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范文一：微积分答案详解

一、填空题(每小题3分,共15分)

2xf[,(x)],1,x,(x),0,(x),f(x),e1、已知,,且,则 .

ln(1,x)答案: 王丽君

22uu,ln(1,x)u,ln(1,x)f(u),e,1,x解:,,.

2x，22、已知为常数,,则 . lim(,ax，1),1aa,x,,x

1答案: 孙仁斌

211x，11b解:. 0,lim,lim(,ax，1),lim(1，,a，),1,a2x,,x,,x,,xxxxx

fxfx，,，(13)(1),f(1),23、已知,则 . ,limx,0x

4答案: 俞诗秋

fxffxf[(1，3),(1)],[(1，),(1)]解: lim,4x,0x

f(x),(x,1)(x,2)(x,3)(x,4)4、函数的拐点数为 . 2答案: 俞诗秋

,f(x),,1,,2,,3,,4,,,,,,解:有3个零点:, 123123

,,f(x),,,1,,,,,,4,,,,,有2个零点:, 1211223

,,,,f(x),12(x,,)(x,,)f(x),显然符号是:，,,,，,故有2个拐点. 12

dx5、 . ,22,sinxcosx

tanx,cotx，C答案: 张军好

22dxcosx，sinxdxdx解:. ,dx,，,tanx,cotx，C222222,,,,sinxcosxsinxcosxcosxsinx

二、选择题(每小题3分,共15分)

答案: 1、 2、 3、 4、 5、。

f(x),(x)f[,(x)]f[,(x)]1、设为偶函数,为奇函数,且有意义,则是 (A) 偶函数; (B) 奇函数;

答案:A 王丽君

x1,cos,x, ,0,,2x,0fx2、是函数(),的 x,

, 0, x,0.,

(A) 跳跃间断点; (B) 连续点;

f(x)x3、若函数在处不可导，则下列说法正确的是 0

f(x)x(A) 在处一定不连续; 0

f(x)x(B) 在处一定不可微; 0

f(x)x(C) 在处的左极限与右极限必有一个不存在; 0

f(x)x(D) 在处的左导数与右导数必有一个不存在. 0

答案:B 江美英

4、仅考虑收益与成本的情况下,获得最大利润的必要条件是:

,,,,,,,,R(Q),C(Q)R(Q),C(Q)(A) ; (B)

,,,,,,R(Q),C(Q)R(Q),C(Q)(C) ; (D)

答案:D 俞诗秋

,f(x)5、若函数存在原函数,下列错误的等式是:

d,f(x)dx,f(x)(A) ; (B) ; f(x)dx,f(x),,dx

df(x)dx,f(x)dxdf(x),f(x)，C(C) ; (D) . ,,

答案:B 秋俞诗

三、计算题(每小题6分,共60分)

2x,4xf(x，2)f(x,2),2,x1、设,求.

2x，4x答案:f(x，2),2,x,4 王丽君,俞诗秋 t,x,2解:令,则

222(t，2),4(t，2)t，4t，4,4t,8t,4f(t),2,(t，2),2,t，2,2,t,2, (3分)

于是

222(x，2),4x，4x，4,4x，4xf(x，2),2,(x，2),2,2,x,4,2,x,4. (6分)

2、计算. limcos(n，1,n)n,,

1答案: 俞诗秋

1limcos(n，1,n),limcos解: (3分) n,,n,,n，1，n

n0. (6分) ,limcos,cos,1n,,11，0，11，，1n

nnn，，，3、求极限. lim(？)222n,,n，n，n，n12

1答案: 俞诗秋

22nnnnn,(，，？，),解:由于， (3分) 22222n，nn，1n，2n，nn，1

22nn11而, , lim,lim,1lim,lim,122n,,n,,n,,n,,11nnn，，11，1，2nn

nnn所以. (6分) lim(，，？，),1222n,,nnnn，1，2，

2ln(1，x)lim4、求极限. x,0secx,cosx

1答案: 俞诗秋

2x222ln(1x)ln(1x)，，1x，limlimcosxlimlim,,解: (4分) 2x,x,x,x,0000secxcosxsinx2sinxcosx,

x1,limlim,1. (6分) 2x,0x,0xxx(1，)cossin

1sinx5、求函数的导数. y,x

1sin1111x,yxx答案: 俞诗秋 ,(,cosln，sin)2xxxx

1sinlnxx,,解: (2分) y(e),

11sinlnsinx11111111xxex. (6分) xx,[cos(,)ln，sin],(,cosln，sin)22xxxxxxxx

(1,1)xlny，y,2x,16、求曲线在点处的法线方程.

x，y,2,0答案: 江美英,俞诗秋

,y,解: 方程两边对求导得:, lny，x，y,2,0xy

1(x,y),(1,1)将代入得法线斜率, (3分) k,,,,1,y(1)

y,1,,1,(x,1)x，y,2,0从而法线方程为:, 即: . (6分)

1437、求曲线的凹凸区间和拐点. y,x,x，12

(,,,0][1,，,)[0,1]答案:曲线在区间和是凹的,在区间是凸的(

4(0,1)拐点为,( 俞诗秋 (1,)3

f(x),C(,,,，,)解:(1),

322,,,f(x),2x,3xf(x),6x,6x,6x(x,1)(2), ,

4,,f(x),0f(0),1x,0x,1f(1),(3),得,. ,( (3分) 123

(4) 列表如下:

(,,,0)(1,，,)(0,1) 0 x1

,,f(x) + 0 - 0 + f(x) 凹拐点凸拐点凹

4(0,1)(5) 曲线的拐点为、( (1,)3

(,,,0][1,，,)[0,1](6) 曲线在区间和是凹的,在区间是凸的( (6分)

dx8、计算( ,3(1，x)x

666x,6arctanx，C答案: 俞诗秋

65t,xdxdx6tdt解:,,,, (3分) 32,,,323666x,tt(1，t)(1，x)x(x)[1，(x)]

2(1，t),1dt( ,6 dt,6 dt,,6 22,,,1，t1，t

66,6t,6arctant，C,6x,6arctanx，C( (6分)

xesin2xdx9、计算( ,

41x答案: 俞诗秋 e(sin2x,cos2x)，C102

111xxxx解: (3分) esin2xdx,,edcos2x,,ecos2x，ecos2xdx,,,222

11111xxxxx, ,,ecos2x，edsin2x,,ecos2x，esin2x,esin2xdx,,24244

41xx( (6分) ecos2xdx,e(sin2x,cos2x)，C？,102

Q,100,5PP,Q10、设某商品的需求函数为,其中分别表示需求量和价格,试求当总

收益达到最大时,此时的需求弹性,并解释其经济意义.

,(10),11%1%答案:,当总收益达到最大时,价格上涨,需求则相应减少.俞诗秋

2R(P),PQ,P(100,5P),100P,5P解:总收益函数为,

,,,R(P),100,10P,0R(10),,5,0P,3令,得,而,

P,10可见, 当时, 总收益达到最大. (3分)

PdQP5 此时需求弹性, (5分) ,(10),,,,1QdPP100,5P,10P,10

1%1%说明,当总收益达到最大时,价格上涨,需求则相应减少. (6分)

四、证明题(每小题5分,共10分)

x(0,1)xe,11、证明方程在区间内有且只有一个实根. 孙仁斌,俞诗秋

xf(x),xe,1,C[0,1]f(0),,1,0f(1),e,1,0证明:显然,由于,,

,f(,),0,e,1,,(0,1)由零点定理知,,即; (3分) s.t.

x,f(x),(x，1)e,0x,(0,1)f(x),[0,1]又因,,知,

x(0,1)xe,1,所以方程在区间内有且只有一个实根. (5分)

[1,2]f(x)f(2),8f(1)(1,2)(1,2)2、设在闭区间连续,在开区间可导,且,证明在内必

,,3f(,),,f(,)存在一点,使得. 俞诗秋

32,f(x)xf(x),3xf(x),证明: 令,, F(x),F(x),36xx

f(2)F(x),C[1,2]F(x),D(1,2)显然,,且, F(1),f(1),,F(2)8

,,，,,(1,2)F(,),03f(,),,f(,)由罗尔定理知:,,所以. s.t.

一、填空题(每小题3分,共15分)

2z,x，y，f(x,y)y,0z,z,x1、设，且当时，，则。 22xxyyy,，，22()

，,dx1

,31x22、计算广义积分= 。()

dz,xye(dx，dy)(1,1)z,e3、设，则。()

2x22x,,,y,5y，6y,xe(ax，bx)e4、微分方程具有形式的特解.()

,,11,,u,4u,,,,nn,,n22,,11nn,,5、设，则_________。(1)

二、选择题(每小题3分,共15分)

223sin()xy，lim22x,0xy，y,01、的值为 ( A )

A.3 B.0 C.2 D.不存在

f(x,y)f(x,y)(x,y)f(x,y)y00x00002、和存在是函数在点可微的 ( A )。

必要非充分的条件; B.充分非必要的条件; A.

