范文一：“四计”巧解数学的选择填空题

“四计”巧解数学的选择填空题

陈莉华 袁丹丹

摘?要：对于数学学科的选择、填空题来说，其分值占卷面的52%，其难度又属于容易题或中档题，所以抓住选择、填空题，就相当于掌握了整张卷子的“半壁江山”。本文以特殊位置法、反代特殊值法、特殊构造法和特殊图形法等总结了“四计”，用以巧解数学的选择、填空题。

关键词：数学；选择题；填空题；巧解浙江省高考数学中共有10道选择以检验，从而做出正确判断。对于有情题，7道填空题、5道大题，考试时间况讨论的题目，可以代入相应的特殊值，为120分钟。选择题、填空题属于容易结合排除法进行。

题或中档题，要尽可能在最短时间内高效解决，因此，很多时候，如何巧妙地一、“擒贼擒王”—特解决选择题和填空题成了高考能否取得殊位置法

好成绩的关键点。

擒贼擒王，三十六计之一。此计认著名的德国数学家希尔伯特曾说为攻打敌军主力，捉住敌人首领，就能过：“在讨论数学问题时，我相信特殊瓦解敌人的整体力量。在解决数学问题化比一般化起着更为重要的作用，把一上也是一样，可以抓住题目中的一些特般问题特殊化对解决有关数学题是一种殊的首要位置，利用这一特殊位置的优行之有效的方法。相对事物的一般性而越性来解决问题。

言，其特殊情形往往更加直观、具体、例1：（2014年文2

科样卷第9简单。因此，我们在解决某些复杂的数题）已知双曲线x 2-—=1，点y

2

A （-1，学问题时，往往只考察它的个别情形或0），在双曲线上任取两点P 、Q 满足极端情况。这种‘以退为进’的策略，AP ⊥AQ ，则直线PQ 恒过点（ ）

常常能帮助我。”

A.（3，0） B.（1，0） 这里的“特殊化”就是在解决某些C.（-3，0） D.（4，0）

数学问题时，选择适当的量，给以一些特殊值，再分别进行研究；或将一些值代入给定的表达式，以解决给定的问题的方法。“特殊化”是将复杂的问题简单化，一般问题特殊化，以探求解决问题的思路及处理的途径。数学中的“特殊化”就是利用特殊的因素，采用特殊方法去解决一些特殊问题的思想方法。解析：通过分析题目的条件，知道这种方法常常应用于选择题和填空题当A 点是实轴的左顶点，由于P 、Q 是双中，可以大大提高解题速度。

曲线上任取的两点，不妨取P 、Q 两点笔者利用“三十六计”中的“四计”关于x 轴对称P （x ，y ），Q （x ，-2

y ），来引导学生在解决选择题和填空题时，且满足AP ⊥AQ ，所以有x 2-—=12

y 且 不要“小题大做”而是“小题巧做”。y =x +1，所以x =3，y =4，结合答案，故若问题的选择对象是针对一般情况给出选A。

的，则可选择合适的特殊位置、特殊值、例2：如图，特殊函数或数列及特殊图形等对结论加

→O 、→

A 、B 是平面上三点，向量OA →=a →

，OB =b ，在平面AOB 上，

P 是线段→→

AB 的垂直平分线上任意一点，向量OP =p ，且｜→

a ｜=3，｜→

b ｜=2，则 →

p ·（→a -b →

）=_ 。

解析：因为P 是线段A B 的垂直平分线上任意一点，所以不妨把P 点取在A 的中点，所以→

p = —（1→a +→

b ），→p ·（→a -→ B

2

b ）=

—（1→2a +→b ）·（→a -→b ）=—（1→2→

222a -b ）=—，5

故答案是—。

2

点评：针对带有图形问题的选择、

5

填空题时，我们应善于从题目中的条件出发，逐步探寻，通过巧取特殊点的位置，如取中点或对称点等，将问题简单化，从而使问题迎刃而解。

二、“李代桃僵”—反

代特殊值法

李代桃僵，三十六计之一。原比喻兄弟互相爱护、互相帮助，后转用来比喻以此代彼或代人受过。此计用在军事上，指在敌我双方势均力敌，或者敌优我劣的情况下，用小的代价换取大的胜利的谋略。在数学的选择题中，如有求解满足条件的字母取值范围等问题时，我们可以跳出题目的条件，利用答案的特殊值来寻找解题的方法。

例3：已知函数f （x ）=x 2-3mx +2m 2，g （x ）=m （x -1），若对于任一实数x ，f （x ）与g （x ）的值至少有一个为非负数，则实数m 的取值范围是（　）

A.[1/2，1]　　 　B.[1，+∞） C.（-∞，1]

D.（- ∞，1/2] ∪[1，+ ∞）解析：题目要求的是m 的取值范围，由答案分析，不妨取m =0，此时符合题意，故排除答案A、B，再取m =2，此时f （x ）=x 2-6x +8=（x -3）2-2-1，g （x ）=2x -2，结合图像，也符合题意，故答案选D。

例4：已知函数f （x ）=x 2+bx ，（b ∈R），集合A ={x |f （x ）=0}，B ={x |f （f （x ））=0}，若存在x 0∈B ，x0不属于A ，则实数b 的取值范围是（ ）

A.{b |b ≠0}　　B.{b |0≤b f （x ）/x ，则（ ）

A. f （2）f （e 2） B. f （2）f （e）ln2，2f （e ）f （e ）ln2，2f （e ）＞f （e 2） 解析：由f ＇

（x ）lnx ＞f （x ）/x ，想到这是一个函数求导的结果，构造函数h （x ）=f （x ）/lnx ，h ＇

（x ）=[f ＇（x ）ln x -f （x ）/x ]/（lnx ）2

，由条件f ＇（x ）ln x ＞f （x ）/x 可以推导出y =h （x ）在定义域内为增函数。因为2M ，

那么下列命题正确的是 （ ）

A. 若 {a n }△

＞M ，则数列各项均大于或等于M

B. 若 {a n }△

＞M ， {b n }＞△

M ，则{a n

+bn }△

＞

2M

C. 若 {a n }＞△

M ，则{a 2n } ＞△

M 2

D. 若 {a n } △

M ，则 {2a n +1} >2△

M +1解析：此题可以通过构造特殊的数列（摆动数列）来解决问题。A 中，在数列1，2，1，2，1，2…中，M 可以为1.5，列{a n }各项均大于或等于M 不成立，故A 不正确；B中，数列{a n }为1，2，1，2，1，2…，{b n }为2，1，2，1，2…，M 可以为1.6，而{a n +b n }各项均为3，则{a n +b n }△＞2M 不成立，故B 不正确；C中在数列1，2，1，2，1，2…中，M 可以为-3，此时{a n 2}＞△

M 2不正确，C错误； D中，若{a n }＞△M ，则{2a n +1}中，2a n +1与2a n +1+1中至少有一个不小于2M +1，故{2a n +1}???△

2M +

1正确，故选D。

点评：有些问题经过仔细观察、分析，会发现其隐藏着一个特殊的结构特征，只要剖解和利用这个特殊的结构特征，构造一些特殊的例子，问题就迎刃而解。

四、“偷梁换柱”—特殊图像法

偷梁换柱，三十六计之一。比喻暗中玩弄手法，以假代真，以劣代优。数学上，我们可以偷换题目中的条件，利用特殊图形替换一般图形从而解决问题。

例7：（2014年样卷第6题）如图在→四边形A BC D 中，A B ⊥B C ，A D ⊥D C ，若｜AB ｜=a ，｜AD →｜=b ，则 AC →·BD →

