范文一:定积分的分部积分法
§6.5 定积分的分部积分法
因为d (uv ) =udv +vdu ,两边从a 到b 取定积分有:
?
b a
d (uv ) =[uv ]b
a =
?b a udv +?
b ,
a
vdu 所以 ?
b udv =[uv ]
b b a
a
-
?
a
vdu
例1
?
55
1
ln xdx =[(lnx ) x ]1-
?
55
1
xd ln x =[x ln x ]1-
?
5x 1
x
dx
5ln 5-0-[x ]5
1=5ln 5-4
1xe x
dx =
1xde x
=[xe x
]
1-
?
1e x
dx
例2
?
?
=e -e x
|1=e x
-e x
+1=1
例3
?
π
x c o s xdx =
?
π
xd s i n x =x s i n x |π
π
0-
?
s i n x dx
=0+c o s x |π
0=-1-1=-2
2
?
e 1
x ln xdx =
?
e 12
1
ln xd (
x
2
) =
2
[x ln x ]e -
11
2
?
e 2
1
x d ln x 2
2
2
=
e
2
-
12
?
e x
dx =e
112
1
x 2-2?2x 2|e e 1
1=4+4
ln 2例5
?
x 3
e x
2
dx =
10
2
?
ln 22x
2
22
x e
dx 令t =x ,
则原式 1ln 2=1t
ln 22t
2
?
t
te dt =
1ln 2t
2?
tde =
2
[te ]0
-
12
?
ln 0
e dt =
1(ln2) ?2-
1
e t
2
2
|ln 2
110=ln 2-
2
?2+
12
=ln 2-
2
1
ππ
例6 求
?
2x
20
e c o s x d x =
?
c o s x d e x
π
π
π
=cos x ?e x
|
2e x
-?
20
d cos x =-1+
?
2e x
sin x dx
πππ
=-1+
?
2x
sin xde
=-1+[(sinx ) ?e x
]
20
-
?
20
e x
d sin x
π
π
=-1+e 2-
?
2e x
cos xdx π
ππ
π
∴ 2?
22x
120
e x
cos xdx =e 2-1 ∴
?
e cos x =
2
(e -1)
π
例7
?3
x π
s i n 2
x
d x
4
π
ππ
=-
?3
π
xd cot x =-[x cot x ]
3
π
+
?3
π
cot xdx
44
4
π
=-
cos x π
9π+
π4
+
?3
π
sin x
= =-
39
π+
π4
+
?3
d sin x π
sin x
44
=-
3
π
3
9
π+
π4
+[lnsin x ]
π
-
3π+
π
4
9
4
+
12
ln
32
利用定积分还可以求某些和的近似值。 例如求前n 个正整数平方根相加的和:+2+
3+???+
n
令
f (x ) =x ,则由定
积
分
的
定
义
有
?
10
x dx n
lim
x 1n ?x →0
∑
f (ξn
i ) ?i =lim (
?1
) =i =1
n →∞
n
?
1n
+
2n
?
1n
+???+
lim
+2+???+
n n
n →∞3
n 2
=
2
3
而
?
1
=1
20
x dx ?1
1
x 2dx 20
=
3
x 2|0=
3
∴当n 足够大时,+2+3+???n ≈
23
3
n 2
例如,当n=50,+2+3+???50≈239
注:定积分也可以帮助求极限。
求 lim (
11n →∞
n +1
+
n +2
+???+
1n +n
)
解 此极限不能用四则运算(因为不是有限项和),也不能用两边夹定理。若将其变形,原式=
n
n lim
→∞
∑
1n
=lim
11i =1
n +i
n →∞
∑
1i =1
1+
i ?
n
=
?
10
1+x
dx
n
=
?
1
10
1+x
d (1+x ) =ln +x
1
=ln 2-ln 1=ln 2
p
例2 求 lim 1+2p +???+n
p
n
p +1
,
(n →∞
p >0)
解原式=
lim 1
p
2
p
n p
1
n
n →∞[(n
) +(n
)
+???+(n ) ]?n =lim ∑(i ) p ?1
n →∞i =1
n n 1 =
?
x p
dx =[
1p +1
p +1
x
]1
10=
p +1
n
*例3 求 lim
n
x
x n →∞
∏i
,其中i 是把[a , b ]n等分的分点。
i =1
x
3
n
解 令 y 1n
1
n
n =
∏x
i
,两边取对数得ln y n =
i =1
n
ln
∏x
i
=
i =1
n
∑ln x i
i =1
而 lim 1
n n
n →∞
ln y n =lim
n →∞
n
∑ln x i =lim
x i ) ?n
i =1
n →∞
∑(ln
i =1
n
=lim
1-a n
n →∞
b -a
∑
(lnx i ) ?
b ?
b -a i =1
n
=
1b -a lim
n →∞
∑
(lnx i ) i =1
n
b =
1
分部积分
1
b b b -a
?a
ln xdx b -a
[(x ln x ) a
-
?
1a
dx ]
b 1
=
1b -a
(b ln b -a ln a -b +a ) =[ln(
b b -a a
a
) ]-1
n
n
b 1
所以 lim y -a
n →∞
n =lim
n →∞
∏x
i
=(
b i =1
a
a
)
b ?e
-1
在 [0,1]区间,一般取n 等分,而ξi 的取法一般如下:
n
lim
n →+∞
∑f (ξ) ?b i
?x i
=f (x ) dx
λ→0
i =1
?
a
x i
x
1例4.用定义计算积分?
e x
dx
0解(用公式
?
1e x
dx =e x
|1
0=e -1)
4
用定积分定义:将[0, 1]n 等分,每个小区的
长?x =
1。在每个小区间[x , x ]=
i ?i i +1?
上取左端点ξi =, , i =0, 1, ???, n -1,
i n
i i +1??n n ??
n x
1
n -1
n -1
n -1
i
S n n =∑
f (ξi ) ??x i =
∑
e ξi
?
