生活不止眼前的狗血
范文一：概率公式
第一章
P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB) F (x ) =P (X ≤x ) =∑P (X =k )
k ≤x
特别地，当A 、B 互斥时， P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式： P (A |B ) =
P (AB ) P (B )
概率的乘法公式：
P (AB ) =P (B ) P (A |B ) =P (A ) P (B |A )
全概率公式：从原因计算结果: n
P (A ) =∑P (B k ) P (A |B k )
k =1Bayes 公式：从结果找原因 P (B ) P (A |B i )
k |A ) =
P (B i n
∑P (B k
) P (A |B k
)
k =1
F (x , y ) =P {X ≤x , Y ≤y }
注： 0≤F (x , y ) ≤1
第二章
二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p)：
P (X =k ) =C k k n p (1-p ) n -k ，(k =0, 1,..., n )
泊松分布——X~P(λ) P (X =k ) =
λk
e -λ，(k =0, 1,...)
k !
概率密度函数的性质： ?
+∞
-∞
f (x ) dx =1
怎样计算概率 P (a ≤X ≤b ) P (a ≤X ≤b ) =?b
a
f (x ) dx
均匀分布
X~U(a,b)：
f (x ) =
1b -a
(a ≤x ≤b )
指数分布X~e(θ) f (x ) =
1
-x /θ
θ
e (x ≥0)
分布函数
对离散型随机变量: n
F (x ) =∑P (x i )
i =1对连续型随机变量:
F (x ) =P (X ≤x ) =?x
-∞
f (t ) dt
分布函数与密度函数的重要关系： F (x ) =P (X ≤x ) =?x
-∞f (t ) dt F ' (x ) =f (x )
二元随机变量及其边缘分布
分布规律的描述方法
联合密度函数
f (x , y )
联合分布函数 F (x , y )
联合概率密度性质
f (x , y ) ≥0
?+∞?
+∞
-∞-∞
f (x , y ) dxdy =1
联合密度与边缘密度
f +∞
X (x ) =?-∞f (x , y ) dy
f ?+∞
Y (y ) =-∞
f (x , y ) dx
离散型随机变量的独立性
P {X =i , Y =j }=P {X =i }P {Y =j }
连续型随机变量的独立性
f (x , y ) =f X (x ) f Y (y )
第三章
数学期望 E (X ) =
P k
k ∑+∞
x
k
?=-∞
离散型随机变量，数学期望定义
E (X ) =?+∞
-∞x ?f (x ) dx
连续型随机变量，数学期望定义 ● E(a)=a，其中a 为常数
● E(a+bX)=a+bE(X)，其中a 、b 为常数 ● E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X 、Y 为任意随机变量
随机变量g(X)的数学期望 E (g (X )) =∑g (x k ) p k
k
常用公式
E (X ) =∑∑x i p ij
E (X +Y ) =E (X ) +E (Y )
i
j
E (XY ) =∑∑x i y j p ij
(X ) =??xf (x , y ) dxdy
i
j
E
E (XY ) =??xyf (x , y ) dxdy
当X 与Y 独立时, E (XY ) =E (X ) E (Y )
方差 定义式 D (X ) =?
+∞
-∞
(x -E (X ) )2
?f (x ) dx D (X ) =E (X 2) -[E (X ) ]
2
常用计算式 常用公式
D (X +Y ) =D (X ) +D (Y ) +2E {(X -E (X ))(Y -E (Y ))}
当X 、Y 相互独立时：
D (X +Y ) =D (X ) +D (Y )
方差的性质
D(a)=0，其中a 为常数
D(a+bX)=b2D(X)，其中a 、b 为常数 当X 、Y 相互独立时，D(X+Y)=D(X)+D(Y) 协方差与相关系数 E {[X -E (X ) ][Y -E (Y ) ]}=E (XY ) -E (X ) E (Y )
Cov (X , Y ) =E (XY ) -E (X ) E (Y )
ρCov (X , Y ) XY =
D (X ) D (Y )
协方差的性质 Cov (X , X ) =E (X 2) -(E (X ) )2
=D (X )
Cov (aX , bY ) =abCov (X , Y )
Cov (X +Y , Z ) =Cov (X , Z ) +Cov (Y , Z )
独立与相关：独立必定不相关 相关必定不独立 不相关不一定独立
第四章
正态分布 X ~N (μ, σ2)
1
-
(x -μ) 22σ
f (x ) =
2πσ
e E (X ) =μ, D (X ) =σ2
Φ(a ) =1-Φ(-a )
标准正态分布的概率计算 标准正态分布的概率计算公式
P (Z ≤a ) =P (Z
P (Z ≥a ) =P (Z >a ) =1-Φ(a )
P (a ≤Z ≤b ) =Φ(b ) -Φ(a )
P (-a ≤Z ≤a ) =Φ(a ) -Φ(-a ) =2Φ(a ) -1 一般正态分布的概率计算 X ~N (μ, σ2) ?Z =
X -μ
σ
~N (0, 1)
一般正态分布的概率计算公式
P (X ≤a ) =P (X
a -μ
σ
P (X ≥a ) =P (X >a ) =1-Φ(a -μ
σ
) P (a ≤X ≤b ) =Φ(
b -μ
-Φ(
a -μ
σσ
第五章
卡方分布
n
若X ~N (0, 1) ，则∑X 2
2i ~χ(n )
i =1
t 分布
若X ~N (0, 1), Y ~χ2
(n ), 则
X
/n
~t (n )
F 分布：
若U ~χ2(n 1), V ~χ2(n U /n 12), 则
V /n ~F (n 1, n 2) 2
正态总体条件下 样本均值的分布：
n
若Y ~N (μ, σ2
), 则
1
2
σ2
∑(Y i
-μ)
~χ2(n )
i =1
2
~N (μ,
σ-μ
n
)
σ/n
~N (0, 1) (n -1) S 2
~χ2
(n -1)
-μ
σ2
s /n
~t (n -1)
样本方差的分布：
根据方差定义：2
1n
S =n -1∑(X i -X ) 2，可得： i =1
χ2
=
1
σ2
∑n
(X i -X ) 2~χ2
(n -1) i =1
两个正态总体的方差之比
2
S 12/S 2
~F (n 1-1, n 2-1) 22
σ1/σ2
第六章
点估计：参数的估计值为一个常数 矩估计 最大似然估计 似然函数
离散型： n
L =∏p (x i ; θ)
i =1
n
连续型 L = ∏f (x i ; θ)
i =1
范文二：概率公式
第一章 随机事件和概率
第一节 基本概念
1、概念网络图
古典概型??
