结构参数的WLS或GLS估计

范文一：结构参数的WLS或GLS估计量方差的计算

武汉工业学院学报"" 年 ’!728BCDE>A9E F>93D=GCB9 (’ ;2<=>?8 2@ )

文章编号:""# $ %&&( "")" $ ""( $ " !!’!!’’

! 结构参数的或估计量方差的计算*+ ,*+ )

李焯章

(武汉工业学院管理科学系，湖北武汉，%(""’’)

摘! 要:对于违背基本假设条件，如在异方差性或序列相关性情况下多元线性计量经济模型 #$ & 的结构参数的 -*+ 估计量 $ 将不具备有效性，甚至渐近有效性，我们可对上述两种 % "

情况分别计算其结构参数 $ 的 *+ 或 ,*+ 估计量，以及它们的方差，但是在一些有代表性的 )

计量经济学专著中，对于结构参数的或估计量的方差得出不妥当的结果，笔者将 $ )*+ ,*+

给出在这两种违背基本假设情况下结构参数的估计量与估计量或估计量的 $ -*+ )*+ ,*+ 方差及简要推导。

关键词:;;;结构参数;方差-*+)*+,*+

中图分类号:% / " 文献标识码:0 .’’

多元线性计量经济模型 * ! ( )"#(##(&

#$ &! " % (!) 当模型()存在异方差性时， !

’ 满足基本假设条件时有( &&( )+%) ’(" !’ ( )，( )&" "&&( " ) ’’!将(%)代入(()，可得到结构参数估计量的方差协方 ’ 其中是常数，此时模型的结构参数 $ 的 -*+ 估计 ! 差矩阵

量* ! * !12(3 )( )( )( )$"#(##(&&( ##(# ’* ! $ ( #(#)#(!" ! ’ !* * ( #(#)#( +#( #(#)" !的方差:协方差矩阵 $ ’*! * !(#(#)(#(+#() #(#) (4) " !

’ !* ((() 当模型存在序列相关性时，))’123 $" #(# !’( )&&( " ’"!当模型()违背基本假设条件，譬如存在异方差性 !(5)

或序列相关性时将(5)代入(()，可得到结构参数估计量的方差协方 ’ ’( )或 ( )’&&( " + ’&&( " !!" 差矩阵 !!* * ) )123 ( $ ) (( &&( ) # ( #(# #(# #(’" ，，#其中:+ "- " ，; !. !," - * ! ’ * ! ( #(#) #( #( #(#) #, " ! " ， # ’*! * !，都是正定矩阵。+()()( )(6) " " #(##(##(#! " 此时，模型()的结构参数 $ 的 *+ 估计量 $ !-是一个正定的对角矩阵，它是的一种特殊+ "

虽仍具有无偏性 ( $)’$，但不具有有效性，甚至 " 情况，因此，式(4)可以看成是式(6)的一个特例。

当模型()具有异方差性或序列相关性时，虽 !渐近有效性，其方差协方差矩阵变为然可分别用式()或式()计算其结构参数估 46-*+ (,( ( )() ( )),)123 $" $ * $$ * $( ’’’计量的方差，但是，所得到的估计量将不具有有效 ,( () )," $ * $$ * $( ’性，甚至渐近有效性。 * ! * !’,( #(#)#(&&(#( #(#), " 即 ()78:9 /01 $" ! * ! * !( #(#)#(( &&( )#( #(#) ’"(() 为了克服由于违背基本假设条件对结构参数估

* ! 计量所造成的后果，可根据异方差性或序列相关性其中:( )$ * $ "#(##(! * $

* ! ( #(#)#(( #$ &)$ "% *

收稿日期:""" $ !! $ "! ’ ! 万方数据作者简介:李焯章(!#% %$ )，男，湖北省武汉市人，教授。

李焯章:结构参数 #$ 或 %#$ ! 期估计量方差的计算"FF

( ( ( ! ! !的情况对模型()进行适当的变换，分别对模型结 ( )()!%*$& **$& + # *! (! ( ( ( ! ! ! 构参数加权最小二乘估计量)或计算 #($ ( *$& *)*$& # ! "%

广义最小二乘估计量)。%#($ 式()与式()分别给出模型()具有异方差性时的.!-!若模型()存在异方差性! 结构参数的估计量与估计量的方差，! (#$ "#$ & "( ##$ )&% ! 后者将具有有效性。

若模型()具有序列相关性时 !因为 & 是正定对角矩阵，& 可表示为

&"( ##$ )% 其中 ’ 是可逆矩阵 !"% & ’’$

( ! 将同时左乘模型(!)两边 ’，也有 $ ，其中是可对于正定矩阵 ’’’ % ""( ! ( ! ( ! ’ ) ’ *! ’ # % + 逆矩阵，我们可采用上述对异方差性的方法，对模型

( ! !( ! !( ! !( ! ( ! ，! ! 令 ) ，% ’ *# % ’ )* ’ #% )进行适当的变换:令:，，(!)% ’ )*% ’ *

! ( ! !!得 )() *! #’# % + #，得到新模型 ’%

!!!此时变换后的模型(’)将具有同方差性，因为 ) % * ! + #

$ ! !( ( ! !"( ##)"( ’ ##($ ’ )$ ) % 新模型将不具有序列相关性，因此也满足基本

( ! ( !假设条件，其结构参数的估计量! (#$ "( ##$ () $ ) ’’%

!& !& ( ( $ ( ! $ !!!!( ,) &$ % ’’ ( )!!% ! %***)

! ! ! ( ( ( 模型(’)满足基本假设条件，计算其结构参数 (#$ ( *$*)*$)% ""

估计量它也是模型()的 %#$估计量，采用类似式(-)的 !!

