劈腿的年代跟我谈什么真爱
范文一：数学建模-找工作
客观、合理的选择职业
一、问题的提出
快要大学毕业了，你将面临的是找工作的情景。不同的人对自己心意的公司有着不同的要求条件。其中包含了许多主观和客观的因素。你想找一个什么样的公司呢,什么样的公司适合你呢? 你的择业标准是什么,请你根据自己的实际情况对你所考虑到的几所学校设进行客观合理的分析，计你是如何找工作的并最终确定你的选择。
二、问题的描述
假设有A、B、C三公司进入了我的视野。我会选择公司综合实力最强的一个。而各个公司综合实力的比较要考虑几个方面, 工资的多少，公司的团队实力，公司所处的地理位置优越性等其它因素，通过对这些因素的综合比较，可以得出综合实力的排名，进而找到自己的公司。此问题可用层次分析法分析。
三、模型的假设
将决策问题分为3个层次:目标层O，准则层C，方案层P,每层有若干元素。目标即公司综合实力,准则由工资的多少，公司的团队实力，公司所处的地理位置优越性等其它因素这4种因素的综合来评价，目标层可选择A、B、C 3个公司要从中选择一个去就业。
四、模型的建立
目标层O:评价3 公司的综合实力
准则层C:公司工资的多少,C1, 公司的团队实力,C2,
公司所处的地理位置优越性,C3, 其它因素,C4,
方案层P:A公司,P1, B公司(P2) C公司(P3)
五、层次分析法符号说明
表格 1各符号的含义
CI 一致性度量指标
CR 一致性比率
W 权向量
特征值 ,
RI 随机一致性指标
n 矩阵阶数
1
六、需要用到的计算公式
,n,一致性度量指标的计算: CI,n,1
CI 一致性比率的计算: CR,RI
七、模型求解
通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方案对每一准则的
权重。将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的权重
构造成对比较矩阵,准则层对目标层的成对比较矩阵如表所示:
表格 2成对比较矩阵表
U C1 C2 C3 C4 W C1 1 3 2 5 0.476 C2 1/3 1 1/2 2 0.155 C3 1/2 2 1 4 0.288 C4 1/5 1/2 1/4 1 0.081 求出最大特征值,=4.022，一致性指标可查表得到CR=0.008 。
表格 3平均随机一致性指标数值表
n 1 2 3 4 5 6 RI 0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 n 7 8 9 10 11 12 RI 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 方案层对准则层的第一个成对比较矩阵如表格4所示。
表格 4第一个成对比较矩阵表
C1 P1 P2 P3 W P1 1 5 2 0.595 P2 1/5 1 1/2 0.128 P3 1/2 2 1 0.277 求出最大特征值,=3.006，一致性指标可查表得到CR=0.005.
方案层对准则层的第二个成对比较矩阵如表格5所示。
表格 5第二个成对比较矩阵表
C1 P1 P2 P3 W P1 1 1/5 1/2 0.128
2
P2 5 1 2 0.595 P3 2 1/2 1 0.277 求出最大特征值,=3.006，一致性指标可查表得到CR=0.005.
方案层对准则层的第三个成对比较矩阵如表格6所示。
表格 6第三个成对比较矩阵表
C1 P1 P2 P3 W P1 1 2 1/4 0.18 P2 1/2 1 1/8 0.09 P3 4 8 1 0.73 求出最大特征值,=3，一致性指标可查表得到CR=0.
方案层对准则层的第四个成对比较矩阵如表格7所示。
表格 7第四个成对比较矩阵表
C1 P1 P2 P3 W P1 1 4 3 0.630 P2 1/4 1 2 0.219 P3 1/3 1/2 1 0.151 求出最大特征值,=3.108，一致性指标可查表得到CR=0.093.
最后，进行组合一致性检验和计算组合权向量:CR=0.001
0.476，，0.5950.1280.180.630.406，，，，,,0.155,,,,,,0.1280.5950.090.219,0.195 ,,,,,,0.288,,,,0.2770.2770.730.1510.339,,，，，，0.81，，
可知，组合权向量通过了一致性检验。
因此，可以对A、B、C 3个公司进行综合实力的排名，C>A>B。 最后，得出了选择C 公司就业的决定。
八、对此公司抉择模型优缺点的分析
(?)优点分析:
a、通过多方面因素的综合分析，避免了片面，只考虑某一方面的果断
做法。
3
b、通过各个因素对选择目标贡献比重分量不同，更切合实际 (?)缺点分析:
a、不同人考虑的因素种类有差异，考虑因素的多少也有不同，这都会引起对目标决定的准确程度产生影响，最终的结果也会大相径庭，因此有其不合理的一面。
b、在计算各准则层对目标的权重以及各方案对每一准则的权重时，评价人的主观看法对结果的影响较大，从而在很大程度上决定着对方案层的选择，因此这些学生的学习状况会因评价人的不同而异。
九、参考文献:
数学建模， 梁国平、廖建平著，北京:冶金工业出版社出版，2004
数学模型第2版， 姜启源著， 北京: 高等教育出版社， 1993
数学建模，杨启帆等，杭州:浙江大学出版社，1999
4
范文二：数学建模 GDP和国债关系
兰州交通大学
2014年大学生数学建摸竞赛论文 题目:
参赛组号:
参赛人 1:姓名 李红洲
学院 数理与软件工程学院
班级 应物 1201班
参赛人 2:姓名 崔晓勇
学院 数理与软件工程学院
班级 应物 1201班
参赛人 3:姓名 张红利
学院 数理与软件工程学院
班级 应物 1101班
论文编号:
我国 GDP 与国债的关系分析
摘要
随着科技的发展,经济也愈加快速发展,但是经济过快的增长未必有益于国家的发展, 所以调控国债发行额对国家经济建设有重要意义。而 GDP 与国债息息相关,是现代国民经济 核算体系,是衡量一个国家综合国力的重要指标。
本文就中国 1992年到 2012年的 GDP 和国债关系进行细节研究分析。 首先, 在数据库内 采集到近 20年 GDP 与国债的数据,运用计算机软件 Eviews3.1建立了 GDP 散点图形、国 债的散点图、国债随 GDP 的变化曲线图,观察图形的变化趋 推广新思想 势(不考虑特殊因 素) ,提出 GDP 满足
M(t)=M 0(1+0.07)t ,
国债满足
N (t)=N0e 0.1774(t-t0)
的数学模型, 求出相应的参数。
根据国债和 GDP 数据,在 Excel 中采用回归分析方法寻找与其最接近的方程, 在幂函数中, R 2=0.904, 则选择幂函数作为国债和 GDP 函数关系, 具体方程表述为: y=0.0009x1.3125
其次,通过求国债与 GDP 比值的极限是否大于 1,进而判断 国债是否最终会超 过 GDP ,并且预计中国国债和 GDP 将继续保持增长,不过增长率缓慢下降。
关键字 GDP 国债发行额 回归分析 幂函数
1、问题提出
