做人应努力
范文一：含参不等式
含参不等式
1 定义：含有参数的不等式，ax >b
2 不等式的性质：①ax >b, c>0 => axc>bc ②ax >b, c<0 ==""> axc
例：①ax >b ③ax ≥b
解：当a >0时，x > 解：当a >0时，x ≥
a
a
b
b
当 a<>< 当=""><0时, x≤b="">
a 当 a=0时，0x>b I) a=0，b<0时 x="" 为一切实数="" ii="" ）a="0," b≥0时，="">
②ax 0时，x<>
a
当 a<0时，x>b a 当 a=0时，0x0时，x 为一切实数
例：已知a ≥0，解关于x 的不等式（1-a ）x<2(x+a) 先化为基本形式，即ax="">b 解：x-ax <2x+2a><2x+ax-x><(2+a-1)x (1+a)x="">-2a ∵a ≥0
∴(1+a) >0 ∴x>
2a 1+a
例: 解关于x 的一次不等式k(kx+1)<1-x 解：k=""><1-x k=""><1-k><1-k ∵k="" 2+1="">0 ∴x
1?k
k
2
+1
a 当 a=0时, 0x≥b
I) a=0，b ≤0时 x 为一切实数 II ）a=0, >0时， 不等式无解 ④ax ≤b
解：当a >0时，x ≤b
a
当 a<0时，x>
a 当 a=0时，0x ≤b
I) a=0,b≥0时，x 为一切实数 II ）a=0,b≤0时，不等式无解
例：解关于x 的不等式（2-a ）x ≤4(x-a) 解：2x-a ≤4x+4a -4a ≤4x-2x+ax (2+a)x≥-4a
当2+a>0，即a>-2时，x ≥-4a 2+a
当2+a<><-2时，x>
当2+a=0，即a=-2时，0x ≥8 不等式无解
综上所述：a>-2时，x ≥-4a 2+a
4a
a<-2时，x ≤2+a="" a="">
例：解关于x 的不等式（m+1）(m-1)x<(m+1)(m-2) 解：当m+1="">0 即m>-1时
I) m-1>0即m>1时 ★★★★（重点） x< m+1="" (m?1)="">
0x<-2 不等式无解=""><><-1时><0 x="">
当m+1=0 即m=-1时 0x<0>
综上所述：当m>1或m<-1时>
m ?2m ?1m ?2
m ?2
m ?2m ?2 m+1 (m?2)
4a
当m=±1时 不等式无解
范文二：含参不等式
含参不等式组
b
x
2. 若a<0，则关于x的不等式ax+6>7的解集为______________(
3. 关于x的不等式20xk,?的正整数解是1，2，3，则k的取值范围是______________(
4. 如果关于x的不等式3x,9a<0有三个正整数解，那么a的取值范围是______________(>
1>，xa,
,5. 若关于x的不等式组有解，则a的取值范围是________________( ?240x,,
40ax,?,
,6. 若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是________________( xa，,5>0,
210xm，,,,
,7. 已知关于x的不等式组有解，则m的取值范围是________________( xm,，,210,
2>33xx,,
,8. 若关于x的不等式组有两个整数解，则a的取值范围是________________( ?35xa,,
xm,,0,
,9. 若关于x的不等式组有4个整数解，则m的取值范围是________________( ?721,x,
xa,?0,
,xa10. 已知关于的不等式组的整数解共有3个，则的取值范围是________________( 21,,,x,
31xya，,，,
,11. 若关于x，y的二元一次方程组的解满足x，y<2，则a的取值范围是( )="">
A(a>2 B(a<2 c(a="">4 D(a<4>
12. 已知a，b为实数，则解集可以为,2<><2的不等式组是( )="">
ax<><1,,ax>1ax>1,,
,,,,A( B( C( D( bx<1bx>1bx<1bx>1,,,,
1. 若关于x的不等式x
xa>,