$( $! !!!! ( )方法，得到估计量的方差协方差矩阵!%*** )

( ! ( ! (!( ! ( ! & ! !( ( ,( )$ ,( )($ ) ***)’’’’%()()(!!) + % $*,**!!" ( ! ( ! ( ! ( ! ( ! , (,())%*$ $ **$ $ ) /)与式(!!)分别给出模型(!)在序列相关时结 ’’’’式(

( ! ( ! ( ! ( *$& *)*$& ) %)) (构参数的估计量的方差，后一估计量与 ! (#$ %#$

这即是模型(!)结构参数的 "#$ 估计量，此时它的种估计量将具有有效性。

式()是式()的一个特例，在异方差的情况 !-!! 方差协方差矩阵为下，是一个对角矩阵，它比一般的定矩阵在计 & " (),( ( )() ( )),*+, !% "! ( "!! ( "!$ 算过程中要简单一些。 ,( () ),% " ! ( !! ( !$ 参考文献: ( ! ( ! ( ! ( ! ( ! ( !",(*$& *)*$& ##$& *(*$& *), % ,,,美,威廉格林经济计量分析,,北京: 0 1 1 21 !( ( ( ( ( ( ! ! ! ! ! !(*$& *)*$& "(##$ )& *(*$& *) %中国社会科学出版社，版年 )) 1 !’! & ! ! !! ! !( ( ( ( ( ( (*$& *)*$& && *(*$& *)% !,, 李子奈计量经济学———方法和应用,,北 &1 21 &( ! ( !(*$& *) (!-) % ! 京:清华大学出版社，年版 !))/ ! 1 ( ( ( ! ! ! 其中:( ) %*$& **$& !( !) ( !

!" #$% &’(&)(’#*!" !+ ,(- !. /(- %-#*0’#!. !+ #$%

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(，，，) 2343576648 $9:6496; 6<3=87648">?34 @+AB869?4:9 C4:,6=D:8B">?34 EF--&&*?:43:， 2346574G7<><6= 9+49a="">D:+4 H3D I=3H4 J=+7 "#$ +J 8 ?6 D8>=98>=3A <3=37686=d k+="8?6" ,3=":3496" +j="" (="" #$="" 6d:8738+="">

D+76 8B<:93a 69+4+7:9="" 7+4+5="3<?D" 1="" $+="" 8?6="" 3="">8?+= H:A A5:,6 #$ 6D:8738+= 34 #$ 6D:8738+= +J8 ?6 D8>=98>=3A <3=37686=d>

，K+= 8?6 ,3=:3496 +J%# $ 6D:8738+= 34I 3 D:798:+4 >4I6= 8H+ 93D6D H?:9?3 =6 9+48=3=B 8+ 8?6 J>4I376483A 3DL

D>7<8:+4 1="">

:;;; 89: <5=3(#$#$%#$d8>=98>=3A <>

万方数据

范文二：均值和协方差矩阵的估计量定义

, 均值和协方差矩阵的估计量定义

设模式的类概率密度函数为p(x)，则其均值向量定义为：

m,E(x),xp(x)dx ,x

TT其中，x = (x, x, …, x)，m = (m, m, …, m)。 12n12n

?若以样本的平均值作为均值向量的近似值，则均值估计量为： m

N1?m,xj ,Nj1,

其中N为样本的数目。

协方差矩阵为：

cc？c,,11121n,,

cc？c,,21222n,C ,,？？？,,,,cc？c,,n1n2nn

其每个元素c定义为： lk

c,E{(x,m)(x,m)}lkllkk

,, ,(x,m)(x,m)p(x,x)dxdxllkklklk,,,,,,

其中，x、x和m、m分别为x和m的第l和k个分量。 lklk

协方差矩阵写成向量形式为：

TTTC,E{(x,m)(x,m)},E{xx},mm

协方差矩阵的估计量（当N>>1时）为：

N1T???C,(x,m)(x,m)kk ,Nk1,

, x, …, x, …, x}。因为计算估计量时没有这里，样本模式总体为{ x12kN

?真实的均值向量m可用，只能用均值向量的估计量来代替，会存m

在偏差。

范文三：总体均值估计量最小方差的改进

文章编号 : 1007 1385 ( 2005 ) 04 0088 03

总体均值估计量最小方差的改进

12琳涛李刘

( 1. 沈阳航空工业学院理学系 ,辽宁沈阳 110034; 2. 东北大学材冶学院 ,辽宁沈阳 110004 ) 摘要 :在简单随机抽样中 ,样本均值是总体均值的无偏估计。其他复杂的抽样方法常以简单随机抽样为基础 ,对于相同的样本容量条件下不同的抽样方法来说 ,总体均值估计量的方差就成为衡量各种抽样方法的有效程度的重要标志。对文 [ 1 ]中给出的求有限总体均值估计量最小方差的几种方法进行了讨论 ,并对其求解方法进行了改进。

关键词 :总体 ;均值 ;估计量 ;方差

中图分类号 : O212. 1 文献标识码 : A

估计的有限总体调查指标 y 的均值。X 和 X 分 1 2 1 问题的提出别为辅助指标 x和 x的总体均值。总体均值估 1 2 在统计调查中 , 为了解某一领域的信息 , 取得 xxx1 2 1aaa1 21( ) ( ) ( ) 计量分别为 y = y 和 y = w y a w 1 尽可能准确的综合数字和资料 , 人们可以采用普 XXX 1 21 查的方法来观察、记录、说明总体在某一方面或某 x 2a 2 ( ) + wy 。 y代表调查指标 y 的样本均值。 x i 2 些方面的性质和规律。但从节省资源的角度来 X 2 说 , 人们常采用抽样调查的方法。不放回等概率 ( )和 X i = 1, 2 分别代表辅助指标 x的样本均值和 i i 的简单随机抽样是抽样调查中最基本的抽样方总体均值。 a, a为实数 , X和 X是已知的 , y、 1 2 1 2 法 , 其他复杂的抽样方法常以它为基础。在简单 [ 2 ] x、x分别代表变量 y、x、x从总体中抽取的样本 1 2 1 2 随机抽样中 , 样本均值是总体均值的无偏估计 ,