C.充分且必要的条件; D.即非充分又非必要的条件。

2222zxy,,,4xy，,1z,03、由曲面和及柱面所围的体积是 (D )。

,22,1222dd,rrr4,4d4d,,rr,,,,0000 A. ; B. ;

,121,22244dd,rrr,d4d,,rr,,,,0000 C、; D.

x,,,y,xypyqyfx，，,()y,e124、设二阶常系数非齐次线性方程有三个特解，，

2xy,e3，则其通解为 (C )。

x2xx2xCx，Ce，Cex，Ce，Ce12312 A.; B.;

x2xxx2x2xx，C(e,e)，C(x,e)C(e,e)，C(e,x)1212 C.; D.

n1,,(,1)

,ppnn1,5、无穷级数(为任意实数) (D)

A、收敛 B、绝对收敛 C、发散 D、无法判断

三、计算题(每小题6分,共60分)

xylimx,0，,11xyy,01、求下列极限:。

xyxy(11)，，xylim,limx,0x,0(1)1xy，,，,11xyy,0y,0解: …(3分)

,，，,，,lim(11)112xyx,0y,0 …(6分) y,xy,0xx,1x,42、求由与直线、、所围图形绕轴旋转的旋转体的体积。

42Vxx,,()dx,1解: …(4分) ,7.5, …(6分)

,,zz,zz,z(x,y)e,xyz,,xy3、求由所确定的隐函数的偏导数。

x解:方程两边对求导得:

,zyzz,z,zz,,e,yz，xyz,xe,xyx(z,1),x,x,有 …(3分)

y方程两边对求导得:

,zxzz,z,zz,,e,xz，xyz,y,y,ye,xyy(z,1),有 …(6分)

322fxyxxxyy(,)42,,，,4、求函数的极值。

322fxyxxxyy(,)42,,，,解:，则

2fxyxy(,)22,,fxyxxy(,)382,,，yx，，

fxy(,)2,fxy(,)2,,，fxyx(,)68,,xyyyxx，， 2,3820xxy,，,，

,(2,2)220xy,,，(0,0),求驻点，解方程组得和. …(2分)

f(0,0)2,f(0,0)2,,f(0,0)80,,,(0,0)xyyyxx对有，，，

2f(0,0)0,(0,0)BAC,,,,120于是，所以是函数的极大值点，且 …(4分)

f(2,2)2,f(2,2)2,,f(2,2)4,(2,2)xyyyxx对有，，， 2(2,2)BAC,,,120于是，不是函数的极值点。 …(6分)

R5、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售收入(万元)与

xx12电台广告费用(万元)的及报纸广告费用(万元)之间的关系有如下的经验公式:

22R,15，14x，32x,8xx,2x,10x1.5121212.若提供的广告费用为万元,求相应的最优广告策

略.

,(x,x),x，x,1.5,01212R解:显然本题要求:在条件下,求的最大值.

22F,15，13x，31x,8xx,2x,10x，,(x，x,1.5)12121212令, …(3分)

解方程组

,,Fxx,13,8,4，,0,,21x1,,Fxx,31,8,20，,0,,,12x2,,Fxx,，,1.5,0,,12,…(5分)

x,1.5x,012, 得:

1.51.5所以,若提供的广告费用为万元,应将万元全部用在报纸广告费用是最优的广告策

略. …(6分)

yd,,,y,x,y,2xx,1,x,2xDD6、计算积分,其中是由直线及所围成的闭区域;

22xyy,,ddxdy,,,,1xxxD解:. …(4分)

239,,xdx,124 …(6分)

xf(t)dt,2xf(x)，x,0f(x)f(x)f(1),07、已知连续函数满足，且，求。

x解:关系式两端关于求导得:

11,f(x)，f(x),,,f(x),2f(x)，2xf(x)，12x2x即 …(2分)

f(x)这是关于的一阶线性微分方程，其通解为:

dxdx,1,,2x2xf(x),e((,)e，c),2x

1c(,x，c),,1

xx = …(5分)

1f(x),,1f(1),0xc,1,0c,1又，即，故，所以 …(6分)

22,,,y，y1,y8、求解微分方程=0 。

dpdp22,,yp,pp，,0,yp,dydyy1,解:令，则，于是原方程可化为: …(3分) dp22,dy，,p0,2,y1pcecy(1),,,dyy1,11 即，其通解为 …(5分)

dydy2,cdx？,c(y,1)121(,1)ydx 即

1y,1,

cx，c12故原方程通解为: …(6分)

n,(2)x,

,3n1,n9、求级数的收敛区间。

3n,a，1ntn,,,limlim1Rt,3,,,,nn3antx,,2，nn1n1,解:令,幂级数变形为,. …(3分)

,1n,(1),3nt,,10n,当时,级数为收敛;

,3nt,1n1,当时,级数为发散.

n,t

,3I,[,1,1)ntn1,故的收敛区间是, …(5分)

n,(2)x,

,3I,[1,3)xn1,n那么的收敛区间为. …(6分)

n,sin(2x),

,n!n1,10、判定级数是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛。

nsin(2)1,x,nn!!解:因为 …(2分)

(1)!n，lim0,,1n,,1,!n,n!n1由比值判别法知收敛()， …(4分)

n,n,sin(2),xsin(2),x,,n!1n!n,n,1从而由比较判别法知收敛，所以级数绝对收敛. …(6分)

四、证明题(每小题5分,共10分)

uuu,,nnn1，n1n1,,1、设正项级数收敛,证明级数也收敛。

1uu,(u，u)nn，1nn，12证:， …(3分) 1(u，u),nn，1uu,nn，12而由已知收敛，故由比较原则，也收敛。 …(5分)

y1,z1,zzz,，,222f(x,y)f(u)x,xy,yy2、设,其中为可导函数, 证明.

,,z2xyf,,2,xf证明:因为, …(2分)

2,,zf，2yf,2,yf …(4分)

2,,1,z1,z2yff，2yf1z，,,，,,222x,xy,yfyfyfy所以. …(5分)

范文二：微积分答案详解

一、填空题 (每小题 3分 , 共 15分 )

1、已知 2

) (x e x f =, x x f -=1)]([?, 且 0) (≥x ?, 则 =) (x ?答案:) 1ln(x - 王丽君

解:x e u f u -==1) (2

, ) 1ln(2x u -=, ) 1ln(x u -=.

2、已知 a 为常数 , 1) 12(

lim 2

=+-+∞

→ax x

x x , 则 =a 答案:1 孙仁斌

解:a x

a x ax x x x x x x x -=+-+=+-+==∞→∞→∞→1) 11(lim ) 11(1lim 1

lim 022

3、已知 2) 1(='f , 则 =

+-+→x

x f x f x )

1() 31(lim

答案:4 俞诗秋

解:4

)]

1() 1([)]1() 31([lim

=-+--+→x

f x f f x f x

4、函数 ) 4)(3)(2)(1() (----=x x x x x f 的拐点数为答案:2 俞诗秋

解:) (x f '有 3个零点 321, , ξξξ:4321321<>

) (x f ''有

2个零点 21, ηη:4132211<>

) )((12) (21ηη--=''x x x f , 显然 ) (x f ''符号是:+, -, +, 故有 2个拐点 .

5、 =?

x dx

cos sin

答案:C x x +-cot tan 张军好解:C x x x

x x x x

x dx +-=+

???

cot tan sin

cos

cos sin sin cos cos sin 2

二、选择题 (每小题 3分 , 共 15分 )

答案: 1、 2、 3、 4、 5、。

1、设 ) (x f 为偶函数 , ) (x ?为奇函数 , 且 )]([x f ?有意义 , 则 )]([x f ?是

(A) 偶函数; (B) 奇函数;

答案:A 王丽君

2、 0=x 是函数

???=≠-=. 0 , 0 , 0 , cos 1) (2

x x x

x f 的 (A) 跳跃间断点; (B) 连续点; (C) 振荡间断点; (D) 可去间断点 . 答案:D 俞诗秋

3、若函数 ) (x f 在 0x 处不可导,则下列说法正确的是

(A) ) (x f 在 0x 处一定不连续; (B) ) (x f 在 0x 处一定不可微;

答案:B 江美英

4、仅考虑收益与成本的情况下 , 获得最大利润的必要条件是:

(A) ) () (Q C Q R ''>''; (B) ) () (Q C Q R ''<'' (C) ) () (Q C Q R ''=''; (D) ) () (Q C Q R '='

答案:D 俞诗秋

5、若函数 ) (x f '存在原函数 , 下列错误的等式是:

(A)

) () (x f dx x f dx

d ?

=; (B)

)

() (x f dx x f ?

=';

答案:B 秋俞诗

三、计算题 (每小题 6分 , 共 60分 ) 1、设 x x f x x -=--42

2) 2(, 求 ) 2(+x f .

