范文一:函数的零点、极值点、驻点与拐点的关系
在日常生活和高中数学学习中有些相近的概念容易混为一谈,例如:有的经济学家或股评专家分析预测股市(或房市)的发展,根据...... ,当前股市形势大好,预期股市成交量或指数会出现“拐点”......,意思说成交量或指数会有从下降到上升的反转。但是,这里引用的“拐点”并非数学意义上的“拐点”。还曾经有一位文科教师在讲课中想说明“一个量随着另一个量的增加而增加“的数量关系,就引用了数学中的“正比例关系“,例如:“知识与阅读量成正比例关系。”显然是不准确,甚至错误的。
人们有时为了使自己的论点可信度高,常常会引用一些数学概念或结论作“马甲“,特别是当今“大数据”时代。但是,数学中许多概念相近,不仅是不熟悉数学的人们搞不清楚,就是从教和学习数学的老师与学生也常常搞混。例如:函数的零点、极值点、驻点和拐点等,下面针对这几个概念,简单地说说它们的定义、几何意义、联系和区别。
函数的零点是使得函数值为零的自变量的值。例如:f(x)=x-1,x=1就是函数f(x)的零点。
函数的极值点是函数的单调性发生变化的点,或是函数的局部极大值或极小值点。当函数存在导数时,函数的极值点是其导函数的变号零点(2014山东高考数学21题的考点)。例如:f(x)=x^2-1,x=0就是函数的f(x)的极小值点。或者说函数在x=0附近的函数值都比x=0时的函数值大。且x=1和x=-1是函数f(x)的零点。再如:g(x)=|x|,x=0是函数的极小值点,但不是函数的驻点。
函数的驻点是函数一阶导数为零的点,即函数的驻点是函数的导函数的零点。但函数的驻点不一定是函数的极值点。当函数存在导数时,极值点一定是驻点,反之不一定正确。例如:f(x)=x^3,x=0是函数的驻点(也是零点),但不是极值点。我们常常从函数的驻点中找极值点。
函数的拐点是函数的凹凸性发生变化的点,或者是函数二阶导数为零,且三阶导数不为零的点。例如:f(x)=x^3,x=0是函数的拐点(也是驻点和零点,但不是极值点)。再如:g(x)=x^4,x=0是函数的驻点、极小值点和零点,但不是函数的拐点。
最后,需要说明的是,这里说的函数的零点、极值点、驻点和拐点都是一个实数,并非几何意义上的点。
范文二:关于极值点 驻点 拐点的问题 谢谢
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RT 我在看高数同济第五版 P153 书上这样说道,定理一 可导函数的极值点必定是它的驻点 但我在做一些真题或者考研复习资料时,又有这句话极值点可能是驻点,也可能是不可导的点 我就有些糊涂了,这2句话是不是矛盾 ,还是关键在于定理一是因为可导函数 同样在拐点的问题,什么样才是拐点,可以是二阶导数为零且三阶不为零的点,也 可以是不可导的点吗,, 请数学高手帮忙解答下,越详细越好,谢谢了
前提是 可导函数极值点必定是驻点,比方说fx=x*x x!=0, 2 x=0, x=0是极值点, 但x=0不可导,明白吗
拐点也一样啊,二阶不可导,但是满足左右一阶导 符号相反,也可以为拐点
回复 #2 wind100th 的帖子X*X*X ,X=0是极值点,不是极值点
请高手帮忙
可导函数的极值点必定是它的驻点 极值点可能是驻点,也可能是不可导的点也就是说:极值点(这个极值点可能是不可导的点)可能是驻点,有没可能的话看,趋近驻点两边的二阶导的正负(或者求三阶导也可以)楼下补充。。。
fx=x*x , x!=0, 2 ,x==0,x=0为极大值点 但x=0不可导...
所以前提是可导函数 极值点必为驻点,如果不可导 象我楼上写得 极值点也可以为不可点的点 x=0不可导吧
在看不懂我就无语啦
f(x)=|x|,在x=0就是极小值点,但是不可导,对吧,
需要准确理解极值点、拐点的定义
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范文三:综上可知函数的极值点一定是驻点或导数不存在的点
?5–5 函数作图
基础知识导学
1.曲线的凹凸性与拐点
定义1 设函数y=f (x)在(a, b)内可导,
(1) 若其图形位于每一点处切线的上方,即对任一x?(a, b)有 0
f (x) > f (x)+ fˊ(x)(x - x) 000
则称函数f (x)在(a, b)内是凹的;
(2)若其图形位于每一点处切线的下方,即对任一x?(a, b)有 0
f (x) < f="" (x)+="" fˊ(x)(x="" -="" x)="">
则称函数f (x)在(a, b)内是凸的;
定义2 设函数y=f (x)在(a, b)内可导,x?(a, b),若x点是函数y=f (x)的凹凸部分的分界点,则x点称000
为函数y=f (x)的拐点。
,,定理1 (曲线的凹凸性判别法)设函数y=f (x)在区间(a, b)内有二阶导数,如果(x) >0,则f (x)在(a, b)f
,,内是凹的,如果(x) <0,则f (x)在(a,="" b)内是凸的。="">0,则f>
定理2 (拐点的必要条件)设函数y=f (x)在x点有二阶导数,则x点是函数f (x)的拐点的必要条件是00,,(x)=0。 f
.曲线的渐近线 2
定义 如果动点沿某一曲线无限远离原点时,动点到一定直线的距离趋于零,则称此直线为该曲线的一
条渐近线。
渐近线有三种类型:
limf(x),,limf(x),,(1)若(或,),则x = c是曲线y=f (x)的垂直渐近limf(x),,,,x,cx,cx,c线;