1?
1i =0
i =0n
=
∑
e i =0
n 11
n -1=
?+e n
) =
e -1
e -1
n
(1+e n +??1
=
1
n (e n -1)
e n -11n
1
x 因为lim
e -11
x →+∞
1=x
1所以
?
x
e -1
e dx =n lim →+∞
S n =lim
n →∞
1
=e -1
e n -1n
例5(对上限求导举例) (1) F (x ) =
?
-1te -t
dt x
=-?x
te -t
dt
-1
x
∴ F ' (x ) =
d -t -x
dx
[-?-1
te dt ]=-xe
x 2
(2) F (x ) =
?
10
+t
4
dt
F ' (x ) =dF (x ) ?dx 2
=d
x 2
1dx 2dx (dx
2
?
x =
2x +t
4
dt ) ?2+x
8
3)5
(
F (x ) =
?
x x
2
3
e dt =
t
?
x 0
3
0x
3
e dt +
t
t
?
x 0
2
t
e dt
F ' (x ) =(-?e dt ) 'x +(?
x 0
2
e dt ) 'x
t
=(-?
x
3
e t dt ) '(x 3
x 2
x 3?) 'x +(?
e t 0
dt ) '?(x 2x 2) '
x
3
?3x 2+e
x
2
?2x =x (2e
x
2
-3xe
x
3
=-e )
?
5x
3
x 3
+x -x 0
x 2
+1
dx =
?
50
x 2
+1dx =
?
50
(x -
x x 2
+1
) dx =
?
50
xdx -
?
5x 0
x 2
+1
dx
x
22
=
51
5d (x +1) 2
|0
-
2
?0
x 2
+1
=25-
1ln(1+x 2
) |5
25112
2
0=
2
-
2ln 26=
2
(25-ln 26)
求c ,使 ?
122
(x +cx +c ) dx 最小。
解 令
f (c ) =
?122
0(x +cx +c ) dx
2
=
1+
7c =
?
1 (x 4+c 2x 2+c 2+2cx 3+2c 2x +2cx 2
) dx
5
+
7c 3
6
令 f ' (c ) =
1413c +76
=0,驻点唯一: c =-
4
f " (c ) =143>0,所以c =-
14
是最小值点。
例7
?
22
2
-2
(x -3) 4-x dx =
?
2-2
x 4-x dx -3?
2-2
4-x 2
dx
121
2(4-x 2
) -6?
2
=-
x 2x
2
?
2
(4-x ) 2d -22-(2) d (2
)
6
=-
26
3
[(4-x ) 2]-2-12?
22
1-1
2
-t dt =0-12?
π
2
=-6π
例8 计算2
?
1-1
2
-x dx ,并利用此结果求
?
解 2
3-3
2
9-x dx 。
?
1
1-1
2
-x dx =π (令x =s i n t )
所以
?
-1
-x dx =
2
π2
,所以 I =
?
3-3
9-x dx =
2
x 2x
3-() dx 9-() d () -,= ?-3?-3
333
3
2
3
x
令
x 3
=t ,则
I =9
?
1
-1
-t dt =
a -a
2
92
π
a 0
π
-
例9 证明
?
f (x ) dx =
12
?[f (x ) +f (-x )]dx ,并计算?4π
4
11+sin x
dx
证明: 因为f (x ) = 所以
[f (x ) +f (-x ) +f (x ) -f (-x )]
?
=
a -a
f (x ) dx =
1
?2
a -a
[f (x ) +f (-x )]dx +
1
?2
a -a
[f (x ) -f (-x )]dx
12
a o
?2?[f (x ) +f (-x )]dx +0=
a
?
a 0
[f (x ) +f (-x )]dx
(也可以从右往左证,利用
??
f (-x ) dx =
11+sin x
?
-a 0
f (t ) d (-t ) )由此公式
π
π
4-
π
4
dx =?4[
11+sin x
+
11-sin x
π
]dx =2?
40
1cos x
2
π
dx =2tg |04=2
7
例10 求证 [?
120
(x +ax +b ) dx ]2
?
10
(x 2+ax +b ) 2
dx
证: 因为
2
[?1
(x 2
+ax +b ) dx ]2
={[
x
3
3
+
ax 2
+bx ]12
1a 20
}=
9
+
a
2
4
+b 2
+
3
+
3
b +ab
另一方面
?
10
(x 2+ax +b ) 2
dx
=
?
1422232
(x +a x +b +2ax +2bx +2abx ) dx x
5
a 2
x 3
=[
5
+3
+b 2
x +
12
ax 4
+
2321
3
bx +abx ]0
2=
12
5
+
a
3
+b +
a 2b 2
+
3
+ab
逐项比较,可知 [
?
122
(x +ax +b ) dx ]
?
10
(x 2+ax +b ) 2
dx
§6.6 定积分的应用
一、
平面图形的面积
当f (x ) ≥0, f (x ) ∈C [a , b ],则 S =
?
b a
f (
x ) dx .
n
当f (x ) <>
?
b a
f (x ) dx =?lim
x →0
∑
f (ξi ) ??x i ≤0,
i =1
b ∴ S =-
?
b a
f (x ) dx =
?
a
f (x ) dx
8
当f (x ) 如右图,有正,有负,则
y =f (x ) 与x 轴,x =a , x =b 所围的面积
y y=f(x )
S 1c 1c 3
2b
a
x
S 2
S =S c 11+S 2+S 3=
?
a
f (x ) dx -
?
c 2c f (x ) dx +
x ) dx .
