本人阅女无术
范文一：二元一次方程解法
—— “二元一次方程”课堂教学实录与点评
在江苏省第三届 “苏派名师” 课堂教学研讨活动中, 笔者应邀为来自全省的 初中数学老师呈现了一堂概念课 《二元一次方程》 , 它是苏科版 《义务教育课程 标准实验教科书·数学》 (七年级下册)第十章“二元一次方程组”的第一节内 容. 巧妙的设计、 灵活的教法, 学生主体性的充分发挥, 给听课老师以极大的教 益和深刻的印象,赢得了与会老师的高度评价.
1 教学实录
1. 1 创设情境,导入新知
师:同学们, 今天的学习从我们身边两个熟知的问题开始, 请回答下列问题.
问题 1.某市在暑假期间组织了中学生篮球联赛,比赛规则是:赢一场得 3分,输一场得 1分;
(1)一支球队在联赛中共积分 20分.若设该队赢了 x 场,输了 5场;请列 出方程;
(2)一支球队在联赛中共积分 20分.若设该队赢了 x 场,输了 y 场;请列 出方程.
问题 2. 初一 (7)班有 18名学生相约到公园划船, 需要租用船只, 公园有 A 、 B 两种型号的船, A 型船可坐 2人, B 型船可坐 3人,每艘船都坐满.问有多少 种租船的方法 ? (请先设未知数并列出方程)
生 1:,
生 2:,
生 3:设 A 型船租了 x 艘, B 型船租了 y 艘;根据题意得:2x + 3y = 18. 1. 2 类比旧知,探索新知
师:这三个方程中的第一个方程大家应该很熟悉 ,它叫? ?
生 众 :一元一次方程.
师:请同学们回忆一元一次方程的定义.
生:只含有一个未知数 (元), 并且未知数的次数是 1的方程叫一元一次方 程. (投影 )
师:后面两个方程能叫一元一次方程吗?如果不能,请大家取个名称. 生 众 :二元一次方程.
师:请同学们观察这两个方程有哪些共同特点, 说说命名二元一次方程的理 由.
生 1:有两个未知数,未知数的次数都是 1.
师:本节课,我们就来学习新的知识“二元一次方程”. (教师板书:二元 一次方程.)
师:现在老师再给出一个方程 ,这个方程满足你们所说的三个特点,大家 觉得它是二元一次方程吗 ?
生:不是,因为 这一项的次数是 2.
师:那么,你们认为含有未知数的项的次数应该是多少才是二元一次方程 ? 生 众 :1.
师:同学们刚才命名二元一次方程的理由, 其中有一条是 “未知数的次数都 是 1”,而根据现在的回答 , 你们把理由作了调整,认为应该是“含有未知数的 项的次数都是 1” , 那么我们一起来看看课本上给出的定义是如何描述的.
(教师板书:二元一次方程:含有两个未知数 (元) , 并且所含未知数的项的 次数都是 1的方程.)
1. 3 范例巧练,活用新知
例 1.(1)下列方程是二元一次方程的有 .(填序号)
① ② ③ ④ ⑤
(2)若方程 是关于 、 的二元一次方程;则 =, =. 师 :请同学们根据二元一次方程的定义 , 完成例 1.
生 :第 (1)题选② .
师 :为何不选④和⑤ ?
生 : ④中 中这一项的次数是 2, ⑤不是整式方程 .
生 :第 (2)题根据二元一次方程的定义可得 , 、 ,则 、 .
问题 3.已知一元一次方程 ;它的解是 .
生:.
师:这个解正确吗?如何检验?
生:正确.把 代入方程,看两边的值是否相等.
师:回答的很好,能使方程两边的值相等的未知数的值叫做方程的解.
问题 4.下面两对数值,能使二元一次方程两边的值相等的是 . (填 序号)
① , ② ,
生:①.
师:根据方程的解的定义, ,就是这个二元一次方程的解.下面 , 我们来看 看课本上对二元一次方程的解的定义是如何描述的.
(教师板书:二元一次方程的解:适合二元一次方程的一对未知数的值.)
师:二元一次方程的解的书写格式是用一个大括号把一对未知数的值并列起 来.(教师板书:)
师:请思考这个二元一次方程除了这个解 , 还有没有其他的解.请写好的同 学上黑板写 , 每人写一个.
(很多学生一下子冲到黑板前写出方程组的一个解 , 教室里沸腾了.) 师:再请同学们做评委 , 上黑板批 , 每人批一个解.
(又有大批学生冲到黑板前去批解 , 教室里再次沸腾.)
师:这个解是谁批的 ? 请这位同学说说判断的方法 ? (任选了一个被批正确的 解 )
生:把这个解代入 ,看方程的两边是否相等.
师:请说说这一对未知数的值是同时得到还是有先后顺序得到的 ? (任选了 另一个被批正确的解 )
生:是有先后顺序得到的 , 先得到值 , 再得到值.
师:值是如何得到的 ? 值又是如何得到的 ?
生:值是假定的 , 然后把它代入 ,解出 值.
师:说得很好,由此我们可以归纳二元一次方程的解法.
(教师板书:二元一次方程的解法:先假定一个未知数的值, 转化为一元一 次方程,再求出另一个未知数的值.
