设a、b、c为正数，且满足a+b=c.求证:.

证明:

22 【变式4】已知:a+b=7ab，a>0，b>0. 求证:.

222222 证明:? a+b=7ab， ? a+2ab+b=9ab，即 (a+b)=9ab， ? lg(a+b)=lg(9ab)，

? a>0，b>0， ? 2lg(a+b)=lg9+lga+lgb ?2[lg(a+b)-lg3]=lga+lgb

高一数学对数函数的单调性、奇偶性、公式的运用

即 .

类型四、换底公式的运用

4((1)已知logy=a，用a表示; x

(2)已知logx=m， logx=n， logx=p，求logx. abcabc

解:(1)原式=;

(2)思路点拨:将条件和结论中的底化为同底.

mnp 方法一:a=x， b=x， c=x

?，

? ;

方法二:.

举一反三:

【变式1】求值:(1);(2);(3).

解:

(1)

; (2)

(3)法一:

法二:.

总结升华:运用换底公式时，理论上换成以大于0不为1任意数为底均可，但具体到每一个题，一般以题中

某个对数的底为标准，或都换成以10为底的常用对数也可.

高一数学对数函数的单调性、奇偶性、公式的运用

类型五、对数运算法则的应用

5(求值

(1) log9?log32 827

(2)

(3)

(4)(log125+log25+log5)(log8+log4+log2) 248125255

解:(1)原式=.

(2)原式=

(3)原式=

(4)原式=(log125+log25+log5)(log8+log4+log2) 248125255

举一反三:

【变式1】求值:

解:

另解:设 =m (m>0).? ，

? ，? ，

? lg2=lgm， ? 2=m，即.

【变式2】已知:log3=a， log7=b，求:log56=? 2342

解:? ?，

高一数学对数函数的单调性、奇偶性、公式的运用

类型六、函数的定义域、值域

求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数

函数本身的性质(如定义域、值域及单调性)在解题中的重要作用.

6. 求下列函数的定义域:

(1); (2).

2 思路点拨:由对数函数的定义知:x>0，4-x>0，解出不等式就可求出定义域.

2 解:(1)因为x>0，即x?0，所以函数;

(2)因为4-x>0，即x<4，所以函数.>

举一反三:

【变式1】求下列函数的定义域.

xx (1) y= (2) y=ln(a-k?2)(a>0且a?1，k?R).

解:(1)因为，所以，

所以函数的定义域为(1，)(，2).

xxx (2)因为 a-k?2>0，所以()>k.

[1]当k?0时，定义域为R;

[2]当k>0时，

(i)若a>2，则函数定义域为(k，+?);

(ii)若0

(iii)若a=2，则当0<><1时，函数定义域为r;当k?1时，此时不能构成函数，否则定义域>

为.

高一数学对数函数的单调性、奇偶性、公式的运用

x 【变式2】函数y=f(2)的定义域为[-1，1]，求y=f(logx)的定义域. 2

思路点拨:由-1?x?1，可得y=f(x)的定义域为[，2]，再由?logx?2得y=f(logx)的定义域为[，4]. 22

类型七、函数图象问题

7(作出下列函数的图象:

(1) y=lgx， y=lg(-x)， y=-lgx; (2) y=lg|x|; (3) y=-1+lgx.

解:(1)如图(1); (2)如图(2); (3)如图(3).

类型八、对数函数的单调性及其应用

利用函数的单调性可以:?比较大小;?解不等式;?判断单调性;?求单调区间;?求值域和最值.要求同

学们:一是牢固掌握对数函数的单调性;二是理解和掌握复合函数的单调性规律;三是树立定义域优先的观念.

8. 比较下列各组数中的两个值大小:

(1)log3.4，log8.5 22

(2)log1.8，log2.7 0.30.3

(3)log5.1，log5.9(a>0且a?1) aa

思路点拨:由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成.

(1)解法1:画出对数函数y=logx的图象，横坐标为3.4的点在横坐标为8.5的点的下方， 2

所以，log3.4<>

解法3:直接用计算器计算得:log3.4?1.8，log8.5?3.1，所以log3.4<2.7，所以log1.8>log2.7; 0.30.30.3

(3)注:底数是常数，但要分类讨论a的范围，再由函数单调性判断大小.