1
?
b c f (2
类似地,连续曲线x =?(y ) (≥0), y 轴与直线y =c , y =d 所围曲边梯形的面积S :
S =
?
d
c
?(y ) dy y d
B
S x=φ(y )
c 0
x
y
y=f (x )
C D
A y=g (x )
B 另一种情况,如右图
a
b
x
如果在[a , b ]上,恒有0≤g (x ) ≤f (x ), 则
9
S =?b a f (x ) dx -
?
b a
g (x ) dx
y y=f (x )
=
?
b
a
[f (x ) -g (x )]dx
若如右图,则取一适当正常数c ,则考虑平移 0
a
y=g (x
)
b
x
后的两个曲线y =f (x ) +c 和y =g(x)+c ,使之变成前面的图形,则
f (x ) -g (x ) =[f (x ) +c ]-[g (x ) +c ],所以 S =
?
b a
{[f (x ) +c ]-[g (x ) +c ]}dx =
?
b a
[f (x ) -g (x )]dx
例1 求椭圆
x 2y 2a
2
+
b
2
=1 的面积
解 因为S 是 4倍 的面积S 1, 即
S =
a 22
1(令x =a sint ),
S =4S ?
b 0
a
a -x dx ,
1, 而
π
=
b
π2
2
2
sin 2
t d (a sin t ) =ab ?22
a ?0
a -a 0
cos tdt
π
π
=
ab 2
?
20
(1+cos 2t ) dt =
ab 2
[t +
sin 2t 2
]2ab 0=
4
π
故
a =b 时,椭圆变成圆x
2
+y 2
=a 2
,此时
x
10
例2 求抛物线y
2
=2x 与直线y =x -4,所围成的图形的面积S 。
解法一
S =S 1+S 2=2
?
20
2x dx +
?
82
[2x -(x -4)]dx
2|223
=22?
28
1288
3
x 30
+2?
3
x 2|2-
2
x |2+4x |2=18
4
2
3
解法二S =
?
-2
[(y +4) -
y
2
2
]dy =[
y
4
2
+4y -
y
6
]-2=18
显然解法二简单容易。
注意,在下图的情况,亦要分段计算面积S 。
11
S =S 1+S 2==
?
0-2
[(x +2x -2x ) -x ]dx +?[x -(x +2x -2x )]dx
322
1
232
3712
求曲线xy =1,直线y =x , y =2所围图形的面积S 。
例3
解法一 S =S 1+S 2
11221
S 1=
??
(2-
1x
) dx =[2x -ln x ]1=2-1+ln
2
1
12
S 2=
(2-x ) dx =[2x -
32
12
x ]1=4-2-2+12=32-ln 2
22
12
=
12
所以 S =S 1+S 2=解法二
+ln
S =
?
21
(y -
1y
) dy =[
12
y
-ln y ]1=2-
22
12
-ln 2=
32
-ln 2
曲线y =cos x (0≤x ≤
π
2
) 与x 轴,y 轴所围图形的面积被y =a sin x , y =b sin x
(a >b >0) 三等分,求a , b 的值。
12
x
b sin x =cos x ,
解y =b sin x 与y =cosx 的交点(
)
∴x =arctg
1b
的横坐标为 c =arctg
1b
,
π
π
又
?
2c o s 0
x d x =s i n x |20=1, 所以
13
=S 1+S 2ππ
=
?
c 0
b sin xdx +
?
2c
cos xdx =[-b cos x ]c
2
0+sin x |c =b -b cos c +1-sin c =1+b -b 1sec c
--cos 2
c
=1+b -b ?
1-1+tg 2
-c
1+tg 2
c
=1+b -b
b
1+b
2
-
+b
2
=1+b -
+b 2
(=
13
)
解此方程得 b =,同理,y =a sin x 与y =cosx
交点之横坐标为d =arctg 11a
,于是
3
=
?
d 0
(cosx -a sin x ) dx =a 2
+1-a ,解出a =
43
。
13
二、 旋转体的体积
一条连续曲线y =f (x ), 何求V x ?
x ∈[a , b ]及x 轴所围图形绕x 轴旋转而成的旋转体,其体积记为V x , 问如
x
(1) 用 a =x 0
x
?x i =x i -x i -1。
(2) V x ≈
∑π[f (x ) ]
i
i =1
n
2
??x i ,记?x =max {?x i }
1≤i ≤n
(3) 则 V x =lim 类似
n →∞
?x →0i =1
∑π[f (x ) ]
i
n
2
??x i =π
?
b
b a
[f (x )]dx
2
V y =π
?
a
[?(y )]dy
2
三、 已知平行截面面积的立体体积
设一物体,它被垂直于某直线(设x 轴)的截
x
面所截的面积S (x ) 是x 的已知连续函数。且此 物体的位置在[a , b ]之间,则其体积
(1)将区间[a , b ]分割成小区间,考虑其中任一小区间[x , x +dx ],把这一小段立体近似看成小的 正柱体,其上下底都看成是S (x ) ,而高为dx ,因为体积微元dV =s (x ) dx ,将dV 在[a , b ]上 无限求和,便有 V =
?
b a
S (x ) dx 。
a
(x 0a x x+dx b
x
14
22例5 求椭圆
x 轴与a
2
+
y b
2
=1分别绕x y 轴旋转产生的旋转体的体积。
解 由对称性,只计算一半。
V a 2
a 因为x =2?
?