师:刚才同学们在黑板上写出了很多解, 请猜想二元一次方程在一般情况下 有多少个解 ? 为什么 ?
生:有无数个. 因为在求解的时候, 是先假定一个未知数的值, 假定的未知 数值是不确定的、有无数个,所以有无数多个解.
师:同学们刚才写在黑板上的二十多个解, 只有一位学生写的解中两个未知 数的取值是分数, 事实上, 假定的未知数值既可以取整数也可以取分数, 当然取 整数写解方便些.
例 2.已知二元一次方程 2x + y = 9 ;求它所有的正整数解.
师:同学们对二元一次方程的正整数解是怎么理解的?
生:两个未知数的值都要是正整数.
师:说的很好.下面就请同学们把它所有的正整数解写出来.
(老师来回巡视 , 了解学生做的情况 , 并请一位学生把答案写在了黑板上.) (学生板书: , , , . )
师:这位同学写出的解正确吗 ?
生 众 :正确.
师:说明二元一次方程在一般情况下是有无数多个解, 但其特殊解可能只有 有限个.
师:刚才我们是已知了二元一次方程来求解 , 现在倒过来, 已知解来写方程. 例 3.已知是某个二元一次方程的一个解 , 请写出这个二元一次方程. 师:请写好的同学上黑板写 , 每人写一个.
(很多学生冲到黑板前写出一个二元一次方程 , 教室里又一次沸腾了.) 师:再请同学们做评委 , 上黑板批 , 每人批一个.
(又一批学生冲到黑板前去批方程 , 教室里再次沸腾.)
师:这个方程是谁批的 ? 请他说说判断的方法 ? (任选了一个被批正确的方 程 )
生:把代入这个方程 , 看方程的两边是否相等.
师:请说说这个方程如何写出来的 ?(任选了另一个被批正确的方程 )
生:把、各乘上一个系数 , 然后相加算出和 , 就得到方程.
师:方法很好. 现在同学们在黑板上已经写出了十多个不一样的二元一次方 程 , 那么请同学们猜想一共能写出多少个满足条件的二元一次方程呢 ?
生 众 :无数个.
师 :为什么 ?
生:因为写方程时把、 各乘上一个系数 , 这个系数是不确定的 , 所以能写出无 数个.
师:说的很好.那么黑板上写出的答案中哪个最简单呢 ?
生 众 : ,还有 .
师:当答案有无数个 , 而只需要写出其中的一个时 , 应该选择既正确又简单的 答案.
1. 4 回归生活,深化新知
例 4. 初一 (7)班有 18名学生相约到公园划船, 需要租用船只, 公园有 A 、 B 两种型号的船, A 型船可坐 2人, B 型船可坐 3人,每艘船都坐满.问有多少种 租船的方法 ?
师:这个问题在前面已经设 A 型船租了 x 艘, B 型船租了 y 艘;列出了二元 一次方程 2x + 3y = 18.下面请大家来求解.
(老师来回巡视了解学生做的情况 , 并请一位同学把答案写在了黑板上.) (学生板书: , , , . )
师:请这位同学说说为什么解只有这四个 ?
生:因为在这个实际问题中 ,x 和 y 表示船的艘数只能是正整数和 0, 满足这 个条件的解只有这四个.
师:请你再和大家说说求解的方法 ?
生:把、 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9这十个数依次代入这个二元一次方程 解出 ,然后把不符合的解去掉.
师:这个方法很好 , 叫枚举法. 现在方程的解求出来了 , 请同学们来回答有多 少种租船的方法 ?
生:有四种 :①租用 A 型船 0艘 , B型船 6艘;②租用 A 型船 3艘 , B型船 4艘;③租用 A 型船 6艘 , B型船 2艘;④租用 A 型船 9艘 , B型船 0艘.
师:刚才对 x 依次取 0-9这十个数来求 y, 解了十次关于 y 的一元一次方程, 太麻烦了.想一想 , 能否只解一次关于 y 的方程就能求出所有适合的解 ?
师:其实只要把 x 看作已知数 , 这个方程实质上可以看作是一个关于 y 的一 元一次方程,下面请同学们解这个关于 y 的方程把 y 表示出来.
(教室里很安静,学生都在思索着,老师来回巡视,发现较多学生还是有困 难. )
师:请你们思考解十次关于 y 的一元一次方程时 , 解方程的方法步骤有没有 因为 x 取值的不同而改变 ?
生:没有改变.
师:以 x=1代入后得到一元一次方程 2 + 3y = 18为例 , 请你们说说解这个 方程时经历了哪些步骤 ?
生:移项 , 合并同类项 , 系数化为 1.
师:那么当 x 看作已知数时 , 方法步骤应该也没有发生变化 , 还是这三个步 骤.请试一试.
(学生面露喜色地低下头做了起来 , 很快有人举手示意做好了 , 老师请其中一 位学生上黑板做. )
(学生板书: , )
师:这个形式叫用含的代数式来表示. (教师板书 : 用含 的代数式来表示. )
师:现在把这个形式再化一步 , 变为 (教师板书 ), 那么在这种形式下 , 要求出 所有适合的解 , 你会对 x 取哪些值 ?
生:0 、 3 、 6、 9.
师:为什么能这么快确定取这四个值 ?