解法1:当a>1时，y=logx在(0，+?)上是增函数，且5.1<>

当0log5.9 aaa

:转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小，解法2

令b=log5.1，则，令b=log5.9，则 1a2a

x 当a>1时，y=a在R上是增函数，且5.1<5.9>

所以，b

x 当0

所以，b>b，即. 12

举一反三:

高一数学对数函数的单调性、奇偶性、公式的运用

【变式1】(2011 天津理 7)已知则( )

A( B( C( D(

解析:另，，，在同一坐标系下作出三个函数图像，

由图像可得

又?为单调递增函数， ? 故选C.

9. 证明函数上是增函数.

思路点拨:此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉利用对函数单调性比较同底数对数大小的方法.

证明:设，且x

又?y=logx在上是增函数 2

即f(x)

2 ?函数f(x)=log(x+1)在上是增函数. 2

举一反三:

【变式1】已知f(logx)=(a>0且a?1)，试判断函数f(x)的单调性. a

+ 解:设t=logx(x?R， t?R).当a>1时，t=logx为增函数，若t<><>

? f(t)-f(t)=， 12

? 0<>1， ? f(t)

当01或0

高一数学对数函数的单调性、奇偶性、公式的运用

2 10(求函数y=(-x+2x+3)的值域和单调区间.

22 解:设t=-x+2x+3，则t=-(x-1)+4.? y=t为减函数，且0

? y?=-2，即函数的值域为[-2，+?.

22 再由:函数y=(-x+2x+3)的定义域为-x+2x+3>0，即-1<><3.>

2 ? t=-x+2x+3在-1，1)上递增而在[1，3)上递减，而y=t为减函数.

2 ? 函数y=(-x+2x+3)的减区间为(-1，1)，增区间为[1，3.

类型九、函数的奇偶性

11. 判断下列函数的奇偶性. (1) (2).

(1)思路点拨:首先要注意定义域的考查，然后严格按照证明奇偶性基本步骤进行.

解:由

所以函数的定义域为:(-1，1)关于原点对称

又

所以函数是奇函数;

总结升华:此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质.说明判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形.

(2)解:

由所以函数的定义域为R关于原点对称又

高一数学对数函数的单调性、奇偶性、公式的运用

即f(-x)=-f(x);所以函数.

总结升华:此题定义域的确定可能稍有困难，函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，要求掌握.

类型十、对数函数性质的综合应用

2 12(已知函数f(x)=lg(ax+2x+1).

(1)若函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围;(2)若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围.

思路点拨:与求函数定义域、值域的常规问题相比，本题属非常规问题，关键在于转化成常规问题.f(x)的定

2义域为R，即关于x的不等式ax+2x+1>0的解集为R，这是不等式中的常规问题.

2 f(x)的值域为R与ax+2x+1恒为正值是不等价的，因为这里要求f(x)取遍一切实数， 2 即要求u=ax+2x+1取遍一切正数，考察此函数的图象的各种情况，如图，我们会发现，

使u能取遍一切正数的条件是.

2 解:(1)f(x)的定义域为R，即:关于x的不等式ax+2x+1>0的解集为R，

当a=0时，此不等式变为2x+1>0，其解集不是R;

a>1.? a的取值范围为a>1. 当a?0时，有

2 (2)f(x)的值域为R，即u=ax+2x+1能取遍一切正数 a=0或0?a?1，

? a的取值范围为0?a?1.

x 13(已知函数h(x)=2(x?R)，它的反函数记作g(x)，A、B、C三点在函数g(x)的图象上，它们的横坐标分别为a，a+4，a+8(a>1)，记ΔABC的面积为S.

(1)求S=f(a)的表达式; (2)求函数f(a)的值域;

(3) 判断函数S=f(a)的单调性，并予以证明;(4)若S>2，求a的取值范围.

