超喜爱我媳妇
范文一：柯西收敛准则
教学内容
柯西收敛准则
教学目的: 1. 理解柯西收敛准则;
2. 理解柯西收敛准则的充分性的证明方法及思想; 3. 掌握柯西收敛准则的应用. 教学重点: 对柯西收敛准则的理解及其应用. 教学难点: 柯西收敛准则的充分性的证明方法及思想. 教学方法: 探究式教学与启发式教学相结合. 教学时间: 45分钟.
引入
数列的柯西收敛准则: 数列{an}收敛??ε>0,?N∈N+,?n,m>N, 有an?am<>
提问(探究问题起源)
考虑到数列是一类特殊的函数，即定义在正整数集N+上的函数, 那么函数极限的收敛性是否也有类似的判定准则呢？
猜想结论(探究结论)
设问一 怎么叙述“极限limf(x)存在(或收敛)”类似的判定准则?
x→+∞
(备注：其实质是将一个离散的结论，即数列的柯西收敛准则推广的连续的情形，见上图)
写出设问一对应的判定准则
极限limf(x)存在??ε>0,?A>0,?x',x">A, 有f(x')?f(x")<>
x→+∞
设问二 怎么叙述“极限limf(x)存在(或收敛)”类似的判定准则?
x→a
(备注：其实质是如何用数学语言来描述“x无限趋近于a”和“x无限增大”)
写出设问二对应的判定准则
定理9. (柯西收敛准则) 极限limf(x)存在?
x→a
?ε>0,?δ>0,?x',x":0<><><><δ,><>
(至此写出今天所讲的内容的题目)
柯西收敛准则的内涵
(1) 柯西收敛准则从理论上解决了函数极限的存在性问题(充分必要条件); (2) 柯西收敛准则把ε?δ定义中x与a的之差换成x'与x"之差. 其好处在于无需借助函数以外的数b，只要根据函数本身的特征就可以鉴别其（收）敛（发）散性; (注意与函数极限ε?δ定义的比较)
limf(x)=b??ε>0,?δ>0,?x:0<><δ,><>
x→a
(3) 柯西收敛准则的条件称为柯西条件，它反映这样的事实：极限存在的函数的变量愈接近a，函数值彼此愈接近，以至于变量充分接近于a的任何两个函数值之差的绝对值可以小于预先给定的任意小正数.
论证(探究证明方法)
必要性(?) 证明方法与数列情况完全类似. 充分性(?)
由于数列的柯西收敛准则的充分性的证明要到第四章才证明, 因此这里没有可类比参考的证明方那我们怎么来证明这个问题? (探究证明方法的根源所在)
分析柯西条件与函数极限定义的区别, 即
limf(x)=b??ε>0,?δ>0,?x:0<><δ,><>
x→a
结合复习
海涅定理 limf(x)=b
x→a
?{an}, an≠a, 且liman=a, 有limf(an)=b.
n→∞n→∞
启发学生通过一个数列来找极限值b?
首先考虑取某个数列{an}(非任意数列), an≠a, 且liman=a, 则
n→∞
数列{f(an)}是否收敛?
在不知道数列{f(an)}判断一个数列是否收敛的方法之一——数列的柯西收敛准则(充要条件).
利用柯西收敛准则证明数列{f(an)}收敛.
通过数列找到极限值b之后, 启发学生又如何完成证明.
设limf(an)=b, 若能证明limf(x)=b即可, 即只需证明
n→∞
x→a
?ε>0,?δ>0,?x:0<><>
, 有f(x)?b<>
怎么找正数δ?
由于liman=a, 因此an可以充分靠近a, 见下图
n→∞
a?δ an a x a+δ 由条件可知?δ>0,?x',x":0<><><><δ,><ε. 故可考虑将f(x)?b分为两部分,="">
① f(x)?f(an) ② f(an)?b
继续探究证明
第①部分利用已知条件, ?δ>0, 只要0<><δ,>
第②部分利用limf(an)=b, ?N∈N+, 只要n>N, 就有
n→∞
f(an)?b<ε. 若上面两个不等式同时成立,="" 则有=""><>
(至此给出详细证明过程)
其余情形的柯西收敛准则
x→a+
limf(x),lim?f(x),limf(x),limf(x)情况的柯西收敛准则, 并给出其余五种情形的证
x→a
x→?∞
x→∞
明. 对照黑板的证明过程略讲x→+∞情形的证明.
柯西收敛准则的应用(探究应用)
(一方面是利用定理判定函数极限存在)
例1. 用柯西收敛准则证明: 当x→+∞时, 函数
sinx
存在极限. x
(另一方面是利用定理判定函数极限不存在: 由于柯西收敛准则是充分必要条件, 因此它的逆否命
题可用来判定函数极限是否是不存在)
推论 ?ε0>0,?δ>0,?x0,y0:0<><δ,><><δ有f(x)?f(y)>ε0
限limf(x)不存在.
x→a
?极
例2. 证明: 当x→0时, 函数sin
1
不存在极限. x
① f(x)?f(an) ② f(an)?b
继续探究证明
第①部分利用已知条件, ?δ>0, 只要0<><δ,>
f(x)?f(an)<ε. 第②部分利用limf(an)="b," ?n∈n+,="" 只要n="">N, 就有 n→∞
f(an)?b<>
若上面两个不等式同时成立, 则有
f(x)?b<>
(至此给出详细证明过程)
其余情形的柯西收敛准则
x→a+limf(x),lim?f(x),limf(x),limf(x)情况的柯西收敛准则, 并给出其余五种情形的证x→ax→?∞x→∞明. 对照黑板的证明过程略讲x→+∞情形的证明. 柯西收敛准则的应用(探究应用)
(一方面是利用定理判定函数极限存在) 例1. 用柯西收敛准则证明: 当x→+∞时, 函数sinx存在极限. x
(另一方面是利用定理判定函数极限不存在: 由于柯西收敛准则是充分必要条件, 因此它的逆否命题可用来判定函数极限是否是不存在)
推论 ?ε0>0,?δ>0,?x0,y0:0<><δ,><><δ有f(x)?f(y)>ε0限limf(x)不存在. x→a?极
例2. 证明: 当x→0时, 函数sin1不存在极限. x
总结
1. 函数极限的柯西收敛准则内容: 先;
2. 柯西收敛准则的充分性的证明方法. 分两步走: 第一步通过函数列找函数极限值bb3. 柯西收敛准则的应用: 一方面是直接应用定理判定函数极限存在, 另一方面是利
用逆否命题判定函数极限发散.