??几何概型?????加法B +C ???????
减法B -C ?基本事件ω???????????
随机试验E →?样本空间Ω?→P (A ) ?五大公式?条件概率B /C 和乘法公式BC ??
????随机事件A ??全概公式??????
??贝叶斯公式????
????
独立性??
??贝努利概型??
2、重要公式和结论
1
2
第二章 随机变量及其分布
第一节 基本概念
1、概念网络图
?基本事件ω??随机事件A ??P (A ) ???→??→?? ?随机变量X (ω) ??a
??0-1分布??????
二项分布???????离散型?泊松分布??
??超几何分布????????
分布函数：F (x ) =P (X ≤x ) → 八大分布???几何分布???→函数分布
????
?均匀分布???
?连续型?指数分布??
????
?正态分布???????
3
2、重要公式和结论
4
5
6
7
第三章 二维随机变量及其分布
第一节 基本概念
1、概念网络图
???均匀分布?
常见二维分布????
正态分布????
????离散型分布律???????联合分布?????连续型分布密度??????????????ξ(X , Y ) →??→?? ??Z =X +Y 边缘分布??????
条件分布???函数分布?Z =max, min(X 1, X 2, X n ) ??
?????χ2分布???独立性??????????三大统计分布?t 分布???
???F 分布???????????
8
2、重要公式和结论
9
10
11
12
13
14
第四章 随机变量的数字特征
第一节 基本概念
1、概念网络图
期望????
方差??
一维随机变量→??
样本矩?????切比雪夫不等式?
?期望??方差?????
二维随机变量→?协方差?
?相关系数?????协方差矩阵??
2、重要公式和结论
15
16
17
18
19
第五章 大数定律和中心极限定理
第一节 基本概念
1、概念网络图
?切比雪夫大数定律???
大数定律→?伯努利大数定律?
?辛钦大数定律???
?列维－林德伯格定理?
中心极限定理→??
?棣莫弗－拉普拉斯定理?
二项定理 泊松定理
2、重要公式和结论
20
21
第六章 数理统计的基本概念
第一节 基本概念
1、概念网络图
?总体???个体????
数理统计的基本概念 样本??→正态总体下的四大分布
?样本函数?????统计量??
2、重要公式和结论
22
23
第七章 参数估计
第一节 基本概念
1、概念网络图
??无偏性??
?矩估计?????
点估计→估计量的评选标准有效性???????极大似然估计???一致性??从样本推断总体???? ??????}区间估计{单正态总体的区间估计??
24
2、重要公式和结论
25
26
27
第八章 假设检验
第一节 基本概念
1、 概念网络图
?基本思想?
??
假设检验的基本概念?基本步骤?→单正态总体的假设检验
?两类错误???
