孤独天竹
范文一：复合函数求单调区间
复合函数求单调区间 定义 由函数和所构成的函数称为复合函数，其中y,f(u)u,g(x)y,f[g(x)]
通常称为外层函数，称为内层函数。 y,f(u)u,g(x)
求上述复合函数的单调区间，我们一般可以按照下面这几个步骤来进行: y,f[g(x)]
(1) 写出构成原复合函数的外层函数和内层函数; y,f(u)u,g(x)
A、B(2) 求外层函数的单调区间(包括增区间和减区间)等; y,f(u)
M(3) 令内层函数，求出的取值范围; u,g(x),Ax
MM(4) 若集合是内层函数的一个单调区间，则便是原复合函数u,g(x)
MM的一个单调区间;若不是内层函数的一个单调区间，则需把划y,f[g(x)]u,g(x)分成内层函数的若干个单调子区间，这些单调子区间便分别是原复合函数u,g(x)
的单调区间; y,f[g(x)]
(5) 根据复合函数“同增异减”的复合原则，分别指出原复合函数在集合y,f[g(x)]
M或这些单调子区间的增减性;(勿忘定义域)
(6) 令内层函数，同理，重复上述(3)、(4)、(5)步骤。若外层函u,g(x),B
DC数还有更多的单调区间、，则同步骤(6)类似，不断地重复上述步骤。 y,f(u)
x1例题:求函数的单调区间 y,(),22
x1y,u u,(),2解 原函数是由外层函数和内层函数复合而成的; 2
y,u易知是外层函数的单调增区间; [0，，,)
x1u,(),2,0令，解得的取值范围为; x(,,,,1]2
x1u,(),2由于是内层函数的一个单调减区间，于是便是原(,,,,1](,,,,1]2
函数的一个单调区间;
根据复合函数“同增异减”的复合原则知，是原函数的单调减区间。 (,,,,1]
2y,log(3,2x,x) 例2 求函数的单调区间. 12
2y,logu 解 原函数是由外层函数和内层函数复合而成的; u,3,2x,x12
y,logu易知是外层函数的单调减区间; (0,，,)12
2令，解得的取值范围为; x(,3,1)u,3,2x,x,0
2结合二次函数的图象可知不是内层函数的一个单调区间，但(,3,1)u,3,2x,x可以把区间划分成内层函数的两个单调子区间和，其中是其单(,3,1)(,3,,1][,1,1)(,3,,1]调增区间，是其单调减区间; [,1,1)
于是由复合函数“同增异减”的复合原则可知，是原函数的单调减区间，(,3,,1]
是原函数的单调增区间。 [,1,1)
范文二：复合函数求单调区间
复合函数求单调区间
定义 由函数y?f(u)和u?g(x)所构成的函数y?f[g(x)]称为复合函数，其中y?f(u)通常称为外层函数，u?g(x)称为内层函数。
求上述复合函数y?f[g(x)]的单调区间，我们一般可以按照下面这几个步骤来进行：
（1） 写出构成原复合函数的外层函数y?f(u)和内层函数u?g(x)；
（2） 求外层函数y?f(u)的单调区间（包括增区间和减区间）A、B等；
（3） 令内层函数u?g(x)?A，求出x的取值范围M；
（4） 若集合M是内层函数u?g(x)的一个单调区间，则M便是原复合函数
若M不是内层函数u?g(x)的一个单调区间，则需把M划y?f[g(x)]的一个单调区间；
分成内层函数u?g(x)的若干个单调子区间，这些单调子区间便分别是原复合函数y?f[g(x)]的单调区间；
（5） 根据复合函数“同增异减”的复合原则，分别指出原复合函数y?f[g(x)]在集合M或这些单调子区间的增减性；（勿忘定义域）
（6） 令内层函数u?g(x)?B，同理，重复上述（3）、（4）、（5）步骤。若外层函数y?f(u)还有更多的单调区间C、D，则同步骤（6）类似，不断地重复上述步骤。 例题：求函数y?()x?2的单调区间 x 解 原函数是由外层函数y?和内层函数u?()?2复合而成的；