容量为 n 的基于无放回简单随机抽样的样本均值。w和 w是权值 , 满足条件 : w+ w= 1。 1 2 1 2 ( ) 即E y = Y。对于总体 , 人们较关心它的调查指 x- X x- X 1 12 2 y - Y 标 y 的总值 Y、均值 Y、总体比例 P。其中 , Y = N Y, 令和, 则 E e= , e=e= 0 1 2 Y XX 12N 1 [ 1 ] N 是总体所含的单位数。 P = ? y , y = i i ( ) ( ) ) ( e= E e= E e= 0 。因为在简单随机抽 0 1 2 i = 1 N [ 3 ] 样中样本均值是总体均值的无偏估计。 1, 具有某一特定的特征 y是总体中第 i 。若 i xx 1 20, 不具有某一特定的特征aa1 2 ( ) ( ) 对于估计量 y = y , 文 [ 1 ]只把估 a N X X 1 2 1 个单元的调查指标值 , 则 Y = ?y 。 Y 与 P 都可i i = 1 计量的方差考虑到 1 / n 阶而省略了后面的部分 , N

则通过 Y得到。对于相同的样本容量条件下不同的抽 2 )( ( )样方法 ,总体均值估计量的方差就成为衡量各种抽 V y= E y- Y a a 2 2 2 2 2 2 样方法的有效程度的重要标志。本文对文 [ 1 ]中给 ( = YE e+ a e + a e + 2 a e e+ 2 aee 2 0 20 1 1 2 2 1 0 1

出的求有限总体均值估计量最小方差的几种方法 ( )) + 2 aaee+1 1 2 1 2 进行了讨论 ,并对其求解方法进行了改进。 2 f 2 2 2 2 2 ( ) ρ+ aC+ aCV y? Y ? { C + 2 a 1 x 2 xa y1y x1 2 1 n

2 方法的改进 ρρ+ 2 aaC CC+ 2 aCC1 2x x xy x2yxy x 1 2 21 2 1 对有限总体均值的估计可采用不同的方式。 ( )2 C} x 2 文 [ 1 ]中讨论了使用辅助指标的有限总体均值的估其中 ,

计量 , 它们是基于两个辅助指标的。令 Y代表待 f f ρρ )= CC, E ee( ( ) =E ee CC, 0 1 yxy x0 2y xy x 2 2 1 1 nn

收稿日期 : 2005 07 12 f )( ρE ee= CC 1 2 x x x x1 2 1 2 作者简介 :李琳 ( 1978 ) , 女 , 吉林省吉林市人 , 助教 n

89 第 4期李琳等 :总体均值估计量最小方差的改进

( )( ) 将 4 式代入方程组 3 中 , 其结果相当复杂且不 f 2 f 2 2 f 2 2 2 ( ) ( ) ( ) E e= C, E e= C, E eC= 0 y 1 x2 x 1 2n n n ( )(ζ)ζ 易解出 , 不妨将方程组 3 改写为 E [ - 1 ] = 0 在上面的式子中 , 的形式 , 即2 2 Sζ ζE= E ( )N - ny 5 2 f = , C= , y 2N Y 由上面的讨论可知 , 当 a ?1, a ?1 时 , 满足1 2 2 ( ) S S 5 式的 a, a即为所求。当 a= a= 1 时 , 通过 x y x 1 2 1 2 i 2 i C,ρ = = x yx 2 3 3 i i X S S = a= 1 时 V ( y) 的比较 a= a, a= a与当 a y x 2 a i 1 1 2 2 1i N ) ( 值 , 取使 V y最小的 a, a为所要求的解 , 由此 1 a 1 2 ( ) ( ) S= ? y- Y x- X , y xj ij i i j = 1N - 1 可得比文 [ 1 ]中更精确的结果。 N 2 2 1 x x 2 1 2 a ( )=S?y- Y y j 对于估计量 y = w y ( ) a + w y ( ) , 又 w 1 1 2 j = 1N - 1 XX 12

可将其写为ρρx是第 j个单元的辅助指标 x的值。,分别 iji yx x x i 1 2 aa1 2) ( ) ( ( ) y= Y 1 + e[w1 + e+w 1 + e ] w0 1 1 2 2 ( 是 y 与 x和 x与 x之间的相关系数 , i = 1, 2; j i 1 2

= Y{w+w+we+we+wae+wae 1 2 1 0 2 0 1 1 1 2 2 2) = 1, 2, , N 。 ( ) aa- 1 1 1 2( )e +waee+waee+w将 2式的右端对 a, a分别求偏导数 , 并令其 11 1 0 1 2 2 0 2 11 2 2

为 0,由此得到一个二元一次线性方程组。通过求出 )( a a - 1 2 2 2 ( )+we+ }6 22 3 3 2 其解 a, a可以得到 y的最小方差估计量。 1 2 a

