范文一：怎样学好高中立体几何

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“立体几何”是高中几何中较难学习的部分，它不但需要学习者具有较强的

抽象思维能力、空间想象能力，而且还需要学习者具有熟练的数学运算能力。那

么如何才能在高中阶段学好“立体几何”呢？以下是笔者总结的一些方法：

第一，要建立空间观念，提高空间想象力。

从认识平面图形到认识立体图形是一次思维的飞跃，这需要有一个过程。在

此期间，有的同学会自制一些空间几何模型并反复观察，这有益于建立空间观念，

是个好办法。有的同学有时间也会对一些立体图形进行观察、揣摩，并且判断其

中的线线、线面、面面之间的位置关系，探索各种角、各种垂线作法，这对于建

立空间观念也是好方法。此外，多用图表示概念和定理，多在头脑中“证明”定

理和构造定理的“图”，对于建立空间观念也是很有帮助的。

第二，要掌握基础知识和基本技能。

要用图形、文字、符号三种形式表达概念、定理、公式，要及时不断地复习

前面学过的内容。这是因为《立体几何》内容前后联系紧密，前面内容是后面内

容的根据，后面内容既巩固了前面的内容，又发展和推广了前面内容。在解题中，

要书写规范，如用平行四边形“ABCD”表示平面时，可以写成平面AC，但不可

以把平面两字省略掉；要写出解题根据，不论对于计算题还是证明题都应该如此，

不能想当然或全凭直观；对于文字证明题，要写已知和求证，要画图；用定理时，

必须把题目满足定理的条件逐一交待清楚，自己心中有数而不把它写出来是不行

的。要学会用图（画图、分解图、变换图）帮助解决问题；要掌握求各种角、距

离的基本方法和推理证明的基本方法——分析法、综合法、反证法。

第三，要不断提高各方面能力。

通过联系实际、观察模型或类比平面几何的结论来提出命题；对于提出的命

题，不要轻易肯定或否定它，要多用几个特例进行检验，最好做到否定举出反面

例子，肯定给出证明。欧拉公式的内容是以研究性课题的形式给出的，要从中体

验创造数学知识。要不断地将所学的内容结构化、系统化。所谓结构化，是指从

整体到局部、从高层到低层来认识、组织所学知识，并领会其中隐含的思想、方

法。所谓系统化，是指将同类问题如平行的问题、垂直的问题、角的问题、距离

的问题、惟一性的问题集中起来，比较它们的异同，形成对它们的整体认识。牢

固地把握一些能统摄全局、组织整体的概念，用这些概念统摄早先偶尔接触过的

或是未察觉出明显关系的已知知识间的联系，提高整体观念。

要注意积累解决问题的策略。如将立体几何问题转化为平面问题，又如将求

点到平面距离的问题，或转化为求直线到平面距离的问题，再继而转化为求点到

平面距离的问题；或转化为体积的问题。

要不断提高分析问题、解决问题的水平：一方面从已知到未知，另方面从未

知到已知，寻求正反两个方面的知识衔接点--一个固有的或确定的数学关系。要

不断提高反省认知水平，积极反思自己的学习活动，从经验上升到自动化，从感

性上升到理性，加深对理论的认识水平，提高解决问题的能力和创造性。

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范文二：怎样学好立体几何

在已经掌握了平面几何的基础知识后, 要进一步学好立体几何的基础知识却并不 容易。因为从平面观念过渡到立体观念,对一般学生来说,困难较多。产生困难 的原因 是立体几何比平面几何研究的基本对象多了一个“面”,而这多出的 一个“面”,使得在平面几何中点和直线之间的三种位置关系(即点与点、点与 直线、直线与直线)拓展为立体几何中点、直线和平面之间的六种位置关系。因 此, 要学好立体几何的基础知识, 首先要树立起立体观念, 培养自己的空间想象 力,做到能想象出空间图形并把它画在一个平面(如纸面或黑板)上,还要能根 据画在平面上的“立体”图形想象出原来空间图形的真实形状。

为了培养自己的空间想象能力, 高一的学生可在开始学习立体几何时, 动手做一 些实物模型,如直线、平面、正方体、长方体等等。通过对模型中点、直线和平 面之间位置关系的观察, 逐步培养自己对空间图形的想象能力和识别能力, 想象 这些空间图形画在纸上就是什么模样;同时要掌握画直观图的规则,掌握实践、 虚线的使用方法, 为正确地画图打好基础。 培养自己的画图能力, 可从简单的图 形(如直线和平面的各种位置关系)、简单的几何体(如正方体)画起。由对照 模型画图,逐步过渡到没有模型摆在面前,也能正确地画出空间图形的直观图, 而且能由直观图想象出空间图形。在这个“想图、画图、识图”的过程中,不仅 空间想象能力得到提高,抽象思维能力也可以得到很大提高。