??)是外层函数y?的单调增区间； 易知[0，令u?()?2?0，解得x的取值范围为(??,?1]； x
由于(??,?1]是内层函数u?()?2的一个单调减区间，于是(??,?1]便是原x
函数的一个单调区间；
根据复合函数“同增异减”的复合原则知，(??,?1]是原函数的单调减区间。 例2 求函数y?log(3?2x?x)的单调区间. 2
2 解 原函数是由外层函数y?logu和内层函数u?3?2x?x复合而成的； 易知(0,??)是外层函数y?logu的单调减区间； 令u?3?2x?x?0，解得x的取值范围为(?3,1)；
结合二次函数的图象可知(?3,1)不是内层函数u?3?2x?x的一个单调区间，但可以把区间(?3,1)划分成内层函数的两个单调子区间(?3,?1]和[?1,1)，其中(?3,?1]是其单调增区间，[?1,1)是其单调减区间； 22
于是由复合函数“同增异减”的复合原则可知，(?3,?1]是原函数的单调减区间，
[?1,1)是原函数的单调增区间。
范文三：复合函数求单调区间
1x ) 的单调区间。 32
π1解：F [f (x )]=sin[f (x )]=sin(-x ) 32
11可知在2k π-π≤f (x ) ≤2k π+π（k ∈Z ）时F [f (x )]为增函数 22
π1为x 的系数k <0，∴f (x="" )="" 在r="" 上均为减函数="" 而f="" (x="" )="-x" ,="" 因321.="" 求函数y="">
根据复合函数性质得增减为减：
2k π-1π11π≤-x ≤2k π+π 2322
15-4k π-π≤x ≤-4k π+π(k ∈Z ) 33 15即4k π-π≤x ≤4k π+π(k ∈Z ) 33
就为F （x ）的单调减区间。
同理可得F （x ）的单调增区间为：
5114k π+π≤x ≤4k π+π(k ∈Z ) 33
π1∴所以y =sin(-x ) 的单调区间为： 32
15增区间：[4k π-π, 4k π+π](k ∈Z ) 33
511减区间：[4k π+π, 4k π+π](k ∈Z ) 33
通过观察能轻易知道f (x ) 的增减性，从而结合复合函数求解，即增加了对复合函数回忆的加强又熟悉了三角函数的单调性求法。
2. 求函数y =sin(π
4-x ) 在[0, 2π]的单调增区间
解：F [f (x )]=sin[f (x )]=sin(
可知在2k π+
而f (x ) =π4-x ) 13π≤f (x ) ≤2k π+π（k ∈Z ）时F [f (x )]为减函数 22-x , 因为x 的系数k <0，∴f (x="" )="" 在r="" 上均为减函数="">
4
根据复合函数性质得减减为增：
2k π+1π3π≤-x ≤2k π+π 242
51-2k π-π≤x ≤-2k π-π(k ∈Z ) 44 51即2k π-π≤x ≤2k π-π(k ∈Z ) 44
就为F （x ）的单调增区间，可知只有k=1的时候增区间在[0, 2π]内 ∴y =sin(
π37-x ) 在[0, 2π]的单调增区间为[π, π] 444
两种解法解三角函数的单调区间。
3. 求y =sin(π
4-x ) 的单调减区间。 解法一：变形得y =sin(π
4
4-x ) =sin[-(x -π4)]=-sin(x -π4) (- y =-s i n x π) 的单调减区间为：
1π12k π-π≤x -≤2k π+π的解 242
13即2k π-π≤x ≤2k π+π(k ∈Z ) 44
∴y =sin(π13??-x ) 的单调减区间为?2k π-π, 2k π+π?(k ∈Z ) 444??