(2)若limf(x),c(或limf(x),c,limf(x),c),则y = c是曲线y=f (x)的水平渐近线; x,,x,,,x,,,
fx(),,limf(x),ax,b(3)若,,则直线y = ax+b是曲线y=f (x)的斜渐近线。 ,alimx,,x,,x
重点难点突破
1.函数作图的一般步骤
(1) 求函数的定义域和值域,判断其奇偶性及周期性;
(2) 求fˊ(x),确定f (x)的驻点及导数不存在的点;
,,,,,,(3) 求(x),确定(x)=0的点及(x)不存在的点; fff
(4) 列表,用上述求出的点将定义域分成若干个开区间,讨论函数在各区间的单调性、极值和凹
凸性、拐点
(5) 求出曲线的渐近线
(6) 将表中确定的特殊点在坐标平面上描出,如有必要可再确定曲线上的一些特殊点,在以上基
础上作出函数图形。
解题方法指导
1. 求函数的凹向及拐点的方法
2例1 求函数的凹向及拐点. y,ln(1,x)
解 函数的定义域 , (,,,,,)
222(1,x),2x,2x2(1,x)x2,,, y, , ,y,,22222,x1(1,x)(1,x),, 令 得, y,0,y,,1
列表
(,,,,1)(1,,,) x1 (1,1) 1 ,,
,,,, y0 + 0
y ,,,拐点 拐点
由此可知,上凹区间,下凹区间,曲线的拐点是. (1,1),(,1)(1,),,,,,:(,1,ln2)
,,小结 求函数的凹向与拐点只需用拐点的定义及凹向的判别定理即可,注意拐点也可在使不存在的点取得. y
2 . 求曲线渐近线的的方法.
例2 求下列曲线的渐近线
2x,2x,2lnxy,y,(1) (2) . xx,1
解 (1)所给函数的定义域为. (0,,,)
1
lnxx由于 , lim,lim,0x,,,x,,,1x
lnxy,可知 为 所给曲线的水平渐近线. y,0x
xln,,,lim由于 , ,x,0x
lnxx,0y,可知 为曲线的铅直渐近线. x
(2) 所给函数的定义域(,,,1),(1,,,).
22x2x2x2x2,,,,limf(x)limlimf(x)lim,,,,,,,,由于 , , ,,,,x,x,x,x,1111x1x1,,
x,1x,1fx()可知 为所给曲线的铅直渐近线(在的两侧的趋向不同).
2f(x)x,2x,2又 , lim,lim,1,ax,,x,,xx(x,1)
2x,2x,2,x,2, ,,limf(x),ax,lim[,x],lim,,1,bx,,x,,x,,x(x,1)x,1
所以 是曲线的一条斜渐近线. y,x,1
3. 函数图形的描绘
2x例 3 作出函数 的图形. y,2(x,1)
解 函数的定义域, (,,,,1),(,1,,,)
222xx,1,x,2x,12x,,,,, , y,,43,,,,x,1x,1
322(x,1),2x,3(x,1)2,4x,, y,,, 64(x,1)(x,1)
1,,,0,x,x, , 解得 . 令y,0,y,0122
列表
(,,,,1)111 x(,1,0)(0,)(,,,) ,1 0 222
,, y+ 0 + + +
,,, y+ + + + 0
,,fx极小 拐点
11(,) 由上表可知: 极小值, 拐点 . f(0),129(3)渐近线
2xylim,lim,1, y 2x,,x,,x(,1)
所以 y,1是水平渐近线,
2xlimylim,,,,, 2x,,1x,,1(1x),
O -1 x,,1所以 是铅直渐近线. x
(4)作图如图所示.
范文四:1求的驻点,并由的图形判别驻是否为极值点。
33yx,yx,1(求的驻点,并由的图形判别驻是否为极值点。
2,yxx,,,,300解: ,
当x,0时,y,>0, 即函数在0的邻域内是严格单调增的,因此驻点不是极值点。
11232(证明方程只有一个实根。 10,,,,xxx26
1123证明: 设则f(x)在[-10,10]上满足 ff(10)(10)0,,,fxxxx()1,,,,,26
由零点在在定理,可知 ,x,(-10,10), s. t. f, (x)=0. 00
假设f (x)=0有两个不同的实根x,x,( x
在区间[x, x]上函数f (x)满足罗尔中值定理条件, 则 12
12, ,,,(x,x), s. t. f , (,)=0, 即 ,,,,,,,f()10,122
12由于,=-1<0, 方程没有实数根,="">0,>
因此相应的,不在在。从而可知原方程只有一个实根。
3(设f(x)在(a,b)内二阶可导,且f ,(x) ,0在x,(a, b)。求证: f (x)在(a, b)内至多有一个驻点。 证明: 假设在(a, b)内至少有两个驻点, 不妨假设有两个驻点x, x, fx()12
,,fxfx()()0,,,即在区间[x, x]上函数f ,(x)满足罗尔中值定理条件, 则 1212
,,,(x,x), s. t. f ,(,)=0. 12
与题设矛盾, 假设不成立,从而可知f (x)在(a, b)内至多有一个驻点。。
xxFxfx()e(),,Fxfx()e(),4(证明: 设则在区间[0,1]上满足拉格朗日定理条件,
,,,,(x,x), s. t. FFF(1)(0)()(10),,,,, 12
,,,即 ffFxff(1)e(0)()e()(),,,,,,,,,x,,
,,,ffff()()e(1)e(0),,,,,从而,。 ,,
,fxAxab(),(,),,,,fx()5(证明: 设则在区间[a, x]上满足拉格朗日定理条件,
,fxfafxa()()()(),,,,,因此,,,,(a, x), s. t.