,3. 若关于x的不等式组有解，则a的取值范围是_____________( 42>0,x,
xm,1<>
,4. 若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是_____________( ?xm21，,
xx，,,841,
,5. 若关于x的不等式组有两个整数解，则m的取值范围是_____________( xm,<>
xa+>3,
,6. 若关于x的不等式组有三个整数解，则a的取值范围是_____________( ?420,x,
231xyk，,，,
,7. 若关于x、y的二元一次方程组的解满足x，y>1，则k的取值范围是_____________( xy，,,22,
8. 已知a，b是有理数数，关于x的不等式组的解集表示在数轴上如图所示，则这个不等式组是( )
01,1x
ax<1,ax>1ax<1,ax>1,,
,,,,A( B( D(C(bx>1bx>1bx<><>
【参考答案】
1
x,68?k,a,01( 2( 3( a
4a,1a,34(1
3
m,67,m?,,,52a?7( 8( 9( 5
,,10a?10. 11(D 12(D
【参考答案】
45,a?m?069?a,a,245,m?1( 2( 3( 5( 4(
4
k,34,a?6( 8(D 7( 3
范文三：含参不等式
含参不等式的讨论
一、基础知识点训练:
2,1(若A={ x | 3x,2,x,0} ， B={ x | x,a,0} ，则BA时a的取值范围是 ( )
A(a?1 B(1,a?2 C(a,2 D(a?2
(x,a)(x,b)2(不等式 ?0的解集为{ x | ,1?x,2或x?3}，则点(a+b，c)位于坐标平面的 x,c
A(第一象限 B(第二象限 C(第三象限 D(第四象限 ( )
log(x,2)ba3(已知a，b都是小于1的正数且,1，则x的取值范围是 ( )
A(x,2 B(x,3 C(x,2或x,3 D(2,x,3
14(a，b均为正数，则关于x的不等式,b<>
5(若关于x的不等式?x+2?+?x,1?,a的解集为Ф，则a的取值范围是_______。 二、典型例题分析:
例1:解关于x的不等式
x,a2 (1)k(x+2) ,k(3x,1)+2(x,2),0 (2) ?0 (a??1) (x,1)(x+1)
a(x,1)2(3) ,1 (a,0) (4)3x,mx,m,0 x,2
x例2:在R上定义运算若不等式对任意实数成立，求a的取值范围。 ,:x,y,x(1,y).(x,a),(x，a),1
例3:设全集U=R，(1)解关于x的不等式 |x,1|+a,1,0(a?R);(2)记A为(1)中不等式的解集，
ππ集合B={x|sin(πx, )+cos(πx, )=0}，若(CA)?B恰有3个元素，求a的取值范围。 3U33
三、自测题:
2,5x,6x1(关于x的不等式ax+b,0的解集为(1，+?)，则不等式 ,0的解集为_______。 ax +b
112(,,)2(不等式的解集是，则a，b ( ) ax，bx，2,023
(A)10 (B),10 (C)14 (D),14 222t，1t，2t,33(若不等式x-2ax+a>0,对 x?R恒成立, 则关于t的不等式a,a<1的解为 (="" )="" (a)=""><><2 (b)=""><><1><><2 (d)=""><><2>
3312x21,x(k,2k，),(k,2k，)(,，,)4(若关于x的不等式的解集是，求实数k的取值范围( 222
范文四：含参不等式
专题1. 含参数的不等式问题
含有参数的不等式问题主要有三种主要类型. 第一种类型:解含有参数的不等式.
第二种类型:已知含有参数的不等式成立的条件，求参数的范围.
第三种类型:已知含有参数的不等式在某个条件下恒成立,能成立,恰成立或部分成立 ，
求参数的范围.
一.解含有参数的不等式
如何解含有参数的不等式，解题时应该注意什么问题，我们将通过例题进行说明。
【例1】(2004年,辽宁卷,18(1))
|x,1|，a,1,0(a,R);x的不等式 解关于
【分析及解】由 |x,1|，a,1,0得|x,1|,1,a.
a,1当时，解集是R;
a,1当时，解集是 {x|x,a或x,2,a}.