答案:42) 2(42

--=++x x f x

x 王丽君 , 俞诗秋

解:令 2-=x t , 则

22) 2(2

) (4

444)

2(4) 2(2

--=+-=+-=---+++-+t t t t f t t t t t t , (3分 )

于是

2) 2(2

) 2(44

444

) 2(2

--=--=-+-=++-++-+x x x x f x

x x x x . (6分 )

2、计算 ) 1cos(lim n n n -+∞

→.

答案:1 俞诗秋

解:n

n n n n n +

+=-+∞

→∞

→11cos

lim ) 1cos(lim (3分 )

00cos

cos

lim =++=++

=∞

→n n n . (6分 )

3、求极限 ) 2

(

lim 2

n n n n n n n ++

+++

+∞

→ .

答案:1 俞诗秋解:由于

) 2

(

+≤

+++

+≤+n n

n n n n n n n

n n

, (3分 )

而 1111

lim lim

=+=+∞

→∞

→n

n n

n n , 1111lim

1lim

=+∞

→∞

→n

n n

n n ,

所以 1) 2

(

lim 2

=++

+++

+∞

→n

n n

n . (6分 )

4、求极限 x

x x x cos sec )

1ln(lim

-+→.

答案:1 俞诗秋

解:x

x x x

x x x x x x x x x cos sin 212lim sin )

1ln(lim cos lim cos sec )

1ln(lim

002

+=+=-+→→→→ (4分 ) 1sin lim cos ) 1(1lim 02

0=+=→→x

x x x x . (6分 )

5、求函数 x

x y 1sin

=的导数 .

答案:) 1sin

1ln 1cos

1(2

1sin

x x

x y x

-=' 俞诗秋

解:

) (ln 1sin

'='x

y (2分 )

]1sin

1ln ) 1(1[cos

ln 1sin

x x

1sin

1ln 1cos

1(2

1sin

x x

=. (6分 )

6、求曲线 12ln =-+x y y x 在点 ) 1, 1(处的法线方程 . 答案:02=-+y x 江美英 , 俞诗秋解: 方程两边对 x 求导得:0

2ln =-'+'+y y

y x

y ,

将 ) 1, 1() , (=y x 代入得法线斜率 1)

1(1-='-=y k ,

(3分 )

从而法线方程为:) 1(11-?-=-x y , 即: 02=-+y x . (6分 )

7、求曲线 12

+-=

x x y 的凹凸区间和拐点 .

答案:曲线在区间 ]0, (-∞和 ) , 1[+∞是凹的 , 在区间 ]1, 0[是凸的.

拐点为 ) 1, 0(, ) 34

, 1(. 俞诗秋

解:(1)) , () (+∞-∞∈C x f ,

(2)2332) (x x x f -=', ) 1(666) (2-=-=''x x x x x f ,

(3)0) (=''x f , 得 01=x , 12=x . 1) 0(=f , 3

4) 1(=f . (3分 )

(4)

(5) 曲线的拐点为 ) 1, 0(、 ) 3

, 1(. (6) 曲线在区间 ]0, (-∞和 ) , 1[+∞是凹的 , 在区间 ]1, 0[是凸的. (6

分 )

8、计算 ?

x dx ) 1(3

答案:C

x x +-arctan 66 俞诗秋

解:??

+===+=+

==)

1(6 ]

) (1[) () 1(2

t t dt t x x dx

x dx x

t t

x (3分 )

+=-=+-+=2

21 6 611) 1( 6t

dt dt dt t

t .

x x C t t +-=+-=6

6arctan

66arctan 66. (6分 )

9、计算 ?xdx e x 2sin .

答案:

x x e x

+-) 2cos 2sin 2

4 俞诗秋

解:???+

=xdx

e x e x d e xdx e x

x 2cos 2

12cos 2

12sin (3分 )

=xdx e x e x e x d e x e x

2sin 412sin 4

12cos 2

12sin 4

12cos 2

∴

x x e xdx e x

x +-=

?) 2cos 2sin 2

1042cos . (6分 )

10、设某商品的需求函数为 P Q 5100-=, 其中 Q P , 分别表示需求量和价格 , 试求当总收益达到最大时 , 此时的需求弹性 , 并解释其经济意义 .

答案:1) 10(=η, 当总收益达到最大时 , 价格上涨 %1, 需求则相应减少 %1. 俞诗秋解:总收益函数为 25100) 5100() (P P P P PQ P R -=-==,

令 010100) (=-='P P R , 得 3=P , 而 05) 10(<-=''r>

可见 , 当 10=P 时 , 总收益达到最大 . (3分 ) 此时需求弹性 151005) 10(10

=-=

===P P P

P dP

dQ Q P η, (5分 )

说明 , 当总收益达到最大时 , 价格上涨 %1, 需求则相应减少 %1. (6分 )

四、证明题 (每小题 5分 , 共 10分 )

1、证明方程 1=x xe 在区间 ) 1, 0(内有且只有一个实根 . 孙仁斌 , 俞诗秋证明:显然 ]1, 0[1) (C xe x f x ∈-=, 由于 01) 0(<-=f>

01) 1(>-=e f ,

由零点定理知 , ) 1, 0(∈ξ. . t s 0) (=ξf , 即 1=ξξe ; (3分 ) 又因 0) 1() (>+='x e x x f , ) 1, 0(∈x , 知 ]1, 0[) (↑x f ,

所以方程 1=x xe 在区间 ) 1, 0(内有且只有一个实根 ξ. (5分 )

2、设 ) (x f 在闭区间 ]2, 1[连续 , 在开区间 ) 2, 1(可导 , 且 ) 1(8) 2(f f =, 证明在 ) 2, 1(内必存在一点 ξ, 使得 ) () (3ξξξf f '=. 俞诗秋证明 : 令 3

) () (x

x f x F =

, 6

(3) () (x

x f x x f x x F -'=

显然 ]2, 1[) (C x F ∈, ) 2, 1() (D x F ∈, 且 )

2(8

) 2() 1() 1(F f f F ==

由罗尔定理知:) 2, 1(∈?ξ, . . t s 0) (='ξF , 所以 ) () (3ξξξf f '=.

一、填空题 (每小题 3分 , 共 15分 )

1、设 ) (y x f y x z -++=,且当 0=y 时, 2

x z =,则 =z 。 (2

22x xy y y -++)

2、计算广义积分

+∞1

x dx = 。 (1

2) 3、设 xy

e z =,则 =

)

1, 1(dz

() (dy dx e +)

4、微分方程

y y y 265=+'-''具有

形式的特解 . (x

bx ax 22) (+)

5、设 1

n n u ∞

==∑

,则 11122n n n u ∞

=??-=

???∑_________。 (1)

二、选择题 (每小题 3分 , 共 15分 )

1、 2

200

3sin()

lim

x y x y x y

→→++的值为 ( A )

A.3 B.0 C. 2 D. 不存在

2、 ) , (00y x f x 和 ) , (00y x f y 存在是函数 ) , (y x f 在点 )

, (00y x 可微的 ( A ) 。 A . 必要非充分的条件; B.充分非必要的条件;

C.充分且必要的条件; D.即非充分又非必要的条件。

3、由曲面 z x y

=--422

和 z =0及柱面 x y

+=所围的体积是 (D ) 。

A. d d θπr r r

02-??

;

04d r

θ??

;

、

d r

πθ??

; D.

442

02d d θπ

r r r

-??

4、设二阶常系数非齐次线性方程

()

y py qy f x '''++=有三个特解

y =1,

y =2,

y 23=,则其通解为 (C ) 。

A.x

e C e C x 221++; B.

C e C x C 2321++;

)

() (221x

e x C e

e C x -+-+; D.

)

() (2221x e

C e

e C x

-+-

5、无穷级数 ∑

∞

=--11

)

1(n p

n n (p 为任意实数 ) (D )

A 、收敛 B 、绝对收敛 C 、发散 D 、无法判断三、计算题 (每小题 6分 , 共 60分 )

、求下列极限:0

0lim x y →→

解:0

lim

x y →→

lim

(1) 1

x y xy →→=+- …(3分)

l i 1

1) 11

x y →→==+= …(6分)

2、求由 x y =

与直线 1=x 、 4=x 、 0=y 所围图形绕 x 轴旋转的旋转体的体积。

解:

d x V x

π=? …(4分)

7.5π= …(6分)

3、求由 xyz e z

=所确定的隐函数 )

, (y x z z =的偏导数 , z z x y ????。解:方程两边对 x 求导得 :

x z xy

yz x z e z ??+=??, 有 ) 1(-=-=??z x z xy

e yz x z z …(3分) 方程两边对 y 求导得 :

y z xy xz y z

e z ??+=??, 有 ) 1(-=-=??z y z xy e xz y z z …(6分) 4、求函数 3

(, ) 42f x y x x xy y

=-+-的极值。

解:

(, ) 42f x y x x xy y =-+-,则

(, ) 382x f x y x x y

=-+, (, ) 22y f x y x y

=-,

(, ) 68

xx f x y x =-,

(, ) 2

xy f x y =,

(, ) 2yy f x y =-,

求驻点,解方程组 23820220x x y x y ?-+=?