生:因为从这个形式中可以发现 ,x 的取值要满足 3的倍数.
师:这样只要把 x 的这四个值分别代入 ,就能求出相应的值, 得到适合的四 个解. 整个过程只解了一次关于 y 的一元一次方程, 后面进行的是求四次代数式 的值,解题过程明显得到简化.
师:刚才我们用含的代数式来表示 ,使解题过程得到了简化 , 现在请你们用 含 的代数式来表示.
(学生纷纷动笔,老师请一位同学上黑板做.学生板书: , )
师:这个形式叫用含的代数式来表示. (教师板书 : 用含 的代数式来表示. ) 师:在这种形式下 , 要求出所有适合的解 , 你会对取哪些值 ? 为什么 ?
生:0、 2、 4、 6, 因为的取值要满足 2的倍数.
师:通过本题发现 , 我们今后解决类似的问题 , 可以先把二元一次方程化成用 含的代数式来表示或用含的代数式来表示的形式 , 这样会简便一些.
师:现在再增加一个条件“如果这些学生共租用了 7艘船” , 请根据这个条 件再列出一个方程.
生:.
师:如果把和 2x + 3y = 18用大括号并连起来 , 就得到了下一节课要学习的 知识“二元一次方程组”. (教师板书 : )
师:在共租用了 7艘船的条件下,请问有多少种租船的方法 ?
生:只有一种 :租用了 A 型船 3艘 , B型船 4艘.
师:为什么 ?
生:因为既适合 ,又适合 2x + 3y = 18的解只有一个 .
师:我们把同时适合这两个方程的解 叫做二元一次方程组 的解.
师:二元一次方程在一般情况下有无数多个解 , 而它在实际问题中的解或者 说它的特殊解可能只有有限个 , 而二元一次方程组的解只有一个.数学真奇妙 , 同学们如果感兴趣 , 请提前预习 , 先睹为快.
1. 5 小结交流,感悟新知
师:在本课的学习中 , 同学们在知识层面、思想方法层面都有哪些收获? 生:略
师:最后老师送同学们一份礼物,这份礼物是二元一次方程 x + y = 100, x 代表数学知识, y 代表思想方法,如果两者都掌握了,本堂课就可以打 100分 了. 希望同学们认真学好数学知识, 领会数学思想, 培养问题意识, 具有创新精 神,取得优异的成绩!谢谢大家.
2教学点评
2. 1 教学特色
本节课设计独特、理念新颖,整个教学过程自然、生态而灵动,学生不仅乐 学,而且参与有广度、有深度.具体地说主要有如下特色.
2. 1. 1 源于生活,回归生活
本课遵循“数学来源于生活,应用于生活”的理念.一开始从生活中的实际 问题引出二元一次方程, 但问题 “有多少种租船的方法”并没有解决, 而是让学 生带着这个问题展开本节课的学习, 最后等学完了二元一次方程的有关知识后再 回归到生活解决这个问题,不仅前后首尾呼应,还极大地激发了学生的求知欲.
2. 1. 2 巧设冲突,辩清概念
本课属于概念教学,数学概念是数学课程的核心,只有真正理解数学概念, 才能理解数学. 在教学 “二元一次方程的概念” 时, 学生往往对 “项的次数是 1” 不太理解. 本课采用先让学生自已试着下定义, 当学生类比一元一次方程的概念,
错误地建构成“未知数的次数是 1”时,教师没有直接纠错,而是巧妙地给出方 程 让学生判断,激起学生认知上的冲突,使学生自觉地调整原先的错误认识, 从而有效地辩清二元一次方程的正确概念应该是“含有未知数的项的次数都是 1”,至此水到渠成.
2. 1. 3 面向全体,共同建构
本课特别注重充分调动学生的积极性, 面向全体学生, 与学生共同建构知识, 把课堂变成了学生展示的舞台. 在教学 “二元一次方程的解” 时, 教师让学生在 黑板上写出二元一次方程的解, 很多学生冲到黑板前写出一个解, 然后自然而然 得出二元一次方程在一般情况下有无数个解, 再让学生上黑板批解, 又有大批学 生冲上去当 “小老师” , 一下子批完了很多解, 学生不仅轻松快乐地获取了知识, 还有效地节省了教学时间, 类似的还有写方程、 批方程等活动. 这些活动使学生 全员参与其中, 甚至兴奋地忘记了周围还有三百多位教师在听课, 他们无拘无束, 倾心投入, 真正成为了学习的主体 .
2. 1. 4 尊重规律,循序渐近
本课在教学过程中充分尊重学生的认知规律,循序渐近.在教学“二元一次 方程的解” 时, 采用了让学生体会 “一个解→很多解→无数多个解” 的渐近过程, 感受到用一个二元一次方程并不能求出一对确定的未知数的取值, 从而产生后续 学习的愿望; 而整个教学过程中又让学生经历了 “二元一次方程在一般情况下有 无数多个解→在实际问题中或有条件限制下可能只有有限个解→二元一次方程 组只有一个解” 的渐进过程. 通过这样些渐近的教学过程, 不仅能让学生由易到 难地逐步获取知识, 也有利于学生了解知识之间的联系, 进行前后串联, 做到真 正理解并掌握知识.
