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范文一：函数交点问题

未名教育年级学科教案

学生姓名: 教师姓名: 授课日期:

225(已知:二次函数yaxbx,，,2的图象经过点(1，0)，一次函数图象经过原点和点(1，,b)，其

ab,,0中且、为实数( ab

(1)求一次函数的表达式(用含b的式子表示);

2)试说明:这两个函数的图象交于不同的两点; (

(3)设(2)中的两个交点的横坐标分别为x、x，求| x,x|的范围( 1212

25(解:(1)?一次函数过原点?设一次函数的解析式为y=kx ?一次函数过(1，,b) ?y=,bx ……………………………3分

2(2)?y=ax+bx,2过(1，0)即a+b=2 …………………………4分

ybx,,,由得 ……………………………………5分 ,2ybxbx,,，,(2)2,

222axax，,,,2(2)204(2)84(1)120,，,,，,aaa? ??, ?方程?有两个不相等的实数根?方程组有两组不同的解

?两函数有两个不同的交点( ………………………………………6分 (3)?两交点的横坐标x、x分别是方程?的解 12

,22(2)24aa,,? xx,xx，,,1212aaa

248164aa,，22,,，(1)3xxxxxx,,，,()4?, 1212122aa

或由求根公式得出 ………………………………………………………8分 ?a>b>0，a+b=2 ?2>a>1

42令函数 ?在1

42? ……………………………………………9分 4(1)312,,，,a

422(1)323,,，,? ?223,,,xx ………………10分 12a

12yyxbxc,，，1、如图9, 已知抛物线与x轴交于A (,4，0) 和B(1，0)两点，与轴交于C点( 2

(1)求此抛物线的解析式;

(2)设E是线段AB上的动点，作EF//AC交BC于F，连接CE，当?CEF的面积是?BEF面积的2

倍时，求E点的坐标;

y(3)若P为抛物线上A、C两点间的一个动点，过P作轴的平行线，交AC于Q，当P点运动到什么

位置时，线段PQ的值最大，并求此时P点的坐标(

A B x O

图9

12【答案】解:(1)由二次函数与轴交于、两点可得: yxbxc,，，xB(1,0)A(4,0),2

1,23(4)40,,，,bc，,,b,，,,2 解得: 2,,12,,c,,2(,，，,10bc(,,,2

132 故所求二次函数的解析式为( yxx,，,222

BF1BF1,,(2)?S=2 S, ? ,.??CEFBEFCF2BC3

，,，，,，B,EFBACBFEBCA ?EF//AC, ?,

??BEF,?BAC, BEBF152,BE,, ?得故E点的坐标为(,0). ,,,33BABC3

yCCAC(3)解法一:由抛物线与轴的交点为，则点的坐标为(0，,2)(若设直线的解析式为，ykxb,，

1,,,，20,bk,,,,1,ACyx,,,2则有解得: 故直线的解析式为( 2,,04,,，kb(2,,b,,2(,

13,,2PPyAC若设点的坐标为，又点是过点所作轴的平行线与直线的交点，则点QQaaa,2，,,,22,,

1aa,2),,的坐标为((则有: 2

13111222 PQaaa,,，,,,,[(2)](2),,,aa2,,，，a22 ，，22222

Pa,,2即当时，线段取大值，此时点的坐标为(,2，,3) PQ

DPDAB,APC解法二:延长交x轴于点，则(要使线段最长，则只须?的面积取大值PQPQ

Px,y)时即可. 设点坐标为(，则有: 00

111SSS,，,SADPDPDOCODOAOC,，，,,,() , APCADPACO梯形DPCO222

111 , ,,，,，,,,，，xyyyx2242，，，，00000222

13,,2 ,, ,,,24yx,，,,,224xxx00000,,22,,

222x，，24, ,, ,,xx4，，000

P即时，?APC的面积取大值，此时线段最长，则点坐标为(,2，,3) x,,2PQ0

2y,(x，m)，k3、图9是二次函数的图象，其顶点坐标为M(1,-4). )求出图象与轴的交点A,B的坐标; (1x

5(2)在二次函数的图象上是否存在点P，使,若存在，求出P点的坐标;若不存在，请说S,S,PAB,MAB4

明理由;