πy dx =2π
?
b 20
a
2
(a 2-x 2
) dx
2 =2π
b 2
13a
2
a
2
[a x -
3
x ]0=2πab -
13
π
ab 2
=
4πab 2
3
同理,可求
特别当 a =b =R
15
范文二:定积分的分部积分法
定积分的分部积分法
,,,设函数和在区间上存在连续导数,则由,得[a,b](uv),uv,uvu(x)v(x)
,,,b(两端从到对求定积分,便得定积分的分部积分公式: axuv,(uv),uv
bbb ( udv,uv,vdu,,aaa
12arcsinxdx,0例9 求(
111x222arcsinxdx,xarcsinx,dx,,00021,x解
13,,22,,1,x,,,1012122 (
1xedx,0( 例10 求
111tx,ttt2edttedttde,,22,,,,000解: 1,,ttt11,,,,,2|2|2teedtee,,,,,,00,0,,
,n2sinxdx,0n,0例11 计算 (为整数)(
,n2sinxdx,I,0n解 设,则
,,,,222I,dx,, I,sinxdx,,cosx|,1010,,002
,,11n,n,22 I,sinxsinxdx,,sinxdcosxn,,00
,,122n,n,22 ,,sinxcosx|,(n,1)sinxcosxdx0,0
,222n, ,(n,1)sinx(1,sinx)dx,0
,,2n,n22 ,(n,1)sinxdx,(n,1)sinxdx,,00
,(n,1)I,(n,1)In,2n
n,1移项得: . II,nn,2n
上述公式称为递推公式(
,3n,例如 IIn,2n,4,2n
同样地依次进行下去,直到的下标递减到,或,为止(于是 In
n,1n,31,,??,n为偶数(,,,,n2nn222,I,sinxdx, ,n,0n,1n,32,,??,1,n为奇数(nn,23,
,5315,62sinxdx,,,,,,例如 ( ,0642232,42852sin1xdx,,,, ( ,05315
范文三:定积分的分部积分法
?6.5 定积分的分部积分法
b因为,两边从到取定积分有: d(uv),udv,vdua
bbbb, d(uv),[uv],udv,vdua,,,aaa
bbb所以 udv,[uv],vdua,,aa
例1
555x55lnxdx,[(lnx)x],xdlnx,[xlnx],dx 11,,,111x
55ln5,0,[x],5ln5,4 1
111xxx1xxedx,xde,[xe],edx0,,,000例2
x1xx,e,e|,e,e,1,10
例3
,,,,xcosxdx,xdsinx,xsinx|,sinxdx0,,,000
,,0,cosx|,,1,1,,20
例4
2eeex1122exlnxdx,lnxd(),[xlnx],xdlnx 1,,,111222
2222e1111exeee2|,,,,,,= dxx1,12222244x
ln2ln2221xx3222xedx,xedx例5 令, t,x,,002
则原式
ln2ln2ln21111ttttln2tedt,tde,[te],edt= 0,,,0002222
11111tln2(ln2),2,e|,ln2,,2,,ln2,= 022222
1
,,xx22 例6 求ecosxdx,cosxde,,00
,,,xxx222= cosx,e|,edcosx,,1,esinxdx0,,00
,,,xxx222= ,1,sinxde,,1,[(sinx),e],edsinx0,,00
,,x22= ,1,e,ecosxdx,0
,,,,1xx2222 ecosx,(e,1)??2ecosxdx,e,1,,002,x3dx例7 ,2,sinx4
,,,333,xdcotx,,[xcotx],cotxdx= ,,,,,444
,,3dsinx3cosx,,33 ,,,,dx,,,,,,,,,,,94sin94sinxx44
,313,3,3,,,ln ,,,,,[lnsinx],,9422944
利用定积分还可以求某些和的近似值。
1,2,3,,,,,n例如求前n个正整数平方根相加的和:
1f(x),xxdx令,则由定积分的定义有= ,0nn1,2,,,,,n11211limf(,),x,lim(,,,,,,,,,)lim= ,ii3,x,0n,,n,,nnnnnn1i,2n
2
131122122=| 而 xdx,x,xdx0,,0033
322当n足够大时,1,2,3,,,,n ,n?3
例如,当n=50,1,2,3,,,,50,239 注:定积分也可以帮助求极限。
111lim(,,,,,,)例1 求 ,n,,,,,n1n2nn解 此极限不能用四则运算(因为不是有限项和),也不能用两边夹定理。
若将其变形,原式,
nn11111lim,lim,,dx,,,0nn,,,,in,in1,xi,i,111, n
111,d(1,x),ln1,x,ln2,ln1,ln20,01,x
ppp1,2,,,,,n例, 求 lim,(p,0) p,1n,,n
解原式,
nni1211pppp,,,,,,,,,lim[()()()]lim() ,,,,,nnnnnnnn,1i
111pp,11xdx,[x], , 0,0p,1p,1
n
nx,,a,b例, 求 ,其中是把,等分的分点。 ,limxi,i,,n,1i
?x
ξξabi-10i
3
nnn11ny,lnx,lnx,两边取对数得 解 令 yxln,,,nii,ninn,1,1ii,1i
nn11limlny,limlnx,lim(lnx),而 ,,niin,,,,,,nnnn,1,1iinnbaba11,,xxlim(ln)lim(ln) ,,,,,,ii,,,,nnbanban,,,1,1iibb11blnxdx分部积分[(xlnx),1dx], a,,aab,ab-a
1bb1b,abbaaba, (ln,ln,,),[ln()],1abaa,
1bnnb,1ba,所以 limy,limx,(),e,niann,,,,ai,1
,在 [0,1]区间,一般取n等分,而的取法一般如下: i
nb
limf(),,x,,f(x)dx,ii ,an,,,i,1,,0
y
f(ξ),ξxii=i-1ξxii=或取
?xxxi-1i01
1?xi=n
1xedx例4(用定义计算积分 ,0
1x1xe|,e,1edx解(用公式=) 0,0
4
n等分,每个小区的 用定积分定义:将,,0,1
ii,1i1,,xx,,,i,0,1,,,,,n,1,,,长。在每个小区间上取左端点, ,,x,,iii,1i,,nnnn,,
x?
