范文一：电介质中极化电荷密度的计算

第 卷 第 期石家庄学院学报 16 6 Vol.16,No.6

年 月2014 11 Journal of Shijiazhuang University Nov.2014

电介质中极化电荷密度的计算

屈双惠杨志宏马志春张彩霞,,,

石家庄学院 物理与电气信息工程学院河北 石家庄 (，050035)

摘 要给出了两种计算电介质中极化电荷密度的方法介质内部极化电荷密度等于极化:. :1:

?强度矢量 的散度的负值介质内部极化电荷密度与介质的极化率介质内自由电荷,ρ =-荦?;:2:、 P P χ εe 0 ? 密度以及极化率梯度与电场强度之间的相互作用有关针对电荷分布具,ρ=- ρ- 荦χ?E . Pfeχ+1 χ+1 ee

有一定对称性的问题分别利用这两种方法分析了电介质均匀且内部不存在自由电荷电介质均匀 ,、

, 但内部存在自由电荷以及电介质不均匀且内部不存在自由电荷情况下介质内部的极化电荷密度

并通过实例加以详尽的讨论.

关键词极化率梯度自由电荷密度极化电荷密度:;;

中图分类号文献标识码文章编号:O441 :A :1673-1972:2014:06-0016-04

DOI:10.13573/j.cnki.sjzxyxb.20141111.016

引言0

当对电介质外加电场时在电介质表面甚至内部会出现正负电荷这种现象叫做电介质的极化电介质 ,,. 上出现的极化电荷是其在电场作用下内部电荷发生微小移动所造成的宏观效果电介质中的带电粒子被原 ,,子或分子紧密束缚其内电荷为束缚电荷在现实应用中由于电介质并不理想可能是均匀的也可能是不 ,. ,,

均匀的甚至其内部还有可能存在自由电荷的分布这些都直接影响着电介质内部极化电荷的分布因此,,. ,

[1,2]电介质的极化其内部极化电荷的分布情况是一个难点内容、.

对电荷分布具有一定对称性的问题利用高斯定理可以很容易地求出其电场强度等物理量进而确定其 ,,极化电荷分布笔者给出了两种计算电介质中极化电荷密度的方法. : χ εe 0 :1:ρ=-荦?P ;:2:ρ=- ρ - 荦χ?E . PP? ? f e χ+1 χ+1 ee

利用这两种方法分别讨论了电荷分布具有一定对称性时电介质均匀且内部不存在自由电荷电介质均 ,、匀但内部存在自由电荷以及电介质不均匀且内部不存在自由电荷情况下介质内部的极化电荷密度.

极化电荷密度的计算1

当电介质极化时介质内部的极化电荷分布与极化强度密切相关由高斯散度定理极化电荷密度等于 ,. ,极化强度矢量 的散度的负值:

?ρ =-荦?, :1: P P

?自由电荷密度等于电位移矢量的散度D :

?ρ=荦 D . :2: f? ???对各向同性电介质极化强度矢量及电位移矢量与介质极化率 电场强度的关系分别为,D χ 、E

P e

收稿日期:2014-06-20

基 金 项 目 河北省自然科学基金 河北省教育厅科学研究计划 石 家 庄 学 院 年校级教学改革研究 : :F2013106079:; :Z2010167:; 2013 :JGXM- 石家庄学院 年校级科研平台资助项目201302A:;2013 :**T002: 作者简介屈双惠 女河北石家庄人讲师主要从事理论物理和非线性系统研究::1978-:,,,,.

期 屈双惠,杨志宏,马志春,等:电介质中极化电荷密度的计算 第 6 17

? ? ? ? ??

P =εχE ,D =εE +P =ε(1+χ)E , 0 e00e

将两式分别代入式和式可得:1::2:

? ? ?

ρ荦?P =ε荦χE εχ荦?E , :3: =---Pee00 ? ??

ρ=荦?D =ε荦χ?E +ε(1+χ)荦?E . :4: fee00

?消去式和式中的可得:3::4:荦?E ,

χ εe 0 ? ρ=- ρ- 荦χ?E . :5: Pfe

χ+1 χ+1 ee[3-5]式和式分别给出了求解电介质中极化电荷体密度的两种方法:1::5:.

?利用式的方法在求得极化强度矢量后根据电荷分布特征将其代入相应坐标系下的散度公式中:1:,,, P ? ? 求得即可求得极化电荷密度 当电荷分布具有平面对称性时代入直角坐标系下散度公式荦?P ,ρ=-荦?P . , P

中当电荷分布具有球对称性时代入球坐标系下散度公式中当电荷分布具有轴对称性时代入柱坐标系下 ;,;,散度公式中.

利用式的方法式中第 项由电介质体内自由电荷体密度 所决定当介质体内无自由电荷时该:5:,1 ρ,, f ? ? 项贡献为零式中第 项表示极化电荷还可能受到极化率梯度和电场强度的相互作用的影响;1 荦χE 荦χ?E , e e[6-9]当介质均匀或极化率梯度与电场强度相垂直时该项贡献也为零,.

[10]以下针对电荷分布具有球对称性的问题分别利用这两种方法进行分析并辅以案例加以讨论,.

不同情况下极化电荷分布的案例分析2

电介质均匀内部无自由电荷时的极化电荷分布2.1

例 一球形电容器由两个同心的薄金属球壳构成两壳的半径分别为 和 两壳间充满了电容率 1 ,RR,1 2为 的均匀介质内壳带有正电荷 示意图见图 求电介质内部的极化电荷密度 ε ,Q,1,.

按方法求解电荷分布具有球对称性利用有介质存在时的高斯定理:1::,

Q ， ?得到电介质内距球心为 处的场点的电位移矢量此处的电场强度r D = r; 24πr ? DQ ， ? ?? ?R 1E = 由于则r . D =εE +P , 0R = 2 2ε 4πεr ε O ? ?? ε Q ， 0 r

P =D -εE =(1- ) r . 02 ε 4πεr电荷分布具有球对称性由式代入球坐标系下散度公式中可得,:1:,

1 坠 ε Q 20 ? ρ=-荦?P = [r?(1- ) ]=0. P2 2图 均匀球形电介质不带电r坠r ε 4πεr 1

ε0 按方法求解因为电介质均匀电容率 为常数则极化率 为常数又因为电介质内:2::ε ,χ= -1 ,荦χ=0, ee

ε

无自由电荷则 根据公式可知 ,ρ=0. :6:,ρ=0. fP

通过例 分析可知对于电介质均匀且内部无自由电荷的情况电介质内无极化电荷极化电荷只能分 1 ,,,布在介质分界面处电介质均匀极化率 为常数极化率梯度电介质内部不存在自由电荷自由电 . ,χ,荦χ=0;,e e

荷密度 利用公式很容易看出等式右侧两项均为 其内部极化电荷密度为零而利用公式需要 ρ=0;:5:,0,. :1:f

先求得极化强度再将其代入到散度公式中进行求导方能求出极化电荷密度可以看出对于这种电介质均 ,. ,匀且内部无自由电荷的情况利用方法求解比较简单,:2:.