解:(1)依题意有g(x)=logx(x>0). 2

并且 A、B、C三点的坐标分别为A(a， loga)， B(a+4， log(a+4))， 22

C(a+8， log(a+8)) (a>1)，如图. 2

?A，C中点D的纵坐标为〔loga+log(a+8)〕 22

? S=|BD|?4?2=4|BD|=4log(a+4)-2loga-2log(a+8). 222

高一数学对数函数的单调性、奇偶性、公式的运用

(2)把S=f(a)变形得:S=f(a)=2〔2log(a+4)-loga-log(a+8)〕=2log 2222

=2log(1+). 2

2 由于a>1时，a+8a>9， ?1<><，又函数y=logx在(0，+?)上是增函数，>

? 0<><><><2log.>

(3)S=f(a)在定义域(1，+?)上是减函数，证明如下:任取a，a，使1

(1+)-(1+)=16()=16?，

由a>1，a>1，且a>a，? a+a+8>0， +8a>0， +8a>0， a-a<0，>

? 1<><1+，再由函数y=logx在(0，+?)上是增函数，>

于是可得f(a)>f(a) 12

? S=f(a)在(1，+?)上是减函数.

(4)由S>2，即得，解之可得:1

范文四：[整理](10)对数函数的单调性、奇偶性的运用

经典例题透析

类型一、指数式与对数式互化及其应用

1(将下列指数式与对数式互化:

(1);(2);(3);(4);(5);(6).

思路点拨:运用对数的定义进行互化.

解:(1);(2);(3);(4);(5);

(6).

总结升华:对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重

要手段.

举一反三:

【变式1】求下列各式中x的值:

(1) (2) (3)lg100=x (4)

思路点拨:将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.

; 解:(1)

(2); x2 (3)10=100=10，于是x=2;

(4)由.

类型二、利用对数恒等式化简求值

2(求值: 解:.

总结升华:对数恒等式中要注意格式:?它们是同底的;?指数中含有对数形式;?其值为真数.

举一反三:

+的值(a，b，c?R 【变式1】求，且不等于1，N>0)

思路点拨:将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算.

解:.

类型三、积、商、幂的对数

3(已知lg2=a，lg3=b，用a、b表示下列各式.

(1)lg9 (2)lg64 (3)lg6 (4)lg12 (5)lg5 (6) lg15 26 解:(1)原式=lg3=2lg3=2b(2)原式=lg2=6lg2=6a

2 (3)原式=lg2+lg3=a+b(4)原式=lg2+lg3=2a+b

(5)原式=1-lg2=1-a(6)原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a

举一反三:

【变式1】求值

22 (1) (2)lg2?lg50+(lg5) (3)lg25+lg2?lg50+(lg2)

解:

(1)

22 (2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)=lg2+lg2lg5+(lg5)=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1

2 (3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)

2 =2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.

ab 【变式2】已知3=5=c，，求c的值.

a 解:由3=c得:

同理可得

222 【变式3】设a、b、c为正数，且满足a+b=c.求证:.

证明:

22 【变式4】已知:a+b=7ab，a>0，b>0. 求证:.

222222 证明:? a+b=7ab， ? a+2ab+b=9ab，即 (a+b)=9ab， ? lg(a+b)=lg(9ab)，

? a>0，b>0， ? 2lg(a+b)=lg9+lga+lgb ?2[lg(a+b)-lg3]=lga+lgb

即 .

类型四、换底公式的运用

4((1)已知logy=a，用a表示; x

(2)已知logx=m， logx=n， logx=p，求logx. abcabc

解:(1)原式=;

(2)思路点拨:将条件和结论中的底化为同底.

mnp 方法一:a=x， b=x， c=x

?，

? ;

方法二:.

举一反三:

【变式1】求值:(1);(2);(3).

解:

(1)

(2);

(3)法一:

法二:.

总结升华:运用换底公式时，理论上换成以大于0不为1任意数为底均可，但具体到每一个题，一般以题中

某个对数的底为标准，或都换成以10为底的常用对数也可.

类型五、对数运算法则的应用

5(求值

(1) log9?log32 827

(2)

(3)

(4)(log125+log25+log5)(log8+log4+log2) 248125255

解:(1)原式=.

(2)原式=

(3)原式=

(4)原式=(log125+log25+log5)(log8+log4+log2) 248125255

举一反三:

【变式1】求值:

解:

另解:设 =m (m>0).? ，

? ，? ，

? lg2=lgm， ? 2=m，即.