)将二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，(3xx

请你结合这个新的图象回答:当直线与此图象有两个公共点时，的取值范围. y,x，b(b,1)b

图9

2y,(x，m)，k【答案】解;(1) 因为M(1,-4) 是二次函数的顶点坐标，

22y,(x,1),4,x,2x,3所以

2x,2x,3,0,x,,1,x,3令解之得. 12

?A，B两点的坐标分别为A(-1，0)，B(3,0)

5(2) 在二次函数的图象上存在点P，使 S,S,PAB,MAB4

11S,AB，y,2yS,AB，,4,8设则，又, p(x,y),,PAB,MAB22

5? 2y,，8,即y,,5.4

?二次函数的最小值为-4，?y,5.

x,,2,或x,4当y,5时，.

图1 故P点坐标为(-2，5)或(4，5)……………7分

(3)如图1，当直线经过A点时，可得……………8分 y,x，b(b,1)b,1.

当直线经过B点时，可得 y,x，b(b,1)b,,3.

,3,b,1由图可知符合题意的的取值范围为 b

24(如图，在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO，其顶点为A(0，1)、B(,33，1)、C(,33，

430)、O(0，0)(将此矩形沿着过E(,3，1)、F(,，0)的直线EF向右下方翻折，B、C3

C′( 的对应点分别为B′、

(1)求折痕所在直线EF的解析式;

(2)一抛物线经过B、E、B′三点，求此二次函数解析式;

(3)能否在直线EF上求一点P，使得?PBC周长最小,如能，求出点P的坐标;若不能，说明理由(

24【分析】(1)设EF的解析式为y=kx+b,把E、F的坐标代入即可求出(2)将翻折的图形画出，

3333BE=3-=2;B′E= BE=2,再根据勾股定理求出AB′=3,从而求出B′的坐标为(0，-2)，根据B、E、B′的坐标即可求出二次函数解析式。(3)根据对称性，BB′关于直线EF对称，连结B′C,交直线EF于点P,点P即为所求。点P的坐标的求法是先求B′C的解析式，将它和EF的解析式组成方程组，其解就是点P的坐标。

43,3【答案】解:(1)设EF的解析式为y=kx+b,把E(,，1)、F(,0)的坐标代入 3

331=,k+b 解得:k=

43,0=k+b b=4 3

3所以，直线EF的解析式为y=x+4

(2)设矩形沿直线EF向右下方翻折，B、C的对应点分别为B′、C′

3333?BE=3-=2;?B′E= BE=2

在Rt?AE B′中，根据勾股定理，求得: A B′,3，?B′的坐标为(0，-2)

2设二次函数的解析式为:y=ax+bx+c

3把点B(,33，1)、E(,，1)、B′(0，-2)代入

1-2=c a= ,3

433a,b+c=1 解得: b= ,33

327a,3b+c=1 c=,2

142?二次函数的解析式为y=xx,2 ,,333

3)能，可以在直线EF上找到点P,连接C,交直线EF于点P，连接BP. (

由于B′P=BP,此时，点P与C、B′在一条直线上，所以，BP+PC = B′P+PC的和最小，由于BC

为定长，所以满足?PBC周长最小。

练习:

2213((福建省漳州市初中毕业班质量检查)如图1，已知:抛物线yax ，bx,3与x轴交于A(,1，,0)、B两点，与y轴交于点C，顶点为点D，对称轴x,1与x轴交于点E( (1)求抛物线的函数关系式;

(2)在对称轴上是否存在点P，使得以点A、B、C、P为顶点的四边形是梯形,若存在，求出点P的

坐标;若不存在，请说明理由;