国内生产总值 (GDP)是现代国民经济核算体系的核心指标, 是衡量一个国家综 合国力的重要指标,不仅可以反映一个国家的经济表现,还可以反映一国的国力 与财富。国债是中央政府为弥补财政赤字和筹集财政资金而发行的一种政府债券, 是对 GDP 的再分配。过度国债规模超出公民心理承受能力,影响国债的顺利推行, 超过未来的清偿能力,有损国债的信誉,不能有效地使用社会资金,不利于国家 的经济发展;国债发行额不足,起不到弥补国家财政赤字功能反而会造成国债负 担同样达不到拉动国家经济发展的目的。由此可知,能否掌握国债发行额与 GDP 的 关系,为政府防止经济危机和拉动国家经济发展至关重要。如果 GDP 以每年 7% 速
度增长,国债随着 GDP 成比例增长,在第 0年时的 GDP 为 M 0 ,国债为 N
0,
建立一个的数
学模型来描述 GDP 和国债关系,并求解数学模型,从国债与 GDP 的比值考虑,国债 能否超过 GDP ,利用找到的数学模型就某一国家 GDP 与国债的关系加以分析。
2、问题分析
如果 GDP 以每年 7%速度净增长, 不考虑细节因素的影响, 则 GDP 的增长问题 近似看做 Malthus 人口增长模型,国债是 GDP 的再分配,随 GDP 成比例增长可以 根据近十几年的国债随 GDP 变化采用回归分析法确定出国债与 GDP 的关系系数, 进而由找出的关系先确定未来某年的 GDP , 再用 GDP 和系数计算出国债发行额, 以 便政府部门有预备性的采取性相应的措施对国家经济惊醒宏观调控。
3、假设
3.1由 1992年到 2012年 GDP 和国债数据,采用 Eviews3.1软件作图如下:我国近年 GDP 和国债数据统计表
图 3.2.1 近年 GDP 增长图
图 3.2.2 近年国债增长图
3.2根据计算机作图提出下面两个假设:
○ 1如图 3.2.1假设 GDP 增长符合指数增长模型
N(t)=N
e r(t-t0)
○ 2如图 3.2.2假设国债增长符合 Malthus 人口增长模型
M n =M
(1+0.07)n
3.3符号说明:
4、模型建立
4.1 对于 GDP 的计算
记 M (t )为第 t 年的 GDP 值,将 M(t)看作以(1+0.07)为底的指数函数,用 数学归纳方法计算出第 n 年的 GDP 值 M(t)
第 0年 GDP为 M
第 1年 GDP为 M(1)==M
(1+0.07)
第 2年 GDP为 M(2)=M
(1+0.07)2
第 3年 GDP为 M(3)=M
(1+0.07)3
… `… … `…
… … … `…
第 t-1年 GDP为 M(t-1)=M
(1+0.07)t-1
第 t 年 GDP为 M(t)=M
(1+0.07)t
4.2 对于国债的计算(Malthus 人口增长模型)
记 N(t)为第 t 年的国债值,视 N(t)为连续、可微函数处理 , 引入 r 表示增 长率 . 根据 Malthus 假设,在 t 到(t+Δt )时间国债的增长量为
N(t+Δt)-N(t)≈ rN(t)Δt.
当 t=t 0 ,也就是再第 0年时国债为 N
,于是可以建立 ), t (
) t (
d
rN
dt
N
N(t 0 )=N
.
该初值问题的解为
N(t)=N
e r(t-t0)
4.3 在上一步计算中, r 是不确定的, 从 1992年到 2012年国债变化关系由线性在 Excel 中采用非线性回归方法确定其函数图及其方程如下:
图 4.3.1
利用 Excel 得出非线性 回归方程:
y=671.73e0.1774x
其中:y 表示国债发行额, x 表示时间 t.
5、计算方法设计和计算机实现
在本题中我们分别用用 EViews3.1软件和 Excel 软件来做出模拟散点分布图, 此环节是模拟回归方程的前提,也是回归方程是否正确建立的保证。因此合理使 用这项软件在本题中起着举足轻重的作用。以下是具体的国债和 GDP 的模拟散点 分布图的建立。
5.1在 Excel 环境下模拟国债和 GDP 的散点分布图的步骤
(1)收集 1992-2012年每一年的 DEBT 和 GDP 数据并录入 Excel 表格中,具体数 据如图 5.1.1
图 5.1.1
(2)在 Excel 上述工作表中选中 B3C3到 B24C24单元格,然后在工具栏中执行 插入—散点分布图命令,绘制出模拟国债和 GDP 的散点分布图,然后选中图中某 点,单击鼠标右键,在弹出对话框中执行添加趋势线—幂 命令,作出 GDP 和国债 的幂函数趋势图。如图 5.1.2
图 5.1.2
5.2在 Eviews3.1环境下模拟国债和 GDP 的散点分布图的步骤
(1)在 Eviews3.1软件菜单栏中,依次执行 File — New — Workfile 命令以建立一 个新的工作表(如图 5.2.1)。
注:工作表类型选 annual ,区间是 1992-2012年。
图 5.2.1
(2)在编辑栏依次输入 DATA DEBT GDP 后按 Enter 键弹出新的工作表。如图 5.2.2,并粘贴如图 5.1.1所示 Excel 中的数据到新工作表中。
图 5.2.2
(3)在这个新的工作表菜单栏中执行 View — Graph — Scatter — Scatter with Refression 命令,如此便绘制出了国债和 GDP 的模拟散点分布图并兼有直线趋 势图。见图 5.2.3
9
10
图 5.2.3
6、 结果分析与检验
经比较,图 5.1.2比图 5.2.3在一定区间内更能精确地描述国债和 GDP 的关 系,因此本文采用图 5.1.2所描述的函数方程
y=0.0009x1.3125
其中, y 表示国债发行额, x 表示 GDP 值。并由计算机获得其可靠性 R 2=0.904,与 实际情况比较接近,可以作为国债与 GDP 的数学模型。
国债发行额要视情况而定,虽然我国国债逐年上升,但 2007年国家为举办奥运会 而投入了大量建设以致改年的国债值增长几乎是 2006年国债发行额的 3倍,对于 特殊情况可以另类记之。国债能否超过 GDP 呢?下面就此问题作出回答。
令 N(t)=N0e 0.1774(t-t0) 与 M(t)=M0(1+0.07)t 比值为 B
B=N0e 0.1774(t-t0) /M0(1+0.07)t =0.017t )^07
. 01e ( 当 t 取足够大的值,上式可以大于 1,所以国债理论上是可以大于 GDP 的。
7、模型的优缺点
7.1优点:
第一,提供了一种求解 GDP 和国债问题的思路,此方法新颖可靠易行。 第二,采用 Eviews 3.1和 Excel 算法求解问题数学模型的具体函数关系,运 用计算机直接而简单的得出函数中相关系数,减小计算误差,确保了结果的可行 性与准确性,使该算法更易于应用实际。
7.2缺点:
第一,采用幂函数对国债和 GDP 曲线参数进行拟合过程中,拟合误差仍然存 在。
第二,有一部分数据不再拟合曲线图上,而且偏离较远,降低了模型与实际 的接近度。
7.3改进方向及推广:
在对国债和 GDP 关系曲线参数进行拟合过程中,采用幂函数拟合误差比较 大,可以采取平滑曲线进行拟合。
当 GDP 和国债值比较大的时候,可以不进行曲线拟合,直接采取分段函数, 编程求解,这样求解的问题精度会更高。
8、参考文献
[1]国家数据 . 中华人民共和国国家统计局 .2012年 .