3 3 文 [ 1 ]将上式的期望取到 1 / n 阶 , 则有 ( )在 2 式中 , 近似计算的存在使得 a, a的 1 2 f f 值与理论值之间存在一定的差异。为了得到更精) ρρ( E y? Y { 1 + waCCCC + wa+ w w 1 1yx y xyx y x2 211 1 2 2 n n ( )确的值 , 将 1 式的右端直接对 a, a分别求偏导 1 2 ( )( )a a - 1 - 1 a a f 1 1 f 2 2 2 2 C+w() } 7 Cx2x1 2 数 , 并令其为 0。2 2 nn 2 a 1( ) ( )其中, w+ w= 1,从而 ( ) ( )= E [ Y 1 + e1 + eV y= E y- Y 1 2 0 1 a a a2 2 f2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) )ρ( 1 + e- Y ] V y? Y {C+waC+waC+2waCC 2 w y 1 1 x 2 2 x 1 1yx y x1 2 1 1 n 2 aa2 1 2 令 u = YE [ ( 1 + e ) ( 1 + e ) ( 1 + e ) - 1 ], 则 0 1 2 ρρ+2waCC+2wwaaCC} 2 2yxy x12 1 2x x x x 2 2 1 2 1 2 5u 2 aa( )1 2 8 ( ( ( ) ) ) = YE { 2 [ 1 + e 1 + e 1 + e - 1 ] 0 1 2 5a 1( ) 文 [ 1 ]将 w 看作常数 , 令 8 式对 a , a , 求1 1 2 aa 12( ) ( ) ( ) ( ) 1 + e1 + e1 + elna} = 0 0 1 2 1 ) ( 偏导数从而得出使 V y达到最小的最佳值。该 w 方法在求解过程中存在的问题是 : 它仅考虑到其 5u 2 aa1 2 ( ) ( ) ( ) = YE { 2 [ 1 + e 1 + e 1 + e - 1 ] 0 1 2 求解比较方便 , 却忽视了一个重要的问题 , 即 w1 5a 2

取值的变化对 a, a也将产生影响 , 最终影响到估 aa 1 2 12( ) ( ) ( ) ( ) 1 + e1 + e1 + elna} = 0 0 1 2 2 计量方差的计算。因此 , 本文将该方法做如下改 ( )3 进 :由方差的定义可得 ,

( )当 a= a= 1时 , 方程组 3 有解 ; 1 2 2 a )( ()V y = E y- Y 1w w 当 a?1, a?1 时 , 设 ζ= ( 1 + e) ( 1 + e) 1 2 0 1 2 aa 2 12) () () (( )= Y E{ 1 + e[w1 + e+w1 + e] - 1} 9 0 1 1 2 2 a 2) ( ) (ζ1 + e, 将展开不妨设 a> a, 可得 2 2 1 ( )若使 9 式取得最小值 , 需要确定变量 a, a及 w 1 2 1a a 12ζ () () ()= 1 +e1 +e1 +e 0 1 2 的值 , 而 w = 1 - w 。 2 1 a 1aaaaaa 121212i j i j ( ) 令 9 对 a, a及 w分别求偏导数 , 并令其 1 2 1 + ?= e? ee+ ? ee 0 1 2 1 2i + j = k - 1 i + j = k k =1 0 i j i j 0 为 0, 可得 a- 1 2 aaaa 1 21 2( ) 5V y i j i j w 2 a 1 ?( ) ( ) + ? = Y E { 1 + e[w1 + elna] } = 0 e? ee+ee 0 1 1 1 0 1 2 1 2k = ai + j = k i + j = k +1 5a 11i j i j ( ) 5V y w 2 a2 aa 1 2( ) ( ) a - i a - j = YE { 1 + e [w 1 + e lna ] } = 0 0 2 2 2 1 2 5a + e? ee0 2 1 2 i + j = k a 1a- i a- j 1 2 )( 5V y w + ?( )4 2 aa 12) ( ) ( ) ( = Y E { 1 + e[ 1 + e- 1 + e] } = 0 k = 1 0 1 2 aa 1 2w 5a- i a- j 1 1 2 ?ee 1 2i + j = k - 1 a- i a- j 1 2 ( )10

沈阳航空工业学院学报 90 第 22卷

( ( )( ) P ) 。由于 i = 1, 2, 则满足 10 式的 a, a及 w才是使 9 达到最小 , a为实数 , 的意义如前所述 1 2 1 i

( ) 值的最佳值。用此方法得到的结果比文 [ 1 ]中的近似计算的存在 , 使 12 式达到最小的 a的值与 i ( ) 结果精确。精确值之间存在一定差异 , 且方差公式 11 的形

式十分复杂 , 求出其精确解相当困难 , 这就需要对 3 需进一步讨论的问题其作进一步的讨论 , 并寻求较为简单的解决方法。

利用辅助信息可以提高估计量的精度 , 因此

: 参考文献人们对于待估计的总体总是希望获得尽量多的辅

助信息。文 [ 1 ]还将其结果推广到使用多个辅助 [ 1 ]W alid A. A bu - D ayyeh, M. S. A hm ed, R. A. A hm ed, e tc. M u ttlak. 指标的情况 , 并给出了近似的最小方差计算公式。 Som e e stim a to rs of a fin ite pop u la tion m ean u sing auxilia ry info rm a2

( ) tion [ J ] , App lied M a them a tic s and Comp u ta tion, 2003 139 : 287 a i p x i- 298 Π , 则令总体均值估计量为 y=y h i = 1 X i [ 2 ] Coch ran, W illiam G. . Samp ling Techn ique s [ M ] , N ew Yo rk: 2 ) ( ( )V y= E y- Y h h John W iley and Son s Inc, 1977