作业: P96 10
范文二：柯西收敛准则的证明
科学之友
ＦｒｉｅｎｄｏｆＳｃｉｅｎｃｅＡｍａｔｅｕｒｓ
２０１２年０５月
柯西收敛准则的证明★
高俊芳，赵临龙
（安康学院数学与应用数学研究所，陕西安康７２５０００）
摘要：在运用实教完备性６个基本定理的等价?陛中，文章给出了由其他５个定理来证明柯西收敛准则的方法，充分体现了实数完备性基本定理与柯西收敛准则的统一性。关键词：柯西收敛准则；确界；聚点；单调有界；有限覆盖；区闻套中图分类号：Ｏ１７４．１
文献标识码：Ａ
文章编号：１０００—８１３６ｌ２０１２）１４—０００３—０２
柯西准则在数学分析中应用极为广泛，是数学分析的基础理论。文”。用两种证明方法，即用区间套定理和致密性定理证明柯西收敛准则。在大多数研究成果中，都链条式地论证了实数系的基本定理，并最终形成一个论证环。”一柯西准则的证明是重点也是难点。尤其是其充分性。本文重在讨论柯西收敛准则充分性的证明，其必要性较为简便，本文只给出一种证法。
又由区间套定理，存在数Ａ是所有区间［ｋ，岛］的公共点，
．’．“≤一≤嘞。而对任意正整数ｎ，当女≥ｎ时。％＝蜒ｑ≤诉≤
ｓｕｐｑ２巳。
于是ｌＡ—ａｋｌ，Ｎ时，锄一要≤艇以＝“≤靠＝ｓＩＪｐ嚷≤％＋÷。
于是，当月＞Ｎ时，Ｃｎ一毛≤詈＋詈Ｎ时，Ａ一卿Ｎ时，有Ｉ吒一ａｔ；。ｌⅣ时，ｌａｎＩ≤ｌａＮ＋ｌｌ＋ｌ，即｛％｝有界。
不妨设｛嘞｝≤［ａ，ｂ］，即口≤岛≤６，我们用如下方法取得
１相关定理
定理１（柯西收敛准则）：数列ｆ％｝收敛的充要条件是：对任给的ｓ＞０，存在正整数Ⅳ，使得当ｒ／，ｍ＞Ｎ时，有１％一ａｍｌｏ，张＞ｏ，当朋，月，七＞Ｋ时，同时有Ｉ％一ａｍＩＯ，存在正整数Ⅳ，当ｎ，ｍ＞Ｎ时，有Ｉｑ一４ＪＫ）时，绷嘞一口ｆ≤ｆａｎ一％。ｆ＋ｆ吒一玎ｆ
＂眯三。
．‘．｜％一ａｍｆ≤Ｉ％一ａＪ＋Ｉａｍ一口ＩＯ，存在正整数Ⅳ＞０，当ｎ＞Ｎ时，有Ｉｑ一口Ⅳｌ０．｜Ⅳ∈Ｍ，当ｋ＞ｎ＞Ｎ时，
又由当疗＞＾ｒ时。ｌａ．一口ⅣＩｋ＞疗，从而Ｐ（％，ａ）≤
界和下界，由确界原理知，其必有确界，对任意正整数一，设巩＝蜒ｑ，ｑ＝ｓｕｐａｋ，．．．以≤“ｏ
ｐ（％．嘞＋ｔ）＋ｐ‘ｑ，口）ｃ詈＋三＝ｓ，故有熙巩＝。。
★资助课题：安康学院大学生科技创新项目（编号：２００９ＡＫＸＹＤＸＳ０６）；安康学院重点挟持学科建设项目（编号：ＡＺＸＺ０１０７）
万方数据
一３一
科学之友
ＦｒｉｅｎｄｏｆＳｃｉｅｎｃｅＡｍａｔｅｕｒｓ２０１２年０５月
浅谈连拱隧道动态施工数值模拟分析
王舒
（贵州民族大学建筑工程学院，贵州贵阳５５００２５）
摘要：近年来，随着我国社会经济的发展和技术条件的不断进步，尤其是在我国西部
大开发战略的进一步实施。我国高等级公路呈现出飞速发展的局面，公路隧道数量日益增多。在山区狭窄地带等特殊地形条件下，采用分离式隧道线路较为困难且造价高昂，
于是产生了双连拱隧道形式。文章以腰子坡连拱隧道为研究背景，通过运用大型通用有
限元软件ＡＮＳＹＳ。建立了隧道穿越Ｖ级Ｉ型围岩地段的二维弹塑性有限元模型，进行施工力学平面的数值模拟，得到隧道中墙应力、围岩应力和位移、拱顶下沉、地表沉降值以及支护、衬砌的内力值以及上下台阶开挖方式对这些值的影响。
关键词：公路；连拱隧道；施工力学；数值模拟中图分类号：Ｕ４５６文献标识码：Ａ文章编号：１０００—８１３６（２０１２Ｉ１４一Ｏ００４—０３
随着我国西部大开发进一步向纵深发展，高速公路面临前所未有的发展机遇，受地质条件和场地条件的限制，特别是桥隧连接线困难，连拱隧道这一新型的隧道结构形式应运而生，
并得到了广泛应用，其原因是，因为它在土地价格昂贵，路线分离困难等方面具有优势。但由于山区的地质条件复杂和连拱隧道结构形式的复杂性，且连拱隧道高跨比很小（一般Ｈ，Ｂｏ，ｊⅣ∈Ⅳ．，Ｖｎ＞Ｎ有１％一ａＮ＋ｌＩ０，ＶＮＥⅣ＋，有ｌａｎ一锄Ｉ≥邱，则在Ｕ（印；
［１］华东师范大学数学系编．数学分析（上册，第三版）［Ｍ］．
北京：高等教育出版社，２０１１．
导）内，仅含｛％｝的有限项。
Ｚ
【２］王美丽，李磊．实数完备性六个等价命题的推广［Ｊ］．南阳
师范学院学报，２００９（１２）．
令Ｈ＝｛ｕ（ａｏ；睾）ｌ咖Ｅ［口，ｂ】｝，则日是闭区间［口，
ｂ］的一个开覆盖。由有限覆盖定理知。其必存在有限子覆盖，
［３］庄陵，唐贤伦等．实数完备性基本定理的循环证明［Ｊ］．重
庆工商大学学报，２００６（３）．
［４］马爱江．单调有界数列必有极限与柯西收敛准则等价性证明
不妨设存在【，（ｑ；鲁），ｕ（口２；－占－ｆ２），…，ｕ（％；鲁）是它的一个子覆盖，即壹ｃ，（４ｆ；詈））［口，６］，而ｕ（４Ｉ；詈）（ｉ
［Ｊ］．新疆教育学院学报，２００３（４）．
（编辑：尤俊丽）
ＴｈｅｏｒｏｏｆｒｅｆｒａｉｎｆｒｏｍｒａｓｈａｃｔｉｏｎｓｔａｎｄａｒｄｏｆＣａｕｃｈｙ
ＧａｏＪｕｎｆａｎｇ，ＺｈａｏＬｉｎｌｏｎｇ
Ａｂｓｔｒａｃｔ：ｈｔｈｅｅｔｃ．ｐｒｉｃｅｍａｋｉｎｇｕｓｅｏｆｒｅａｌａｍｏｕｎｔｐｌｅｔｅｓｉｘｂ嬲ｉｃａｘｉｏｍｓｅｓ．ｇｉｖｅｉｓｐｒｏｖｅｎｂｙｆｉｖｅｏｔｈｅｒａｘｉｏｎ＿ｌｓｅｓＣａｕｃｈｙｒｅｆｔａｉｍｆｒｏｍｒａｓｈａｃｔｉｏｎｔｈｅｍｅｔｈｏｄｏｆｓｔａｎｄａｒｄａｎｄｗｅｌｌｅｍｂｏｄｉｅｄｒｅａｌ赳ｎｏｕｎｔｐｌｅｔｅｔｈｅｂａｓｉｃａｘｉｏｍｓａｎｄＣａｕｃｈｙａｃｔｉｏｎｔｈｅ
ｒｅｆｒａｉｎ‰ｒａｓｈ
ｕｎｉｔｙ
ｏｆｓｔａｎｄａｒｄ．
ａ
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｃａｔｈｙｒｅｆｒａｉｎｓｆｒｏｍｒａｓｈａｃｔｉｏｎｓｔａｎｄａｒｄ；ｉｎｄｅｅｄｂｏｕｎｄａｒｙ；ｇａｔｈｅｒｐｏｉｎｔ；ｉｓｌｌｌｏｎｏｔｌⅪｌｏｌｌｓｔ０ｈａｖｅｂｏｕｎｄａｒｙ；ｌｉｍｉｔｅｄ
ｏｖｅｒｌａｙ；础ｓｅｔ
一４一
万方数据
柯西收敛准则的证明