电介质均匀内部有自由电荷时的极化电荷分布2.2

例 半径为 的均匀电介质球电容率为 均匀带电总电量为 示意图见图 求电介质内部的极 2 R ,ε,,Q,2,化电荷密度 ρ. P

按方法求解电荷分布具有球对称性利用有介质存在时的高斯定理得到电介质内距球心为 处的:1::,r

石家庄学院学报 年 月18 2014 11 ? ρr ， Qr ， ?D Qr ， ?f 场点的电位移矢量此处的电场强度D = r= r; E = = r. 333 ?4πR ε 4πεR 由于则D =εE +P , 0?? ? ?? ε， Qr 0 R ε O P =D -εE = (1- )r . 03 4πεRε 电荷分布具有球对称性由式代入球坐标系下散度公式中可得,:1:, r

坠 Qr ε 3Q ε1 20 0 ? ρ=-荦?P = [r? (1- )]=- (1- ). P2 3 3 r坠r 4πεRε 4πRε

ε0 按方法求解因为电介质均匀电容率 为常数则极化率 图 均匀球形电介质带电:2::ε ,χ= -1 2 eε

3Q ε-ε 3Q ε0 0 为常数式中第 项为 自由电荷密度 根据公式可知 ,荦χ=0,2 0;ρ= ,:5:,ρ= ρ=- (1- ). efPf33 4πR ε 4πRε

通过例 分析可知对于电介质均匀但内部有自由电荷的情况电介质内部将出现未被抵消的极化电 2 ,,

荷电介质均匀极化率 为常数极化率梯度电介质内部存在自由电荷自由电荷密度 利用. ,χ,荦χ=0;,ρ?0; e ef

χe 公式很容易得到极化电荷密度为 也需要先求得极化强度再将其代入到散而利用公式 :5:ρ=- ρ. :1:,Pf

χ+1 e

度公式中进行求导方能求出极化电荷密度可以看出对于这种电介质均匀但内部有自由电荷的情况利用 . ,,方法求解也比较简单:2:.

电介质不均匀内部无自由电荷时的极化电荷分布2.3

其中外导体半径为 内导体半径为例空间有一同心球形电容器R 3 ,,2

ε0 在两层导体中间充满了不均匀电介质其电容率为 为真空R,,ε= :ε 10

1+kr

电容率为常数为到球心的距离内导体球带电量为 外球接地示 意图见,k ,r :,Q,,R 1图 求电介质内部的极化电荷密度 R 3,ρ. 2Pε O 按方法求解电荷分布具有球对称性利用有介质存在时的高斯定:1::, r Q ， ?理得到电介质内距球心为 处的场点的电位移矢量此处的电场r D = r; 24πr ? D(1+kr)Q ， ? ?? ?? ? kQ ， ?强度由于则E = = r . D =ε E +P ,P =D -ε E = r . 20 图 不均匀球形电介质不带电0 3 ε 4πεr 04πr

电荷分布具有球对称性由式代入球坐标系下散度公式中可得,:1:,

1 坠 kQ kQ 2? ρ=-荦?P =- [r?(- )]= . P2 2r坠r 4πr 4πr

ε0 按方法求解因为电介质内无自由电荷式中第 项为 电介质不均匀电容率 则极:2::,ρ=0,1 0;,ε= , f1+kr kr 坠 kr ， k ， 化率 不为常数与此处的场强? 同向式中第 项不为 根据χ=- ,荦χ= :- :r=- r,E ,2 0; ee21+kr 坠r 1+kr (1+kr)

公式可知:5:,

k ， (1+kr)Q ， kQ ρ=-ε:1+kr:[- r?]r= . P0224πεr (1+k)r 04πr

通过例 分析可知对于电介质不均匀的情况介质内部也会出现未被抵消的极化电荷电介质内部无 3 ,,. 自由电荷自由电荷密度 介质不均匀各处 不同极化率梯度由公式此时极化电荷密度,ρ=0;,χ,荦χ?0;:5:, fe e? ? 由极化率梯度与电场强度的相互作用所决定若极化率梯度与电场强度垂直即则 ρ荦χ?E . ,荦χ?E =0,ρ= P eeP若极化率梯度与电场强度不垂直则极化电荷分布由极化率梯度 与电场强度的点积决定此时 电 0;,,ρ?0,P介质内有极化电荷存在利用公式求解极化电荷密度时需要确定极化率梯度后再与电场强度点乘来获 . :5:,

得而利用公式只需要求得极化强度的散度即可求出极化电荷密度可以看出对于这种电介质不均匀. :1:. ,

第 期 屈双惠,杨志宏,马志春,等:电介质中极化电荷密度的计算 6 19 的情况利用方法求解比较简单,:1:.

结论3

?通过上面的分析发现当电介质发生极化时其内部自由电荷密度 可由公式或公式,ρ :1::ρ =-荦?:5:: PP P

χ εe 0 ? 计算得到当电介质均匀且内部无自由电荷时电介质内部无极化电荷极化电荷ρ ρ 荦χ? . ,,=--E Pfeχ+1 χ+1 ee

只分布在介质分界面处当电介质均匀但内部存在自由电荷时介质内出现未抵消的极化电荷当电介质不 . ,. 均匀且内部无自由电荷时若极化率梯度与电场强度垂直电介质内部无极化电荷若极化率梯度与电场强 ,,;

度不垂直电介质内部将出现极化电荷对于电介质均匀的情况利用公式求解比较简单而对于电介质 ,. ,:5:,不均匀的情况利用公式求解相对简单,:1:.

参考文献:

孙春峰静电场作用下电介质的极化性质物理与工程[1] . [J]. ,2003,13:3::27-31.

任丽英于斌电介质极化的研究西华大学学报自然科学版[2] ,. [J]. ::,2008,27:6::95-97. [3]

赵凯华陈熙谋电磁学北京高等教育出版社,. [M]. :,1991:181-195.

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赵玉华张秋佳极化电介质球的电场及计算哈尔滨理工大学学报[6] ,[J]. ,2007,12:3::117-119.

蒋明宇胡先权邓海均匀电介质椭球内极化场强研究重庆师范大学学报自然科学版[7] ,,. [J]. ::,2004,21:1::41-45.

均匀电介质椭球内极化场强方向与外电场方向的研究首都师范大学学报 李旭李丽辉自然科学版[8],. [J]. ::,2003,24:2::33- 36.

李旭胡先权胡文江电介质椭球内极化场强方向的研究大学物理[9] ,,. [J]. ,2004,23:10::28-31.

张之翔电磁学千题解北京科学出版社[10] . [M]. :,2002:188-189.