[ 3 ]联合国统计局编. 谢嘉 ,郑德如 ,黄树颜译. 抽样调查理论基础 2 f 2 2 22 2 = Y{ C+ aC( )+ aC 11 + } y 1 x 2 x 12[M ]. 上海 :上海人民出版社 , 1984 n [ 4 ]黄良文 ,吴国培. 应用抽样方法 [ M ]. 北京 : 中国统计出版社 , p p p f 2 2 ρρ( ))(12 + ??aaCC+2?aCC CV y?Y y i j x x x x i yx x yh i j i j i i 1991 i =1j =1 i =1 n [ 5 ]许宝禄. 抽样论 [M ]. 北京 : 北京大学出版社 , 1982 其中 , P 是可获得的辅助变量的个数。 x与 X i i

Im prov ing m ethods to ca lcula te estima tor m in im um var iance

of the f in ite popula tion m ean 1 2L I L inL IU Tao

( 1. Shenyang In stitu te of A e ronau tica l Enginee ring, L iaon ing Shenyang 110034. 2. M a te ria l and M e ta llu rgy In2

)stitu te, No rthea ste rn U n ive rsity, L iaon ing Shenyang 110004

A b stra c t: In a simp le random samp ling, the samp le m ean is an unb ia sed e stim a te of the pop u la tion m ean. O the r comp lex samp ling m e thod s often ba sed on the re su lts of a simp le random samp ling. Fo r d iffe ren t samp ling m e th2 od s w ith the sam e samp le size, the e stim a to r va riance of the pop u la tion m ean becom e s an impo rtan t sign to m ea su re the accu racy of any samp ling m e thod s. Th is a rtic le d iscu sse s som e m e thod s to ca lcu la te the e stim a to r m in im um va riance of the fin ite pop u la tion m ean wh ich had been given in [ 1 ]. It a lso m ake s som e imp rovem en t fo r the ca lcu la tion m e thod s.

Keyword s: pop u la tion, m ean, e stim a to r, va riance

范文四：最大似然估计量的一致性与样本容量选择

最大似然估计量的一致性与样本容量选择

1 2 2 2张小绵赵志超陈静秋余陨金 1 () 深圳大学信息工程学院 ,深圳 518060

2 ()深圳大学理学院 ,深圳 518060

( )收稿日期 :2002204202

摘要本文通过自行设计的光学测量系统 ,以实验的方法对最大似然估计量的一致

性进行了分析 ,提出了一种减少测量系统计算工作量、降低采样成本 ,又可满

足测量精度要求的样本容量选择方法 .

关键词最大似然估计 ; 样本容量 ; 相关系数 ; 光学测量

CO NSISTENCE OF MAXIM UM L I KEL I HOOD ESTIMATIO N

AND CHOICE OF SAMPL E SIZE

1 2 2 2Zhang XiaomianZhao ZhichaoChen JinqiuYu Yunj in 1( ) School of Info r matio n Engineering , Shenzhen U niversit y , Shenzhen 518060 , China2( )College of Science , Shenzhen U niversit y , Shenzhen 518060 , China

Abstract We analyzed t he co nsistence of maximum likelihoo d estimatio n by experiment s

in t he self2designed op tical measuring system and p ropo sed a met ho d , to decrease wo r k

ho urs of measuring and co st of sampling but meet t he need of measuring accuracy.

Key Words maximum likelihoo d estimatio n ; sample size ; relatio n f acto r ; op tical measur2

ing

的增大往往要以降低系统测量速度和提高测引言试硬件成本为代价.

本文通过自行设计的光学测量系统 , 以

在待测信号的统计特性确定为已知的检实验的方法对最大似然估计量的一致性进行

测中 ,最大似然估计由于具有其良好的性质了分析 , 指出了样本的数字特征依概率收敛常常被用来确定与信号有关的某个未知参时的具体行为 ; 一致估计量对样本容量的依 1 ,2. 这些性质中 ,最突出的是最大似然估存关系 ; 以及运用相关系数检查估计量的质量

计量的一致性 . 然而 ,用一致性来衡量估计量量时 ,样本容量所产生的影响 ; 提出了一种实

际测量中 ,选择合理样本量的方法 . 的好坏时 ,要求样本容量较大 ,在实际中要满

足这一条件将有不少具体问题. 比如 ,样本量

本文为深圳市科研基金资助项目

第一作者张小绵女 ( 1951 — ) 深圳大学信息工程学院讲师工学硕士.