[2]赵天鹏 . 略谈适度国债对经济发展的影响 . 经济师 .2000年第 2期:56-57. [3]陈共 . 财政学 . 北京:中国人民大学出版社 . 出版时间 1998, 9:301-306. [4]戴朝寿,孙世良 . 数学建模简明教程 . 北京 . 高等教育出版社 .2007,1:76-79
11
范文三：matlab中有关数学建模的函数
intersect(a,b):返回向量a ，b 的公共部分
intersect （A,B,'row' ）:A,B为相同列数的矩阵，返回元素相同的行
[c,ia,ib]=intersect(a,b):c为a ，b 的公共元素，ia 表示公共元素在a 中的位置，ib 表示公共元素在b 中的位置
c=setdiff(a,b):返回属于a 但不属于b 的不同元素的集合，即c=a-bc=setdiff(A,B,'row'):返回属于A 但不属于B 的不同行[c,i]=setdiff(...):c与前面一致，i 表示c 中元素在a 中的位置c=setxor(a,b):返回a ，b 交集的非
c=setxor(A,B,'row'):返回矩阵A,B 的非，A,B 有相同的列数[x,ia,ib]=setxor(...):ia,ib表示c 中元素分别在a b （或A ），（或B ）中的位置
c=union(a,b):a，b 的交集
c=union(A,B,'row'):返回A,B 矩阵不同行向量构成的大矩阵，其中相同行向量只取其一
[c,ia,ib]=union(...):ia,ib分别表示c 中行向量在原矩阵（向量）中的位置
dot(a,b):若a ，b 为向量，a 和b 长度必须相同，返回向量a ，b 的点积；若a ，b 为矩阵，则a ，b 必须有相同的维数dot=(A,B,dim):在dim 维数中给出A 与B 的点积
c=cross(a,b):若a ，b 为向量，则c=a*b，a ，b 必须是3个元素的向量；若a ，b 为矩阵，则返回一个3*n的矩阵，其中的列式
a 与b 对应列的叉积，a ，b 都是3*n矩阵
c=cross(a,b,dim):在dim 维数在给出向量a ，b 的叉积，a 和b 必须有相同的维数，size （a ，dim ），size （b ，dim ）必须是3混合积：x=dot(a,cross(b,c)),即a.(b*c),先叉积后点积向量的长度：sqrt(dot(a,a))或sqrt(sum(a.*a))向量的方向角：r=sqrt(dot(A,A));alpha=acos(A(1)/r);beta=acos(A(2)/r);gamma=acos(A(3)/r);
%计算向量A 的长度%向量A 与x 轴的夹角%向量A 与y 轴的夹角%向量A 与z 轴的夹角
R1=sqrt(dot(a,a))；R2=sqrt(dot(b,b)); alpha=acos(dot(a,b)/R1/R2)
%计算向量a ，b 间的夹角
解析几何简单应用（1）点与点之间的距离s=A-B;r=sqrt(dot(s,s))
%计算A,B 两点间的距离
（2）点与平面的距离
平面方程Ax+By+Cz+D=0,用f=[A,B,C,D],点P(a,b,c)用P=[a,b,c]表示。
d1=dot(f,[P,1]);%计算Aa+Bb+Cc+D
%计算(A^2+B^2+C^2)^(1/2)
d2=sqrt(dot(f(1:3),f(1:3)));d=abs(d1/d2)
%d为点P 到平面f 的距离
（3）点与直线的距离将直线
x -x y -y z -z
==0
表示为点O=[
x , y , z ]和向量
v=[A,B,C],
距离d vs=p-pv;
=
%计算v
d1=sqrt(dot(v,v));%计算c=cross(v,vs)
%计算v *%
计算v *d2=sqrt(dot(c,c))d=d2/d1
%计算点P 到直线的距离d
多项式和线性方程组的求解1.p=[1,-4,7,-31];poly2sym(p)形式
2.A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];p=poly(A)%特征根poly2sym(p)%特征多项式
%poly2sym(p)命令是将多项式向量转变为符号
3.r=[1,3,7]%已知多项式的根为1,3,7p=poly(r)poly2sym(p)
%由根创建多项式的系数%由根创建多项式
4. 多项式的运算
（1）计算两多项式
p =2
x x
4
+
3
-5x +3
，
s =
x
2
+x +1的和、积、商,
p=[2,1,0,-5,3];s=[1,1,1];s0=[0,0,1,1,];
p+s0%多项式加法，向量p ，s 必须同维，将s 扩展成s0conv(p,s)%多项式乘法，此时s 不必扩维成s0
[q,r]=deconv(p,s)%多项式除法，商为q ，余数为r ，不必扩维（2）多项式的根
roots(p)%多项式的根，即方程p(x)=0的解pc=compan(p)%多项式p 的伴随矩阵eig(pc)
%多项式p 的伴随矩阵的特征值等于多项式p 的根
例：求多项式
p =
x
2
+3x +7的根
解法1：p=[1,3,7];roots(p)
解法2：p=[1,3,7];pc=compan(p);eig(pc)
(3)多项式微分与赋值运算
polyder(p)%多项式p 的一阶微分
polyval(p,a)%求x=a是多项式p 的值
5. 方程组的求解
（1）线性方程组有惟一的解时x=inv(A)*b
