我的奢侈人生
范文一：初中数学竞赛专题培训
第一讲：因式分解(一) ...................................................... 1 第二讲：因式分解(二) ...................................................... 4 第三讲 实数的若干性质和应用 ....................................... 7 第四讲 分式的化简与求值 ............................................. 10 第五讲 恒等式的证明 ..................................................... 13 第六讲 代数式的求值 ..................................................... 16 第七讲 根式及其运算 ..................................................... 18 第八讲 非负数 ................................................................. 22 第九讲 一元二次方程 ..................................................... 26 第十讲 三角形的全等及其应用 ..................................... 29 第十一讲 勾股定理与应用 ............................................. 33 第十二讲 平行四边形 ..................................................... 36 第十三讲 梯形 ................................................................. 39 第十四讲 中位线及其应用 ............................................. 42 第十五讲 相似三角形(一) .............................................. 45 第十六讲 相似三角形(二) .............................................. 48 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 1．运用公式法
在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a2
-b2
=(a+b)(a-b)； (2)a2
±2ab+b2
=(a±b)2
； (3)a3
+b3
=(a+b)(a2
-ab+b2
)； (4)a3
-b3
=(a-b)(a2
+ab+b2
)． 下面再补充几个常用的公式： (5)a2
+b2
+c2
+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2
；
(6)a3
+b3
+c3
-3abc=(a+b+c)(a2
+b2
+c2
-ab-bc-ca)； (7)an
-bn
=(a-b)(an-1
+an-2
b+an-3b2
+?+abn-2
+bn-1
)其中n为正整数；
(8)an
-bn
=(a+b)(an-1
-an-2
b+an-3b2
-?+abn-2
-bn-1
)，其中n为偶数；
第十七讲* 集合与简易逻辑 ........................................... 51
第十八讲 归纳与发现 ..................................................... 56 第十九讲 特殊化与一般化 ............................................. 59 第二十讲 类比与联想 ..................................................... 63 第二十一讲 分类与讨论 ................
................................. 67 第二十二讲 面积问题与面积方法 ................................. 70 第二十三讲 几何不等式 ................................................. 73 第二十四讲* 整数的整除性 ........................................... 77 第二十五讲* 同余式 ....................................................... 80 第二十六讲 含参数的一元二次方程的整数根问题 ..... 83 第二十七讲 列方程解应用问题中的量 ......................... 86 第二十八讲 怎样把实际问题化成数学问题 ................. 90 第二十九讲 生活中的数学(三) ——镜子中的世界 ..... 94 第三十讲 生活中的数学(四)──买鱼的学问............... 99
第一讲：因式分解(一)
(9)an
+bn
=(a+b)(an-1
-an-2
b+an-3b2
-?-abn-2
+bn-1
)，其中n为奇数．
运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式． 例1 分解因式： (1)-2x
5n-1yn+4x
3n-1yn+2
-2xn-1yn+4
；
(2)x3
-8y3
-z3
-6xyz； (3)a2
+b2
+c2
-2bc+2ca-2ab； (4)a7
-a5b2
+a2b5
-b7
．
解 (1)原式=-2xn-1yn
(x4
n-2x2
ny2
+y4
) =-2xn-1yn
[(x2
n)2
-2x2
ny2
+(y2)2
] =-2xn-1yn
(x2
n-y2)2
=-2xn-1yn
(xn
-y)2
(xn
+y)2
． (2)原式=x3
+(-2y)3
+(-z)3
-3x(-2y)(-Z) =(x-2y-z)(x2
+4y2
+z2
+2xy+xz-2yz)． (3)原式=(a2
-2ab+b2
)+(-2bc+2ca)+c2
＝(a-b)2
+2c(a-b)+c2
=(a-b+c)2．
本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下： 原式=a2
+(-b)2
+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b) =(a-b+c)2
(4)原式=(a7
-a5b2
)+(a2b5
-b7
) =a5
(a2
-b2
)+b5
(a2
-b2
)
1
范文二：最新的初中数学竞赛专题培训
初中数学竞赛专题培训第一讲:因式分解 (一 )
多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一,它被广 泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工 具.因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不 仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技 能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用.初中数学 教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和 十字相乘法.本讲及下一讲在中学数学教材基础上,对因式分 解的方法、技巧和应用作进一步的介绍.