解法二：F [f (x )]=sin[f (x )]=sin(
可知在2k π-
而f (x ) =π4-x ) 11π≤f (x ) ≤2k π+π（k ∈Z ）时F [f (x )]为增函数 22-x , 因为x 的系数k <0，∴f (x="" )="" 在r="" 上均为减函数="">
4
根据复合函数性质得增减为减：
2k π-1π1π≤-x ≤2k π+π 242
13-2k π-π≤x ≤-2k π+π(k ∈Z ) 44 13即2k π-π≤x ≤2k π+π(k ∈Z ) 44
∴y =s i -x ) 的单调减区间为?2k π-π4??13?π, 2k π+π?(k ∈Z ) 44?
两种方法都有其特点：方法一是记住了三角函数的变换，然后通过sin x 的单调区间从而知道-sin x 的单调区间，再通过整体代换思想求解，简单明了。方法二，从题目来说很容易知道f (x ) =π
4-x 是在R 上的减函数，进而利用复合函数的性质加上整体代换可以进行快
速求解减少变换则减少了错误出现的可能性。
范文四：求复合函数单调区间的一种图解方法
求复合函数单调区间的一种图解方法 函数单调性是函数的核心内容之一，也是高考中重点考查的知识，以考查复合函数的单调性居多。复合函数单调性的复合规律为:若函数y=f(u)与u=g(x)的单调性相同(相反)，则y=f [g(x)]是增(减)函数，可概括为:“同增异减”。本文结合例题，对复合函数单调区间的求法给出一种图解方法来求解。该方法的思路是:先找出复合函数的内部函数u=g(x)和外部函数y=f(u)，再画出内部函数图像，作出外部函数单调区间，通过观察图像，结合复合函数单调性的复合规律就能得出函数y=f [g(x)]的单调区间，可简述为“画内部函数图像，作外部函数单区”。
例1 函数y=的单调区间。
分析:令u=x2-2x，则y=u。画出内部函数u=x2-2x的图像(如图1-1)，作外部函数y=u的单调区间(如图1-2，该函数r在上是减函数)，将两个图形合为一个图形(如图1-3)。观察图1-3可以看出，在区间(-?，1]上内外函数均为减函数，在区间[1，+?)上内部函数增，外部函数减。所以函数y=的单调增区间为(-?，1]，单调减区间为[1，+?)。
例2 函数y=lg(3+4x-x2)的单调区间。
分析:令u=3+4x-x2，则y=lgu。画内部函数u=3+4x-x2的图像(如图2-1)，作外部函数y=lgu的单调区间(如图2-2，因为u>0，所以在x轴上以及x轴下方的图像没有意义)，将两个图像合为一个图像(如图2-3)，观察图像可以得出函数y=lg(3+4x-x2)的单调
增区间为(2-，2]，单调减区间为[2，2+]。
例3 函数y=的单调区间______。
分析:令u=x2-x-2，则y=。画u=x2-x-2的图像(如图3-1)，作y=的单调区间(如图3-2，因为u?0，所以在x轴下方的图像没有意义)。将两个图像合为一个图像(如图3-3)，由图像可知函数y=的单调增区间为[2，+?)，单调减区间为(-?，-1]。
例4 已知函数f (x)=8+2x-x2，如果g(x=f (2-x2))，那么g(x)的单调区间______。
分析:令u=2-x2，则g(x)=f (u)=8+2u-u2，画u=2-x2的图像(如图4-1)，作函数g(u)=8+2u-u2的单调区间(如图4-2)，将两个图像合为一个图像(如图4-3)。观察图像可以得出函数g(x)的单调增区间为(-?，-1]和[0，1]，单调减区间为[-1，0]和[1，-?)。
通过这几个例题分析可以看出，这种图解方法直观、形象，例4使用该方法更能体现出简单、快捷的优势。它适用于一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和幂函数复合而成的函数，但不适用周期函数，如正弦函数等。
(徐州市田家炳中学)
范文五：复合函数的单调区间
复合函数的单调区间
教学目的:
1(掌握对数形式的复合函数单调性的判断及证明方法;
新疆王新敞奎屯2(渗透应用意识培养归纳思维能力和逻辑推理能力，提高数学发现能力
3.培养学生的数学应用意识.