fxAxAfaAxBxab()(),(,).,,,,,,,即
Fxfxgxxab()()(),[,],,,,,6(证明: 设则由题设知
,,,Fxfxgxxab()()()0,(,),,,,,,
fxgxCxab()(),[,].,,,,因此在区间[a, b]上F(x)=C,
7(证明: (1) 当x,0时,(参见例题,略)
(2) 当-1<><0时,在区间[x,0]上对函数f (x)="ln(1+x)应用拉格朗日定理,有">0时,在区间[x,0]上对函数f>
, ffxfxx(0)()[(1)](0),01,,,,,,,,,
xln(1),01,,,,,x,即 1(1),,x,
111,,,由有 011(1)1,,,,,,xx,,,,,xx1(1)1
xxxx,,,从而 即 。 ,,,ln(1)xx1(1)1,,,,xx1,x8. 证明: f(x)在[a, b]上连续,在(a, b)内可导, 由拉格朗日定理有
fbfa()(),, ,,fab(),(,),,,ba,
又由f(a)>f(b)可知, f ,(,)<0, ,,(a,="" b).="">0,>
,xgx()e,,10(证明: 设则函数f(x)和g(x)在区间[a, b]上满足柯西国值定理条件, ,,,(a, b),
,fbfaf()()(),,s. t . ,,11,g(),,ba
bfaafb()(),,即 ,,,,,ff()()ba,
15(用洛必塔法则求下列极限:
1,12xxxx,,arctanarctan111x,1(1) ,,,,,,limlimlimlim;3322xxxx,,,,0000xxxx,sin3313
22xx2eeee,,xxlimlimlim2e2e;,,,(2) ,,,111xxxxxln1,
22,,xxee1x,,,,(3)limlimlimlim0; 22xxxxxx,,,,,,,,11e2exarcsinxx
xxxxln23ln2,,,,2ln23ln311, (4) limlim(ln2ln3)ln6;,,,,xx,,00xxx2322,
xxxxxxsinsinsinsin,xxx,,,,,,022221~2(sin)ln2,(5) ,,
xxsin22sin1cos1,,,xxxlimlimln2ln2limln2;,,,, 332,,,xxx000xxx36
22lncoscossinaxbxaaxaxa,,,,(6) limlimlim; 22xxx,,,000lncoscossinbxaxbbxbxb
xaax,,1xaalimlimln(ln1)(7) ,,,,aaaxaa。 ,,,,xaxaxa,
16(用洛必塔法则求下列极限:
xxxe2e2e,,x(1) limlimlim1;,,, xxx,,,,,,,,,xxxe3e3e,,x
xxe2e22,,xlimlim;,,,(2) xx,,,,,,xxe3e33,,x
22ln1sinxxx,,,,limlimlimlim0(3) 。 2,,,,xxxx,,,,0000,,,cotcscxxxxx
17(求下列极限:
xxx11e1e1e11,,,,,xxx,,(1) limlimlimlimlim;,,,,,,,,2xx,,,,,00000xxxxxxxxxe1222,xe1,,,,,
1cossincossinxxxxxx,,,,limcotlimlimx,,,(2) ,,2xxx,,,000xxxxsin,,
cossincos1xxxx,, ,,,,limlimsin0;xxx,,0022x
11,,ln(1)ln(1),,ttxln1,,1,,t,xx,,tt,,,,,1eeeee1,,x(3) x,,,,lim1elimlimelim,,,,xxtt,,,,,,001xtt,,,,,,x
ln(1),t1,1,1ttt,,,,e1ln(1)1et,1 ,,,,,,elimelimelimelim;2tttt,,,,0000tttt,22(1)2
2secx
lntan1xtanx(4) ,,,,,,limtan2lntanlimlimlim1,xx2,,,,,cot22csc2sin2xxxxxxx,,,,4444
1tan2xtan2lntanxxx,, limtanlime;,,,,e,,xx44
1xxx,,xxx,,1234,,32ln23ln34ln4xxxln,,x,lim3,,,,234,,xxxx3ln24,0x33,,,,234(5) limlimeee23;,,,,,,xx,,003,,
xxxx,,,,,,xln1,,,11ln1,,,xxx,,,,a,,()e1axa,,,aax,,,,limlimlimlimlim,,,a(6) 2222xxxxx,,,,,00000xxxx
xx1a; ,,lim;2x,0xa
x11,,,,ln(1)1,tlimln1x,xln1,limlim,,,,1,,,xxtt,,,,,,,,,,x0,,tt1(7) ,,,,,,lim1limeeee1;,,,,xx,,00x,,
1ln1xx,1111,,,xxxx,,,limlimelime.(8) 。 xxx,,,111e
xxxcossin,,18(解: 当x,0时, fx()1,,,2x
当x=0时,
2fxfxxxxxx()(0)sincos21cos1,,,,,,,f(0)limlimlimlim11,,,,,,,,2xxxx,,,,0000xxxx,022
xxxcossin,,,,1,0x,2, 因此,fx(),。 x,
,,,1,0x,
,,19(证明: fxx()cos1,,fxx()cos10,,,, 由有驻点 xkk,,,,2,0,1,2,...,
,在区间(2(1),2),kkkZ,,,,fx()0,,(,),,,,上有因此函数在内严格单调递减。
20(确定下列函数的单调区间:
2,fxx()330,,,(1) 由可得驻点x=-1,x=1, 12
在(-,, -1)上,f ,(x)>0, 函数单调递减;在(-1, 1)上, f ,(x)<0, 函数单调递增;="" 在(1,="" +,)上,f="" ,(x)="">0, 函数单调递减。
因此函数的单调递减区间为(-1,1),单调递增区间为(,, -1),(1, +,).