其次, 立体几何的研究方法与平面几何的研究方法类似, 即依据公理, 运用逻辑 推理方法, 这就要求初学立体几何的学生要重视逻辑推理能力的培养。 我们在教 学中发现高一的新生在立体几何证明的证明过程中, 常常出现以下两种错误:一 个是由学生逻辑推理能力差而导致和证题思路上的错误; 另一个是由学生语言表 达能力差而导致的证题的书面表达上的错误。 例如, 立体几何课本第一 3页公理 3的推论 1:“经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。”学生 们常常这样来证明这个推论:

A 是直线 a 外一点。在 a上任取两点 B、 C ,则 A 、 B 、 C 三点不共线。根据公理 3,经过不共线三点 A、 B 、 C 有且仅有一个平面 a ,又点 B 、 C 都在平面 a 内,所 以根据公理 1,直线 a 在平面 a 内,即过直线 a 和点 A 有且只有一个平面。 当然,这样证明是不全对的,事实上,上面的证明过程中有这样一个逻辑错误:即把过 A 、 B 、 C 三点的平面构成的集合与过直线 a 和点 A 的平面构成的集合先承

认是两个相等的集合, 从而由第一个集合有且只有一个元素导出第二个集合有且 只有一个元素。 正确的逻辑推理应该是这样的:先证明上面的第二个集合包含于 第一个集合, 从而由第一个集合有且只有一个元素导出第二个集合最多有一个元 素; 其次证明第二个集合确实有一个元素, 最后得出第二个集合有且只有一个元 素的结论。

由此不难看出要学好立体几何的基础知识, 必须要注重逻辑推理能力的培养。 为 此, 初学立体几何的学生要重视看起来简单的那些基本概念、 公理和定理, 不仅 要理解它们, 还要熟练地记忆它们, 掌握它们之间的联系。 同时对基础的题目必 须从一开始就认真地书写证明(或求解)过程,包括已知、求证、证明、作图等 等,证明过程要特别注意所运用的公理、定理的条件要摆够、摆准。另外,对课 本上定理的证明必须熟记,掌握定理证明的逻辑推理过程及其渗透的数学方法。 第三,要学好立体几何的基础知识,还要充分运用“转化”这种数学思想,要明 确在转化过程中什么变了,什么不变,有什么联系。

比如三垂线定理可以把平面内两条直线垂直转化为空间的两条直线垂直, 而三垂 线逆定理可以把空间的两条直线垂直转化为平面内的两条直线垂直。

再比如异面直线的距离可以转化为直线和与它平行的平面间的距离, 也可以转化 为两平行平面的距离, 即异面直线的距离与线面距、 面面距三者之间可互相转化。 又比如异面直线可由平面几何中的平行直线转化而得:只要把两条平行直线中的 一条旋转使它与原平行线确定的平面相交即可 (这个过程涉及到一个角度问题) 。 异面直线还可由平面几何中的相交直线平移而得, 只须把两条相交直线中的一条 从原相交直线确定的平面中平行地拉出来 (这个过程涉及到一个距离问题) 。 事 实上, 整个平面几何所研究的点和直线之间的三种位置关系都可以用角和距离描 述。当平面图形由于多加了一个“面”而转化为立体图形,出现点、直线、平面 之间的六种位置关系时,不难发现,我们仍然可以用角和距离来描述。

由于平面几何是立体几何的一部分,空间的点、线、面如果都在同一平面内,则 两面平面几何中的结论依然成立。 反过来, 平面几何中的正确命题在立体几何中 是否依然正确呢?当然不一定正确(比如有三个直角的平面四边形一定是矩形, 但有三直角的空间四边形一定不是矩形) , 所以我们提醒初学立体几何的学生们,

要在学习过程中注意平面几何与立体几何及立体几何本身各元素的位置关系的 区别和联系,及时进行对比和总结,掌握转化的规律。

第四,要学好立体几何的基础知识,还要能顺利通过学习上的“难关”。比如如 何求异面直线所成角、 如何求二面角等等。 下面我们谈谈高一学生怎样去求解前 面提到的两个“角”。