1.运用公式法
在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向 使用,即为因式分解中常用的公式,例如:
(1)a2-b 2=(a+b)(a-b) ;
(2)a2±2ab+b2=(a±b) 2;
(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) ;
(4)a3-b 3=(a-b)(a2+ab+b2) .
下面再补充几个常用的公式:
(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2;
(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab -bc -ca) ;
(7)an -b n =(a-b)(an-1+an-2b+an-3b 2+? +abn-2+bn-1) 其中 n 为正整数;
(8)an -b n =(a+b)(an-1-a n-2b+an-3b 2-? +abn-2-b n-1) ,其中 n 为偶数;
(9)an +bn =(a+b)(an-1-a n-2b+an-3b 2-? -ab n-2+bn-1) ,其中 n 为奇数. 运用公式法分解因式时,要根据多项式的特点,根据字母、 系数、指数、符号等正确恰当地选择公式.
例 1 分解因式:
(1)-2x 5n-1y n +4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4;
(2)x3-8y 3-z 3-6xyz ;
(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab ;
(4)a7-a 5b 2+a2b 5-b 7.
解 (1)原式 =-2x n-1y n (x4n -2x 2ny 2+y4)
=-2x n-1y n [(x2n) 2-2x 2ny 2+(y2) 2]
=-2x n-1y n (x2n -y 2) 2
=-2x n-1y n (xn -y) 2(xn +y)2.
(2)原式 =x3+(-2y) 3+(-z) 3-3x(-2y)(-Z)
=(x-2y -z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz) .
(3)原式 =(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2
=(a-b) 2+2c(a-b)+c2
=(a-b+c)2.
本小题可以稍加变形,直接使用公式 (5),解法如下:原式 =a2+(-b) 2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)
=(a-b+c)2
(4)原式 =(a7-a 5b 2)+(a2b 5-b 7)
=a5(a2-b 2)+b5(a2-b 2)
=(a2-b 2)(a5+b5)
=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a 3b+a2b 2-ab 3+b 4)
=(a+b)2(a-b)(a4-a 3b+a2b 2-ab 3+b4)
例 2 分解因式:a 3+b 3+c3-3abc .
本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式 (6). 分析 我们已经知道公式
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
的正确性,现将此公式变形为
a 3+b3=(a+b)3-3ab(a+b).
这个 式也是一个常用的公式,本题就借助于它来推导. 解 原式 =(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc
=[(a+b)3+c3]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)[(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab -bc -ca) .
说明 公式 (6)是一个应用极广的公式,用它可以推出很多 有 用的 结论,例如:我们将公式 (6)变形为
a 3+b3+c3-3abc
显然,当 a+b+c=0时,则 a 3+b3+c3=3abc;当 a+b+c>0时,则 a 3+b3+c3-3abc ? 0,即 a 3+b3+c 3? 3abc ,而且,当且仅当 a=b=c时,等号成立.
如果令 x=a3? 0, y=b3? 0, z=c3? 0,则有
等号成立的充要条件是 x=y=z.这也是一个常用的结论.
例 3 分解因式:x 15+x 14+x13+? +x2+x+1.
分析 这个多项式的特点是:有 16项,从最高次项 x 15开始, x 的次数顺次递减至 0,由此想到应用公式 a n -b n 来分解. 解 因为
x 16-1=(x-1)(x15+x 14+x13+? x 2+x+1),
所以
说明 在本题的分解过程中,用到先乘以 (x-1) ,再除以 (x-1) 的技巧,这一技巧在等式变形中很常用.
2.拆项、添项法
因式分解是多项式乘法的逆运算.在多项式乘法运算时,整 理、化简常将几个同类项合并为一项,或将两个仅符号相反的 同类项相互抵消为零.在对某些多项式分解因式时,需要恢复 那些被合并或相互抵消的项,即把多项式中的某一项拆成两项 或多项,或者在多项式中添上两个仅符合相反的项,前者称为 拆项,后者称为添项.拆项、添项的目的是使多项式能用分组 分解法进行因式分解.