28
2、重要公式和结论
单正态总体均值和方差的假设检验
29
30
范文三：概率公式
一．选择题（共14小题）
1．（2017?潮南区模拟）一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时是绿灯的概率是（ ）
A ． B ． C ． D ．
【分析】由一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒， ∴你抬头看信号灯时是绿灯的概率是：故选C ．
【点评】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
2．（2017?路南区三模）一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1、2、3、4、5、6六个数字，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字不小于3的概率是（ ）
A ． B ． C ． D ．
【分析】由一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1、2、3、4、5、6六个数字，即共有6种等可能的结果，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字不小于3的有4种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1、2、3、4、5、6六个数字，即共有6种等可能的结果，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字不小于3的有4种情况，
∴向上一面的数字不小于3的概率是：=．
故选C ．
【点评】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
=．
3．（2017?和平县校级一模）一个袋中装有2个红球，3个蓝球和5个白球，它们除颜色外完全相同，现在从中任意摸出一个球，则P （摸到红球）等于（ ）
A ． B ． C ． D ．
【分析】用红球的个数除以所有球的个数即可求得摸到红球的概率．
【解答】解：∵共2+3+5=10个球，有2个红球， ∴摸到红球的概率为故选C ．
【点评】考查了概率公式，如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）=．
4．（2017?高青县一模）在一个不透明的口袋中装有5张完全相同的卡片，卡片上面分别写有数字﹣2，﹣1，0，1，3，从中随机抽出一张卡片，卡片上面的数字是负数的概率为（ ）
A ． B ． C ． D ．
【分析】由在一个不透明的口袋中装有5张完全相同的卡片，卡片上面分别写有数字﹣2，﹣1，0，1，3，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵在一个不透明的口袋中装有5张完全相同的卡片，卡片上面分别写有数字﹣2，﹣1，0，1，3， ∴从中随机抽出一张卡片，卡片上面的数字是负数的概率为：．
故选C ．
【点评】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
5．（2017?临沂模拟）袋中装有大小相同的3个绿球、3个黑球和6个蓝球，闭上眼从袋中摸出一个球，则下列事件发生概率最小的是（ ）
A ．摸出的球颜色为绿色
C ．摸出的球颜色为白色
=， B ．摸出的球颜色为蓝色 D ．摸出的球颜色为黑色
【分析】由袋中装有大小相同的3个绿球、3个黑球和6个蓝球，利用概率公式即可求得：摸出的球颜色为绿色、蓝色、白色、黑色的概率，比较概率的大小，即可求得答案．
【解答】解：∵袋中装有大小相同的3个绿球、3个黑球和6个蓝球，
∴共有3+3+6=12种情况，
∴P （摸出的球颜色为绿色）==，P （摸出的球颜色为蓝色）==． =，P （摸出的球颜色为白色）=0，P （摸出的球颜色为黑色）=∴下列事件发生概率最小的是C ．
故选C ．
【点评】此题考查了概率公式的应用．此题比较简单，注意概率=所求情况数与总情况数之比．
6．（2017?启东市一模）抛掷一枚质地均匀的硬币，连续3次都是正面向上，则关于第4次抛掷结果，下面叙述正确的是（ ）
A ．P （正面向上）＞P （反面向上） B．P （正面向上）＜P （反面向上）
C ．P （正面向上）=P（反面向上） D ．无法确定
【分析】由抛掷一枚质地均匀的硬币一次，可能的结果有：正面向上，反面向上；直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵抛掷一枚质地均匀的硬币一次，可能的结果有：正面向上，反面向上；
∴P （正面向上）=P（反面向上）=．
故选C ．
【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
7．（2016?济宁）如图，在4×4正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任意选取一个白色的小正方形并涂黑，使黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是（ ）
A ． B ． C ． D ．
【分析】由在4×4正方形网格中，任选取一个白色的小正方形并涂黑，共有13种等可能的结果，使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的有5种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，白色的小正方形有13个，而能构成一个轴对称图形的有5个情况， ∴使图中黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是：
故选B ．
．
【点评】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．也考查了轴对称图形的定义．
8．（2017春?杜尔伯特县期末）从编号为1～10的10个完全相同的球中，任取一球，其号码能被3整除的概率是（ ）
A ． B ． C ． D ．
【分析】根据数的整除性得出连续自然数每10个有三个能整除3，即可得出卡片号能被3整除的概率．
【解答】解：∵10张已编号的球（编号为连续的自然数）有三个能整除3， ∴号码能被3整除的概率为
故选C ．
【点评】此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
．
9．（2016?葫芦岛）在一个不透明的布袋中装有若干个只有颜色不同的小球，如果袋中有红球5个，黄球4个，其余为白球，从袋子中随机摸出一个球，“摸出黄球”的概率为，则袋中白球的个数为（ ）
A ．2 B ．3 C ．4 D ．12