2,(2) 由可得驻点x=1,函数的定义域为(0, +,)。 fxx()20,,,x
在(0, 1)上,f ,(x)<0, 函数单调递减;在(1,="" +,)上,f="" ,(x)="">0, 函数单调递增, 因此函数的单调递增区间为(1, +,),单调递减区间为(0, 1).
,,2(1)x,fx()0,,(3) 由可得驻点x=-1, 函数的定义域为(-,, 1),(1, +,)。 3(1)x,
在(-,, -1)上,f ,(x)<0, 函数单调递减;在(-1,="" 1)上,="" f="" ,(x)="">0, 函数单调递增; 在(1, +,)上,f ,(x)<0, 函数单调递减。="">0,>
因此函数的单调递增区间为(-1,1),单调递减区间为(,, -1),(1, +,).
sinxxxxxcossincos,,21.证明:设则 fx(),,fxxx()(tan),,,,22xxx
,,,,x,0,当时,x
,,,,,,,,,,0,,,,显然在区间上有 取区间,,,,,,,,222,,,,,,
2sin,,,,,,,,ffxf()(), ,,,2,,,,
2,,,,,,,ffxf()lim()1, 令,,0,则从而 ,,,,,,02,,,
,2,,x,0,当时, ,,fx()1.,,2,,,
xxxx,,21xxabxx,(,),,,,,,,,,22(证明:对任何有满足条件: 121212xxxx,,2121
0,1,1.,,,,,,,, 1212
,,xxxx,,21因此,。 ()(),,fxxfxxfx,,,,112212,,xxxx,,2121,,
由于fx()(,)ab在内是严格下凸函数,因此有不等式
xxxx,,21()()()()().,, fxfxfxfxfx,,,,成立。 112212xxxx,,2121
23. 确定下列函数的凹凸区间,并求拐点:
232,,,fxxxfxxx()34,()612,,,,,(1)
2,,fxxx()6120,,,由可得x=0,x=1/2; 12
在(-,, 0)上,f ,(x)<0, 函数上凸;在(0,="" 1/2)上,="" f="" ,(x)="">0, 函数下凸; 在(1/2, +,)上,f ,(x)<0, 函数上凸。="">0,>
因此函数的下凸区间为(0,1/2),上凸区间为(,, 0),(1/2, +,),拐点为x=0,x=1/2. 12
112,,,fxxx()ln,, (2) 的定义域为(0,+,), fxxfx()2,()2,,,,,2xx
,,fx()0,x,2由可得;
在0,2上, f ,(x)<0, 函数上凸;在2,,,上,f="" ,(x)="">0, 函数下凸。 ,,,,
因此函数的上凸区间为,下凸区间为,拐点为; x,20,22,,,,,,,
4223fxxx()3,,(3) 的定义域为,且在x=0处二阶不可导。 (,),,,,3
123441,x3,,, fxxxfx()4,(),,,,,2333x
,,由可得x=-1, x=1; fx()0,12
在(-,, -1)上, f ,(x)<0, 函数上凸;在(-1,0)上,f="" ,(x)="">0, 函数下凸; 在(0, 1)上, f ,(x)>0, 函数下凸,在(1,+,)上, f ,(x)<0, 函数上凸。="" 因此函数的上凸区间为在(-,,="" -1),(1,+,),下凸区间为(-1,1),拐点为x="-1," x="1;">0,>
5523fxxx()3,,(4) 的定义域为,且在x=0处二阶不可导。 (,),,,,3
2310101,x3,,, fxxxfx()5,(),,,,,333x
,,由fx()0,可得x=-1;
在(-,, -1)上,f ,(x)>0, f(x)下凸;在(-1,0)上, f ,(x)<0, f(x)上凸;在(0,="" +,)上,="" f="" ,(x)="">0, f(x)下凸。 因此函数的上凸区间为在(-,, -1),(0,+,),下凸区间为(-1,0),拐点为x=-1, x=0。 1224. 求下列函数的极值:
43,,,yxyx,,,55,20,(1)
,,,,,y,0由可得驻点x=-1, x=1,且 yy,,,,,200,200,12xx,,,1112
yy,,5,-3;因此x=-1是函数的极大值点, x=1是函数的极小值点, 且 12极大值极小值
1,,,(2) yxx,ln的定义域为(0, +,), yxy,,,ln1,,x
-1,,,y,0由可得驻点x=e, 且 y,e>0,,1x,e
-1-1y,-e;因此x=e是函数的极小值点, 且 极小值
(3) 的定义域为(-,, +,), 在x=1/2处二阶不可导。 yxx,,21
11,,41,4,xxx,,,,,,,22 ,,,yy,,,,,,11,,14,4,,,,,xxx,,,,22
,y,0由可得驻点x=1/2, 且在(-,, 1/2)上函数为单调递减的,在(1/2,+,)上函数为单调递
y,0增的,因此x=1/2是函数的极小值点, 且。 极小值
26(求下列函数的极最大值和最小值:
323,,,fxxxfxxxx()412,()1224,(1,1),,,,,,(1)
322,fxxxxxx()4124(3)0,(1,1),,,,,,,,显然有 即在[-1,1]上函数为单调递减的。因此x=0是函数的最大值点, x=1是函数最小值点。
yyyy,,,,(1)5,(-1)13。 最小值最大值
xxxx,,,,,fxfxx()4e-e,()4ee,(1,1),,,,,(2)
,ln2ln2,,,f(ln2)4ee0,,,,由有惟一驻点x=-ln2, 又, fx()0,
,ln2ln2f(ln2)4ee4;,,,,因此函数在驻点处取得最小值
,,11-1ff(1)4ee,(1)4ee,,,,,,由函数在x=1取得最大值4e+e。
2223,,xx,,,(3) fxxfxxxx()(1-2)e,()(4-6)e,(1,1),,,,
1111,,,,,,,,,ff,,,0,0,由fx()0,有驻点 又, xx,,,,,12,,,,2222,,,,
11,,1111,,,,22ffff,,,,--e,e,因此 极小值极大值,,,,2222,,,,
1111,,,,,,11ffff,,,,--,.ff(1)-e(1)e,,,~再由有 最小值最大值,,,,22e22e,,,,
11121,,,,,,,fxxx(),,1,,,fxfxx()1-,()0,,1,,,,(4) ,,23,,x2xx2,,,,
21,,,,,fxx()0,,1,,,fx()0,由有惟一驻点 又, x,1,,,3x2,,
5ff,,(1)2,ff(12)(2)5,,2因此 再由有 f,.最小值最大值2
27(证明:(1) 设x, y表示周长为C的矩形的两条相邻边,则C=2x +2 y .
