范文一:对重排级数敛散性的讨论
对重排级数敛散性的讨论
2000年第l期
No.12O【】0
阿坝师范高等专科学校
JOURNALOFABATEACHERSCOLLEGE
2000年5月
M2000
对重排级数敛散性的讨论
里量感D1];,
(阿坝师专数学系,四川汶川623000) 【摘要】本文对重排级数的敛散性进行了讨论,得到几个判断重排级数收敛与发
散的结
论.并讨论了重排对同号级数敛散性速度的影响:
.堕丝煎船5. 警】苎.奎
嚏.——.——.'
定义1:若f是自然数集N到N自身的一 一
对应,则称之为自然数的重排.对于数列 {I按自然数的一个重排f:n—f(n)所得的数 列i)I称为原数列Jan}的一个重排. 此时,称级数?8lc为级数?n)的一个 重排.主要结论如下:
(一)收敛级数的重排级数的敛散
性.
[I]设?为绝对收敛级数,?af()为级
数的任意一个重排,则三)绝对收敛,且 =
三
证明:设?:S,则V?>0,Nl,当 n?N【时
有:l毒ak—sl<专,由于毒『aDI收敛,应有 N1?N
当n?N2时,?Idk【<{. 设k:f(i),(--1,2,…N1),令
N:咄Ikl,.…,KMI.则N?N1, 收稿日期:l999一I1一l8
一
般项级数绝对收敛条件收敛
?伊{曲貉
当n?N,
记dn=毒kJ一,则II?.『?
?
1,
于是『三kJ—SI?『毒一s『+I?专 +{=e
故:Sc
另一方面,由于II收敛,]M>0,使苫 1I?M(Ti=1,2.3…),对Vn,令m=咄{f (1)t"2),…?f(n)},则【【?苫II?M, 故?绝对收敛.
[II]若级数量an条件收敛,则对任意指定 的常数C,总可以适当重排量an得到一个收敛
于C的重排级灵敏t也可以适当重排,使 重排级数发散到*=
证明:先证收敛于指定的常数C. 设的非负项与负项分别为pn与
62阿坝师范高等专科学校20(20年5月 三qn,由于lanI发散,故罩p及qn也发散c 我们作如下重排,先放置非负项pp2+…+ P直至刚好超过C,即P【阢+…+P?C, 叉放置qI+,?'+qn,直至刚好小于C,即P【 +pz+…P+qt+啦+…qn?C,然后叉放 +【+2+…直到刚好大于C,叉放负项 qn+q+2+…q|L直至刚好小于C,依次这样 放置,我们可以得到这样一个经过重新排列的 新级数?b=p】阢+…P+qt屯+…+ qn.
P+l…q1+【+2…qn2….
由于当n一*时,—O,%一0,而按上述方 法重排后,所得重排级数?bn的前n项部分和 为?与c的差满足,O?IbL—CI?Pn.+或 满足0?l王bL—Cl?qn无能上述两个不等 式哪个成立,都有l'm=C.即b=c. 其次证明可以适当重排使?发散到? .e.(仅证发散到+的情形,发散到一完 全类似可证)我们如下重排:交错放置一组正 项和一个负项.由于?发散,它的部分和无 界故存在m.,使
P【+p2+…>1一q】然后取吨>ml, 使Plp2+…PP+l+…'2一(q【
)一般地,可取充分大>使
Pl+…p>k一(q】屯+…)
(k=3.4,…)
因此交错的放置一组正项和一个负项的 级数
Pl+…Pql+l+
+l+P+q3+…>k,即新级数bn
Pl…ql+l…q2
…
的k个部分和超过k,故而?b发散到+*. <二)发散级数的重新排列
[I发放的同号级数无能如何重排,所得 重排级数仍发散.
证明:采用反证法.设?an为发散的同号 级数,不妨设它为正项级数.若存在重排f:n —ffn)使得重排级数三af()收敛,则.)经过 fI1的作用得到级数?an,由前述结论可能知 dI
?an收敛,矛盾.故结论成立.
[?]发散的一般项级数经过重排可能收
发 敛,可能发散.(此命题是指通项趋近于零,散到的一般项级数)
证明:由(一)的[?]可知条件收敛的级数 ?an经过重排可以使其发散到?*.设?arI经 f:n—f(n)使用得重排级数三af(n)l?af(,发散 到+.由f的一一对应特征可知f存在逆映 射f.,则三an可以看成?af(,经过f.作用所 得的重排级数由?an的条件收敛性知诸论成 立,即发散到的级数经重排可以成为条件收 敛的级数.
其次证明可能发散.
设?an,且lima.=0,我们作如下重排:只交 换级数中奇偶项的位置得一新级数?bn 口I
?b+a4a]+…82‰.【+…即
满足82=‰一.=,将?的前n项和
S'=bl+I)2+…+bD与?an的前n趺和sn相 比较,可见s'与S的关系为当n:2k,S'= ;当n=2k一1,S'=an+【一a口,无论哪个 关系式有liras.=ljm
故?I发散,即结论成立.
本文以下进一步讨论重排对正项级数收 敛速度与发散速度的影响
定义2:设?a|I,?均收敛于C,它们的n 项部分和分别为A=+啦+…+,=b】+ +'.+b.若N,Vn>N有:
第l期马昌盛:对重排级数敛散性的讨论63 I一cI?IB一cI,则称级数?收敛于
C的速度比?收敛于C的速度快.
定义3:设aD,都发散到+(或一
*)它们的n项部分和分别为=++…
,B=bl++…+.若Vn?N.有凡?Bn
(或A?B),则称设?日Tl发散到+(或一*) 的速度比设?k发散到+(或一*)的速度 快;
(1)任何收敛的正项级数设?,无论怎 样重排,所得重排级数收敛速度都介于下述两 个级数的收敛速度之间:两个级数为设af() 与设n)'其中姜a[(n,是将级数设三日Tl中的项 按从小到大排列所得的级数.,二是将设 ?日TI中的项按从大的顺序排序所得的重排级 数.
证明:设正项级数兰aD,将三中的项按从 小到大的顺序排列构成新级数?a『(. 设?aD的任意一个重排级数设?的前n 项和为B,?蛳】的前n项和为sD,则Vn?N 有:sn?BIjS一?S一
jIs一I?Is一I
由定义可知任意一个重排级数?bn收敛 速度都比设?)快c
同理,设的前n项和为S',
Vn?N.S'?=}S,S'?S—B
jIS—SI?IS—BI
由定义可知,任意一个重排级数?I的收 敛速度比)慢c
【?]收散到+的正项级数?an的发散速 度必定介于下述两个级数之问.两个级数为 af(n与设其中设三n)为设中项
按从小到大的婀序排列所得.\二为an中 项按从大到小的顺序排列所得.
证明:设?aD的任意一个重排级数为?h, 设?k的前n项和为B,?.)的前n项和为 sn.?的前n项和为S',则Vn有:
s?B?S',即任意一个重排级数的发散 速度介于与?j之问.
上述结论[?]也可表述为由单调递增数 列;l构成的级数?,无论怎样重排.【乜不能 减慢它的收敛速度或者不可能加快它的发散 速度;由单调递减数列}b?l构成的级数?,无 论怎样重排.电不可能加快其收敛速度或者减 慢其发散速度.
最后,本文提出如下问题.供思考.
问题为:对任意发散的任意项级数?%,是 否都能在an一0(n一)的条件下找到合适的 重排,使重排级数条件收敛,并收敛于任意给 定的常数.
参考文献:
?《数学分析方法选讲》第五章,周忠群主编, 西南师范太学出版社,1989.
?《实分析中的原则》,汪林主蝙,高等教育出 版社.
?《数学分析讲义》(第三版),刘玉琏,博沛仁 主编.高等教育出版社.
?《数学分析的方岳》,用家云.刘一鸣,解际太 编,山东教育出版社
范文二:级数的敛散性
题 目 有关级数的敛散性 学 生
指导教师 年 级 2008级 专 业 数学与应用数学 系 别 数学系
学 院 数学科学学院
2011年5月
目 录
摘 要 ............................................................................................................................................................. 1
关键词 ............................................................................................................................................................. 1
................................................................................................................................................................. 1 引言
1 基本概念和相关理论 ............................................................................................................................... 1
1.1 有关级数的定义 ........................................................................................................................... 1 2 级数敛散性的判定方法 ........................................................................................................................... 3
2.1 级数的相关定理及证明 ............................................................................................................... 3 3 级数敛散性的应用 ................................................................................................................................... 7
3.1 级数敛散性的相关结论 ............................................................................................................... 7
级数敛散性判定的应用 ............................................................................................................. 10 3.2
结束语 ........................................................................................................................................................... 14
参考文献 ....................................................................................................................................................... 14
外文摘要 ....................................................................................................................................................... 14
有关级数的敛散性
,哈尔滨师范大学数学科学学院,
摘 要: 级数是高等数学中的一个重要内容,而正项级数又是级数的重要组成部分,判别正项级数的敛散性方法很多,本文主要讨论了正项级数判别法的一些特性,及判别正项级数敛散性的一般步骤
关 键 词 数项级数 收敛 发散 判别法
引言
数项级数敛散性判定研究是一个重要而有趣的课题,关于数项级数的敛散性判定尽管有不少经典性判别法,然而对数项级数判断收敛的方法的研究至今还在继续与深入,并且获得了一些新的知识和发现.本文打算对数项级数各项重要的敛散性判别方法作简单、系统的归纳,在已有判断收敛的一般程序基础上,进行进一步探讨,使解题更简便、更直接,从而找到判断收敛更完美的一般程序及最优方法选择.