【变式2】已知:log3=a， log7=b，求:log56=? 2342

解:? ?，

类型六、函数的定义域、值域

求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数

函数本身的性质(如定义域、值域及单调性)在解题中的重要作用.

6. 求下列函数的定义域:

(1); (2).

2 思路点拨:由对数函数的定义知:x>0，4-x>0，解出不等式就可求出定义域.

2 解:(1)因为x>0，即x?0，所以函数;

(2)因为4-x>0，即x<>

举一反三:

【变式1】求下列函数的定义域.

xx (1) y= (2) y=ln(a-k?2)(a>0且a?1，k?R).

解:(1)因为，所以，

所以函数的定义域为(1，)(，2).

xxx-k>k. (2)因为 a?2>0，所以()

[1]当k?0时，定义域为R;

[2]当k>0时，

(i)若a>2，则函数定义域为(k，+?);

(ii)若0

(iii)若a=2，则当0<><1时，函数定义域为r;当k?1时，此时不能构成函数，否则定义域>

为.

x 【变式2】函数y=f(2)的定义域为[-1，1]，求y=f(logx)的定义域. 2

思路点拨:由-1?x?1，可得y=f(x)的定义域为[，2]，再由?logx?2得y=f(logx)的定义域为[，4]. 22

类型七、函数图象问题

7(作出下列函数的图象:

(1) y=lgx， y=lg(-x)， y=-lgx; (2) y=lg|x|; (3) y=-1+lgx.

解:(1)如图(1); (2)如图(2); (3)如图(3).

类型八、对数函数的单调性及其应用

利用函数的单调性可以:?比较大小;?解不等式;?判断单调性;?求单调区间;?求值域和最值.要求同

学们:一是牢固掌握对数函数的单调性;二是理解和掌握复合函数的单调性规律;三是树立定义域优先的观念.

8. 比较下列各组数中的两个值大小:

(1)log3.4，log8.5 22

(2)log1.8，log2.7 0.30.3

(3)log5.1，log5.9(a>0且a?1) aa

思路点拨:由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成.

(1)解法1:画出对数函数y=logx的图象，横坐标为3.4的点在横坐标为8.5的点的下方， 2

所以，log3.4<>

:直接用计算器计算得:log3.4?1.8，log8.5?3.1，所以log3.4<2.7，所以log1.8>log2.7; 0.30.30.3

(3)注:底数是常数，但要分类讨论a的范围，再由函数单调性判断大小.

解法1:当a>1时，y=logx在(0，+?)上是增函数，且5.1<>

当0log5.9 aaa

解法2:转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小，

令b=log5.1，则，令b=log5.9，则 1a2a

x 当a>1时，y=a在R上是增函数，且5.1<5.9>

所以，b

x 当0

所以，b>b，即. 12

举一反三:

【变式1】(2011 天津理 7)已知则( )

A( B( C( D(

解析:另，，，在同一坐标系下作出三个函数图像，

由图像可得

又?为单调递增函数， ? 故选C.

9. 证明函数上是增函数.

思路点拨:此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉利用对函数单调性比较同底数对数大小

的方法.

证明:设，且x

又?y=logx在上是增函数 2

即f(x)

2 ?函数f(x)=log(x+1)在上是增函数. 2

举一反三:

【变式1】已知f(logx)=(a>0且a?1)，试判断函数f(x)的单调性. a

+ 解:设t=logx(x?R， t?R).当a>1时，t=logx为增函数，若t<><>

? f(t)-f(t)=， 12

? 0<>1， ? f(t)

当01或0

2 10(求函数y=(-x+2x+3)的值域和单调区间.

22 解:设t=-x+2x+3，则t=-(x-1)+4.? y=t为减函数，且0

? y?=-2，即函数的值域为[-2，+?.

22 再由:函数y=(-x+2x+3)的定义域为-x+2x+3>0，即-1<><3.>

2 ? t=-x+2x+3在-1，1)上递增而在[1，3)上递减，而y=t为减函数.

2 ? 函数y=(-x+2x+3)的减区间为(-1，1)，增区间为[1，3.

类型九、函数的奇偶性

11. 判断下列函数的奇偶性. (1) (2).

