范文一:指数形式的傅里叶级数
?3.2.2 指数形式的傅里叶级数
jn,t1,,e n,0,,1,,2?1(复指数正交函数集
,jnt,1 2. 级数形式ftFne()() 4,,,,,1n,,,
3(系数
利用复变函数的正交特性
T1,,jnt1()ftedt,0(,),Fn1T1jn,t,jn,t11eedt,0
T11,,jnt1,f(t)edt,0T1
得到指数形式的傅里叶级数
,jnt,1ftFne()() ,,,1n,,, (正变换)
T11,,jnt1Fnftet,,()()d 1,0T1 (逆变换) 说明:
jnt, ,,,,1,,e, 周期信号可分解为区间上的指数信号的线性组合
ftFn(),,,1, 如给出,则唯一确定,正、逆变换是一变换对。
范文二:1-1 求周期方波(见图1-4)的傅里叶级数(复指数函数形 …
1-1 求周期方波(见图1-4)的傅里叶级数(复指数函数形式),划出|c n |–ω和φn –ω图,并与表1-1对比。
图1-4 周期方波信号波形图
解答:在一个周期的表达式为
T 0?
-A (-≤t <0)>0)>
x (t ) =?
? A (0≤t
积分区间取(-T/2,T/2)
T 0
2T -02
T 020
1c n =
T 0 =j
?
x (t ) e
-jn ω0t
1d t =
T 0
?
T -02
-Ae
-jn ω0t
1d t +
T 0
?
Ae -jn ω0t d t
A
(cosn π-1) (n =0, ±1, ±2, ±3, ) n π
∞
所以复指数函数形式的傅里叶级数为
x (t ) =
n =-∞
∑c n e
jn ω0t
=-j
1
(1-cos n π) e jn ω0t ,n =0, ±1, ±2, ±3, 。 ∑πn =-∞n
A
∞
A ?
c =-(1-cos n π) ?nI
(n =0, ±1, ±2, ±3, )
n π?
??c nR =0
c n =?2A
n=±1, ±3, ±, A ?
=(1-cos n π) =?n π n π?0 n=0, ±2, ±4, ±6,
?
φn =arctan
c nI c nR
?π
?-2n =+1, +3, +5, ??π=?n =-1, -3, -5,
2?
n =0, ±2, ±4, ±6, ?0??
没有偶次谐波。其频谱图如下图所示。
相频图
周期方波复指数函数形式频谱图
幅频图
1-2 求正弦信号x (t ) =x 0sin ωt 的绝对均值μx 和均方根值x rms 。 解
答
:
2x 1T 1T
μx =?x (t t =?x 0sin ωt t =0
T 0T T
?
T
2
T
x x x 2=sin ωt d t =-cos ωt 0=
T ω0T ωπ
2
x rms
====
1-3 求指数函数x (t ) =Ae -at (a >0, t ≥0) 的频谱。 解答:
X (f ) =?x (t ) e
-∞
∞
-j 2πf t
dt =?Ae e
∞
-at -j 2πf t
e -(a +j 2πf ) t
dt =A
-(a +j 2πf )
∞0
=
A A (a -j 2πf )
=2
a +j 2πf a +(2πf ) 2
X (f ) =
?(f ) =arctan
Im X (f ) 2πf
=-arctan
Re X (f ) a
单边指数衰减信号频谱图
1-5 求被截断的余弦函数cos ω0t (见图1-26) 的傅里叶变换。
??cos ω0t x (t ) =?
??0
t
解:x (t ) =w (t )cos(2πf 0t ) w (t ) 为矩形脉冲信号
W (f ) =2T sinc(2πTf ) cos(2πf 0t ) =
1j 2πf 0t
e +e -j 2πf 0t 211j 2πf 0t
+w (t ) e -j 2πf 0t 所以x (t ) =w (t ) e
22
()
根据频移特性和叠加性得:
11
X (f ) =W (f -f 0) +W (f +f 0)
22
=T sinc[2πT (f -f 0)]+T sinc[2πT (f +f 0)]
图1-26 被截断的余弦函数
可见被截断余弦函数的频谱等于将矩形脉冲的频谱一分为二,各向左右移动f 0,同时谱线高度减小一半。也说明,单一频率的简谐信号由于截断导致频谱变得无限宽。
被截断的余弦函数频谱
1-6 求指数衰减信号x (t ) =e -at sin ω0t 的频谱
指数衰减信号
解答:
sin(ω0t ) =
1j ω0t -j ω0t
e -e
2j
()
所以x (t ) =e
-at
1j ω0t -j ω0t
e -e
2j
()
单边指数衰减信号x 1(t ) =e -at (a >0, t ≥0) 的频谱密度函数为
X 1(f ) =?x (t ) 1e -j ωt dt =?e -at e -j ωt dt =
-∞
∞∞
1a -j ω
=2
a +j ωa +ω2
根据频移特性和叠加性得:
X (ω) =
11?a -j (ω-ω0) a -j (ω+ω0) ?X (ω-ω) -X (ω+ω) =-2[1?2?010]22j 2j ?a +(ω-ω0) a +(ω+ω0) 2?