=，【分析】首先设袋中白球的个数为x 个，然后根据概率公式，可得：解此分式方程即可求得答案．
【解答】解：设袋中白球的个数为x 个， 根据题意得：解得：x=3．
经检验：x=3是原分式方程的解．
∴袋中白球的个数为3个．
故选B ． =，
【点评】此题考查了概率公式的应用．注意掌握方程思想的应用是解此题的关键．
10．（2016?宁德）已知袋中有若干个球，其中只有2个红球，它们除颜色外其它都相同．若随机从中摸出一个，摸到红球的概率是，则袋中球的总个数是（ ）
A ．2 B ．4 C ．6 D ．8
【分析】根据概率公式结合取出红球的概率即可求出袋中球的总个数．
【解答】解：袋中球的总个数是：2÷=8（个）．
故选D ．
【点评】本题考查了概率公式，根据概率公式算出球的总个数是解题的关键．
11．（2016?丹东模拟）袋中有3个红球，4个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋中摸出1个球，则摸出白球的概率是（ ）
A ． B ． C ． D ．
【分析】先求出白球与红球的总数，再利用概率公式求出摸出白球的概率．
【解答】解：∵袋中有3个红球，4个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，
∴红球和白球的总数为：3+4=7个，
∴随机地从袋中摸出1个球，则摸出白球的概率是：．
故选C ．
【点评】本题考查的是概率公式，熟记概率公式的计算方法是解答此题的关键，即P （A ）=
12．（2016?石景山区一模）脸谱是中国戏曲演员脸上的绘画，用于舞台演出时的化妆造型，助增所扮演人物的性格和特征．在下列八张脸谱图片中，随机抽取一张为的概率是（ ）
．
A ． B ． C ． D ．
【分析】由八张脸谱图片中，为
答案．
【解答】解：∵八张脸谱图片中，为的有3个， 的概率是：． 的有3个，直接利用概率公式求解即可求得∴在下列八张脸谱图片中，随机抽取一张为故选D ．
【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
13．（2016?定州市二模）某校九年级数学兴趣小组的同学调查了若干名家长对“初中学生带手机上学”现象的看法，统计整理并制作了如下的条形统计图与扇形统计图：依据图中信息，得出下列结论：
（1）接受这次调查的家长人数为200人；
（2）在扇形统计图中，“不赞同”的家长部分所对应的扇形圆心角大小为162°；
（3）表示“无所谓”的家长人数为40人；
（4）随机抽查一名接受调查的家长，恰好抽到“很赞同”的家长的概率是
其中正确的结论个数为（ ）
A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 ．
【分析】（1）由赞同的有50人，占25%，即可求得答案；
（2）首先求得“不赞同”的家长占的百分比，再利用百分比乘以360°，即可求得答案；
（3）由表示“无所谓”的家长占20%，即可求得答案；
（4）首先求得“很赞同”的家长的人数，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：（1）∵赞同的有50人，占25%，
∴接受这次调查的家长人数为：50÷25%=200（人），故正确；
（2）“不赞同”
的家长部分所对应的扇形圆心角大小为：
确；
×360°=162°；故正
（3）表示“无所谓”的家长人数为：200×20%=40（人）；故正确；
（4）∵“很赞同”的家长的有：200﹣50﹣40﹣90=20（人），
∴随机抽查一名接受调查的家长，恰好抽到“很赞同”的家长的
概率是：=．故正确．
故选A ．
【点评】此题考查了概率公式的应用以及条形统计图与扇形统计图的知识．注意抓准条形统计图与扇形统计图的对应关系是关键．
14．（2016秋?金乡县期末）已知粉笔盒里有4支红色粉笔和n 支白色粉笔，每支粉笔除颜色外均相同，现从中任取一支粉笔，取出红色粉笔的概率是，则n 的值是（ ）
A ．4 B ．6 C ．8 D ．10
【分析】根据红色粉笔的支数除以粉笔的总数即为取出红色粉笔的概率即可算出n 的值．
【解答】解：由题意得：解得：n=6，
故选B ．
【点评】考查概率公式的应用；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
二．填空题（共6小题）
15．（2017?贵港一模）在一个不透明的布袋中装有4个白球和n 个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率是，则n= ．
【分析】根据黄球的概率公式=列出方程求解即可． =，
【解答】解：不透明的布袋中的球除颜色不同外，其余均相同，共有n +4个球，其中黄球n 个，
根据古典型概率公式知：P （黄球）=解得n=16．
故答案为：16．
【点评】此题主要考查了概率公式的应用，一般方法为：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概
=．
率P （A ）=．
16．（2017?哈尔滨模拟）在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则黄球的个数为 4 ．
【分析】根据白球个数除以小球总数进而得出得到白球的概率，进而得出答案．
【解答】解：∵在一个不透明的盒子中装有8个白球，从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，
设黄球有x 个，根据题意得出： ∴=，
解得：x=4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了概率公式的应用，熟练利用概率公式是解题关键．
17．（2017?北京模拟）在10个外观相同的产品中，有2个不合格产品，现从中任意抽取1个进行检测，抽到合格产品的概率是
．
【分析】由在10个外观相同的产品中，有2个不合格产品，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵在10个外观相同的产品中，有2个不合格产品，
∴现从中任意抽取1个进行检测，抽到合格产品的概率是：故答案为：．
【点评】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
18．（2017?广东模拟）一个不透明的盒子中装有2个白球，5个红球和3个黄球，这些球除颜色外，没有任何其它区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的概率为
=． ．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：根据题意可得：一个不透明的盒子中装有2个白球，5个红球和3个黄球，共10个， 摸到红球的概率为：故答案为：．