责任编辑 钮效鹍::

Calculation Method of Polarization Charge Density in Dielectric

QU Shuang-hui,YANG Zhi-kong,MA Zhi-chun,ZHANG Cai-xia

:School of Physics & Electrical Information Engineering,Shijiazhuang University,Shijiazhuang,Heibei 050035,China:

Abstract:Two calculation methods of polarization charge density in dielectric are given in this paper. :1:The

?polarization charge density is equal to the negative value of the polarization vector divergence,ρ =-荦?;:2:The po P P larization charge density is determined by the polarizability,the free charge density,the polarization gradient and the

χ εe 0 ? electric field intensity,ρ=- ρ- 荦χ?E . For the situation of the charge distribution with certain symme- Pfeχ+1 χ+1 ee

try,using the two methods,the polarization charge density is calculated respectively for the three cases:the uniform dielectric without free charge in it,the uniform dielectric with free charge in it,and nonuniform dielectric without free charge in it. It is discussed in detail by examples.

Key words:polarization gradient;free charge density;polarization charge density

范文二：电介质中极化电荷密度的计算

年 月2014 11 Journalof Shijiazhuang University Nov.2014

电介质中极化电荷密度的计算

屈双惠杨志宏马志春张彩霞，，，

石家庄 (石家庄学院 物理与电气信息工程学院，河北 05003)5

要给出了两种计算电介质中极化电荷密度的方法介质内部极化电荷密度等于极化摘 :. (1)

?强度矢量 的散度的负值介质内部极化电荷密度与介质的极化率介质内自由电荷，ρ=-荦?P ;2()、P

? χ ε e0针对电荷分布具密度以及极化率梯度与电场强度之间的相互作用有关 ，ρ=- ρ- 荦Pfχ+1 χ+1 eeχE .?e 有一定对称性的问题分别利用这两种方法分析了电介质均匀且内部不存在自由电荷电介质均匀，、

但内部存在自由电荷以及电介 质不均匀且内部不存在自由电荷情况下 介质 内 部的 极 化 电 荷 密 度 ，

并通过实例加以详尽的讨论 .

关键词极化率梯度自由电荷密度极化电荷密度:;;

中图分类号文献标识码文章编号:O441:A:1673-197(22014)06-0016-04

DOI:10.13573/j.cnki.sjzxyxb.20141111.016

引言0

当对电介质外加电场时在电介质表面甚至内部会出现正负电荷 这种现象叫做电介质的极化电介质 ，，. 上出现的极化电荷是其在电场作用下，内部电荷发生微小移动所造成的宏观效果 ，电介质中的带电粒子被原 子或分子紧密束缚 其内电荷 为 束 缚 电 荷在 现 实 应 用 中 由于电介质并不理想 可能是均匀的也可能是不 ，. ，，

均匀的甚至其内部还有可能存在自由电荷的分布 这些都直接影响着电介质内部极化电荷的分布因 此 ，，. ，

[1，2]电介质的极化其内部极化电荷的分布情况是一个难点内容、.

对电荷分布具有一定对称性的问题利用高斯定理可以很容易地求出其电场强度等物理量 进而确定其，， 极化电荷分布笔者给出了两种计算电介质中极化电荷密度的方法 :.

?? χ ε e0(1)ρ=-荦P ;2()ρ=- ρ - 荦?PPf e χ+1 χ +1 ee χ?E . 利用这两种方法分别讨论了电荷分布具有一定对称性时 ，电介质均匀且内部不存在自由电荷、电介质均 匀但内部存在自由电荷以及电介质不均匀且内部不存在自由电荷情况下介质内部的极化电荷密度.

极化电荷密度的计算1

当电介质极化时介质内部的极化电荷分布与极化强度密切相关，. 由高斯散度定理 ，极化电荷密度等于 极化强度矢量 的散度的负值:

? ρ=-荦?P ，(1)P

?自由电荷密度等于电位移矢量D 的散度:

? (2)ρ=荦?D . f

???对各向同性电介质极化强度矢量P 及电位移矢量与介质极化率 电场强度的关系分别为，D χ 、E e

收 稿 日 期 :201406--20

基 金 项 目 : 河北省自然科学基金 () ;河北省教育厅科学研究计划 () ;石 家 庄 学 院 年校级教学改革研究 (F2013106079Z20101672013 JGXM- 201302);A石 家 庄 学 院 2013年校级科研平台资助项 目 (**T00)2 作 者 简 介 :屈 双 惠 (1978)，-女 ，河 北 石 家 庄 人 ，讲 师 ，主要从事理论物理和非线性系统研究.

第 期屈 双 惠 ，杨 志 宏 ，马 志 春 ，等: 电介质中极化电荷密度的计算 6 17

?? ? ? ?? P= εχE ，D =εE +P =ε(1+χ)E ，0 e00e

将两式分别代入式和式可得(1)(2)

??? ρ荦P =ε荦χE εχ(3)=---?P0e0 e 荦E ，? ?? ? (4) ρ=荦?D =ε荦χ?E +ε(1+χ)f0e0e

?荦E . ? 消去式和式中的可得(3)(4)荦E ，?

χ ε ? e0 ρ=- ρ- 荦(5)Pf χ+1 χ+1 eeχ?E .e [3-5]式和式分别给出了求解电介质中极化电荷体密度的两种方法(1)(5).

?P 利用式的方法在求得极化强度矢量后根据电荷分布特征 将其代入相应坐标系下的散度公式中(1)，，，

? ? 求得即可求得极化电荷密度 当电荷分布具有平面对称性时 代入直角坐标系下散度公式 荦?P ，ρ=-荦?P . ，P 中当电荷分布具有球对称性时代入球坐标系下散度公式中当电荷分布具有轴对称性时代入柱坐标系下;，;， 散度公式中.

利用 式 的方 法 式中 第 项由电介质体内自由电荷体密度 所决 定 当介质体内无自由电荷时 该(5)，1 ρ，， f

?? 项贡献为零式中第 项表示极化电荷还可能受到极化率梯度和电场强度的相互作用的影;1 荦χE 荦χ?E e e响，

[6-9]当介质均匀或极化率梯度与电场强度相垂直时 ，该项贡献也为零.

[10]以下针对电荷分布具有球对称性的问题分别利用这两种方法进行分析 ，并辅以案例加以讨论.