222
ω0[a -(ω-ω0)]2a ω0ω
=2-j [a +(ω-ω0) 2][a 2+(ω+ω0) 2][a 2+(ω-ω0) 2][a 2+(ω+ω0) 2]
指数衰减信号的频谱图
1-7 设有一时间函数f (t ) 及其频谱如图1-27所示。现乘以余弦型振荡cos ω0t (ω0>ωm ) 。
在这个关系中,函数f (t ) 叫做调制信号,余弦振荡cos ω0t 叫做载波。试求调幅信号
f (t )cos ω0t 的傅里叶变换,示意画出调幅信号及其频谱。又问:若ω0<ωm>ωm>
么情况?
图1-27 题1-7图
解:x (t ) =f (t )cos(ω0t )
F (ω) =F [f (t )] cos(ω0t ) =
1j ω0t
e +e -j ω0t 211j ωt -j ωt
所以x (t ) =f (t ) e 0+f (t ) e 0
22
()
根据频移特性和叠加性得:
X (f ) =
11
F (ω-ω0) +F (ω+ω0) 22
可见调幅信号的频谱等于将调制信号的频谱一分为二,各向左右移动载频ω0,同时谱
线高度减小一半。
矩形调幅信号频谱
若ω0<ωm>ωm>
范文三:1-1 求周期方波(见图1-4)的傅里叶级数(复指数函数形 …
1-1 求周期方波(见图1-4)的傅里叶级数(复指数函数形式),划出|c|–ω和φ–ω图,nn
并与表1-1对比。
x(t)
A
TT00 … … ,22
t 0 T ,T00
-A
图1-4 周期方波信号波形图
解答:在一个周期的表达式为
T,0,,,,At (0),,2 xt(), ,T0, (0)At,,,,2
积分区间取(-T/2,T/2)
TT000111,,,jntjntjnt,,,22000cxtetAetAet,,()d=d+dTTn0,,,0,0,TTT20002
A,jnn,,, =(cos-1) (=0, 1, 2, 3, )?n,
所以复指数函数形式的傅里叶级数为
,,A1jntjnt,,00 ,。 n=0, 1, 2, 3, ,,,?,,,,,xtcejne()(1cos),,n,nnn,,,,,,
A,(1cos),cn,,,,nI (=0, 1, 2, 3, )n,,,?n,,
,0c,nR,
,2A n ,,,,1,3,,?A,22 ,cccn ,,,,,(1cos),n,nnRnI,n,00,2,4,6, n,,,,?,
π,,,,,,n?1,3,5,,2,cπ,nIφ,,,,,,n?arctan1,3,5, ,nc2nR,
n,,,,?00,2,4,6,,
,,
没有偶次谐波。其频谱图如下图所示。
| |cnφn
2A/π 2A/π
π/2
ω 5ω 3ω0002A/3π 2A/3π 2A/5π 2A/5π -3ω ω -ω-5ω 000
-π/2 ω -ω -5ω5ω-3ω ω 3ω 000000
幅频图 相频图
周期方波复指数函数形式频谱图
1-2 求正弦信号的绝对均值和均方根值。 xtx()sin,ωtxμ0rmsx
解答:
TTTT2242xxxx11000022 μ,,,,,,,xttx()dsindsindcosωttωttωt0x,,,0000TTTTωTωπ
2TTTxx111cos2,ωt22200 xxttx,,,,()dsinddωtttrms0,,,000TTT22
,at的频谱。 1-3 求指数函数xtAeat()(0,0),,,
解答:
,,(2)ajft,,,eAAajf(2),,,,,,jftatjft22,,XfxtedtAeedtA()(),,,,,0,,22,,0,,,,(2)2(2)ajfajfaf,,,
k Xf(),22,af,(2)
Im()2Xff, ()arctanarctanf,,,,Re()Xfa
|X(f)| φ(f)
A/a π/2
0 f
-π/2 0 f
单边指数衰减信号频谱图
cosωt1-5 求被截断的余弦函数(见图1-26)的傅里叶变换。 0
,,cosωttT0,x(t) xt(),,0tT,1 ,,
解: xtwtft()()cos(2),,0
w(t)为矩形脉冲信号 0 -T T t
WfTTf()2sinc(2),,