【点评】此题考查了概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）=．
19．（2017春?泗阳县期末）一个可以自由转动的转盘被等分成6个扇形区域，分别写上数字1、2、3、4、5、6，转动转盘，转盘停止后（指针指向分界线，重新转过），指针指向偶数的概率是
． =． 【分析】先求出奇数区在整个转盘中所占的分数，再根据概率的几何意义便可解答．
【解答】解：由题可得，P （指针指向偶数区域）==， 故答案为：．
【点评】此题考查了概率的求法，如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）=．
20．（2016?石家庄一模）小宇手中有15张牌，其中10张牌的背面标记“〇”，5张牌的背面标记“△”，如图是从小宇手中取出的3张牌．若从手中剩余的牌中随机抽出一张牌，每张牌被抽出的机会相等，则抽出标记“○”的牌的概率是
．
【分析】由小宇手中有15张牌，其中10张牌的背面标记“〇”，5张牌的背面标记“△”，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵小宇手中有15张牌，其中10张牌的背面标记“〇”，5张牌的背面标记“△”，
∴从手中剩余的牌中随机抽出一张牌，抽出标记“○”的牌的概率是：故答案为：．
【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
三．解答题（共10小题）
21．（2017?连云港四模）已知一个口袋装有7个只有颜色不同、其它都相同的球，其中3个白球、4个黑球．
（1）求从中随机取出一个黑球的概率；
（2）若往口袋中再放入x 个黑球，且从口袋中随机取出一个白球的概率是，求x 的值．
【分析】（1）直接根据概率公式计算取出一个黑球的概率；
（2）根据概率公式得到，然后解方程．
= =． 【解答】解：（1）从中随机取出一个黑球的概率=（2）由题意得：
解得x=5． ，
【点评】本题考查了概率公式：随机事件A 的概率P （A ）=事件A 可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．P （必然事件）=1；P （不可能事件）=0．
22．（2016春?镇江校级期中）如图是一个转盘．转盘分成8个相同的图形，颜色分为红、绿、黄三种．指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个图形的交线时，当作指向右边的图形）．求下列事件的概率：
①指针指向绿色；
②指针指向红色或黄色；
③指针不指向红色．
【分析】由转盘分成8个相同的图形，即共有8种等可能的结果，①绿色的有3部分，②红色或黄色的共有5部分，③不指向红色的，即绿色或黄色的共有6部分，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：转盘分成8个相同的图形，即共有8种等可能的结果，
①∵绿色的有3部分， ∴指针指向绿色的概率为：；
②∵红色或黄色的共有5部分， ∴指针指向红色或黄色的概率为：；
③∵不指向红色的，即绿色或黄色的共有6部分， ∴指针不指向红色的概率为：=．
【点评】此题考查了概率公式的应用．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
23．（2013秋?岑溪市期末）从3名八年级男生和n 名九年级男生中任选1名参加市第十二届运动会，其中选出学生为九年级男生的概率为
少？
【分析】根据根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率即可求出答案．
【解答】解：由题意得：解得：n=10，
答：n 的值是10．
【点评】本题考查了概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可
，则n 的值是多=，
能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）=，难度适中．
24．（2013?余姚市校级自主招生）一个不透明的袋中装有5个黄球，13个黑球和22个红球，它们除颜色外都相同．
（1）求从袋中摸出一个球是黄球的概率；
（2）现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后使从袋中摸出一个是黄球的概率不小于，问至少取出了多少个黑球？
【分析】（1）根据概率公式，求摸到黄球的概率，即用黄球的个数除以小球总个数即可得出得到黄球的概率；
（2）假设取走了x 个黑球，则放入x 个黄球，进而利用概率公式得出不等式，求出即可．
【解答】解：（1）∵一个不透明的袋中装有5个黄球，13个黑球和22个红球， ∴摸出一个球摸是黄球的概率为： =；
（2）设取走x 个黑球，则放入x 个黄球， 由题意，得解得：x ≥
12，
∵x 为整数，
∴x 的最小正整数解是x=13．
答：至少取走了13个黑球．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）=．
25．（2012春?宁化县期末）“第25届世界客属恳亲大会”将在我市举行，某校承当了大会鲜花队的组建工作．小明所在年级有12个班，每班40名同学．学校欲从该年级随机抽出一个班组建鲜花队，并在该班中再随机抽出1名同学当鲜花队
≥，
的引导员．问：
（1）小明被抽到进入鲜花队的概率是多少？
（2）小明被抽中成为引导员的概率是多少？
【分析】（1）根据共12个班，抽一个班，则小明班抽到的概率为
（2
）抽引导员分两部，抽到某班的概率为
明抽中引导员的概率是．
． ； ，故小，再抽到某人的概率为【解答】解：（1）小明当鲜花队的队员的概率是
（2）小明抽中引导员的概率是：=．
【点评】此题主要考查了概率公式的应用，随机事件概率大小的求法，找准两点： ①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．注意本题中每一问的问题是什么，不要弄混了．
26．（2011?路南区一模）已知一箱纸中装8个白球，12个红球，它们除颜色外其它都相同．
（1）求从箱中随机取出一个白球的概率是多少？
（2）现从箱中取走若干个白球，并放入相同数量的红球．搅拌均匀后，要使从箱中摸出一个球是红球的概率是，问取走了多少个白球？
（3）若往原纸箱中，再放入x 个白球和y 个红球，从箱中随机取出一个白球的概率是，求y 与x 的函数关系式．
【分析】（1）根据概率公式直接解答即可；根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．
（2）设从箱中取走x 个白球，根据概率公式列方程即可求出红球个数．
（3）根据白球的概率公式得到相应的等式，整理即可．
【解答】解：根据题意分析可得：纸箱中装有8个白球，12个红球，
根据概率的求法有：
（1）取出一个白球的概率 P==；