(1)思路点拨:首先要注意定义域的考查，然后严格按照证明奇偶性基本步骤进行.

解:由

所以函数的定义域为:(-1，1)关于原点对称

又

所以函数是奇函数;

(2)解:

所以函由

数的定义域为R关于原点对称又

即f(-x)=-f(x);所以函数.

总结升华:此题定义域的确定可能稍有困难，函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，要求掌握.

类型十、对数函数性质的综合应用

2 12(已知函数f(x)=lg(ax+2x+1).

(1)若函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围;(2)若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围.

思路点拨:与求函数定义域、值域的常规问题相比，本题属非常规问题，关键在于转化成常规问题.f(x)的定

2义域为R，即关于x的不等式ax+2x+1>0的解集为R，这是不等式中的常规问题.

使u能取遍一切正数的条件是.

2 解:(1)f(x)的定义域为R，即:关于x的不等式ax+2x+1>0的解集为R，

当a=0时，此不等式变为2x+1>0，其解集不是R;

当a?0时，有 a>1.? a的取值范围为a>1.

2 (2)f(x)的值域为R，即u=ax+2x+1能取遍一切正数 a=0或0?a?1，

? a的取值范围为0?a?1.

x 13(已知函数h(x)=2(x?R)，它的反函数记作g(x)，A、B、C三点在函数g(x)的图象上，它们的横坐标分别为a，a+4，a+8(a>1)，记ΔABC的面积为S.

(1)求S=f(a)的表达式; (2)求函数f(a)的值域;

(3) 判断函数S=f(a)的单调性，并予以证明;(4)若S>2，求a的取值范围.

解:(1)依题意有g(x)=logx(x>0). 2

并且 A、B、C三点的坐标分别为A(a， loga)， B(a+4， log(a+4))， 22

C(a+8， log(a+8)) (a>1)，如图. 2

?A，C中点D的纵坐标为〔loga+log(a+8)〕 22

? S=|BD|?4?2=4|BD|=4log(a+4)-2loga-2log(a+8). 222

(2)把S=f(a)变形得:S=f(a)=2〔2log(a+4)-loga-log(a+8)〕=2log 2222

=2log(1+). 2

2 由于a>1时，a+8a>9， ?1<><，又函数y=logx在(0，+?)上是增函数，>

? 0<><><><2log.>

(3)S=f(a)在定义域(1，+?)上是减函数，证明如下:任取a，a，使1

(1+)-(1+)=16()=16?，

由a>1，a>1，且a>a，? a+a+8>0， +8a>0， +8a>0， a-a<0，>

? 1<><1+，再由函数y=logx在(0，+?)上是增函数，>

于是可得f(a)>f(a) 12

? S=f(a)在(1，+?)上是减函数.

(4)由S>2，即得，解之可得:1

范文五：指数对数函数、函数的奇偶性、函数的单调性

一对一授课教案

学员姓名：年级：所授科目：

上课时间：年月日时分至时分共小时

1、指数的运算法则：（1）a a =a

m n

r +s

；（2）(a

r s

)

=a rs ；

（3）

(ab )

=a r b r ；

（4）a =；

（5）a

m n

（6）

?a , n 奇=? ?|a |,n 偶

2. 指数函数的图像与性质：

3、对数函数的运算法则（1）互化：a

=N ?b =log a N

log a N a =N

（2）恒等：

（3）换底： log a b =

log c b

log c a

推论1

log a b =

推论2 log a b ?log b c =log a c

log b a

（4）log a MN =log a M +log a N log a

=log a M -log a N N

（5）log a M =n ?log a M 推论3

log a m b n =

log a b

(m ≠0) m

4、对数函数的图像与性质注：

log a a =1 ；log a 1=0 ；ln e =1；ln 1=0；lg 10=1；lg 1=0

??1x ≥0

1. 设f (x ) =?，则f (f (-2)) =（） x

2, x <>

A ．-1B ．

113C ．D ．422

设a =lg e , b =(lge ) 2, c =

（A ）a >b >c （B ）a >c >b （C ）c >a >b （D ）c >b >a

?2x -1-2, x ≤1

3. 已知函数f (x ) =? ，且f (a ) =-3，则f (6-a ) =

-log (x +1), x >1?2

（A ）-

7531（B ）-（C ）-（D ）-4444

?1+log 2(2-x ), x <>

4. 设函数f (x ) =?x -1则f (-2) +f (log212) =

?2, x ≥1

（A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12 5. 设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( ) ．