x=inv(sym(A))*b%精确解（2）线性方程组有无穷多解时
Z=null(A)%求解A 矩阵的化零矩阵，也即基础解系Z=null(A,'r')%求解A 矩阵的化零矩阵的规范形式x0=(pinv(A)*b)%AX=b的一个特解（3）无解时
x=pinv(A)*b%最小二乘解
6. 图形的绘制（1）显函数绘制fplot('函数',[a,b])区间
如：fplot('sin(4*x)',[0,pi])fplot('[sin(x),cos(x)]',[-2*pi,2*pi)余弦取曲线（2）隐函数的绘制
%在同一坐标系下绘制正弦、
%函数表达式要置于单引号内，[a,b]为指定
ezplot('隐函数表达式')
如：ezplot('x^2*sin(x+y^2)+y^2*exp(x+y)+5*cos(x^2+y)')上面函数将根据x 的定义域绘图，下面的限制了定义域ezplot('x^2*sin(x+y^2)+y^2*exp(x+y)+5*cos(x^2+y)',[-10,10])(3)极坐标下的图形绘制
polar(x,y,s)%x为极角，y 为极径，s 为图形设置选项ezpolar('函数表达式') (4)特殊二维曲线绘制函数函数名意义
常用调函数名意义用格式
bar
条状图bar(X,comet
Y)
常用调用格式
彗星状comet(图
X,Y)
compa 罗盘图compa errorb 误差限Error ss
ss(X,Yar )
图
bar(x,y,
y
M
m
y
,
)
feathe r hist
羽毛状feathe 图
r(X,Y)
fill 二维填fill(X,充图形Y,c) 离散数stem(据柄状X,Y) 图
直方图hist(X,stem
Y)
polar 极坐标polar(图
X,Y)
quiver 磁力线quiver
图
semilo gx
(X,Y)
stairs 阶梯图stairs(
X,Y)
x-半对semilo 数图
gx(X,Y)
loglog 对数图loglog semilo gy
y-半对semilo 数图
gy(X,Y)
（5）图形修饰与控制
axis square %是绘图区域为正方形
axis equal %控制各坐标轴的单位刻度，使其相等axis([xmin,xmax,ymin,ynax])%控制坐标轴的范围title('字符串') %给图形加上标题xlabel('字符串') %x轴标注ylabel('字符串') %y轴标test(x,y,'字符串')
%在点(x,y)处注说明文字
grid on %加网格线grid off
%取消网格线
hold on %保持当前图形hold off %解除hold on 命令
legend('First','Second',n)图例注解
%对一个坐标系上的两个图形做出
subplot(m,n,p)%将当前窗口分成m 行n 列个区域，并指定在p 区绘图
fill(X,Y,'颜色选项')
%颜色填充
关于legend('First','Second',n)中参数n 的补充：
0：自动定位，使得图标与图形重复最少，即自动放在最佳位置1：置于图形的右上角（默认值）2：左上角3：左下角4：右下角-1：右外侧
(6)三维图形的绘制plot3(X,Y,Z,s)如：绘制螺旋线t=0:pi/60:10*pi;x=sin(t);y=cos(t);plot3(x,y,t,'*b')
其它函数：stem3可以绘制火柴杆型曲线，fill3可以绘制三维的
填充图形，bar3可以绘制三维的直方图，comet3可以绘制三维的彗星状图。（7）三维曲面的绘制
[X,Y]=meshgrid(v1,v2)%生成网格数据Z=...，如Z=X.*Y%计算二元函数的Z 矩阵surf(X,Y,Z)或mesh(X,Y,Z)绘制表面图
其中v1，v2为x 轴和y 轴的分隔形式
%mesh函数绘制网格图，surf 函数
其他绘制三维曲面的函数有：meshz meshc surfc surf1
%绘制带有底座的三维网格图%带有等高线的三维网格图%带有等高线的三维曲面图%绘制光照下的三维曲面
waterfall %瀑布型三维图形contour3%三维等高线函数pie3
%三维饼状图
cylinder %柱面图sphere %球面图
如：绘制带有底座的马鞍面：x=-8:8;
y=-8:8;
z =
2
2
-
2
2
[X,Y]=meshgrid(x,y);Z=(x.^2/4^2-y.^2/5^2);meshz(X,Y,Z)
(8)直角坐标，柱坐标，球坐标之间的转换[x,y]=pol2cart(theta,r)[theta,r]=cart2pol(x,y)
%二维极坐标转换为直角坐标%二维直角坐标转换为极坐标
[x,y,z]=pol2cart(theta,r,z)%三维柱坐标转换为直角坐标[theta,r,z]=cart2pol(x,y,z)%三维直角坐标转换为柱坐标[x,y,z]=sph2cart(theta,phi,r)[theta,phi,r]=cart2sph(x,y,z)
%三维球坐标转换为直角坐标%三维直角坐标转换为球坐标
如：把三维柱坐标转换为直角坐标theta=0:pi/30:2*pi;ro=sin(theta);[t,r]=meshgrid(theta,ro);z=r.*t;
[x,y,z]=pol2cart(t,r,z);mesh(x,y,z)
(9)图形命令的各种设置选项
曲线线型选项———
意义实线虚线
曲线颜色选项b c
意义蓝色
标记符号选项*
意义星号实点
蓝绿. 色
：—.