ii+110nn
做积分和
i,,,111nnn11,in,,,,,,,,()Sfxee,,,niinn,,,000iii
,11n,,111eenn,,,,,,,,,(1)ee 11nnn,,(1)1nee
1
n1
x,1elim,1因为 x,,,1
x
1e,1xedx,limS,lim,e,1所以 n1,0,,,,,nnne,1
1n
例5(对上限求导举例)
,1x,,ttF(x),tedt,,tedt(1) ,,,1x
xd,t,xF'(x),[,tedt],,xe ?,1,dx
2x1(),Fxdt(2) ,041,t
22xdF(x)dxd12xF'(x),,,(dt),2x, (3) 22,084dxdxdx1,t1,x
5
22xx0ttt F(x),edt,edt,edt33,,,xx0
32xxtt,,F'(x),(,edt),(edt)xx,,00 32xxtt32,,,,(,edt),(x),(edt),(x)'32x,,xx00
3223x2xxx= ,e,3x,e,2x,x(2e,3xe)
3355555xx,x,xxxdx,dx,(x,)dx,xdx,dx2222,,,,,00000x,1x,1x,1x,1
225x1d(x,1)5,|, 02,022x,1
251251125,ln(1,x)|,,ln26,(25,ln26)= 022222
1226 求c,使 例(x,cx,c)dx最小。 ,0
解 令
122f(c),(x,cx,c)dx2,1770cc = ,,14222322536,(x,cx,c,2cx,2cx,2cx)dx,0
1147令 ,驻点唯一: c,,f'(c),c,,0436
114 ,所以是最小值点。 c,,f"(c),,043
例7
222222(x,3)4,xdx,x4,xdx,34,xdx ,,,,,,222
1221xx2222,(4,x)d(4,x),621,()d()= ,,,22222
6
31,22222= =,[(4,x)],121,tdt0,12,,,6,,2,,162
12例8 计算,并利用此结果求 21,xdx,,1
32。 9,xdx,,3
12x,sint解 = (令) 21,xdx,,,1
3331xxx,2222I,9,xdx,31,()dx91,()d(),所以=,所以 =, 1,xdx,,,,,,,333,13332
x令 ,则 ,t3
192 91 I,,tdt,,,,12
,aa14例9 证明 f(x)dx,[f(x),f(,x)]dx,并计算 dx,,,,,a0,1,sinx4
1f(x),[f(x),f(,x),f(x),f(,x)]证明: 因为 2
所以
aaa11f(x)dx,,[f(x),f(,x)]dx [f(x),f(,x)]dx,,,,,a,aa22
aa1,2[f(x),f(,x)]dx,0,[f(x),f(,x)]dx= ,,002
(也可以从右往左证,利用
a,af(,x)dx,f(t)d(,t))由此公式 ,,0o
,,,,11114444dx=[,]dx,2dx,2tg|,2 0,,2,,00,1,sinx1,sinx1,sinxcosx4
7
112222例10 求证 [(x,ax,b)dx],(x,ax,b)dx,,00证: 因为
3221xax1aa222122= [(x,ax,b)dx],{[,,bx]},,b,,b,ab0,0943332另一方面
122(x,ax,b)dx,0 1422232,(x,ax,b,2ax,2bx,2abx)dx,0
523xax1224321= [,,bx,ax,bx,abx]05323
21aa2b2= ,,b,,,ab5323
逐项比较,可知
112222 [(x,ax,b)dx],(x,ax,b)dx ,,00
?6.6 定积分的应用
一、 平面图形的面积
b 当f(x),0,f(x),C,,a,b,则 S,f(x)dx. ,a
y?
y=f(x)
A
B
S
?0xab
nbf(x)dx,limf(,),,x,0?当,, f(x),0,ii,a,x,0i,1
bb?S,,f(x)dx,f(x)dx ,,aa
8
y?
ab?0x
SAB
y=f(x)
当如右图,有正,有负,则 f(x)
所围的面积 y,f(x)与x轴,x,a,x,b
y?(x)y=f S3cS1b1c2 ?x0aS2
ccb12 S,S,S,S,f(x)dx,f(x)dx,f(x)dx.123,,,acc12
类似地,连续曲线轴与直线所围曲边梯形的面积S: x,,(y)(,0),yy,c,y,d
dS,,(y)dy ,c
y?Bdφ(y)x=S
cA?yx0?y=f(x)
SCD
BA(x)y=g ?0xab另一种情况,如右图
,,a,b如果在上,恒有则 0,g(x),f(x),
9
bbyS,f(x)dx,g(x)dx?,,aay=f(x) b,[f(x),g(x)]dx,aS若如右图,则取一适当正常数c,则考虑平移
?x 0aby=g(x)
后的两个曲线,使之变成前面的图形,则 y,f(x),c和y,g(x),c
,所以 f(x),g(x),[f(x),c],[g(x),c]
bb S,{[f(x),c],[g(x),c]}dx,[f(x),g(x)]dx,,aa
22xy例1 求椭圆 ,,1 的面积 22ab
解 因为S是 4倍 的面积S,即 1
ab22令S,ax,dx,(xa,sint),1,0aS,4S,而 1,,b222222,aa,sintda(sint)ab,costdt,,00a
,,ababtabsin222,tdt,t,,,(1cos2)[] = 0,02224
2222a,bS,,abx,y,a故 特别当时,椭圆变成圆,此时 S,,a
y b22?y=a-x a
b
1S=S14x?0-aa
10 -b
2y,2x与直线,所围成的图形的面积S。 例2 求抛物线y,x,4
y
A(8,4)y=4
S2
?S1048x2
-2
B(2,-2)-4
解法一
28 S,S,S,22xdx,[2x,(x,4)]dx12,,02
232212828832 =22,x|,2,x|,x|,4x|,18 0222332
2234yyy4解法二,[(,4),],[,4,],18 Sydyy,2,,2226