=（ ）

A. a 2-b 2 B. b 2-a 2 C. a 2+b 2 D.ab

C C

B B

解析：题目中对于四边形ABCD 并

没有限制，为了方便解题，不妨令四边形ABCD 为矩形，这样AC →=AB →+AD →

→→→，BD =AD -AB ，所以AC →·BD →=AD →

2-AB →

2=b 2-a 2，故选B。

例8：已知正四面体P -ABC ，棱长为2，点P ，A ，B ，C 都在一个球面上，则该球的体积为______。

C C

解析：这是正四面体P -ABC 及其外接球的问题，不妨利用正方体和其外接球的特殊例子来解决。如图，因为正长为1，正方体外接球的半径为√—，球的体积为√—2π。故答案为√—

2π。2

点评：当给出的问题中牵涉到一般性图形或函数图象时，我们也可以借用特殊图形来求解，大大方便解题过程，会收到意想不到的效果。

总之，由特殊到一般是人类认识客观世界的基本规律，学习数学和研究数学也不例外。“特殊化”解题的理论依据与逻辑基础是：若对一般情形成立，则对其中的特殊情形也成立；若某种特殊情形成立，则一般情形不一定成立；若对某特殊情形不成立，则对一般情形也不成立。这是一个非常简单的原理。“特殊值法”就是适当选取包含于题目之中的某个特殊值（或特殊情形，如特殊点、特殊函数、特殊数列、特殊图形等），通过简单的运算、推理或验证，便能找到问题的正确答案或否定错误的结论，达到缩减思维过程、降低推算难度的目的。用“特殊化”解决一些可舍弃解题过程的问题，如选择题、填空题，可收到出奇制胜、事半功倍的效果；在一些一般性的问题中，通过特殊值“特殊化”，往往能获得解题的重要信息，发现解决原题的有效途径，在数学解题中具有很重要的作用。所以我们在解题时应从多个角度去思考，采取特殊化思想方法去探求解题思路，大胆猜测和推

理，认真筛选和检验，去寻求最优化的解题方案。同时“特殊化”策略不但是解决数学问题的重要手段，也是发现数学真理的重要工具。因此在数学教学中，有必要加强“特殊值法”的教学。参考文献：

[1]王钢大. 浅谈特殊法在解题中的应

用[J].数理化学习（高中版），2004（08）.

[2]许昊宁. 特殊的方法给特殊的题

型——谈解选择题的特殊法[J].数理化学习（高中版），2007（11）.[3]易兰桂.“特殊值法”在高中数学

解题中的应用[J].湖南第一师范学报，2003（02）.

（作者单位：浙江省杭州第十一中学）

范文二：高考数学填空题的解法技巧

题型概述

填空题是一种只要求写出结论，不要求解答过程的客观性试题，有小巧灵活、覆盖面广、跨度大等特点，突出考查准确、严谨、灵活运用知识的能力.

由于填空题不像选择题那样有备选提示，不像解答题那样有步骤得分，所填结果必须准确、规范，因此得分率较低. 解答填空题的第一要求是“准”，然后才是“快”、“巧”，要合理灵活地运用恰当的方法，不可“小题大做”. 方法一 直接法

直接法就是直接从题设出发，利用有关性质或结论，通过巧妙地变形，直接得到结果的方法. 要善于透过现象抓本质，有意识地采取灵活、简捷的方法解决问题. 直接法是求解填空题的基本方法.

?log 2(1－x )＋1， x <>

例1 (1)已知函数f (x ) ＝?－2若f (a ) ＝3，则a ＝________.

?x ，x ≥1，?

sin2A

(2)(2015·北京) 在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则________.

sin C 解析 (1)∵a ≥1时，f (a ) ≤1，不适合. ∴f (a ) ＝log 2(1－a ) ＋1＝3，∴a ＝－3. (2)由余弦定理：

b 2＋c 2－a 225＋36－1637cos A ＝＝，∴sin A ＝

2bc 442×5×6a 2＋b 2－c 216＋25－3617

cos C ＝，∴sin C ＝，

2ab 882×4×5372×44sin2A

∴＝＝1. sin C 7

8答案 (1)－3 (2)1

思维升华 利用直接法求解填空题要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化，从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键.

x 2y 2

跟踪演练1 (1)已知F 为双曲线C －1的左焦点，P ，Q 为C 上的点. 若PQ 的长等于

916虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________.

(2)(2015·安徽) 已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于________. 答案 (1)44 (2)2n －1

解析 (1)由题意，得PQ ＝16，线段PQ 过双曲线的右焦点，则P ，Q 都在双曲线的右支上. 由双曲线的定义，可知PF －P A ＝2a ，QF －QA ＝2a ，两式相加，得， PF ＋QF －(P A ＋QA ) ＝4a ，

则PF ＋QF ＝4a ＋PQ ＝4×3＋16＝28， 故△PQF 的周长为PF ＋QF ＋PQ ＝28＋16＝44.

??a 1a 4＝8，(2)由等比数列性质知a 2a 3＝a 1a 4，又a 2a 3＝8，a 1＋a 4＝9，∴联立方程?解得

??a 1＋a 4＝9，???a 1＝1，?a 1＝8，

?或? ?a 4＝8???a 4＝1，

又数列{a n }为递增数列，∴a 1＝1，a 4＝8， 从而a 1q 3＝8，∴q ＝2.

1－2n n ∴数列{a n }的前n 项和为S n ＝＝2－1.

1－2方法二 特例法

当填空题的已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值(特殊函数，特殊角，特殊数列，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等) 进行处理，从而得出待求的结论. 这样可大大地简化推理、论证的过程.

例2 (1)cos2α＋cos 2(α＋120°) ＋cos 2(α＋240°) 的值为________.

(2)如图，在三棱锥O —ABC 中，三条棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA >OB >OC ，分别经过三条棱OA ，OB ，OC 作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S 1，S 2，S 3，则S 1，S 2，S 3的大小关系为________.

解析 (1)令α＝0°，

3则原式＝cos 20°＋cos 2120°＋cos 2240°＝.

2

(2)要满足各个截面使分得的两个三棱锥体积相等，则需满足与截面对应的交点E ，F ，G

分

别为中点即可. 故可以将三条棱长分别取为OA ＝6，OB ＝4，OC ＝2，如图，则可计算S 1＝35， S 2＝10，S 313，故S 3

3

答案 (1) (2)S 3

2

思维升华 求值或比较大小等问题的求解均可利用特殊值代入法，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，则不能使用该种方法求解.

b a

跟踪演练2 (1)在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，＋6cos C ，

a b 则

tan C tan C

＝________. tan A tan B

(2)已知定义在R 上的奇函数f (x ) 满足f (x －4) ＝－f (x ) ，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f (x ) ＝m (m >0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________. 答案 (1)4 (2)－8

1

解析 (1)用特例法. 令锐角三角形ABC 为等腰三角形，此时cos C ＝. 不妨设a ＝b ＝3(如图) ，

3作AD ⊥BC 垂足为D ，所以CD ＝1，AD ＝22，所以tan C ＝22，tan A ＝tan B ＝，

tan C tan C 所以＝4.

tan A tan B

π

(2)根据函数特点取f (x ) ＝x ，

4

再由图象可得(x 1＋x 2) ＋(x 3＋x 4) ＝(－6×2) ＋(2×2) ＝－8.

