角平分线的性质定理及其逆定理

范文一：角平分线的性质定理及其逆定理

角平分线的性质定理及其逆定理

一、基础概念

学习目标：掌握角平分线的性质定理及其逆定理的证明和简单应用，掌握尺规作图做角平分线，规范证明步骤。

（1）角平分线的性质定理证明：

角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

证明角平分线的性质定理时，将用到三角形全等的判定公理的推论：推论：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。（AAS）

推导过程：

已知：OC平分∠MON，P是OC上任意一点，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为点A、点B．求证：PA＝PB．

证明：∵PA⊥OM，PB⊥ON ∴∠PAO＝∠PBO＝90° ∵OC平分∠MON ∴∠1＝∠2

在△PAO和△PBO中， ∴△PAO≌△PBO ∴PA＝PB

②几何表达：（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）

如图所示，∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON， ∴PA＝PB．

（2）角平分线性质定理的逆定理：

到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

推导过程

已知：点P是∠MON内一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，且PA＝PB．

求证：点P在∠MON的平分线上．

证明：连结OP

在Rt△PAO和Rt△PBO中， ∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL） ∴∠1＝∠2

∴OP平分∠MON

即点P在∠MON的平分线上． ②几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．）

如图所示，∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB ∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）

（3）角平分线性质及判定的应用

①为推导线段相等、角相等提供依据和思路； ②实际生活中的应用．

例：一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，并且到河上公路桥头的距离为300米．在下图中标出工厂的位置，并说明理由．

（4）角平分线的尺规作图

活动三：观察与思考：尺规作角的平分线

观察下面用尺规作角的平分线的步骤(如图)，思考这种作法的依据。步骤一：以点O为圆心，以适当长为半径画弧，弧与角的两边分别交于A，B两点。

由作图可知： OA = OB

步骤二：分别以点A，B

为圆心，以固定长(大于AB长的一半)为半径画弧，两弧交于点C。

由作图可知： AC = BC

步骤三：作射线OC，则OC就是∠AOB的平分线。由作图可知：定理，可得 ≌

同学们，讨论交流一下，你能说出作图的每一步骤的依据是什么吗？试用证明的方法说出作图的正确性。

二、【典型例题】

例

1. 已知：如图所示，∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′．求证：（1）∠ABC＝∠ABC′；

（2）BC

＝BC′（要求：不用三角形全等判定）．

例2. 如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于E，PF∥AC交BC于F，P是AD上一点，且D点到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．

例3. 如图所示，已知△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，那么AP能否平分∠BAC？请说明理由．由此题你能得到一个什么结论？

例4. 如图所示的是互相垂直的一条公路与铁路，学校位于公路与铁路所夹角的平分线上的P点处，距公路400m，现分别以公路、铁路所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系．（1）学校距铁路的距离是多少？（2）请写出学校所在位置的坐标．

例5. 如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，DA平分∠CAB交BC于D，问能否在AB上确定一点E，使△BDE的周长等于AB的长？若能，请作出点E，并给出证明；若不能，请说明理由．

练习一

一、填空题：

1.如图1-31，△ABC中，AD是BC的垂直平分线，BE平分∠ABC交AD于E, EF⊥AB , 则AB = ，BF = ；

2.已知：如图1-32，在Rt△ABC中，∠C = 90°, AC = BC, BD平分∠ABC交AC于D, DE⊥AB于E，若BC = 5, 则△DEC的周长为 . AC

ABCBDE

图1-31图1-32

二、选择题：

1.如图1-33，△ABC中，∠B = 42°, AD⊥BC于D，E是BD上一点，EF⊥AB于F，若ED = EF, 则∠AEC的度数为（）； A. 60° B. 62° C. 64° D. 66° A2.给出下列命题：

F① 垂直于同一条直线的两直线平行；

BC② 角平分线上的点到角两边的距离相等； ED

③ 三角形的三条角平分线相交于一点；图1-33④ 全等三角形的面积相等；

其中原命题和逆命题都是真命题的共有（）.

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个三、解答题：

如图1-34，已知：△ABC中，∠BAC = 90°, AD⊥BC于D，AAE平分∠DAC，EF⊥BC交AC于F，

图1-34

连接BF. 求证：BF是∠ABC的平分线.

【综合练习】

已知：如图1-35，△ABC中，AB = 2AC, AD平分∠BAC，且AD = BD. 求证：DC⊥AC.