1基本概念和相关理论
1.1有关级数的定义
定义1.1.1 给定一个数列u,对它的各项依次用“+”号连接起来的,,n
表达式
(1) uuu,,,,......12n
称为数项级数或无穷项级数(也简称为级数),其中称为数项级数(1)un
的通项.
,
uu数项级数(1)也常写作:或简称写作. ,,nnk,1
数项级数(1)的前n项之和,记为
n
S,u,u,u,...,u , (2) ,nk12n,k1
称为数项级数(1)的第n个部分和,也简称为部分和.
limS,S 定义1.1.2 若数项级数(1)的部分和数列收敛于S(即),,,Snn,,n
则称数项级数(1)收敛,称S为数项级数(1)的和,记作
uuu,,,,...... 或S,u. ,n12n
若是发散数列,则称数项级数(1)发散. ,,Sn
定义1.1.3 若正项级数各项的符号都相同,则称它为同号级数.
各项都是由正项组成的级数称为正项级数
定义1.1.4若级数的各项符号正负相间,即
n,1, uuuuuun,,,,,,,,,...(1)...(0,1,2,)1234nn
则上述级数为交错级数
2 级数敛散性的判定方法
2.1 级数的相关定理及证明
定理2.1.1 由于级数(1)的收敛或发散(简称敛散性),是由它的部分和数
列来确定的,因而可把级数(1)作为数列的另一种表现形式.反,,,,SSnn
之任给一个数列,如果把它看作某一数项级数的部分和数列,则这个数,,an
,
u,a,(a,a),(a,a),?,(a,a),?项级数就是 (3) ,n12132nn,1n,1
这是数列与级数(3)具有相同的敛散性,且当收敛时,其极,,,,aann
限值就是级数(3)的和.
定理2.1.2 (级数收敛的柯西准则) 级数(1)收敛的充要条件:任给正数,总,存在正整数N,使得当m,N以及对任意正整数p,都有
uuu,,,,, (5) mmmp,,,12
即有级数(1)发散的充要条件:存在某正整数,对任何正整数N,总存在整,0
数和,有 pm(,N)00
uuu,,,,, mmmp,,,12
定理2.1.3 若级数(1)收敛,则
limu,0 (6) nn,,
定理2.1.4 若级数u和都收敛,则对任意常数,,级数()cudv,vdc,,,nnnn亦收敛,且
()cudvcudv,,, ,,,nnnn
定理2.1.5 去掉、增加或改变级数的有限个项不改变级数的敛散性. 定理2.1.6 在收敛级数的项中任意加括号,既不改变级数的收敛性,也不改变它的和.
注意:从级数加括号的收敛,不能推断它在未加括号前也收敛.例如
(11)(11)(11)000,,,,,,,,,,, 收敛,但级数
1111,,,,
却是发散的.
uS定理2.1.7 正项级数收敛的充要条件是:部分和数列有界,即存在,,,nn某正整数N,对一切正整数n都有. SM,n
uv定理2.1.8(比较原则) 设和是两个正项级数,如果存在某正整数N,,,nn
对一切nN,都有
uv,nn
则
vu(i)若级数收敛,则级数也收敛; ,,nn
(ii)若级数u发散,则级数也发散. v,,nn推论 设
(7) uuu,,,,......12n
(8) vvv,,,,......12n
是两个正项级数,若
un lim,ln,,vn则
(i) 当时,级数(7)、(8)同时收敛或同时发散; 0,,,,l
(ii) 当且级数(8)收敛时,级数(7)也收敛; l,0
(iii)当l,,,且级数(8)发散时,级数(7)也发散.
u定理2.1.9(达朗贝尔判别法,或称比式判别法) 设为正项级数,,n
01,,q且存在某个正整数及常数(). qN0
(i) 若对一切,成立不等式 nN,0
un,q vn
u则级数收敛. ,n
(ii)若对一切,成立不等式 nN,0
un,1 vn
u则级数发散. ,n
推论 (比式判别法的极限形式)若u为正项级数,且 ,n
un,1 (9) lim,qn,,un
则
q,1 (i) 当时,级数u收敛; ,n
q,1(ii)当或时,级数u发散. q,,,,n
q,1 注 若(9)中,这是用比式判别法对级数的敛散性不能做出判断
11因而它可能是收敛的,也可能是发散的.例如级数和,它们的比式极,,2nn
限都是
un,1,,,1()n un
11但是收敛的,而却是发散的. ,,2nn
若某极限(9)式的极限不存在,则可用上、下极限来判别.
u推论 设为正项级数. ,n
un,1lim1,,q(i)若,则级数收敛; n,,un
un,1lim1,,q(ii)若,则级数发散. n,,un
u定理2.1.10 (柯西判别法,或称根式判别法) 设为正项级数,且,n存在某正数及正常数l, N0
(i)若对一切,成立不等式 nN,0
nul,,1 , (10) n则级数收敛; u,n
(ii)若对一切,成立不等式 nN,0
nu,1 (11) n
u 则级数发散. ,n
u 定理2.1.11(根式判别法的极限形式) 设为正项级数,且 ,n
n (12) limul,n,,n
u 则(i)当时,级数收敛; l,1,n
u (ii)当时,级数发散. l,1,n注 若(12)式中,则根式判别法仍无法对级数的敛散性作出判别. l,1
11例如,对和,都有 ,,2nn
nun,,,1() n
11但是收敛的,而却是发散的. ,,2nn
nu若(12)式的极限不存在,则可根据根式的上极限来判断. n
u定理2.1.12 设为正项级数,且 ,n
n limul,n,,n则当(i) l,1时级数收敛;
l,1(ii)时级数发散.
定理2.1.13(莱布尼茨判别法)若交错级数
n,1 (13) uuuuu,,,,,,,...(1)...1234n
满足下述两个条件:
(i) 数列单调递减; u,,n
lim0u,(ii) nn,,
则级数(13)收敛.
定理2.1.14 若级数(13)满足莱布尼茨判别法的条件,则收敛级数的余项
估计式为
Ru, nn,1
绝对收敛级数及其性质
若级数
(7) uuu,,,,......12n
各项绝对值所组成的级数
uuu,,,,...... (15) 12n
收敛,则称级数(7)为绝对收敛. 定理2.1.15 绝对收敛的级数一定收敛.
定理2.1.16 设级数
(7) uuu,,,,......12n
绝对收敛,且其和等于S,则任意重排后所得到的级数
vvv,,,,...... (8) 12n
也绝对收敛亦有相同的和数. 注 由条件收敛级数重排列后所得到的新级数,即使收敛,也不一定收
敛于原来的和数.而且条件收敛级数适当重排后,可得到发散级数,或
收敛于事先指定的数.例如级数
111n,1 ,,,,,,1(1)n,231
是条件收敛的,设其和为A,即
,11111111n1,,,,,,,,,,,,A(1)1 ,n2345678n1,
1乘以常数后,有 2
111111An,1 ,,,,,,,(1),224682n将上述两个级数相加,就得到
111113 1,,,,,,,A325742定理2.1.17 (柯西定理) 若级数
(7) uuu,,,,......12n
(8) vvv,,,,......12n
wuv都绝对收敛,则对所有乘积按任意顺序排列所得的级数也绝,nij
AB对收敛,且其和等于.
引理 (分部求和公式,也称阿贝尔变换) 设为两,,(123)vin,,,,,ii
组实数,若令
, ,,,,,,vvvkn(12),,kk12
则有如下分部求和公式成立:
n
,,,,,,,,,,,,v,,,,,,,,()()()(16) ,12123211,,iinnnnn,1i
推论(阿贝尔引理) 若
(i) 是单调数组; ,,,,,,12n
kkn(1),,(ii)对任意正整数有,,A(这里),则记,,,,vvkkk1
时,有 ,,,max{}kk
n
(17) ,,vk,3,kk,1i
定理2.1.18(阿贝尔判别法) 若为单调有界数列,且级数b收敛,{}a,nn
则级数
abababab,,,,, (18) ,nnnn1122
收敛.
lim0a,定理2.1.19(狄利克雷判别法) 若数列单调递减,且,又级{}annn,,
b数的部分和数列有界,则级数(18)收敛. ,n
积分判别法
f[1,),,定理2.1.20(积分判别法) 设为上非负减函数,那么正项级数
,,fn()与反常积分,fxdx()同时收敛或同时发散. ,1
3 有关级数的敛散性的应用
3.1级数敛散性的相关结论
3.1.1判断正项级数一般顺序是先检验通项的极限是否为0,若为0则收
敛,若不为0则判断级数的部分和是否有界,有界则收敛,否则发散.