例 4 分解因式:x 3-9x+8.
分析 本题解法很多, 这里只介绍运用拆项、 添项法分解的几 种解法,注意一下拆项、添项的目的与技巧.
解法 1 将常数项 8拆成 -1+9.
原式 =x3-9x -1+9
=(x3-1) -9x+9
=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)
=(x-1)(x2+x-8) .
解法 2 将一次项 -9x 拆成 -x -8x .
原式 =x3-x -8x+8
=(x3-x)+(-8x+8)
=x(x+1)(x-1) -8(x-1)
=(x-1)(x2+x-8) .
解法 3 将三次项 x 3拆成 9x 3-8x 3.
原式 =9x3-8x 3-9x+8
=(9x3-9x)+(-8x 3+8)
=9x(x+1)(x-1) -8(x-1)(x2+x+1)
=(x-1)(x2+x-8) .
解法 4 添加两项 -x 2+x2.
原式 =x3-9x+8
=x3-x 2+x2-9x+8
=x2(x-1)+(x-8)(x-1)
=(x-1)(x2+x-8) .
说明 由此题可以看出, 用拆项、 添项的方法分解因式时, 要 拆哪些项,添什么项并无一定之规,主要的是要依靠对题目特 点的观察,灵活变换,因此拆项、添项法是因式分解诸方法中 技巧性最强的一种.
例 5 分解因式:
(1)x9+x6+x3-3;
(2)(m2-1)(n2-1)+4mn;
(3)(x+1)4+(x2-1) 2+(x-1) 4;
(4)a3b -ab 3+a 2+b2+1.
解 (1)将 -3拆成 -1-1-1.
原式 =x9+x6+x3-1-1-1
=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)
=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)
=(x3-1)(x6+2x3+3)
=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x 3+3).
(2)将 4mn 拆成 2mn+2mn.
原式 =(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn
=m2n 2-m 2-n 2+1+2mn+2mn
=(m2n 2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)
=(mn+1)2-(m-n) 2
=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1).
(3)将 (x2-1) 2拆成 2(x2-1) 2-(x2-1) 2.
原式 =(x+1)4+2(x2-1) 2-(x2-1) 2+(x-1) 4
=[(x+1)4+2(x+1)2(x-1) 2+(x-1) 4]-(x2-1) 2
=[(x+1)2+(x-1) 2]2-(x2-1) 2
=(2x2+2)2-(x2-1) 2=(3x2+1)(x2+3).
(4)添加两项 +ab-ab .
原式 =a3b -ab 3+a2+b2+1+ab-ab
=(a3b -ab 3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)
=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)
=a(a-b) [b(a+b)+1]+(ab+b2+1)
=[a(a-b)+1](ab+b2+1)
=(a2-ab+1)(b2+ab+1).
说明 (4)是一道较难的题目, 由于分解后的因式结构较复杂, 所以不易想到添加 +ab-ab ,而且添加项后分成的三项组又无公 因式, 而是先将前两组分解, 再与第三组结合, 找到公因式. 这 道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在,同学们需 多做练习,积累经验.
3.换元法
换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个 整体,并用一个新的字母替代这个整体来运算,从而使运算过 程简明清晰.
例 6 分解因式:(x2+x+1)(x2+x+2)-12.
分析 将原式展开,是关于 x 的四次多项式,分解因式较困 难.我们不妨将 x 2+x看作一个整体,并用字母 y 来替代,于是 原题转化为关于 y 的二次三项式的因式分解问题了.
解 设 x 2+x=y,则
原式 =(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10
=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)
=(x-1)(x+2)(x2+x+5).
说明 本题也可将 x 2+x+1看作一个整体,比如今 x 2+x+1=u, 一样可以得到同样的结果,有兴趣的同学不妨试一试.
例 7 分解因式:
(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90.
分析 先将两个括号内的多项式分解因式,然后再重新组合. 解 原式 =(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90
=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90
=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90.
令 y=2x2+5x+2,则
原式 =y(y+1)-90=y2+y-90
=(y+10)(y-9)
=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)
=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1) .
说明 对多项式适当的恒等变形是我们找到新元 (y)的基础. 例 8 分解因式:
(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2.