先谈谈如何求解异面直线所成角。 在求解异面直线所成角时, 可以在空间图中找 到或作出异面直线中一条(或两条)的平行线,最后在三角形中计算角度。 例 1:点 A 是 BCD 所在平面外一点, AD=BC, E 、 F 分别是 AB 、 CD 的中点,且 EF= AD ,求异面直线 AD 和 BC 所成的角。(如图 1)

解:设 G 是 AC 中点,连接 DG 、 FG 。因 D 、 F 分别是 AB 、 CD 中点,故 EG ∥且 EG= BC , FG ∥ AD ,且 FG= AD,由异面直线所成角定义可知 EG 与 FG 所成锐角或直角 为异面直线 AD 、 BC 所成角, 即∠ EGF 为所求。 由 BC=AD知 EG=GF= AD, 又 EF=AD, 由余弦定理可得 cos ∠ EGF=0,即∠ EGF=90。

例 2:在棱长均为 a 的四面体 ABCD 中, E 、 F 分别是 BC 、 AD 的中点,求异面直线 DE 和 BG 所成角的余弦值(如图 2)

解:连接 AE 。设 AE 中点为 M ,连接 BM 、 MF 。因 F 为 AD 中点,故 MF ∥ DE 且 MF= DE 。 由异面直线所成角定义可知 BF 与 MF 所成锐角或直角即为异面直线 DE 和 BF 所成角,故在△ BCD 中, E 为 BC 中点,△ BCD 各边长为 a ,故 DE= a 。由 MF= DE 和 MF= a,同理, AE= a,

ME= a, BF= a。

在△ MBE 中, BM= ;在△ BMF 中,由余弦定理可得 cos ∠ BFM= 。

例 1是按定义分别作出了两条异面直线的平行线,然后在△ EFG 中求角。例 2是 按定义作出了异面直线中一条的平行线,然后先在△ BMF 外计算 BM 、 MF 、 BF 长, 再回到△ BMF 中求角。例 1与例 2中异面直线的平行线在现有图形中可作,若对 某些题目中异面直线的平行线不可作,可适当延展平面,在延展面中作平行线。 现在来谈谈如何求二面角。由立体几何课本第 38页上的定义知:二面角的大小 由它的平面角来度量。 因此, 求二面角的大小首先要考虑依据定义找到或作出二 面角的平面角, 然后计算平面角的大小。 当二面角的平面角不好作出或作出后不

好计算进,可由课本第 43页题六第 5题得到启示,采用由二面角内一点作两个 半平面的垂线的方法,先求出二面角的平面角的补角,从而求得二面角大小。 例 3、在三棱锥 S — ABC 中, SA ⊥底面 ABC , AB ⊥ BC , DE 垂直平分 SC ,且分别交 AC 、 SC 于 D 、 E ,又 SA=AB, SB=BC。求以 BD 为棱,以 BDE 与 BDC 为面的二面角 的度数(如图 3)。

解:∵ SB=BC, E 为 SC 中点,∴ BE ⊥ SC ,又 SC ⊥ DE ,∴ SC ⊥面 BDE 。又 SA ⊥面 A BC ,∴∠ ASE 与二面角 A — BD — E 的平面角互补,从而∠ ASE 等于二面角 C — BD — E 的平面角。设 SA=a,易知 AC=a ,∴ tg ∠ ASE=,∠ ASE=600,故二面角 C — BD — E 为 600。

又由课本 P42上异面线上两点 C 、 D 的距离公式得:若记两条异面直线与垂线所 确定的二面角为 θ,则必有 |CD|=。从而可由距离求角。另外,利用射影知识, 可得到这样一个结论:二面角 M — a — N 的大小为 θ, M 内图形 A 的面积为 S , A 在 N 上的射影 B 的面积为 S ‘,则有 S ’ =S·cos θ,这样,通过计算面积比,可 求得二面角的大小。

范文三：怎样学好立体几何

怎样学好立体几何(高一的) 1、要建立空间概念，强化空间思维能力～ 2、牢固的平面几何基础:因为立体几何问题的解决，都是在平面上处理的，多用平面几何的知识。

3、要能把立体问题，化为平面问题，这里有经验和技巧，通过多作题，自己就会体会到的～

4、牢牢地掌握立体几何的概念、定理、法则、公式，并能再作题过程中强化它!