点线g 绿色黑色
o 圆圈叉号
点划k 线
none 无线m 紫红+色
加号
r w
红色白色
d ^
棱形向上三角
y 黄色<>
>向右三角
s 正方形
h 正六角形
p 五角形
∨
向下三角
7. 微积分基本运算（1）函数的极限
limit(f,x,a)%f(x)在x →a 时极限值limit(f,x,a,'right')%右极限limit(f,x,a,'left')
%左极限
limit(limit(f,x,x ) ,y, y )
f (x , y )
lim lim %累次极限
y →y 0
x →x 0
x
a ???b ?
x 1+sin ??lim ?x ?如：求解极限
??
x →∞
sym x a b;
f=x*(1+a/x)^x*sin(b/x);limit(f,x,inf)(2)函数的导数
diff(f,x)%求f 关于x 的导数diff(f,x,n)%n阶导数
diff(diff(f,x,m),y,n)%二元函数f 的偏导数
??m +n
f
m
n
(3)函数的积分int(f,x)
%函数f(x)的不定积分；当被积函数f 中只有一个变量
时，可以省略x
b
int(f,x,a,b)%定积分
?
a
f (x ) dx
∞
int(f,x,a,inf)%无穷积分
?
a
f (x ) dx
（4）函数的级数展开（a ）泰勒（Taylor ）级数展开
taylor(f,x,k)%f(x)在x=0处的泰勒展开式，k 为需要展开的项数taylor(f,x,k,a)
%在x=a处展开
注：k 的默认值为6.
（b ）傅里叶（Fourier ）级数展开
MATLAB 本身没有提供专门的傅里叶级数展开的函数，可编写如下M 函数实现
function [a0,an,bn]=fourier(f)syms x
a0=int(f,-pi,pi)/pi;
an=int(f*cos(n*x),-pi,pi)/pi;bn=int(f*sin(n*x),-pi,pi)/pi;
(4)梯形法数值积分
trapz(x,y)%x可以为行向量或列向量，y 的行数等于x 向量的元素数
注：若y 由多列向量给出，则该函数可以得到若干个函数的积分值。
如：用梯形法求x ∈(0, π) 区间，函数sin x , cos x 的定积分值x=[0:pi/30:pi]';y=[sin(x)cos(x)];trapz(x,y)
（5）quad 函数计算数值积分（Simpson 算法）
%步长h =
π
≈0. 1可选30
quad(Fun,a,b)%求定积分，误差为
10
-6
quad(Fun,a,b,ε) %限定精度为ε的定积分求解
注：Fun 为描述被积函数的字符串变量，可以是一个Fun.m 函数文件名，还可以是inline 函数直接定义。a ，b 分别为定积分的上限和下限，ε为用户指定的误差限，默认值为
10
-6
（6）矩形区域上二重积分的数值解
dblquad(Fun,a,b,c,d)%计算双重积分
??
c
a
d b
dy f (x , y ) dx
dblquad(Fun,a,b,c,d，ε) %限定精度为ε的双重积分
如：求二重积分：
J =dy
-1
??e
-2
12
-
2
2
sin(
x
2
+y ) dx
f=inline('exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y)','x','y');
%inline函数的第一个输入变量为被积函数本身，第二个、第三个输入变量为自变量J=dblquad(f,-2,2,-1,1)
(7)长方体区域上三重积分的数值解
triplequad(Fun,a,b,c,d,m,n,ε)
b d n
%三重积分dx dy f (x , y , z ) dz
a
c
m
???
8. 代数方程与常微分方程的求解（1）代数方程的图解法如：求解方程：
e x
x
-
2
=10
ezplot('exp(x)-x^2-10',[0,5])hold on ,line([0,5],[0,0])
注：通过局部放大图形，可得到原方程的解，直到曲线与
x 轴的交点附近完全一致。如下图红圈所示。
(2)代数方程的符号解solve(eqn)字符串
solve(eqn,'x')%对指定变量x 求解eqn(x)=0
solve(eqn1,eqn 2, ... ,eqn n ) %求解方程：eqn 1=0,eqn2=0,... ,eqn n =0
1使用solve 函数求解方程：x 3+4x2-4x-1=0如：○
%求解方程eqn=0，输入变量eqn 可以是符号表达式或
solve('x^3+4*x^2-4*x-1')
2使用solve 函数求解方程组：x+y=1，x-3y=5。○
[x,y]=solve('x+y=1','x-3*y=5')
(3)一般非线性方程数值解x=fsolve(Fun,x0)
其中，Fun 应该用M 函数文件或inline 函数按指定的格式描述，x0为搜索点的初值，方程求根程序从该值开始逐步减小误差搜索出满足方程的实根x 。
如：先用图解法观察方程5x 2sinx-e -x =0在区间[0,10]内有多少解，然后试用数值方法求之。
ezplot('5*x^2*sin(x)-exp(-x)',[0,10])hold on line([0,10],[0,0])
从图中可以看出在[0,10]内共有4个解，分别在0，3,6,9附近
从而可以使用fsolve 函数求其数值解
fun=inline('5*x.^3.*sin(x)-exp(-x)');fsolve(fun,[0,3,6,9])
例：求解方程组：x-0.7sinx-0.2cosy=0,y-0.7cosx+0.2siny=0解：先编制函数文件fu.m function y=fu(x)
y(1)=x(1)-0.7*sin(x(1))-0.2*cos(x(2))=0;y(2)=x(2)-0.7*cos(x(1))+0.2*sin(x(2))=0;y=[y(1),y(2)];
在命令窗口调用fu 函数，并计算：x=fsolve('fu',[0.5,0.5])
结果为：x=0.5265
0.5079
（4）常微分方程的符号解（解析解）dsolve(f1,f 2, ... f n ) dsolve(f1,f 2, ... F n ,'x')
其中，fi 既可以描述微分方程，又可以描述初始条件或边界条件。在描述微分方程，可以用D4y 表示y (4)(t),还可以用D2y(2)=3表示y''(2)=3。如火自变量不是t 而是x ，则可以用后一个语句指明自变量。
如：求解微分方程y''-y'-e x =0的通解及在初始条件y(0)=1;y'(0)=2下的特解。
dsolve('D2y-Dy-exp(x)=0','x')ans =
C3*exp(x)+exp(x)*(x+C2*exp(-x))
在初始条件y(0)=1;y'(0)=2下：
dsolve('D2y-Dy-exp(x)=0','y(0)=1','Dy(0)=2','x')ans =
exp(x)+x*exp(x)
(5)常微分方程的数值解法[T,Y]=ode45(Fun,[t0,t f ],y0)
%在区间[t0,t f ]上，用初始条件y 0求解显
式微分方程：y'=f(t,y),t0默认为0
例：求解微分方程y'=-2y+2x2+2x,0≤x ≤0.5,y(0)=1fun=inline('-2*y+2*x^2+2*x','x','y');[x,y]=ode45(fun,[0,0.5],1);
plot(x,y)%绘制解函数曲线图
例：考虑描述振荡器的经典Van der Pol 方程：
d 2
y
2
+μ(
y
2
dy -1) +y =0
在初始条件y(0)=1y'(0)=0的解（取μ=7）
分析：首先，用dsolve 函数，看看有啥结论
y=dsolve('D2y+mu*(y^2-1)*Dy+y=0','y(0)=1','Dy(0)=0')
Warning:Explicit solution could not be found. >In dsolve at 194
y =
[empty sym ]
得出无解提示，可见dsolve 函数不能直接用于一般非线性方程的解析解的求解。
数值解，首先把微分方程转化为显式微分方程的形式。
dy
=f (t , y ) dt
dy
x =y , x =, μ=7令，则原方程化为：1
2
?dx
=x ??