x,a，1xx,1【例2】 解关于 的不等式
ax,(a，1),0【分析及解】原不等式化为 ， x,1
a，1a，11,x,a,0,1若，有，原不等式的解集为 ; aa
,1a,0x,1,0若，有，原不等式的解集为 ; x,1
a，1a，1a,0x,1,1x,若，有，原不等式的解集为 或( aa
2x,3,2a,1x,aa,0【例3】解不等式 , ( )
232xa,,,,1,,,xa,【分析及解】 原不等式等价于 ,232xa,,,,,1.,xa,,
xa,，(3),,0?,移项，通分得 ,xa,
,
3[(1)]xa,，,,0?a,0a,x,a，3由已知，所以解?得 ; ,xa,,x,a，1解?得 或x,a
故原不等式的解集为 {x|a，1,x,a，3}
2,9,a,1xax,5x，4,0 ,解关于 的不等式: . 【例4】已知
【分析及解】是已知参数的范围,解不等式问题.
由于给出了参数的范围,我们可以把已知不等式改写为以为主变量的不等式 aa
2 xa,5x，4,0
2记，，,,, ga,a,,9,1xa,5x，4
由于，，是关于的一次函数,它的图象是一条线段,因此,只要它的两个端点的函数gaa
2值小于零,则整条线段在轴的下方,于是, 关于的不等式 的解等价于 xxax,5x，4,0
2,1,,5，4,0,gxx，， ,2，，,9,,9,5，4,0.gxx,
1,x,4,,,4解得 ,x,,1或x,,9,
1,x,4于是,不等式的解为.
从以上几个例题可以看出,在解含有参数的不等式的时候,如果没有给出参数的范围,则要对参数进行分类讨论,如果给出参数的范围,则可以把参数看作主变量,进行研究.
二. 已知不等式成立的条件，求参数的范围.
有些含参数的不等式是在给定的条件下成立的,所给出的条件可以是含参数的不等式的充分条件,也可以是充分必要条件,在解题时,要注意所给出的条件在含参数不等式中的作用,从而弄清给定的条件与含参数不等式的解集的相互关系.
【例1】(2004年，上海卷，理19)
x，32,x，1记函数f(x)= 的定义域为A, g(x)=lg[(x,a,1)(2a,x)] (a<1) 的定义域为b.="">
(?) 求A;
,(?) 若B A, 求实数a的取值范围.
x，3，，【分析及解】(?)fx 的定义域满足不等式2,?0, x，1
x,1得?0, x <,1或x>
即A=(,?,,1)?[1,+ ?]
(?) 条件B,A表明,集合B是集合A成立的充分条件,首先要求出集合B.
由(x,a,1)(2a,x)>0,
得(x,a,1)(x,2a)<0.>
?a<1, +1="">2a,
?B=(2a,a+1).
?B,A, ?2a?1或a+1?,1,
1 即a?或a?,2, 而a<1,>
1??a<1或a?,2,>
1，,故当BA时, 实数a的取值范围是. ,,,,,2,1，,,,2，,
2,,2，,0,xxa
,2,,A,x1,x,3x,2bx，5,0x,B ,又设 是关于 的不等式组 的【例2】设
a,bx,Ax,B解集,若 是 的充分条件,试确定 的取值范围.
【分析及解】本题相当于对所有满足A的x的值,都满足B,为此,设
22，，，，fx,x,2x，a,gx,x,2bx，5.
于是有不等式组
，，f1,1,2，a,0,,
,，，f3,9,6，a,0,, ,，，g1,1,2b，5,0,,
,，，g3,9,6b，5,0.,
解得 a,,3,b,3
【例3】(2005年，全国卷?,理22) 已知函数:
24x,7f(x),,x,[0,1].2,x
f(x) (?)求 的单调区间和值域;
32，，gx,x,3ax,2a,x,,,0,1,,x,0,1a,11(?)设 ，函数 ,若对于任意 ,
,,x,0,1g(x),f(x)001总存在 使得 成立，求a的取值范围.