不同情况下极化电荷分布的案例分析2

电介质均匀内部无自由电荷时的极化电荷分布 2.1

例 一球形电容器由两个同心的薄金属球壳构成 两壳的半径分别为 和 两壳间充满了电容率 1 ，RR，1 2为 的均匀介质内壳带有正电荷 示意图见图 求电介质内部的极化电荷密度. ε ，Q，1，

按方法()求解:电荷分布具有球 对 称 性 ，利用有介质存在时的高斯定理 1

?Q ， 处的场点的电位移矢量得到电介质内距球心为 r D =此处的电场强度r; 24πr

? ?? D ?R?， 1 Q 由于则2 E = =r . D =ε E +P ，R 0 2ε 4πεrε O ? ?? ε Q 0 r ( P =D- εE =1- ) r .02 ε4πεr，

电荷分布具有球对称性由式代入球坐标系下散度公式中可得，(1)，

? 坠 Q 1 ε20 ρ=-荦P = [r(1- ) ]=0. ??P22坠rε 4πεrr 图 均匀球形电介质不带电 1

ε0 按方法求解因为电介质均 匀 电 容 率 为常 数 则极 化 率 为 常数 又因为电介质内 (2):ε ，χ= -1 ，荦χ=0， eeε

无自由电荷则 根据公式可知 ，ρ=0. (6)，ρ=0.fP

通过例 分析可知对于电介质均匀且内部无自由电荷的情况 电介质内无极化 电 荷 极化电荷只能分 1 ，，，布在介质分界面处电介质均匀极化率 为常数极化率梯度电介质内部不存在自由电荷 自由 电 . ，χ，荦χ=0;， e e

荷密度 利用公式很容易看出等式右侧两项均为 其内部极化电荷密度为零而利用公式需要ρ=0;(5)，0，. (1) f

先求得极化强度再将其代入到散度公式中进行求导方能求出极化电荷密度，.可以看出，对于这种电介质均 匀且内部无自由电荷的情况，利用方法()求解比较简单2.

电介质均匀内部有自由电荷时的极化电荷分布 2.2

例 半径为 的均匀电介质球电容率为 均匀带电总电量为 示意图见图 求电介质内部的极 2 R ，ε，，Q，2，化电荷密度 ρ. P

按方法()求解:电荷分布具有球 对 称 性 ，利用有介质存在时的高斯定理得到电介质内距球心为 处 的1r

石家庄学院学报 年 月1 8 2014 11

? ? ρr ， ? ， ， Df Qr Qr 场点的电位 移矢 量 D = r=此处的电场强度r. r; E = =333 4πRε 4πεR

?? ? 由于则D =εE +P ， 0

Qr ε，? ? ? R 0 ε P =D- εE = (1- )r .03 O 4πεRε

电荷分布具有球对称性由式代入球坐标系下散度公式中可得，(1)， r

? 坠 Qr 1 ε3Q ε20 0 ρ=-荦?P = [r? (1- )]=- (1- ). P2 3 3 r 坠r 4πεR4πR ε ε

ε0 图 均匀球形电介质带电 2 按方法求解因为电介质均匀电容率 为常数则极化率 (2):ε ，χ= -1 eε

3Q ε-ε3Q ε0 0 根据公式可知 为常数式中第 项为 自由电荷密度 ，(5)，ρ= ρ=- (1- ). ，荦χ=0，2 0;ρ=Pfef 33 4πR4πRε ε

通过 例 分析 可 知 对于电介质均匀但内部有自由电荷 的 情 况 电介质内部将出现未被抵消的极化电 2 ，， 荷电介质均匀，极化率 为常数，极化率梯度;电介质内部存在自由电荷 ，自由 电 荷 密 度 ;利 用. χ荦χ=0ρ?0 e ef

χ e公式很容易得到极化电荷密度为 而利 用 公 式 也需要先求得极化强度 再将其代入到散 (5)ρ=-ρ. (1)，P f χ+1 e

度公式中进行求导方能求出极化电荷密度可以看出对于这种电介质均匀但内部有自由电荷的情况 利用. ，， 方法()求解也比较简单2.

2.3 电介质不均匀内部无自由电荷时的极化电荷分布

例 空间有一同心球形电容器其中外导体半径为 内导体半径为3 ，R， 2

ε 0在两层导体中间充满了不均匀电介 质 其 电容 率 为 为 真空 R，，ε=(ε1 0 1+kr

电容 率 为 常 数 为到球心的距离 内导体球带电量为 外 球接 地 示，k ，r )，Q，， R1 R2 意图见图 求电介质内部的极化电荷密度 ε 3，ρ . P O

按 方法 求 解 电荷分布具有球对称性 利用有介质存在时的高斯定 (1):， r

? Q ， 理得到电介质内距球心为 处的场点的电位移矢量 r D =此处的电场r; 24πr

? ??? ，? ?? ?D (1+k)rQ ， kQ 强度由于则 E = =r . D =ε E +P ，P =D -ε E = r . 0 0 不均匀球形电介质不带电 图 3 24πr ε 4πεr 0

电荷分布具有球对称性由式代入球坐标系下散度公式中可得，(1)，

坠 ? kQ 1 kQ 2. ρ=-荦?P =- [r?(- )]= P22坠r4πr 4πrr

ε 0按方法求解因为电介质内无自由电荷 式中第 项为 电介质不均匀 电容率 (2):，ρ=0，1 0;，ε=，则极f 1+kr

kr 坠 kr k ?， ， 不为 常 数 ，荦χ= (- 化 率 χ=-e与 此处 的 场强 同向 式中 第 项不 为 根据 )r=- r，E ，2 0; e2坠r 1+kr1+kr (1+k)r

公式可知(5)，

k ， (1+k)rQ ， kQρ=-ε(1+kr)[- P0. r?]r= 22 4πεr4πr(1+k)r 0

通过例 分析可知对于电介质不均匀的情况 介质内部也会出现未被抵消的极化电荷电介质内部无 3 ，，. 自由电荷自由电荷密度 介质不均匀各处 不同极化率梯度由公式此时极化电荷密度，ρ=0;，χ，荦χ?0;(5)，fe e

?? 由极化率梯度与电场强度的 相互 作 用 所决 定 若极化率梯度与电场强度垂直 即则 ρ荦χ?E . ，荦χ?E =0，P eeρ=P

;若极化率梯度与电场强度不垂直 ，则极化电荷分布由极化率梯度 与电场强度的点积决定 ，此 时 ，电0ρ?0 P介质内有极化电荷存在利用公式()求解极化电荷密度时 ，需要确定极化率梯度后再与电场强度点乘来获. 5 得而利用公式()只需要求得极化强度的散度即可求出极化电荷密度可以看出，对于这种电介质不均匀 . 1.

第 期屈 双 惠 ，杨 志 宏 ，马 志 春 ，等: 电介质中极化电荷密度的计算 6 19 的情况利用方法求解比较简单，(1).

结论 3

?通过上面的分析发现当电介质发生极化时 其内部自由电荷密度 可由公式或公式，ρ(1)ρ:=-荦?P (5):P P

χε ? e 0 ρ=- ρ- 荦χE 计算得到.当电介质均匀且内部无自由电荷时 ，电介质内部无极化电荷 ，极化 电 荷? Pfeχ+1 χ+1 ee

当电介质不 只分布在介质分界面处当电介质均匀但内部存在自由电荷时介质内出现未抵消的极化电荷. ，. 均匀且内部无自由电荷时 ，若极化率梯度与电场强度垂直 ，电介质内部无极化电荷 ;若极化率梯度与电场强 度不垂直电介质内部将出现极化电荷对于电介质均匀的情况 利用公式求解比较简单 而对于电介质 ，. ，(5)，不均匀的情况利用公式求解相对简单，(1).