显然解法二简单容易。
注意,在下图的情况,亦要分段计算面积S。
y
32y=x+2x-2x
S21y=x
?S2-210x
11
,,SSS12
01322232[(22)][(22)],,,,,,,, xxxxdxxxxxdx,,,20
37,12
例3 求曲线,直线所围图形的面积S。 xy,1y,x,y,2
y
1( , 2)2y=22
S2S1
1xy=1(1,1)?x20
解法一 S,S,S12
1111(2)[2ln]21ln S,,dx,x,x,,,111,2x22
211122(2)[2]422S,,xdx,x,x,,,,, 21,1222
313 所以 S,S,S ,,ln,,ln212222
解法二
2111322S,(y,)dy,[y,lny],2,,ln2,,ln2 1,1y222
,y例4 若曲线与轴,轴所围图形的面积被 y,asinx,y,bsinxxyxx,,,cos(0)2
三等分,求a,b的值。 (a,b,0)
12
y
y=asinx
y=cosx1?A
B
y=bsinx
S2S1?xπ0cd2
?bsinx,cosx,
解的交点() y,bsinx与y,cosx1?x,arctgb
1的横坐标为 c,arctg, b
,,22又 , 所以 cosxdx,sinx|,10,0
1,S,S123 ,,cc22,bsinxdx,cosxdx,[,bcosx],sinx|0c,,0c
12b,bcosc,1,sinc,1,b,b,1,cosc= secc
11,1,b,b,,1,221,tgc1,tgc
b1,1,b,b,221,b1,b
12= (,)1,b,1,b3
5b,y,asinx与y,cosx解此方程得 ,同理, 12
d1142,(cosx,asinx)dx,a,1,ad,arctg交点之横坐标为,于是,解出a,。 ,03a3
13
二、 旋转体的体积
V一条连续曲线及轴所围图形绕轴旋转而成的旋转体,其体积记为,问如y,f(x),x,,,a,bxxx
V何求, yx
y?x0ab1) 用 a,x,x,,,,,x,x,,,,,x,b( f(x)i01i,1in
?x0abxxi-1i,,将x,x,,分成n个小区间,其长度记为 a,bi,1i
,x,x,x。 iii,1
n2
V,,,,f(x),,x(2) ,记 ,x,max{,x},xiii1,i,n,1i
n2b2(3) 则 V,lim,,,f(x),,x,,[f(x)]dx,xii,,,an,1i,,0x
类似
b2 Vydy,,,[()]y,ya
d
三、 已知平行截面面积的立体体积 x=φ(y)
设一物体,它被垂直于某直线(设x轴)的截
c面所截的面积S(x)是的已知连续函数。且此 x
?x0b,,物体的位置在a,b,S(x)dx之间,则其体积V,这是因为:(1),a
,,a,b,,将区间分割成小区间,考虑其中任一小区间x,x,dx,把这一小段立体近似看成小的
dV,,a,b正柱体,其上下底都看成是S(x),而高为,因为体积微元dV,s(x)dx,将在上 dx
bV,S(x)dx无限求和,便有 。 ,a
S(x)a
?xaxx+dxb0 14
22xyy分别绕轴与轴旋转产生的旋转体的体积。 例5 求椭圆,,1x22ab
y
b22y=?a-xaba22x=?b-yb
?x0a
解 由对称性,只计算一半。
2aab222因为 V,2,,ydx,2,(a,x)dxx2,,00a
2b11423a2222[axx]2ababab =,,,,,,,, 02a333
42同理,可求 V,,aby3
43a,b,R特别当 时,。 V,,R球3
15
范文四:5-4定积分的换元积分法与分部积分法
章节名称 授课方式 授课方法 和手段
5-4 定积分的换元积分法与分部积分法
讲授法 启发法和师生互动法
授课时数
4
教学目的 及要求
教学目的;掌握定积分换元积分法与分部积分法 教学要求;.理解换元积分法与分部积分法意义;熟记平面图形面积的计算 公式
教 学 基 本 内 容 纲 要 教学重点 难点 教学重点;定积分换元条件的掌握 教学难点:换元积分法与分部积分法
2
由牛顿-莱布尼茨公式可知,定积分的计算归结为求被积函数的原函 数.在上一章中,我们已知道许多函数的原函数需要用换元法或分部积分法 求得,因此,换元积分法与分部积分法对于定积分的计算也是非常重要的. 一、 定积分的换元积分法 定理 假设函数 f (x) 在区间 [a, b] 上连续;函数 x ? ? (t ) 满足
b
(1) ? (? ) ? a, ? ( ? ) ? b , (2) 当 x ? ? (t ) 的值在 [a, b] 上连续可导, 则有 ? f ( x)dx ? ? f ?? (t )?? ?(t )dt .
?
a
?
证.设 F(x)是 f(x)的一个原函数,则左端= 另一方面,据导数的链锁法则有
=F(b)- F(a)
教 学 过 程 设 计
F[φ(t)]=F '[φ(t)]φ'(t)=F '(x)φ'(t)=f(x)φ'(t)=f[φ(t)]φ'(t) 故 F[φ(t)]是右端被积函数 f[φ(t)]φ'(t)的一个原函数,由微积分基本定理, 右端=F[φ(t)] =F[φ(β)]-F[φ(α)]=F(b)- F(a) .这就证明了定理.
注.应用上述定理计算定积分时,最重要的一点是注意积分系.即下限 a 对应着 下限 α,上限 b 对应着上限 β,不管它们的大小关系如何.定积分与不定积分的换元 差别在于:不定积分的结果是函数,积分变量(自变量)应回代到原变量;而定积分 的结果是数值,就不必回代成原变量后再代入原来的上下限,只要按新变量的对应 上下限代入计算即可.
例 5.4.1 计算 ? 解
a
0
a 2 ? x 2 dx (a ? 0) .
t t 令 x ? a sin t , dx ? a cos tdt . x ? 0 时, ? 0 ; x ? a 时, ? 则 当 当
? . 故 2
?
a
0
a ? x dx ? ? 2 a cos t ? a cos tdt ?
2 2
0
?
a2 2
?
?
2 0
(1 ? cos 2t )dt
?
a ? 2
2
? 1 ?2 t ? sin 2t ? ? 2 ? ?0
?
?a 2
4
.