解 设 x 2+4x+8=y,则
原式 =y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)
=(x2+6x+8)(x2+5x+8)
=(x+2)(x+4)(x2+5x+8).
说明 由本题可知, 用换元法分解因式时, 不必将原式中的元 都用新元代换,根据题目需要,引入必要的新元,原式中的变 元和新变元可以一起变形,换元法的本质是简化多项式. 例 9分解因式:6x 4+7x3-36x 2-7x+6.
解法 1 原式 =6(x4+1)+7x(x2-1) -36x 2
=6[(x4-2x 2+1)+2x2]+7x(x2-1) -36x 2
=6[(x2-1)2+2x2]+7x(x2-1) -36x 2
=6(x2-1) 2+7x(x2-1) -24x 2
=[2(x2-1) -3x ][3(x2-1)+8x]
=(2x2-3x -2)(3x2+8x-3)
=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3).
说明 本解法实际上是将 x 2-1看作一个整体, 但并没有设立新 元来代替它,即熟练使用换元法后,并非每题都要设置新元来 代替整体.
解法 2
原式 =x2[6(t2+2)+7t-36]
=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)
=x2[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8]
=(2x2-3x -2)(3x2+8x-3)
=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3).
例 10 分解因式:(x2+xy+y2) -4xy(x2+y2) .
分析 本题含有两个字母, 且当互换这两个字母的位置时, 多 项式保持不变,这样的多项式叫作二元对称式.对于较难分解 的二元对称式,经常令 u=x+y, v=xy,用换元法分解因式. 解 原式 =[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]. 令 x+y=u, xy=v, 则 原式 =(u2-v) 2-4v(u2-2v)
=u4-6u 2v+9v2
=(u2-3v) 2
=(x2+2xy+y2-3xy) 2
=(x2-xy+y2) 2.
练习一
1.分解因式:
(2)x10+x5-2;
(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x 5.
2.分解因式:
(1)x3+3x2-4; (2)x4-11x 2y 2+y2; (3)x3+9x2+26x+24; (4)x4-12x+323. 3.分解因式:
(1)(2x2-3x+1)2-22x 2+33x-1;
(2)x4+7x3+14x2+7x+1;
(3)(x+y)3+2xy(1-x -y) -1;
(4)(x+3)(x2-1)(x+5)-20.
初中数学竞赛专题培训第二讲:因式分解 (二 )
1.双十字相乘法
分解二次三项式时,我们常用十字相乘法.对于某些二元二 次六项式 (ax2+bxy+cy2+dx+ey+f),我们也可以用十字相乘法 分解因式.
例如,分解因式 2x 2-7xy-22y 2-5x+35y-3.我们将上式按 x 降 幂排列,并把 y 当作常数,于是上式可变形为
2x 2-(5+7y)x-(22y2-35y+3),
可以看作是关于 x 的二次三项式.
对于常数项而言,它是关于 y 的二次三项式,也可以用十字 相乘法,分解为
即:-22y 2+35y-3=(2y-3)(-11y+1).
再利用十字相乘法对关于 x 的二次三项式分解
所以,原式 =[x+(2y-3)][2x+(-11y+1)]
=(x+2y-3)(2x-11y+1).
上述因式分解的过程,实施了两次十字相乘法.如果把这两 个步骤中的十字相乘图合并在一起,可得到下图:
它表示的是下面三个关系式:
(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y 2;
(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3;
(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3. 这就是所谓的双十字相乘法.
用双十字相乘法对多项式 ax 2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分 解的步骤是:
(1)用十字相乘法分解 ax 2+bxy+cy2, 得到一个十字相乘图 (有 两列 ) ;
(2)把常数项 f 分解成两个因式填在第三列上, 要求第二、 第 三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的 ey ,第一、第三 列构成的十字交叉之积的和等于原式中的 dx .
例 1 分解因式:
(1)x2-3xy-10y 2+x+9y-2;
(2)x2-y 2+5x+3y+4;
(3)xy+y2+x-y-2;
解
(1)
原式 =(x-5y+2)(x+2y-1).
(2)
原式 =(x+y+1)(x-y+4).
(3)原式中缺 x 2项,可把这一项的系数看成 0来分解.