参考文献:

孙 春 峰静电场作用下电介质的极化性质物 理 与 工 程 [1] . [J]. ，2003，13(3):27-31.

任 丽 英 于斌 电介质极化的研究西 华 大 学 学 报 自 然 科 学 版 [2] ，. [J]. ()，2008，27(6):95-97.

赵 凯 华 陈 熙谋 电 磁 学北 京 高等教育出版社 [3] ，. [M]. :，1991:181-195.

李 文关于电介质内部的极化电荷辽 宁 大 学 学 报 自 然 科 学 版 [4] . [J]. ()，1997，24(2):51-54.

安 宏电介质的极化与电场的相互作用物 理 与 工 程 [5] . [J]. ，2007，17(6):13-18.

赵 玉 华 张秋佳极化电介质球的电场及计算哈尔滨理工大学学报 [6] ，[J]. ，2007，12(3):117-119.

蒋 明 宇 胡 先 权 邓海 均匀电介质椭球内极化场强研究重庆师范大学学报 自 然 科 学 版 [7] ，，. [J]. ()，2004，21(1):41-45. 李 旭 李 丽 辉均匀电介质椭球内极化场强方向与外电场方向的研究 首 都 师 范 大 学 学 报 自 然 科 学 版 [8]，. [J]. ( )，2003，24(2):33- 36.

李 旭 胡 先 权 胡 文江 电介质椭球内极化场强方向的研究大 学 物 理 [9] ，，. [J]. ，2004，23(10):28-31.

张 之 翔电 磁 学 千 题 解北 京 科 学 出 版 社 [10] . [M]. :，2002:188-189.

责任编辑 钮效鹍()

Calculation Method of Polarization Charge Density in Dielectric

QU Shuang-hu，YANGi Zhi-kon，gMA Zhi-chu，nZHANG Cai-xia

(School of Physics & Electrical Information Engineerin，gShjiiazhuang Universi，tyShjiiazhuan，gHeibei 05003，5Chin)a

Abstract:Two calculation methodsof po larization charge densiin tdiey lectric are givenin t his paper.( 1)The

? polarization charge densiis equalty to the negative value of the polarization vecgenctor dive，eρ=r-荦?P ;2()The poP

larization charge densitisy determined by the polarizabiity，thel free charge densi，tthey polarization gradient tand he

χε ?e0 ρ-electricf ield intensit，yρ=- P f荦χ?E . For the situationof the charge distribution with cesyrtainmme - eχ+1 χ+1 ee

try，using the two mhodet，sthe polarization charge densiis caty lculated respectiveforly t he threecase :sthe uniform dielectric without free chainr geit， the uniform dielectrwiict h free chargein it，and nonuniform dielectrwiicthout free chargein it. It is discussedin detail byexa mples.

Key words:polarization gradien;tfree charge densi;tpoylarization charge densi ty

范文三：介质球面上极化电荷及空间电场分布规律

Vol . 25 No . 2 云南师范大学学报第 25 卷第 2 期 2005 年 3 月 J o ur nal of Yu n na n No r mal U ni ve r si t y Ma r . 2005

3介质球面上极化电荷及空间电场分布规律

成军

()金华职业技术学院 , 浙江 金华 321017

摘 要 : 文章对置于匀强电场中的均匀介质球内和球外的电势和电场分布进行了定量的研究 ,同时讨

εεεε 论了/?0 和/??时 ,介质球表面上极化电荷的分布规律及电势 、电场分布 。1 2 1 2

关 键 词 : 介质球 ; 电势 ; 电场 ; 极化电荷密度

() 文章编号 : 1007 - 9793 200502 - 0043 - 04 中图分类号 : O442 文献标识码 : A

1 问题的提出

_ εε一个半径为 a , 介电常数为均匀介质球 , 置于均匀外电场 E中 , 球外充满介电常数为的均匀介2 0 1

质 。求介质球面的极化电荷密度和球内外的电场 。

电势分布2

_

该问题具有轴对称性 , 对称轴为通过球心沿外电场 E方向的轴线 , 取此轴线为极轴 , 以球心为原0

点 , 建立球坐标系 。

介质球的存在使空间分为两均匀区域 ———球外区域和球内区域 。两区域内都没有自由电荷 , 因此 φφφ电势都满足拉普拉斯方程 。以代表球外区域的电势 ,代表球内的电势 , 则 1 2 2φ( ) 1 A1 = 02φA= 0( )2 2 _ ( φθφ因球坐标的极轴 Z 沿原来匀强电场 E的方向 , 则由对称性知与 ф无关 , 而只是 r 与的函数r ,0

θ) ( ) ( ) , 故方程 1、2的通解为

b nn ( θ)φan r+ ( )= Pn co s3 1r > a n+1? r n

dn n ( θ)( )φ cr+Pco s 4 = n n r < a="" 2n+1?="" r="" n="">

an 、bn 、cn 和 d n 是待定常数 , 由以下边界条件确定 。

边界条件 : _ _ ( )无穷远处 , E ? E, 则1 0

φθ ( θ)( )?-Erco s= - Er Pco s 5 1 0 0 1

( )( )因而6 a1 = - E0 an = 0 n ?1

()φ2 r = 0 处 ,应为有限值 , 因此 , 2

d= 0 ( )n 7 () ( ) 3在介质球面上 r = a,

φφ5 1 52 φεεφ( ) = = 2 ,8 1 2 15 r 5 r

3 收稿日期 :2003 - 09 - 29

() 作者简介 :成 军 1963 - ,女 ,浙江省兰溪市人 ,副教授 ,从事近代物理研究 .

() () () 把 3和 4式代入 8式 ,得 :

b n n ( θ) ( θ)( θ)( )= c a P co sE0 P1 co s+ Pn co s9 n n n+1 ?? a n n

( ) ε n + 1b n2n- 1 ( θ)( θ)( θ)( ) nc a Pco s10 E0 P1 co sPn co s- - n n = n+2 ?? ε1 a n n

( θ) 比较 Pco s的系数得 :1

1 b( )11 1 Ea + - = c a 0 2 a

ε 1 2 b 2( )12 - E0 -= c13 ε a1

εε ε 3 - 1 2 1 3 ( ) ( ) Ea, c= - 由 11和 12式解出 : b1 = 0 1 E0εεεε + 2+ 2 1122

( ) ( ) ( θ) 比较 9和 10式其他 Pco s项的系数可解出 :n

( ) bn = cn = 0 n ?1则本问题的解为 3 εε θ- Eaco s 2 1 0 θ( )( )φ r > a 13 = - E0 rco s+ 12 ε ε+ 2 2 1r