2. 1. 5 改变呈现,体现价值
知识的学习最好要出自学生内心的需要,要让学生充分感受到学习的价 值. 在教学 “用含一个未知数的代数式来表示另一个未知数” 时, 由于该知识是 一个难点,如果把题目直接抛出,不仅让学生学起来有困难 , 而且学生不明白为 何要学 , 学习兴趣就会由此降落 , 给后续学习带来消极影响 . 本课改变了它的呈现 方式, 巧妙地暗藏在最后一道实际问题中, 当学生用枚举法求解感到比较麻烦时, 提出能否只解一次关于 y 的方程就能求出所有适合的解, 从而引出该知识, 让学 生感受到学习并应用该知识能有效地简化求解过程.这样的呈现方式不仅自然,
还让学生充分感受到所学知识是有用的, 激发了学生的求知欲, 提高了学习的主 动性和积极性.
2. 1. 6 渗透思想,着眼发展
数学教学的立意要高, 要注重渗透数学思想方法, 着眼于学生的终身发展. 本 课在教学 “二元一次方程的概念” 时, 先回忆一元一次方程, 渗透了类比的数学 思想. 在教学 “由方程写解、 由解写方程” 时, 渗透了先猜想后验证的数学思想. 在 教学 “用含一个未知数的代数式来表示另一个未知数” 时, 首先让学生经历枚举 法把、 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9这十个特殊值依次代入二元一次方程 2x + 3y = 18解出的过程,然后提出把 x 看作已知数来解关于 y 的一元一次方程,当学 生有困难时, 又请学生回忆当 x=1时求解经历了哪些步骤, 最后再回到把 x 看作 已知数来解关于 y 的一元一次方程. 整个过程渗透了 “特殊→一般→特殊→一般” 的数学思想, 渗透了主元思想和转化思想, 不仅有效地突破了难点, 还教会了学 生思考和解决问题的方法.
2. 2 教学建议
2. 2. 1 提示本质,理解内涵
在得到二元一次方程的正确概念是“含有未知数的项的次数都是 1”后,可 以让学生进一步思考:为什么一元一次方程的概念是“未知数的次数是 1”,而 二元一次方程的概念是“未知项的次数是 1”?是什么原因产生这个变化?由此 揭示本质:一元一次方程只有一个未知数, 未知数的次数就是未知项的次数; 而 二元一次方程有两个未知数, 未知数的次数不一定是未知项的次数. 这样学生才 能对这个概念的内涵做到真正理解.
2. 2. 2 深入研讨,提升能力
在最后一个实际问题中, 学生学完用和这两种形式都能比较简单地解决问题 后,可以再作进一步研讨,把方程 2x + 3y = 18中 2x 这一项的系数 2改成 5, 再请学生化成用含 x 的代数式来表示 y 和用含 y 的代数式来表示 x 的两种形式 , 然后进行求解 , 比较两种形式是不是一样简便地求出适合的解,进而探究这里面 的原因.还可以把式子中 18改成一个略大一些且不能整除以 3的数字 49,即, 此时要用这个形式快速求解,应该如何处理?进而引出可以把 49拆成 48+1,化 成, 这时对的取值只要满足是 3的倍数, 运算量要小很多. 通过变式研讨, 不仅
使本题的立意提高, 还能有效地提升学生的能力, 培养学生善于思考、 勤于探究 的精神.
2. 3教学思考
2. 3. 1如何取舍
本课的知识难点应该是“用含一个未知数的代数式来表示另一个未知数”, 讲完这个难点后,应该
配以这方面的题目多加训练、 以达巩固, 但本课又是一节概念课, 要讲清概念的 形成过程, 让学生真正理解概念的内涵花费的时间不少, 这样训练巩固难点的时 间就不够了.如何做好讲清概念和训练巩固难点之间的平衡或取舍,值得思考.
2. 3. 2教材编排
教材编排时, 建议把本课的难点 “用含一个未知数的代数式来表示另一个未 知数” 放到 “代入法解二元一次方程组” 一节中, 一来让学生体会该知识是代入 法解方程组的需要, 二来能让教师有充足的时间把二次一次方程的概念和解的内 涵教的更深刻些.
2. 3. 3如何点燃
爱尔兰诗人叶芝有句话 :教育不是注满一桶水 , 而是点燃一把火. 需要思考和 行动的是:如何点燃这一把火, 让学生真正成为课堂的主人, 在收获知识的同时, 能收获思维和能力的提升, 更能收获学习的兴趣和热爱, 真正实现数学课堂教学 的优质高效.
范文二：二元一次方程的解法
[数学七年级下]8.2 消元——二元一次方程组的解法
教学分析
教学目标
（1）知识与技能
本节主要内容为二元一次方程组的解法：代入法和加减法。通过对具体方程组的分析，得出“将未知数的个数由多化少，逐一解决”的消元思想和方法，最终使多元方程最终转化为一元方程，解出未知数。
（2）内容与方法
本节课从分析上节课留下的二元一次方程组开始导入新课，求解二元一次方程组成为本节课的主要任务，比较二元一次方程和一元一次方程的区别，使用等量替换的方法实现二元一次方程向一元一次方程的转化，使代入消元的思想在课堂上逐渐展开，然后，仔细观察两个方程中y前系数，根据等式性质，使用加减法实现方程的消元化简，进入本节课的二元一次方程组第二种解法—加减法。
（3）情感态度与价值观
使学生在消元思想的引导下，从具体到抽象，从特殊到一般地认识代入消元法和加减消元法的实施过程。同时，使学生能逐渐培养起独立解决实际问题的能力。
教学重难点：二元一次方程的两个解法—代入法、加减法
教学设计
教学过程
导入新课
本节承接上节中讨论过的篮球联赛胜、负场数问题。“篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每对胜一场得2分，负一场得1分。某队为了争取好名次，想在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场数应分别是多少？” 设：胜x场，负y场，则得方程组
x + y =22 ?