原式 =(2x-3y+z)(3x+y-2z).
2.求根法
我们把形如 a n x n +an-1x n-1+? +a1x+a0(n为非负整数 ) 的代数式称 为关于 x 的一元多项式,并用 f(x), g(x),?等记号表示, 如
f(x)=x2-3x+2, g(x)=x5+x2+6,?,
当 x=a时, 多项式 f(x)的值用 f(a)表示. 如对上面的多项式 f(x)
f(1)=12-331+2=0;
f(-2)=(-2)2-33(-2)+2=12.
若 f(a)=0,则称 a 为多项式 f(x)的一个根.
定理 1(因式定理 ) 若 a 是一元多项式 f(x)的根,即 f(a)=0成立,则多项式 f(x)有一个因式 x-a .
根据因式定理, 找出一元多项式 f(x)的一次因式的关键是求 多项式 f(x)的根. 对于任意多项式 f(x), 要求出它的根是没 有一般方法的,然而当多项式 f(x)的系数都是整数时,即整 系数多项式时,经常用下面的定理来判定它是否有有理根.
定理 2
的根, 则必有 p 是 a 0的约数, q 是 a n 的约数. 特别地, 当 a 0=1时,整系数多项式 f(x)的整数根均为 a n 的约数.
我们根据上述定理,用求多项式的根来确定多项式的一次因 式,从而对多项式进行因式分解.
例 2 分解因式:x 3-4x 2+6x-4.
分析 这是一个整系数一元多项式, 原式若有整数根, 必是 -4的约数,逐个检验 -4的约数:±1,±2,±4,只有
f(2)=23-4322+632-4=0,
即 x=2是原式的一个根, 所以根据定理 1, 原式必有因式 x-2. 解法 1 用分组分解法,使每组都有因式 (x-2).
原式 =(x3-2x 2)-(2x2-4x)+(2x-4)
=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)
=(x-2)(x2-2x+2).
解法 2 用多项式除法,将原式除以 (x-2),
所以
原式 =(x-2)(x2-2x+2).
说明 在上述解法中, 特别要注意的是多项式的有理根一定是 -4的约数, 反之不成立, 即 -4的约数不一定是多项式的根. 因 此,必须对 -4的约数逐个代入多项式进行验证.
例 3 分解因式:9x 4-3x 3+7x2-3x-2.
分析 因为 9的约数有±1,±3,±9; -2的约数有±1
,±为:
所以,原式有因式 9x 2-3x-2.
解 9x4-3x 3+7x2-3x-2
=9x4-3x 3-2x 2+9x 2-3x-2
=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2
=(9x2-3x-2)(x2+1)
=(3x+1)(3x-2)(x2+1)
说明 若整系数多项式有分数根, 可将所得出的含有分数的因 式化为整系数因式,如上题中的因式
可以化为 9x 2-3x-2,这样可以简化分解过程.
总之,对一元高次多项式 f(x),如果能找到一个一次因式 (x-a), 那么 f(x)就可以分解为 (x-a)g(x), 而 g(x)是比 f(x)低一次的一元多项式,这样,我们就可以继续对 g(x)进行分 解了.
3.待定系数法
待定系数法是数学中的一种重要的解题方法,应用很广泛, 这里介绍它在因式分解中的应用.
在因式分解时,一些多项式经过分析,可以断定它能分解成 某几个因式,但这几个因式中的某些系数尚未确定,这时可 以用一些字母来表示待定的系数.由于该多项式等于这几个 因式的乘积,根据多项式恒等的性质,两边对应项系数应该 相等,或取多项式中原有字母的几个特殊值,列出关于待定 系数的方程 (或方程组 ) ,解出待定字母系数的值,这种因式 分解的方法叫作待定系数法.
例 4 分解因式:x 2+3xy+2y2+4x+5y+3.
分析 由于
(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y),
若原式可以分解因式,那么它的两个一次项一定是 x+2y+m和 x +y +n 的形式,应用待定系数法即可求出 m 和 n ,使问 题得到解决.