ε3 1 θ ( )φ( ) = - E rco sr < a="" 14="" 0="" 2ε="" ε+="" 2="" 2="">

3 电场分布

3 φ(εε)θ5 2 - Eaco s12 1 0 θco s+ = E? E= -0 1 r 3 ε ε 5 r + 2 2 1r3 εφε 5 1 - 1Ea1 20 θθEθ = - = - E0 si n+ si n 13 θ2 r 5 ε ε 2 1r+ 则球外空间的电场分布 : 3 3_ __ ε(εε) θ ε 2 - Eaco s- 1Ea2 1 0 20 θθθ Eco s+ Esi n+ si n- 0 0 e + eθ = E1r 3 3 εε ε ε + 2 + 2 2 112rr33 _ __ εε (εε) θ - 1Ea2 - Eaco s20 2 1 0 θ( )e + si neθ 15 r = E+ 0 3 3 εε + 2ε ε+ 2 2 11r2r

εφ5 3 21 θ 又 ? E= -= Eco s2 r 0 ε+ 2 5 r 2 1 ε

εφ3 5 11 2 θEsi n Eθ = - = - 0 2εθr 5 ε+ 2 12

则球内电场分布 :

__ φε 5 321 ( )E16 =E02 r = Z + 2 5 εε2 1

极化电荷密度4

[ 1 ] ρ可以证明 ,如果介质是均匀的 ,其体内不会出现净余束缚电荷 ,即极化电荷的体密度e = 0。在

_ __σ介质的表面上 , 极化电荷的面密度为P, 而在球内总电场作用下 , 介质的极化强度为 : P =e = P 〃n =n _ _ ε3 1 χε e 1 E2= E0 εε + 2 12

_ _ (εε)ε 2 - 1 03θσ ( ) Eco s 17 0 e= P 〃n = εε + 2 12

〃45 〃第 2 期成 军 : 介质球面上极化电荷及空间电场分布规律

(εε)ε 2 - 1 03σ | | E e 是最大 , 其值为0εε + 2 21

讨 论5

() () 1由 17式 ,得介质球的总电偶极矩为 :

_ _ _ εε2 - 1 4 3 3 πεπ = aP = 4aE( )0 0 p 18 εε + 2 3 12

_ _ 3 εε2- 1 E0 a 1 p 〃r θ = co s? 3 2 επεε 4+ 2 01r2r() φ可见 , 13式1 中的第二项正是这个电偶极矩所产生的电势 。

_ _ ( ) εε( )2 由 16式知 :球内是一均匀场 , 因1 ,2 均大于零 , E2 与 E0 同向 ; 而介质球中的退极化场

_ _ _ _ _ _ εεε 3 - 11 2 E = EE0 - E0 E- = E = - 2 2 0 0 εεεε + 2+ 2 1122_ _ _ εε> 0 , | E| 当< 时="" ,="" |="" e="" |=""> | 2 E0 | ;2 1 2 _ _ _ _ _ _ L 1 [ 2 ] εε叫极化因子 。当> 时 , | E |< 0="" ,="" |="" e|="">< |="" e|="" ;="" 所以="" ,="" 把="" e写成="" ep,="" 其中="" ,="" l2="" 1="" 2="" 2="" 0="" 2="" 0="" -="ε" 3="">

ε1 ( ) 3?0 时 ,ε 23 θ E a co s 0 θ)( φ= - Erco s+ ( ) 19 0 r > a 12 r

φ )( = 0 ( )220 r < a="" 3="" 3="" _="" __="" _="" θ="" θ="" 2="" eaco="" seasi="" n0="" 0="" e(="" )eθ="" (="" )1="" e="" +="" 21="" 0r="" r="">aE= + 3 3 rr _ ( )( )r Φ a 22 E2

ε 1 ε( )ε32 1 - 0 ε 2σ ε θ ε θE co s= 3E co s ( )0 0 0 0 = 23 ε 1 ε( )2 1 + 2 ε 23 θ E a co s 0 () θ19式中的第一项 - Eco s是原来匀强电场的电势 , 第二项 是由于导体球受到电场的作用而0 2 r

3 [ 3 ] 极化成为一个偶极矩 Ea的偶极子所产生的电势。即当介质球的介电常数趋于无穷大时 , 其效果相 0

当于一个导体球 。 此时导体球表面

( ) 由 21式 , 得 :

θ( )r = a , E= E= 3 Eco s 24 r 1 r 0

( )Eθ = Eθ = 025 1

() () 24式 、25式表明 ,在球面上任何一点的场强的方向都沿径向 r ,即与导体表面垂直 ,在右半球分布正 _ _ 电荷的表面 ,场强 E 的方向指向球外 ,在左半球分布负电荷的表面 , E 的方向指向球面 ,场强的大小 : E

2 2 = θ E+ Eθ = 3 Eosr c

导体球面电荷的分布 :

θ θ σ εσθ E0 为定值时 , 感应电荷面密度由确定 , 右半球面与 Z 轴的交点处 ,= 0 , co s= 1 ,= - 30 E0 ,

θ πθ σ ε 面密度最大 ; 左半球面与 Z 轴的交点处 ,= , co s= - 1 ,= - 3E, 其面密度数值也为最大 ; 在球的0 0

π θθσ 中垂面与球面的交界处 ,= ?, co s= 0 ,= 0 , 此处的感应电荷面密度为零 ; 导体球面上其他各点的 2

σθ( ) θθ电荷面密度, 随数值的变化而变化 , 与的余弦函数 co s成正比关系 , 其数值由式 22确定 。利用高 [ 4 ] 斯定理很容易证明 , 球面上总的感应电荷为零。

ε1 ( ) 4? ?时 ,ε 23 θ E a co s 0 θφ = - Erco s- ( )0 26 12 2 r

3 θφ E0 rco s= - 22 3 3_ __ θ Eaco sEa0 0 θθθ Esi n- Eco s-si n0 0 e + eθ = - E1r 3 3r2 r 33 _ _ _ θEa Eaco s0 0 θsi neθ E-( ) e - = 0r r > a + 33 2 r r_ _ _ _ 3 3 3 θθ( )Eco se - Esi neθ == r < a="" 0="" r="" 0="" ee02="" 2="" 2="" 2="">

(εε)ε 32 - 1 0 3 θ θ εθσ Pco s= Eco s= - Eco s 0 0 0 e= εε + 22 21 _ _ _ _ 1 3 L P ε ) ( E P = - E0退极化场 : E = E-0= = - E 2 2 0 0ε 2 2 0_ _ _ 1 L P ( 所以 , E写成 : E= E- L = 2 2 0ε 3 0_ _ _ 4 3 3 ππε介质球的总电偶极矩为 : paP = 2aE 0 0= 3

_ _ 3 1 p 〃r E0 a θ= co s23 επ42 r 0r

() φ上式右边即为 26式1 中第二项 ,可见 ,此项正是这个电偶极矩所产生的电势 。

() 5球面上的总极化电荷 :

π π 2 (εε)ε 3 2 - 1 02 σ θθθφ Q = ds =si nco sdd= 0 ; E0 a0 0 ε ε + 2 κ 2 1?? 即球面上的总极化电荷为零 。

参考 文 献 :

[ 1 ] 赵凯华 ,陈熙谋 . 电磁学 [ M ] . 北京 :高等教育出版社 ,1990 . 196 .