(3)在对称轴上找点Q，使点Q到A、C两点的距离之和最小，并求出Q点坐标(

y y y y

A E B A E B A E B A E B ,1 1 ,1 1 ,1 1 ,1 1 x x x x O O O O

C C C C

D D D D

图1 图2(备用) 图3(备用) 图4(备用)

2217((福建省厦门市)已知二次函数yx ,x，c( ,

2(1)若点A(,1，n)、B(2，2n,1)在二次函数yx ,x，c的图象上，求此二次函数的最小值; ,

2(2)若点D(x，y)、E(x，y)、P(m，m)(m,0)在抛物线yx ,x，c上，且D、E两点关于坐标,1122

23原点成中心对称，连接OP，当?PO?，2时，试判断直线DE与抛物线yx ,x，c，222, 8

的交点个数，并说明理由(

227((福建省三明市初中毕业班质量检查)如图，平面直角坐标系中有一矩形纸片OABC，O为原点，点A、C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为(，1)，在BC边上选取适当的点D，将?OCD沿OD3

翻折，点C落在点E处，得到?OED(

(1)若点E在一次函数y2x,1的图象上(如图1)，求点D、点E的坐标; ,

2(2)若点E在抛物线yax 的图象上，且?EAB是等腰三角形，求该抛物线的解析式; ,

(3)当线段OD与直线EA垂直时，在直线EA上是否存在点P，使得PB，PD最小,若存在，求出这

个最小值;若不存在，请说明理由(

y y

D D C C B B

EE D D

O A O A x x (备用图)

范文二：二次函数(交点问题)

二次函数与一元二次方程的综合题

交点问题

1. 已知关于x 的一元二次方程2x 2＋4x ＋k －1＝0有实数根，k 为正整数． (1)求k 的值；

(2)当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数y ＝2x 2＋4x ＋k －1的图象向下平移8个单位长度，求平移后的图象的解析式；

(3)在(2)的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线

y =

x +b (b ＜k ) 与此图象有两个公共点时，b 的取值范围．

2. 已知二次函数y =(t +1) x 2+2(t +2) x + 在x =0和x =2时的函数值相等。

（1）求二次函数的解析式；

（2）若一次函数y =kx +6的图象与二次函数的图象都经过点A (-3，m ) ，求m 和k

的值；

（3）设二次函数的图象与x 轴交于点B ，C （点B 在点C 的左侧），将二次函数的图

象在点B ，C 间的部分（含点B 和点C ）向左平移n (n >0) 个单位后得到的图象记为G ，同时将（2）中得到的直线y =kx +6向上平移n 个单位。请结合图象回答：当平移后的直线与图象G 有公共点时，n 的取值范围。

3．已知抛物线 y =(m -1) x 2+(m -2) x -1与x 轴交于A 、B 两点．（1）求m 的取值范围；

（2）若m >1, 且点A 在点B 的左侧，OA : OB =1 : 3, 试确定抛物线的解析式；（3）设（2）中抛物线与y 轴的交点为C ，过点C 作直线l //x 轴, 将抛物线在y 轴左

侧的部分沿直线 l翻折, 抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象. 请你结合新图象回答: 当直线y =求b 的取值范围.

x +b 与新图象只有一个公共点P (x 0, y 0) 且 y 0≤7时,

4. 已知关于x 的方程(1-m ) x 2+(4-m ) x +3=0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；

（2）若正整数m 满足8-2m >2，设二次函数y =(1-m ) x 2+(4-m ) x +3的图象与x 轴交于A 、B 两点，将此图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线y =kx +3与此图象恰好有三个公共点时，求出k 的值（只需要求出两个满足题意的k 值即可）．

5. 已知二次函数y =x +2

x +c ．

（1）当c ＝－3时，求出该二次函数的图象与x 轴的交点坐标；

（2）若－2＜x ＜1时，该二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，求c 的取值范围．

6.已知关于x 的一元二次方程x 2-(4m +1) x +3m 2+m =0. （1）求证：无论m 取何实数时，原方程总有两个实数根；

（2）若原方程的两个实数根一个大于2，另一个小于7，求m 的取值范围；

（3）抛物线y =x 2-(4m +

1) x +3m 2+m 与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，当m 取（2）中符合题意的最小整数时，将此抛物线向上平移n 个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△ABC 的内部（不包括△ABC 的边界），求n 的取值范围（直接写出答案即可）．