-=?, ,

得 ) 0, 0(和 (2,2) . …(2分)

对 ) 0, 0(有 (0,0) 80

xx f =-<, (0,0)="" 2xy="" f="," (0,0)="" 2yy="" f="-," 于是="">

120B AC -=-<,所以 )="" 0,="" 0(是函数的极大值点,且="" (0,0)="" 0f="…(4分)" 对="" (2,2)="">

(2,2) 4

xx f =,

(2,2) 2

xy f =,

(2,2) 2

yy f =-,

于是 2

120B AC -=>, (2,2)

不是函数的极值点。 …(6分)

5、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告 . 根据统计资料 , 销售收入 R (万元 ) 与

电台广告费用

x (万元 ) 的及报纸广告费用 2x (万元 ) 之间的关系有如下的经验公式 :

22121211028321415x x x x x x R ---++=. 若提供的广告费用为 5. 1万元 , 求相应的最优广告策略 .

解:显然本题要求 :在条件 05. 1) , (2121=-+=x x x x ?下 , 求 R 的最大值 .

令 ) 5. 1(1028311315212

2212121-++---++=x x x x x x x x F λ, …(3分) 解方程组

??=-+='=+--='=+--='0,

5. 1, 020831, 0481321211221x x F x x F x x F x x λλλ …(5分)

得 :01=x , 5. 12=x

所以 , 若提供的广告费用为 5. 1万元 , 应将

5. 1万元全部用在报纸广告费用是最优的广告策略 . …(6分)

6、计算积分 ??D d x y σ

, 其中 D 是由直线 x y x y 2, ==及 2, 1==x x 所围成的闭区域; 解:

x x

y y d dx dy

σ=

. …(4分)

4xdx =

…(6分)

7、已知连续函数 ) (x f 满足 ?+=x

x x xf dt t f 0) (2) (,且 0) 1(=f ,求 ) (x f 。解:关系式两端关于 x 求导得:

1) (2) (2) (+'+=x f x x f x f 即

x x f x

x f 21

) (21) (-

' …(2分)

这是关于 f ) (x 的一阶线性微分方程,其通解为:

) ) 21(() (22?+?-

?=-

c e

x f x dx

) (1

+-x

c c x x

…(5分)

又 0) 1(=f ,即 01=-c ,故 1=c ,所以 1

) (-=x x f …(6分)

8、求解微分方程 2

12y y y '

-+''=0 。

解:令 y p '=,则 dp y p dy ''=,于是原方程可化为:2

1dp p p dy y +=- …(3分) 即 201dp p dy y +=-,其通解为 2

111(1) dy y p c e c y --?==- …(5分)

1(-=∴

y c dx dy

即 dx c y dy

) 1(=- 故原方程通解为:

211

1c x c y +-

= …(6分) 9

、求级数

n ∞

=∑

解:令 2t x =-,

幂级数变形为 1

n ∞

=∑

lim

n t n n n a R a →∞

→∞

+===. …(3分)

当 1-=t 时 ,

级数为 0

(1) n

n ∞

=-∑

收敛;

当 1=t 时 ,

级数为

n ∞

=∑

发散 .

故

n ∞

=∑

的收敛区间是 ) 1, 1[-=t I , …(5分)

那么

n ∞

=-∑

[1,3)

x I =. …(6分)

10、判定级数 ∑

∞

=?1

)

2sin(n n

n x 是否收敛,如果是收敛级数,指出其是绝对收敛还是条件收敛。

解:因为

sin(2)

x n n ?≤

…(2分)

由比值判别法知 11

! n n ∞

=∑

收敛 (

(1)!

lim

01!

n n n →∞

+=) , …(4分)

从而由比较判别法知

sin(2)

n x n ∞

=?∑

收敛,所以级数 1

sin(2)

n x n ∞

=?∑

绝对收敛 . …(6分)

四、证明题 (每小题 5分 , 共 10分 )

1、设正项级数 1

n u

∞

=∑收敛 ,

证明级数 1

n ∞

=∑

证:

) (2

111+++≤

n n n n u u u u , …(3分)

而由已知

∑++)

(21

1n n

u u

收敛,故由比较原则, ∑

n n u u 也收敛。 …(5分)

2、设

) (2

y x f y

z -=

, 其中 ) (u f 为可导函数 , 证明 2

11y z

y z

y x z

x =

??+

??. 证明:因为 22f f xy x z '-=??, …(2分)

2f f y f y z '

?? …(4分)

所以 2

12211y

z yf

f y f f

f y y

z y x z

x =

'-=??+??. …(5分)

范文三：微积分答案详解

一、填空题每小题 3 分共 15 分1、已知 f x e x f x 1 x 且 x 0 则 x 2 .答案:

ln1 x 王丽君解: f u eu 1 x u 2 ln1 x u ln1 x . 2 x2 22、已知 a 为常数 lim ax 1 1 则 a . x x答案: 1 孙仁斌 1 1 x2 1 1 b解: 0 lim lim ax 1 lim 1 2 a 1 a . x x x x

x x x x f 1 3 x f 1 x3、已知 f 1 2 则 lim . x 0 x答案: 4 俞诗秋 f 1 3 x f 1 f 1 x f 1解: lim 4 x 0 x4、函数 f x x 1 x 2 x 3 x 4 的拐点数为 .答案: 2 俞诗秋解: f x

有 3 个零点 1 2 3 : 1 1 2 2 3 3 4 f x 有 2 个零点 1 2 : 1 1 1 2 2 3 4 f x 12 x 1 x 2 显然 f x 符号是:，,，故有 2 个拐点. dx5、 . 2 sin x cos 2 x答案: tan

x cot x C 张军好 dx cos x sin 2 x 2 dx dx解: 2 2 2 2 dx 2 2 tan x cot x C . sin x cos x

sin x cos x cos x sin x二、选择题每小题 3 分共 15 分答案: 1、 2、 3、 4、 5、。

1、设 f x 为偶函数 x 为奇函数且 f x 有意义则 f x 是 A 偶函数; B 奇函

数; C 非奇非偶函数; D 可能奇函数也可能偶函数.答案:A 王丽君 1 cos x x 02、

x 0 是函数 f x x 2 的 0 x 0. A 跳跃间断点; B 连续点; C 振荡间断点; D 可

去间断点.答案:D 俞诗秋3、若函数 f x 在 x0 处不可导，则下列说法正确的是 A

f x 在 x0 处一定不连续; B f x 在 x0 处一定不可微; C f x 在 x0 处的左极限

与右极限必有一个不存在; D f x 在 x0 处的左导数与右导数必有一个不存在.答

案:B 江美英4、仅考虑收益与成本的情况下获得最大利润的必要条件是: A RQ C

Q ; B RQ C Q C RQ C Q ; D RQ C Q答案:D 俞诗秋5、若函数 f x 存在原函数

下列错误的等式是: d dx A f xdx f x ; B f xdx f x ; C d f xdx f xdx ;

D df x f x C .答案:B 秋俞诗三、计算题每小题 6 分共 60 分 4x1、设 f x 2 2 x x 求 f x 2 . 2 4x答案: f x 2 2 x x4 2 王丽君俞诗秋解:令 t x 2 则 f t 2t 2 4t 2 t 2 2t 4t 4 4t 8 t 2 2t 4 t 2 2 2 2 3 分于是 f x 2 2 x 2 4 x 2 2 2 x 4 x44 x 4 2x 4x x

4 . 6 分 2 2 2 2、计算 lim cos n 1 n . n答案: 1 俞诗秋 1解: lim cos n 1 n lim cos 3 分 n n n 1 n 1 1. 6 分 n 0 lim cos cos n 1 1 0 1 1 1 n n n n3、求极限 lim 2 2 . n n 1 n 2 2 n n答案: 1 俞诗秋 n2 n n n n2解:由于 2 2 2 2 2 ， 3 分 n n n 1 n 2 n n n 1 n2 1 n2 1 而 lim 2 lim 1 lim 2 lim 1 n n n n 1 n n 1 n 1 1 1 2 n n n n n 所以 lim 2

2 2 1. 6 分 n n 1 n 2 n n ln1 x 2 4、求极限 lim . x0 sec x cos x答案: 1 俞诗秋 2x

ln1 x 2 ln1 x 2 lim 1 x 2解: lim lim cos x lim 4 分 x0 sec x cos x x0 x 0 2 sin x x0 2 sin x cos x 1 x lim lim 1. 6 分 x 0 1 x cos x x 0 sin x 2 1 sin5、求函数 y x x 的导数.