方法三 数形结合法

对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目中的条件，作出符合题意的图形，并通过对图形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果. 这类问题的几何意义一般较为明显，如一次

函数的斜率和截距、向量的夹角、解析几何中两点间距离等，求解的关键是明确几何含义，

范文三：高考数学填空题的常用解法

第2讲 高考填空题的常用方法

数学填空题是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题，是高考数学中的三种常考题型之一，填空题的类型一般可分为：完形填空题、多选填空题、条件与结论开放的填空题. 这说明了填空题是数学高考命题改革的试验田，创新型的填空题将会不断出现. 因此，我们在备考时，既要关注这一新动向，又要做好应试的技能准备. 解题时，要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每一步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整. 合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求.

数学填空题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型) 和概念(性质) 判断型的试题，应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断。求解填空题的基本策略是要在“准”、“巧”、“快”上下功夫。常用的方法有直接法、特殊化法、数行结合法、等价转化法等。

一、直接法

这是解填空题的基本方法，它是直接从题设条件出发、利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果。

例1设a =(m +1) i -3i , b =i +(m -1) j , 其中i ，j 为互相垂直的单位向量，又

(a +b ) ⊥(a -b ) ，则实数m = 。

解：a +b =(m +2) i +(m -4) j , a -b =mi -(m +2) j . ∵(a +b ) ⊥(a -b ) ，∴

(a +b ) ?(a -b ) =0∴m (m +2) j 2+[-(m +2) 2+m (m -4)]i ?j -(m +2)(m -4) j 2=0，而i ，j

为互相垂直的单位向量，故可得m (m +2) -(m +2)(m -4) =0, ∴m =-2。

例2已知函数f (x ) =是 。

ax +11-2a 1-2a

=a +，由复合函数的增减性可知，g (x ) =在(-2, +∞) 上x +2x +2x +2

1

为增函数，∴1-2a <0，∴a>。

2

ax +1

在区间(-2, +∞) 上为增函数，则实数a 的取值范围x +2

解：f (x ) =

例3现时盛行的足球彩票，其规则如下：全部13场足球比赛，每场比赛有3种结果：胜、平、负，13长比赛全部猜中的为特等奖，仅猜中12场为一等奖，其它不设奖，则

某人获得特等奖的概率为 。

1

解：由题设，此人猜中某一场的概率为，且猜中每场比赛结果的事件为相互独立

31

事件，故某人全部猜中即获得特等奖的概率为13。

3

二、特殊化法

当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的不定量用特殊值代替，即可以得到正确结果。

例4 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 。若a 、b 、c 成等差数列，cos A +cos C

=。 则

1+cos A cos C

3

解：特殊化：令a =3, b =4, c =5，则△ABC 为直角三角形，cos A =, cos C =0，从

5

3

而所求值为。

5

例5 过抛物线y =ax 2(a >0) 的焦点F 作一直线交抛物线交于P 、Q 两点，若线段PF 、FQ 的长分别为p 、q ，则

11

+= p q

分析：此抛物线开口向上，过焦点且斜率为k 的直线与抛物线均有两个交点P 、Q ，当k 变化时PF 、FQ 的长均变化，但从题设可以得到这样的信息：尽管PF 、FQ 不定，但其倒数和应为定值，所以可以针对直线的某一特定位置进行求解，而不失一般性。

解：设k = 0，因抛物线焦点坐标为(0,

x ±

11), 把直线方程y =代入抛物线方程得4a 4a

1111

，∴|PF |=|FQ |=，从而+=4a 。 2a 2a p q

例6 求值cos 2a +cos 2(a +120 ) +cos 2(a +240 ) =

分析：题目中“求值”二字提供了这样信息：答案为一定值，于是不妨令a =0 ，得结果为

3

。 2

三、数形结合法

对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以简捷地解决问题，得出正确的结果。

例7 如果不等式4x -x 2>(a -1) x 的解集为A ，且A ?{x |0<2}，那么实数a 的取值范围是="">

解：根据不等式解集的几何意义，作函数y =4x -x 2和 函数y =(a -1) x 的图象（如图），从图上容易得出实数a 的取 值范围是a ∈[2, +∞)。

例8 求值sin(解：sin(

π

3

+arctan

1

) =。 2

π

3

+arctan

1111) =) +) ， 22222

构造如图所示的直角三角形，则其中的角θ即为arctan

1

，从而 2

1211+2) =, ) =. 所以可得结果为。

2210例9 已知实数x 、y 满足(x -3) 2+y 2=3，则解：

y

的最大值是 。 x -1

y

可看作是过点P （x ，y ）与M （1，0）的直线的斜率，其中点P 的圆x -1

y

最大，最大值为(x -3) 2+y 2=3上，如图，当直线处于图中切线位置时，斜率

x -1

t an θ=。

四、等价转化法

通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”，将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果。

3

的解集为（4，b ），则 2

3

解：设x =t ，则原不等式可转化为：at 2-t +<0, ∴a=""> 0，且2与b (b >4) 是方

2

31

程at 2-t +=0的两根，由此可得：a =, b =36。

28

例10 不等式x >ax +

例11 不论k 为何实数，直线y =kx +1与曲线x 2+y 2-2ax +a 2-2a -4=0恒有交点，则实数a 的取值范围是 。

解：题设条件等价于点（0，1）在圆内或圆上，或等价于点（0，1）到

圆

(x -a ) 2+y 2=2a +4，∴-1≤a ≤3。

例12 函数y =4x -1+23-x 单调递减区间为 。

1

解：易知x ∈[, 3],y >0. ∵y 与y 2有相同的单调区间，而y 2=11+4-4x 2+13x -3，

413

∴可得结果为[, 3]。

8

总之，能够多角度思考问题，灵活选择方法，是快速准确地解数学填空题的关键。

五、练习 1 已知函数f (x )=讲解 由3=

. x +1，则f -1(3)=_______

f -1(3)=x =4，应填4.

x +1，得

-1

请思考为什么不必求f

(x )呢？

??

. ?的真子集的个数是______

??

?1?

2． 集合M =?x -1≤log 110<-, x="">

2?x ?

讲解 M =x ≤lgx <2, x="" ∈n="x" ≤x=""><100, x="" ∈n="" ，显然集合m="">

90

{}{}

-1，应填290-1.

2

快速解答此题需要记住小结论; 对于含有n 个元素的有限集合, 其真子集的个数是2-1.

2

3． 若函数y =x +(a -2)x +3, x ∈[a , b ]的图象关于直线x =1对称，则b =_____.

讲解 由已知抛物线的对称轴为x =-

a +b a +2

=1，有b =6，故应填6. , 得 a =-4，而22

x 2

4． 果函数f (x )=，那么

1+x 2

f (1)+f (2)+f ?+f (3)+f ?+f (4)+f ?=_____.

?1??2??1??3??1??4?

讲解 容易发现f (t )+f ?=1，这就是我们找出的有用的规律，于是 原式＝f (1)+3=

?1??t ?

77，应填. 22

本题是2002年全国高考题，十分有趣的是，2003年上海春考题中也有一道类似题：

设f (x )=

12+2

x

，利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得

f (-5)+f (-4)+???+f (0)+???+f (5)+f (6)=______.