Cx2Sxyx,,,矩形面积, 2
C,,,SxS,,,,,,20,20由可知当x=y=C/4,即正方形时,矩形面积最大。 2
2S(2) 设x, y表示面积为S的矩形的两条相邻边,则S=x y.矩形周长, Cxyx,,,,222x
24SS,,,xyS,, 由可知当,即正方形时,矩形周长最小。 CC,,,,,20,023xx
面积一定的矩形中,正方形周长最小。
ppyxxx,,,,(1),[0,1]28(证明:设,则
pppp,,,,1122,,,,, ypxpxyppxxx(1),(1)(1),(0,1),,,,,,,,,,
1,,,由有惟一驻点x=1/2, 又 fx()0,ypp,,,(1)0,1p,1x,22
11,,ff,,,f,1,可知 再由有 ff(0)(1)1,,,,最小值最大值p,122,,
1pp因此当p>1,不等式成立。 ,,,,,xxx(1)1,[0,1],1p2
29(解:设矩形的底边长为x, 高为y,则矩形面积S=xy.
如图示,等腰Rt,的斜边长为a, 斜边上的高为a/2,
1ay,x2,由可得xay,,2, 1aa2
2,,,Sayy,,2,因此再由SayS,,,,,4,40,可知 当y=a/4时矩形面积最大,此时x=a/2.
-x32(解:设收入y=xp=xe,
,xxx---1,,,,,yxyx,,,,ee,(2)e, 由可知x=1是惟一驻点,且 y,,,)e0,x,1
-1当x=1时收入最大,此时最大收入为e。 33(求下列函数的渐近线:
2xx,,32fx()ln,(1) 的定义域为(-,, 1),(2, +,), 2x,1
2fxxx()132,,k,,,limlimln0,2xx,,,,xxx,1 2xx,,32bfxkx,,,,lim()limln0.,,12xx,,,,,x,1
(1)(2)(1)(2)xxxx,,,, lim()limln,lim()limln,fxfx,,,,,,22,,,,xxxx,,,,1122xx,,11
因此曲线在水平渐近线y=0, 垂直渐近线x=1,x=2.
x(2) yx,,arctan的定义域为(-,, +,), 2
fxx()1arctan1,,k,,,,limlim,,,xx,,,,xx22,,
,,bfxkxxbfxkxx,,,,,,,,,lim()limarctan,lim()limarctan,,,,,12xxxx,,,,,,,,,,,,22
11,, 因此曲线在斜渐近线。 yxyx,,,,,2222
xey,(3) 的定义域为(-,, -1),(-1,+,), 1,x
xxfx()ee,,,,klimlim, fx,,,lim()lim,,,,,xx,,,,11xx,xxx(1)x,1因此曲线有垂直渐近线x=-1。
x2(4) 的定义域为(-,,0),(2, +,), yx,,arctanyxx,,22
22fxxxfxxx()2()2,,kk,,,,,,,limlim1,limlim1,12xxxx,,,,,,,,,,,,xxxx
,2x2 bfxkxxxx,,,,,,,,lim()lim2lim1,,,,,12xxx,,,,,,,,,xxx,,2
,2x2bfxkxxxx,,,,,,,lim()lim2lim1,,,,,22xxx,,,,,,,,,xxx,,2因此曲线在斜渐近线yxyx,,,,,1,1.
34(作下列函数的图形:
,xyx,,e(1)解:的定义域为(-,, +,),
求渐近线:
-xfxx()e,-xkbfxkx,,,,,,,limlim1,lim()lime0,,,11xxxx,,,,,,,,,,,,xx ; -xfxx()e,k,,,,limlim,2,,,,,,xxxx
因此曲线的渐近线为y=x;
,x,x,,,y,,,1e0y,,e0求单调区间:由得驻点x=0,由可知在x=0有极小值1;
,x,,y,,e0求凹凸区间:由可知在定义域内下凹。列表如下:
x (-,,0) 0 (0, +,)
f ,(x) - 0 +
f ,(x) + + +
极小值1 f (x) , , , , yxx,,ln(2) 的定义域为(0, +,),
fxxx()ln, kbfxkxx,,,,,,,,,limlim1,lim()limln,,,xxxx,,,,,,,,,,,,xx
因此曲线的无斜渐近线;
lim()lim(ln),fxxx,,,,,,xx,,00
曲线有垂直渐近线x=0.