2,4x，16x,7(2x,1)(2x,7)【分析及解】(I)对函数求导，得 f(x),f(x),,,22(2,x)(2,x)
17, 令解得 f(x),0x,或x,.22
, 当变化时，的变化情况如下表: xf(x),f(x)
111x 0 (0，) (，1) 1 222, f(x) , 0 +
7 f(x), 减函数 ,4 增函数 ,3 2
11x,(0,)x,(,1) 所以，当时，是减函数;当时，是增函数. f(x)f(x)22
当时，的值域为[,4，,3]. x,[0,1]f(x)
22,g(x),3(x,a).(II)对函数求导，得 g(x)
2,a,1g(x),3(1,a),0.因为，当时， x,(0,1)
因此当时，为减函数， x,(0,1)g(x)
从而当时有 x,[0,1]g(x),[g(1),g(0)].
2又g(1),1,2a,3a,g(0),,2a,
2即时有g(x),[1,2a,3a,,2a]. x,[0,1]
任给，，存在x,[0,1]使得g(x),f(x)， x,[0,1]f(x),[,4,,3]00111
2则[123,2][4,3].,,,,,,aaa
2,1,2a,3a,,4,? 即 ,? ,2a,,3.,
5a,1或a,,解?式得 ; 3
3a,. 解?式得2
3a,11,a,.又，故a的取值范围为 2
三. 不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题
如何解不等式的恒成立、能成立、恰成立问题呢?
它的操作程序如下:
1.恒成立问题
DD，，，，若不等式fx,A在区间上恒成立,则等价于函数fx在区间上的最小值大于
A,
DD，，，，若不等式在区间上恒成立,则等价于函数在区间上的最大值小于fx,Bfx
B.
2. 能成立问题
xDD，，，，若在区间fx,Afx,A上存在实数使不等式成立,即在区间上能成立, ,
DA，，则等价于函数fx在区间上的最大值大于,
xDD，，，，若在区间上存在实数使不等式fx,B成立,即fx,B在区间上能成立, ,
DB，，则等价于函数fx在区间上的最小值小于.
3. 恰成立问题
DD，，，，若不等式fx,A在区间上恰成立, 则等价于不等式fx,A的解集为.
DD，，，，fx,Bfx,B若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为,
【例1】(2005年春考，北京卷，理14)
2(,,,，,)xax,ax,a,0若关于 的不等式 的解集为 ，则实数 的取值范围
2xax,ax,a,,3是 ;若关于 的不等式 的解集不是空集，则实数 的取
2a值范围是 (若不等式的解集为(-1，3)，则实数 的取值xaxa,,,1
范围是 (
2，，fx,x,ax,a【分析及解】第一个填空是不等式恒成立的问题,设.则关于x的不
2，，，，,fx,0,,,，,等式的解集为在上恒成立(,,,，,)x,ax,a,0
24a，a,4,a,0，，，，,fx,0fx,,,0,,即解得 minmin42，，fx,x,ax,a第二个填空是不等式能成立的问题. 设.则关于x的不等式2，，，，,fx,,3,,,，,的解集不是空集在上能成立x,ax,a,,3
24a，aa,,6a,2，，,即解得或. ，，,fx,,3fx,,,,3,minmin4
2第二个填空是不等式恰成立的问题，设 fxxaxa,,,,1，，
则-1和3是f(x)=0的两根，从而得:a=2
【例2】(2005年，湖北卷，理，文17) ,,2，，fx,a,ba,(x,x，1),b,(1,x,t), 若函数 在区间(,1，1)上是增已知向量
函数，求t的取值范围.
232f(x),x(1,x)，t(x，1),,x，x，tx，t,【分析及解】 依定义
2,则f(x),,3x，2x，t.
,，，，，，，，，在区间上是增函数等价于在区间上恒成立; fx,1,1fx,0,1,1
2,，，，，，，而在区间上恒成立又等价于在区间上恒成立; fx,0,1,1,1,1t,3x,2x
2，，，，gx,3x,2x,x,,1,1设
，，，，，，，，t,gx,x,,1,1进而t,gx在区间,1,1上恒成立等价于 max
11,,,,2，，，，gx,3x,2x,x,,1,1考虑到在上是减函数,在上是增函数, ,1,,1,,,,33,,,,
，，，，gx,g,1,5则. max
t,5于是, t的取值范围.是.
【例3】(2005年，湖南卷，理21)
12，，gx,ax，bx，，fx,lnxa,02 已知函数 ， ， .