7．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y =m x 2+(m -3)x -3(m >0)的图象与x 轴交于A 、

两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C . ⑴ 求点A 的坐标；

⑵ 当∠ABC =45 时，求m 的值； ⑶ 已知一次函数y =kx +b ，点P (n , 0)是x 轴上的一个动点，在⑵的条件下，过点P 垂

直于x 轴的直线交这个一次函数的图象于点M ，交二次函数

y =m x +(m -3)x -3m )>0的图象于点N 。若只有当-2<2时，点m 位于点n="">

范文三：函数交点问题

09年福建厦门) 26. (11分 ) 已知二次函数 y =x 2-x +c .

(1) 若点 A (-1, a ) 、 B (2, 2n -1) 在二次函数 y =x 2-x +c 的图象上,求此二次函数的最小值;

(2) 若点 D (x 1, y 1) 、 E (x 2, y 2) 、 P (m , n )(m >n ) 在二次函数 y =x 2-x +c 的图象上,且 D 、 E 两点关于坐标

原点成中心对称, 连接 OP .当 22≤ OP ≤ 2+2时,试判断直线 DE 与抛物线 y =x 2-x +c + 3

数,并说明理由.

(09年福建厦门 26题解析) (1) 解:法 1:由题意得

???n =2+c , 2n -1=2+c .

…… 1分解得 ???n =1,

c =-1.

…… 2分

法 2:∵ 抛物线 y =x 2-x +c 的对称轴是 x =1

且 12(-1) =2-1

2,∴ A 、 B 两点关于对称轴对称 .

∴ n =2n -1 …… 1分

∴ n =1, c =-1. …… 2分 ∴ 有 y =x 2-x -1 …… 3分 =(x -122-5

∴ 二次函数 y =x 2-x -1的最小值是-5

4. …… 4分

(2) 解:∵ 点 P (m , m )(m >0) ,

∴ PO =2m .

∴ ≤ m +2.

∴ 2≤ m ≤ 1+2. …… 5分法 1: ∵ 点 P (m , m )(m >0) 在二次函数 y =x 2-x +c 的图象上, ∴ m =m 2-m +c ,即 c =-m 2+2m . ∵ 开口向下,且对称轴 m =1,

∴ 当 2≤ m ≤ 1 时,

有 -1≤ c ≤ 0. …… 6分法 2:∵ 2≤ m ≤ 1+2, ∴ 1≤ m -1≤ 2. ∴ 1≤ (m -1) 2≤ 2.

∵ 点 P (m , m )(m >0) 在二次函数 y =x 2-x +c 的图象上, ∴ m =m 2-m +c ,即 1-c =(m -1) 2. ∴ 1≤ 1-c ≤ 2.

∴ -1≤ c ≤ 0. …… 6分 ∵ 点 D 、 E 关于原点成中心对称, 法 1: ∴ x 2=-x 1, y 2=-y 1.

∴ ???y 1=x 12

-x 1+c ,

-y 1=x 12

+x 1

+c . ∴ 2y 1=-2x 1, y 1=-x 1.

设直线 DE :y =kx . 有 -x 1=kx 1.

由题意,存在 x 1≠ x 2.

∴ 存在 x 1,使 x 1≠ 0. …… 7分 ∴ k =-1.

∴ 直线 DE : y =-x . …… 8分法 2:设直线 DE :y =kx .

则根据题意有 kx =x 2-x +c ,即 x 2-(k +1) x+c =0. ∵ -1≤ c ≤ 0,

∴ (k +1) 2-4c ≥ 0.

∴ 方程 x 2-(k +1) x+c =0有实数根 . …… 7分 ∵ x 1+x 2=0, ∴ k +1=0. ∴ k =-1.