1 sin 1 1 1 1答案: y x x 2 cos ln x sin 俞诗秋 x x x x 1 sin ln x解: y e x 2 分 1

1 sin ln x 1 1 1 1 sin 1 1 1 1 e x cos 2 ln x sin x x 2 cos ln x sin . 6 分 x x x x x x x x6、求曲线 x ln y y 2 x 1 在点 11 处的法线方程.答案: x y 2 0 江美英俞诗秋 y

解: 方程两边对 x 求导得: ln y x y 2 0 y 1 将 x y 11 代入得法线斜率 k 1 3 分 y 1 从而法线方程为: y 1 1 x 1 即: x y 2 0 . 6 分 17、求曲线 y x 4 x 3 1 的

凹凸区间和拐点. 2答案:曲线在区间 0 和 1 是凹的在区间 01 是凸的( 4 拐点

为 01 1 ( 俞诗秋 3解:1 f x C 2 f x 2 x 3 3 x 2 f x 6 x 2 6 x 6 x

x 1 4 3 f x 0 得 x1 0 x2 1 . f 0 1 f 1 ( 3 分 3 4 列表如下: x 0 0 01 1 1 f x 0 - 0 f x 凹拐点凸拐点凹 4 5 曲线的拐点为 01 、 1 ( 3 6 曲线在

区间 0 和 1 是凹的在区间 01 是凸的( 6 分 dx8、计算 ( 1 x x 3答案: 66 x

6 arctan 6 x C 俞诗秋 dx dx t 6 x 6t 5dt解: 6 3 t 3 1 t 2 3 分 1 3 x x x 1 6 x 2 x t 6 1 t 2 1 dt 6 dt 6 dt 6 ( 1 t 2 1 t 2 6t 6 arctan t C 66 x 6 arctan 6 x C ( 6 分9、

计算 e x sin 2 xdx ( 4 x 1答案: e sin 2 x cos 2 x C 俞诗秋 10 2 1 1 1解: e x sin

2 xdx e x d cos 2 x e x cos 2 x e x cos 2 xdx 3 分 2 2 2 1 1 1 1 1 e x cos 2 x e x d sin 2 x

e x cos 2 x e x sin 2 x e x sin 2 xdx 2 4 2 4 4 4 1 e x cos 2 xdx e x sin 2 x cos 2 x

C ( 6 分 10 210、设某商品的需求函数为 Q 100 5 P 其中 P Q 分别表示需求量和

价格试求当总收益达到最大时此时的需求弹性并解释其经济意义.答案: 10 1 当总

收益达到最大时价格上涨 1 需求则相应减少 1 .俞诗秋解:总收益函数为 R P

PQ P 100 5 P 100 P 5 P 2 令 R P 100 10 P 0 得 P 3 而 R10 5 0 可见当 P 10

时总收益达到最大. 3 分 P dQ 5P 此时需求弹性 10 1 5 分 Q dP P 10 100 5 P P 10 说明当总收益达到最大时价格上涨 1 需求则相应减少 1 . 6 分四、证明题每小题 5

分共 10 分1、证明方程 xe x 1 在区间 01 内有且只有一个实根. 孙仁斌俞诗秋证

明:显然 f x xe 1 C01 由于 f 0 1 0 f 1 e 1 0 x 由零点定理知 01 s.t. f 0 即 e

1 ; 3 分又因 f x x 1e x 0 x 01 知 f x 01 所以方程 xe x 1 在区间 01

内有且只有一个实根 . 5 分2、设 f x 在闭区间 12 连续在开区间 12 可导且 f 2

8 f 1 证明在 12 内必存在一点使得 3 f f . 俞诗秋 f x x f x 3 x f x 3 2证明: 令 F x 3 F x x x6 f 2 显然 F x C12 F x D 12 且 F 1 f 1 F 2 8 由罗尔定理知: 12 s.t. F 0 所以 3 f f .一、填空题每小题3分共15分

1、设 z x y f x y ，且当 y 0 时， z x ，则 z 2 。( x 2 xy 2 y y ) 2 2 dx 12、

计算广义积分 1 x3 。 2) ( dz 113、设 z e ，则。 edx dy ) xy (4、微分

方程 y 5 y 6 y xe 具有 2x 形式的特解.( ax bxe ) 2 2x 1 1 u n 4 2 u n 2n _________。5、设 n 1 ，则 n 1 (1)二、选择题每小题3分共15分 3sin x 2 y 2 lim x 0 y 0 x2 y21、的值为 ( A )A.3 B.0 C.2 D.不存在 f x y f y x0 y 0 x y 2、

x 0 0 和存在是函数 f x y 在点 0 0 可微的 ( A )。 A.必要非充分的条件;

B.充分非必要的条件; C.充分且必要的条件; D.即非充分又非必要的条件。 z 4 x2 y2 和 z 0 及柱面 x y 1 所围的体积是 (D ) 2 23、由曲面。 2 2 d r 4 r 2 dr 4 2 d 1 4 r 2 dr 0 0 0 0 A. ; B. ; 2 1 d 4 2 d r 4 r 2 dr 1 4 r 2 dr 0 0 0 0 C、 ; D.4、设二

阶常系数非齐次线性方程 y py qy f x 有三个特解 y1 x ， y 2 e ， xy3 e 2 x ，则

其通解为 (C )。 A. x C1e C 2 e ; B. C1 x C 2 e C 3 e ; x 2x x 2x C. x C1 e e C 2 x e ; D. C1 e e C 2 e x x 2x x x 2x 2x 1 n 1 p p5、无穷级数 n 1 n 为任意实

数 .

范文四：《微积分》课后习题答案详解八

习题八（A）

1．用级数收敛的定义或级数的性质判断下列级数的敛散性：（1）

n?1?

(n?1?n)；（2）

n?1?

；（3）

(3n?1)(3n?2)

n?1

cos

； 2n

（4）

n?1?

lnn33n

；（5）

n?1

；（6）

100n?7

n?1

0.001

．

解：(1)

n?1

n?1?n)?2?1?3????n?1????n?1?1

因为lim(n?1?1)??

x??

所以发散． (2)

n?1

(3n?1)(3n?2)3

n?1

111111111(?)?(???????)3n?13n?2325583n?13n?2

n?1

1111

(?)? x??323n?26lim

所以收敛． (3)

n?1

cos

因为limcos

x??

?1?0

所以发散．（4）

n?1

(ln3)n3

?(3)

n?1

ln3

所以是等比数列，又因为q?所以收敛． (5)

?100n?7

n?1

因为lim

??0

x??100n?7100

所以发散． (6)

n?1

0.001

因为lim

10.001

x???1?0

所以发散．

2．证明：若正项级数

解：因为limun=0所以存在当n?u时un?1

x??

n?1

n收敛，则级数

n?1

必收敛．并举例说明其逆命题不成立．

所以存在当时，un?un2 又因为

n?1

n收敛，所以

n?1

收敛。

例如：un?,un2?

1n2

发散 n

n?1

1n收敛，而

n?1

所以其逆命题不成立。 3．证明：若级数收敛．

解：因为2ab?(a?b)且

n?1

2un

与

n?1

2?n

都收敛，则正项级数

n?1

un?n，

n?1

(un??n)，

n?1

unn

也

?(a?v)

n?1

所以

n?1

anvn收敛

因为(un?vn)?

22(un?vn)且

?u?v

nn?1

所以

?u?v

2nn?1

n收敛．

因为

unnunn

2?un

且

n?1

收敛．

所以收敛．

4．证明：若级数

?u与??

nn?1

n?1

n都收敛，且存在整数

N使得当n?N时不等式成立

?n??n?un

成立，则级数

n?1

必收敛．

若级数

?u与??

nn?1

n?1?

n都发散，且存在正整数

N使得当n?N时不等式成立

?n??n?un

成立，试问级数

解：证明：因为

n?1

是否必发散？

n?1?

n收敛且

?v收敛．

nn?1

所以

?(u

n?1?

?vn)收敛，所以

?(u

n?1

?vn?vn)收敛

所以

n?1

收敛．

例如：

?v=-1发散，?u

nn?1

n?1

n=1

发散，

n?1

?0收敛．

所以级数

n?1

未必发散．ssss

5．已知正项级数

?u与??

nn?1

n?1

n都发散，试问正项级数

n?1

max?un ，?n?，

n?1

min?un ，?n?是

否也发散？说明理由．

解：由比较判别法知正项级数

n?1

max?un ,vn?必发散，但

?min?u ,v?未必发散，例如：

n?1

?1 ,n 是奇数，

令 un?? vn?1?un

?0 ，n是偶数，?

则min?un ,vn?0(? n)?．

6．利用比较判别法及其极限形式判别下列正项级数的敛散性：（1）

n?1

1n4?1

；（2）

n?1

；（3）

n?1

；

(2n?1)(n?2)

（4）

?ntan2

n?1

；（5）

n?1

（6）

n?1

nn?1

(3n2?n?1)2

；

31?3?1?3??3?

（7）2??????2?????????；

42?4?2?4??4?

（8）

n?1

(n?2)n

；（9）

n?1

1(lnn)n

；（10）

n?1

11?an

（其中常数a?0）．

解：（1）lim

n??

n4?1?1

因为

n?1

1n收敛，所以

n?1

1n?1

收敛．

3nsin

（2）lim

n??