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
高俊芳， 赵临龙， Gao Junfang， Zhao Linlong安康学院数学与应用数学研究所,陕西安康,725000科学之友
Friend of Science Amateurs2012(14)
参考文献(4条)
1.华东师范大学数学系 数学分析 2011
2.王美丽;李磊 实数完备性六个等价命题的推广[期刊论文]-南阳师范学院学报 2009(12)3.庄陵;唐贤伦 实数完备性基本定理的循环证明[外文期刊] 2006(03)
4.马爱江 单调有界数列必有极限与柯西收敛准则等价性证明[期刊论文]-新疆教育学院学报 2003(04)
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_kxzy201214002.aspx
范文三：柯西收敛准则的证明与推广
学号:
学年论文,本科,
学 院 数学与信息科学学院 专 业 数学与应用数学专业 年 级
姓 名
论文题目 柯西收敛准则的证明与推广 指导教师 职称 教授
成 绩
2010年 06月04日
目 录
摘 要 ......................................................................................................................... 1 关键词 ......................................................................................................................... 1 Abstract ...................................................................................................................... 1 Keywords ................................................................................................................... 1
......................................................................................................................... 1 前 言
1柯西收敛准则 ........................................................................................................ 1
.......................................................................................... 1 1.1柯西收敛准则的证明
1.2柯西收敛准则的应用 .......................................................................................... 3 2柯西收敛准则的推广 .......................................................................................... 5 2.1判断数列)函数)正项级数发散 ...................................................................... 5
2.2用柯西收敛准则可简单解决一些复杂问题 ...................................................... 5
2.3柯西收敛准则与实数完备性中的基本定理密切相关………………………..….6
参考文献..................................................................................................................... 8
1
柯西收敛准则的证明与推广
摘 要:本文给出了柯西收敛准则的定义～并通过例题对其进行了证明与推广.
关键词:柯西收敛准则;数列;函数;正项级数.
Prove and Generalize Cauchy’s Test for Convergence
Abstract: This article gave the definition of Cauchy’s test for convergence, how to use
Cauchy’s test for convergence to prove and generalize by examples.
Key words: Cauchy’s test for convergence; array; function; positive term series. 前言
“柯西收敛准则”是数学分析中的一个重要定理之一,这一定理的提出为研究数列极限)函数极限)正项级数收敛提供了新的思路和方法.
在有了极限的定义之后,为了判断具体某一数列或函数是否有极限,人们必须不断地对极限存在的充分条件和必要条件进行探讨.在经过了许多数学家的不断努力之后，终于由法国数学家柯西(Cauchy)获得了完善的结果,总结成了“柯西收敛准则”.下面我们将以定理的形式来叙述并证明)应用它.