∴ 直线 DE : y =-x . …… 8分若 ?????y =-x , y =x 2-x +c +38则有 x 2+c +38=0. 即 x 2

=-c 38

① 当 -c -38=0时,即 c 38x 2=-c -3

有相同的实数根,

即直线 y =-x 与抛物线 y =x 2-x +c +3

8有唯一交点 . …… 9分

② 当 -c -38>0时,即 c 381≤ c <>

方程 x 2=-c 3

即直线 y =-x 与抛物线 y =x 2-x +c +3

8有两个不同的交点 . …… 10分

③ 当 -c -38<0时,即 c="">

8c ≤ 0时,

方程 x 2=-c 3

即直线 y =-x 与抛物线 y =x 2-x +c +3

没有交点 . …… 11分

范文四：函数与交点问题

教案提纲

第一部分函数与方程

专题八:函数与交点问题

函数与交点问题 , 主要分为两三类 :一类是函数与图形间的交点问题 , 求函数系数的取值范围 ; 一类是函数与函数间的交点问题,求函数系数的取值范围;一类是二次函数与坐标轴的交点问题,求函数系数的取值范围。总之都和函数的待定系数的不确定性有关,因为函数待定系数的不确定性,导致函数图形的变化,使得图形间的交点有变化,进而解题。

一、函数与图形间的交点问题

例 1:(2009东城二模 24) 定义 {a , b , c }为函数 y =ax 2+bx +c 的“特征数” .如:函数 y =x 2-2x +3的“特征数” 是 {1,-2, 3},函数 y =2x +3的“特征数”是 {0, 2, 3},函数 y =-x 的“特征数”是 {0,-1, 0}. (1)将 “特征数” 是 ?

???1, 33,

0的函数图象向下平移 2个单位长度, 得到一个新函数, 这个新函数的解析式是 ________. (2)在 (1)中,平移前后的两个函数分别与 y 轴交于 A 、 B 两点,与直线 x =分别交于 D 、 C 两点,判断以 A 、 B 、 C 、 D 四点为顶点的四边形形状,请说明理由并计算其周长.

(3)若 (2)中的四边形与“特征数”是 {1, 2

1, 22

+-b b 的函数图象的有交点,求满足条件的实数 b 的取值范围.

例 2:(2010海淀一模 23) 23.关于 x 的一元二次方程 240x x c -+=有实数根,且 c 为正整数 . (1)求 c 的值;

(2) 若此方程的两根均为整数, 在平面直角坐标系 xOy 中 , 抛物线 24y x x c =-+与 x 轴交于 A 、 B 两点 (A 在 B 左侧) ,与 y 轴交于点 C . 点 P 为对称轴上一点,且四边形 OBPC 为直角梯形,求 PC 的长; (3)将(2)中得到的抛物线沿水平方向平移,设顶点 D 的坐标为 (), m n , 当抛物线与(2)中的直角梯形 OBPC 只有两个交点,且一个交点在 PC 边上时,直接写出 m 的取值范围 .

(1)写出这个新的函数的解析式;

(2)若平移前后的这两个函数图象分别与 y 轴交于 O , A 两点,与直线 3-=x 交于 C , B 两点。试判断以 A ,

B , C , O 四点为顶点四边形形状,并说明理由;

(3)若(2)中的四边形(不包括边界)始终覆盖着二次函数 2

+-=b bx x y 的图象一部分,求满足条件的实数 b 的取值范围。

例 4:(2011东城一模 25) 如图,已知二次函数 y=ax2+bx+8(a ≠ 0)的图像与 x 轴交于点 A (-2, 0) , B ,与 y 轴

交于点 C , tan ∠ ABC =2.

(1)求抛物线的解析式及其顶点 D 的坐标;

(2)设直线 CD 交 x 轴于点 E .在线段 OB 的垂直平分线上是否存在点 P ,使得经过点 P 的直线 PM 垂直于直线

CD ,且与直线 OP 的夹角为 75°?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由;

(3)过点 B 作 x 轴的垂线,交直线 CD 于点 F ,将抛物线沿其对称轴向上平移,使抛物线与线段 EF 总有公共

点.试探究:抛物线最多可以向上平移多少个单位长度?