2x + y =40 ?
如何求出方程的解，成为本节课的主要任务。
讲授新课
比较二元一次方程与一元一次方程的不同可以看出：方程?可以写成y =22-x ?,将方程?带入方程?，得：2x +（22-x）=40 ，整理得x =18 ，从而求出y=4
将二元一次方程转化为一元一次方程，使用的是“消元”的思想，通过减少未知数的个数，使多元方程最终转化为一元方程。
代入法就是“把一个方程（可能需要适当变形）代入另一个方程”进行等量替换，从而实现消元。
练习1： 把下列方程改写成用含x的式子表示y的形式。
（1）2x -y =3
（2）3x + y - 1 = 0
练习2：用代入法解方程组
x - y =3
3x - 8y =14
我们知道可以用代入法解方程组
x + y =22 ?
2x + y =40 ?
问题一：仔细观察这个方程组的两个方程中y的系数有什么关系？
如果用方程?减去方程?，可以得x =18 ，那么就可以求出，y =4
问题二：思考如何解 4x + 10y =11
15x—10y = 8
归 纳： 两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。这种方法就叫做加减消元法，简称加减法。（加减法的依据是等式的性质：等式两边都加（减）相等的量，结果相等。）
问题三：解方程组 3x + 4 y = 16
5x—6y = 33
同学们能运用加减法来解吗？为什么呢？
该例给出的方程组不能直接通过加减两个方程消元，因为它不具备未知数的系数相等或相反的关系，因此在加减两方程之前，需要对方程进行变形，使其具备上述条件。
练习：一条船顺流航行，每小时行20km ；逆流航行时，每小时16km ，求轮船
在静水中的速度与水的流速。
课堂小结
代入法和加减法是二元一次方程组的两种解法，它们都是通过消元使方程组转化为一元一次方程，只是消元的方法不同，应根据方程组的具体情况选择更适合它的解法。
范文三：二元一次方程[解法]
一元二次方程基本解法，“降次”化为两个一元一次
有4种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。
1、直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的 方程，其解为x=m±√n.
例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11
分析：一、此方程显然用直接开平方法好做，
二、左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以也可用直接开平方法解。
（1）解：(3x+1)2=7 ∵(3x+1)2=7 ∴3x+1=±√7 (注意不要丢解) ∴x=(﹣1±√7﹚/3 ∴原方程的解为x1=﹙√7﹣1﹚/3,x2=(﹣√7-1﹚/3
2 （2）解： 9x-24x+16=11 ∴(3x-4)2=11 ∴3x-4=±√11 ∴x=(4±√11)/3
∴原方程的解为x1=﹙4﹢√11﹚/3 , x2=(4﹣√11﹚/3
222．配方法：用配方法解方程ax+bx+c=0 (a≠0) 先将常数c移到方程右边：ax+bx=-c
将二次项系数化为1：x2+b/ax=- c/a 方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：
x2+b/ax+( b/2a)2=- c/a+( b/2a)2; 方程左边成为一个完全平方式：(x+b/2a )2= -c/a﹢﹙b/2a﹚2 当△=b2-4ac≥0时，x+b/2a =±√﹙﹣c/a﹚﹢﹙b/2a﹚2 ∴x={﹣b±[√﹙b2﹣4ac﹚]﹜/2a (这就是求根公式)
例2．用配方法解方程 3x2-4x-2=0
解：将常数项移到方程右边 3x2-4x=2 将二次项系数化为1：x2-﹙4/3﹚x= 2/3 方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-﹙4/3﹚x+( 2/3)2=2/3 +(2/3 )2 配方：
(x-2/3)2= 2/3 +(2/3 )2 直接开平方得：x-2/3=± √[2/3+(2/3 )2 ] =± √10 /3 ∴x= 2/3± √10 /3 ∴原方程的解：x1=2/3﹢√10 /3 , x2=2/3﹣√10 /3 .
3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=[-b±√(b2-4ac)]/(2a) , (△=b2-4ac≥0)就可得到方程的根。
例3．用公式法解方程 2x2-8x=-5
解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0 ∴a=2, b=-8, c=5
b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0 ∴x=[(-b±√(b2-4ac)]/(2a) ∴原方程的解为x1=,x2= .