1柯西收敛准则
1.1柯西收敛准则的证明
定理1 数列的柯西收敛准则: 数列{an}收敛的充要条件是:对任给的>0,存在,
mn,正整数N,使得当>N,时有
||aa, <.>
limaA,证 (必要性)设由数列极限的定义,对任给的,>0,存在N>0,当nx,,
,,||aA,,||aA,,mnN,,时有, 因而 mn22
,,||||||aaaAaA,,,，,,，,,. mnmn22
,,0N,0nN,(充分性)按假设,对任给的,存在,使得对一切有
aa,，,,,||aa,,,,即在区间内含有中几乎所有的项(这里及以下为叙述简单,,NNnN
2
起见,我们用“中几乎所有的项”表示“中除有限项外的所有项”). {}a{}ann
111，， 据此,令,则存在,在区间内含有中几乎所有的项.记这,,Naa,，,1NN,,222，，
个区间为. ，，,,1,1，，
111，，再令.则存在,在区间内含有中几乎所有的项.记,,Naa,，,2NN222,,222，，
11，，=，它也含有 中几乎所有的项,且满足，，,,{}aaa,,，，,，,,2,2nNN2,2，，22，，,,22，，
1，，，，及,,,,. ,,,,,221,12,2，，，，2
11 继续依次令，，=，?, ,?,照以上方法得一闭区间{},其中每个区,,,nn,3n，，22
，，，，间都含有中几乎所有的项,且满足 ,,,,,{}annnn,1,1，，n，，，，
1,,,,,,,n 0,，，nnn,12
，，{,},,即 是区间套.由区间套定理，存在唯一的一个数 (n=1,2,?). ,,,,,,nn,nn，，现在证明就是数列的极限,事实上,又区间套定理的推论,对任给的>0,存在{}a,,n
N>0,使得当n>N时有
，，,U,,;,,, ，，nn,，，
lima,,U,,;因此在内含有{}a中除有限项外的所有项,这就证明了. ，，nn,,x
0'Ux;,定理2 函数的柯西收敛准则: 设函数f在内有定义,limfx存在的，，，，0xx,0
'"0'xxUx,;,,充要条件是:任给>0,存在正数,使得对任何有 ,,,(),，，0
'"||fxfx,,, ，，，，
'limfx证 (必要性) 设=A,则对任给的,>0,存在正数,使得对任,,(),，，xx,0
0xUx,;,有 ，，0
,||fxA,,. ，，2
于是对任何
3
0"'' xxx,;,,，，0U
,,'"'"有 = . ||||||fxfxfxAfxA,,,，,,，,，，，，，，，，22
0',,0(充分性) 设数列,按假设,对任给,存在正数,使得对任{};xUx,,,,(),，，n0
0'""',何,有<,由于,对上述的>0,存在Ux;,xxn,,,||fxfx,,xx,,，，，，，，，，n00
0N，使得当时有从而有|. xxUx,;,,fxfx,,|,nmN,,，，，，，，mnnm0
于是,按数列的柯西收敛准则,数列的极限存在,记为A,即 {}fx，，n
limfxA,. ，，nx,,
定理3 正项级数的柯西收敛准则:给定正项级数U，其收敛的充要条件是任,n
给>0,总存在自然数N,使得当正整数m>n和任意自然数p都有 ,
|. U，，，,UU...|,mmmp，，，12
,,0U证 (充分性)给定一正项级数,设其部分和数列为，对任意,总存{}s,nn
mp，在正整数N,使得当m>N时都有则设n=>m,则
||...|ssUU,,，，，,|U,. nmmmmp，，，12
limsU则 存在,从而收敛. n,n,,n
limsU(必要性)由收敛,则存在,由{}s数列极限存在得则对任意正整数n,nn,,n
N,存在吗n>m>N,使得
||ss,,,, nm设,则 pnm,,,0
||...|ssUU,,，，，,|U,, nmmmmp，，，12故正项级数得柯西收敛准则得证.
1.2柯西收敛准则的应用
用数列的柯西收敛准则证明数列收敛.
4
例 1 证明任一无限十进小数的n位不足近似(n=1,2,?)所组,,0.......bbb12n成的数列
bbbbbbn11212 .,,...,...,...，，，22n101010101010满足柯西条件(从而收敛),其中为0，1，2，?，9中的一个数，k=1，2,?. bk
bbbn12 证 记an=.不妨设n>m,则有 ...，，2n101010
bbb911,,mmn，，12||...1...aa,,，，，,，，，nm,,mmnmnm，，，,,1211101010101010,,
1111,,,,,,1,,mnmm,101010m,,
1任给的>0,取N=,则对一切n>m>N有<>
条件.
用柯西收敛准则求函数极限.
0例2 设数列{};xUx,,,数列{}fx的极限存在,记为A,设另一数列，，，，nn0
0'limfylimyx,且 且存在,记为B,现证B=A. {};yUx,,，，，，nn0n0,,xx,,
0',,0{};xUx,,证 设数列,按假设,对任给,存在正数,使得对任何,,(),，，n0
0'""',Ux;,xxn,,,,有||fxfx,<,由于,对上述的>0,存在N，,xx,,，，，，，，，，n00
0xxUx,;,,fxfx,,|,使得当时有从而有|. nmN,,，，，，，，mnnm0
{}fx于是,按数列的柯西收敛准则,数列的极限存在,记为A,即 ，，n
limfxA,. ，，nx,,
0'li**,{};zUx,,zxyxyxy}:,,,,...,,,...考虑数列{易见且.故如上，，n0nnnn11220,,n
{}fz{}fz{}fx{}fy所证 也收敛.于是,作为的两个子列,与必有相同的，，，，，，，，nnnn
limfxA,极限,所以有归结原则推得 . ，，xx,0
用正项级数的柯西收敛准则证明正项级数收敛.