例题答案

例1. 已知：如图所示，∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′．求证：（1）∠ABC＝∠ABC′；

（2）BC＝BC′（要求：不用三角形全等判定）．

图1-35

证明：（1）∵∠C＝∠C′＝90°（已知）， ∴AC⊥BC，AC′⊥BC′（垂直的定义）．又∵AC＝AC′（已知），

∴点A在∠CBC′的角平分线上（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）． ∴∠ABC＝∠ABC′．

（2）∵∠C＝∠C′，∠ABC＝∠ABC′，

∴180°－（∠C＋∠ABC）＝180°－（∠C′＋∠ABC′）（三角形内角和定理）．即∠BAC＝∠BAC′， ∵AC⊥BC，AC′⊥BC′，

∴BC＝BC′（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）．

例2. 如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于E，PF∥AC交BC于F，P是AD上一点，且D点到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．

解：AD平分∠BAC．

∵D到PE的距离与到PF的距离相等， ∴点D在∠EPF的平分线上． ∴∠1＝∠2．

又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．同理，∠2＝∠4．

∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．

例3. 如图所示，已知△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，那么AP能否平分∠BAC？请说明理由．由此题你能得到一个什么结论？

解：AP平分∠BAC．

结论：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等．理由：过点P分别作BC，AC，AB的垂线，垂足分别是E、F、D． ∵BM是∠ABC的角平分线且点P在BM上，

∴PD＝PE（角平分线上的点到角的两边的距离相等）．同理PF＝PE，∴PD＝PF．

∴AP平分∠BAC（到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）．

解：（1）∵点P在公路与铁路所夹角的平分线上， ∴点P到公路的距离与它到铁路的距离相等，又∵点P到公路的距离是400m，

∴点P（学校）到铁路的距离是400m．（2）学校所在位置的坐标是（400，－400）．

评析：角平分线的性质的作用是通过角相等再结合垂直证明线段相等．

解：能．过点D作DE⊥AB于E，则△BDE的周长等于AB的长．理由如下： ∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DE⊥AB， ∴DC＝DE．

在Rt△ACD和Rt△AED中，， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）．

∴AC＝AE．

又∵AC＝BC，∴AE＝BC．

∴△BDE的周长＝BD＋DE＋BE＝BD＋DC＋BE＝BC＋BE＝AE＋BE＝AB．

1.4 角平分线

练习一

【基础练习】一、1. AC, BD； 2. 52. 二、1. D； 2. A. 三、提示：证AF = EF. 【综合练习】提示：作DE⊥AB, 证△ADC ≌△ADE.

范文二：角平分线的性质及其逆定理

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24.8 角平分线的性质及其逆定理

A第1题. 如图，?中，为?的平分线，?，?，、ABCADBACDEABDFACE

为垂足，在以下结论中:????;????;??FADEADFBDECDFABD EF ??ACD;?AE=AF;?BE=CF;?BD=CD(其中正确结论的个数是( ) B D C A(1 B(2 C(3 D(4

答案:B(

A . 如图，Rt?中，?=90o，是角平分线，?，垂足为，第2题ABCCBDDEABEBC=6，CD=3，AE=4，则DE=_______，AD=_______，?ABC的周长是_______( E

D答案:3，5，24

第3题. 用三角尺画角平分线:如图，?AOB是一个任意角，在边

OA，OB上分别取OM=ON，再分别过M、N作OA，OB的垂线，交点

为P，画射线OP，则这条射线即为角平分线(请解释这种做法的

道理(你还能举出哪些作角平分线的方法，并说明这种做法的道

理(

答案:提示:OM=ON，OP=OP，?Rt?OMP?Rt?ONP(HL)，??MOP=?NOP，?射线OP是?AOB的平分线(

第4题. 求证:三角形的三条角平分线相交于一点(

答案:提示:画出图形，写出已知、求证，证明两条角平分线的交点到第三个角的两边的距离相等(

第5题. 如图，三条公路围成的一个三角形区域，要在这个区

域中建一个加油站，使它到三条公路的距离都相等，加油站应

建在什么位置,请用尺规作图，找出建造加油站的位置(

答案:提示:作两个角的平分线，交点即为建加油站的位置(

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B 第6题. 如图，?ABC中，?C=90o，BD平分?ABC交AC于D，DE E

2是AB的垂直平分线，DE=BD，且DE=1.5cm，则AC等于( ) C A D A(3cm B(7.5cm C(6cm D(4.5cm

答案:D(

第7题. 如图，?ABC中，P是角平分线AD，BE的交点(

在?的平分线上( 求证:点PC

E P

DB C 答案:如图，过点P作PM?AB，PN?BC，PQ?AC，垂足分别为M、N、Q(?P在?BAC的平分线AD上，?PM=PQ(P在?ABC的平分线BE上，?PM=PN。?PQ=PN，?点P在?C的平分线(