解 设
x 2+3xy+2y2+4x+5y+3
=(x+2y+m)(x+y+n)
=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn,
比较两边对应项的系数,则有
解之得 m=3, n=1.所以
原式 =(x+2y+3)(x+y+1).
说明 本题也可用双十字相乘法,请同学们自己解一下. 例 5 分解因式:x 4-2x 3-27x 2-44x+7.
分析 本题所给的是一元整系数多项式, 根据前面讲过的求根 法,若原式有有理根,则只可能是±1,±7(7的约数 ) ,经 检验,它们都不是原式的根,所以,在有理数集内,原式没 有一次因式. 如果原式能分解, 只能分解为 (x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式.
解 设
原式 =(x2+ax+b)(x2+cx+d)
=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd,
所以有
由 bd=7,先考虑 b=1, d=7有
所以
原式 =(x2-7x+1)(x2+5x+7).
说明 由于因式分解的唯一性,所以对 b=-1, d=-7等可以不 加以考虑.本题如果 b=1, d=7代入方程组后,无法确定 a , c 的值,就必须将 bd=7的其他解代入方程组,直到求出待定 系数为止.
本题没有一次因式,因而无法运用求根法分解因式.但利用 待定系数法,使我们找到了二次因式.由此可见,待定系数 法在因式分解中也有用武之地.
练习二
1.用双十字相乘法分解因式:
(1)x2-8xy+15y2+2x-4y-3; (2)x2-xy+2x+y-3; (3)3x2-11xy+6y2-xz-4yz-2z 2.
2.用求根法分解因式:
(1)x3+x2-10x-6; (2)x4+3x3-3x 2-12x-4; (3)4x4+4x3-9x 2-x+2.
3.用待定系数法分解因式:
(1)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20; (2)x4+5x3+15x-9.
初中数学竞赛专题培训第三讲 实数的若干性质和应用
实数是高等数学特别是微积分的重要基础.在初中代数中没有 系统地介绍实数理论,是因为它涉及到极限的概念.这一概念 对中学生而言,有一定难度.但是,如果中学数学里没有实数 的概念及其简单的运算知识,中学数学也将无法继续学习下去 了.例如,即使是一元二次方程,只有有理数的知识也是远远 不够用的.因此,适当学习一些有关实数的基础知识,以及运 用这些知识解决有关问题的基本方法,不仅是为高等数学的学 习打基础,而且也是初等数学学习所不可缺少的.本讲主要介 绍实数的一些基本知识及其应用.
用于解决许多问题,例如,不难证明:任何两个有理数的和、 差、积、商还是有理数,或者说,有理数对加、减、乘、除 (零 不能做除数 ) 是封闭的.
性质 1 任何一个有理数都能写成有限小数 (整数可以看作小 数点后面为零的小数 ) 或循环小数的形式,反之亦然. 例
1
分析 要说明一个数是有理数, 其关键要看它能否写成两个整 数比的形式. 证 设
两边同乘以 100得
② -①得
99x=261.54-2.61=258.93,
无限不循环小数称为无理数.有理数对四则运算是封闭的,而
无理
是说,无理数对四则运算是不封闭的,但它有如下性质. 性质 2 设 a 为有理数, b 为无理数,则 (1)a+b, a -b 是无理数;
有理数和无理数统称为实数,即
在实数集内,没有最小的实数,也没有最大的实数.任意两 个实数,可以比较大小.全体实数和数轴上的所有点是一一对 应的.在实数集内进行加、减、乘、除 (除数不为零 ) 运算,其 结果仍是实数 (即实数对四则运算的封闭性 ) .任一实数都可以 开奇次方,其结果仍是实数;只有当被开方数为非负数时,才 能开偶次方,其结果仍是实数. 例 2
分析
证
所以
分析 要证明一个实数为无限不循环小数是一件极难办到的 事.由于有理数与无理数共同组成了实数集,且二者是矛盾的 两个对立面,所以,判定一个实数是无理数时,常常采用反证 法.
证 用反证法.
所以 p 一定是偶数.设 p=2m(m是自然数 ) ,代入①得
4m 2=2q 2, q 2=2m 2,
例 4 若 a 1+b1a=a2+b2a(其中 a 1, a 2, b 1, b 2为有理数, a 为无 理数 ) ,则 a 1=a2, b 1=b2,反之,亦成立.