这个是专家建议:

学好立体几何的关键有两个方面:

1、图形方面:不但要学会看图，而且要学会画图，通过看图和画培养自己的空间想象能力是非常重要的。 2、语言方面:很多同学能把问题想清楚，但是一落在纸面上，不成话。需要记的一句话:

几何语言最讲究言之有据，言之有理。也就是说没有根据的话不要说， 不符合定理的话不要说。

至于怎样证明立体几何问题可从下面两个角度去研究: 1、把几何中所有的定理分类:按定理的已知条件分类是性质定理，按定理的结论分类是判定定理。

如:平行于同一条直线的两条直线平行，既可以把它看成是两条直线平行的性质定理，也可以把它看成是两条直线平行的判定定理。

又如如果两个平面平行且同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。它既是两个平面平行的性质定理又是两条直线平行的判定定理。这样分类之后，就可以做到需要什么就可以找到什么，比如:我们要证明直线和平面垂直，可以用下面的定理:

(1)直线和平面垂直的判定定理

(2)两条平行垂直于同一个平面

(3)一条直线和两个平行平面同时垂直

2、明确自己要做什么:

一定要知道自己要做什么～在证明之前就要设计好路线，明确自己的每一步的目的，学会大胆假设，仔细推理。

范文四：怎样学好立体几何

怎样学好立体几何

新的中学数学课程中立体几何部分，分成两块，知识部分和能力部分（空间想象能力）。知识部分分为三块：立体几何，解析几何和向量。立体几何初步的定位是培养学生的空间想象力为主的一个课程载体。通过了解空间图形、画直观图、建立三视图这样一些内容，来支撑这样的一个载体。而空间向量是解决立体几何的一个非常有用的工具，尤其对于关平行与垂直问题。解析几何分为以圆和直线，解析几何初步以及以圆锥曲线。能力部分主要是几何直观的培养，就是空间想象力的培养。

首先，要建立空间观念，提高空间想象力。

从认识平面图形到认识立体图形是一次思维的飞跃，这需要有一个过程。学习立体几何首先要多观察我们身边的实物，从生活中来，到生活中去，把理论跟实际相结合。所以我给学生上课时，老是拿教室里的实物作为例子。平面：如天花板，地面，桌面，黑板面等等，直线：如灯管，笔，甚至指头，因此一讲线面关系，同学们立即拿起笔在桌面上比划，他们很有兴趣，也很有效；其次是仿照课本上的图形多画图. 可以从简单的图形（如：直线和平面）、简单的几何体（如：正方体）开始画起，画图时尤其要注意实线虚线之分，这样可以使你的识图能力增强, 空间想象力提高，这对学习立体几何相当有益；再次，为了培养空间想象力，可以在刚开始学习时，动手制作一些简单的模型用以帮助想象。例如：正方体或长方体。在正方体中寻找线与线、线与面、面与面之间的关系。通过模型中的点、线、面之间的位置关系的观察，逐步培养自己对空间图形的想象能力和识别能力。最后要做的就是树立起立体观念，做到能想象出空间图形并把它画在一个平面（如：纸、黑板）上，还要能根据画在平面上的“立体”图形，想象出原来空间图形的真实形状。空间想象力并不是漫无边际的胡思乱想，而是以提设为根据，以几何体为依托，这样就会给空间想象力插上翱翔的翅膀。 其次，要培养逻辑思维能力，提高基本技能 。

其次，掌握必要的逻辑知识和逻辑思维。

1、加强对基本概念理解

数学概念是数学知识体系的两大组成部分之一，理解与掌握数学概念是学好数学，提高数学能力的关键。对于基本概念的理解，首先要多想。比如对异面直线的理解，两条直线不在同一个平面是简单的定义，如何才能不在同一个平面呢，第一是把同一个平面上的直线离开这个平面，或者用两支笔来比划，这样直观上有了异面直线的概念，然后想在数学上怎么才能保证两条直线不在一个平面，那些条件能保证两条直线不在一个平面。我们多去想想，就可以知道，只要直线不平行，并且不相交，那么就异面，对于不平行的条件，在平面几何中我们已经知道，如何能保证不相交呢，想象延长线等手段能不能得到证明呢，如果不能，那么把其中一条直线放在一个平面，看另外一条直线和这个平面是否平行，这样我们对异面直线的概念就比较容易掌握。