，，，，，，hx,fx,gxb,2 (?)若 ，且 存在单调递减区间，求a的取值范围;
【分析及解】只研究第(I)问.
12b,2时,h(x),lnx,ax,2x， 2
2ax，x,121,hx,,ax,,,则()2. xx
,因为函数h(x)存在单调递减区间，所以<0有解.>
，，，，hx0,，,由题设可知,的定义域是 ,
,,，，，，，，hx,0hx,00,，,因此,有解等价于在区间能成立,
12a,,，，，，x,0,，,a,ux即, 成立, 进而等价于成立,其中min2xx
12u，，x,,. 2xx
2121,,u，，x,,，，ux,,1由得,. ,,1,1,,min2xxx,,
a,,1于是,,
a,0，，，，,1,0:0,，,由题设,所以a的取值范围是.
【例4】(2000年,上海卷)
2x，x，a2fx,，，,，，，,x,1,，,,fx,0x 对任意 恒成立,试求实(?) 已知
a数 的取值范围;
2x，x，a2fx,，，,，，，，,,x,1,，,,fx0,，,x(?)已知 当 的值域是 ,试求实数
a 的值.
【分析及解】 本题的第(?)问是一个恒成立问题,
2x，2x，a对任意,，恒成立 ，，x,1,，,fx,,0x2x,1，，,x,x，2x，a,0，，，等价于对任意,恒成立,又等价于时,的x,1,，,,x,0最小值成立.
2，，，，,x,x，1，a,1，由于在,上为增函数, 1,，,
，，，，则, ,x,,1,a，3min
所以 a，3,0,a,,3.
第(?问是一个恰成立问题,
2x，2x，a，，,，这相当于的解集是x,1,，,. fx,,0x
a,0x,1当时,由于时,
2x，2x，aa，，，,,与其值域是0,，,矛盾, fx,,x，，2,3xx
2x，2x，aaa,0,，当，，1,，,时, fx,,x，，2是上的增函数. xx
，，，，所以,fx的最小值为f1,
，，令f1,0,即 1，a，2,0,a,,3.
2axaxx,，,540【例5】已知命题P:对实数 ，不等式: 对所有实数 都成立,
2aa,4a，3,0命题Q: 满足 ，若命题“P或Q”为真，命题“P且Q”为假，求a实数 的取值范围.
【分析及解】这是不等式的部分成立问题.
2521,a,3a,解命题P得,,解命题Q得,. axx,，,54016
若命题“P或Q”为真，命题“P且Q”为假,则等价于命题P与Q一个为真,一个为假.
251,a,a,3把P和Q的解集画在数轴上,可直观地得出, 实数a的取值范围是或. 16
xxx，，，，1，2，？，n,1，，，na，，fx,lg,,n，，例6:设,其中a是实数，n是任意给定的自然数且n?2，
，x,,,,1,，，fx若当 时有意义,求a的取值范围。
范文五：含参不等式
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如何求不等式恒成立的参数取值范围
四川 何成宝
求不等式恒成立的参数的取值范围，是中学教学的难点之一，也是高考、数学竞赛的热点.本文就此问题的几种基本解决加以论述.
一、利用一次函数的性质
,一次函数y=f(x)= ax+b 在x [m，n]上恒大于零的充要条件是:
a,0f(m),0a,0,,, 或 或 ,,,f(m),0f(n),0f(n),0,,,
(对于y=f(x)= ax+b恒小于零的条件亦可类似给出).
2例1 若f(x)=(x,1)m,6xm+x+1 在区间 [0，1]上恒为正值，求实数m的取值范围.
22解: 考查关于x的一次函数f(x)=(m,6m+1)x+1,m恒为正值的充要条件:
22显然， 当m,6m+1=0时，f(x)>0不成立,所以m,6m+1?0,依一次函数的性质可知, 只要
22,,m-6m，1,0m-6m，1,0 或 ,,f(0),0f(1),0,,
1解得 ,1<><.>
1x,[0,1]故对于一切恒有f(x)>0 的m的取值范围是{m?,1<><}.>
2,例2 对任意的a[,1，1]，函数f(x)=x+(a,4)x+4,2a的值总大于零，求x的取 值范围.