分析 设法将等式变形,利用有理数不能等于无理数来证明. 证 将原式变形为 (b1-b 2)a=a2-a 1.若 b 1≠ b 2,则
反之,显然成立.
说明 本例的结论是一个常用的重要运算性质.
是无理数,并说明理由.
整理得:
由例 4知
a =Ab , 1=A,
说明 本例并未给出确定结论,
需要解题者自己发现正确的结
有 理数作为立足点,以其作为推理的基础.
例 6 已知 a , b 是两个任意有理数,且 a
分析 只要构造出符合条件的有理数,题目即可被证明. 证 因为 a
说明 构造具有某种性质的一个数, 或一个式子, 以达到解题 和证明的目的,是经常运用的一种数学建模的思想方法. 例 7 已知 a , b 是两个任意有理数,且 a <>
即
由①,②有
存在无理数 α,使得 a <>
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范文三：初中数学竞赛专题培训(13)：梯形
鼎吉教育（Dinj Education ）中小学生课外个性化辅导中心资料 初中数学竞赛专题培训讲练
初中数学竞赛专题培训 第十三讲 梯形
与平行四边形一样，梯形也是一种特殊的四边形，其中等腰梯形与直角梯形占有重要地位，本讲就来研究它们的有关性质的应用．
例1 如图2-43所示．在直角三角形ABC 中，E 是斜边AB 上的中点，D 是AC 的中点，DF ∥EC 交BC 延长线于F ．求证：四边形EBFD 是等腰梯形．
分析 由于△BCD 是等腰三角形，若能确定顶点∠CBD 的度数，则底角∠BCD 可求．由等腰Rt △ABC 可求知斜边BC(即BD) 的长．又梯形的高，即Rt △ABC 斜边上的中线也可求出．通过添辅助线可构造直角三角形，求出∠BCD 的度数．
解 过D 作DE ⊥EC 于E ，则DE 的长度即为等腰Rt △ABC 斜边上的高AF ．设AB=a，由于△ABF 也是等腰直角三角形，由勾股定
分析 因为E ，D 是三角形ABC 边AB ，AC 的中点，所以ED ∥BF ．此外，还要证明(1)EB=DF；(2)EB不平行于DF ．
即
证 因为E ，D 是△ABC 的边AB ，AC 的中点，所以
ED ∥BF ．
又已知DF ∥EC ，所以ECFD 是平行四边形，所以
EC=DF． ①
又
又E 是Rt △ABC 斜边AB 上的中点，所以
BC =AB+AC=2AB=2a，
EC=EB． ②
由于BC=DB，所以，在Rt △BED 中，
由①，②
EB=DF．
下面证明EB 与DF 不平行．
若EB ∥DF ，由于EC ∥DF ，所以有EC ∥EB ，这与EC 与EB 交于E 矛盾，所以EB
DF ．
从而∠EBD=30°(直角三角形中30°角的对边等于斜边一半定理的逆定理) ．在△CBD 中，
2
2
2
2
2
理知
AF +BF=AB，
2
2
2
根据定义，EBFD 是等腰梯形．
例2 如图2-44所示．ABCD 是梯形， AD∥BC ， AD＜BC ，AB=AC且AB ⊥AC ，BD=BC，AC ，BD 交于O. 求∠BCD 的度数．
例3 如图2-45所示．直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，∠ADC=135°，CD 的垂直平分线交BC 于N ，交AB 延长线于F ，垂足为M ．求证：AD=BF．
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鼎吉教育 遵循：“授人以鱼，不如授人以渔”的教育理念 秉承：以人为本，质量第一，突出特色， 服务家长
(或BC) ．过A 引AG ⊥BC 于G ，交EF 于H ，则AH ，GH 分别是△AEF 与△BEF 的高，所以
AG =AB-BG =(8+2)-(8-2) =100-36=64，
所以AG=8．这样S △ABE (=S△AEF +S△BEF ) 可求．