1jftjft22,,,00-1 ,ftee,, cos(2),,02w(t)
11jftjft22,,,001 所以 xtwtewte,,()()()22
根据频移特性和叠加性得:
11XfWffWff()()(),,,,000 T -T t 22
,,图1-26 被截断的余弦函数 ,,,,TTffTTffsinc[2()]sinc[2()]00
可见被截断余弦函数的频谱等于将矩形脉冲的频谱一分为二,各向左右移动f,同时谱0线高度减小一半。也说明,单一频率的简谐信号由于截断导致频谱变得无限宽。
X(f)
T
-f f f 00
被截断的余弦函数频谱
,at 1-6 求指数衰减信号的频谱 xte()sin,ωt0
x(t)
指数衰减信号
解答:
1jtjt,,,00 ,tee,,sin(),,0j2
1jtjt,,,,at00所以 xteee,,(),,j2
,at 单边指数衰减信号的频谱密度函数为 xteat()(0,0),,,1
,,1aj,,jtatjt,,,,, Xfxtedteedt()(),,,,1122,,0,,aja,,,,
根据频移特性和叠加性得:
,,ajaj,,,,()(),,,,1100XXX()()(),,,,,,,,,,,,,1010,,222222()()jjaa,,,,,,,,00,, 222[()]2aa,,,,,,,000,,j22222222[()][()][()][()]aaaa,,,,,,,,,,,,,,,,0000
φ(ω) X(ω)
π
0 ω
-π
0 ω
指数衰减信号的频谱图
1-7 设有一时间函数f(t)及其频谱如图1-27所示。现乘以余弦型振荡cos()ωtωω,。00m在这个关系中,函数f(t)叫做调制信号,余弦振荡cosωt叫做载波。试求调幅信号0
ft()cosωtωω,的傅里叶变换,示意画出调幅信号及其频谱。又问:若时将会出现什00m么情况,
f(t)
F(ω)
0 ωω m -ω0 m t
图1-27 题1-7图
解: xtftt()()cos(),,0
Fft()[()],,F
1jtjt,,,00 ,tee,, cos(),,02
11jtjt,,,00xtftefte,,所以 ()()()22
根据频移特性和叠加性得:
11,,,, XfFF()()(),,,,0022
可见调幅信号的频谱等于将调制信号的频谱一分为二,各向左右移动载频ω,同时谱0线高度减小一半。
X(f)
-ω0ω f 0
矩形调幅信号频谱
ωω,若将发生混叠。 0m
范文四:§322 指数形式的傅里叶级数
?3.2.2 指数形式的傅里叶级数
jn,t1,,e n,0,,1,,2?1(复指数正交函数集
,jnt,1 2. 级数形式ftFne()() 4,,,,,1n,,,
3(系数
利用复变函数的正交特性
T1,,jnt1ftedt(),0Fn,,()1T1,,,jntjnt11eedt,0
T11,,jnt1,f(t)edt,0T1
得到指数形式的傅里叶级数
,jnt,1ftFne()() ,,,1n,,, (正变换)
T11,,jnt1Fnftet,,()()d 1,0T1 (逆变换) 说明:
jnt, ,,,,1,,e, 周期信号可分解为区间上的指数信号的线性组合
ft,,Fn(),1, 如给出,则唯一确定,正、逆变换是一变换对。
范文五:傅里叶(Fourier)级数的指数形式与傅里叶变换
傅里叶(Fourier ) 级数的指数形式与傅里叶变换
专题摘要:根据欧拉(Euler )公式,将傅里叶级数三角表示转化为指数表示,进而得到傅里叶积分定理,在此基础上给出傅里叶变换的定义和数学表达式。
在通信与信息系统、交通信息与控制工程、信号与信息处理等学科中,都需要对各种信号与系统进行分析。通过对描述实际对象数学模型的数学分析、求解,对所得结果给以物理解释、赋予其物理意义,是解决实际问题的关键。这种数学分析方法主要针对确定性信号的时域和频域分析,线性时不变系统的描述以及信号通过线性时不变系统的时域分析与变换域分析。所有这些分析方法都离不开傅里叶变换、拉普拉斯变换和离散时间系统的z 变换。而傅里叶变换的理论基础是傅里叶积分定理。傅里叶积分定理的数学表达式就是傅里叶级数的指数形式。