[ 2 ] 蔡圣善 ,朱耕 . 经典电动力学 [ M ] . 上海 :复旦大学出版社 ,1985 . 136 .

[ 3 ] 郭敦仁 . 数学物理方法 [ M ] . 北京 :人民教育出版社 ,1979 .

[ 4 ] 曹昌祺 . 电动力学 [ M ] . 北京 :人民教育出版社 ,1979 . 77 .

The distribut ion regularity of polarizat ion charge on t he surface

of spherical medium and electric f iel d

CHEN G J un

()J inhua College of Prof e ssio n a nd Technolo gy , J i nhua 321017 ,China ABSTRACT : The t he si s ma ke s a qua ntitive st udy of t he po t e ntial a nd elet ric di st ri butio n i n si de a nd εεεo ut si de t he eve n sp herical medi um p ut o n eve n i nt e n sit y elect ric fiel d , di sc u sse s w he n/?0 a nd/1 2 1

ε??, t he di st ri b utio n re gula rit y of pola rizatio n cha r ge o n t he surf ace ofsp herical medi um a nd t he 2 di st ri butio n of po t e ntial a nd elect ric fiel d.

KEY WO RDS : sp herical medi um ; po t e ntial ; elect ric fiel d ; pola rizatio n cha r ge di st ri b utio n

范文四：[word] 介质球面上极化电荷及空间电场分布规律

介质球面上极化电荷及空间电场分布规律 第25卷第2期

2005年3月

云南师范大学

JournalofYunnanNormalUniversity Vol_25No.2

Mar.2005

介质球面上极化电荷及空间电场分布规律+

成军

(金华职业技术学院,浙江金华321017)

摘要:文章对置于匀强电场中的均匀介质球内和球外的电势和电场分布进行了定

同时讨 量的研究,

论了e/e一O和e/e一cx.时,介质球表面上极化电荷的分布规律及电势,电场分布. 关键词:介质球;电势;电场;极化电荷密度

中图分类号:0442文献标识码:A文章编号:1OO7—9793(2005)O2一OO43一O4 1问题的提出

一

个半径为a,介电常数为ez均匀介质球,置于均匀外电场E0中,球外充满介电常数为e的均匀介

质.求介质球面的极化电荷密度和球内外的电场.

2电势分布

该问题具有轴对称性,对称轴为通过球心沿外电场E0方向的轴线,取此轴线为极轴,以球心为原

点,建立球坐标系.

介质球的存在使空问分为两均匀区域——球外区域和球内区域.两区域内都没有自由电荷,因此

电势都满足拉普拉斯方程.以代表球外区域的电势,代表球内的电势,则

一

0(1)

一

0(2)

因球坐标的极轴Z沿原来匀强电场E.的方向,则由对称性知与西无关,而只是r与

的函数(r,

),故方程(1),(2)的通解为

:

?(+(cos0)r>n(3) =

?(r+鲁)Pn(cos0)r<n(4) a,,和d是待定常数,由以下边界条件确定. 边界条件:

(1)无穷远处,E—E0,则

—

Eorcos0=一E0rP1(cos0) 因而a1=一E0a,一0(?1)

(2)r一0处,应为有限值,因此,

(3)在介质球面上(r—n),

d一0

:一

+

收稿日期:2OO3一O9—29

作者简介:成军(1963--),女,浙江省兰溪市人,副教授,从事近代物理研究

(5)

(6)

(7)

(8)

?44?云南师范大学(自然科学版)第25卷

把(3)和(4)式代入(8)式,得: E0P1(cos0)+ 一

EoP1(cosO)一?

比较P1(cos0)的系数得: bnPn(c一

(c

Pn(c)一Pn(c)

1一E0n+bl—c1n?

I—E0一2bl一c

I~t(11)和(12)式解出一幸E0n3,c一一幸E0

比较(9)和(10)式其他P(cosO)项的系数可解出:

b一C一0(?1)

则本问题的解为

3电场分布

—Eoa~cos0(r>n) 仇一一Eorcos+幸

一一

{E0rc.s(r<n)

?

..El一一3

r

—

Eocos+

1巴'—r_巴

E一一=--Eosin+幸

则球外空间的电场分布: 赢一(EoCOS+ Eoa.cos0

r

Eoa0.D

rn

Eoaa

.

cosO~

,+(一E=Ds;in+sin)

一

+[,+等sin] E2r一一一E0c 一一一n

则球内电场分布: 西z一一Eo

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

4极化电荷密度 可以证明,如果介质是均匀的,其体内不会出现净佘束缚电荷,即极化电荷的体密

度P一0叫.在 介质的表面上,极化电荷的面密度为一P?一P,而在球内总电场作用下,介质的极化

强度为:P一

z一

一?一

E0c(17) 可见,在右半球>0,左半球<0;在两半球的分界线上一号,一0;在两极处,一0和

7f,

第2期成军:介质球面上极化电荷及空I司电场分布规律?45? IO.II是最大,其值为E0c21-01

5讨论

(1)由(17)式,得介质球的总电偶极矩为:

一

号磁3一幸4惩0a3(8)

?

?

?

上4n%一c础一

2+2,1

可见,(13)式中的第二项正是这个电偶极矩所产生的电势. (2)由(16)式知:球内是一均匀场,因e,ez均大于零,Ez与E0同向;而介质球中的退极化场

言,z一言z一一竿一一一幸茜己

当,.<,时,I.I>0,IE2I>IE0I; 当ez>e时,IEzI<o,IE2I<IE0I;所以,把E2~*gEo一P,其中,L一言叫极化因子.

(3)一0时,

C?

一一

E0rcos+墨?(,,>n)(19)

仇=0(r<n)(2O)

置一+(2Eoa,acos~e,qE~a,a---sin~e)(r>n)(21)

E2(rn)(22)

3,2(1一)E0

一———E0Eocos一3E0E0cos0(23)

,2(1+2)

C?

(19)式中的第一项一EoCOS是原来匀强电场的电势,第二项是由于导体球受到电场的作用而

极化成为一个偶极矩Eoa.的偶极子所产生的电势?.即当介质球的介电常数趋于无穷大时,其效果相

当于一个导体球.

此时导体球表面由(21)式,得:

r—n,Er—E1,一3EocosO(24)

一E1一0(25)

(24)式,(25)式表明,在球面上任何一点的场强的方向都沿径向r,即与导体表面垂直,在右半球分布正

电荷的表面,场强E的方向指向球外,在左半球分布负电荷的表面,E的方向指向球面,场强的大小:E

==,丽一3E00

导体球面电荷的分布:

E0为定值时,感应电荷面密度由确定,右半球面与Z轴的交点处,一0,cosO一1,一一3E0E0,

面密度最大;左半球面与z轴的交点处,一不,cosO一一1,一一3E0E0,其面密度数值也为最大;在球的

中垂面与球面的交界处,一?罢,cosO—o,一o,此处的感应电荷面密度为零;导体球面上其他各点的

电荷面密度,随数值的变化而变化,与的余弦函数cos成正比关系,其数值由式(22)确定.利用高

斯定理很容易证明,球面上总的感应电荷为零].