3.1.2若级数的一般项可以进行适当放缩则使用比较判别法,或可以找到
其等价式用等价判别法.
3.1.3当通项具有一定特点时,则根据其特点选择适用的方法,如比值判别法、跟式判别法。
3.1.4当上述方法都无法使用时,通常可以选用比式判别法当比式判别法也无法使用时,使用比较判别法,若两者都无法使用在使用充要条件进行判定断。
由此,我们可以知道正项级数的判别法是层层递进使用的,每当一种判别法无法判断时,就出现一种新的判别法进行判断,因此正项级数的判别法可以看做是由无穷多种。
3.2 级数敛散性判定的应用
例3.2.1 讨论数项级数
111,,?,,? (4) 1,22,3n(n,1)
的敛散性.
解 级数(4)的第n个部分和
111S,,,,? n1,22,3n(n,1)
11111 ,(1,),(,),?,(,)223nn,1
11,= n,1
由于
1S, lim,lim(1,),1nn,,n,,n,1
因此级数(4)收敛,且
111,,?,,?,1 1,22,3n(n,1)
111例3.2.2讨论调和级数的敛散性. 1,,,?,,?23n解 这里调和函数显然满足推论的结论,即
1u lim,lim,0nn,,n,,n但令时,有 p,m
111,,,,,,,uu?u?m,1m,22m,1,22mmm
111 ,,,?2m2m2m
1,2
1因此,取,对任给的正整数N,只要m,N和p,m就有(6)式,,02
成立.所以调和级数是发散的.
1例3.2.3应用级数收敛的柯西准则证明级数收敛. ,2n证明 由于
uuu,,, mmmp,,,12
111,,,, 222(1)(2)()mmmp,,,
111,,,, mmmmmpmp(1)(1)(2)(1)(),,,,,,
11,, mmp,
1, ,m
1,,,N因此,对任给正数,取,使当及对任意正整数,由上式就有 mN,p,,,,,,
1 uuu,,,,,,mmmp,,,12m
1 根据级数收敛的柯西准则推得级数是收敛的. ,2n
1的收敛性. 例3.2.4考察,2nn,,1
解 由于当时,有 n,2
1111,,, 222nnnnnnn,,,,,1(1)(1)
,11因为正项级数收敛,故由定理6和定理3,级数也,,22n,(1)nn,,1n,2
收敛.
例3.2.5级数
1 ,n,n2是收敛的,因为
1nn21,n2,,, limlimlim1nnnn,,,,,,n1,n2,1nn22
11以及等比级数收敛,所以根据推论,级数也收敛. ,,nn,n22
例3.2.6级数
111 sinsin1sinsin,,,,,,nn2是发散的.因为
1sinnlim1, ,n,,1
n
11根据推论以及调和函数发散,所以级数也发散. sin,,nn例3.2.7级数
25823(1),,,,n,,225258,,, ,,,,,11515915914(1),,,,,,,n,,由于
u233,nn,1limlim1,,, nn,,,,un144,n
根据比式判别法的极限形式知级数收敛.
n,1nxx(0),例3.2.8讨论级数的敛散性. ,
解 因为
nu(1)1nxn,,,1n ,,,,,,xxn(),1nunxnn
当01,,x时级数收敛;当x,1时级数发散;而当x,1时所考察的极限
n是,它显然也是发散的. ,
n2(1),,例3.2.9研究级数的敛散性. ,n2
解 由于
nn2(1),,1n ulimlim,,n,,,,nn22
所以级数是收敛的.
例3.2.10级数
nn2,,,,,,,,, ,,nn!2!!n,1
的各项绝对值所组成的级数是
nn2,,,. ,,,,,,,nn!2!!
应用比式判别法,对于任何实数都有 ,
u,n,1, limlim0,,nn,,,,,1unn
因此所考查的级数对任何实数都绝对收敛. ,
例3.2.11若数列具有性质: {}an
aaaa,,,,,,lim0, 12nn,,n
x,(0,2),anxsinanxcos则级数和对任何都收敛. ,,nn
解 因为
nxxx13,,,,,2sin(cos)sin(sinsin)kxx ,22222,1k
11 ,,,,[sin()sin()]nxnx22
1 ,,sin()nx2
xx,(0,2), 当时,,故得到 sin0,2
1nx,sin()n12,,coskx ,x2k,12sin2
x,(0,2),cosnx 所以级数的部分和数列当时有界,由狄利克雷推得,
级数anxcos收敛.同理可证级数anxsin也是收敛的. ,,nn
例3.2.12 讨论下列级数
,1(i); ,pnx(ln)n,2
,,dx解 研究反常积分,由于 p,2(ln)nx
,,,,,,dxdxdu(ln),, ppp,,,22ln2nxxu(ln)(ln)
p,1p,1p,1p,1当时收敛,时发散,根据积分判别法知级数(i)在时收敛,
时发散
例3.2.13
结束语
参考文献:
[1]
[2]
[3]
外文摘要
THE INDUCTION ABOUT CONVERGENCE AND DIVERGENCE CRITERION OF POSITIVE SERIES
WU Jun
(Department of Mathematics, wenli College, Harbin Normal University )
The induction about Convergence and Divergence Criterion of positive series Abstract: Higher Mathematics series is an important part of teaching. The series of
positive terms is an important series part, Positive identification of Convergence and Divergence of many ways. This paper discusses the positive of distinguishing a number of sub-features, and determines the positive series for convergence of the general steps. Key word: Positive series; Convergence; Divergence; Discriminance
参考文献
范文三:正项级数敛散性判别法的讨论 论文
:级数是高等数学教学中的一个重要内容,而正项级数又是级数的重
要组成部分,判别正项级数敛散性的方法很多,本文主要讨论了正项级数的判别
法一些特性,及判别正项级数敛散性的一般步骤.并阐述一些正项级数判别的新方法.
:正项级数、收敛、判别法
Abstract Higher Mathematics series is an important part of teaching, The series of
positive terms is an important series Part, Positive identification of Convergence and
Divergence of many ways, This paper discusses the positive series of distinguishing a
number of sub-features, and determine the positive series for convergence of the
general steps. and presents a number of positive series of new methods of
identification.
Key wordsPositive series; Convergence; Discriminance;
数项级数是数的加法从有限到无限的自然推广.但在作加法运算时,许多有限次加法的性质在计算无限次加法时发生了改变.首先,有限次相加的结果总是客观存在的,而无限次相加则可能不存在有意义的结果.也就是说,一个级数可能是收敛或发散的.因而,判别级数敛散性的问题往往被看作级数的首要问题.
教材和很多文献已经给出了关于级数敛散性的判别方法,但实际应用中往往
会遇到这样的问题:对于一个给定级数,应采用哪种判别法才能快速而又简洁的
判定它的敛散性呢?即应按怎样的步骤去思考,在短时间内很难把握.本文就这
一问题做了一些总结和讨论.