M EPQ

CBDN

第8题. 如图，已知点D是?ABC的平分线上一点，点P在BD上，A PA?AB，PC?BC，垂足分别为A，C(

P D求证:(1)AD=CD;(2)?ADB=?CDB(

C B 答案:???，?=，又?=?，=，??ABPCBPABCBABPCBPBDBDABD

??CBD，?AD=CD，?ADB=?CDB(

A 第9题. 如图，在?AOB的两边OA，OB上分别取OM=ON，OD=OE，

D 精品学习网http://www.51edu.com中国最大的教育门户和互动营销教育平台 C 免责声明:本网部分文章和信息来源于国际互联网，本网转载出于传递更多信息和学习之目的，并不

O意味着赞同其观点或证实其内容的真实性。如转载稿涉及版权等问题，请立即联系管理员，我们会予以更E N B 改或删除相关文章，保证您的权利。对使用本网站信息和服务所引起的后果，本网站不作任何承诺。

精品学习网---初中频道http://www.51edu.com/chuzhong/海量同步课件、备考、步试题等资源免费下载～ DN和EM相交于点C(

求证:点在?的平分线上( CAOB

答案:提示:作?于，?于，=，=，?=?，????(SAS)，CEOAECFOBFOMONOEODMOENODMOENOD?S =S，同时去掉S，得S=S，易证，MD=NE，?CE=CF，?M O E?N O D四边形ODCE?M D C?N E C

?点C在?AOB的平分线上(

A 第10题. 已知:如图，AD是?ABC的角平分线，DE?AB，DF?AC，

、分别为垂足( EF EF 求证:AD垂直平分EF( B C D 答案:提示:由角平分线的性质定理，可得DE=DF，进而求得?DEF=

?DFE，?AEF=?AFE，所以AE=AF，所以AD垂直平分EF(

A 第11题. 如图，已知?ABC中，?C=90o，?BAC=2?B，D是BC

E上一点，DE?AB于E，DE=DC(

求证:AD=BD(

CB D 答案:提示:DE=DC，AD=AD，?Rt?ADE?Rt?ADC，??EAD=

11?DAC=?BAC，又?B=?BAC，??EAD=?B，?AD=BD( 22

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范文三：角平分线性质逆定理教材解读

义务教育课程标准实验教科书(人教版)

教材解读

人教版八年级上册十一章第三节《角平分线的判定定理》

抚民中学王晶一、解读内容在课标中的地位和作用

《数学课程标准》强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。本节课属于四个领域中的几何部分，也是实践与综合应用部分，通过自主探索，合作交流把实际问题抽象为数学问题，发展学生解决问题的能力。体会数学来源于生活又服务与生活。

二、教学目标:

数学新课标要求我们以学生的发展为本，学生培养能力为主，在学生已有的认知能力基础上确立如下的教学目标:

知识目标:

1.了解角平分线的判定定理在生活中有那些应用。

2. 理解角平分线性质定理和判定定理的区别和联系。

3. 能够掌握角平分线的判定定理来解决问题。

能力目标:

1. 培养学生从数学角度提出问题、理解问题，并能综合运用所学的知识

和技能解决问题的能力。

2. 培养合作能力和语言组织能力。

2. 初步认识数学与人类生活的密切联系。

情感、态度与价值观:

1. 能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心与求知欲。

2. 体会数学于人类密切的联系。

三、教学重难点及关键

重点:角平分线判定定理的运用

难点:角分线判定定理的数学语言转化及判定定理如何应用。

关键:能够灵活的应用判定定理解决问题。

四、教学内容概述:

1、复习回顾

目的:(检查上节课知识的接受情况)

2、出示学习目标

目的:(使学生能够对本节课有个整体把握)

3、情景导入:学生演情景剧内容如下

目的:(创设情景，引发学生思考，激发学生的求知欲。) 4、把实际问题可以转化为数学问题,学生通过已经学习的全等三角形知识给予证明，记忆该结论并让学生结合给定的例题讨论总结如何应用该定理。老师给予纠正点评。

5、各小组把提前编好的题给其他小组做,取最优组. 目的:(通过小组PK赛调动学生的积极性。在学生编题的过程中对知识会有一个再现的过程，加深对知识的理解。)

6、对照学习目标

(检查今天的学习任务完成情况并及时反馈)

7、堂清

五、知识点解析:

1、导入知识点:(以旧带新)

师:根据所画的图把已知和求证转化为数学语言? 生:已知:(如图)点P在角内部 PD?OA,PE?OB,PD=PE，

求证:点P在角平分线上,

目的:(本题利用三角形全等判定的知识证明) 2、例题处理:

师:如何来应用这个逆定理?结合例题习题分小组汇报.