图 5-8
3
例二
计算 ? sin 3 xdx .
0
?
解 由于
?
?
0
sin3 xdx ? ? ? cos2 x ? 1? ? ?sinx ?dx
?
0
作代换 t ? cos x ,且当 x ? 0 时, t ? 1 。当 x ? ? 时, t ? ?1 。
?
?
0
?1 ? 1 ? sin 3 xdx = ? ?t 2 ? 1?d t = ? t ? t 3 ? 1 ? 3 ?
1 ?1
?
4 3
例三
计算 ?
9
4
dx x ?1
原式
x
解:设 x ? t ,则 x ? t 2
?
教 学 过 程 设 计
9
4
3 t 3? x 1 ? dx ? ? 2tdt ? 2? ? t ? 1 ? ?dt 2 t ?1 2 t ?1 ? x ?1 ?
? t2 ? ? 2 ? ? t ? ln t ? 1 ? 3 ? 7 ? ln 4 2 ?2 ?
例四 设 f (x) 在 [?a, a] 上连续,证明:
a ?a a
(
1) 若 f (x) 为奇函数,则 ? f ( x)dx ? 0 ; (2) 若 f (x) 为偶函数,则 ? f ( x)dx ? 2?
?a a 0
f ( x)dx .
证
由于
? ?
故 故
0 ?a
a
?a
f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ?
?a 0 a
0
a
0
f ( x)dx ,
对上式右端第一个积分作变换 x ? ?t ,有
f ( x)dx ? ?? f (?t )dt ? ?
a a 0
0
f (?t )dt ? ?
a
0
f (? x)dx .
? ?
a
?a a
f ( x)dx ? ? [ f (? x) ? f ( x)]dx . f ( x)dx ? ? [ f (? x) ? f ( x)]dx .
0 a
?a
(1) 当 f (x) 为奇函数时, f (? x) ? ? f ( x) ,故
? ?
a a
a
?a
f ( x)dx ? ? 0dx ? 0 .
0
a
(2) 当 f (x) 为偶函数时, f (? x) ? f ( x) ,故
?a
f ( x)dx ? ? 2 f ( x)dx ? 2?
0
a
0
f ( x)dx
二.定积分的分部积分法
4
设 函 数 u (x) 与 v(x) 均 在 区 间 [a, b] 上 有 连 续 的 导 数 , 由 微 分 法 则
d (uv) ? udv ? vdu ,可得 udv ? d (uv) ? vdu .
等式两边同时在区间 [a, b] 上积分, ? udv ? (uv) a ? ? vdu 公式称为定积分 有
b a a
b
b
的分部积分公式,其中 a 与 b 是自变量 x 的下限与上限 例五 计算. ?
1 2
1 2 0
arcsin xdx
1 1 2
解 :?
0
arcsin xdx ? x arcsin x 0 2 ? ?
0
x
1 1 ? x2
dx
=
2? 2 ? ?1 8 2
教 学 过 程 设 计
?
例 5.4.7 解: ?
?
0
计算 ?
?
0
x cos 3xdx.
1 ? xd sin 3x 3 ?0
? ?
x cos 3xdx ?
? 1? ? x sin 3 x 0 ? ? sin 3 xdx ? ? 2 ? ? 4 sec 3 xdx ? ? 4 sec xdx 0 0 ? 0 ? ? 3?
? 2 ? ? sec xdx ? ln(sec x ? tan x)
4 0 3
?
?
4 0
? 2 ? ? 4 sec 3 xdx ? ln( 2 ? 1) .
0
?
即
1 0
2 ? 4 sec 3 xdx ? 2 ? ln( 2 ? 1)
0
?
例 5.4.8 计算 ? e x dx . 解 先用换元法,令 x ? t ,则 x ? t 2 , dx ? 2tdt . 当 x ? 0 时, t ? 0 ;当 x ? 1 时, t ? 1 . 于是
?
再用分部积分法,得
1
0
e x dx ? 2? te t dt .
0
1 1 1
1
?
作业讨论 辅导 参考资料
1
0
e x dx ? 2? tdet ? 2(t et ? ? et dt )
? 2[e ? (e ? 1)] ? 2 .
0 0 0
P-152 第一题 第二题中 2、4、6 第三题 1、3、5
5
1.定积分换元积分定理:假设 (1) 函数 f (x) 在区间 [a, b] 上连续; (2) 函数 x ? ? (t ) 在区间 [? , ? ] 上有连续且不变号的导数; 课后小结 (3) 当 t 在 [? , ? ] 变化时, x ? ? (t ) 的值在 [a, b] 上变化,且 ? (? ) ? a, ? ( ? ) ? b . 则有 ? f ( x)dx ? ? f ?? (t )?? ?(t )dt .
b
?
a
?
2.定积分分部积分法:设函数 u (x) 与 v(x) 均在区间 [a, b] 上有连续的导数, 则有 ? udv ? (uv) a ? ? vdu
b a a b b
范文五:定积分的换元积分法与分部积分法
定积分的换元积分法与分部积分法
教学目的:掌握定积分换元积分法与分部积分法 难 点:定积分换元条件的掌握 重 点:换元积分法与分部积分法
由牛顿-莱布尼茨公式可知,定积分的计算归结为求被积函数的原函数.在上一章中,我们已知道许多函数的原函数需要用换元法或分部积分法求得,因此,换元积分法与分部积分法对于定积分的计算也是非常重要的.
1.定积分换元法 定理 假设
(1) 函数f(x)在区间[a,b]上连续;
(2) 函数x??(t)在区间[?,?]上有连续且不变号的导数;
x??(t)的值在[a,b]上变化,(3) 当t在[?,?]变化时,且?(?)?a,?(?)?b,
则有
?
b
a
f(x)dx??f??(t)???(t)dt. (1)
?
?
本定理证明从略.在应用时必须注意变换x??(t)应满足定理的条件,在改变积分变量的同时相应改变积分限,然后对新变量积分.