dx =-7(x -1) x -x ?dt
1
2
2
1
2
1
初值条件变为：x 1(0)=1,x 2(0)=0
解法1使用inline 函数描述微分方程组：
f1=inline('[x(2);-7*(x(1)^2-1)*x(2)-x(1)]','t','x');y0=[1;0];
[t,x]=ode45(f1,[0,40],y0);
plot(t,x)
解法2编写M 函数文件vdp.m 来描述微分方程组：
function fy=vdp(t,x)
fy=[x(2);-7*(x(1)^2-1)*x(2)-x(1)];然后在命令窗口中输入：y0=[1;0];
[t,x]=ode45('vdp',[0,40],y0);plot(t,x)
(6)不同求解器Solve 的特点求解器Solve
ODE 类型
特点
说明
ode45ode23ode113ode23t ode15s ode23s
非刚性非刚性非刚性适度刚性刚性刚性
一步法，4，5阶Runge-Kutta 方程，累计截断误差达（Δx）3一步法，2,3截断误差达（Δx）3多步法，Adams 算法，高低精度均可达10-6~10-3采用梯形算法
阶
大部分场合的首选算法
使用于精度较低的情形
Runge-Kutta 方程，累计
计算时间比ode45短
适度刚性情形
多步法，Gear's 反向数值微分，精度中等一步法，2阶Rosebrock 算法，低精度
若ode45失败时。可尝试使用
当精度较低时，计算时间比ode15s 短
9. 优化问题
（1）无约束最优化问题的数值解法x=fminunc(Fun,x0)
%最简求解语句
%一般求解语句
[x,f]=fminunc(Fun,x0,options)
fminsearch 的用法与fminuc 一样
options 的选择
参数名Display
参数说明
中间结果显示方式，其值可以取off 表示不
显示中间值，iter 逐步显示，notify 求解不
收敛时给出提示，final 只显示终值表示目标函数的梯度是否已知，可以选择
为on 或off 表示是否使用大规模问题算法，取值为on
GradOb
j LargeSc
ale MaxIter MaxFun Evals TolFun TolX
或off
方程求解和优化过程最大允许的迭代次数，若方程未求出解，可适当增加此值方程函数或目标函数的最大调用次数误差函数的误差限控制量，当函数的绝对
值小于此值即终止求解解的误差限控制量，当解的绝对值小于此
值即终止求解
opt=optimset%获得默认的常用变量
%修改解的误差限控制量，或者用set(opt.'TolX',1e-10)
opt.TolX=1e-10;
【例1.75】已知二元函数z=f(x,y)=(x^2-2*x).exp(-x^2-y^2-xy),使用MATLAB 提供的求解函数求出其最小值首
先
用
inline
语
句
定
义
目
标
函
数
：
f=inline('(x(1)^2-2*x(1))*exp(-x(1)^2-x(2)^2-x(1)*x(2))','x');
然后给出初始值，并将求解控制变量中的Display 属性设置为'iter' ，这
样
可
以
显
示
中
间
的
搜
索
结
果
：
x0=[0;0];ff=optimset;ff.Display='iter';
最后，可以用下面的语句求解出最优解：x=fminsearch(f,x0,ff)
Iteration
0Func-count
1
min f(x)
Procedure
1234-0.000499937-0.000499937initial simplex reflect
.......
7172
135137
-0.641424-0.641424
contract inside contract outside
Optimization terminated:
the current x satisfies the termination criteria using OPTIONS.TolX of 1.000000e-04and F(X)satisfies the convergence criteria using OPTIONS.TolFun of 1.000000e-04
x =
0.6111-0.3056
同样的问题用fminunc 函数求解，为：
x=fminunc(f,[0;0],ff)
Warning:Gradient must be provided for trust-region algorithm; using line-search algorithm instead. >In fminunc at 367Iteration
01234567
Func-count
3691518212427
f(x)0
-0.367879-0.571873-0.632398-0.638773-0.64141-0.641424-0.641424
Step-size 0.51
0.284069
1111
First-order optimality
20.7360.4830.1440.0630.009520.0006191.8e-06
Local minimum found.