5． 已知点P (tan α, cos α)在第三象限，则角α的终边在第____象限. 讲解 由已知得 ?

?tan α<0, ?sin="" α="">0,

??

?cos α<0, ?cos=""><>

2cos x

从而角α的终边在第二象限，故应填二.

6． 不等式(lg 20)

≥1（x ∈(0, π)）的解集为__________.

讲解 注意到lg 20>1，于是原不等式可变形为 2cos x ≥0?cos x ≥0. 而0<>

π

2

，故应填?x 0

??

π

?

，x ∈R ?. 2?

7． 如果函数y =sin 2x +a cos 2x 的图象关于直线x =-讲解 y =+a 2sin (2+?)，其中tan ?=a .

π

8

对称，那么a =_____.

x =-

π

8

是已知函数的对称轴，

π?π?

∴2 -?+?=k π+，

2?8?

即 ?=k π+

3π

，k ∈Z ， 4

于是 a =tan ?=tan k π+

??

3π?

?=-1. 故应填 -1. 4?

在解题的过程中，我们用到如下小结论：

函数y =A sin (ωx +?)和y =A cos (ωx +?)的图象关于过最值点且垂直于x 轴的直线分别成轴

对称图形.

8． 设复数z 1=2sin θ+cos θ

π??π

<>

2??4

旋转

3π

后得到向量OZ 2，OZ 2对应的复数为z 2=r (cos ?+i sin ?)，则tan ?=____. 4

讲解 应用复数乘法的几何意义，得 z 2=z 1 cos

??

3π3π?-i sin ? 44?

=-于是 tan ?=

2

[(2sin θ-cos θ)+(2sin θ+cos θ)i ]， 2

2sin θ-cos θ2tan θ+1

=，

2sin θ+cos θ2tan θ-12tan θ+1

. 故应填

2tan θ-1

?x

9．设非零复数x , y 满足 x 2+xy +y 2=0，则代数式 x +

?

____________.

讲解 将已知方程变形为 y ??+ y ??+1=1，

????

2

??y ??

2005

?y ?

+ x +y ????

2005

的值是

?x ??x ?

解这个一元二次方程，得

x 1=-±i =ω. y 22

2

显然有ω=1, 1+ω=-ω, 而2005=3?668+1, 于是

3

ω20051

原式＝ +20052005

1+ω1+ω ＝

ω

-ω22005

+

1

-ω22005

＝

1+ω

=1. -ω2

在上述解法中，“两边同除”的手法达到了集中变量的目的，这是减少变元的一个上策，值得重视.

10． 已知{a n }是公差不为零的等差数列，如果S n 是{a n }的前n 项和，那么

lim

n →∞

na n

=_____. S n

讲解 特别取a n =n ，有S n =

n (n +1)，于是有 2

lim

n →∞

na n 2n 2

==lim

S n lim n n +1n →∞n →∞

21

1+n

=2. 故应填2.

?1

(n 是奇数)?5n ，

11．列{a n }中，a n =? S 2n =a 1+a 2+???+a 2n , 则

2

?-n ，（n 是偶数）?5

lim S

n →∞

2n

=________.

讲解 分类求和，得

S 2n =(a 1+a 3+???+a 2n -1)+(a 2+a 4+???+a 2n )，

∴lim S 2n

n →∞

2

211=+=，故应填．

11881-21-2

55

1-

12．以下四个命题：

n

2n +1①2〉

(n ≥3)；

(n ≥1)； (n ≥3)；

2

②2+4+6+???+2n =n +n +2

③凸n 边形内角和为f (n )=(n -1)π④凸n 边形对角线的条数是f (n )=

n (n -2)2

(n ≥4).

其中满足“假设n =k (k ∈N , k ≥k 0)时命题成立，则当n=k+1时命题也成立’’.但不满足“当n =n 0（n 0是题中给定的n 的初始值）时命题成立”的命题序号是讲解 ①当n=3时，2>2?3+1，不等式成立；

② 当n=1时，2≠1+1+2，但假设n=k时等式成立，则

2+4+6+???+2(k +1)=k 2+k +2+2(k +1)=(k +1)+(k +1)+2；

2

2

3

③ f (3)≠(3-1)π，但假设f (k )=(k -1)π成立，则

π； f (k +1)=f (k )+π=[(k +1)-1]

4(4-2)k (k -2)，假设f (k )=成立，则 22

(k +1)[(k +1)-2].

f (k +1)=f (k )+(k -3)≠

2

④ f (4)≠

故应填②③.

13．某商场开展促销活动，设计一种对奖券，号码从000000到999999. 若号码的奇位数字是不同的奇数，偶位数字均为偶数时，为中奖号码，则中奖面（即中奖号码占全部号码的百分比）为 .

讲解 中奖号码的排列方法是： 奇位数字上排不同的奇数有P 53种方法，偶位数字上排偶数

3

的方法有5，从而中奖号码共有P 53?53种，于是中奖面为

P 53?53

?100%=0. 75%,

1000000

故应填0. 75%.

14． x 2+1(x -2)的展开式中x 的系数是__________.

7

3

()

讲解 由(x

2

+1(x -2)=x 2(x -2)+(x -2)知，所求系数应为(x -2)的x 项的系数与x 3

7

7

7

7

)

项的系数的和，即有

64

()(-2)=1008C -2+C ，77

6

4

故应填1008.

15． 过长方体一个顶点的三条棱长为3、4、5, 且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的表面积是________.

讲解 长方体的对角线就是外接球的直径2R , 即有

(2R )=4R 2=32+42+52=50,

2

从而 S 球=4πR =50π，故应填50π.

16． 若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积是 （只需写出一个可能的值）．

讲解 本题是一道很好的开放题，解题的开窍点是：每个面的三条棱是怎样构造的，依据“三角形中两边之和大于第三边”，就可否定｛1，1，2｝，从而得出｛1，1，1｝，｛1，2，2｝，｛2，2，2｝三种形态，再由这三类面构造满足题设条件的四面体，最后计算出这三个四面体的体积分别为：

2

, ,，故应填. 、 、 中的一个即可. 6121261212

17． 如右图，E 、F 分别是正方体的面ADD 1A 1、面BCC 1B 1的中心，则四边形BFD 1E 在该正方体的面上的射影可能是 . （要求：把可能的图的序号都填上）

B

讲解 因为正方体是对称的几何体，所以四边形

BFD 1E 在该正方体的面上的射影可分为：上下、左右、前后三个方向的射影，也就是在面ABCD 、面ABB 1A 1、面ADD 1A 1上的射影.

2所示； 四边形BFD 1E 在面ABCD 和面ABB 1A 1上的射影相同，如图○

3所四边形BFD 1E 在该正方体对角面的ABC 1D 1内，它在面ADD 1A 1上的射影显然是一条线段，如图○

2○3. 示. 故应填○

1 ○

2 ○

3 ○

4 ○

D A 1 1 C

18 直线y =x -1被抛物线y 2=4x 截得线段的中点坐标是___________. 讲解 由?

?y =x -1,

消去y ，化简得 2

?y =4x

x 2-6x +1=0,

设此方程二根为x 1，x 2，所截线段的中点坐标为(x 0，y 0)，则

x 1+x 2

=3，

2

y 0=x 0-1=2.

x 0=

故 应填 (3, 2).

x 2y 2

+=1上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ，则当m 取最大值时，点P 的坐标 19 椭圆

925

是_____________________.