3n?4n3n?4因为lim

n??

??1所以4

n?1

3n?4n

收敛．

所以

n?1

3nsin

4收敛．

3939[1?()n]()2[1?()n]

9n9??u?(3)因为=且

(2n?1)(2n?2)2(n?2)1?1?1616

n?1

发散． 2(n?2)

所以

n?1

发散．

(2n?1)(2n?2)

3?1

n?m

（4）lim

n??

因为limn??

??1所以 22

n?1

32n

收敛．

所以

?n?m2

n?1

收敛．

（5）

n?1?

n?1

1 n

因为

n?1?

是发散的． n

所以

n?1

是发散的．

nn?1

(3n2?n?1)2

（6）lim

n??

(3n?n?1)?3，又因为

n?1

nn(3n?n?1)收敛．

所以原级数收敛．

3939[1?()n]()2[1?()n]

1616?4?u （7）=4

1?1?1616

因为

?k(k为常数）且[1?()n]收敛． 16[1?()n]

所以原式也收敛．（8）

n?1

n(n?2)n

n?1

?n?2

n?1

n n?2

因为

n?1

收敛，所以原式收敛． n?2

（9）

n?1?

1(lnn)

n?1

1nn

因为

n?1?

1nn

收敛

所以

n?1

1(lnn)n

收敛．

（10）当a?0时，

n?1

发散．当a?1时，2

n?1

11?a?

n?1

因为

n?1

收敛，所以

n?1

1a?1

当a?1时，

n?1

1an?1

发散．

所以当a?1收敛，当a?1时发散．

7．利用比值判别法及根值判别法判别下列正项级数的敛散性： (1)

(n?1)3

； (2)?

3nn!n

； (3)

(n!)23

(4)

n3；

n?1

n！

n?1

nn?1

4n?

an?

（5）

??1?

n?1n

（其中常数a?0）；（6）

?nn?1

?3n?4??

（8）?

12?12?22?(10n?2)

4；（9）

n?1

1?n

n?1

(2n?1)；

(n?1?1)3(n?1?1)3解：(1)

(n?1)!(n?1)!nlim

(n?1)3?nlim

(n?1)3?1

所以收敛．

3n?1(n?1)!

(2)un?1(n?1)nn3nlim

??u?lim3nn!

?lim3(1)?e?1

nn??n??n?nn

所以发散．

[(n?1)!]2

(3)lim

un?1(4n?1)n3n??u?!)

???n(n2n?1 4n3

所以发散． (4)limn

n3?lim1n??

?1(2?n)nn??2?

2 n

所以是收敛的． (5)lim

ana

n??

?nlim

??n

?0?1 所以收敛． (6)n?1n1

nlimn??

(

3n?4)?3

?1 所以收敛． (7)nnlim??

[ln(n?1)]

?nlim

??ln(n?1)

?0?1

n?1

2?1?n?

（7）?

nn?1

[ln(n?1)]；?

10）

2000n

n?1

；

（

所以收敛．

1?n?1

(8)lim

n??

(n?1)

?e?1所以发散．

(9)lim

n??

2?12?22?(10n?2)

(2n?1)?lim

?0?1

n??2n?1

所以收敛．

2000n?1(n?1)!2000nn!

2000

?0?1

n??n?1

(10)lim

n??

?lim

所以收敛

8．判别下列交错级数的敛散性，当级数收敛时要确定级数是绝对收敛还是条件收敛：（1）

n?1?

(?1)n?1n?1

；（2）

n?1?

(?1)n?1

；（3）3n?2

n?1?

(?1)n?1lnn?2

；

（4）

n?1?

(?1)

n?1

2n?1

；（5）n(n?1)

n?1

(?1)

n?1

；（6）n?1

?(?1)

n?1

n?1ln(n?1)

；

（7）

?(?1)

n?1

sin；（8）n?1nπ1

?sinπ

n?1

n2?1；

（9）

1?21

?12

1?213?12??

14?213???

14?2?

15?2??．

1?2

??；

（10）1???

解：（1）lim

n??n2

23?1

?0且

1n2?1

1(n?1)2?1

所以

n?1

(?1)n?1n2?1

又因为

n?1

1n2?1

也收敛．

所以原级数是绝对收敛的．（2）lim

111

?0且 ?

n??3n?23n?23(n?1)?2

所以

n?1?

(?1)n?1

收敛，又因为3n?2

(?1)n?1

条件收敛． 3n?2

n?1

发散 3n?2

所以

n?1

（3）lim

1lnn?2(?1)n?1lnn?2

n??2

?0且

1lnn?2

1ln(n?1)?2

所以

n?1

?0，又因为

n?1

(?1)n?1lnn?2

发散，

所以原级数条件收敛．

2n?1? （4）lim?0且n??n(n?1)n?1n?1?1

所以

?(?1)

n?1

2n?1

收敛． n(n?1)

发散． n?12

又因为

n?1

2n?1

n(n?1)

n?1

所以原级数条件收敛．（5）lim

n1?lim?0

n??n?1n??

且

1n?

1n?1?

n?1

所以lim(?1)n?1

n??

收敛． n?11n

又因为lim

n??

发散

所以原级数条件收敛．（6）lim

ln(n?1)n?1

?limln()

n??n??ne

ln(n?1)

n??n

因为n?1?en所以lim因为

n?1e?

n?1?1e

所以

?(?1)

n?1

n?1ln(n?1)

又因为

n?1

ln(n?1)

发散，所以原级数条件收敛． n

（7）lim所以

n???

sin1?

?0，因为(

sin1?

) '?0 ，

?1?

sin ?sin

n?n?1

所以

?(?1)

n?1

sinn?1

收敛．

又因为

n?1

sin?

收敛，那么原级数绝对收敛．

（8）因为n??n2?1?n 所以sin?n2?1?sinn? 所以limsin?n2?1?0

n??

又因为sin?n2?1?sin?(n?1)2?1 所以

n?1

sinn2?1收敛．

又因为

n?1

sin?n2?1

所以原级数条件收敛．（9）=

n?1

22 n

所以原级数发散．（10）=

n?1

(

12n?1

132n?1

)

因为

n?1?

收敛，且

n?1

收敛．

所以

n?1

(

12?

)且31

n?1

(

12?

13)收敛．

所以原级数收敛．

9．设a是一个常数，判别级数还是条件收敛．

解：当a?0时

n?1

an1?a2n

的敛散性，当级数收敛时要确定级数是绝对收敛

n?1

an1?a

n?1

1an

a?0时

n?1

an1?a

n?1

1an

收敛．

当a?0，时

n?1

1an

收敛．

所以a?1时

n?1

an1?a绝对收敛．

当a?1时

n?1

an1?a?

?c(c

为常数）

所以当a?1时

n?1

an1?a2n

发散x?2

10．设a是一个常数，判别级数

?(?1)

n?1

n?1?

?1?cos?的剑散性，当级数收敛时要确定级数是

n??

绝对收敛还是条件收敛，而且其敛散性是否与常数a的取值有关．

解：因为lim(1?cos2)2?0因为n?? ,cos?1

n??

anan

所以1?cos?1?cos(

ana) n?1

n?1

所以

?(1?cosn) (?1)

n?1

收敛．

又因为

n?1

(1?cos)2收敛

所以对任意常数a级数绝对收敛． 11．设a是一个常数，判别级数

n?1

?sinna1(?1)n?1??n?n

?是敛散性，当级数收敛时要确定级数??

是绝对收敛还是条件收敛，而且其敛散性是否与常数a的取值有关．

解：因为(所以

sinan

sinan2

) '?0

1nn

sina(n?1)?1n

1n?1

又因为lim(

n??

sina

)?0

所以

?(n

n?1

sina

)(?1)n?1收敛．

又因为

n?1

sinan

发散．

所以

?(n

n?1

sina

)条件收敛．

12．已经幂级数半径与敛域．解：因为

?a(x?2)

nn?1

在点x?0处收敛，在点x?4处发散，求幂级数

?ax

nn?1

的收敛

?a(x?2)

nn?1n

在x?0处收敛．在点x?0处发散．

所以收敛半径是R?2 所以

?ax

nn?1nn

的收敛半径是R?2

?ax

n?1

的收敛半域是[0，4]；

13．求下列幂级数的收敛半径，收敛区间及收敛域：（1）

n?1?

xnn?2nkn!

；（2）n

n?1

n!n

；（3）

n?1

4n?(?5)nn

x； n

(n!)2n

； x（注意0！=1）

(2n)!

（4）

n?1?

；（5）x（其中k是一个正整数）

n?1

（6）

n?1?

(?1)n?1

（7）x2n?1；

(2n?1)(2n?1)!

n?1

(?1)

n?1n2

；（8）

n?1

ann?1

； xn（其中常数a?0）

（9）

n?1

n3?(?2)n

x；（10）

n?1

?n?1?

???2n?1?