,ABC中，D为BC的中点，DE,AB,DF,AC,且BE,CF,例题

求证:AD为,ABC的角平分线,

目的:(能够检测学生对知识的理解程度，以及存在的问题) 师总结逆定理在应用时候的注意事项，对学生存在的问题及时纠正。

强调:PD?OA,PE?OB,PD=PE，点P在角平分线上六、问题设计

导入中

1、学生演情景剧内容如下

班级的小林长大了，他成为了一个富翁所以想要给家乡的人们作些贡献，所以想在两条相交公路的内部建立一个供热公司，他想要到两条公路的距离一样，问:可以建立在哪个位置, 目的:(创设情景，引发学生思考，激发学生的求知欲。) 2.师:这个问题可以转化为怎样的数学问题,

目的:(使学生能够把实际问题转化为数学问题，体会到数学来源于生活。)

3.师:根据所画的图把已知和求证转化为数学语言?

目的:(本题利用三角形全等判定的知识证明，既是对上一节知识的回顾，又培养学生数学语言的组织能力。)

4、师:怎样去运用该定理解决问题,

通过小组讨论培养合作交流能力。

七、练习题设计:

1、例题总结方法

2、课前学生自主完成的课后题解析。

3、课前学生出题互相展示。(此时备学生)

4、堂清题(检测独立解决问题的能力，同时检查本节课接受情况)

1.三条公路围成的一个三角形区域，要在这个区域中建一个加油站，使它到三条公路的距离都相等，加油站应建在什么位置,请用尺规作图，找出建造加油站的位置(

2.?ABC中，P是角平分线AD，BE的交点(

求证:点P在?C的平分线上(

教学内容的横向、纵向联系

在教学过程中我把教学设计，以及问题设计都进行了说明，意在调动学生的积极性，不断地引导学生去探索，从而培养学生善于观察能力、语言组织能力、合作学习能力及独立思考来解决问题的能力。使他们真正体会到数学来源于生活又服务于生活。在以后的日子里我会更努力的研读课标，解读教材，从数学与人的发展关系着手，认真上好每一节课。

范文四：角平分线性质定理与逆定理错题

一、知识扼要：

(1)角平分线性质定理: 角平分线上的点到这个角的两边距离相等。符号语言表

B达：如图， E

POPAOB平分，1,，，,,O PEOAPFOB,,,2，，,,FA？,PEPF

(2) 角平分线性质逆定理：到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

符号语言表达：如上图，

PEOAPFOB,,,1,，，,, ，，PEPF,2,,

？，点在的平分线上PAOB

运用上述角平分线定理及逆定理时，学生很容易忽略垂直的条件导致出错。二、错例分析：

错例一：

已知，如图：?ABC中，AB=AC,D是BC的中点，DEABDFAC,,,,垂足分别为

E、F。. 求证：DE=DF

B DC

正确解法:

ABAC,()已知

？?是等腰三角形ABC

BDDC,()已知

？，ADBAC是的角平分线等腰三角形三线合一(")"

DEABDFAC,,,()已知

？,DEDF()角平分线上的点到这个角的两边距离相等

错例二：

已知，如图，过菱形ABCD的顶点C作, CFADCEAB,,,

分别交AB、AD的延长线于E、F.试说明CE=CF

正确解法:

ABCD是菱形(已知)

？，ACDAB平分菱形的对角线平分一组对角()

DEABDEAC,,,()已知

？,ECFC(角平分线上的点到这个角的两边距离相等)错例三

已知，如图，CE?AB,BD?AC,?B=?C，BF=CF。求证：AF为?BAC的平分线。

D F

B AE正确解法：

?CE?AB,BD?AC（已知）

??CDF=?BEF=90?

??DFC=?BFE(对顶角相等)

BF=CF(已知)

??DFC??EFB(S.S.A.)