物理与工程 Vol . 12 No . 3 2002 51

θ至此 ,可得的最大似然估计值的计算公式为 ? 2π θ1 采样原理及估计值计算公式的导出 ML ( ) I x sin x d x ? ? 0 ( )θ6 = - arctan π 2 ML本测量系统样本的采集是通过与光电探 ( ) I x co s x d x( ) 测器相通的检偏器旋转一周 360?, 选定步 ? 0 进电机步距角大小来实现等间距采样 . 若选 θ 如果事先预知的角度变化范围在择最小步距角为 01045?, 则一周中采集的样 π π ( ) - , , 则 6 式算出的角度是唯一的 , , 本量 N = 360?/ n ×01045?, 式中 , n = 1 , 2 , 2 2 [ 3 ] 40 , 只能取整数. ( )如果超出这个范围 , 则会有两个角度满足 5 令光电探测器采集到的光强信号为 I , 式 . ( ) 由马吕斯 Malus定理 , 测量系统中对应 x 方为了证实没有任何干扰信号的情况下向的光强可表示为 ( ) ( ) 5式是否正确 , 可以对 5式进行验算 , 这时 ( ) ( θ) νπI x = aco s x + + , 0 ? x ?2 有 ( ) 1( θ) π ( ))= aco s x + , 0 ( I x ? x ?27 νθ式中 , 角度为要估计的真值 ,是相互独立 2 σ均值为零 , 方差为的正态分布的随机变那么 2π 2π [ 4 ] θ量. 这时 , 对于的最大似然估计即要求 ( ) ( θ) I x co s x d x = aco s x + co s x d x?? 一估计值 , 使得 0 0 2π 2π 2 a ( θ) (θ) ( )- aco s x + ]d x I , a= [ I x ( ) θ θ = [ 1 + co s2 x co s- sin2 x sin]d x? ?2 0 0 π2 ( )2 a θ ( θ) I 5 = [ co s+ co s 2 x + ]d x( ) 取最小值 . 令= 0 , 由 2式 , 有?2 0 θ5 π2 2π 5 I a( θ)θ) ( )( - aco s x + ]d x + =2 a [ I x sin x θπθ( )= co sd x= aco s 8 ?θ 5 ?2 0 0 2π 同理 2π 2π θ) ( ) ( + d x = 2 aI x sin x? 0 ( θ) ( ) = aco s x + sin x d x I x sin x d x ??2π 0 0 2 2π θ) ( )( θ) ( + d x = 0 3 - a2sin x + co s x? a 0 ( θ θ θ) = sin2 x co s- co s2 x sin+ sind x? 2 ( ) 由于 3式中 , 等号右端第 2 项为 0 , 所以方程 0 π2 ( ) 3变为 a 2π 2π θ)θ( - + sin]d x = [ sin 2 x?2 0 ( θ) θ( ) ( ) I x sin x+ d x = I x sin x ?co sd x?? π2 2π 0 0 2π a a ( θ) θ= [ sin 2 x- d x +d xsin??2 2 θ( ) +I x co s x ?sind x= 0 ( )4 0 0 ? 0 πθ ( )= asin9 整理后得 ( ) ( ) ( ) 将 8式除 9式正好得 5式 . 当然 , 可以直 2π

( ) ( ) 接用 8式或 9式取反正弦或反余弦来获得 ( ) I x sin x d x ? θ sin0 θ的一个估计值 . 虽然不是最大似然估计 , 却 θ ( )tan= - = 5 2π θco s ( θ) 也可以判定所在的象限 , 再用 6式估计即 ( ) I x co s x d x? 0 得到准确的最大似然估计了. ? 1994-2013 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net

物理与工程 Vol . 12 No . 3 2002 52

N - 1 N - 1 ππ2i i 2θ θ ( )cosIsin = - sinIcos 16i i ? ? N N i = 0 i = 0 θ2 离散信号的处理与最大似然估计值 ^ ML 因此有的计算与评价 N - 1 π2i I sin i ? N θ i = 0sin 由计算机测量系统所记录的信号是离散 θ = -( )tan= - 17 N - 1 θco s π 2 i 信号 , 因此 , 信息处理的求积运算将被求和代 I co si ? N i = 0 替 . 设检偏器旋转一周采样 N 次 , N 为正整由此 , 从实测数据求得的最大似然估计值为 N - 1 数 , 采样信号用 N 个数 I, I,, I表示 , 0 1 N - 1 π2i I sini ? ? 那么 , 有 N i = 0 θ( )= - arctan 18 MLN - 1 ππ2i 2i θ νI co s+ + , i = 0 , 1 , I = aco s , N - 1 i i i ? N N i = 0

设臵测量系统每周采样量分别为 125 , 250 ,( ) 10

θ因此 , 在给定的条件下 , 各{ I } 的条件概率 i 500 , , 4000 个 , 将测得的光强 I的值依次 i 密度函数为 ( ) 代入 18式 , 并以样本量为横坐标 , 计算得到

? 1 ( ) θ的为纵坐标作图见图 1.ML ( θ) P I, I, , I| = 1 2 N - 1 NN( 2π) σ

2 πi 2N - 1 θ I - aco s +i N -?2 ( )?e 11 2σ i = 0

对之求对数得似然函数为

N 2 ( πσ) (θ)= - ln 2L 2 N - 1 π1 2i 2 θ( )- I - aco s + 12 i 2 ? σN 2i = 0

θ令上式对求偏导为零 , 则有图 1 最大似然估计值与样本量的关系曲线 θ)(5 L 从图中可见 , 在样本量大于 800 的区域 , θ5 ? N - 1 θ的值几乎没有改变 , 而在小于 800 的区 ML π2i π2i a θ θco s + sin + a= I - i 2 ? N N σ域 , 则出现了大幅度的波动. 由数十组数据 i = 0 ? ( )= 0 13 θ得到的与样本量的关系曲线 , 给出的结ML 整理此方程 , 得论是相同的 . N - 1 πρ 2i 下面 , 通过计算相关系数来评价估计 θI sin+ i ? ? N i = 0 θ量的质量. 构造函数ML N - 1 ? ππ2i 2i θ θ ( )- a co s+ sin + = 0 14 ? )( ( θ)( )19 = co s x + N N u x ML i = 0

不难证明上式第二个求和号在 N = 2 的整数则

2π 次幂时等于 0 , 在取其它值时也接近于零 , 因 2 ( ) ‖u x ‖ =( ) u x d x此方程变换为 ? 0 N - 1 π2 π2i θ ( )+ = 0 ?I sin15 i ? 2 N i = 0 ( θ) ( )cosx + d x20 = ML ? 0 ( ) 按三角函数两角和公式将 15式展开后得