11,,,求单调区间:由得驻点x=1,由可知在x=0有极小值1; y,,,10y,,02xx
,x,,y,,e0求凹凸区间:由可知在定义域内下凹。列表如下:
x (0, 1) 1 (1, +,)
f ,(x) - 0 +
f ,(x) + + +
极小值1 f (x) , , , ,
2xy,(3) 的定义域为(-,,-1),(-1 +,), 1,x
2fxxx(),kbfxkx,,,,,,,,limlim1,lim()lim1 ,,xxxx,,,,,,,,xxxx(1)1,,
因此曲线的斜渐近线为y = x-1;
曲线有垂直渐近线x=0. lim(),fx,,,x,,1
xx(2)2,,,,yy,,,0,,求单调区间:由得驻点x=-2,x=0, 1223(1)(1)xx,,
列表如下:
x (-,,-2) -2 (-2, -1) -1 (-1,0) 0 (0, +,)
f ,(x) - 0 - - 0 +
f ,(x) - - + +
极大值-4 无定义 极小值1 f (x) , , , , , , ,, 。
3yxxp,,,335. 试确定p的取值范围,使得与x轴:
(1)有一个交点;(2)有两个交点; (3) 有三个交点。
2,yx,,,330解:由可得驻点x=-1, x=1; 12
,y,0在区间(-,, -1),(1, +,)上,, 则函数是单调递增的,
,y,0在区间( -1, 1)上,, 则函数是单调递减的;
,,,,,,yx,6由可得驻点; yy,,,,,60,60xx,,,1112
因此x=-1是函数的极大值点, x=1是函数的极小值点,且 12
ypyp,,2+,-2+。 极大值极小值
则(1) 当-2+p>0,即p>2时曲线与x轴有一个交点;
(2) 当-2+p=0,或2+p=0,即p=2或p=-2时曲线与x轴有两个交点;
(3) 当-2+p<0,且2+p>0,即-2<><2时曲线与x轴有三个交点。>2时曲线与x轴有三个交点。>
B 组
1121n,1( 证明:设,则必有, ff(0)(1)0,,fxaxaxax,,,,()01nn,21
从而函数f (x)在[0,1]内满足罗尔中值定理条件,存在,,(0,1),使得f ,(,)=0, 即
naaa,,,,,,0 01n
naaxax,,,,0因此,方程在内必有实根。 (0,1)01n
x2fx()e,yaxbxc,,,2(证明:设曲线与的交点至少有四个.
不妨设为四个,即,,,, ,, ,。 1234
x2FFFF()()()(),,,,,,,,Fxaxbxc()e,,,,构造函数,则有 1234
根据罗尔中值定理,有,,(,, ,), ,,(,, ,),使得 112234
,,FF()()0,,,,, 12
又根据罗尔中值定理,有,,(,,,),使得 12
,,F()0,,,
x,,Fx()e0,, 但是由可知满足上述等式的,不存在,即原假设不成立,因此
x2fx()e,yaxbxc,,,曲线与的交点不超过三个. 4(求极限:
111x,1,,,,xxln(1),111,x1xlimlim-(1)x,2xx,,,,00xxx,2212(1) limlimeeee;,,,,xx,,00,,e,,,,
1,,,nlimlntan,,1,,,,n,,nn4,,(2) limtane,,,,n,,n4,,
,,,2sect,,,114,,,,,,,,22limlntan=limlntanlime.nt,,,,原式。=e ,,,,ntt,,,,0044nt,,,,,,,tan,t,,4,,
lnx1ln2ln3,,xx,,,5(解:设由可知 fx(),,fxfx()0,(),,,23xxx
当x=e时函数f (x)取得最大值,因此
在区间(0,e)上函数f (x)单调递增,区间(e,+,)上函数f (x)单调递减。
lnlnmnnm当m>n>2时,即因此 mn,;nmmnlnln,,fmfn()(),,,,mn
lnlnmnnm当n>m>2时,即因此 nmmnlnln,,mn,.fmfn()(),,,,mn
7(证明: 设在上具有二阶连续导数,对于任意的x,(0,1), fx()[0,1]0
利用f (1)和f(0)在x点的二阶泰勒公式可得 0
,,f(),21,(1)()()(1)(1),(,1)ffxfxxxx,,,,,,,0000102! ,,f(),22,ffxfxxxx(0)()()(0)(0),(0,),,,,,,,0000202!
由ff(0)(1),可得
,,,,ff()(),,2212, fxxx()(1),,,,0002!2!
22xx,,,(1)1,由于x,(0,1)时, 因此 000
,,,,ff()(),,2212,fxxx()(1),,, 002!2!
1122,,,, ,,,,,fxfx()()(1)102022
1122,,,,,, ,,,,,max()(1)max(),[0,1]fxxxfxx00,,22
1,, 。 ,,max(),[0,1]fxx2
范文五:极值点与最值点_稳定点及拐点的关系
极值点与最值点 、稳定点及拐点的关系
张怀德
( 定西师范高等专科学校 , 甘肃定西 743000)
摘 要 :讨论极值点与最值点 、稳定点和拐点之间的相互关系和区别 .