（2）球的总数不变，改变后，摸出一个球是红球的概率是
个，
红球增加的数目及取走白球的数目为16﹣12=4．
，故红球有20×=16
（3）∵取出一个白球的概率 P=， ∴=．
∴20+x +y=24+3x ，即y=2x+4，
∴y 与x 的函数解析式是y=2x+4．
【点评】本题通过摸球，考查概率的求法与运用．一般方法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）=．
27．（2011秋?江津区校级期末）某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并规定顾客消费100元以上，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、黄或绿色区域，顾客就可以分别获得100元，50元、20元的购物券（转盘被等分成20个扇形）．
（1）顾客张吉祥消费120元，他获得购物券的概率是多少？
（2）他得到100元，50元、20元购物券的概率分别是多少？
【分析】（1）找到红色、黄色或绿色区域的份数之和占总份数的多少即为获得购物券的概率，
（2）分别找到红色、黄色或绿色区域的份数占总份数的多少即为得到100元，
50元、20元购物券的概率．
【解答】解：（1）P （获得购物券）=（2）P （获得100元购物券）=
P （获得50元购物券）=P （获得20元购物券）==； ； =； =．
【点评】此题考查了概率公式，本题的易错点在于准确无误的找到红色、黄色或绿色区域的份数和总份数．
28．（2011春?万州区期中）在重庆百货超市的柜台上混合摆放着2个白色、3个黄色、6个红色文具盒，小丽对每种颜色都很喜欢她一时不能决定要哪种颜色的文具盒，便闭上眼睛随便拿了一个，她拿哪种颜色的文具盒的概率最大？这个概率是多少？
【分析】根据概率公式，分别计算拿到三种颜色的文具盒的概率后比较即可得出答案．
【解答】解：拿到白色书包的概率为
拿到黄色书包的概率为
拿到红色书包的概率为
答：拿到红色书包的概率大，为， ． ． ， 【点评】本题主要考查了概率的计算公式，如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）=．
29．（2011春?宜昌校级期中）电脑操作系统Windows 下有一个有趣的游戏“扫雷”，下图是扫雷游戏的一部分：
说明：雷区方格中数字2表示在以该数字为中心的8个方格中有2个地雷，方格B2，C2中均标有数字2，小旗表示D1方格已被探明有地雷，现在还剩下A1、B1、C1三个方格未被探明，其它地方为安全区（包括有数字的方格）．
（1）现在还剩下几个地雷？
（2）A1、B1、C1三个方格中有地雷的概率分别是多大？
【分析】（1）由于B 、C 下面标2，说明它们为中心的8个方格中有2个地雷，而C 的右边已经有一个，所以A 的周围还有一个，而B 的下面标2，所以还有两个地雷，
（2）由于A1、B1、C1三个方格中还有两个地雷，并且B1、C1下面方格是数字2，所以C1一定是地雷，B1、C1都有可能，一次即可确定A1、B1、C1三个方格中有地雷的概率．
【解答】解：（1）∵于B 、C 下面标2，说明它们为中心的8个方格中有2个地雷，而C 的右边已经有一个，
∴A 就是一个地雷，还有一个可能在B 、C 的位置，
∴现在还剩下2个地雷，
（2）根据（1）得：
P （A1有地雷）=1，
P （B1有地雷）
=，
P （C1有地雷）=．
【点评】本题主要考查了概率公式在实际问题中的运用，解题的关键是正确理解题意，然后根据题目隐含的数量关系解决问题，难度适中．
30．（2009春?南岸区期末）某初级中学准备组织学生参加A 、B 、C 三类课外活动，规定每班2人参加A 类课外活动，3人参加B 类课外活动，5人参加C 类课外活动，每人只能参加一类课外活动，各班采取抽签的方式产生上报名单．假设该校每班学生人数均为40人，请给出下列问题的答案（给出结果即可）：
（1）该校某个学生恰能参加C 类课外活动的概率是多少？
（2）该校某个学生恰能参加其中一类课外活动的概率是多少？
【分析】（1）根据概率的求法，找出符合条件的情况数目，除以班级人数即可；
（2）根据参加课外活动的总人数，再除以班级的总人数，就是其发生的概率．
【解答】（1）解：∵根据题意分析可得：学生人数为40人，且5人参加C 类课外活动，
故其概率为
=；
（2）解：根据题意分析可得：学生人数为40人，且有2+3+5=10人参加活动， 故其概率为
．
【点评】此题考查了概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）=．
范文四：全概率公式和逆概率公式
新乡医学院教案首页
单位:计算机教研室
课程名称 医药数理统计方法
1.4 全概率公式和逆概率公式 授课题目
05级药学专业 授课对象
全概率公式 20分钟
逆概率公式,Bayes公式, 30分钟 时间分配
例题应用 30分钟
理解全概率公式与逆概率公式的联系 课时目标 熟练掌握全概率公式与逆概率公式并能应用
全概率公式和逆概率公式应用授课重点
逆概率公式 授课难点
小班理论课 授课形式
启发讲解 授课方法
医药数理统计方法 刘定远主编 人民卫生出版社
概率论与数理统计 刘卫江主编 清华大学出版社 参考文献 北京交通大学出版社
高等数学(第五版)同济大学编 高等教育出版社
逆概率公式的实际意义是什么? 思考题
教研室主任,签字 , 课程负责人,签字,
教研室主任
及课程负责
人签字
年 月 日 年 月 日
基 本 内 容 备 注
1.4 全概率公式和逆概率公式 一、全概率公式
例1 现有10个阄，其中两阄为“有”，其余均为“无”。 试判断第一个抓阄者是否比第二个更合算。
解:设B={第一个抓得“有”}，A={第二个抓得“有”}，则
PAB(|)2/9.,AABAB,，,P(B)=0.2,P(A|B)=1/9，而
PAPABABPABPAB()()()(),，,，于是
,，PBPABPBPAB()(|)()(|)
12 ,，，，,0.20.80.299
故先后抓阄者获得“有”的机会是相等的。
定理1 如果事件A能且只能与互不相容事件B,B,?,B之一同12n
n
PAPBPAB()()(|),时发生，则 ,iii,1
CBBB,，，，,证 令则 BBBCU，，，，,12n12n
AAUABBBCABABABAC,,，，，，,，，，，()1212nn
ACV,,因为A能且只能与B,B,?,B之一同时发生，故 12n
n
AAB,,即且AB,AB,?,AB互不相容. ,i12ni,1
于是由加法公式和乘法公式可得
nnn
PAPABPABPBPAB()()()()(|).,,, ,,,iiii,,,111iii
n
PAPBPAB()()(|)., ,ii,1i
在实际问题中，当计算P(A)比较困难，而计算P(B)和P(A|B)比较全概率公式 ii容易时，可用全概率公式求P(A).