?46?云南师范大学(自然科学版)第25卷

(4)一cx3时,e口

'

一一rcOs一

EoaSCOSO

一

号rcos0

一

(E0cosEoas.coS0,~e+(一n一s)

==Eo

z一

号c.so7丁Eoaacos6~.,一Eoassin02(>n)—一er一2r3s1nj(r>n) 一

singd===要(r<n)厶厶

一

PcOs一c.so=--}c

退极化场:z一面z一一-fig一一等

所以,F'2写成:z一一LP(L—1

(P一一E0)

介质球的总电偶极矩为:一号钇3一2ha3e.

一

2/cos4砸or3一

上式右边即为(26)式中第二项,可见,此项正是这个电偶极矩所产生的电势. (5)球面上的总极化电荷:

Q一===

即球面上的总极化电荷为零.

参考文献:

nz

frsin.钇钇一?0?0

Eli赵凯华,陈熙谋.电磁学FM].北京:高等教育出版社,1990.196. [2]蔡圣善,朱耕.经典电动力学EM].上海:复旦大学出版社,1985.136 I-3]郭敦仁.数学物理方法EM].北京:人民教育出版社,1979. [4]曹昌祺.电动力学EM].北京:人民教育出版社,1979.77. Thedistributionregularityofpolarizationchargeonthesurface

ofsphericalmediumandelectricfield

CHENGdun

(JinhuaCollegeofProfessionandTechnology,Jinhua321017,China)

(26)

ABSTRACT:Thethesismakesaquantitivestudyofthepotentialandeletricdistributioninsideand

outsidetheevensphericalmediumputonevenintensityelectricfield,discusseswhene1/e2Oand~1/

.2—

?,thedistributionregularityofpolarizationchargeonthesurfaceofsphericalmediumandthe

distributionofpotentialandelectricfield.

KEYWORDS:sphericalmedium;potential;electricfield;polarizationchargedistribution 仇一

范文五：极化电荷体密度和极化强度关系的一种简明推导

第二十一卷第六期　　　　　　　　楚　雄　师　范　学　院　学　报　　　　　Vol121　No16　　2006年6月　　　　　　　　JOURNALOFCHUXIONGNORMALUNIVERSITY　　　　　Jun12006　　　　极化电荷体密度和极化强度关系的一种简明推导3

徐　媛

(,摘　要:,δ函数导出极化电荷体密度和极化强度关系。

关键词:;;极化电荷体密度;极化强度;δ函数

:O442　文章标识码:A　文章编号:1671-7406(2006)06-0020-02

　　1　引入

电介质的主要特征是几乎不存在可以自由地宏观移动的电荷,换言之,在电介质中电荷被束缚在分子内,其中正、负电荷的代数和为零,分子呈电中性。若将分子中全部正、负电荷用等效的正、负电荷(称为正、负电荷的等效中心)代替,则可将电介质的分子看作是等量异号电荷构成的电偶极子。于是,电介质就是大量分子电偶极子的集合。无外加电场时,分子电偶极子的空间取向混乱,宏观上处处电中性,介质中任意△V内的分子电偶极矩矢量和为零;外加电场后,分子电偶极子在电场力的作用下趋于整齐排列,于是介质中出现了宏观的电偶极矩分布,造成介质中任意△V内的分子电偶极矩矢量和不再为零,这就是电介质的极化。为了定量描述介质极化的程度,引入了极化强度P这个物理量,它定义为单位体积内的分子总电偶极矩。另外宏观电偶极矩的产生也可能导致在一个物理小体积△V中出现净余的正电荷或负电荷,这就是极化电荷QP,QP又表现为极化电荷面密度σP和极化电荷体密度ρP的某种分布,显然极化强度与极化电荷之间必然存在联系,本文只研究介质内部极化电荷体密度ρ在目前电动力学和电磁学的教科书P和极化强度P的关系。

里,极化电荷体密度ρP和极化强度P的关系是借助于极化过程的简化模型进行推导的,其推导结果为ρ,具体推导过程可参看郭硕鸿编著的电动力学教材。这种推导P=- ?P

方法物理图象比较清晰,但略显复杂。本文将介绍一种简明易懂的方法来推导介质极化电荷体密度ρP和极化强度P的关系。

　　2　极化电荷体密度ρP和极化强度P关系的推导

τττ在空间位置r处取一小体积元d′,当d′→0时,可认为落在d′内的分子都在r位置

由于一个处在位置r的偶极子的电荷体密度可表示如下:

3_____[1][1]___收稿日期:2006-01-09

作者简介:徐　媛(1973—),女,楚雄师范学院物理系讲师,主要研究方向:电磁学与电

动力学的教学研究。

?20?

　　楚雄师范学院学报2006年第6期　　

徐　媛:极化电荷体密度和极化强度关系的一种简明推导

____ρ(r)=-P? δ(r-r′)[2]　　　　　　　　　　　(1)

τ因此d′内的分子对电荷体密度的贡献为:

ρ(r)

利用

)=- δ(r-r′)且δ δ(r-r′函数为偶函数

以及

___)lim[6Pi]=P(r′τd′iτd′

可得:_____)=6Pi? δ(r-r′i___(2)(3(ρ(r=limτd′→0_)6i(rri_____δ(r-r′)dτPi]? ′′iτd′(5)

τd′?0,化为积分形式,则有

ρ(r)= P(r′)? ′δ(r-r′)dτ′

再利用

)? ′δ(r-a)dτ)| ≈(r′′=- ′?≈(r′

最后得到:

____________r′=_a_____(6)(7)ρ(r)=-[ ′)]_r=_r′= ?P(r)(8)?P(r′

本文利用δ函数给出介质内部极化电荷体密度ρP和极化强度P关系的推导,其过程简单明了,笔者将此方法运用于教学实践中也得到了学生比较积极的反应,效果明显。

参考文献:

[1]郭硕鸿1电动力学[M]1北京:高等教育出版社,2003:25—261

[2]尹真1电动力学(第二版)[M]1北京:科学出版社,2003161

(责任编辑　王怡林)

Asimpledeductionoftherelationshipbetweenpolarization

chargedensityandpolarizationtensor

XuYuan

(DepartmentofPhysicsandElectronics,ChuxiongNormalUniversity,Chuxiong675000,Yunnan)

Abstract:Therelationshipbetweenpolarizationchargedensityandpolarizationtensorwerede2ducedinasimplewayintermsoftheexpressionsofthechargedensityforanelectricdipoleandbyusingoffunction.

KeyWords:dielectric;electricdipole;polarizationchargedensity;polarizationtensorfunc2tion

?21?

　　楚雄师范学院学报2006年第6期　　

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