4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
例4．用因式分解法解下列方程：
2(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0 (3) 6x2+5x-50=0 (选） (4)x-4x+4=0（选）
解(1)：(x+3)(x-6)=-8 化简整理得 x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式，右边为零) (x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式) ∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程) ∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
解(2)：2x2+3x=0→x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式) ∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程) ∴x1=0，x2=-3/2是原方程的解。
注：做本题型时易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。
解(3)：6x2+5x-50=0 (2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时特注意符号不要错) ∴2x-5=0或3x+10=0 ∴x1=5/2, x2=-10/3 是原方程的解。
解(4)：x2-4x+4 =0 （∵4 可分解为2 x2 ，∴此题可用因式分解法） (x-2)(x-2 )=0 ∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。
小结：一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。 直接开平方法是最基本的方法。 公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程（可称为万能法），在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式△的值，以便判断方程是否有解。 配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一，一定要掌握好。（3种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法）。
范文四：二元一次方程和解法
7.1 二元一次方程组和它的解
教学目的
1.使学生了解二元一次方程,二元一次方程组的概念。
2.使学生了解二元一次方程;二元一次方程组的解的含义,会检验一对数是不是它 们的解。
3.通过引例的教学,使学生进一步使用代数中的方程去反映现实世界中的等量关系, 体会代数方法的优越性。
重点、难点
1.重点:了解二元一次方程。二元一次方程组以及二元一次方程
组的解的含义,会检验一对数是否是某个二元一次方程组的解。
2.难点;了解二元一次方程组的解的含义。
教学过程
一、复习提问
1.什么叫一元一次方程 ? 什么叫一元一次方程的解 ? 怎样检验一
个数是否是这个方程的解 ?
2.列方程解应用题的步骤。
二、新授
问题 1:暑假里, 《新晚报》组织了“我们的小世界杯”足球邀请赛,勇士队在第一轮 比赛中共赛 9场,得 17分。
比赛规定胜一场得 3分,平一场得 1分,负一场得。分,勇士队在这一轮中只负了 2场,那么这个队胜了几场 ? 又平了几场呢 ?
这个问题可以用算术方法来解,也可以列一元一次方程来解,请同学们选一种方法试 一试。
解后反思:既然是求两个未知量,那么能不能同时设两个未知数 ?
学生尝试设勇士队胜了 x 场,平了 y 场。
那么根据填表结果可知
x十 y=7 ①
3x+y=17 ②
这两个方程有什么共同的特点 ?
(都含有两个未知数,且含未知数的项的次数都是 1)
这里的 x 、 y 要同时满足两个条件:一个是胜与平的场数和是 7场;另一个是这些场 次的得分一共是 17分,也就是说,两个未知数 x 、 y
必须同时满足方程①、②。因此,把两个方程合在一起,并写成
7(1)317(2)
x y x y +=??+=? 上面,列出的两个方程与一元一次方程不同,每个方程都有两个未知数,并且未知数
的次数都是 1,像这样的方程,叫做二元一次方程。把这两个二元一次方程①、②合在一
起,就组成了一个二元一次方程组。
结合一元一次方程,二元一次方程对“元”和“次”作进一步的解释; “元”与“未
知数”相通,几个元是指几个未知数, “次”指未知数的最高次数。
用算术方法或通过列一元一次方程都可以求得勇士队胜了 5场,
平了 2场,即 x=5, y =2
这里的 x =5,与 y=2既满足方程①即 5十 2=7
又满足方程②,即 3×5十 2=17
我们就说 x =5与 y =2是二元一次方程组的解。 一般地,使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两
个未知数的值,叫做二元一次方程组的解。
二元一次方程组的解的检验范例。
三、巩固练习
1.教科书第 25页问题 2。
2.补充练习。
四、小结
1.什么是二元一次方程,什么是二元一次方程组 ?
2.什么是二元一次方程组的解 ? 如何检验一对数是不是某个方程组的解 ?
五、作业
教科书第 26页 习题 7.1全部。
第 7章 二元一次方程组
7. 1二元一次方程组和它的解
教学目标
1.使学生弄懂二元一次方程、二元一次方程组和它的解的含义,并会检验一对数是不是 某个二元一次方程组的解;
2.通过练习和讨论,进一步培养学生的观察、比较、分析问题的能力
教学重点和难点
重点:二元一次方程、二元一次方程组及其解的意义
难点:弄懂二元一次方程组解的含义
课堂教学过程设计
一、引导学生讨论二元一次方程、二元一次方程组和它的解等概念
问题:(投影 )
一个农民有若干只鸡和兔子,它们共有 50个头和 140只脚,问鸡和兔子各多少只 ? 教师提出:这是一个非常有意思的问题,它曾在好几个世纪里引起过人们的兴趣,我想这 个问题也一定会使在坐的每一名同学感兴趣 那么,现在我们怎样来解答我个问题呢 ?(先 让学思考一下,然后自己做出解答,教师巡视。 最后,在学生动手脑的基础上,教师引 导给出各种解法 )
提出问题:用方法来解决这个问题呢 ?(若学生在思考后,还很茫然,则教师引导学生 尝试可否用一元一次方程来解 由一名学生板演,其余学生自行完成 )
解法一:设有 x 只鸡,则有 (50-x)只兔 根据题意,得 2x+4(50-x)=140
(解方程略 )
追问:对于上面的问题用一元一次方程可解, 是否还有其它方法可解 ?(若学生想不到, 教师可引导学生注意,要求的是两个未知数,能否设两个未知数列方程求解呢 ? 让学生自 己设未知数,列方程 然后请一名学生板演解所列的方程 )
解法二:设有 x 只鸡, y 只兔,依题意得
x+y=50,
2x+4y=140
针对学生所列出的这两个方程,提出如下问题:
1. 结合前面的复习提问,这两个方程应该叫几元几次方程呢 ?