?DF=EF(全等三角形对应边相等)

?FE?AB,FD?AC（已知）

?点F在?BAC的平分线上(到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)

即AF为?BAC的平分线

三、错误剖析:

上述三道错例,都是学生在应用角平分线定理及逆定理时遗漏了“垂直”

的条件。这是学生对定理成立的条件认识不够，没有认识到“垂直”条件在

证明结论的必要性。

四、解决策略:

在教学过程中，在证明得出定理时，要举一些没有“垂直”条件的反例，让学生

去动手测量，去证明，充分体会“垂直”条件的必要性，是结论成立不可欠缺的

条件，同时通过做一些相关的证明题，去强化定理成立的条件。

范文五：角平分线的性质定理及其逆定理

24.8角平分线的性质定理及其逆定理教学设计

教学设计思想

通过前面的学习已经探究出角平分线上的点所具有的性质，本节学习对这个性质进行证明. 让学生完成对三角形全等的判定公理的推论的证明，进而应用这个公理完成对角平分线性质定理的证明，对于平分线的性质定理的逆定理仿照上节课处理线段垂直平分线逆命题的思路，引导学生解决与定理和逆定理的有关问题. 对于尺规作角平分线，要让学生明白每步做法的依据. 最后通过例题的学习来巩固这些知识点.

教学目标

知识与技能

总结角平分线的性质定理及其逆定理的证明并能灵活应用它们进行有关的计算和证明；说出用尺规作角平分线的依据；

能够熟练地按照证明的格式和步骤对一些命题进行证明.

过程与方法

经历用尺规作角平分线的过程；

经历寻找证明、作图思路的过程，进一步发展推理证明意识和能力；

情感态度价值观

通过观察、类比、对比、归纳等方法尝试从不同角度分析问题，形成不同的策略；愿意动手操作，并和同伴交流，形成不同意见.

教学重点和难点

重点是角平分线的性质定理和逆定理的证明及其应用；

难点是角平分线的性质定理和逆定理的应用.

解决办法：通过例题的学习，分析出解题的思路，总结出做题的方法.

教学方法

启发引导、小组讨论

课时安排

１课时

教具学具准备

投影仪或电脑、三角板

教学过程设计

（一）角平分线的性质定理

我们已经探究出角平分线上的点所具有的性质，怎样对这个性质进行证明呢？

角平分线的性质定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

证明角平分线的性质定理时，我们将用到三角形全等判定公理的推论：

推论两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS ）.

做一做

证明三角形全等判定公理的推论.

注：让学生独立按照证明的格式完成对“AAS ”定理的证明，作为证明本节定理的依据. 证明略.

利用上面你已经证明的推论，可以对角平分线的性质定理给出如下的证明.

已知：如下图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是OC 上任意一点，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E.

求证：

PD=PE.

证明：∴OC 是∠AOB 的平分线(已知) ，

∴∠1=∠2(角平分线的定义).

∵PD ⊥OA ，P E ⊥OB(已知) ，

∴∠PDO =∠PEO=90°(垂直的定义).

在△PDO 和△PEO 中，

∠PDO =∠PEO (已证) ，

∠1＝∠2(已证) ，

OP ＝OP(公共边) ，

∴△PDO ≌△PEO (AAS).

∴PD=PE(全等三角形的对应边相等).

（二）角平分线性质定理的逆定理

做一做

1. 请写出角平分线性质定理的逆命题.

2. 请根据逆命题的内容，画出图形，并结合图形，写出已知和求证.

3. 写出证明过程.

注：类比“线段垂直平分线的性质定理及其逆定理”的学习过程，让学生独立完成“做一做”中提出的问题.

这样，我们就得到：

角平分线性质定理的逆定理到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.

（三）尺规作角的平分线

观察与思考

观察下面用尺规作角的平分线的步骤(如下图) ，思考这种作法的依据

步骤一：以点O 为圆心，以适当长为半径画弧，弧与角的两边分别交于A ，B 两点

步骤二：分别以点A ，B 为圆心，以固定长(大于AB 长的一半) 为半径画弧，两弧交于点

步骤三：作射线OC ，则OC 就是∠AOB 的平分线.

注：独立完成用尺规作角平分线的过程，进一步培养学生的操作能力，并能说出作图过程中每步的依据.

依据是“SSS ”公理和全等三角形的对应角相等.

（四）练习

1. 已知：如图，△ABC 的角平分线BM ，CN 相交于点P. 求证，点P 到三条边AB ，BC ，CA 的距离相等

2. 在△A BC 中，∠B =∠C ，点D 为BC 边的中点，DE ⊥AB ， DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F. 求证：点D 在∠A 的平分线上

1. 提示：过点P 分别向△ABC 三边作垂线，由角平分线的性质定理及其逆定理即可证明结论.

2. 提示：先证△BD E ≌△CDF(AAS). 再由角平分线的性质定理及其逆定理即可得到结论.

（五）小结

引导学生总结本节的主要知识点.

（六）板书设计

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