讲解 记椭圆的二焦点为F 1，F 2，有

PF , 1+PF 2=2a =10

?PF 1+PF 2?

?=25. 则知 m =PF 1?PF 2≤ ?2??

2

显然当PF 1=PF 2=5，即点P 位于椭圆的短轴的顶点处时，m 取得最大值25.

故应填(-3, 0)或(3, 0).

x 2

(0≤y ≤20)，在杯内放 20 一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的函数解析式是y =2

一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r 的取值范围是___________.

讲解 依抛物线的对称性可知，大圆的圆心在y 轴上，并且圆与抛物线切于抛物线的顶点，从而可设大圆的方程为 x 2+(y -r )=r 2.

2

?x 2+(y -r )2=r 2，?

由 ? x 2

y =，?2?

消去x ，得 y 2+2(1-r )y =0 （*） 解出 y =0或y =2(1-r ).

要使（*）式有且只有一个实数根y =0，只要且只需要2(r -1)≤0, 即r ≤1. 再结合半径r >0，故应填0

范文四：数学填空题的解题方法[1]

数学填空题的解题方法

数学填空题是一种只要求写出结果 , 不要求写出解答过程的试题 , 在高考中题量一直 为 4题 , 和选择题同属客观性试题 , 它们有许多共同特点:其形态短小精悍、跨度大、知识 覆盖面广、考查目标集中 , 形式灵活 , 答案简短、明确、具体 , 评分客观、公正、准确等。

根据填空时所填写的内容形式 , 可以将填空题分成两种类型:

一是定量型 , 要求考生填写数值、数集或数量关系 , 如:方程的解、不等式的解集、函 数的定义域、值域、最大值或最小值、线段长度、角度大小等等。由于填空题和选择题相 比 , 缺少选择支的信息 , 所以高考题中多数是以定量型问题出现。

二是定性型 , 要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定的数学对象的某种性质 , 如:给定二次曲线的准线方程、焦点坐标、离心率等等。近几年出现了定性型的具有 多重 选择性的填空题 。

三是条件与结论开放型 , 这说明了填空题是数学高考命题改革的试验田 , 创新型的填 空题将会不断出现 . 因此 , 我们在备考时 , 既要关注这一新动向 , 又要做好应试的技能准备 . 解题时 , 要有合理的分析和判断 , 要求推理、运算的每一步骤都正确无误 , 还要求将答案表 达得准确、完整 . 在解填空题时要做到:快——运算要快 , 力戒小题大作;稳——变形要 稳 , 不可操之过急;全——答案要全 , 力避残缺不齐;活——解题要活 , 不要生搬硬套;细 ——审题要细 , 不能粗心大意。 合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填 空题的基本要求 . 求解填空题的基本策略是要在“准” 、 “巧” 、 “快”上下功夫。 (一)填空题的常见解法

1、直接法 :直接从题设条件出发 , 利用定义、性质、定理、公式等 , 经过变形、推理、计 算、判断得到结论的 , 称为直接法。它是解填空题的最基本、最常用的方法。使用直接法 解填空题 , 要善于通过现象看本质 , 自觉地、有意识地采取灵活、简捷的解法。

1. 设 (1) 3, (1) , a m i j b i m j =+-=+-

其 中 i , j 为 互 相 垂 直 的 单 位 向 量 , 又 ) () (b a b a -⊥+, 则实数 m = 。

解:(2) (4) , a b m i m j +=++- (2) . a b mi m j -=-+

∵ () () a b a b +⊥- , ∴ () () 0a b a b +?-=

22

(2) [(2) (4)]m m j m m m i j ++-++-? 2

(2)(4) 0m m j -+-= , 而 i , j 为互相垂直的 单位向量 , 故可得 (2) (2)(4) 0, m m m m +-+-=∴ 2-=m 。

2. 已知函数 1

() 2ax f x x +=+在区间 ) , 2(+∞-上为增函数 , 则实数 a 的取值范围是 。

解:22121) (+-+=++=x a a x ax x f , 由复合函数的增减性可知 , 2

21) (+-=x a

x g 在 ) , 2(+∞-上 为增函数 , ∴ 021<-a ,="" ∴="">

1

>a 。

2、特殊化法:当填空题已知条件中含有某些不确定的量 , 但填空题的结论唯一或题设条件 中提供的信息暗示答案是一个定值时 , 可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当 特殊值(或特殊函数 , 或特殊角 , 特殊数列 , 图形特殊位置 , 特殊点 , 特殊方程 , 特殊模型等) 进行处理 , 从而得出探求的结论。这样可大大地简化推理、论证的过程。

3. 在 ABC ?中 , 角 , , A B C 所 对 的 边 分 别 为 , , a b c , 如 果 , , a b c 成 等 差 数 列 , 则

=++C

A C

A cos cos 1cos cos

解法一 :取特殊值 3, 4, 5a b c ===, 则 4cos ,cos 05A C =

=, =++C A C

A cos cos 1cos cos 45

。 解法二 :取特殊角 60A B C ===

, 则 1cos cos 2A C ==,

=++C A C A cos cos 1cos cos 45

。 4. 如 果 函 数 2() f x x bx c =++对 任 意 实 数 t 都 有 (2) (2f t f t +=-, 那 么

(1) , (2) , f f f 的大小关系是 解:由于 (2) (2) f t f t +=-, 故知 () f x 的对称轴是 2x =。 可取特殊函数 2() (2) f x x =-,

即可求得 (1)1, (2)0, (4)4f f f ===。∴ (2)(1)(4)f f f <>

5. 已知 , m n 是直线 , , , αβγ是平面 , 给出下列命题:①若 , αγβγ⊥⊥, 则 α∥ β; ②若 , n n αβ⊥⊥, 则 α∥ β;③若 α内不共线的三点到 β的 距离都相等 , 则 α∥ β;④若 , n m αα??≠≠, 且 n ∥ β, m ∥ β, 则 α∥ β; ⑤若 , m n 为异面直线 , n ?≠

α, n ∥ β, m ?≠β, m

∥ α, 则 α∥ β。则其中正确的命题是 。 (把你 认为正确的命题序号都填上)

解:依题意可取特殊模型正方体 AC 1(如图) , 在正方体 AC 1中 逐一判断各命题 , 易得正确的命题是②⑤。

当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时 , 可以把题中变 化的不定量用特殊值代替 , 即可以得到正确结果。

6. 求值 222cos cos (120) cos (240) a a a ++++=

。

分析:“求值”二字提供了这样信息:答案为一定值 , 于是不妨令

0=a , 得结果为

2

3

。 7. 已知 , , SA SB SC 两两所成角均为 60°, 则平面 SAB 与平面 SAC 所成的二面角为 。

解:取 SA SB SC ==, 则在正四面体 S ABC -中 , 易得平面 SAB 与平面 SAC 所成的二面 角为 1arccos

3

。 3. 数形结合法

对于一些含有几何背景的填空题 , 若能根据题目条件的特点 , 作出符合题意的图形 , 做 到数中思形 , 以形助数 , 并通过对图形的直观分析、判断 , 则往往可以简捷地得出正确的结 果。

8. 如果不等式 x a x x ) 1(42->-的解集为 A , 且

}20|{

函数 x a y ) 1(-=的图象(如图) , 从图上容易得出实数 a 的取值 范围是 [)+∞∈, 2a 。

9. 已知向量 a =) sin , (cosθθ, 向量 b =) 1, 3(-, 则 |2a -b

|的最大值是

数学填空题的解题方法

解:因 |2|||2a b ==, 故向量 2a 和 b 所对应的点 A 、 B 都在以原点为圆心 , 2为半径的圆

上 , 从而 |2a -b |的几何意义即表示弦 AB 的长 , 故 |2a -b

|的最大值为 4。

10. 已知实数 x 、 y 满足 3) 3(22=+-y x , 则 1

-x y

的最大值是 。

解:1

-x y 可看作是过 (), P x y 与 ()1,0M 的直线的斜率 , 其中点 P 的圆 3

) 3(22=+-y x 上 , 如图 , 当直线处于图中切线位置时 , 斜率 1

-x y

最大 , 最大值为 tan =θ。

11. 设 函 数 32

11() 232

f x x ax bx c =+++. 若 当 ()0,1x ∈时 , () f x 取 得 极 大 值 ;

()1,2x ∈时 , () f x 取得极小值 , 则 2

1

b a -- 的取值范 围是 .