例 5:(2011怀柔一模 25) 25. 如图 , 设抛物线 C 1:()512

-+=x a y , C 2:()512

+--=x a y ,C 1与 C 2的交点为 A, B,

点 A 的坐标是 ) 4, 2(, 点 B 的横坐标是 -2. (1)求 a 的值及点 B 的坐标;

(2) 点 D 在线段 AB 上 , 过 D 作 x 轴的垂线 , 垂足为点 H, 在 DH 的右侧作正三角形 DHG. 过 C 2顶点M的直线记为 l , 且 l 与 x 轴交于点 N. ① 若 l 过△ DHG 的顶点 G, 点 D 的坐标为 (1, 2),求点 N 的横坐标; ② 若 l 与△ DHG 的边 DG 相交 , 求点 N 的横的取值范围 .

例 6:(2011北京中考 25) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,我把由两条射线 AE , BF 和以 AB 为直径的半圆所组成的图形叫作图形 C 。已知 A (1-, 0) , B (1, 0) , AE ∥ BF ,且半圆与 y 轴的交点 D 在射线 AE 的反向延长线上。

(1)求两条射线 AE , BF 所在直线的距离;

(2)当一次函数 y x b =+的图象与图形 C 恰好只有一个公共点时,写出 b 的取值范围;

当一次函数 y x b =+的图象与图形 C 恰好只有两个公共点时,写出 b 的取值范围;

(3)已知 □ AMPQ (四个顶点 A , M , P , Q 按顺时针方向排列)的各顶点都在图形 C 上,且不都在两条射线上, 求点 M 的横坐标 x 的取值范围。

第 25题图

二、函数与函数间的交点问题

例 1:(2009北京中考 23) 已知关于 x 的一元二次方程 2x 2+4x +k -1=0有实数根, k 为正整数. (1)求 k 的值;

(2)当此方程有两个非零的整数根时, 将关于 x 的二次函数 y =2x 2+4x +k -1的图象向下平移 8个单位长度, 求平移后的图象的解析式;

(3)在 (2)的条件下, 将平移后的二次函数的图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折, 图象的其余部分保持不变, 得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答:当直线 b x y +=

例 2:(2010东城一模 23) 23. 已知抛物线 C 1:22y x x =-的图象如图所示,把 C 1的图象沿 y 轴翻折,得到抛物线 C 2的图象,抛物线 C 1与抛物线 C 2的图象合称图象 C 3. (1)求抛物线 C 1的顶点 A 坐标,并画出抛物线 C 2的图象;

(2)若直线 y kx b =+与抛物线 2(0) y ax bx c a =++≠有且只有一个交点时 , 称直线与抛物线相切 . 若直线

y x b =+与抛物线 C 1相切,求 b 的值;

(3)结合图象回答,当直线 y x b =+与图象 C 3 有两个交点时, b 的取值范围.

例 3:(2010丰台二模 23) 已知关于 x 的一元二次方程 x 2-2(m+1) x+m2=0有两个整数根, m <5且 m="">

(1)求 m 的值;

(2)当此方程有两个非零的整数根时,将关于 x 的二次函数 y =x 2-2(m +1) x +m 2的图象沿 x 轴向左平移 4个单位长度,求平移后的二次函数图象的解析式;

(3)当直线 y =x +b 与(2)中的两条抛物线有且只有三个交点时,求 b 的值.

例 4:(2010密云二模 23) 已知抛物线 y =x 2— 4x +1.将此抛物线沿 x 轴方向向左平移 4个单位长度,得到一条新的抛物线.