例1 计算?
2
1
x?1
dx. x
解 令x?1?t,则x?1?t2,dx?2tdt.当x?1时,t?0;当x?2时,
t?1.于是
?
2
1
11?x?1t1?dx???2tdt?21?dt ?2?2?00x1?t?1?t?
1???
?2(t?arctta)n?2?1??. 0
4??
例2 计算?
a
a2?x2dx(a?0).
tt.解 令x?asint,则dx?acosd当x?0时,t?0;当x?a时,t?
?
.故 2
?
a
?
a2?x2dx??2acost?acostdt
a2
?
2
?
?
20
(1?cos2t)dt
?
a
?
2 ?
2
?1?2t?sin2t? ?2??0
2
?a
4
.
显然,这个定积分的值就是圆x2?y2?a2在第一象限那部分的面积(图5-8).
?
例3 计算?2cos5xsinxdx.
解法一 令t?cosx,则dt??sinxdx. ?
当x?0时,t?1;当x?时,t?0,于是
2
?
?
20
01
cos5xsinxdx???t5dt??t6
16
01
?
1
. 6
解法二 也可以不明显地写出新变量t,这样定积分的上、下限也不要改变.
?
?
5
cosxsinxdx???2cosxdcosx
5
即
?
20
?
11?1?6
??cosx2???0???.
066?6?
此例看出:定积分换元公式主要适用于第二类换元法,利用凑微分法换元
不需要变换上、下限.
例4 计算?解
?
?sinxdx.
?
?
?xx
?sinxdx??si?codx 注去绝对值时注意符号.
022
?
=?
20
?xxxx
(cos?sin)dx??(sin?cos)dx
22222
?
2
xx=2(sin?cos)
22=4(2?1).
例5 计算?
?
xx
?2(cos?sin)
22
?
?
2
sinx3?sinxsinx
2
dx.
解 设t?cosx,则当x?0时,t?1;当x??时,t??1.
?
?
3?sinx
2
dx=?
?1
?14?t
2
1
dt??
1
14?t
2
?1
dt
t?
? ?arcs1. ?1
23
例6 设f(x)在[?a,a]上连续,证明: (1) 若f(x)为奇函数,则?f(x)dx?0;
?aaa
(2) 若f(x)为偶函数,则?f(x)dx?2?
?a
a
f(x)dx.
a
证 由于
??
故
0?a
a
?a
f(x)dx??f(x)dx??
?a
a
f(x)dx,
a
对上式右端第一个积分作变换x??t,有
f(x)dx???f(?t)dt??
a
f(?t)dt??
f(?x)dx.
?
a
?a
f(x)dx??[f(?x)?f(x)]dx.
a
(1) 当f(x)为奇函数时,f(?x)??f(x),故
??
a
a
?a
f(x)dx??0dx?0.
a
(2) 当f(x)为偶函数时,f(?x)?f(x),故
?a
f(x)dx??2f(x)dx?2?
aa
f(x)dx.
利用例6的结论能很方便地求出一些定积分的值. 例如
??
?
?
x6sinxdx?0.
2
?
1
?1
(x?4?x)dx??(4?2x4?x)dx?4?dx?0?8.
?1
22
11
?1
2.定积分的分部积分法
设函数u(x)与v(x)均在区间[a,b]上有连续的导数,由微分法则
d(uv)?udv?vdu,可得
udv?d(uv)?vdu.
等式两边同时在区间[a,b]上积分,有
e
?
b
a
. (2) udv?(uv)a??vdu
a
b
b
公式(2)称为定积分的分部积分公式,其中a与b是自变量x的下限与上限. 例7 计算?
1
lnxdx.
dx
,v?x.故 x
e
e1
解 令u?lnx,dv?dx,则du?
?
例8 计算?解
?
e
1
lnxdx?[xlnx]1??x?
dx x
?(e?0)?(e?1)?1.
xcos3xdx.
xcos3xdx?
?1?1??? xdsin3x?xsin3x?sin3xdx??0?0??303?
?
?
21?1??
??0?cos3x0???.
93?3?
?
例9 计算?4
x
dx.
1?cos2x
xx14
dx=?4dx?xdtanx
02cos2x1?co2sx2?0
?
?
?
解
?
4
??
1?144?tanxdx)=(?lncosx04) =(xtanx0
?0242
?
=
?
?
1
?ln2. 84
例10 计算?4sec3xdx.
??
3
40
2
?0
解
?
40
secxdx??secx?secxdx??4secxdtanx
?0
?0
xtanx?4??4tanx?secxtanxdx ?sec
?
cx?1)secxdx ?2??4(se2
?
3
?0
xdx ?2??4secxdx??4sec
?4
3
?
xc?tanx)04 ?2??secxdx?ln(se
?
3
xdx?ln2?1). ?2??4sec
?
3
xdx?2?ln2?1) 注移项得. 即 2?4sec
?
故 例11 计算?edx.
01
?
40
3secxdx?
21
?ln2?1). 22
解 先用换元法,令x?t,则x?t2,dx?2tdt. 当x?0时,t?0;当x?1时,t?1. 于是
1
1
?
再用分部积分法,得
edx?2?tetdt.
1
1
1
?
1
exdx?2?tdet?2(tet??etdt)
?2[e?(e?1)]?2.
小结:
1.定积分换元积分定理:假设 (1) 函数f(x)在区间[a,b]上连续;
(2) 函数x??(t)在区间[?,?]上有连续且不变号的导数;
(3) 当t在[?,?]变化时,且?(?)?a,?(?)?b. x??(t)的值在[a,b]上变化,则有
b
?
则有
a
f(x)dx??f??(t)???(t)dt.
?
?
2.定积分分部积分法:设函数u(x)与v(x)均在区间[a,b]上有连续的导数,
b
b
?
a
udv?(uv)a??vdu.
a
b