2n?1

xn．

解：(1)lim(n?1)2?lim

n??

2n?1

2?n

所以R?2,所以收敛区间为（-2，2）当x??2时，

n?1?

(?1)n

收敛． n

当x?2时，

n?1

发散． n

所以收敛域是[-2，2)

(n?1)!

nn1

（2）lim(n?1)?lim()?

n??

n?1e

所以R?e，收敛半径区间为(?e ,e)，当x??e时

n?1

n!n

(?e)n发散，

当x?e时

n?1

n!n

(?e)n发散．

所以收敛域为(?e ,e)．

4n?1?(?5)n?14

4(?)n?(?5)n（3）lim?lim?5 nn4nn??n??n?14?(?5)(?)?1

所以R?

111

收敛区间为(?,) 5515

当R??时，

n?1

51?()n

发散． n5

(?1)n?()n

收敛， n

当R?

时，5

n?1

所以收敛域为(? ,]

(n?1)k(n?1)!nkn!

1155

（4）lim

n??

?0 , R??，所以收敛区间和收敛域均是（-?，+?）．

（5）lim

[(n?1)!]2

[2(n?1)]!(n!)(2n)!

n??

?lim

n?11

n??2(2n?1)4

所以R?4，所以收敛区间为（-4，4）当x??4时

n?1

(n!)2

(?4)n发散． (2n)!

(n!)2

(?4)n发散． (2n)!

当x?4时，

n?1

所以收敛域为（-4，4）（6）lim

n??

(2n?1)(2n?1)!2n?1

?lim?0 n??4n2(2n)(2n)!

所以R???，收敛区间和收敛域为（-?，+?）．（7）lim

(?1)n(?1)n?1

n??

所以R '?1

(?1)n

(2n)(2n)!(?1)

(2n?1)(2n?1)

?n??

lim[

]?xn?1，所以收敛半径为1．

当x??1时

?(?1)

n?1

发散．

所以收敛域为（-1，1）．

??an?1

??(n?1)2?2??（8）lim???a nn??a??

??n?1??

所以R?

111收敛区间为（-，）． aaa

当x?时，

n?1

n2?1an

收敛．

当x??时，

n?1

n?1[?a]n

收敛．

所以收敛域为[?

,]． aa

n?1????

n?1113?(?2)??（9）lim?lim?

n?n??nn???3?(?)(?2)3??3?3?(?2)?

所以R?3，收敛区间为（-3，3）当x??3时

n?1

n2(?1)?()n

发散，

当x?3时

n?1

n1?(?)n

发散．

所以收敛域为（-3，3）

n?22n?1

?n?2?(n?2)(2n?1)1?lim?? （10）lim?

n??1?n2n?1n???2n?1?(2n?1)(n?1)4()

2n?1

(

所以R?4，收敛区间为（-4，4）．

当x??4时

n?1

?1?n????2n?1?

2n?1

(?4)n发散．

当x?4

n?1

?1?n????2n?1?

4n发散．

14．求下列幂级数的和函数：（1）

?nx

n?1?

；（2）

n?1

x4n

；（3）4n?2

n?1

(?1)n?12n?1

； x

2n?1

（4）

n?1

2n?12n

2n?2

；（5）1?

n?1

x2n

． (2n)!

解：（1）=x

?nx

n?1

?x(

?x) '?x(1?x) '?(1?x)

nn?1

(?1?x?1)

（2）=x

0n?1n?1

4n?3

)dx?x

1?x2

2?xln1?x(?1?x?1) 441?xx?

（3）=

(?1)

n?12(n?1)

xdx?

0n?1

(?1)nx2ndx?

11?x2

?arctanx(?1?x?1)

（4）=(

n?1

12n

2n?1

) '?(

n?1

x2n1()) '?(2x

1x2

1-2

)'?

2?x2(2?x2)2

(?2?x?2)

（5）

?(?1)

n?1

x2n

(2n)!

?cosx?

n?1

x2n

(?1)

(2n)!

n?1

(?1)n?1?

x2n

??cosx (2n)!

(e?e?x) 2

15．利用幂级数的和函数求下列级数的和：（1）解：（1）

n?1

(?1)n?1

；（2）2n?1

n?1

(?1)

(n2?n?1)

2；（3）

n?1

1(n?1)2．

n?1

(?1)n?12n?1

x?2n?1

n?1

x2n?1?arctanx x?1 2n?1

令x?1则

n?12

(?1)n?1?

? 2n?14

（2）

n?1

(n?n?1)x?

n?1

nx?

n?1

(n?1)x?

2x2(1?x)?

1?x

令x??则

n?1

n2?n?15

(?1)??

2n27

（3）

n?1

1n?1

xn?

1xln(1?x)x???ln(1?x)(x?1) 242x2

令x?时，

n?1

n2?12n

?ln2 84

16．把下列函数展开成x的幂级数：（1）

x9?x

；（2）ln1?x

；（3）cos2x； 1?x

（4）cos(x?) ; （5）ln(3?2x?x2) ; （6）arctanx .

111

?解：(1)

91?()29

n?1

()n(?1)n?3

n?1

(?1)n?19

x2n?2

则

x9?x

n?1

(?1)n?19

2n?2

n?1

(?1)n?19

x2n?1(x?(?3 ,3))

11?x111

（2）=ln?[ln(1?x)?ln(1?x)]?x?x3?x5???

21?x235

n?1

x2n?1(x?(?1 ,1)) 2n?1

cos2x?111

（3）=??

222

n?1

(2x)2n

(?1)(x?(?? ,??))

(2n)!

4）?cosxcos?sinxsin

42[ ?2

(cosx?sinx) 2

n?1

x2n

(?1)?

(2n)!

n?1

x2n?1

(?1)](x?(??,??))

(2n?1)!

5）?ln[(1?x)(3?x)]?ln(1?x)?ln(3?x)

n?1

x()

(?1)n?ln3

n?1

1(?1)n?1[?1]xn?ln3(x?[?1,1)) nn3

6）?

?1?x

dx?

??(?1)x

0n?1

n2n

dx?

n?1

x2n?1

(?1)(x?[?1,1])

2n?1

17．把下列函数展开成x?x0的幂级数：

（1）f(x)?sins,x0? ; （2）f(x)?,x0?2 .

解：1）f(x)?sin(x?

)?sin(x?

)cos

?cos(x?

)sin

?1?sinx(?)?cosx(?) 2626

1?[32

n?1

(?1)

(x?

?(2n?1)!

)2n?1

n?1

(?1)n

](x?(??,??)) (2n)!

2）f?(x)?(?1)x?2 f??(x)?(?1)(?2)?x?3 f???(x)?(?1)(?2)(?3)?x?4

?f(n)(x)?(?1)nn!?x?(n?1)

x?2

(?1)n2

?(x?2)n

1??x

n?0

(?1)n

n?1

收敛为xe(0,4)

（B）

1．选择题（1）正项级数

n?1

收敛的充分必要条件是（ D ）.

A．limun?0 B．limun?0,且un?1?un,n?1,2,...

n??

C．lim

u???1 D．部分和数列有界

n??un

（2）设级数

n?1

绝对收敛，则级数

?(1?n)u

n?1

n（

B ）.

A．条件收敛 B．绝对收敛

C．发散 D．的敛散性还不足以判定（3）设a是一个常数，且级数

n?1

绝对收敛，则级数

?(?1)nu

n?1

2ntan

（ C ）. n?1

A．发散 B．条件收敛

C．绝对收敛 D．敛散性与a的取值有关（4）设0?un?(n?1,2,...)，则在下列级数中肯定收敛的是（ D ）. A．

n?1

B．

?(?1)u

n?12un

C．

n?1

n D．

?(?1)u

n?1

n2n

（5）设常数??0，且级数

n?1

收敛，则级数

n?1

(?1)n

unn??

（ C ）.

A．发散 B．条件收敛

C．绝对收敛 D．收敛性与?有关（6）在下列各选项中正确是的（ A ）. A．若

n?1?

2un

和

n?1

2?n

都收敛，则收敛

?(u

n?12n

??n)2收敛

B．若

n?1

??n收敛，则

n?1

2un

和

n?1

都收敛

C．若正项级数

n?1

un发散，则un?

1 4

D．若级数

anan2

n?1

收敛，且un?un(n?1,2,...)，则级数

an?an

n?1

也收敛

（7）设pn?，qn?

(n?1,2...)则在下列命题中正确的是（ B ）.

A．若

n?1?

条件收敛，则

n?1?

与

n?1?

都收敛

B．若

n?1?

绝对收敛，则

n?1?

与

n?1?

都收敛

C．若

n?1?

条件收敛，则

n?1?

与

n?1?

的敛散性都不定

D．若

n?1

绝对收敛，则

n?1

与

n?1

的敛散性都不定

（8）设an?0,n?1,2,...,若

n?1?

发散，

?(?1)a

n?1

收敛，则下列结论中正确的是（ D ）.

A．

n?1?