(1)求平移后的抛物线解析式;

(2)由抛物线对称轴知识我们已经知道:直线 x m

=,即为过点(m , 0)平行于 y 轴的直线,类似地,直线 y m

=,即为过点(0, m )平行于 x 轴的直线.请结合图象回答:当直线 y =m 与这两条抛物线有且只有四个交点,实数 m 的取值范围;

(3) 若将已知的抛物线解析式改为 y =x 2+bx +c (b<0) ,并将此抛物线沿="" x="" 轴向左平移="" -b="" 个单位长度,试回答="" (2)="">

例 5:(2011顺义二模 23) 已知关于 x 的方程 mx 2-(3m -1) x+2m-2=0. (1)求证:无论 m 取任何实数时,方程恒有实数根;

(2)若 m 为整数,且抛物线 y= mx2-(3m -1) x+2m-2与 x 轴两交点间的距离为 2,求抛物线的解析式; (3)若直线 y=x+b与(2) 中的抛物线没有交点,求 b 的取值范围 .

23 【 2012海淀二模】 .已知抛物线 2(1) (2) 1y m x m x =-+--与 x 轴交于 A 、 B 两点. (1)求 m 的取值范围;

(2)若 m >1, 且点 A 在点 B 的左侧, OA : OB =1 : 3, 试确定抛物线的解析式;

(3) 设 (2) 中抛物线与 y 轴的交点为 C , 过点 C 作直线 l //x 轴 , 将抛物线在 y 轴左侧的部分沿直线 l 翻折 , 抛

物线的其余部分保持不变,得到一个新图象 . 请你结合新图象回答 : 当直线 1

y x b =+与新图象只有一个公共点 P (x 0, y 0) 且 y 0≤7时 , 求 b 的取值范围 .

23.[2012东城二模】已知关于 x 的方程 2

(1) (4) 30m x m x -+-+=. (1) 若方程有两个不相等的实数根,求 m 的取值范围;

(2) 若正整数 m 满足 822m ->,设二次函数 2

(1) (4) 3y m x m x =-+-+的图象与 x 轴交于 A B 、两点,将

此图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答:当直线 3y kx =+与此图象恰好有三个公共点时,求出 k 的值(只需要求出两个满足题意的 k 值即可) .

23. 【 2012丰台一模】已知:关于 x 的一元二次方程:22240x mx m -+-=. (1)求证:这个方程有两个不相等的实数根;

(2)当抛物线 2224y x mx m =-+-与 x 轴的交点位于原点的两侧,且到原点的距离相等时,

求此抛物线的解析式;

(3)将(2)中的抛物线在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折,其余部分保持能够不变,得到图形 C 1, 将图形 C 1向右平移

一个单位 , 得到图形 C 2,当直线 y=x b +(b <0)与图形="" c="" 2恰有两个公共点时,写出="" b="" 的取值范围="">

25. 【 2012石景山二模】已知:抛物线 y =-x 2+2x +m -2交 y 轴于点 A (0, 2m -7) .与直线

y =2x 交于点 B 、 C (B 在右、 C 在左) . (1)求抛物线的解析式;

(2)设抛物线的顶点为 E ,在抛物线的对称轴上是否存在一点 F ,使得 BFE CFE ∠=∠,若存在,求出点 F 的

坐标,若不存在,说明理由;

(3)射线 OC 上有两个动点 P 、 Q 同时从原点出发,分别以每秒 5个单位长度、每秒 2个单位长度的速度

沿射线 OC 运动,以 PQ 为斜边在直线 BC 的上方作直角三角形 PMQ (直角边分别平行于坐标轴) ,设运动时间为 t 秒,若△ PMQ 与抛物线 y =-x 2+2x +m -2有公共点,求 t 的取值范围. 解:

23. 【 2012北京中考试题】已知二次函数 23

(1) 2(2) 2

y t x t x =++++ 在 0x =和 2x =时的函数值相等。

(1) 求二次函数的解析式;

(2) 若一次函数 6y kx =+的图象与二次函数的图象都经过点

(3) A m -, ,求 m 和 k 的值;