A ．c ＞b ＞a B ．b ＞c ＞a C ．a ＞c ＞b D ．a ＞b ＞c 6. 设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( ) ．

A ．a ＞c ＞b B ．b ＞c ＞a C ．c ＞b ＞a D ．c ＞a ＞b 7. 已知x =ln π，y =log 52，z =e

-12

，则（）

（A ）x

-12

，b =ln 2,

c =log 32，则（）

则a , b , c 的大小关系( )

A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >a D ．b >a >c 9.

设a =log 23+log 2b =log 29-log 2c = A ．a =b c C ．a b >c 10. 若log m 9<0,那么m,n 满足的条件是（="">

（A ）m>n>1 （B ）n>m>1（C ）0<><><1 （d=""><><><1 11.="">

+2lg 2-() -1=。 22

12. 2，3，log 25三个数中最大数的是．

二、函数的奇偶性

（1）、奇函数：1、定义域关于原点对称 2、f (x )+f (－x )=0

-3

3、图像关于原点对称（2）、常见的奇函数： 1、y =kx 2、y =

-x

k n

3、y =kx (n 为奇数) 4、y =sin x 5、y =tan x x

6、y =a -a

（3）、偶函数：1、定义域关于原点对称 2、f (x )=f (－x ) 3、图像关于y 轴对称（4）、常见的偶函数：

n x -x

y =cos x y =kx (n 为偶数) y =a +a 1、 2、 3、 4、y =ln x

5、一般为偶次幂、含有绝对值的函数（具体情况看题目）（5）、奇偶函数的运算

奇+奇=奇奇X 奇=偶偶+偶=偶偶X 偶=偶奇+偶=非奇非偶函数奇X 偶=奇（6）、练习

1. 下列函数中为偶函数的是（）

22-x

A ．y =x sin x B ．y =x cos x C ．y =ln x D ．y =2

2. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是

A ．y =x +e B ．y =x +

11x

C ．y =2+x x 2

D ．y =+x 2

3. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（） A ．

B ．

C ．

D ．

4. 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )

（A ）y=lnx （B ）y =

x +1 （C ）y=sinx （D ）y=cosx 5. 下列函数为奇函数的是( ) A ．y =

6. 下列函数为奇函数的是( ) A ．y =

B ．y =sin x C ．y =cos x D ．y =

e x -e -x

B ．y =e x C ．y =cos x D ．y =e x -e -x

7. 设函数f (x ) =ln(1+|x |)-

f (x ) >f (2x -1) 成立的x 的取值范围是（） 2, 则使得1+x

A ． ,1? B ． -∞, ? (1, +∞) C ． -, ? D ． -∞, -? , +∞? 8. 设f (x ) =x -sin x ，则f (x ) =（）

A ．既是奇函数又是减函数 B ．既是奇函数又是增函数 C ．是有零点的减函数 D ．是没有零点的奇函数 9. 设函数f (x ) =ln(1+x ) -ln(1-x ) ，则f (x ) 是（）

A. 奇函数，且在(0,1)上是增函数 B. 奇函数，且在(0,1)上是减函数 C. 偶函数，且在(0,1)上是增函数 D. 偶函数，且在(0,1)上是减函数 10. 若函数f (x ) ＝xln (x

为偶函数，则a ＝

11. 已知f (x ) 是定义在R 上的奇函数, 且当x <0时, f="" (x="" )="2," 则f="" (log49)="" 的值为="" 12.="" 已知函数g="" (x="" )="f" (x="" -1)="" +x="" 2是定义在r="" 上的奇函数，且f="" (0)="-2，" 则f="" (-2)="">

三、函数的单调性

（1）定义：一般地，设函数y =f (x ) 的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1f (x 2) ），那么就说f (x ) 在区间D 上是增函数（减函数）；

注意：○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1

（2）如果函数y =f (x ) 在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y =f (x ) 在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y =f (x ) 的单调区间。

（3）设复合函数y = f[g(x )]，其中u =g(x ) , A 是y = f[g(x )]定义域的某个区间，B 是映射g:x →u =g(x ) 的象集：①若u =g(x ) 在A 上是增（或减）函数，y = f(u ) 在B 上也是增（或减）函数，则函数y = f[g(x )]在A 上是增函数；

②若u =g(x ) 在A 上是增（或减）函数，而y = f(u ) 在B 上是减（或增）函数，则函数y = f[g(x )]

?1?