[1]U,例 3 证明级数收敛的充要条件是:任给正数,存在某正整数N,对一切,n
n>N,总有
5
. |...|UUU，，，,,NNn，1
证 必要性 当收敛,则由柯西收敛准则可知 U,n
，对任意>0,存在,使得n>m>时有 N,NN,11
, |U，，，,UU...|,mmn，，12
取,则任意n>N,有. NN,，|...|UUU，，，,,1NNn，1
,，充分性 若任意>0,存在,对任意n>N,总有 |...|UUU，，，,NN,,NNn，12
，则对任意m>N,及有 pN,
,,|U，，，,，，，，，，，,，,UUUUUUUU...||...||...|, ,mmmpNNNpNNn，，，，，，121122
则由柯西准则知U收敛. ,n
2 柯西收敛准则的推广
2.1 判断数列)函数)正项级数发散
数列的发散:数列发散的充要条件:对存在>0，对任意正整数N总有当{}a,n0mn,>N时有
. ||aa,,,nm0
,,函数的发散:极限不存在的充要条件是:存在,>0,对任意>0(无论limfx，，0xx,0
'"0xxUx,;,,多么小),总可找到,使得 ，，0
'"||fxfx,,,. ，，，，0
U,正项级数的发散:发散的充要条件是:存在>0,对任意自然数N,有正整数,n0m>N和自然数p,使得
|U，，，,UU...|,. mmmp，，，120
2.2 用柯西收敛准则可简单解决一些复杂问题
数学中有一些数列极限题我们可以根据其定义或数列有界判断其敛散性，但有时
用定义或数列有界难以解决,这时用柯西准则就容易解决问题.
6
n，1,1，，111例 4 证明有极限. a,,，,，，1...nn234
证 对于任意的数属于正整数.. mn,mn,
nm，，21,,11，，，，, aa|||...|,,，，nmnm，1
当m-n为奇数时
nm，，21,,111111，，，，. ,，，,,,,,|...|||0naa|||...|,,，，，，nmnnmmnm，,11nm，，，，，1
由柯西收敛原理得收敛. {}an
当m-n为偶数时
nm，，21,,11，，，，11111. aan|||...||...|||0,,，，,，，,,,,,,，，nmnmnnmmnmm，，,,,11121，，，，，，
收敛. 由柯西收敛原理得{}an
综上得收敛，即存在极限. {}a{}ann
2.3 柯西收敛准则与实数完备性中的基本定理密切相关
[2]例5 聚点定理证明柯西收敛准则.
证 令{}a为收敛准则,则其必有极限,令{}a的极限为A,故存在正整数N,当nn
是有||/2aAH,,,||/2aAH,,(H为大于0的任意正数) mnN,,mn
所以||||||||/2/2aaaAAaaAaAHHH,,,，,,,，,,，,. nmnmnm
{}a{}a{}a若中至多含有有限个不同的点,则以某项起含有无限多个相同的点,即nnn
{}a为常数列,否则不满足柯西条件. n
{}a{}a若含有无限多个不相同的点,则根据聚点定理至少含有一个聚点. nn
dd,dd,,,,ddUd(;/3),,Ud(;/3),假设含有两个聚点且，令，所以在内12112212
{}a||aaH,,都含有中无限多个点,这与存在N当mnN,,时矛盾,故只含有一个nmn
d||/2aaH,,amnN,,聚点,令其为,所以当,(H为大于0的任意正数)时存在1nmn
7
属于且. Ud(;/3),||||||/2/2adaaadHHH,,,，,,，,1nnmm11
故收敛于. {}adn1
[3]例 6 用数列的柯西收敛准则证明确界原理.
证 设S为非空有上界数集.有实数的阿基米德性,对任何正数,存在正数,k,,
'使得=为S的上界,而不是S的上界,即存在,使得,,S,k,,,,,,(1)k,,,,
'. ,,,,k1，，,
1 分别取,,,则对每一个整数n,存在相应的,使得为S的上界，,1,2,...,n,,nnn
1'而,,不是S的上界,故存在,使得 ,,Snn
1'a,,, (6) nn
1',,,,又对正整数m,是S的上界,故有,结合(6)式得;同理有,,,,nmmmn
1,,,,.从而得 mnm
11,,,, ||max(,). mnmn
,,0于是,对任给的,存在N>0,使得当时有 mnN,,
. ||,,,,,nm
有柯西收敛准则,数列{},收敛.记 n
lim,,, . (7) nn,,
,aS,a,,现在证明就是S的一个上确界.首先，对任何和正整数n有，由(7)n
1a,,,,,0,,,0n式得,即是S的一个上界.其次,对任何，由及(7)式，，，n对充分大的n同时有
1,,,,,，>,. nn22
11'',,a,,,,,S又因不是S的上界,故存在,使得.结合上式得 nnnn
,,'a,,,,,,,,. 22
,这说明为S的上确界.
8
同理可证:若S为非空有下界数集,则必存在下确界.
柯西收敛准则在数学分析中应用范围广泛,应用前景广阔.单调有界数列极限与柯西收敛准则等价,且柯西收敛准则与函数列一致连续性、聚点定理、有限覆盖定理、海涅定理、广义积分等领域都有联系.其在数学分析中扮演非比寻常的角色. 参考文献:
[1]何国良.正项级数敛散性的判别法[J].青海师专学报,2005,(04).
[2]陈祥平.柯西收敛准则与实数完备性[J].济宁师范专科学校学报,2005,(05).
[3]数学分析上册.华东师范大学第三版[M].北京,北京出版社,2001.
9
学年论文成绩评定表
评 语
柯西收敛准则有多种形式，该论文对它进行了总结，并用大量的具体例题说明了柯西收敛准则的应用与推广.该论文符合学年论文要求.
学院意见:
成 绩:
学院院长(签名): 指导教师(签名):
2010年 月 日 2010年 月 日
10
范文四：函数极限柯西收敛准则(教案)
教学内容
函数极限的柯西收敛准则
教学目标
根据大纲对本节的具体要求，同时针对我院学生的心理特点和认知水平，结合教材，本着使学生全面发展的原则，确定本节课的教学目标如下：
1 熟练掌握函数极限的柯西收敛准则及应用，尤其是函数极限的柯西收1．知识目标：○
2 理解柯西收敛准则的充分性的证明方法及思敛准则与数列极限的柯西收敛准则的异同；○
想.