关键词 :极值点 ;最值点 ;稳定点 ;拐点
中图分类号 :O171 文献标识码 :A 文章编号 :1008 - 9020( 2005) 05 - 011 - 02
为了更好地掌握函数性质 、直观地看到函数的各种性
态 , 对函数进行定性分析或定量计算 , 需要比较精确地描绘
( 函数图象 . 曲线上的一些关键点 如极值点 、最值点 、稳定点
) 和拐点等, 在描绘函数图象中至关重要 . 因此 , 熟练掌握各
类关键点之间的相互关系和区别 , 结合函数主要性质 , 就掌
握了函数的最本质最主要的几何特征 , 因而就能比较精确地
描绘出函数图象 .
一 、极值点与最值点 图 1图 2 [ 1 ] 1 . 极值点定义设函数 f ( x ) 在区间 I 有定义 , x ? 0 4 . 极值点的判别方法 若I . 若 ? б> 0 , Π x ? ( x - б, x + ) б Α I 有 f ( x ) ? 0 0 ( ) 函数 f x 可导 , 则 : f ( x ) ( 或 f ( x ) ? f ( x ) ) , 则称 f ( x ) 是函数 f ( x ) 的一个 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 法 1 若函数 f x ′x = 0 , 且f 第一判别法可导 , 0 ( ) ( ( ) 极大值 或极小值, x 是函数 f x 的一个极大点 或极小 0 ? б> 0 , Π x ? ( x - б, x ) , 有 f ′( x ) > 0 ( 或 f ′( x ) < 0)="" 0="" 0="" )="" 点.="" 极大值与极小值统称为极值="" ;="" 极大点与极小点统称为极="" 同="" 时="" π="" x="" x="" ,="" x="" +="" б)="" ,="" 有="" f="" ′(="" x="" )="">< 0="" (="" 或="" f="" ′(="" x="" )=""> 0) , 则 x 0 0 0值点 . 是函数 f ( x ) 的极大点 ( 或极小点) .
) 注( ) ( 极值点的定义只关心 f x 在 U x , бΑ I 内的 0 ( )( ) 法 2 第二判别法 若函数 f x 存在二阶导数 , x 是 0
( ) 局部函数值 , 不关心是否可导 . 因此函数 f x 在极值点 x 0( ) ( ) ( ) 函数 f x 的稳定点 , 即 f ′x = 0 , 而 f ″x ? 0 , 则 当 0 0 处可能不可导 . 如 f ( x ) = | X | 在 x = 0 处不可导 ( 图 1) . f ″( x ) > 0 时 , x 是函数 f ( x ) 的极小点 ; 当 f ″( x ) < 0="" 时="" ,="" 0="" 0="" 0="" [="" 2="" ](="" )="" 设函数="" f="" x="" i="" 有定义="" ,="" x="" .="" 最值点定义="" 在区间="" (="" )="" 0="" x="" 是函数="" f="" x="" 的极大点="" .="" 0="">
) ( ) ) ( ) ( ( ) ( ( ) 若函数 f x 在一些点不可导 , 则用定义判断 . I . 若 Π x ? I , 有 f x ? f x 或 f x ? f x , 则称 0 0
f ( x ) 是函数 f ( x ) 在区间 I 的一个最大值 ( 或最小值) , x 0 0二 、极值点与稳定点
( ) ( ) 是函数 f x 在区间 I 的一个最大点 或最小点. 最大值与 ( ( ) ) ( ) f ′x = 0 的解 x f ′ x = 0 称为函方程 定义 0 0 即 最小值统称为最值 ; 最大点与最小点统称为最值点 . ( ) 数 f x 的稳定点 . 注最值点 x 有可能是闭区间的端点 ; 最值点一定是 0 ( ) ( )注定义不要求函数 f x f x 可导 . 所以 , 可导函数 极值点 , 但极值点不一定是最值点. ( ( )的极值点必须是稳定点但稳定点不一定是极值点 如 f x ( ) 3 . 费尔马定理f x x 可导 , 且 x 是函数若函数 在 0 0 3 = x 中 x = 0 是稳定点但不是极值点) , 而不可导函数 f ( x ) ( ) ( ) f x 的极值点 , 则 f ′x = 0 . 0 ( ( ) 的 极值点则不一定是稳定点 如 f x= | x | 中 x = 0 是极值 ( ) ( ) 注 若去掉 f x 在 x 可导的条件 , 则函数 f x 的极 0 ) 点却不是稳定点. ( ) ( ) 值点 x 处不一定有 f ′x = 0 . 如 f x = | x | . 此外 , 若 0 0 三 、极值点与拐点 3 ( ) ( ) f ′x = 0 , 则 x 不一定是极值点 . 如 f x = x 在 x = 0 0 0 ( ) 1 . 凹凸定义 若函数 f x 在区间 I 可导 , Π x , x ? I 0 3 2 x ( ) ( )= 处 , 有 f ′0= 3 x | = 0 , 但 x = 0 不是函数 f x x = 0 ) ( ) ( ) ( ( ) ( ( ) 且 x ? x , 有 f x > f x + f ′x x - x f x <或 0="" 0="" 0="" 0="" 的极值点="" (="" 图="" 2)="" .="" f="" (="" x="" )="" +="" f="" ′(="" x="" )="" (="" x="" -="" x="" )="" )="" 则="" 称="" 函="" 数="" f="" (="" x="" )="" (="" 或="" 曲="" 线="" y="0" 0="" 0="">或>
( ) ) ( ) ) f x 在区间 I 是凸 或凹.