2、引导学生归纳、概括出若干定理，感受公理化思想

新课改中教科书设置了“观察”、“思考”、“探究”等栏目，让学生在学习过程中，从实际背景中抽象出数学模型，从现实的生活空间中抽象出几何图形和几何问题的过程。“观察”的目的是提高学生的空间想象力，加深对所学知识的理解和记忆。“思考”则是为了调动学生思维的积极性和学习交流，激发学生的理性思维。而“探究”着眼于促进学生独立思考和自主探索的机会，让学生在讨论的基础上发现问题和解决问题，激发出潜在的创造力。课本削弱了以演绎推理为主要形式的定理证明，减少了定理的数量，淡化了几何证明的技巧。这样的安排体现了新课标的理念，推理不仅仅指演绎推理，还包括合情推理，这两种推理相辅相成。当然我们还要学生加强对数学命题理解，学会灵活运用数学命题解决问题。对于一些证明题目，要避免证明中出现逻辑推理不严密，书写格式不合理，层次不清，数学符号语言使用不

当，不合乎习惯等。

最后，渗透“转化”思想的应用，强化学生思维。

在学习立体几何中，体会以下转化关系：

1、数学语言的相互转化

在立体几何中，利用三种数学语言——图形语言、文字语言、符号语言的转化，可以有效化解难点，发展数学思维。在立体几何中，立体图形是研究的对象，文字语言室对图形的描述、解释和讨论，符号语言则是催文字语言的简化再抽象，在公理、定义、定理中，三种语言都得到了充分体现。

2、点、线、面位置关系的相互转化

线线、线面、面面平行于垂直的位置关系即相互依存，又在一定条件下能纵向转化。线线平行（或垂直）、线面平行（或垂直）、面面平行（或垂直）的转化关系在平行或垂直的判定和性质定理中得到充分体现平行或垂直关系的证明（除少数命题外），大都可以利用上述互相转化关系去证明。教学中渗透转化思想，可以加深学生对点、线、面位置关系的理解，提高教学的有效性。

3、空间几何问题向平面几何问题转化

将空间问题转化为熟知的平面问题时研究立体几何问题最重要的数学方法之一。如线面垂直的判定定理转化为三角形全等的平面几何问题；多面体与旋转体的侧面积公式的轨道、侧面上最短线问题都是通过侧面展开转化为平面几何问题；旋转体的有关问题不也是转化为关于轴截面的平面几何问题吗？其实，立体几何中的三种角（线线角、线面角、二面角）和四种距离（线线距、点面距、线面距、面面距）从定义到具体的计算以及三垂线定理都体现了空间到平面的转化。

4、体积问题中的转化

研究简单几何体体积问题的过程中，利用祖暅定理，将一般主体体积问题转化为长方体体积问题，一般椎体体积问题转化为三棱锥体积问题，从而推到称柱体和椎体体积公式等。三棱锥体积公式推导过程中，“补法”和“割法”的先后应用，如台体的体积（即补台成锥）所展示的割补转化；利用四面体、平行六面体等几何体体积的自等性，以体积为，媒介沟通有关元素间的联系，从而使问题获解得等积转化等，都是转化思想在体积问题中的体现。 总之，观察是学好立体几何的基础，作图是学好立体几何的保证，想象是学好立体几何的关键。在立体几何的学习中，我们要强调学生动手操作和主动参与，让他们在观察、操作、想象、交流等活动中认识空间几何体，提高空间想象能力，进一步提高他们的学习兴趣，加深他们对数学的理解，激发出潜在的创造力，让学生在不断探索与创造的氛围中发展解决问题的能力，体会数学的价值。

范文五：怎样学好立体几何

怎样学好立体几何

第一:明白平面几何与立体几何的区别与联系

平面几何是立体几何的基础，研究的是平面中的点与点、点与线、线与线之间的关系。立体几何是平面几何的拓展，研究的是空间中几何体的点、线、面之间的关系。

第二:掌握斜二测画法画几何体直观图的方法和规则。理解空间几何体的直观图和与实际图不一样，实际图中的垂直在直观图中不一定垂直。在学习中，要多做几个实际模型与其直观图进行对比，借此来培养自己的空间想象能力。

第三:熟悉书中每一个概念和公式

对于书中每一个概念和公式，要结合图形理解的记住。对于立体几何中的每一个定理，它的已知条件和结论分别是什么，必须很清楚。并且文字语言、符号语言、图形语言之间会相互转化。

第四:利用好模型，把抽象问题变具体

如长方体、正方体、以及教室的墙角等都可以作为模型

第五:会把空间问题平面化

在解决几何题的过程当中，若需要研究某个面当中的点线关系或某个面当中的图形面积，可以把这一部分单独拉出来，运用平面几何知识解决。

第六:记住一些常用结论

如长方体内接于球，其棱长与球半径之间的关系等。

第七:注意割补法的运用

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