物理与工程 Vol . 12 No . 3 2002 53

( ) ( ) ρ将实验中测得的光强 I 代入上式 , 同样以样由此 , 计算 u x 和 I x 的相关系数为 i 2π ρ 本量为横坐标 , 由计算得到的相关系数值 ( ) ( ) I x u x d x( ) 为纵坐标作图见图 2. ? 0 ρ = 与图 1 对照分析图 2 , 可以明显看到两幅 2π 2π

2 2 图所反映的两种函数曲线之间的联系 : 相关 ( ) ( ) Ix d xux d x?? ? 0 0 ρθ 系数值开始明显下降处与估计量突ML 2π ? 然变化处对应的样本容量几乎完全相同. ( ) ( θ) I x cos x + d xML ? 0 ( )21 = 2π 2π ? 结论 2 2 ( ) ( θ) Ix d x cosx + d xML ?? 0 0

本文所作的实验数据和图形分析表明 : ?ρ θ 求得的为正值时 , 说明真值就在范围 ( )θ1 依概率收敛当最大似然估计量 ML π πθ于时 , 样本容量亦趋向于一个定值 , 在该值 θπ - , 中 , 否则要将增加作为最大 2 2 以下 , 估计量的收敛行为不稳定 , 而在该值以 ( ) ρ似然估计 , 这时再按 21 式计算可得的正上 , 估计量保持了良好的精度 , 因此 , 这一样值 . 同样 , 由于测量系统所记录的信号为离本容量值 , 就是系统进行实际测量时选择样 ( ) 散信号 , 相关系数以求和运算代替 21 式中本量的依据 . 的求积运算 , 即 ( ) ρ2样本容量在运用相关系数对估计 N - 1 ? π2i ? θ+ I co s MLi ? N θ 量的质量评价中存在着值得注意的一ML i = 0 ρ = N - 1 N - 1 ( ) 个量“界”, 这个“界”与结语 1中提到的样本 ? π2i 22θIco s+ ML i 量的“定值”大致相同 , 在“界”的两侧相关性 ?? N i = 0 i = 0 出现明显的变化. 这也从另一方面说明了结 ( )22 ( ) 语 1中提出的实际测量中样本容量选择依其中 , 据的合理性 . N - 1 ? πN 2i 2)( θco s23 + = ML? 2 N i = 0

因此 , 有参考文献 N - 1 ? π2i θI co s+ i ML? N i = 0 1 金观昌. 计算机辅助光学测量 M . 北京 : 清华大学 ρ ( )= 24 N - 1 出版社 ,1997 . N 2 I i?2 刘光祖. 概率论与应用数理统计 M . 北京 : 高等教 2 i = 0 育出版社 ,2001 年 7 月.

3 张小绵 ,赵志超. 椭偏法细丝在线监测系统设计及数

据分析J . 中南工业大学学报 , 2001 , 32 ( 6 ) : 640 ,

643 .

4 Chu T C , Ranso n W F , Sut to n M A and Peter W H.

Applicatio n of Digital Image2Co rrelatio n Technique to

Experimental Mechanics. J Ex p . Mech . , 1985 , 25 :

232,244 .

图 2 相关系数与样本容量关系曲线

范文五：最大似然估计量的一致性与样本容量选择

最大似然估计量的一致性与样本容量选择

50物理与工程Vo1.12No.32002

最大似然估计量的一致性与样本容量选择

张小绵赵志超陈静秋余陨金:

(深圳大学信息工程学院,深圳518060)

(深圳大学理学院,深圳518060)

(收稿日期:200204—02)

摘要本文通过自行设计的光学测量系统,以实验的方法对最大似然估计量的一致

性进行了分析,提出了一种减少测量系统计算工作量,降低采样成本,又可满

足测量精度要求的样本容量选择方法.

关键词最大似然估计;样本容量;相关系数;光学测量

CoNSISTENCEOFMAXIMUMLIKELIHOODESTIMATION

ANDCHoICEoFSAMPLESIZE

ZhangXiaomianZhaoZhichaoChenJinqiuYuYunjin:

(SchoolofInformationEngineering,ShenzhenUniversity,Shenzhen518060,China)

(.CollegeofScience,ShenzhenUniversity,Shenzhen518060,China) AbstractWeanalyzedtheconsistenceofmaximumlikelihoodestimationbyexperi mentsintheself—designedopticalmeasuringsystemandproposedamethod,tode—

creaseworkhoursofmeasuringandCOStofsamplingbutmeettheneedofmeasuring accuracY.

KeyWordsmaximumlikelihoodestimation;samplesize;relationfactor; opticalmeasuring

引言

在待测信号的统计特性确定为已知的检

测中,最大似然估计由于具有其良好的性质

常常被用来确定与信号有关的某个未知参

量n'.这些性质中,最突出的是最大似然估

计量的一致性.然而,用一致性来衡量估计量的好坏时,要求样本容量较大,在实际中要满足这一条件将有不少具体问题.比如,样本量的增大往往要以降低系统测量速度和提高测试硬件成本为代价.

本文通过自行设计的光学测量系统,以实验的方法对最大似然估计量的一致性进行了分析,指出了样本的数字特征依概率收敛时的具体行为;一致估计量对样本容量的依存关系;以及运用相关系数检查估计量的质量时,样本容量所产生的影响;提出了一种实际测量中,选择合理样本量的方法. 本文为深圳市科研基金资助项目

第一作者张小绵女(1951一)深圳大学信息工程学院讲师工学硕士

物理与工程Vo1.12No.3200251 1采样原理及估计值计算公式的导出本测量系统样本的采集是通过与光电探测器相通的检偏器旋转一周(360.),选定步进电机步距角大小来实现等间距采样.若选择最小步距角为0.045.,则一周中采集的样本量_N一360./nx0.045.,式中,==:1,2,…, 4O,只能取整数].