Optimization completed because the size of the gradient is less than the default value of the function tolerance. x = 0.6110-0.3055 注：比较两种方法，fminunc 函数的效率高于fminsearch 函数，所以在无约束最优化问题求解时，如果安装了最优化工具箱则建议使用fminunc 函数。 (2)有约束最优化问题求解 1线性规划问题的计算机求解○ [x,fopt ,flag,c]=linprog(f,A,B,Aeq ,B eq ,x m ,x M ,x 0,options) 【例1.76】是求解下面的线性规划问题 min(-2x -x +4x -x +x ) 1 2 3 4 5 ?2x +x -4x +2x ≤20? s . t . ?3x -4x +x -x +2x ≤31?x , x ≥0, x ≥3, x ≥1, x ≥2? 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 解 由于约束条件中没有等式约束。故可以定义A eq ,B eq 为空矩 阵，且对x 的上界x M 也没有限制，故同样将其写为空矩阵，可以给出如下命令，即可得出结果： >>f=[-2,-1,4,-1,1]';A=[02142;3-41-12];B=[20;31]; >>Ae=[];Be=[];xm=[0,0,3,1,2]';xM=[]; >>ff=optimset;ff.LargeScale='off';ff.TolX=1e-15;ff.TolFun=1e-20;ff.Display='iter';>>[x,f_opt,key,c]=linprog(f,A,B,Ae,Be,xm,xM,[],ff)Optimization terminated. x = 14.33334.50003.00001.00002.0000 f_opt=-20.1667 key = 1 c = iterations:5 constrviolation:1.7764e-15 algorithm:'medium-scale:active-set' cgiterations:[] message:'Optimization terminated.' firstorderopt:7.1054e-15 2二次型规划问题的求解○ >>[x,fopt ,flag,c]=quadprog(H,f,A,B,Aeq ,B eq ,x m ,x M ,x 0,options) H 为二次规划目标函数中的H 矩阵【例1.77】试求解下面的二次规划问题 min((x -1)^2+(x -2)^2+(x -3)^2+(x -4)^2) 1 2 3 4 ?x +x +x +x ≤5? s . t . ?3x +3x +2x +x ≤10?x , x , x , x ≥10? 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 解得： 首先应该讲原问题写成二次型规划的模式，展开目标函数 f(x)=x1+x2+x3+x4-2x 1-4x 2-6x 3-8x 4+30=?xT Hx+fT x+30 其中，H=diag([2,2,2,2]),fT =[-2-4-6-8],xT =(x1,x 2,x 3,x 4), 而目标函数中的常数30对最优化结果没有影响，可略去. >>f=[-2,-4,-6,-8];H=diag([2,2,2,2]); >>opt=optimset;opt.LargeScale='off'; >>A=[1,1,1,1;3,3,2,1];B=[5;10];Aeq=[];Beq=[];xm=[0;0;0;0];xM=[];x0=[]; >>[x,f_opt]=quadprog(H,f,A,B,Aeq,Beq,xm,xM,x0,opt)Optimization terminated. x = 0.00000.66671.66672.6667 f_opt=-23.6667 从而，在约束条件下，当x=[0,0.6667,1.6667,2.6667]T 时，所求函数取得最小值，且最小值为：-23.6667+30=6.3333 3一般有约束最优化问题的求解○ >>[x,fopt ,flag,c]=fmincon(F,x0,A,B,A eq ,B eq ,x m ,x M ,CF,options) 【例1.78】求解下面的有约束最优化问题 min(x ^2+x ^2-x x -2x -5x ) 1 2 1 2 1 2 ?(x -1)^2-x ≤0s . t . ? ?-2x +3x -6≤0 1 2 1 2 解首先建立非线性约束函数文件： function [c,ceq]=mycon(x)c=(x(1)-1)^2-x(2);ceq=[]; %无等式约束 然后，在命令窗口中输入： >>inline('(x(1)^2+x(2)^2-x(1)*x(2)-2*x(1)-5*x(2)','x');>>F=inline('(x(1)^2+x(2)^2-x(1)*x(2)-2*x(1)-5*x(2)','x');>>x0=[0,1];A=[-2,3];B=6;Aeq=[];Beq=[];xm=[];xM=[];>>ff=optimset;ff.LargeScale=='off';ff.Display='iter';ff.TolFun=1e-30;ff.TolX=1e-15; >>[x,f_opt,flag,c]=fmincon(F,x0,A,B,Aeq,Beq,xm,xM,'mycon',ff) 1. 求解下面的线性规划问题： min(-3x +4x -2x +5x ) 1 2 3 4 ?4x -x +2x -x =-2? ?x +x -x +2x ≤14s . t . ? ?2x -3x -x -x ≥-2?x , x , x ≥-1, x 无约束? 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 f=[-3,4,-2,5]';A=[11-12;2-3-1-1];B=[14;-2];Ae=[4-12-1];Be=[-2];xm=[-1,-1,-1,-Inf]';xM=[]; ff=optimset;ff.LargeScale='off';ff.TolX=1e-15;ff.TolFun=1e-20;ff.Display='iter';ff.TolCon=1e-20; [x,f_opt,key,c]=linprog(f,A,B,Ae,Be,xm,xM,[],ff) Exiting:the solution is unbounded and at infinity; the constraints are not restrictive enough. x = 1.0e+15*-0.00007.0711-0.0000-7.0711 f_opt=-7.0711e+15 key = -3 c = iterations:4constrviolation:0 algorithm:'medium-scale:active-set' cgiterations:[] message:[1x96char] firstorderopt:5 10. 数据插值与曲线拟合运算 1一维数据插值问题○ >>y1=interp1(x,y,x1,'方法') 插值方法：●线性插值：linear ●最近点等值方式：nearest ●三次Hermite 插值：cubic ●三次分段样条插值：spline 【例1.79】 >>year=1900:10:2010; >>product=[75.995,91.972,105.711,123.203,131.669...150.697,179.323,203.212,226.505,249.633,256.344,267.893]; >>p2005=interp1(year,product,2005)>>x=1900:1:2010; >>y=interp1(year,product,x,'spline');>>plot(year,product,'o',x,y) p2005= 262.1185 2. 