?3???1?3??11??33???1??13??3??

在A 上是减函数。

（4）判断函数单调性的方法步骤

利用定义证明函数f (x ) 在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：

1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1

2 作差f (x 1) －f (x 2) ； ○

3 变形（通常是因式分解和配方）； ○

4 定号（即判断差f (x 1) －f (x 2) 的正负）； ○

5 下结论（即指出函数f (x ) 在给定的区间D 上的单调性）。 ○（5）简单性质

①奇函数在其对称区间上的单调性相同； ②偶函数在其对称区间上的单调性相反； ③在公共定义域内：

增函数f (x ) +增函数g (x ) 是增函数；减函数f (x ) +减函数g (x ) 是减函数；增函数f (x ) -减函数g (x ) 是增函数；减函数f (x ) -增函数g (x ) 是减函数。（6）．最值（1）定义：

最大值：一般地，设函数y =f (x ) 的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x ) ≤M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M。那么，称M 是函数y =f (x ) 的最大值。最小值：一般地，设函数y =f (x ) 的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x ) ≥M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M。那么，称M 是函数y =f (x ) 的最大值。

（2）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法： 1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值； ○

2 利用图象求函数的最大（小）值； ○

3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值： ○

1．证明函数上的单调性.

证明：在(0，+∞) 上任取x 1、x 2(x1≠x 2) ，令△x=x2-x 1>0

则

∵x 1>0，x 2>0，∴

∴上式<><>

∴

(2)y=x2-3|x|+2

上递减.

1、如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x +1)的解集是

A ．{x |-1

答案：一、1-5 CBACD 6-10 DDBBD 11. -1

二、1-5 BAADD 6-9 DABA 10. a=1 11. -1/3 12. 0 四、命题

1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句.

2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论. 3、原命题：“若p ，则q ” 逆命题： “若q ，则p ” 否命题：“若?p ，则?q ” 逆否命题：“若?q ，则?p ”

4、四种命题的真假性之间的关系：

（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 5、若p ?q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．若p ?q ，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．

利用集合间的包含关系：例如：若A ?B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B，则A 是B 的充要条件；

6、逻辑联结词：⑴且(and ) ：命题形式p ∧q ；⑵或（or ）：命题形式p ∨q ； ⑶非（not ）：命题形式?p .

7、⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“”表示；

全称命题p ：?x ∈M , p (x ) ；全称命题p 的否定?p ：?x ∈M , ?p (x ) 。 ⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等，用“?”表示；

特称命题p ：?x ∈M , p (x ) ；特称命题p 的否定?p ：?x ∈M , ?p (x ) ；

（2015全国1卷)(3)设命题P ：?n ∈N ，n >2，则?P 为

(A)?n ∈N ，n >2 (B ) ?n ∈N ，n ≤2(C ) ?n ∈N ，n ≤2 (D ) ?n ∈N ，n ＝2 (2014全国1卷)9. 不等式组?

n 2n 2n 2n

?x +y ≥1

的解集记为D . 下面四个命题：其中真命题是（）.

x -2y ≤4?

p 1：?(x , y ) ∈D , x +2y ≥-2，p 2：?(x , y ) ∈D , x +2y ≥2, P 3：?(x , y ) ∈D , x +2y ≤3，p 4：?(x , y ) ∈D , x +2y ≤-1.