,
uu,0如果级数中各项均有,这种级数称为正项级数. ,nn,n1
1
,
u如果级数中,部分和数列有界,即存在某正数M,对有,,n0,S,,,nn,n1
. ,MS,,n
【】
uvu设和是两个正项级数,如果存在某个正数N,对一切n>N都有 ,,nnn
,v,那么 n
vu(1) 若级数收敛,则级数也收敛; ,,nn
uv(2) 若级数发散,则级数也发散. ,,nn
比较判别法的极限形式:
unluvlim,设和是两个正项级数.若,则 ,,nnn,,vn
uv(1)当时,和同时收敛或同时发散; 0,,,,l,,nn
vu(2)当时,若级数收敛,则级数也收敛; l,0,,nn
vu(3)当,若级数发散,则级数也发散. l,,,,,nn
【】
uNqq(01),,设为正项级数,且存在某正整数及常数 ,n0
un,1qunN,,(1) 若对一切,成立不等式,则级数收敛; ,n0un
un,1unN,,1(2)若对一切,成立不等式,则级数发散. ,n0un比式判别法的极限形式
2
u若为正项级数,则 ,n
un,1u(1)当lim1,时,级数收敛; ,nn,,un
un,1u(2)当lim1,时,级数发散. ,nn,,un
【】
uN设为正项级数,且存在某正整数及常数 l,n0
nunN,(1) 若对一切,成立不等式,则级数收敛; ul,,1,n0n
nunN,(2) 若对一切,成立不等式,则级数发散; u,1,n0n根式判别法的极限形式:
nu设是正项级数,且,则 limul,,nn,,n
u(1) 当时,则级数收敛; l,1,n
u(2) 当时,则级数发散. l,1,n
fn()设fx()为[1,),,上非负递减函数,那么正项级数与反常积分,
,,fxdx()同时收敛或同时发散. ,1
【】
al1noN1(),()a(0)a,,,,,,设为正项级数,且则 ,nnannn,1
aa(1)当时,级数收敛;(2)当时,级数发散. l,1l,1,,nn
【】2.5.1 第一对数判别法
3
1ln()
anliml,a(0)a,设为正项级数,且.则 ,nnx,,lnn
aa(1)当时,级数收敛;(2)当时,级数发散. l,1l,1,,nn
【】2.5.2 第二对数判别法
annla(0)a,limln,设为正项级数,且则 ,nnx,,an,1
aa(1) 当时,级数收敛;(2)当时,级数发散. l,1l,1,,nn
x引理1 当,有不等式: ,,,ln(1)xxx,0x,1
证明 作函数fxx()ln,.在区间上应用lagrange中值定理可得 1,1,x,,
1ln(1)ln11,,x,,,,,,,1,11x xx,,,111,
x也就是说,当,有. ,,,ln(1)xxx,0x,1
,1p,1p,1引理2 无穷级数,当时收敛;当时发散 ,p,nn1
ab(0,0)ab,,引理3 设级数和为正项级数,存在正整数N,当,nN,,,nnnn
abnn,,11,满足不等式: ,则 abnn
baab(1) 如果收敛,则收敛;(2)如果发散,则发散. ,,,,nnnn
4
对数第二判别法的证明
annl(1)当时,则存在,使,由limln,知,对存p,1lp,,1,,,,lp0l,1n,,an,1
在正整数,使得当时,有 NnN,
aaplnnnllppe,,,,(),即,. aan1n,1,
1,,n(1)en由数列单调递减且趋于知对一切正整数有 ,,,n,,
1n.于是当时有 (1),,enN,n
pnaa111npp,,nn(1)(1)(1),,,,,,, ,,annannn,,,,11
,1a而无穷级数,当时p,1收敛,故由引理3知当时,级数收敛. l,1,,np,nn1
annlpplimln,lpq,,,1,,,,lp0(2)当时,存在正数,使,由知,对l,11,2n,,an,1
NnN,存在正整数,使得当时, 有 11
aapnqnlnlnnn,,,lplp,,,()ee ,即 aan1n,1,
1qnNnN,根据ee,且lim(1),,e知,存在正整数 ,得当时有 22,,nn
1nq(1),,e. n
5
取,则当时有NNN,max,nN,,,12
1naa111,,npnqnlnlnnn(1)(1),,,,,, ,,ee,,nnan1,,ann1,,
1a而调和级数是发散的,故由引理3知当时,级数发散. l,1,,nn
2.5.3 第二对数判别法和Raabe判别法的等价性
既然第二对数判别法和Raabe判别法都是以p一级数作为比较标准得出的,那么它们之间有什么内在的必然的联系呢?下面我们将证明第二对数判别法和Raabe判别法是等价的.我们有:
annlalimln,定理 数列是正数列,则充要条件是nn,,an,1al1n,,,,,1(),()on. annn,1
al1n,,,,,1(),()on证明 (充分性)若.由引理1有 annn,1
l1o(),all11,,nnn ,,,,,,,,lnln1()(),()oon,,l1annnn,,,1n1()o,,nn
l1no(),aannnn ,,,,,,nlnonln(),()l1aa,,11nn1()o,,nn
annllimln,对上式取极限,可得. n,,an,1
aannnllimln,ln(0,),,,,,,,nln(必要性)若,有,于是有 nn,n,,aann1,1,
aa,,llnnnn(0,),,,,nln(0,),exp(),,,,,,,,,n, nnannann,nn11,,
,l,,n,,limexp()1,,n,,ann,,n ,,,,nllim(1)n,,ann,1
6
aaa,ll1nnnnnlnon(1),(0,),11(),(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,nnaaannnnnnn,,,111
由定理可知,第二对数判别法是Raabe判别法的等价变形,因而将第二对数判别法称为Raabe对数判别法更合理一些.对于有的正项级数有Raabe对数判别法
是很方便的.
应用举例
1!2!!,,n u,n2!n
分析:本题无法使用根式判别法与比式判别法,因此选择比较判别法进行判
断
nnn.!10,(),,,,,,un nnnnnnnn!(1)(2)(1)(2)(21)(2),,,
,1且级数收敛 ,(21)(2),nn,n1
所以级数收敛.
,an ,aaa,n(1)(1)(1),,,n112
分析:本题无法使用根式判别法、比式判别法,或比较判别法以及其他的判
别法进行判断,因此选用充要条件进行判断
,11u,, ,n(1)(1)(1)(1)(1)(1),,,,,,,aaaaaa,nnn112112
,,a1nS11,,,, n,,(1)(1)(1)(1)(1)(1)aaaaaa,,,,,,,,nnnn111212
S单调递增且有界 n
所以级数收敛.
1u, npnnln
分析:本题分母含有的表达式,优先选择积分判别法 lnn
7
,,dx1,,,,,,,(2),1,xp 当且仅当时收敛. p,1pp1,,2,xxpxln(1)ln
,,dx级数收敛. ,,,,,,lnln,(2),1,xxpp,2xxln
n2(1),, n,2
n(1),分析:本题中分子中含有,无法用比式判别法或其他判别法进行判别,所以这种判别法是根式判别法的类型,取上极限进行判别,因此,选用根式判别
法.
nn2(1),,1n 级数收敛. limlim1,,,nunnn,,,,22
3
,,【】nu2u引理 设正数列单调递减,则级数与 同时收敛. u,,n,,nn2,,n1n1
,,,nn2u2uu 证明 级数与有相同的收敛性,不妨设级数的部分和为 nn,,,n22,,,nn01n1
,,,nnn2u2u2uST,级数的部分和为 .如果级数收敛,即级数收敛,nnn,,,nn222,,,nnn010
,
u又由于是单调递减的正项级数,则有 ,n,n1
SSuukuu,,,,,, nnn,1n12222
,,,,,,,,uuukuuku()() nnn,11232212,
,,,,uuku22T = n12n2
,,n2uu所以 收敛时, 也收敛. n,,n2,,n1n1
,
u反之,当收敛时,有 ,n,n1
Suuuukuu,,,,,,,()() nnn,112342212,
11n,1 ,,,,,,uuukuT22 n124n222
8
,,nu2u所以收敛时,也收敛. n,,n2,,n1n1
命题1(隔项比值法)设正数列单调递减,且 u,,n
,u12nulim,,.若,则级数收敛. ,,,nn,,2,unn1
u2u12n2nlimlim21证明 当,,,时,有,,,.现取 nn,,,,u2unn
knkN,,2,,就有
k,12u2ukk,12.22 lim21lim21 ,,,,,,,knn,,,,uu2kk22
上式正是正项级数
,kk222uuukuk,,,,, kk,1222,k0
,n2u第k+1项与第k项之比的极限,由比式判别法的极限形式可知收敛, n,2,n1
,
u再由引理可知收敛. ,n,n1
,lnn例1 判断正项级数的收敛性. ,2n,1n
2uln(1)nn,n,1证明 因为 limlim1,,2nn,,,,unln(1)n,n
lnn,,可见比式判别法失效,现单调递减,改用隔项比值法求解. ,,2n,,
2uln(2)11nnn2 limlim,,,2,,,,nnunln42(2)nn
,lnn由此可知级数收敛. ,2n,1n
a2n命题2设正数列单调递减,且, nalim,,,,nn,,an
,1a,,若,则正项级数收敛 ,n,2n1
9
kkau证明 记,由引理可知与同时收敛 uavukN,,,2,2,kk,,nkkk22
a2nuvav与同时收敛,故与同时收敛,在中令nlim,,,,,,kknkn,,an
k2n,2,就有 kN,
k,12a2akk,1au22k221k,(2)2n22n2,,, k2aaukk2akn22222
k,12uv11k,1k,12..,, k222uvkk2
n,,再令即得证.
,1例2 证明级数的收敛性 ,2ln,nn2n
1证明 设,因为正数列单调递减,且有 u,u,,nn2nnln
22u2nnln11n nlimlim,,,,,222nn,,,,unnln42n
,1由命题2知收敛. ,2ln,nn2n
数学分析作为数学系的重要专业基础课程,对学习好其他科目具有重要作用.级数理论是数学分析的重要组成部分,在实际生活中的运用也较为广泛,如经济
问题等.而正项级数又是级数理论中重要的组成部分,级数的收敛性更是级数理
论的核心问题,要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断.