解:2

()=++2f x x ax b ', 令 ()=0f x ', 由条件知 , 上述方 程应满足:一根在 ()0,1之间 , 另一根在 ()1,2之间 , ∴

(1)0(0)0(2)0f f f '??'>? ,得 2100

20a b b a b ++<>

>??++>?

,在 aOb 坐标系中 , 作出上述区域如图所示 , 而

2

1

b a -- 的几何意义是过两 点 (), P a b 与 ()1,2A 的直线斜率 , 而 (), P a b 在区域内 , 由图易知 1,14PA k ??∈

???

. 4. 等价转化法

通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉” , 将问题等价地转化成便于解决的问题 , 从而得 出正确的结果。

12. 不等式 2

3

+

>ax x 的解集为 ()4, b , 则 a =b =。 解:设 t x =, 则原不等式可转化为:, 02

32

<+-t at="" ∴="" 0a="">, 且 2与 ) 4(>b 是方程

0232=+-t at 的两根 , 由此可得:36, 8

1

==b a 。

13. 不论 k 为何实数 , 直线 1+=kx y 与曲线 04222

22=--+-+a a ax y x 恒有交点 , 则 实数 a 的取值范围是 。

解:题设条件等价于点 ()0,1在圆内或圆上 , 或等价于点 ()0,1到圆 42) (2

2+=+-a y a x , ∴ 31≤≤-a 。

14. 函数 x x y -+-=3214单调递减区间为 。

A B

1B 11

D 1

解:易知 . 0],3, 4

1

[>∈y x ∵ y 与 2y 有相同的单调区间 , 而

313441122-+-+=x x y , ∴可得结果为 ]3, 8

13

[。

总之 , 能够多角度思考问题 , 灵活选择方法 , 是快速准确 地解数学填空题的关键。

5、构造法:根据题设条件与结论的特殊性 , 构造出一些新的 数学形式 , 并借助于它认识和解决问题的一种方法。

15. 椭圆 22

194

x y +=的焦点 12, F F , 点 P 是椭圆上动点 , 当 12F PF ∠为钝角时 , 点 P 的横坐标的取值范围是 解:构造圆 2

2

5x y +=, 与椭圆 22

194

x y +=联立求得交点 2009

5x x =?

∈? ??

6、分析法:根据题设条件的特征进行观察、分析 , 从而得出正确的结论。 16. 如 右 上 图 , 在 直 四 棱 柱 1111ABCD A BC D -中 , 当 底 面 四 边 形 满 足 条 件 .时 , 有 111AC B D ⊥(填上你认为正确的一个条件即可 , 不必考虑所有 可能性的情形) 。 解:因四棱柱 1111ABCD A BC D -为直四棱柱 , 故 11AC 为 1AC 在面 1111A B C D 上的射影 , 从而 要 使 111A C B D ⊥, 只 要 11B D 与 11AC 垂 直 , 故 底 面 四 边 形 1111

A B C D 只 要 满 足 条 件 11B D ⊥11AC 即可。

(二)减少填空题失分的检验方法 1、回顾检验

1. 满足条件 1

cos 2απαπ=-

-≤<且 的角="" α的集合为="" 。="">

, cos , 3232

ππ=-=- . 3432ππα或 =∴ 检验:根据题意 , 答案中的 34π不满足条件 παπ<≤-, 应改为="">

-;其次 , 角 α的取值

要用集合表示。故正确答案为 3

2, 32{ππ- 2、赋值检验 。若答案是无限的、一般性结论时 , 可赋予一个或几个特殊值进行检验 , 以避

免知识性错误。

2. 已知数列 }{n a 的前 n 项和为 2

321n S n n =++, 则通项公式 n a 。 错解:2

1321n n n a S S n n -=-=++

, 16]1) 1(2) 1(3[2-=+-+-?-n n n . 16-=∴n a n 检验:取 1n =时 , 由条件得 611==S a , 但由结论得 15a =。

故正确答案为 ?

??≥-==). 2(16),

1(6n n n a n

3、逆代检验 。若答案是有限的、具体的数据时 , 可逐一代入进行检验 , 以避免因扩大自变

量的允许值范围而产生增解致错。 3. 方程 i z z 31||3-=+的解是 。

错解:设 ) , (R b a bi a z ∈+=, 则 i bi b a a 313) 3(22-=+++, 根据复数相等的定义得

?????-==++. 33, 1322b b a a 解得 ??

?

?

?-==???-==. 1, 431, 0b a b a 或 。故 . 43i z i z -=-=或 检验:若 i z -=, 则原方程成立;若 i z -=

4

3

, 则原方程不成立。 故原方程有且只有一解 z i =-.

4、估算检验 。当解题过程是否等价变形难以把握时 , 可用估算的方法进行检验 , 以避免忽 视充要条件而产生逻辑性错误。

4. 不等式 x x lg 1lg ->+的解是 。

错解:两边平行得 21lg (1lg ) x x +>-, 即 lg (lg3) 0, 0lg 3x x x -<, 解得="">

110x <。 检验:先求定义域得="" 1lg="" 1,="" 1lg="" 1.="">

1

<->+>≥

x x x x 则 若 , 原不等式成立;若 x x x lg 1lg , 110

1

-≤+≤≤时 , 原不等式不成立 , 故正确答案为 1x >。 5、作图检验 。当问题具有几何背景时 , 可通过作图进行检验 , 以避免一些脱离事实而主观 臆断致错。

5. 函数 ||1|log |2-=x y 的递增区间是 错解:). , 1(∞+ 检验:由 ??