2. 为什么叫二元一次方程呢 ?
3. 什么样的方程叫二元一次方程呢 ?
结合学生的回答,教师板书二元一次方程的定义:含有两个未知数,且未知项次数是 1的方程,叫做二元一次方程 .
x+y=50和 2x+4y=140是一对数 x , y 必须同时满足的两个方程,我们合在一起写成 ???=+=+.
14042, 50y x y x 并称之为二元一次方程组。 从解法一,我们还知道, x =30, y =20,使方程组中每一个方程成立, 所以我们把 ???==20, 30y x 叫做方程组 ???=+=+.
14042, 50y x y x 的解 (板书:使二元一次方程组的两个方程左、右 两边的值都相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程组的解 )
将上述问题的二种解法进行优劣对比,你有哪些想法呢 ?(若学生回答得不全面,不确 切,教师可补充归纳如下:当我们运用代数知识将问题翻译成代数语言列方程时,就可以 借助代数运算来求解, 从上面的问题可以看到, 列二元一次方程组比例一元一次方程容易 )
三、课堂练习
1. 编一个二元一次方程,一个二元一次方程组 (通过提问,检查学生对这两个概念的掌
握程度 )
2. 填表 , 使上、下每对 x,y 的值 , 满足方程 3x+y=5(投影 )
3. 已知下列三对数值:
???==???==???-==. 5, 4;
1, 2;
1, 1y x y x y x
哪一对是下列方程组的解 ?
4. 已知满足二元一次方程组
(1)???=+=-; 1043. 32y x y x ; (2)???=--=.
134, 32y x x y (3)???-=+=-. 2032, 5y x y x
的 x 值是 x =-1,求方程组的解
四、师生共同小结
首先,让学生回答以下问题:
1. 本节课学习了哪些内容 ? 2.什么叫二元一次方程 ?
3. 什么叫二元一次方程组 ? 4.什么叫二元一次方程组的解 ?
然后,教师结合学生的回答,用投影仪将预先制作好的投影胶片打出,以此培养学生 归纳小结的能力 .
五、作业
1. 在 ???-==?????-==???-==??
???==, 2, 2, 2, 21, 3, 0, 1, 31y x y x y x y x 各组值中, (1)是方程 y =2x-3的解有 ( );
(2)是方程 3x+2y=1的解有 ( );
(3)是方程组 ???=+-=1
23, 32y x x y 的解有 ( )
2. 已知方程组 ?
?=+=-; 10,
04y x y x
(1)用含 x 的代数式表示 y ;
(2)分别求出方程①和②的四个解,其中 x =0, 1, 2, 3;
(3)方程组的解是什么 ?
3. 利用一元一次方程 2x-1=-x+2,解二元一次方程组 :
??
?+-=-=. 2, 12x y x y
课堂教学设计说明
本课的设计是从提出鸡兔同笼的求解问题入手, 以试算的方法衬托出方程解法的优越 性, 以列一元一次方程解法衬托出列二元一次方程组解法的优越性 以使学生感到二元一 次方程组的引入顺理成章教学过程中用了“试算的方法” ,即在解决某一问题时,经过一 连串的试验, 使后者不断地终止前者试验中产生的误差从而使问题得到解决 它体现了数 学中“逐次逼近”的思想 这种“试一试” , “碰一碰”的思想方法常常能诱发学生创造性 思维的发展,对培养学生的能力大有好处 .
范文五：二元一次方程解法
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龙文教育个性化辅导授课案
课 题 一元二次方程ggggggggggggangganggang 纲
1.理解一元二次方程及其有关概念 教学目标 2.解一元二次方程,并能熟练运用四种方法去解
1. 一元二次方程的判定，求根公式 重点、难点 2.一元二次方程的解法与应用
1. 一元二次方程的定义,一般形式，配方式
考点及考试要求 2. 熟练一元二次方程的解法能灵活运用:直接开平法,配方法，因式分解，公式法。
3.一元二次方程在实际问题中的综合应用
授课内容:
考点一、概念
???(1)定义:只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 ，这样的 ((((((((((((((((
就是一元二次方程。
2ax，bx，c,0(a,0)(2)一般表达式:
2注:当b=0时可化为这是一元二次方程的配方式 ax，c,0
(3)四个特点:(1)只含有 未知数;
(2)且未知数次数最高次数是 ;
(3)是 方程(
2(4)将方程化为一般形式:时，应满足 ax，bx，c,0
要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整
2ax，bx，c,0(a,0)理(如果能整理为的形式，则这个方程就为一元二次方程( (4)难点:如何理解 “未知数的最高次数是2”:
?该项系数不为“0”;
?未知数指数为“2”;
?若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 典型例题:
例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是( )
112222，，，，3x，1,2x，1A 、 B 、 C、 D、 ax，bx，c,0x，2x,x，1，,2,02xx
22变式:当k 时，关于x的方程是一元二次方程。 kx，2x,x，3
m例2、方程是关于x的一元二次方程，则m的值为 。 ，，m，2x，3mx，1,0
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考点二、方程的解
(1)概念:使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
(2)应用:利用根的概念求代数式的值;
典型例题:
222y，y,34y，2y，1例1、已知的值为2，则的值为 。
22，，a,2x，x，a,4,0例2、关于x的一元二次方程的一个根为0，则a的值为 。
2，，a，c,bax，bx，c,0a,0例3、已知关于x的一元二次方程的系数满足，则此方程必有一
根为 。
22y,8y，5m,0例4、已知是方程的两个根，是方程的两个根，则m的a,bb,cx,4x，m,0
值为 。