判断正项级数的一般顺序是先检验通项的极限是否为0,若为0则发散,若不为0则判断级数的部分和是否有界,有界则收敛,否则发散.若级数的一般项可以进行适当的放缩则使用比较判别法,或可以找到其等价式用等价判别法.当通项具有一定的特点时,则根据其特点选择适用的方法,如比值判别法、根式判
别法.当上述方法都无法使用时,根据条件选择积分判别法、柯西判别法判别法.当无法使用根式判别法时,通常可以选用比式判别法,当比式判别法也无法使用
时,使用比较判别法,若比较判别法还是无法判别时再使用充要条件进行断.由
10
此,我们可以得到正项级数的判别法是层层递进使用的,每当一种判别法无法判
断时,就出现一种新的判别法来进行判断,因此正项级数的判别法有无穷多种.
正项级数收敛性判断的方法虽然较多,但使用起来仍有一定的技巧,根据不
同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断,能够最大限度的节约时间,
提高效率,特别是一些典型问题,运用典型方法,才能事半功倍.本文归纳总结正项级数收敛性判断的一些典型方法,比较这些方法的不同特点,总结出一些典
型的正项级数,根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断.正项级数收敛判别法也可用于判定负项级数及变号级数的绝对收敛性,也可以推广到
傅立叶级数的敛散性判别,在复变函数中也可以用于判定级数在复平面上的敛散
性和收敛半径.
由于时间仓促,本文尚有许多不足之处,欢迎大家提出意见和建议,同时希
望通过本文能加深学习者对正项级数的了解.
11
[1] 陈欣. 关于数项级数求和的几种特殊方法 .[J] . 武汉工业学院学报,
2002,4.
[2] 胡适耕,张显文编著. 数学分析原理与方法 [M] .北京:科学出版社,2008,5
[3] 吴良森等编著. 数学分析习题精解 [M] . 北京:科学出版社,2002,2. [4] 胡洪萍 数列与级数敛散性判别定理[J] 西安联合大学学报,2004,2 [5] B.A卓里奇编著,蒋锋等译. 数学分析 [M] .北京高等教育出版社,2006,12 [6] 夏学启. 贝努利数的简明表达法 [J] . 芜湖职业技术学院学报,2006,2 [7] 周应编著. 数学分析习题及解答 [M] . 武汉:武汉大学出版社,2001,8 [8] 陈纪修,于崇华,金路编著. 数学分析下册 [M] . 北京:高等教育出版社,
2000,4
12
范文四:对正项级数敛散性判别法的讨论
对正项级数敛散性判别法的讨论
【标题】对正项级数敛散性判别法的讨论 【作者】袁洪波
【关键词】正项级数收敛 发散 判敛法 【指导老师】陈波涛
【专业】数学与应用数学 【正文】
1、引言
到目前为止,正项级数敛散性的判别法已经出现了很多了(都能在一定程度上解决一些实际的级数敛散性问题,它们各有所长(本文着重归纳各种判别法的优缺点、使用范围及联系(使对级数敛散性判别更系统化(在学习时,注意体会分类讨论、对比、举例等思想(
2、基本定理及判别法
2.1、两个基本定理?
定理 1(Cauchy收敛准则)级数?收敛有
?,
定理 2正项级数?收敛?它的部分和数列?有上界(
给定了一个级数?,如果我们判断它满足上面的两个定理的条件(我们就能判定这个级数的敛散性了(但是在实际运用中是不很方便的(其原因是不可能给出像上面这样的充分条件(定理1和定理2只是给出了级数?收敛的实质(经过人们的反复推敲、研究,终于得出一个重要的判别法――比较判别法(这种比较判别法思想的出现,随之就出现了根式判别法和比式判别法,即Cauchy判别法D’
Alembert判别法等(另外,对于级数发散的判别,我们有级数收敛的必要性: (级数收敛的必要性?)若级数?收敛,则?(? 若?,则?发散( 2.2、几种常用的判别法?
定理3?(比较判别法)有两个正项级数?与?,且
?有
是正常数(
1) 若级数?收敛,则级数?也收敛;
2) 若级数?发散,则级数?也发散(
比较判别法的理论依据可以理解为是部分和数列有界(比较判别法是一种重要的判别法,在后面的大多数判别法中,这种比较思想将继续体现( 例1设数列?单调递减非负,证明级数?收敛当且仅当级数?收敛?( 证明:设
?,
?(
当?时,
因此若级数?收敛,则数列?有界,从而数列?有界,这推出级数?收敛( 当?时,
(
故由级数?收敛可推出级数?收敛( 定理 4?(根式判别法即Cauchy判别法)?有正项级数?,
1)若?有
?,
则级数?收敛;
2)若存在无限个?,有
,
则级数?发散(
定理4’(极限形式)有正项级数?,若 ?,
则 1)时,级数?收敛;
2)时,级数?发散(
定理5?(比式判别法即D’Alembert判别法)?有正项级数,
1) ?若?有
?,
则级数?收敛;
2) ?若?有
,
则级数?发散(
定理5’(极限形式)有正项级数?,若 ?,
则 1)时,级数?收敛;
2)时,级数?发散(
由定理4和定理5的条件可以分别得和(于是,可通过比较判别法得到定理4和定理5的证明,而定理4’或定理5’又可根据数列极限定义分别得?或?(再根据定理4或定理5得证(
显然,这两种判别法是由比较判别法衍生出来的,都是与几何级数?相比较,得到的判别法(但是,Cauchy判别法极限形式和D’Alembert判别法极限形式它们在通项?的根值极限?与比值极限?时均失效了(为了找到比它们更精细,适用面更广的、能够克服根值极限或比值极限?的情形的判别法,就要选用比几何级数收敛慢的正项级数作为比较级数(事实上,这种级数是存在的,如:p-级数(
3、Kummer判别法?、D’Alembert判别法、Raabe判别法、Bertrand判别法及它们之间的关系?
3.1、定理6?(Kummer判别法)?设?,?,?
(1)若存在某自然数?及常数?,当?时,有?,则级数?收敛;
(2)若?时,有?,且?,则级数?发散(
证:(1)不妨设?时有?,从而?时有?,从而
?
于是当?时有:
?,
?,
?,
?
设?,从而有
?,
即
?,(?常数)?
因此得?的部分和数列?有界,因此?收敛; (2)同样不妨设?时有?,从而有?时, 由传递性得当?时?,从而?
又由(2)得?发散,因此由比较原则得?发散(
定理6’(极限形式)
1)级数 0收敛,当且仅当?,这里?,且 ?;? ?(*)
2)级数 0发散,当且仅当?,这里?,?发散,?如(*)所示(
1)?证:(必要性)假定级数 0收敛,设?,令?,则 ?,?(
所以?;
(充分性)?
,有
即?(取?(?有?
?
变形得:?
?
?
?(
所以级数 0收敛(
2)?证:(必要性)假定级数 0发散,令?,则?,
,
所以?;
现在证?发散,因为?发散,对固定?,存在?,有
?
?=?
? ?
?=?
?=?
?=?
?=?
(?), 由Cauchy收敛准则知?发散; (充分性)?
,有
即?(取?(?有?(
由(*)式及?可得
? ?
? ?
? ?
?
? ?
? ?
因为?发散,
所以,由比较判别法知:?发散(
3.2、Kummer判别法 D’Alembert判别法 在定理6(1)中,令?,则有:存在?及常数?,当?时,有
?
即:
?
显然,这就是比式判别法,也即D’Alembert判别法(下面,我们从Kummer判
别法推导Raabe判别法(
3.3、Kummer判别法 Raabe判别法 在定理6(2)中令?,则有:当?时,? 则级数?发散(
从不等式
(1)
可得?,从而?,更有
(2)
显然,(1)与(2)是等价的(
在定理6(1)中,令?,则有:当?时, (3)
级数级数?收敛,
从不等式(3)可得
(4)
显然,(3)与(4)也是等价的( 由此可得出下面推论:
推论设?为正项级数,存在某自然数?及正常数k,
(1) 当?时,不等式
?
成立,则级数?发散;
(2) 当?时,不等式
?
成立,则级数?收敛(
在上面推论的基础上,我们就可以得到著名的Raabe判别法(
定理7?(Raabe判别法?)设?为正项级数,存在某自然数?,
(1)当?时,不等式
?
成立,则级数?发散;
(2)当?时,不等式
?
成立,则级数?收敛(
证明:?(1)?由于?.因此存在?,当?时,?,所以当?时,有
?,
由推论中的(1)可得级数?发散; (2)取?,使得?,由于?,因此存在?,当?时,有
?,
于是当?时,
?
由推论中的(2)可得级数?收敛(
Raabe判别法的极限形式:设?为正项级数,且极限?存在,
则:
(1) 当?时,级数?收敛;
(2) 当?时,级数?发散(
例2 讨论级数?,当?时的敛散性?( 解:应用Raabe判别法
当?时,
?
所以级数?在?时发散;
当?时,
?
?