新疆王新敞奎屯教学重点:函数单调性证明通法
教学难点:对数运算性质、对数函数性质的应用.
新疆王新敞奎屯授课类型:新授课
新疆王新敞奎屯课时安排:1课时
新疆王新敞奎屯教 具:多媒体、实物投影仪
, 知识梳理
uyfuugx==()()和1、 复合函数定义:一般地:对于两个函数，如果通过变量，
xyfuugx==()()和可以表示成的函数，那么称这个函数为的复合函yy
yfgx=[()]。 数，记作:
在复合函数yfgx=[()]中，yfu=()称为复合函数的外函数，ugx=()称为复合函数的内函数。
2、复合函数的定义域即内函数的定义域，复合函数的值域即外函数的值域。而外函数的定义域即内函数的值域。如下表所示。
定义域 值域
A B 内函数
C() D B,C外函数
A D 复合函数
3、复合函数单调性理论上的证明
，，a,by,f,,g(x)u,g(x)已知在函数中，设函数在区间上是单调递增的，函数
，，c,dy,f(u)u,g(x)在区间(其中区间是函数的值域)上是单调递增的。 ，，c,d
,,y,fg(x)(a,b)求证:原函数在区间上是增函数.
- 1 -
，，x,x,a,bx,x 证明:任取且, 1212
？，，a,bu,g(x),u,g(x)内层函数在区间上是增函数,，(其中u,g(x)？1122
，，u,u,c,d) 12
，，c,df(u),f(u)又外层函数在区间上也是增函数，，即y,f(u)？？12
，，a,b,,,,,,fg(x),fg(x)y,fg(x),由函数的单调性定义可得原函数在区间上是单12
调递增函数(证毕).
用同样的方法可以证明剩余的三种情况(完成下表).
函数 函数单调性
u,g(x)
y,f(u)
,,y,fg(x)
4、结论:
复合函数的单调性是由内外函数的单调性共同决定的:
内函数是增函数+外函数是增函数=复合函数是_____函数;
内函数是增函数+外函数是减函数=复合函数是_____函数;
内函数是减函数+外函数是增函数=复合函数是_____函数;
内函数是减函数+外函数是减函数=复合函数是_____函数。
也就是说，当内外函数的单调性相同的时候，复合函数是_____函数，当内外函数的单调性不同的时候，复合函数是_____函数。
(简记为:__________)
, 合作释疑
2例1、求函数的单调区间和值域 y,log(,x，2x，3)0.5
2，，,1,3解 :令u,,x，2x，3,由可知原函数的定义域为.原函数是由u,0
222y,loguu,,x，2x，3,,(x,1)，4u,,x，2x，3与复合而成.内层函数在0.5
- 2 -
,，，,1,3y,logu,1,1u,，，0,，,区间上是增函数,在区间上是减函数,而外层函数在上0.5
，,1,3是减函数,依据复合函数单调性的判断规律,原函数的单调增区间是,单调减区间是
2，,u,,(x,1)，4,4,1,1.接下来求值域:,且根据对数的意义,,？u,0？0,u,4
，y,logu0,4,？logu,log4,,2而函数在区间上是减函数,原函数的值域是？0.50.50.5
，,,2,，,.
考察单调性,,,,, 【点评】求复合函数单调区间的基本程序是:分解原函数 内层,
同增异减,,,,,外层 结论.本题求定义域是前提,求单调区间必须在定义域里考虑.在求值域时应明确外层函数的值域就是原函数的值域,往往依据外层函数的单调性来求.