22a,ba，b,例5、已知，，，求 a,2a,1,0b,2b,1,0
ab22变式:1、若，，则的值为 。 a,2a,1,0b,2b,1,0，ba
2，，，，a,bx，b,cx，c,a,02、方程的一个根为( )
,1b,c A B 1 C D ,a
xy2x，5y,3,0,则4,32,3、若 。
考点三、方程解法
(1)基本思想方法:解一元二次方程就是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。 (2)方法:?直接开方法;?因式分解法;?配方法;?公式法
类型一、直接开方法: 就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
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2，，x,mm,0,其解为:x,,m用直接开平方法解形如
222，，，，，，x，a,max，m,bx，n※对于，等形式均适用直接开方法 典型例题:
22，，，，31,x,9,0;例1、解方程:(1) (3x，1),7
222，，，，9x,1,16x，2(2) (4) 9x,24x，16,11
2例2、解关于x的方程: ax,b,0
3. 下列方程无解的是( )
2222，，x,2,02x，3,1,xA. B. C. D. x，3,2x,1x，9,0
类型二、配方法
基本步骤 :1.先将常数c移到方程右边
2.将二次项系数化为1
3.方程两边分别加上一次项系数的一半的平方
4.方程左边成为一个完全平方式:
※在解方程中，多不用配方法;但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。 典型例题:
22例1、 试用配方法说明的值恒大于0，的值恒小于0。 x,2x，3,10x，7x,4
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22例2、 已知x、y为实数，求代数式x，y，2x,4y，7的最小值。
2变式:若，则t的最大值为 ，最小值为 。 t,2,,3x，12x,9
22yx，y，4x,6y，13,0,x、y例3、 已知为实数，求的值。 x
1112变式1:已知，则 . x，,x,,4,0x，,2xxx
类型三、因式分解法
1、 把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的
形式。
2、 让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方
程所得到的根，就是原方程的两个根。
，，，，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。即:x,xx,x,0,x,x,或x,x 1212※方程特点:左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”
2222，，，，ax，m,bx，n，，，，，，，，※方程形式:如，x，ax，b,x，ax，c ， x，2ax，a,0※分解方法:提公因式,利用平方差与完全平方公式,十字相乘法
针对练习:
，，，，2xx,3,5x,3例1、的根为( )
525x,3 A B C D x,x,x,,x,312252
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432322例2. (1)(平方差) (2) ,8xy，6xy,2xy(提公因式) 4a,169b
222(m，n),4(m,n)(3)(平方差) (4) (完全平方式) a，6a，9
222,12xy，x，36y(a，b)，5(a，b)，4(5) (完全平方式) (6)(十字相乘法)
2223p,7pq，12q5n(2m,n),2(n,2m)(7)(十字相乘法) (8)(提公因式)
2，，，，4x，y，34x，y,4,0例3、若，则4x+y的值为 。
2例4、方程的解为( ) x，x,6,0
x,,3,x,2x,3,x,,2x,3,x,,3x,2,x,,2A. B. C. D. 12121212
2，，x，23，1x，23，4,0例4、 解方程:
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x，y22例6、已知2x,3xy,2y,0,则的值为 。 x,y
x，y22变式:已知2x,3xy,2y,0,且,则的值为 。 x,0,y,0x,y
例7、解下列方程
4x+14x-5222(1) (2x – 3) = (3x – 2) (2) - = x+2 523
22 2 (4) 5m – 17m + 14=0 (5) (x+x+1)(x+x + 12)=42
22例8、解关于x的方程x+x – 2+k(x+2x)=0 (对k要讨论)
类型四、公式法
把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式的值，当判别式大于等于零时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式,就可得到方程的根。
2，，a,0,且b,4ac,0?条件:
2bb4ac,,,2x，，a,0,且b,4ac,0,?公式: , 2a
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典型例题:例1、选择适当方法解下列方程:
2，，31，x,6.? ? ，，，，x，3x，6,,8.
2(3) (4) ，，，，，，，，3x,13x，1,x,12x，53x,4x,1,0
例2、在实数范围内分解因式:
22222x,4xy,5y(1); (2). ? x,22x,3,4x，8x,1
三、亲爱的同学，这次课你有哪些收获,现在来晒一晒吧: 你对于这次课的评价是:
? 特别满意 ? 满意 ? 一般 ? 不满意
学生签字: 四、教师评定:
1、 学生上次作业评价: ? 好 ? 较好 ? 一般 ? 差 2、 学生本次上课情况评价: ? 好 ? 较好 ? 一般 ? 差
教师签字: 五、 教学反思:
教导主任签字: ___________
龙文教育教务处
2013年3月8日
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