所以级数?在?时收敛(
说明:?在本例中,D’Alembert判别法显示出了它的局限性,因为无论?哪一个值,级数若用比式判别法都有?,所以D’Alembert判别法不能判别它的敛散性(至于为什么不能判别,那就涉及到级数收敛速度?了,这里暂不讨论了(
3.4、Kummer判别法 Bertrand判别法
先看Bertrand判别法
定理(Bertrand判别法)对级数,设?,?,则
,)(当?时,级数收敛;
,)(当?时,级数发散(
现在从Kummer判别法推导Bertrand判别法,在定理6中令?,设?,则
若?,则级数?收敛;
若?,则级数?发散(
现在证?发散?(
令?,则当?时,?为正值单调递减函数,且?,
由于
.
可知所给广义积分发散.由正项级数的广义积分判别法可知原级数?收敛(
3.5、积分判别法的推广
定理(积分判别法?):设?为?上非负减函数,那么正项级数?与反常积分?同敛散
性(
证?由假设?为?上非负减函数,对任何正数A,在?上可积,从而有 ?,
依次相加可得
(1)
若反常积分收敛,则由(1)式左边,对任何正正数?,有 ?
根据定理2,级数?收敛;
反之,若?为收敛级数,则由(1)式右边,对任一正整数?有 (2)
因为?为非负减函数,故对任何正数?,都有
?
故反常积分?收敛(
同理可知,与?同发散(
定理:设?为上非负减函数,那么正项级数与反常积分?同敛散性( 证:?由假设?为上非负减函数,从而有,
,
,,
即:
依次相加可得,
?
令?,?
即:
如果对任意?,由比较判别法可知:
若?收敛,则?收敛,即?收敛;若级数?收敛,则?收敛,即?收敛(
4、总结
对正项级数,它的敛散性可由前面的各判别法进行判定,只是在选用判别法时,应仔细考虑各判别法的适用范围,通常情况,可选用Cauchy判别法和D’Alembert判别法,因为它们的形式具有一定的简洁性,易记(但是,它们的极限形式有一
定的缺陷(不能对极限?时进行判别,其原因是作为比较标准的几何级数收敛速度不够慢(这时,我们得选用其他判别法,如Kummer判别法、Raabe判别法、Bertrand判别法等(Kummer判别法是一个重要的判别法,它包括了前面的几个判别法,适用性加强了一些(积分判别法的推广主要便于研究函数?在?上的敛散性(它的意义主要是解决?在?的无定义的情况,如在?处无定义(
范文五:正项级数敛散性判别法的讨论
聊城大学
本科生毕业论文
题 目:正项级数敛散性判别法的讨论
专业代码: 070101
作者姓名:
学 号:
单 位:
指导教师:
年 月 日
目 录
前言 ...................................................................................................................................................... 1 1. 问题引出 ...................................................................................................................................... 1 2. 正项级数的定义 ...................................................................................................................... 2 3. 正项级数敛散性一般判别法原则 ................................................................................. 2
3.1正项级数敛散性判别法的充要条件 ............................................................................... 2 3.2比较判别法 ............................................................................................................................ 3 3.3比式判别法 ............................................................................................................................ 6 3.4根式判别法 ............................................................................................................................ 7 3.5积分判别法 ............................................................................................................................ 9 3.6判别发散的简单方法 ........................................................................................................ 10
4. 判别正项级数敛散性方法的总结 ........................................................... 11 5. 问题解答 ................................................................................................................................... 11 结论 ................................................................................................................................................... 12 参考文献 . ........................................................................................................................................ 14 致谢 ................................................................................................................................................... 15
1
摘 要
正项级数是级数内容中一种十分重要的级数, 而级数又在数学分析中占有举足轻重的地位. 要想学好数学分析这一门基础学科就必须学好级数. 级数的敛散性是级数的基本性质, 文章主要讨论级数的敛散性. 介绍几种常见的判别法用来讨论级数敛散性. 主要有比较判别法、比式判别法、根式判别法、积分判别法. 探讨了它们的证明过程及应用其解决相关的例题. 并简单介绍了它们之间的关系, 如强弱性的比较, 不同形式的u n 适合用哪种方法来证明其敛散性更为简单. 关键词:正项级数;比式判别法;根式判别法;积分判别法
Abstract
Positive series is an important content of the series of series,the series has a significant role in mathematical analysis.A basic studay to learn mathematics analysis which is necessary to learn series.Series of divergence is a series of basic properties,this paper mainly discuss the divergence of the series.Introduce several common criterion used to discuss the divergence of the series .Mainly has comparative criterion,than type criterion,radical crierion and cauchycriterion. Discussed their certification process and application of relevant examples of its solution. And briefly describes the relationships between them, such as comparison of the strength of、suitable for different forms of
u n which method to prove its convergence and divergence easier.
Key words: positive term series;ratio judging method;root-value judging method; integral test
正项级数敛散性判别法的讨论
前言
级数是数学分析这门学科中的一个重要部分, 而正项级数又是级数中最简单从而也是级数中最基本的一种级数. 证明级数的敛散性是级数的一种重要性质, 解决级数的问题多半要设计到讨论级数的敛散性. 由于正项级数在级数中的基础地位, 所以讨论正项级数的敛散性是级数的一个基础内容, 也是一个十分重要的内容, 故正项级数敛散性判别法在数学分析中有着重要的作用.
1. 问题引出
问题一[1] 假设汽车速度v 1快于自行车的速度v 2, 而汽车在自行车的后方s , 则显然经过时间T =
s
后, 汽车就会追赶上自行车. 但是, 他有这样一个疑问?当v 1-v 2
s
时, 自行车又前v 1
汽车前进路程s 到达自行车原来所在的位置时, 即经过了时间t 1=
进了路程s 1=v 2t 1=
v 2s s ?v 2?
?s . 当汽车前进路程s 1, 即又经过了t 2=1=? 时, 自行车 ?v 1v 1v 1?v 1?
2
?v ?
又前进了路程s 2=v 2t 2= 2?s
?v 1?
, 这样一直下去, 直观上感觉, 汽车总是差一点才能
追赶上自行车. 问题出在哪里呢?
问题二 爬金箍棒的蚂蚁的故事(选自数学趣题与妙解):这天, 孙悟空闲暇无时, 他把他的金箍棒变成了10cm 长的小棒, 立在地上. 这是一只蚂蚁来到棒的底部, 沿着小棒往上爬, 孙悟空眼睛一亮, 心想“要爬, 没那么容易!”只听他叫了一声“变”, 地上的棒应声长了起来, 眼看越长越高, 而那只蚂蚁似乎什么都没有发现, 还是慢悠悠地一如既往地往上爬. 如果蚂蚁始终沿铅垂线匀速上爬, 每分钟上升1cm. 在孙悟空叫变时, 已经爬至高1cm 处, 此后, 棒的各部分每个时刻都是匀速地变长, 每经1分钟, 棒就增长10cm, 即第一分钟末, 高10cm, 第二分钟末, 高20cm, 第
三分钟末, 高30cm ...请问最终蚂蚁能够爬到棒的顶端吗?
通过上面两个问题, 我们可以轻易地得出问题一是一个悖论, 但是真要说到问题出在哪里, 并不是显而易见. 而问题二小蚂蚁到底能否爬上棒的顶端我们还需讨论一番.
2. 正项级数的定义
若级数
∑u
n =1
∞
n
=u 1+u 2+???+u n +???
中各项都是非负的( 即u n ≥0,n =1,2, …), 则称该级数为正项级数. 由正数和零构成的级数称为正项级数.
3. 正项级数收敛性的一般判别原则
3.1正项级数敛散性判别的充要条件
若级数各项的符号都相同, 则称为同号级数. 而对于同号级数, 只须研究各项都由正数组成的级数——正项级数. 因负项级数同正项级数仅相差一个负号, 而这并不影响其收敛性.
定理1 正项级数∑u n 收敛?部分和数列{S n }有界.
[2]
∞
n =1
证明 由于对?n , u n >0, 故{S n }是递增的, 因此, 有
∑u
n =1
∞
n
收敛?{S n }收敛?{S n }有界.
基本判别定理解决了一个级数的收敛问题, 不必研究lim s n =s , 而粗略地估计
n →∞
s n 的值当n →∞时是否保持有界就可以了, 这样就避开了s n 冠以n 的复杂的表达式. 它是判断正项级数收敛(或发散)的最基本方法, 几乎所有其它的判别法都是由它导出, 但是在具体应用时不大方便.
由正项级数敛散性的基本判别定理可以推导出正项级数敛散性常用判别定理
——积分判别法、比较判别法、柯西判别(又叫根值判别法) 、达朗贝尔判别法(又叫比值判别法).