不但傅里叶变换依赖于傅里叶级数,就是纯数学分支的调和分析也来源于函数的傅里叶级数。因此,傅里叶级数无论在理论研究还是在实际应用中都占有非常重要的地位。我们承认满足狄里克莱(Dirichlet )条件下傅里叶级数的收敛性结果,不去讨论和深究傅里叶展式的唯一性问题。
傅里叶级数的指数形式
T T , ]上满足狄里克莱条件:1o f (t ) 连续或只有22
T T 有限个第一类间断点;2o 只有有限个极值点。那么f (t ) 在[-, ]上就可以展成傅里叶级22
数。在连续点处 一个以T 为周期的函数f (t ) ,在[-
a 0∞
f (t ) =+∑(a n cos n ωt +b n sin n ωt ) , (1) 2n =1
其中 ω=2π, T
2a n =?2T f (t ) cos n ωt dt , (n =0, 1, 2, ) , (2) T -2
2b n =?2T f (t ) sin n ωt dt , (n =1, 2, 3, ) , (3) T -2
根据欧拉(Euler )公式:e j θT T =cos θ+j sin θ,(1)式化为
a 0∞?e jn ωt +e -jn ωt e jn ωt -e -jn ωt ?f (t ) =+∑?a n +b n ? 2n =1?22j ?
a 0∞?a n -jb n jn ωt a n +jb n -jn ωt ?, (4) =+∑?e +e ?2n =1?22?
若令
1c 0=?2T f (t ) dt T -2T
T a n -jb n 1T 122c n ==?T f (t ) cos n ωt dt -j ?T f (t ) sin n ωt dt 2T -2T -2
1=?2T f (t )[cosn ωt -j sin n ωt ]dt T -2
1=?2T f (t ) e -jn ωt dt , n =1, 2, 3, T -2T T
c -n 1=?2T f (t ) e jn ωt dt , n =1, 2, 3, T -2T
综合c 0, c n , c -n ,可合并成一个式子
1c n =?2T f (t ) e -jn ωt dt , n =0, ±1, ±2, , (5) T -2
若令ωn =n ω, T n =0, ±1, ±2, ,则(1)式可写为
f (t ) =c 0+∑(c n e
n =1∞j ωn t +c -n e -j ωn t ) =n =-∞∑c e ωj n +∞n t , (6)
这就是傅里叶(Fourier)级数的指数形式。或写成
T ?j ωn t 1+∞?2-j ωn τf (t ) =∑??T f (τ) e d τ?e 。 (7) T n =-∞?-2?
傅里叶积分定理
因为任何一个非周期函数f (t ) 都可以看成是由某个周期函数f T (t ) 当T →+∞时转化而来的,即lim f T (t ) =f (t ) 。于是有 T →+∞
T ?j ωn t 1+∞?2-j ωn τf (t ) =lim ∑??T f T (τ) e d τ?e 。 T →+∞T -n =-∞?2?
可以证明(详细过程可参阅文[46]),当T →+∞时,有
f (t ) =1
2π?+∞f (τ) e -j ωτd τ?e j ωt d ω, (8) ?-∞????-∞?+∞
公式(8)称为傅里叶积分公式。从而得到一个非周期函数可用傅里叶积分公式表示的傅里叶积分定理。
傅里叶变换
根据傅里叶积分定理,设
F (ω) =?f (t ) e -j ωt dt , (9) -∞+∞
则
1f (t ) =2π?+∞
-∞F (ω) e j ωt d ω, (10)
从上两式可以看出,f (t ) 和F (ω) 通过指定的积分运算可以相互表达。(9)式叫做f (t ) 的傅里叶变换,记为
F (ω) =F [f (t )].
F (ω) 叫做f (t ) 的象函数,(10)式叫做F (ω) 的傅里叶逆变换,记为
f (t ) 叫做F (ω) 的原象函数。 f (t ) = F -1[F (ω)].
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