2yxx=++log(32)变式训练1:求函数的单调增区间和单调减区间。 3
分析:根据复合函数的单调性可知，其单调增区间就是内外函数单调性相同的区间的交集，其单调减区间就是内外函数单调性不同的区间的交集。所以应该先分别求出内外函数的单调区间，再取对应的区间的交集。
2解:由对数性质可得: xx++>320
解不等式得:(,,,,2),(,1,，,)，即原函数的定义域是 xx<->-21或
2yuuxx==++log32和yu=log把原函数分解为两个函数:，由于外函数在33
31322定义域中是增函数，而内函数在区间(,,,,)上是增uxxx=++=+-32()224
3函数，在区间(,，,)上是减函数。 2
2yxx=++log(32)(,,,,2)(,1,，,)所以，函数的单调增区间是;单调减区间是 3
2,x，ax,1，，,,,3例2.已知函数在区间上是增函数,求的范围. ay,2
22uu,,x，ax,1u,,x，ax,1解:令,则原函数是由 与复合而成.原函？y,2
- 3 -
u，，,,,3数在区间上是增函数,而外层函数始终是增函数,则易知内层函数y,2
2，，,,,3在区间上也是增函数.而实质上原函数的最大单调增区间是u,,x，ax,1
aaa,，,，，，,,,3,3,由得,即. ,,,,,,,a,6,,,,222,，,，
【点评】本题是一个典型的已知原函数和外层函数的单调性来判断内层函数单调性的问题,应遵循“知二求一”的判断原则.
x2-4x+3变式训练2:讨论函数y=0.8的单调性。
解:函数定义域为R。
2u 令u=x-4x+3，y=0.8。
u 指数函数y=0.8在(-?，+?)上是减函数，
2 u=x-4x+3在(-?，2]上是减函数，在[2，+?)上是增函数，
x2-4x+3 ? 函数y=0.8在(-?，2]上是增函数，在[2，+?)上是减函数。
1x,x2y,4，3,2，5 例3、求函数的单调区间和值域.
1x,11x2xxx2(23),,，解:f(x),4，3,2，5,令,则原函数是由u,2,0u,2,022
112，(3)u,0,3,y,u,，和复合而成.外层函数y,f(u)在上是减函数,在22
x，,u,3,，,上是增函数,而u,2,即xxx，,，,,，,，2,0,3,x,,,,log32,3,，,,x,log3,，,,且内层函数u,2在区间22
，，，,,,,,,log3log3,，,,,,log3和区间上是增函数,所以原函数在区间上是减函数,222
，,log3,，,在区间上是增函数.下面求值域: 2
11112xx，，3x,log3y,y,u,，,2,3令u,2,0,则(当且仅当即时),所2max2222
1，,以,原函数的值域是. ,，,,,2，,
【点评】这是一个型如二次函数的复合函数,先应换元配方,然后求外层函数的单调区间,对应的计算出内层函数的单调区间,这个过程是颠倒的,因为我们平时习惯于先考
- 4 -
察内层函数,在考察外层函数,不过顺序上的选择主要是由问题的本身决定.
2变式训练3:讨论函数y=(logx)+logx的单调性。 22
解:显然函数定义域为(0，+?)。
2 令 u=logx，y=u+u 2
? u=logx在(0，+?)上是增函数， 2
2 y=u+u在(-?，- ]上是减函数，在[- ，+?)上是增函数(注意(-?，-]及
-，+?)是u的取值范围) [
因为u?- logx?- 0,x?，(u?- logx?- x?) 22
2 所以y=(logx)+logx在(0，]上是减函数，在[，+?)上是增函数。 22
, 小结:
判断复合函数的单调性的步骤如下:
(1)求复合函数定义域;
(2)将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数); (3)判断每个常见函数的单调性;
(4)将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围; (5)求出复合函数的单调性。
, 当堂测试
- 5 -