2n?1收敛，

n?1

发散 B．

n?1?

收敛，

n?1

2n?1发散

C．

?(a

n?1

2n?1?a2n)

收敛 D．

?(a

n?1

2n?1?a2n)

收敛

（9）设有以下命题： ①若

?(u

n?1?

2n?1?u2n)

收敛，则

n?1

收敛；

②若

n?1

收敛，则

n?1

?1000收敛

u?1

③若limn?1，则

n??un

n?1

发散；

④若

?(u

n?1

??n)收敛，则

n?1

，

n?1

，则以上命题中正确的是（ B ）.

A．①，② B．②，③ C．③，④ D．①，④

解：1）A是充分条件，B适用于交错级数，C是必要条件，D是充要条件。选D。 2）因为

n?1

绝对收敛，所以

n?1

收敛。

且limun?0,un?0,un?un?

n??

li(1?)nun?eliun?0

n??

n?n

所以

n?1

(1?)nun收敛。 n

又因为

?(1?n)

n?1?

un收敛，所以原级数绝对收敛，选B。

3）因为

n?1

绝对收敛。

所以limun?0且

n??

n?1

收敛。且un?un?1

所以limnu2n?m

n??

?0 n?1

且u2n?u2(n?1) 所以

n?1

nu2n?m

收敛。 n?1

又因为

n?1

nu2n?m?

n?1

?cu

n?1

（c为常数）

所以

n?1?

nu2n?m

收敛。 n?1

所以

?(nu

n?1

)(?1)n绝对收敛。 n?1

所以选C。

4）因为0?un?

1 n

所以limunn?0且unn?un?1n?1

n??

所以

n?1?

(?1)n收敛。

所以选D。 5）因为

n?1?

收敛。

所以

n?1

收敛。

unn??

又因为lim

n??

所以

?(?1)

n?1

unn??

绝对收敛。

所以选C。 6）A

7）因为

n?1n

绝对收敛。

所以

n?1

收敛。

所以pn?

an?an

收敛，qn?

an?an

收敛。

所以选B。 8）

?(?1)a

n?1

?(a2?a1)?(a4?a3)?...?(a2n?a2n?1)?...??

?(a

n?1

2n?1?a2n)

因为

?(?1)a

n?1?

收敛。

所以

?(a

n?1

2n?1?a2n)

收敛。

所以选D。 9）因为

n?1?

n?1000

是

n?1

中的一部分。且

?u收敛。

n?1

所以

n?1

n?1000

收敛

所以（2）正确。因为lim

un?1

x??un

所以

n?1

发散。所以（3）正确

所以选B。

范文五：微积分下册试题及其答案

微积分期末考试题

一、填空题(每小题5分,共25分)

2z,x，y，f(x,y)y,0z,xz, 1、设，且当时，，则 .

22 2、已知 . z,ln(x，y),求gradz|,(3,4)

22x，y,1zxy,，，1 3、求在条件下的极值为 .

2,n 4、该级数的收敛型为 . ,n2n,1

,,,y,y，x 5、已知微分方程,该方程的通解为 .

二、选择题(每小题5分,共25分)

223sin()xy，lim22x,0xy，y,0、6的值为( )

A.3 B.0 C.2 D.不存在

yyI,(e，x)dx，xe7、已知曲线L为过点点的圆弧，则该曲线积分=( ) (0,0),(0,1),(1,2)L,

2e11222e，e,eA. B. C. D. 222

n,(2)x,

,3n1,n8、级数的收敛区间为( )

A.(1,3) B.(1,3] C.[1,3] D.[1,3)

yd,,,xx,1,x,2y,x,y,2xDD9、已知积分,其中是由直线及所围成的闭区域，则该积分为( )

9423 A. B. C. D. 4932

2,z

zz,z(x,y)z，e,xy,x,y10、已知由确定，求为( )

z1exy923 A. B. C. D. ,zz24321，e(1，e)

三、解答题(每小题10分,共50分)

322fxyxxxyy(,)42,,，,11、求函数的极值.

22z,012、求由于平面所围成的柱体被平面抛物面截得x,0,y,0,x，y,1x，y,6,z

的立体体积.

x13、若为连续函数，且满足，求函数. f(x),1，,,sintcost,f(t)costdtf(x)f(x),0

2,,,(1，x)y,2xy,014、求微分方程的通解.

y1,z1,zzz,，,222f(u)f(x,y)x,xy,yy,其中为可导函数, 证明. 15、设

微积分期末考试题答案

一.填空题

22xxyyy,，，22 1、

解析:由题可知,

22时有则y,0,f(x),x,x,f(x,y),(x,y),(x,y)

22 ,x，y,2xy，y

682、 i，j2525

,z2x,z2y68解析:由题可知,,求偏导有 ,,,,？gradz|,i，j(3,4)2222,xx，y,yx，y2525

33、 2

222zxxxx,，,，,,，(1)1222解析:

11x,x,zx'420,,,z"40,,22令,得,,为极小值点.

113(,)22yx,,1zxy,，，1222故在下的极小值点为,极小值为 4、收敛

22nnnn(，1)2(，1)21lim,,,,,1解析:由比值判别法有,此时该级数收敛. ，122n,,nnnn2242

12x,(x，1)，Ce，C5、 122

,,,,,y,pp,p，xp,y解:令,,方程化为,于是

(1)(1),,dx,dxx,x,,,e(xedx，C)p,e(xedx，C)11,,

xx,x,,(x，1)，Ce,e[,(x，1)e，C]11

12xxy,pdx,[,(x，1)，Ce]dx,,(x，1)，Ce，C112,,,2

二、选择题

6、 A

2222解析;由等价无穷小，有，则该极限为. lim3,3sin(x，y)~x，yx,0y,07、B

解析:由题可知，该曲线积分与积分路径无关，则作图有

此时， (0,2)

121yyy2()(1) I,e，xdx，xe,，xdx，edy,e，L,,,002

(1,0)

8、D.

3n,an，1tnR,,,limlim1t,3nn,,,,3antx,,2n1n，n1,,幂级数变形为,. 解析:令

,1n,(1),3nt,,10n,当时,级数为收敛;

,3nt,1n1,当时,级数为发散.

n,t

,3I,[,1,1)ntn1,故的收敛区间是,

n,(2)x,

,3I,[1,3)nx1,n 则的收敛区间为.

9、A

22xyy,,ddxdy,,,,1xxxD解析:.

239,,xdx,124

10、B

zFxyzzexy(,,),，,解析:设，则

zFx,,Fy,,Fe,，1yxz ，，

F,,zxx,,zFyyyx,,,,,,,,,,zzzz1111,，，xFee,，，yFeezz ，

,zzz1，,,,eye2z1,,zyexy,y,,,,,,,,22zzzz1(1)1(1),,,，，，，xyyeeee,, 三、解答题

322fxyxxxyy(,)42,,，,11、解:，则

2fxyxy(,)22,,fxyxxy(,)382,,，yx，，

fxy(,)2,fxy(,)2,,，fxyx(,)68,,xyyyxx，，

2,3820xxy,，,，

,220xy,,，(0,0)(2,2),求驻点，解方程组得和.

f(0,0)2,f(0,0)2,,f(0,0)80,,,(0,0)xyyyxx对有，，，

2(0,0)f(0,0)0,BAC,,,,120于是，所以是函数的极大值点，且

f(2,2)2,f(2,2)2,,f(2,2)4,(2,2)xyyyxx对有，，，

2(2,2)BAC,,,120于是，不是函数的极值点。

2212、解:由题可知，抛物面作为曲顶面，开口向下，则 x，y,6,z

22 x，y,6

x，y,1

将所有平面投影到Xoy 面上得此图形，可知，此时积分有 0,x,1,0,y,1,x

1,x111,x1,,222366V,dx,x,ydy,dxy,xy,y,,,,,0003,,0

1117236(1)(1)(1),,x,x,x,,xdx,,036

''13、解:由题可知，即 f(x),sinxcosx,f(x)cosxf(x)，cosxf(x),sinxcosx令，则 P(x),cosx,Q(x),sinxcosx

,cosxdxcosxdx,sinxsinx,sinxsinx,,f(x),e(c，sinxcosxedx),e(c，sinxde),e(c，e(sinx,1)),,

,sinx,sinx,1，ce

,sinx由，此时 f(0),1,有c,2f(x),2e，sinx,1

y14、解:这是一个不明显含有未知函数的方程

2dpdydpdy2,p(1)20，,,xpx,2dxdxdxdx作变换令，则，于是原方程降阶为

dpx2,dx22lnln(1)lnpxC,，，px1，1 分离变量，积分得

dy2,，Cx(1)21pCx,，(1)dx1,从而 ,再积分一次得原方程的通解即

3xCxC()，，123 即 y,

15、证明:

2,,,z2xyf,zf，2yf？,,,,22,xf,yf ,

2,,1,z1,z2yff，2yf1z？，,,，,,222x,xy,yfyfyfy .

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