1 培养学生运用柯西收敛准则解决极限存在问题的能力；○2 掌握从一2．能力目标：○
3培养学生主动学习和创新学习的精神，形成自般到特殊、从特殊到一般的数学解题方法；○
主学习的良好习惯，获得终身受益的自学能力。
1结合本节的教学，向学生渗透数学思维与意识，使学生对数学学科更3．情感目标： ○
2培养学生“从一般到特殊、从特殊到一般”的认知规律。 加热爱；○
教学重点
1函数极限的柯西收敛准则及应用；2函数极限的柯西收敛准则与数列极限的柯西收敛准则○○
二者的异同。
教学难点
柯西收敛准则的充分性的证明 教学方法
探究式教学与启发式教学相结合 学习方法
使学生掌握“从一般到特殊、从特殊到一般”的推理方法，熟悉“比较对照、区别异同”的学习方法
教学时间 45分钟.
引入
数列极限的柯西收敛准则: 数列{an}收敛
??ε>0,?N∈N+,?n,m>N, 有
an?am<>
提问(探究问题起源)
考虑到数列是一类特殊的函数，即定义在正整数集N+上的函数, 那么函数极限的收敛性是否也有类似的判定准则呢？
猜想结论(探究结论)
设问一 怎么叙述“极限limf(x)存在(或收敛)”类似的判定准则?
x→+∞
(备注：其实质是将一个离散的结论，即数列的柯西收敛准则推广的连续的情形，见上图) 写出设问一对应的判定准则
极限limf(x)存在??ε>0,?A>0,?x',x">A, 有f(x')?f(x")<>
x→+∞
设问二 怎么叙述“极限limf(x)存在(或收敛)”类似的判定准则?
x→a
(备注：其实质是如何用数学语言来描述“x无限趋近于a”和“x无限增大”)
写出设问二对应的判定准则
定理9. (柯西收敛准则) 极限limf(x)存在?
x→a
?ε>0,?δ>0,?x',x":0<><><><δ,><>
(至此写出今天所讲的内容的题目)
柯西收敛准则的内涵
(1) 柯西收敛准则从理论上解决了函数极限的存在性问题(充分必要条件); (2) 柯西收敛准则把ε?δ定义中x与a的之差换成x'与x"之差. 其好处在于无需借助函数以外的数b，只要根据函数本身的特征就可以鉴别其（收）敛（发）散性; (注意与函数极限ε?δ定义的比较)
limf(x)=b??ε>0,?δ>0,?x:0<><δ,><>
x→a
(3) 柯西收敛准则的条件称为柯西条件，它反映这样的事实：极限存在的函数的变量愈接近a，函数值彼此愈接近，以至于变量充分接近于a的任何两个函数值之差的绝对值
可以小于预先给定的任意小正数.
论证(探究证明方法)
必要性(?) 证明方法与数列情况完全类似. 充分性(?)
由于数列的柯西收敛准则的充分性的证明要到第四章才证明, 法, 那我们怎么来证明这个问题? (探究证明方法的根源所在)
分析柯西条件与函数极限定义的区别, 即
limf(x)=b??ε>0,?δ>0,?x:0<><δ,><>
x→a
结合复习
海涅定理 limf(x)=b
x→a
?{an}, an≠a, 且liman=a, 有limf(an)=b.
n→∞n→∞
启发学生通过一个数列来找极限值b?
首先考虑取某个数列{an}(非任意数列), an≠a, 且liman=a, 则
n→∞
数列{f(an)}是否收敛?
在不知道数列{f(an)}判断一个数列是否收敛的方法之一——数列
的柯西收敛准则(充要条件).
利用柯西收敛准则证明数列{f(an)}收敛.
通过数列找到极限值b之后, 启发学生又如何完成证明.
设limf(an)=b, 若能证明limf(x)=b即可, 即只需证明
n→∞
x→a
?ε>0,?δ>0,?x:0<><δ,><>
怎么找正数δ?
由于liman=a, 因此an可以充分靠近a, 见下图
n→∞
a?δ an a x a+δ 由条件可知?δ>0,?x',x":0<><><><δ,><ε. 故可考虑将f(x)?b分为两部分,="">
① f(x)
?f(an) ② f(an)?b
继续探究证明
第①部分利用已知条件, ?δ>0, 只要0<><δ,>
第②部分利用limf(an)=b, ?N∈N+, 只要n>N, 就有
n→∞
f(an)?b<ε. 若上面两个不等式同时成立,="">
的柯西收敛准则(充要条件).
利用柯西收敛准则证明数列{f(an)}收敛.
通过数列找到极限值b之后, 启发学生又如何完成证明.
设limf(an)=b, 若能证明limf(x)=b即可, 即只需证明 n→∞x→a
?ε>0,?δ>0,?x:0<><δ,><>
怎么找正数δ?
由于liman=a, 因此an可以充分靠近a, 见下图 n→∞
a?δ an a x a+δ
由条件可知?δ>0,?x',x":0<><><><δ,><ε. 故可考虑将f(x)?b分为两部分,="" 即="" ①="">
?f(an) ② f(an)?b
继续探究证明
第①部分利用已知条件, ?δ>0, 只要0<><δ,>
f(x)?f(an)<>
第②部分利用limf(an)=b, ?N∈N+, 只要n>N, 就有 n→∞
f(an)?b<>
若上面两个不等式同时成立, 则有
f(x)?b<>
(至此给出详细证明过程)
其余情形的柯西收敛准则 （鉴于前面部分有些地方需要花时间启发学生，故此部分内容还要用来调节时间，若时间够，则要求学生到讲台上写结论和证明，若时间不够，则作为课外习题）
x→a+limf(x),lim?f(x),limf(x),limf(x)情况的柯西收敛准则, 并给出其余五种情形的证x→ax→?∞x→∞
明. 对照黑板的证明过程略讲x→+∞情形的证明.