?<->-=),

1(|) 1(log |),

1(|) 1(log |22x x x x y

作图可知正确答案为 ). , 2[) 1, 0[∞+和

6、变法检验 。一种方法解答之后 , 再用其它方法解之 , 看它们的结果是否一致 , 从而可避免 方法单一造成的策略性错误 ..... 。 6. 若

) , (19

1+∈=+R y x y

x , 则 y x +的最小值是 。 错解:, 6, 692911≥=≥+=

xy xy

xy y x . 122=≥+∴xy y x 检验:上述错解在于两次使用重要不等式 , 等号不可能同时取到。 换一种解法为:) 91

)((y x y x y x +

+=+ , 169210910=?+≥++=y

x x y y x x y . 16的最小值为 y x +∴

7、极端检验 。当难以确定端点处是否成立时 , 可直接取其端点进行检验

, 以避免考虑不周

全的错误。

7. 已知关于 x 的不等式 01) 2() 4(22≥-++-x a x a 的解集是空集 , 求实数 a 的取值范 围 。

错解:由 0) 4(4) 2(22<-++=?a a="" ,="" 解得="" .="">

62

<-a 检验:若="" 2a="-," 则原不等式为="" 01≥-,="" 解集是空集="" ,="" 满足题意;若="">

6

=

a , 则原不等式为 02580642≤+-x x , 即 0) 58(2≤-x , 解得 8

5

=x , 不满足题意。

正确答案为 . 5

6

2<>

切记:解填空题应方法恰当 , 争取一步到位 , 答题形式标准 , 避免丢三落四 , “一知半解” 。

范文五：高考数学填空题的常用方法

数学填空题是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题，是高考数

学中的三种常考题型之一，填空题的类型一般可分为：完形填空题、多选填空题、条件

与结论开放的填空题. 这说明了填空题是数学高考命题改革的试验田，创新型的填空题

将会不断出现. 因此，我们在备考时，既要关注这一新动向，又要做好应试的技能准备.解题时，要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每一步骤都正确无误，还要求将答

案表达得准确、完整. 合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的

基本要求.

数学填空题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断。求解填空题的基本策略

是要在“准”、“巧”、“快”上下功夫。常用的方法有直接法、特殊化法、数行结合法、

等价转化法等。

这是解填空题的基本方法，它是直接从题设条件出发、利用定义、定理、性质、公

式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果。

1设其中i，j为互相垂直的单位向量，又a,(m，1)i,3i,b,i，(m,1)j,

(a，b),(a,b)，则实数m = 。

a，b,(m，2)i，(m,4)j,a,b,mi,(m，2)j.?(a，b),(a,b)，?

222(a，b),(a,b),0?，而i，jm(m，2)j，[,(m，2)，m(m,4)]i,j,(m，2)(m,4)j,0

为互相垂直的单位向量，故可得m,,2m(m，2),(m，2)(m,4),0,?。

ax，12已知函数(,2,，,)在区间上为增函数，则实数a的取值范围f(x),x，2

是 。

ax，11,2a1,2af(x),,a，(,2,，,)，由复合函数的增减性可知，在上g(x),x，2x，2x，2

1为增函数，?1,2a,0，?。 a,2

3现时盛行的足球彩票，其规则如下：全部13场足球比赛，每场比赛有3种结果：胜、平、负，13长比赛全部猜中的为特等奖，仅猜中12场为一等奖，其它不设奖，则

1

某人获得特等奖的概率为 。

1由题设，此人猜中某一场的概率为，且猜中每场比赛结果的事件为相互独立3

1事件，故某人全部猜中即获得特等奖的概率为。 133

当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中

变化的不定量用特殊值代替，即可以得到正确结果。

4 在?ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c。若a、b、c成等差数列，

cosA，cosC则, 。 1，cosAcosC

3特殊化：令cosA,,cosC,0，则?ABC为直角三角形，，从a,3,b,4,c,55

3而所求值为。 5

25 过抛物线的焦点F作一直线交抛物线交于P、Q两点，若线段PF、y,ax(a,0)

11FQ的长分别为p、q，则，, 。 pq

分析：此抛物线开口向上，过焦点且斜率为k的直线与抛物线均有两个交点P、Q，当k变化时PF、FQ的长均变化，但从题设可以得到这样的信息：尽管PF、FQ不定，但其倒数和应为定值，所以可以针对直线的某一特定位置进行求解，而不失一般性。

设k = 0，因抛物线焦点坐标为11y,(0,),把直线方程代入抛物线方程得4a4a

1111，,4a，?，从而。 x,|PF|,|FQ|,2a2apq

22,2,6 求值 。 cosa，cos(a，120)，cos(a，240),

,分析：题目中“求值”二字提供了这样信息：答案为一定值，于是不妨令a,0，得

3结果为。 2

对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以简捷地解

决问题，得出正确的结果。

2

27 如果不等式的解集为A，且，那么实数aA,{x|0,x,2}4x,x,(a,1)x

的取值范围是 。

2根据不等式解集的几何意义，作函数和 y,4x,x

函数的图象（如图），从图上容易得出实数a的取 y,(a,1)x

值范围是。 ,，a,2,，,

,18 求值sin(，arctan), 。 32

,31111sin(，arctan),cos(arctan)，sin(arctan)， 322222

1构造如图所示的直角三角形，则其中的角,即为，从而 arctan2

12115，215cos(arctan),,sin(arctan),.所以可得结果为。 102255

y229 已知实数x、y满足，则的最大值是 。 (x,3)，y,3x,1

y可看作是过点P（x，y）与M（1，0）的直线的斜率，其中点P的圆x,1

y22上，如图，当直线处于图中切线位置时，斜率最大，最大值为(x,3)，y,3x,1

。 tan,,3

通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”，将问题等价地转化成便于解决的问题，从而

得出正确的结果。

310 不等式的解集为（4，b），则a= ，b= 。 x,ax，2

32设at,t，,0,x,t，则原不等式可转化为：?a > 0，且2与是方b(b,4)2

312程at,t，,0a,,b,36的两根，由此可得：。 82

22211 不论k为何实数，直线y,kx，1与曲线x，y,2ax，a,2a,4,0恒有交点，则实数a的取值范围是 。

题设条件等价于点（0，1）在圆内或圆上，或等价于点（0，1）到圆

3

22,1,a,3，?。 (x,a)，y,2a，4

12 函数单调递减区间为 。 y,4x,1，23,x

1222易知x,[,3],y,0.?y与y有相同的单调区间，而，y,11，4,4x，13x,34

13?可得结果为[,3]。 8

总之，能够多角度思考问题，灵活选择方法，是快速准确地解数学填空题的关键。

,1 已知函数，则 ，，，，f3,_______.fx,x，1

,1 由，得，应填4. 3,x，1，，f3,x,4

,1请思考为什么不必求呢？ ，，fx

,,1,, 集合1log10,M,x,,,,x,N的真子集的个数是 ______.,,12,,x,,

,,,,，显然集合M中有90个元素，其M,x1,lgx,2,x,N,x10,x,100,x,N

9090真子集的个数是2,12,1，应填.

2 快速解答此题需要记住小结论;对于含有n个元素的有限集合,其真子集的个数是2,1.

23． 若函数x,1的图象关于直线对称，则b,_____. ，，y,x，a,2x，3,x,,,a,b

a，ba，2由已知抛物线的对称轴为a,,4b,6,1,得 ，而，有，故应填6. x,,22

2x4． 果函数，，fx,，那么 21，x

111,,,,,, ，，，，，，，， f1，f2，f，f3，f，f4，f,_____.,,,,,,234,,,,,,

1,,容易发现，，，这就是我们找出的有用的规律，于是 ft，f,1,,t,,

77 原式＝，，.，应填 f1，3,22

本题是2002年全国高考题，十分有趣的是，2003年上海春考题中也有一道类似题：

4

1 设，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得 ，，fx,x2，2

，，，，，，，，，，f,5，f,4，,,,，f0，,,,，f5，f6,______.5． 已知点P在第三象限，则角的终边在第象限. ____，，tan,,cos,,

由已知得

tan,,0,sin,,0,,, ,,,,,cos,0,cos,0,,,

从而角的终边在第二象限，故应填二. ,

2cosx6． 不等式（）的解集为. __________，，x,0,,，，lg20,1

注意到，于是原不等式可变形为 lg20,1

2cosx,0,cosx,0.