3.2比较判别法 定理2
[3]
(比较原则) 设∑u n 和∑v n 均为正项级数, 如果存在某个正数N, 使
n =1
n =1
∞∞
得对?n >N 都有
u n ≤v n ,
则 (1)若级数∑v n 收敛, 则级数∑u n 也收敛;
n =1
n =1
∞∞
(2)若级数∑u n 发散, 则级数∑v n 也发散
n =1
n =1
∞∞
证 因为若去掉、增添或改变级数∑u n 的有限项不改变级数∑u n 的敛散性,
n =1
n =1
∞∞
因此, 不妨设?n ∈N , 有 u n ≤cv n , c 是正常数. 设级数∑u n 与∑v n 的n 项部分和
+
∞∞
n =1n =1
分别是A n 与B n , 由上述不等式, 有
A n =u 1+u 2+
∞
+u n ≤cv 1+cv 2++cv n =c (v 1+v 2++v n ) =cB n .
若级数∑v n 收敛, 根据定理1, 数列{B n }有上界, 从而数列{A n }也有上界, 再根据定
n =1
理1, 级数∑u n 收敛.
n =1
∞
若级数∑u n 发散, 根据定理1, 数列{A n }无上界, 从而数列{B n }也无上界, 再根
n =1
∞
据定理1, 级数∑v n 发散.
n =1
∞
定理3[4](比较判别法)对于两个正项级数,
∑u
n =1
∞
n
=u 1+u 2+???+u n +???
,
∑v
n =1
∞
n
=v 1+v 2+???+v n +???,
若u n ≤cv n (n=1,2,3?) ,c 是大于零的常数, 那么
∞
∞
∞
∑v
n =1
n
收敛?∑u n 收敛, ∑u n 发散?∑v n 发散.
n =1
n =1
∞
n =1
证明 设S n =S n =u 1+u 2+u 3+???+u n , W n =u 1+u 2+u 3+???+u n 因为
u n ≤cv n , S n ≤cW n
∞
∑v
n =1∞
n
收敛?{W n }有界?{S n }有界?∑u n 收敛;
n =1
∞
∑u
n =1
n
发散?{S n }无界?{W n }无界?∑v n 发散
n =1
∞
推论
[5]
(比较判别法的极限形式) 设∑u n 和∑v n 是两个正项级数, 若
n =1
n =1
∞∞
lim
u n
=l , n →∞v n
∞
∞
则 (i ) 当0
n =1
n =1
(ii )当l =0且级数∑v n 收敛时, 级数∑u n 也收敛;
n =1
n =1
∞∞
∞
∞
(iii )当l =+∞且∑v n 发散时, 级数∑u n 也发散.
n =1
n =1
证明 由lim
u n
=l , 对任给正数ε, 存在某正数N , 当n >N 时, 恒有 n →∞v n
或
u n
-l <ε v="">ε>
(l -ε) v n <(l +ε)="" v="" n="" .="" (1)="" 由定理2及(1)式推得,="">(l>
n =1
n =1
∞
∞
时发散. 就证得(i).
对于(ii),当l =0时,(1)式右半部分及比较原则可得:若级数∑v n 收敛, 则级数
n =1∞
∑u
n =1
∞
n
也收敛.
对于(iii),若l =+∞, 即对任给的正数M, 在相应的正数N, 当n>N时, 有 或
u n >Mv n .
于是由比较原则知道, 若级数∑v n 发散, 则级数∑u n 也发散.
n =1
n =1
∞
∞
u n
>M v n
例1 判别级数∑
[6]
1
的敛散性.
n (n +1) n =1
∞
分析 考虑通项
1
, 分子n 的最高幂是0(只有常数1 ), 分母n 的最高幂
n (n +1)
∞
1n 01
是2, 这时通项接近2=2, 原级数也接近于级数∑2, 这是p =2>1的收敛的
n n n =1n
p-级数, 那么原级数也一定收敛.
事先知道级数是收敛的, 就把通项放大, 放大为一个收敛的级数通项, 这个级数一般就是∑
1
, 至多差一个系数. 2n n =1
∞
∞
111
<2, 分数放大)解="" 因为,="" 又由于∑2收敛.="">2,>
n (n +1) n n =1n
判别法, 原级数∑
1
也收敛.
n (n +1) n =1
∞
3.3比式判别法
定理4[7] (达朗贝尔判别法, 或称比式判别法) 设∑u n 为正项级数, 且存在某个正整数N 0及常数q ∈(0, 1) :
(1)若对?n >N 0, 有
u n +1
≤q , 则级数∑u n 收敛 ; u n
u n +1
≥1, 则级数∑u n 发散. u n
u n +1
≤q 成立, 于是, 有 u n
(2)若对?n >N 0, 有
证明 (1) 不妨设对一切n , 有
u u u 2
≤q , 3≤q , , n ≤q , . u 1u 2u n -1
∞
u n u 2u 3n -1n -1
≤q , 即u n ≤u 1q , 由于当q ∈(0, 1) 时, 级数∑q n -1收敛, 有比较故????
u 1u 2u n -1n =1
原则, 可知级数∑u n 收敛.
(2)因此时lim u n ≠0, 故级数∑u n 发散.
n →∞
推论(比式判别法的极限形式) 设∑u n 为正项级数, 且 lim
u n +1
=q ,
n →∞u n
则(1)当q <1时, 级数∑u="" n="">1时,>
(2)当q >1(可为+∞)时, 级数∑u n 发散;
11
(3)当q =1时, 级数∑u n 可能收敛, 也可能发散. 如:∑, ∑2
n n 证明 由比式判别法和极限定义即可得.
5n
例2 判别级数∑5的敛散性.
n =1n
[8]
∞
?5n +1??(n +1) 5?u n +1n 5
? 解 由于lim , 根据达朗贝尔判别法=lim ?=lim ) =5>1n n →∞u x →∞?n →∞5n +1?n
?n 5???
5n
的推论知, 级数∑5发散.
n =1n
∞
3.4 根式判别法
定理5[3](柯西判别法, 或称根式判别法) 设∑u n 为正项级数, 且存在某个正整数N 0及正常数l ,
(1)若对?n >N 0, 有u n ≤l <1, 则级数∑u="" n="" 收敛;="" (2)若对?n="">N 0, 有n n ≥1, 则级数∑u n 发散. 证明 由比较判别法即可得.
推论1(根式判别法的极限形式) 设∑u n 为正项级数, 且 lim n =l ,
n →∞
则 (1)当l <1时, 级数∑u="" n="">1时,>
(2)当l >1(可为+∞)时, 级数∑u n 发散;
11 (3)当q =1时, 级数∑u n 可能收敛, 也可能发散. 如:∑, ∑2.
n n
推论2 设∑u n 为正项级数, 且
lim n =l ,
n →∞
则当
(i )l <1时级数收敛;(ii) l="">1时级数发散.
本推论的证明可仿照推论1的证法进行.
∞
例3 判别级数∑(
[9]
n =1
n n
) 的敛散性. 2n +1
分析 该级数的通项(
n n
) 是一个n 次方的形式, 于是联想到柯西判别法, 2n +1
对通项开n 次方根, 看其结果与1的大小关系.
解 由于lim n =lim (
n →∞
n →∞
n n n 1
) =lim =<1,>1,>
n →∞2n +12n +12
可得级数∑(
n =1
∞
n n
) 收敛. 2n +1
注 当正项级数的一般项u n 具有积、商、幂的形式, 且u n 中含有n ! 、n ! ! 、a n
以及形如(a +b )(a +2b ) (a +nb ) 的因子时, 用达朗贝尔判别法比较简便. 一般地, 当u n 是n 的有理式时, 用达朗贝尔判别法得不出结果.
例如级数∑
u 1
, 由于lim n +1=1, 故达朗贝尔判别法失效. 而
n →∞u n =1(n +1)(n +2) n
∞
1??
?n +1n +2?
?=1, 且级数lim ?
x →∞????n 2??1
也收敛. ∑(n +1)(n +2) n =1
∞
1
收敛, 故由比较判别法知, 级数∑2n n =1
∞
当正项级数的一般项u n 为n 次方形式, 用柯西判别法比较方便. 从理论上来说, 凡是能用达朗贝尔判别法判断其敛散性的级数, 必定也能用柯西判别法来判断其敛散性, 但反之不成立.
3+(-1) n
例如级数∑, 因为 n
2n =1
∞
lim
u n +1
n →∞u n
?3+(-1) n +1?
?1?n +1?3+(-1) n +1?,n 为偶数,
=lim ?=lim = ?4n ?n x →∞x →∞2?3+(-1) ??3+(-1) ????1, n 为奇数. ?n ???2?
所以用达朗贝尔判别法无法判定级数的敛散性. 而可以用柯西判别
n
3+(-1) 1
法, lim n =lim =<1,>1,>
n →∞n →∞22n
由此可见, 柯西判别法比达朗贝尔判别法适用的面要广些, 但通常达朗贝尔判别法用起来方便些.
一般情况下, 在判别正项级数的敛散性时, 若所求级数通项中出现对数、三角函数的有理式等形式时, 考虑用比较判别法及其推论, 既省力又简单; 若出现形如
n
a (指数)、n ! 等形式时, 考虑用比值判别法; 若出现n 的n 次幂时, 考虑用根值判
别法判别其敛散性要好一些.