柯西收敛准则的应用(探究应用)
(一方面是利用定理判定函数极限存在)
例1. 用柯西收敛准则证明: 当x→+∞时, 函数sinx存在极限. x
(另一方面是利用定理判定函数极限不存在: 由于柯西收敛准则是充分必要条件, 因此它的逆否命题可用来判定函数极限是否是不存在) 推论 ?ε0>0,?δ>0,?x0,y0:0<><δ,><><δ有f(x)?f(y)>ε0
限limf(x)不存在. x→a?极
例2. 证明: 当x→0时, 函数sin1不存在极限. x
总结
1. 函数极限的柯西收敛准则内容：六个结论，还有注意对应的逆否命题;
2. 柯西收敛准则的充分性的证明方法. 分两步走: 第一步通过函数列找函数极限值bb3. 柯西收敛准则的应用: 一方面是直接应用定理判定函数极限存在, 另一方面是利
用逆否命题判定函数极限发散.
练习作业的安排
（理由：作业练习是使学生掌握好课堂讲授内容的重要补充。是培养学生动手能力和提高学习效果的极好形式。考虑到柯西收敛准则的重要性和难度较大，作业的安排基本上是仿照例1与例2。）
作业: P96 10
板书设计
（理由：为了启发学生的数学思维，引导学生的学习兴趣、热情，培养学生创造性学习及独立钻研的能力，让学生利用已学的知识发现和解决方法，掌握“从一般到特殊和从特殊到一般”的推理方法，熟悉“比较对照、区别异同”的学习方法，板书设计充分利用多媒体与黑板相结合。）
范文五：柯西收敛准则的证明_高俊芳
柯西收敛准则的证明
高俊芳，赵临龙
（安康学院数学与应用数学研究所，陕西 安康 725000）
摘 要：在运用实数完备性6个基本定理的等价性中，文章给出了由其他5个定理来证明柯西收敛准则的方法，充分体现了实数完备性基本定理与柯西收敛准则的统一性。 关键词：柯西收敛准则；确界；聚点；单调有界；有限覆盖；区间套
中图分类号：O174.1 文献标识码：A 文章编号：1000－8136（2012）14－0003－02
柯西准则在数学分析中应用极为广泛，是数学分析的基础理论。文［1］用两种证明方法，即用区间套定理和致密性定理证明柯西收敛准则。在大多数研究成果中，都链条式地论证了实
［2～4］
数系的基本定理，并最终形成一个论证环。柯西准则的证明是重点也是难点，尤其是其充分性。本文重在讨论柯西收敛准则充分性的证明，其必要性较为简便，本文只给出一种证法。
又由区间套定理，存在数A 是所有区间［b n ，c n ］的公共点，
a k ≤a k ≤ ∴b n ≤A ≤a n ，而对任意正整数n ，当k ≥n 时，b n =inf k ≥n
sup a k =c n 。
k ≥n
＊
于是| A －a k |≤（c n －b n ），由（1）得当n ＞N 时，a n －
inf a k ＝b n ≤c n ＝sup a k ≤a n ＋
k ≥n
k ≥n
ε
3
≤
1 相关定理
定理1（柯西收敛准则）：数列{a n }收敛的充要条件是：对
任给的ε＞0，存在正整数N ，使得当n ，m ＞N 时，有| a n －a m |N 时，c n －b n ≤+<ε，∴当k ＞n="" 时，a="">
33
a k =A 。 a k N 时，有|a n ?a N +1|<1，即当n ＞n="" 时，|="" an="" |≤|="" an="" ＋1="" |＋1，即{a="" n="">
不妨设{a n }≤［a ，b ］，即a ≤a n ≤b ，我们用如下方法取得{a n }的一个单调子列{a n }：①取{a n k }∈{a n }，使［a ，a n k ］或［a n k ，
k
b ］中含有无穷多的［a ，b ］中的项；②在［a ，a n ］或［a n ，b ］
k k
中取得a n ＋∈{a n }且满足条件①；③取项时方向一致，要么由
k 1
a →b ，要么由b →a 。
由数列{a n }性质可知，以上3点可以做到。
这样，取出一个数列{a n }?{a n }且{a n }是一个单调有界数
k k
列，则它必有极限，设为a ，下面我们证明{a n }收敛于a ：
ε
?ε>0，?K >0，当m ，n ，k ＞K 时，同时有|a n ?a m |
2
ε
。 柯西条件），|a n k ?a |<（由lim a="" n="" k="a">
k →∞2
∴当取m ＝n k （k ＞K ）时，得| a n －a |≤| an －a n k |＋| an k －a | εε
<+=ε。∴证得lim a="" n="" k="a">
k →∞22
第三，（定理4→定理1）{a n }满足柯西条件，先证明{a n }有界点列，取ε＝1，则?N ∈N +，对一切正整数P 都有ρ（a N ，a N ＋
N 时，有|a n ?a |<， 数列。因为="" ?ε="">0，
2
ε
|a m ?a |<>
2
∴| an －a m |≤| a n －a |＋| am －a |0，当n ＞N 时，有|a n ?a N |<界数列：?ε>0，即| an |≤| aN |＋
ε
ε
3
3
，
，取ε为固定值，则证得{a n }有界。
|a n ?a N |<得到a n="">
333
a i ∈{a n }（i ＝1，2，…，n ）有b {a n }有界则存在b ，c ，s.t ?ε
≤a i ≤c （i ＝1，2，…，n ），即b 与c 分别为数列中所有数的上界和下界，由确界原理知，其必有确界，对任意正整数n ，设 b n =inf a k , c n =sup a k ，∴b n ≤c n 。
k ≥n
k ≥n
εεε
由柯西条件与收敛定义，?ε>0，?N ∈N +，当k ＞n ＞N 时，
εε
有ρ（a n ，a n ＋k ）<，ρ（a n="" k="" ，a=""><>
22
?P ∈N +，取n ＋P ＝n k ，则n k ＞k ＞n ，从而ρ（a n ，a ）≤
εε
ρ（a n ，a n ＋k ）＋ρ（a n k ，a ）<+=ε，故有lim a="" n="a">
2
2
k →∞