A . p 2，P 3B . p 1，p 2C . p 1，p 4D . p 1，P 3

5．(2013课标全国Ⅰ，文5) 已知命题p ：?x ∈R, 2＜3；命题q ：?x ∈R ，x ＝1－x ，则

下列命题中为真命题的是( ) ．

A ．p ∧q B．?p ∧qC ．p ∧?q D．?p ∧?q (3)函数f (x ) 在x =x 0处导数存在，若p:f ' (x 0) =0,q:x =x 0是f (x ) 的极值点，则

(A)p是q 的充分必要条件 (B)p是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 (C)p是q 的必要条件，但不是q 的充分条件

(D) p既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件（2016广州1模）（11）已知下列四个命题：

p 1：若直线l 和平面α内的无数条直线垂直，则l ⊥α； p 2：若f (x )=2x -2-x ，则?x ∈R ，f (-x )=-f (x )；

p 3：若f (x )=x +

，则?x 0∈(0, +∞)，f (x 0)=1； x +1

p 4：在△ABC 中，若A >B ，则sin A >sin B ．

其中真命题的个数是

（A ）1（B ）2（C ）3 （D ）4

+3（a >0且a ≠1）的图象恒过(－2,4) 点；命题q ：已知

平面α∥平面β，则直线m ∥α是直线m ∥β的充要条件. 则下列命题为真命题的是

7．已知命题p ：函数y =a

x +2

A ．p ∧q B. ?p ∧?q C. p ∧?q D. ?p ∧q 答案：CBBCBB C

1. x <-2 是不等式x="" -4="">0成立的（）

A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C. 充要条件 D.非充分非必要条件 2. 在?ABC 中, “A >30”是“sin A >

”的（） 2

A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C. 充要条件 D.非充分非必要条件 3. “至多有一个”的否定是（）

A. 至少有一个 B.至少有两个 C.恰有两个 D.一个也没有 5. “m =

”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”的（） 2

m 1

x +的图象同时经过第一、三、四象限的必要但不充分条件是（） n n

B ．mn<>

C ．m>0,n<>

D ．

m<><>

A 、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 6．一次函数y =-

A ．m>1,n<>

7．有下述说法：①a>b>0是a >b的充要条件. ②a>b>0是a >b的充要条件. 则其中正确的说法有 A ．0个

B ．1个

<的充要条件. ③a="">b>0是 a b

（）

D ．3个

C ．2个

8、设命题甲:ax +2ax +1>0的解集是实数集R; 命题乙:0

A . 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 9、“x >3”是x 2>4“的（）

A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10、"tan α=1" 是" α=π" 的

A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件

11、命题：“若x <><1”的逆否命题是（）="">

，或x ≤-1 B.若-1<1，则x><1 a.="" 若x="" ≥1，则x="">

，或x <-1，则x 2="">1 D.若x ≥1，或x ≤-1，则x 2≥1 C. 若x >1

12、已知条件p :x +1>2，条件q :5x -6>x 2，则?p 是?q 的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件

13、有下列四个命题：

①“若x +y =0 , 则x , y 互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；

③“若q ≤1 ,则x +2x +q =0有实根”的逆否命题； ④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题；

其中真命题为（） A ．①② B ．②③ C．①③ 14. 设x ∈R ，则“x>”是“2x 2+x-1>0”的

D ．③④

A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 15. 设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1) y ＋4＝0平行”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 16. “|x-1|<><0成立”的(>

A. 充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 17.x <4的必要不充分条件是(>

A.-2≤x ≤2 B.-2<><0><><>

高考真题：

1. （15北京）设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ?α．“m ∥β”是“α∥β”的

A ．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件

2. （15年安徽文科）设p ：x<3，q><><3，则p 是q="" 成立的(="">

（A ）充分必要条件（B ）充分不必要条件（C ）必要不充分条件（D ）既不充分也不必要条件

3. （15年陕西）“sin α=cos α”是“cos 2α

=0”的（）

A ．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4. （15年天津）设x ∈R ，则“x -2<1 ”是“x="" +x="" -2="">0 ”的

（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件

（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件

7.(15年浙江理科) 2

5. （15年湖南）设A,B 是两个集合，则”A B =A ”是“A ?B ”的（）

A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件

C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件

9. 若“?x ∈[0,

B C AAC.

π解析：“?x ∈0, [n a t , ]4x ≤m π4],tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为. ”是真命题，则m ≥tan π=1，于是实数m 的最小值为1.

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