收稿日期 :2005 - 05 - 18
作者简介 :张怀德( 1962 —) 男 , 甘肃会宁人 , 定西师范高等专科学校数学系副教授 。主要从事高等教育基础研究 。
〃11 〃
()()Vol . 10No . 5 2005 第 10 卷第 5 期 2005 张怀德 :极值点与最值点 、稳定点及拐点的关系
( ) ( ) ( 2 . 拐 点 定 义若 曲 线 y极值点 , 又是它的拐点 图 5. = f x 在 其 上 一 点 M c ,
( ) ) ( ( ) ) 5 . 拐点的判别法 f cM c , f c的一侧是凸 , 另一侧是凹 , 则称点 是曲线
函数 f ( x ) 可导时 , 有 : y = f ( x ) 的拐点 . ( ) 法 1 由于函数 f ( x ) 存在二阶导数 , 且 f ″( x ) = 0 , x ( ) ( ) 注 1此定义不要求函数 f x 可导 , 所以 f c的各 0 0阶导数没有作为定义的条件 .( )0 后 , 就须判( ) = 不一定是函数 f x f ″x 的拐点 , 在解方程 0 ( 2) 若 f ( x ) 在 c 的邻域 U ( c) 存在连续的二阶导数且 ( ) 别曲线 y = f x 在 x 两侧的凹凸性 . x 两侧的凹凸性相 0 0
异 , 即 f ″( x ) 异号 , x 为拐点 , 否则 , x 不是拐点 . ( ) ( ) ( ( ) ) M c , f c是拐点 , 则 f ″c= 0 . 而 f ′c不一定为零 . 所 以0 0
( )) ( ) ( ) ( 拐点与原函数 f x 的稳定点没有联系 . 法 2 用定理 函数 f x 在 U c , б存在连续三阶导
( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( )( ) 0 , 切线> 数 , 且 f ″c= 0 , 但 f ?c?0 , 则点 M c , f c是曲线 y = 3在区间 a , b上 , f x 的二阶导数 f ″x
( ) ( ) f ( x ) 的拐点 . 在曲线下方 , 叫凸 ; f ″x < 0="" ,="" 切线在曲线上方="" ,="" 叫凹="" 3.图="">
这样看 f ( x ) 在 ( a , c) 与 ( c , b) 上至少存在二阶导数 f ″( x ) , ( ) ( ) 证明 将 f x 在 c 展成泰勒公式 到三阶导数, 有
() () 但 f ( x ) 在 x = c 处的导数仍然没有作定义. f″cf ?c2 ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )= f c+ f ′cx - c+ x - c+ xf x 2 ! 3 ! 3 . f ( x ) 在 c 的 邻 域 U ( c) 存 在 连 续 的 二 阶 导 数 , 且 3 3 ) ) ( ( ) ( )( ) ( ) ( ) - c+ o x - c. 或 f x - f c+ f ′cx - c] = ( ) ( ) ( ( ) ) M c , f c是拐点 , 则 f ″c= 0 . 即 c 是导函数 f ′x 的稳 定 ()f ?c 3 3 ( ( )( ( ) )) 1 x - c+ o x - c ( ) 点. 但是 , 如前面所述 , 它的逆命题不成立 . 即若 f ″c= 3 ! 4 0 , 则 c 不一定是曲线 y = f ( x ) 的拐点 . 例如 f ( x ) = x 在 x 3 3 ( ) ( ( ( ) ) ) 因为 o x - c是 x - c的高阶无究小 x ? c, 即 2 = 0 处 , 有 f ″( 0) = 12 x | = 0 , 但 x = 0 不是函数 f ( x ) x = 0 ()f c ?3 3 4 ( ) ( ( ) ) o x - c趋向于零的速度比 x - c趋向于零的速 ( ) = x 的拐点 图 4. 3 !
) ( 度快的多 , 因此 , 当 | x - c | 充分小时 , 1式左端符号与右
()f c ?3 ( ) 端 x - c的符号相同 . 3 !
( ) ( ) ( ) 因为 f ?c?0 , 所以 f ?c> 0 或 f ?c< 0="" ,="">
? ( )fC 3 ( )( ( ) ( ) > 0 , 当 x ? c , б, c时 , x - c< 0="" ,="" 有="" x="" 若="" f="" 3="" !="" 3="" ,="" (="" )="" (="" )="" )="" (="" )="" (="" )="" -="">< 0="" ,="" 即="" f="" x="">< f="" c+="" f="" cx="" -="" c,="">
3 即 f ( x ) 在 ( c , б, c) 上凹 ; 当 xe ( c , c + б) 时 , ( x - c) > 0 ,
? ( ) fC3 有 ( ) () ( ) ( ) () ( )x - c> 0 ,即 f x> f c+ f′cx - c,即 f x 3 !
() 在 c ,c + б上凸 .
若 f ?(c) < 0="" ,同理可知="" ,f="" (="" x)="" 在="" (c="" -="" б,c)="" 上凸="" ,="" (c="" ,c="" +="" б)="">
上凹 .
() (() ) ( ) 所以 ,只要 f ?c?0 ,点 M c ,f c就是曲线 y = f x拐
点 .
( ) 此外 ,函数 f x在一些点不可导时 , 仍然会有极值点成
为拐点的可能 ,此时用拐点的定义判断 . ( ) 4 . 由于没有定义函数 f x 在拐点处是否可导 , 所以曲
线 上 存 在 不 可 导 的 极 值 点 , 是 拐 点 . 如 f ( x ) = 参考文献 : 2 ( ) , - 2 ?X ?0 1 - x + 11 刘玉琏 . 数学分析 M . 高等教育出版社 ,1994 . ( ) 中 x = 0 既是函数 f x 的 2 x,x > 0
责任编辑 :何启明 〃12 〃
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0,且2+p>0,>0,>0,>0,>0,>0,>0,>