1
基 本 内 容 备 注
例2 某药厂用从甲、乙、丙三地收购而来的药材加工生产出一种中成 药，三地的供货量分别占40%，35%和25%，且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为0.65，0.70和0.85，求从该厂产品中任意取出一件成品是优等品的概率。
解:以B分别表示抽到的产品的原材来自甲、乙、丙三地，A={抽到优i
P(B)=0.4,PBPB()0.35,()0.25,,,PAB(|)0.65,,等品}，则有: 1231PABPAB(|)0.7,(|)0.85,,所求概率为 PA().23
由全概率公式得:
PAPBPABPBPABPBPAB()()(|)()(|)()(|),，， 112233
,，，，，，,0.650.40.70.350.850.250.7175.
问:如果一件产品是优质品，它的材料来自甲地的概率有多大呢,
PBAPBPAB()()(|)0.26111PBA(|)0.3624,,,, 1PAPA()()0.7175
二、逆概率公式(Bayes公式)
定理2 如果事件A能且只能与互不相容事件B,B,?,B之一同时12n
PBPAB()(|)jj发生，则 ,,PBAjn(|) (1,2,,)jn
PBPAB()(|),ii,1i
证 因为对任一个j(j=1,2,?,n)有
PABPBPAB()()(|)jjjPBA(|),, jPAPA()()
n
PAPBPAB()()(|),而定理2与定理1的条件相同，故 ,iii,1
先验概率 所以有
PBPAB()(|)jj后验概率 ,PBA(|)jn
PBPAB()(|),ii,1i
逆概率公式 (Bayes公式)
2
基 本 内 容 备 注
在实际问题中计算P(B|A)时，往往先由已知数据得到P(B)和P(A|B). jii
例3 用某种检验方法检查癌症，根据临床纪录，患者施行此项检查，结果是阳性的概率为0.95;无癌症者施行此项检查，结果是阴性的概率为0.90。如果根据以往的统计，某地区癌症的发病率为0.0005。试求用此法检查结果为阳性者而实患癌症的概率。
解:设A={检查结果为阳性}，B={癌症患者}。据题意有PABPAB(|)0.95,(|)0.90,,,所求概率为 PB()0.0005,,PBA(|).PABPB(|)0.10,()0.9995.,,
由Bayes公式得
PBPAB()(|) PBA(|), PBPABPBPAB()(|)()(|)，
0.00050.95， ,,,0.00470.47%0.00050.950.99950.10，，，
例4 在某一季节，一般人群中，疾病D的发病率为2%，病人中40%1
表现出症状S;疾病D的发病率为5%，其中18%表现出症状S;疾病D的发23病率为0.5%，症状S在病人中占60%;问任意一人有症状S的概率有多大,病人有症状S时患疾病D的概率有多大, 1
PDPSD()0.02,(|)0.4,,,PD()0.05,,解 由已知知: 112
PSD(|)0.18,,PDPSD()0.005,(|)0.6,, 233
3
PSPDPSD()()(|),由全概率公式得 ,iii,1
,，，，，，,0.020.40.050.180.0050.60.02
由逆概率公式得
PDPSD()(|)0.020.4，11PDS(|)0.4,,, 1PS()0.02
例5 3个射手向一敌机射击，射中的概率分别是0.4，0.6和0.7。如果一人射中，敌机被击落的概率为0.2;二人射中，被击落的概率为0.6;三人射中则必被击落。求敌机被击落的概率，已知敌机被击落，求该机是三人
3
基 本 内 容 备 注
击中的概率。
解 设A={敌机被击落}，B={i个射手击中}，i=1,2,3. 则B,B,Bi123
PABPABPAB(|)0.2,(|)0.6,(|)1,,,互不相容。由题意知: 123
由于3个射手射击是互相独立的，所以
PB()0.40.40.30.60.60.30.60.40.70.324,，，，，，，，，, 1
PB()0.40.60.30.40.70.40.60.70.60.436,，，，，，，，，, 2
PB()0.40.60.70.168,，，, 3
因为事件A能且只能与互不相容事件B,B,B之一同时发生。于是 123
(1)由全概率公式得
3
PAPBPAB()()(|)0.3240.20.4360.60.16810.4944,,，，，，，, ,ii,i1
(2)由Bayes公式得
PBPAB()(|)0.16833,,,PBA(|)0.34。 330.4944PBPAB()(|),ii,i1
本次课小结,
n
P(B),P(A)P(B|A)A(i,1,2,...,n)全概率公式 中要求是互,iiii,1
P(A)P(B|A)iiP(A|B),不相容的完备群。逆概率公式是求后验概率in
P(A)P(B|A),ii,1i
而得到的。它与全概率公式中求先验概率问题恰是对立的，但彼此又有公式相联系。
作业,P17 T23 T25 T27 T28
4
5
范文五：全概率公式和逆概率公式
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基 本 内 容 备 注
一、全概率公式
例1 现有10个阄，其中两阄为“有”，其余均为“无”。 试判断第一个抓阄者是否比第二个更合算。
解：设B={第一个抓得“有”}，A={第二个抓得“有”}，则P(B)=0.2,P(A|B)=1/9，PAB(|)2/9.,AABAB,，,而 于是PAPABABPABPAB()()()(),，,，
,，PBPABPBPAB()(|)()(|)
12 ,，，，,0.20.80.299
故先后抓阄者获得“有”的机会是相等的。
定理1 如果事件A能且只能与互不相容事件B,B,?,B之一同12n
n时发生，则PAPBPAB()()(|), ii,i,1
证 令CBBB,，，，,则 BBBCU，，，，,12n12n
AAUABBBCABABABAC,,，，，，,，，，，()1212nn
因为A能且只能与B,B,?,B之一同时发生，故ACV,, 12n
n
即AAB,,且AB,AB,?,AB互不相容. i,12ni,1
于是由加法公式和乘法公式可得
nnn
PAPABPABPBPAB()()()()(|).,,, iiii,,,iii,,,111
n
PAPBPAB()()(|).,全概率公式 ii,i,1
在实际问题中，当计算P(A)比较困难，而计算P(B)和P(A|B)比较ii容易时，可用全概率公式求P(A).