3.5积分判别法
积分判别法是利用非负函数的单调性和积分性质, 并以反常积分为比较对象来判断正项级数的敛散性.
定理6[10] 设f (x ) 为[1, +∞) 上非负减函数, 则正项级数∑f (n ) 与反常积分
?
+∞
1
f (x ) dx 同时收敛或同时发散.
证明 由假设f (x ) 为[1, +∞) 上非负减函数, 则对任何正数A, f (x ) 在[1,A] 上可积, 从而有f (n ) ≤?
m
n
n -1m
f (x ) dx ≤f (n -1) , n =2, 3,
m
m -1n =1
依次相加, 得∑f (n ) ≤?f (x ) dx ≤∑f (n -1) =∑f (n )
n =2
1
n =2
若反常积分收敛, 则对?m , 有
S m =∑f (n ) ≤f (1) +?f (x ) dx ≤f (1) +?
n =1
1
m
m
+∞
1
f (x ) dx .
于是, 知级数∑f (n ) 收敛.
反之, 若级数∑f (n ) 收敛, 则对任意正整数m (>1) , 有 ?f (x ) dx ≤S m -1=∑f (n ) ≤∑f (n ) =S .
1
n =1
m
m -1
又因f (x ) 为[1, +∞) 上非负减函数, 故对任何A >1, 有 0≤?f (x ) dx ≤S n
1A
故知, 反常积分?
+∞
1
f (x ) dx 收敛.
同理可证它们同时发散. 例4
[11]
判别级数∑
1
的敛散性. 3
n =1n
11, 显然函数在[1, +∞) 是单调减少33x x
∞
分析 因为将n 换成连续变量x , 即是的正值函数, 所以可以用积分判别法.
解 将原级数∑
+∞11
换成积分形式, 由于 33?1x n =1n
+∞
∞
?
即?
+∞1
+∞
1
11
=-x 32x 2
=lim (-
1
p →+∞
1111
) -(-) =0+=, 2
2222p
∞
11
收敛, 根据积分判别法可知, 级数也收敛. ∑3
n x 3n =1
3.6 判别发散的简单方法
由级数收敛的基本判别定理——柯西收敛准则:级数
??ε>0, ?N ∈N +, ?n >N , ?p ∈N , 有u n +1+u n +2+ +u n +p <>
∑u
n =1
∞
n
收敛
取特殊的p =1, 可得推论:若级数∑u n 收敛, 则lim u =0.
n
n =1
∞
n →∞
定理7
[12]
该推论的逆否命题:若lim u ≠0, 则级数∑u n 发散.
n
n →∞
n =1
∞
∞
n 2
例5 快速判断级数∑2的敛散性.
n =15n +1
n 21
=≠0, 从而根据定理6可知, 该级数发散. 解 由于lim 2
n →∞5n +15
如果l i m u n ≠0, 则可由该逆否命题直接可以判别出该级数发散; 如果
n →∞
l i m u n =0, 则不能判断级数是否收敛, 因为存在级数满足lim u n =0的发散级数, 如
n →∞
n →∞
∞
11
lim u =0;也存在级数满足的收敛级数, 如. 显然该逆否命题只使用于∑∑n 2n →∞n n n =1n =1
∞
满足lim u n ≠0的发散级数.
n →∞
4. 判别正项级数敛散性方法的总结
综上所述, 判别正项级数的敛散性有多种方法, 比较判别法、柯西判别法、达朗贝尔判别法、拉贝判别法、积分判别法. 但是它们各自适用于不同的形式的正项级数, 根据判别法的特性和级数通项的特点来选择判别方法更有利于级数敛散性问题的解决. 如果原级数容易找到一个常用的比较因子, 判断出它们之间的大小关系, 则用比较判别法; 如果原级数含有n 次幂的形式, 则可考虑用柯西判别法; 如果原级数含有n ! 等形式, 则可试用达朗贝尔判别法; 如果用上面三种方法都不容易判断敛散性, 可试用拉贝判别法.
5. 问题解答
通过上面的研究, 我们了解到了用来判断正项级数的敛散性的方法, 这里涉及的并不是全部内容然而其精髓在这里, 基础在这里. 让我们来看看本文开头的问题.
问题一 事实上该问题与无穷级数的收敛性有关. 汽车追赶第n 段路程化肥的
?v 2?s ?v 2?
??时间为t n =? , 此时, 汽车与自行车相距路程为s n = s , 汽车追赶自行车 ? ?v 1?v 1??v 1?
s ∞?v 2?
花费的时间的总和是一个无穷级数t =∑t n =∑ v ??v n =11n =1?1?
∞
n -1
n -1n
, 它是一个公比
q =
v 2
v 1
s v s
=T . 所以, 经过时间(<1) 的几何级数,="" 因此,="" 和为t="">1)>
2v 1-v 21-v 1
T =
s
后, 汽车就会追赶上自行车. v 1-v 2
问题二 不少人会说, 由于蚂蚁爬行的速度不变, 而棒的长度不停的变长, 蚂蚁永远不会爬到棒的顶端. 这样他就忽略了一个事实:由于棒的各部分均匀变长, 因而每个时刻, 尚未爬过的、正在爬过的和已经爬过的部分都同样要变长的. 第一
1
;到第二分钟末, 棒高伸长为20cm, 而爬过的10
1A 1B 11cm, 也变成了2cm, 因而, 仍是棒高的 10
1
且以后始终保持为棒高的. 如果第一分钟
10101
末到第二分钟末这段时间内, 新爬过的部分 A 1’B 1’B 2分钟, 蚂蚁爬过了1cm, 为棒高的
没有变长, 则第二分钟内爬过的部分是棒高
2021的, 但实际上, 新爬过的部分也在变长, 因而第二分钟内爬过的高度要大于棒高2011的并且这一小段在以后棒变高的过程中, 始终要大于棒高的. 同理, 第三分2020
1
钟内, 蚂蚁爬过的高度大于棒高的 ... .若棒高为L , 则在第n 分钟末, 蚂蚁爬
30
L 111
过的高度将大于(1+++…+) . 于是, 问题转化为:是否存在n , 使得
1023n
∞
1111
1+++???+>10.这当然可以做到, 因为调和级数∑=∞是发散级数. 23n n =1n
结论
级数理论是数学分析的重要组成部分, 在实际生活中的运用也较为广泛. 而正项级数又是级数理论中重要的组成部分, 级数的收敛性更是级数理论的核心问题, 要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断.
判断正项级数的一般顺序是先检验通项的极限是否为0, 若为0则发散, 若不为0则判断级数的部分和是否有界, 有界则收敛, 否则发散. 若级数的一般项可以进行适当的放缩则使用比较判别法, 或可以找到其等价式用等价判别法. 当通项具有一定的特点时, 则根据其特点选择适用的方法, 如比值判别法、根式判别法或拉贝判别法. 当上述方法都无法使用时, 根据条件选择积分判别法、柯西判别法. 当无法使用根式判别法时, 通常可以选用比式判别法, 当比式判别法也无法使用时, 使用比较判别法, 若比较判别法还是无法判别时再使用充要条件进行断. 由此, 我们可以得到正项级数的判别法是层层递进使用的, 每当一种判别法无法判断时, 就出现一种新的判别法来进行判断, 因此正项级数的判别法有无穷多种.
正项级数收敛性判断的方法虽然较多, 但使用起来仍有一定的技巧, 根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断, 能够最大限度的节约时间, 提高效
率, 特别是一些典型问题, 运用典型方法, 才能事半功倍. 本文归纳总结正项级数收敛性判断的一些典型方法, 比较这些方法的不同特点, 总结出一些典型的正项级数, 根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断. 正项级数收敛判别法也可用于判定负项级数及变号级数的绝对收敛性, 也可以推广到函数级数的敛散性判别中.
参考文献
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致谢
作为即将从聊城大学东昌学院毕业的我, 在四年的大学生活里, 认真学习各科专业知识, 积极参加社会实践活动. 特别是在大四的实习中的三个月, 让我认识到专业知识在社会实践中的重要意义, 特别是在学习态度、做事的方式方法、做事效率上有了更深刻的理解. 回首大学四年的时光, 匆匆而过, 我要诚挚的感谢教育和培养我的老师们, 感谢赵琳老师对我完成论文的选题, 撰写方面给予的指导和帮助. 论文的完成凝聚着恩师的大量的心血和汗水, 他在精心指导本文的选题、构思和写作过程中, 对我的谆谆教导、严谨的治学态度和知识水平使我终身受益, 对我未来参加工作必将产生深远的影响. 我真诚感谢聊城大学东昌学院数学系的各位领导和老师等给我长期的传道授业解惑, 对本论文在撰写过程中给我的知识指导、帮助和启迪. 借此机会向我的同学们在我大学四年里给予我的帮助和关怀, 表示感谢.
论文中还有诸多的问题和不足之处, 敬请大家给予批评指证.
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1时级数收敛;(ii)>1,>