(3) 设二次函数的图象与 x 轴交于点 B C , (点 B 在点 C 的左侧) ,将二

次函数的图象在点 B C , 间的部分(含点 B 和点 C )向左平移 (0) n n >个单位后得到的图象记为 G ,同时将(2)中得到的直线

6y kx =+向上平移 n 个单位。请结合图象回答:当平移后的直线与图象 G 有公共点时, n 的取值范围。

三、函数与坐标轴的交点问题:

例 1:(2009东城二模 24) 23.已知 P (-3, m ) 和 Q (1, m )是抛物线 y=2x2+bx+1上的两点. (1)求 b 的值;

(2)判断关于 x 的一元二次方程 2x 2+bx+1=0是否有实数根,若有,求出它的实数根;若没有,请说明理由; (3)将抛物线 y=2x2+bx+1的图象向上平移 k (k 是正整数)个单位,使平移后的图象与 x 轴无交点,求 k 的最小值.

例 2:(2010延庆二模 23) 已知关于 x 的一元二次方程 022

=++x ax (1)求证:当 0

=++x ax 一定有两个不等的实数根; (2)若代数式 22

++-x x 的值为正整数,且 x 为整数时,求 x 的值; (3)当 1a a =时,抛物线 22++=x ax y 与 x 轴的正半轴相交于点 ) 0, (m M ; 当 2a a =时,抛物线 22++=x ax y 与 x 轴的正半轴相交于点 ) 0, (n N ; 若点 M 在点 N 的左边,试比较 1a 与 2a 的大小 .

课后练习:

1、 (2011石景山二模 23) 已知:抛物线与 x 轴交于 ) 0, 2(-A 、 ) 0, 4(B ,与 y 轴交于 ) 4, 0(C .

(1)求抛物线顶点 D 的坐标;

(2)设直线 CD 交 x 轴于点 E ,过点 B 作 x 轴的垂线,交直线 CD 于点 F ,将抛物线沿其对称轴上下平移,使抛物线与线段 EF 总有公共点.试探究:抛物线向上最多可以平移多少个单位长度,向下最多可以平移多少个

单位长度?

2、 (2011房山二模 23) 已知:二次函数 y=22(2) x n m x m mn +-+-. (1)求证:此二次函数与 x 轴有交点;

(2)若 m-1=0,求证方程 22(2) 0x n m x m mn +-+-=有一个实数根为 1;

(3) 在 (2) 的条件下, 设方程 22(2) 0x n m x m mn +-+-=的另一根为 a, 当 x=2时, 关于 n 的函数 1y nx am =+与 222(2) y x n m ax m mn =+-+-的图象交于点 A 、 B (点 A 在点 B 的左侧) , 平行于 y 轴的直线 L 与 1y nx am =+、

222(2) y x n m ax m mn =+-+-的图象分别交于点 C 、 D ,若 CD=6,求点 C 、 D 的坐标 .

22[2012.朝阳二模】已知二次函数 c x x y ++=22.

(1)当 c =-3时,求出该二次函数的图象与 x 轴的交点坐标;

(2)若-2<1时,该二次函数的图象与 x="" 轴有且只有一个交点,求="" c="">

范文五：函数交点个数问题

利用图形计算器求解问题:

若方程 |loga x|=|sinx|只有 4个不同的解,则 a 的取值范围

通过图形计算器进行演示:

改变 a 的值,观察两个函数 y |log |a x =与函数 |sin |y x =的交点个数的变化与底数 a 的关系,得到求解的方法。

通过改变游标 a 的取值,观察两个函数图像交点的特征。

发现无论 a 如何变化, 两个函数总有一个交点。而当 a 的取值变化时可发现交点个数也随之变化,而观察当两个函数有 4个不同的交点时图像满足的特征可得

函数 y |log |a x =的图像与 |sin |y x =在 y 轴右侧的第一、二个周期上要有 4个交点,与第三个周期的图像没有交点,即可得:关键问题是函数 y |log |a x =的图像是否经过函数

|sin |y x =图像的最高点,即满足条件 3log 125log 12a a ππ???

即可。

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