二维网格数据插值 >>z1=interp2(x0,y0,z0,x1,y1,'方法') 【例1.80】x=1:6;y=1:4; %给出自变量数据 t=[12,10,11,11,13,15;16,22,28,35,27,20;18,21,26,32,28,25;...20,25,30,33,32,30]; %给出对应自变量的温度值，注意t 的维数和 x ，y 维数之间的关系subplot(1,2,1);mesh(x,y,t)x1=1:0.1:6;y1=1:0.1:4; %画出插值前的温度分布图%将x 细化为51个点%将y 细化为51个点 %产生51行51列网格数据点 [x2,y2]=meshgrid(x1,y1); t1=interp2(x,y,t,x2,y2,'spline');subplot(1,2,2);mesh(x1,y1,t1) %画出插值后的温度分布图 4 10 4 10 3. 曲线拟合 （1）多项式拟合>>p=polyfit(x,y,n) 可以用ploy2sym 函数将其转化为真正的多项式形式，也可以用ployval 函数求取多项式的值。 【例1.81】对一组样本数据（0.5,1.75），（1,2.45），（1.5,3.81），（2,4.80），（2.5,7.00），（3,8.6）进行3阶的多项式拟合。 x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0];%给出数据点x 值 y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60];%给出数据点y 值p=polyfit(x,y,3)%求出3阶拟合多项式的系数 p = -0.11561.1681-0.08711.5200 x1=0.5:0.05:3.0;%给出x 在0.5~3.0之间的离散值y1=polyval(p,x1);%求出拟合多项式x1上的值plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b')%比较拟合曲线效果 0.5 11.522.53 32 所得的拟合多项式为：f (x ) =-0. 1156x +1. 1681x -0. 0871x +1. 5200 (2)最小二乘拟合 >>[a,Jm]=lsqcurvefit(Fun,a0,x,y)【例1.82】假设有一组实测数据：xi yi 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 2.3202.6472.9703.2883.6003.9094.2144.5194.8231 7 5 8 7 1 2 15.1275 已知该数据可能满足的原型函数为： y =ax +b x 2e -cx +d ， 试求满足上面数据的最小二乘a ，b ，c ，d 的值。x=0.1:0.1:1; y=[2.3201,2.6470,2.9707,3.2885,3.6008,3.9090,4.2147,4.5191,4.8232,5.1275]; Fun=inline('a(1)*x+a(2)*x.^2*exp(-a(3)*x)+a(4)','a','x');[a,J]=lsqcurvefit(Fun,[1,2,2,3],x,y) MATLAB 在数学建模中的 30个常用程序和函数 MATLAB 内部数学常数 2 基本数学运算符 3 关系运算符 4 常用内部数学函数 5 自定义函数 -调用时:“ [返回值列 ]=M文件名(参数列)” function 返回变量 =函数名(输入变量) 注释说明语句段(此部分可有可无) 函数体语句 6.进行函数的复合运算 7 因式分解 8 代数式展开 9 合并同类项 10 进行数学式化简 11 进行变量替换 12 进行数学式的转换 调 用 Maple 中 数 学 式 的 转 换 命 令 , 调 用 格 式 如 下 : maple(‘Maple 的数学式转换命令’) 即: 13 解方程 solve(’方程’,’变元’) 注:方程的等号用普通的等号: = 14 解不等式 调用 maple 中解不等式的命令即可,调用形式如下: 具体说,包括以下五种: 15 解不等式组 调用 maple 中解不等式组的命令即可,调用形式如下: 16 画图 17 求极限 (1) 极限: (2)单侧极限:左极限: 右极限: 18 求导数 或者: 19 求高阶导数 或者: 20 在 MATLAB 中没有直接求隐函数导数的命令,但是我们 可以根据数学中求隐函数导数的方法,在中一步一步地进行 推导;也可以自己编一个求隐函数导数的小程序;不过,最 简便的方法是调用 Maple 中求隐函数导数的命令,调用格式 如下: 在 MATLAB 中,没有直接求参数方程确定的函数的导数的 命令,只能根据参数方程确定的函数的求导公式 一步一步地进行推导;或者,干脆自己编一个小程序, 应用起来会更加方便。 21 求不定积分 或者: 22 求定积分、广义积分 或者: 23 进行换元积分的计算 自身没有提供这一功能,但是可以调用 Maple 函数库中的 changevar 命令,调用方法如下: 24 进行分部积分的计算 自身没有提供这一功能,但是可以调用 Maple 函数库中 的 intparts 命令,调用方法如下: 25 对数列和级数进行求和 26 进行连乘 27 展开级数 28 进行积分变换 在 matlab 中,矩形法、梯形法和辛普森法求近似积分 可以用自身的命令,也可调用 Maple 的相应命令。调用方 法如下: 29 解微分方程 30 解微分方程组 学校的打水机够吗 摘要：我们学校去年把新的打水机换回来了，打水的问题似乎解决了，但不少人因为不留 神而被滚烫的水的溢出而烫伤，怎样控制出水的时间，从而使得人们被烫伤的机会减少，为此本文通过对不同打水机、不同装水容器的研究，来说明不同打水机的不同出水时间。 关键词：容器 打水机 出水 时间 比较 1 问题的提出： 在校园生活中，我们离不开水，这就意味着打水机是必要的。据悉，我们二中初中部一共约有学生2160人，那么多的人如果要打水的话，要多少个水龙头才够呢？2010年上半年，二中把原来的打水房移到一个大的仓房。并且加多了许多打水机，那么，现在的打水机是否够我们学生使用呢，早晚的打水时间是否充足呢？若不足，那么需要添加多少水龙头呢？ 2 问题的分析 据悉，我们二中初中部一共约有学生2160人，但是，一部分同学坚持洗冷水澡，我们了解到大约有160人是坚持洗冷水澡的，所以我们排除这些人不计，则剩下2000人是实际用水的人数。 但是，这2000人当中，人们有不同的打水方式：用水桶和用热水瓶。接下来我就根据这两种进行比较分析。 3 数据的采集 我们学校的打水机的出水口直径约为1.5cm 然而，为了测量出打水机的平均流速，我去测量了一下打水的时间与出水量（如表格所示）。 便可以计算出打水机的平均流量为 0.39(L/s) 得到普通的打水流速后，我便去调查了一下我们班打水普通使用的容器（如表所示）： 4 模型的计算 4.1实验所需公式： （1）出水时间T(s)=需求量S ÷流量V 注：流量可用实际测量求出。 以上表格我们求出了流量V=0.39L/s 4.2计算过程： 然后，我们便可以以调查的得知的每人平均需要10升的水（即2/3水桶的水），那么我们可以得到我们所有人打水所需的时间是： 2000 10L 0. 39L /s . =51282.05（s ） 然而我们计平均每人需用时5s 来换水瓶，即共需要： 51282.05s+5s×2000=61282.05（s ）≈1021（min ） 即我们打水共需要1021min 我们可以通过我们的作息时间表来求出我们可以用于打水的时间为：(如表所示) 1021÷（15+15+30）≈17（个） 然而我们学校的打水机能用的一共有22 个。 因为17<> 所以我们学校的打水机是足够的。 4.3计算小结： 我们可以对比发现我们的打水时间是足够的，只要我们有时间去打水，就会有足够的打水时间。 5拓展与发现 我们学校的打水机除了打水房的一些之外，我们还有小卖部门口的两个打水机。这两个打水机一共有3个出水口（其中一个有2个，另一个只有1个）。 为了节约时间，我们许多用于饮用的打水都来源于这里。根据测量，我们发现，这三个出水口直径都为1.5cm ，并且根据公式，我们可以得到表格： （72.83+72.89）/2=72.86（L/s） 我们知道，同学们打水时间一般分为早午晚三次，这里我总结了几个较为多人的时段： 我们常用的容器为： 根据概率，我们可以求出： A （5人），B （5人），C （2人），D （3人） 则我们可以得知一共打水的时间为：5×13.72+5×10.98+2×3.84+3×6.86=151.76（s ） 151.76×3/3=151.76≈2.52（min ） 2.52 min＜10 min 通过对比我们可以发现，我们的打水机的设置是非常符合同学们的使用的，并且，只要在不用大容量的容器打水的情况下，我们的打水机也是非常节水的。 通过实验，我们可以证实以上结论是正确的。 参考文献 ： 流量、网上搜索。 范文四：数学建模常用30个MATLAB程序函数
范文五：数学建模论文——一次函数