,,,,0,x,,,x,而，所以，故应填 x0,x,，x,R.0,,22,,

,7． 如果函数x,,a,_____.的图象关于直线对称，那么 y,sin2x，acos2x8

2讲解 tan,,a，其中. ，，y,1，asin2，,

,x,,是已知函数的对称轴， ？8

,,,,， ？2,，,,k,，,,82,,

,3即 ,k，，k,Z,,， 4

3,,,于是 ,1 故应填 . a,tan,,tank,，,,1.,,4,,

在解题的过程中，我们用到如下小结论：

函数，，，，y,Asin,x，,和y,Acos,x，,的图象关于过最值点且垂直于x轴的直线分别成轴

对称图形.

,,,,8． 设复数z,,,在复平面上对应向量，将按顺时针方向,2sin，cos,,OZOZ,,11142,,

5

,3旋转后得到向量，对应的复数为，则tan,,____. ，，z,rcos,，isin,OZOZ2224

应用复数乘法的几何意义，得

3,3,,,zzi,cos,sin,,2144,,

2，，，，,,,,2sin,,cos,，2sin,，cos,i2

,,,2sin,cos2tan，1,tan,,，于是 ,,,2sin，cos2tan,1

,2tan，1 故应填 .,2tan,1

20052005,,,,xy22x,y 设非零复数满足 ，则代数式 的值是,,,,x，xy，y,0，,,,,x，yx，y,,,,

____________.

2,,,,xx 将已知方程变形为 ,,,,，，1,1， ,,,,yy,,,,解这个一元二次方程，得

x13 ,,,i,,.y22

32 显然有,,1,1，,,,,2005,3，668，1, 而,于是

2005,1 原式＝ ，20052005，，，，1，,1，,

1, ＝ ，2005200522，，，，,,,,

,1， ＝,1. 2,,

在上述解法中，“两边同除”的手法达到了集中变量的目的，这是减少变元的一个上策，值得重

视.

已知是公差不为零的等差数列，如果是的前n项和，那么 ,,,,aSannn

nan ,_____.limSn,,n

6

，，nn，1 特别取，有，于是有 a,nS,nn2

2nan22n 故应填2. ,,,2.limlimlim1，，Snn，1n,,n,,n,,n1，n

1,，，，n是奇数n,511． 列中， , 则 ,,aS,a，a，,,,，aa,,n2n122nn2,,，（n是偶数）n5,

S,________.2nlimn,,

分类求和，得

，，，，？S,a，a，,,,，a，a，a，,,,，a，2n13,2n1242n

21,21155 ，故应填． ？S,，,n2lim1188n,,,,112255

12． 以下四个命题：

n?，，2〉2n，1n,3；

2?，，2，4，6，,,,，2n,n，n，2n,1；

?凸n边形内角和为，，，，，，fn,n,1,n,3；

nn,2，，?凸n边形对角线的条数是，，，，fn,n,4. 2

其中满足“假设时命题成立，则当n=k+1时命题也成立’’.但不满足“当，，n,kk,N,k,kn,n00

（是题中给定的n的初始值）时命题成立”的命题序号是 . n0

3?当n=3时，2,2，3，1，不等式成立；

2? 当n=1时，2,1，1，2，但假设n=k时等式成立，则

22 ，，，，，，，，； 2，4，6，,,,，2k，1,k，k，2，2k，1,k，1，k，1，2

? ，，，，，，，，f3,3,1,fk,k,1,，但假设成立，则

，，，，，，,,fk，1,fk，,,k，1,1,；

7

，，，，44,2kk,2，，，，? ，假设成立，则 f4,fk,22

k，1,,k，1,2，，，， ，，，，，，fk，1,fk，k,3,. 2

故应填??.

某商场开展促销活动，设计一种对奖券，号码从000000到999999. 若号码的奇位数字是不同的奇数，偶位数字均为偶数时，为中奖号码，则中奖面（即中奖号码占全部号码的百分比）

为 .

3中奖号码的排列方法是： 奇位数字上排不同的奇数有种方法，偶位数字上排偶数P5

333的方法有5，从而中奖号码共有种，于是中奖面为 P，55

33P，55 ，100%,0.75%, 1000000

故应填0.75%.

732x的展开式中的系数是 __________.，，，，x，1x,2

7777322x，，，，，，，，，，x，1x,2,xx,2，x,2x,2由知，所求系数应为的x项的系数与项的系数的和，即有

6464，，，，C,2，C,2,1008，77

故应填1008.

过长方体一个顶点的三条棱长为3、4、5, 且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的表

面积是________.

长方体的对角线就是外接球的直径2R, 即有

22222，，2R,4R,3，4，5,50,

250,.从而 S,4,R,50,，故应填 球

若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积是 （只需写出一个可能的值）．

本题是一道很好的开放题，解题的开窍点是：每个面的三条棱是怎样构造的，依据“三

角形中两边之和大于第三边”，就可否定｛1，1，2｝，从而得出｛1，1，1｝，｛1，2，2｝，｛2，2，2｝三种形态，再由这三类面构造满足题设条件的四面体，最后计算出这三个四面体的体积分别为： 111114111114, ,，故应填.、 、 中的一个即可. 6121261212

8

如右图，E、F分别是正方体的面ADDA、面BCCB的中心，则四边形BFDE在该正方体的11111

面上的射影可能是 .（要求：把可能的图的序号都填上）

DC1 1

1 AB1 E F D C

A 24B 13 ???

因为正方体是对称的几何体，所以四边形BFDE在该正方体的面上的射影可分为：上下、1?

左右、前后三个方向的射影，也就是在面ABCD、面ABBA、面ADDA上的射影. 1111

2四边形BFDE在面ABCD和面ABBA上的射影相同，如图?所示； 111

3四边形BFDE在该正方体对角面的ABCD内，它在面ADDA上的射影显然是一条线段，如图?所11111

23示. 故应填??.

2 直线被抛物线截得线段的中点坐标是___________. y,x,1y,4x

y,x,1,,讲解 由消去y，化简得 ,2y,4x,

2 x,6x，1,0,

设此方程二根为，所截线段的中点坐标为，则 x，x，，x，y1200

x，x12x,,3，0 2

y,x,1,2.00

故 应填 ，，. 3,2

22xy 椭圆，,1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，则当m取最大值时，点P的坐标925

是_____________________.

记椭圆的二焦点为F，F，有 12

PF，PF,2a,10, 12

2,,PF，PF12,,则知 m,PF,PF,,25. 12,,2,,

显然当PF,PF,5，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25. 12

9

故应填或 ，，，，,3,03,0.

2x一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的函数解析式是y,，，0,y,20，在杯内放2一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r的取值范围是___________.

依抛物线的对称性可知，大圆的圆心在y轴上，并且圆与抛物线切于抛物线的顶点，从

222而可设大圆的方程为 ，，x，y,r,r.

222,，，x，y,r,r，,2 由 x,y,，,2,

2消去x，得 （*） ，，y，21,ry,0

解出 或 y,0，，y,21,r.

要使（*）式有且只有一个实数根r,1.，只要且只需要即 y,0，，2r,1,0,

再结合半径r,00,r,1.，故应填

10

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