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基 本 内 容 备 注
例2 某药厂用从甲、乙、丙三地收购而来的药材加工生产出一种中成
药，三地的供货量分别占40%，35%和25%，且用这三地的药材能生产出优等
品的概率分别为0.65，0.70和0.85，求从该厂产品中任意取出一件成品是
优等品的概率。
解：以B分别表示抽到的产品的原材来自甲、乙、丙三地，A={抽到优i
等品}，则有：P(B)=0.4,PBPB()0.35,()0.25,,,PAB(|)0.65,, 1231PABPAB(|)0.7,(|)0.85,,所求概率为 PA().23
由全概率公式得：
PAPBPABPBPABPBPAB()()(|)()(|)()(|),，， 112233
,，，，，，,0.650.40.70.350.850.250.7175.
问：如果一件产品是优质品，它的材料来自甲地的概率有多大呢？
PBAPBPAB()()(|)0.26111PBA(|)0.3624,,,, 1PAPA()()0.7175
二、逆概率公式（Bayes公式）
定理2 如果事件A能且只能与互不相容事件B,B,?,B之一同时12n
PBPAB()(|)jj发生，则PBAjn(|) (1,2,,) ,,jn
PBPAB()(|),iii,1
证 因为对任一个j(j=1,2,?,n)有
PABPBPAB()()(|)jjjPBA(|),, jPAPA()()
n而定理2与定理1的条件相同，故PAPBPAB()()(|), ii,i,1
所以有
PBPAB()(|)jj PBA(|), jn
PBPAB()(|),iii,1
Bayes
1
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基 本 内 容 备 注
在实际问题中计算P(B|A)时，往往先由已知数据得到P(B)和P(A|B). jii
例3 用某种检验方法检查癌症，根据临床纪录，患者施行此项检查，
结果是阳性的概率为0.95；无癌症者施行此项检查，结果是阴性的概率为
0.90。如果根据以往的统计，某地区癌症的发病率为0.0005。试求用此法检查结果为阳性者而实患癌症的概率。
解：设A={检查结果为阳性}，B={癌症患者}。据题意有PABPAB(|)0.95,(|)0.90,,,所求概率为 PB()0.0005,,PBA(|).PABPB(|)0.10,()0.9995.,,
由Bayes公式得
PBPAB()(|) PBA(|), PBPABPBPAB()(|)()(|)，
0.00050.95， ,,,0.00470.47%0.00050.950.99950.10，，，
例4 在某一季节，一般人群中，疾病D的发病率为2%，病人中40%1
表现出症状S；疾病D的发病率为5%，其中18%表现出症状S；疾病D的发23病率为0.5%，症状S在病人中占60%；问任意一人有症状S的概率有多大？病人有症状S时患疾病D的概率有多大？ 1
解 由已知知：PDPSD()0.02,(|)0.4,,,PD()0.05,, 112
PSD(|)0.18,,PDPSD()0.005,(|)0.6,, 233
3
由全概率公式得 PSPDPSD()()(|), ,ii1i,
,，，，，，,0.020.40.050.180.0050.60.02
由逆概率公式得
PDPSD()(|)0.020.4，11PDS(|)0.4,,, 1PS()0.02
例5 3个射手向一敌机射击，射中的概率分别是0.4，0.6和0.7。如果一人射中，敌机被击落的概率为0.2；二人射中，被击落的概率为0.6；三人射中则必被击落。求敌机被击落的概率，已知敌机被击落，求该机是三人
2
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基 本 内 容 备 注
击中的概率。
解 设A={敌机被击落}，B={i个射手击中}，i=1,2,3. 则B,B,Bi123
互不相容。由题意知：PABPABPAB(|)0.2,(|)0.6,(|)1,,, 123
由于3个射手射击是互相独立的，所以
PB()0.40.40.30.60.60.30.60.40.70.324,，，，，，，，，, 1
PB()0.40.60.30.40.70.40.60.70.60.436,，，，，，，，，, 2
PB()0.40.60.70.168,，，, 3
因为事件A能且只能与互不相容事件B,B,B之一同时发生。于是 123
（1）由全概率公式得
3
PAPBPAB()()(|)0.3240.20.4360.60.16810.4944,,，，，，，, ,ii1i,
（2）由Bayes公式得
PBPAB()(|)0.16833,,,PBA(|)0.34。 330.4944PBPAB()(|),ii1i,
本次课小结：
nP(B),P(A)P(B|A)A(i,1,2,...,n)全概率公式 中要求是互,iiii,1
P(A)P(B|A)ii不相容的完备群。逆概率公式,是求后验概率P(A|B)in
P(A)P(B|A)ii,i,1
而得到的。它与全概率公式中求先验概率问题恰是对立的，但彼此又有公式
相联系。
3