2解: f(x)可变形为g(a)=(x,2)a+x,4x+4.
,于是该题就变成:当a[,1，1]内任意取值时，g(a)恒大于零，求x的取值范围， 因g(a)是一次函数，所以g(a)在[,1，1]上为正，只要
2,g(,1),x,5x，6,0, ,2,(1),,3，2,0gxx,
故x<1或x>3.
说明: 在不等式恒成立的问题中,若主元(或参数)能变为一次的形式,则我们能利用一次函数的性质来求解.
二、利用二次函数的单调性
22任何一个一元二次不等式总可以化为ax+bx+c>0 (a<0) 的形式,由二次函数y=""><0) 的图象和性质,我们不难得出以下两个结论:="">
2(1) ax+bx+c>0 (a<0)><0.>
2(2) ax+bx+c>0 (a<0)>
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,,
,,,,0,,,0,
,, 或 或 ?<0.>
,,bb,,,,0,,,m,2a2a,,
2,3 设f(x)=x,2ax+2, 当xR时,都有f(x)?a恒成立, 求a的取值范围. 例
2,解: 设F(x)= f(x),a= x,2ax+2,a, 则问题转化为: 当xR时, F(x) ?0恒成立, 只要?=4(a,1)(a+2)?0 故,2?a?1.
2,例4 设f(x)=x,2mx+2,当x[,1,+?]时,都有f(x)?a恒成立, 求m的取值范围.
2解: 设F(x)= f(x),m= x,2mx+2,m,
,则问题转化为: 当x[,1,+?]时, F(x) ?0恒成立.
,(1) 当?=4(m,1)( m +2)<0 即=""><><1 时,="" 对一切x[,1,+?]总有f(x)="">0成立. (2) ?=4(m,1)( m +2)?0 时, 由图1可知, F(x) ?0 充要条件是 ,
,(m,1)(m，2),0,,0,,,,m，3,0F(,1),0, ,,,
,,m,,1,2m,,,,,1,2,
,3?m?,2. ,
,综上所述可知,m的取值范围是m[,3,1].
三、分离参数
若关于x的不等式f (x,k) ?0 (或f (x,k) ?0) ?
在区间I上恒成立,要求实参数k的范围.
如果能将不等式?化为F(k)?G(x) (或F(k)?G(x)) 的形式,且可求出G(x)在区间I上的最大(最小)值,那么不等式?在区间I上恒成立的充要条件是:
F(k)?max{ G(x) } (或F(k)?min{G(x)})
x2x,例 5 若x(,?,,1],1+3+(t,t)?9>0恒成立, 求实数t的取值范围.
xx,3,1,3,122,解: 原不等式 t,t>, 则 t,t>max{} ? xx99
x,3,11112xxx2,,,令y==,=,, (设=). (),()()x9333
22,,,,,由 x(,?,,1]得[3,+ ?), y=,, 在[3, + ?)上最大值为,12,代入?得t,t>,12, 解得,3<><4. 故实数t的取值范围为{="" t=""><><>
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xx124a，，,,例 6 设f(x)=lg, 其中aR, 如果x(,?,1] 时, f(x)有意义, 求实数a的取值范围. 3
xx,解: 由题意, 不等式>0 对x(,?,1]恒成立, 即有 1，2，4a
11xxa>max{,} ? (),()42
11133xx2,,,,令y=,=,,在[,+?)上的最大值为,, 代入? 得 a>,, (),()24442
3故a的取值范围为{ a?a>,}. 4
四、数形结合
2例 7 当 0?x?1时,恒有x+kx>k,1, 求实数k的取值范围.
22解: 不等式可化为x+1>,k (x,1). 作抛物线弧,y= x+1 (0?x?1),
作过(1,0) 且斜率为,k的直线L: y=,k (x,1), (如图2) 则只需求使位于直线L上方的k的取值范围即可. 这由直线L的斜率,k>k=,1即知, CA
? k<1.>
以上四种方法是不等式恒成立的参数取值范围的基本方法.此外,还有一些方法,如讨论法、参数法、判别式法、待定系数法等等.