＊ 资助课题：安康学院大学生科技创新项目（编号：2009AKXYDXS06）；安康学院重点扶持学科建设项目（编号：AZXZ0107）
－ 3 －
浅谈连拱隧道动态施工数值模拟分析
王 舒
（贵州民族大学建筑工程学院，贵州 贵阳 550025）
摘 要：近年来，随着我国社会经济的发展和技术条件的不断进步，尤其是在我国西部大开发战略的进一步实施，我国高等级公路呈现出飞速发展的局面，公路隧道数量日益增多。在山区狭窄地带等特殊地形条件下，采用分离式隧道线路较为困难且造价高昂，于是产生了双连拱隧道形式。文章以腰子坡连拱隧道为研究背景，通过运用大型通用有限元软件ANSYS ，建立了隧道穿越V 级I 型围岩地段的二维弹塑性有限元模型，进行施工力学平面的数值模拟，得到隧道中墙应力、围岩应力和位移、拱顶下沉、地表沉降值以及支护、衬砌的内力值以及上下台阶开挖方式对这些值的影响。 关键词：公路；连拱隧道；施工力学；数值模拟
中图分类号：U456 文献标识码：A 文章编号：1000－8136（2012）14－0004－03
随着我国西部大开发进一步向纵深发展，高速公路面临前所未有的发展机遇，受地质条件和场地条件的限制，特别是桥隧连接线困难，连拱隧道这一新型的隧道结构形式应运而生，并得到了广泛应用，其原因是，因为它在土地价格昂贵，路线分离困难等方面具有优势。但由于山区的地质条件复杂和连拱隧道结构形式的复杂性，且连拱隧道高跨比很小（一般H/B＜0.40），比较扁坦，其结构受力复杂，施工工艺复杂，且对施工工艺和程序有严格要求，若结构分析不合理或施工方法与工艺不当将极有可能造成连拱失败、大面积跨塌等危害，尤其在复杂条件下，轻则可能造成进度缓慢，影响全线工程工期，大量增加投资，重则可能造成隧道报废而需另选线路；同时在修建连拱隧道时辅助项目较多，临时工程较大，其成本是分离式隧道的3倍左右，这样导致修建连拱隧道偏少，开展相关的理论研究也 较少，因而对连拱隧道的结构分析理论、施工工艺控制以及动态施工力学的研究也很不完善。本文以腰子坡隧道为依托工程，
第四，（定理5→定理1）见文［1］162页。 第五，（定理6→定理1）?N ∈N +，?n >N 有|a n ?a N +1|< ?ε="">0，
ε?|a n |=|a n ?a N +1+a N +1|≤|a n ?a N +1|+|a N +1|<ε+|a n="" +1|。="" 于是{a="" n="" }是有界数列。="" 设{a="" n="" }?［a="" ，b="" ］，假设对任意的a="" 0∈［a="" ，b="" ］，a="">
{a n }的极限，则?ε0>0，?N ∈N +，有| an －a 0 |≥ε0，则在U （a 0；
ε0?
）内，仅含{a n }的有限项。 2?
ε?
令H ＝{U （a 0；0）| a 0∈［a ，b ］}，则H 是闭区间［a ，
2?
b ］的一个开覆盖。由有限覆盖定理知，其必存在有限子覆盖，
εεε
不妨设存在U （a 1；1），U （a 2；2），…，U （a n ；n ）是它
222n
ε?ε
U （a i ；）［a ，b ］，而U （a i ；i ）（i 的一个子覆盖，即∪i =1
2
2
采用有限元法对偏压浅埋连拱隧道的施工过程进行了数值模拟分析，针对隧道开挖过程中的不同受荷情况，模拟左右隧道开挖的相互影响、中墙的受力特点、围岩和支护结构的相互协同性以及围岩位移、拱顶下沉、地表沉降的变化规律等，并与现场监测值进行对比，以验证实测和理论计算结果，指导复杂条件下连拱隧道的设计和施工。
1 工程概况
腰子坡隧道位于贵阳市花溪区猫洞乡大坡村，隧址区属丘峰洼地地貌单元，属剥蚀－构造类型之背斜脊状山峰。隧道进出口端山坡坡度30°左右，与地层倾向反向缓倾斜，隧道轴线与地层走向基本垂直，夹角70～80°之间。最大海拔高程1 180 m，进口端标高1 155 m，出口端标高1 150 m，相对高差介于30～25 m，隧道最大埋深28.00 m。植被较发育，以松杉为主。根据工程地质调绘及钻探结果，隧址区出露地层主要为二叠系上统
＝1，2，…，n ）只含有限个点，从而它们的并也只含有限个点，从而得出［a ，b ］也只含有限个点，这与［a ，b ］是无限点集
a n =a 0。矛盾，从而假设不成立，即必存在a 0∈［a ，b ］，使得lim n →∞参考文献：
［1］华东师范大学数学系编. 数学分析（上册，第三版）［M ］.
北京：高等教育出版社，2011.
［2］王美丽，李磊. 实数完备性六个等价命题的推广［J ］. 南阳
师范学院学报，2009（12）.
［3］庄陵，唐贤伦等. 实数完备性基本定理的循环证明［J ］. 重
庆工商大学学报，2006（3）. ［4］马爱江. 单调有界数列必有极限与柯西收敛准则等价性证明
［J ］. 新疆教育学院学报，2003（4）.
（编辑：尤俊丽）
The proof refrain from rash action standard of Cauchy
Gao Junfang, Zhao Linlong
Abstract: In the etc. price making use of real amount complete six basic axiomses, give is proven by five other axiomses Cauchy refrains from rash action the method of standard and well embodied real amount complete the basic axioms and Cauchy refrain from rash action the unity of standard.
Key words: Cauchy refrains from rash action standard; indeed boundary; gather a point; is monotonous to have boundary; limited overlay; zone set
－ 4 －