令光电探测器采集到的光强信号为J,由马吕斯(Malus)定理,测量系统中对应5/2方向的光强可表示为

J()一aCOS(X+)+v,0??2n

(1)

式中,角度为要估计的真值,v是相互独立

均值为零,方差为的正态分布的随机变量….这时,对于的最大似然估计即要求一估计值,使得

J(,")一l[j()一L/COS(.r+)].dx(2)

取最小值.令aI—O,由(2)式,有

===

』2"[J()一nc.s(z+)][sin(-F0)]dz

一

2口lJ()sin(+)dx

一

"l2sin(+)COS(+)dx==:0(3)

由于(3)式中,等号右端第2项为0,所以方程 (3)变为

lJ()sin(x+0)dx—lI(x)sinx?COs0dx

I()sinxdx

IJ(327)cos~d3-

(5)

至此,可得的最大似然估计值的计算公式为 .

lJ(r)sin32dr

川

IJ()cos32d

(6)

如果事先预知的角度变化范围在

(一号,),则(6)式算出的角度是唯一的, 如果超出这个范围,则会有两个角度满足

(5)式.

为了证实没有任何干扰信号的情况下 (5)式是否正确,可以对(5)式进行验算,这时有

()一"cos(327+),0?32"?2n(7) 那么

lI(z)cosJdj,::l"c()s(+)c0sdJJ

一

l导[(1+c.2)c.s一in2sind l导[c.s+c(2一'+)]d

l导c.s0d32-=n不c.s(8) J号n2.sc.+10)d

0)dJ,+lsin(1-?

一"nsinO(9)

将(8)式除(9)式正好得()式.当然,呵以直接用(8)式或(9)式取反正弦或反余弦来获得的一个估计值.虽然不是最大似然估计,印也可以判定所在的象限.再用(6)式估计即得到准确的最大似然估计J,. )

(

)

(

r?+

得

后

理

整

52物理与工程Vo1.12No.32002

2离散信号的处理与最大似然估计值的计算与评价

由计算机测量系统所记录的信号是离散信号,因此,信息处理的求积运算将被求和代替.设检偏器旋转一周采样N次,N为正整数,采样信号用N个数J.,J,…,J表示, 那么,有

J一nc.s(+)+,—o,1,…,N一1

(10)

因此,在给定的条件下,各{J)的条件概率密度函数为

P(L'z,…'一1

.e2…)?Lll

对之求对数得似然函数为

L()一一Nl

n(27r)

一

…sI/27ri+)]. 令上式对求偏导为零,则有 a

一

[I,-acos(2ai+)]SiT1(+)

一0(13)

整理此方程,得

in(+)

一

.COS--+)(+)一.…

不难证明上式第二个求和号在N一2的整数

次幂时等于0,在取其它值时也接近于零,因

此方程变换为

.… in(+)一

按三角函数两角和公式将(15)式展开后得

…

』fsin2rri一

_sin

27ri

tan一

鬻…

一?nNi

?.s27ri

/^,

./\I/,

从图中可见,在样本量大于800的区域, m的值几乎没有改变,而在小于800的区域,则出现了大幅度的波动.由数十组数据得到的与样本量的关系曲线,给出的结论是相同的.

下面,通过计算相关系数10来评价估计量的质量.构造函数

"()一COS(37+MI_)(19) 则

"()

(2O)

一

一^一+一

物理与工程Vo1.12No.3200253

由此,计算"()和J()的相关系数p为 l0

IJ()"()dx

rIJ()c.s(+)dx

厄—————一f————————————一/fJ.()d/f.z(z+0.)d

^?^?

将实验中测得的光强J代入上式,同样以样本量为横坐标,由计算得到的相关系数p值为纵坐标作图(见图2).

与图1对照分析图2,可以明显看到两幅

图所反映的两种函数曲线之间的联系:相关系数l0值开始明显下降处与估计量0突然变化处对应的样本容量几乎完全相同. (21)结论

求得的l0为正值时,说明真值0就在范围 (一号,号)中,否则要将0增加兀作为最大似然估计,这时再按(21)式计算可得』0的正值.同样,由于测量系统所记录的信号为离散信号,相关系数以求和运算代替(21)式中的求积运算,即

?.s(+)

'?….(.)

其中,

c.s.(+)一N(23

因I.有

(2,7ri_…_0)

』0一——=====_一(24)陌

厂VV

图2相关系数与样本容量关系曲线本文所作的实验数据和图形分析表明: (1)当最大似然估计量0依概率收敛于0时,样本容量亦趋向于一个定值,在该值以下,估计量的收敛行为不稳定,而在该值以上,估计量保持了良好的精度,因此,这一样本容量值,就是系统进行实际测量时选择样本量的依据.

(2)样本容量在运用相关系数p对估计

量0的质量评价中存在着值得注意的一个

量"界",这个"界"与结语(1)中提到的样本量

的"定值"大致相同,在"界"的两侧相关性出

现明显的变化.这也从另一方面说明了结语

(1)中提出的实际测量中样本容量选择依据

的合理性.

参考文献

[1]金观昌.计算机辅助光学测量[M].北京:清华大学出版社,1997.

[2]刘光祖.概率论与应用数理统计[M].北京:高等教育出版社,2001年7月.

E3]张小绵,赵志超.椭偏法细丝在线监测系统设计及数据分析[J].中南工业大学,2001,32(6):640 ,

643.

r4]ChuTC,RansonWF.SuttonMAandPeterWH.

ApplicationofDigitalImageCorrelationTechniqueto

ExperimentalMechanics.[J]Exp.Mech.,1985,

25.232,244.

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