分析 MF是DC 的垂直平分线，所以ND=NC．由AD ∥BC 及∠ADC=135°知，∠C=45°，从而∠NDC=45°，∠DNC=90°，所以ABND 是矩形，进而推知△BFN 是等腰直角三角形，从而AD=BN=BF．
EF ∥AD(或BC) ，
证 连接DN ．因为N 是线段DC 的垂直平分线MF 上的一点，所以ND=NC．由已知，AD ∥BC 及∠ADC=135°知
∠C=45°，
过A 作AG ⊥BC 于G ，交EF 于H ．由平行线等分线段定理知，
从而
∠NDC=45°．
在△NDC 中，
∠DNC=90°(=∠DNB) ，
所以ABND 是矩形，所以
AF ∥ND ，∠F=∠DNM=45°．
△BNF 是一个含有锐角45°的直角三角形，所以BN=BF．又
AD=BN，
所以 AD=BF．
例4 如图2-46所示．直角梯形ABCD 中，∠C=90°，AD ∥BC ，AD+BC=AB，E 是CD 的中点．若AD=2，BC=8，求△ABE 的面积．
AH=GH且AH ，GH 均垂直于EF ．在Rt △ABG 中，由勾股定理知 AG =AB-BG
=(AD+BC)-(BC-AD) =10-6=8， 所以 AG=8， 从而 AH=GH=4， 所以
S △ABE =S△AEF +S△BEF
2
2
22
2
2
2
22
2
2
2
2
解 取AB 中点F ，连接EF ．由梯形中位线性质知
例5 如图2-47所示．四边形ABCF 中，AB ∥DF ，∠1=∠2，AC=DF，
分析 由于AB=AD+BC，即一腰AB 的长等于两底长之和，它启发我们利用梯形的中位线性质(这个性质在教材中是梯形的重要性质，我们将在下一讲中深入研究它，这里只引用它的结论) ．取腰AB 的中点F ，
(1)求证：ADCF 是等腰梯形；
FC ＜AD ．
◆ 以鲜明的教育理念启发人 ◆ 以浓厚的学习氛围影响人 第2页 ◆ 以不倦的育人精神感染人 ◆ 以优良的学风学纪严律人◆
鼎吉教育（Dinj Education ）中小学生课外个性化辅导中心资料 初中数学竞赛专题培训讲练 (2)若△ADC 的周长为16厘米(cm)，AF=3厘米，AC -FC=3厘米，求四边形ADCF 的周长．
分析 欲证ADCF 是等腰梯形．归结为证明AD ∥CF ，AF=DC，不要忘了还需证明AF 不平行于DC ．利用已知相等的要素，应从全等三角形下手．计算等腰梯形的周长，显然要注意利用AC -FC=3厘米的条件，才能将△ADC 的周长过渡到梯形的周长．
分析 首先从P ，R 分别是OA ，OD 中点知，欲证等边三角形
解 (1)因为AB ∥DF ，所以∠1=∠3．结合已知∠1=∠2，所以∠2=∠3，所以
EA=ED．
又 AC=DF，
证 因为四边形ABCD 是等腰梯形，由等腰梯形的性质知，它
所以 EC=EF．
所以△EAD 及△ECF 均是等腰三角形，且顶角为对顶角，由三角形内角和定理知∠3=∠4，从而AD ∥CF ．不难证明
△ACD ≌△DFA(SAS)，
所以 AF=DC．
若AF ∥DC ，则ADCF 是平行四边形，则AD=CF与FC ＜AD 矛盾，所以AF 不平行于DC ．
综上所述，ADCF 是等腰梯形．
(2)四边形ADCF 的周长=AD+DC+CF+AF． ① 由于
△ADC 的周长=AD+DC+AC=16(厘米) ， ② AF=3(厘米) ， ③ FC=AC-3， ④ 将②，③，④代入①
四边形ADCF 的周长=AD+DC+(AC-3)+AF =(AD+DC+AC)-3+3 =16(厘米) ．
例6 如图2-48所示．等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，对角线AC ，BD 所成的角∠AOB=60°，P ，Q ，R 分别是OA ，BC ，OD 的中点．求证：△PQR 是等边三角形．
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PQR 的边长应等于等腰梯形腰长之半，为此，只需证明QR ，QP 等于腰长之半即可．注意到△OAB 与△OCD 均是等边三角形，P ，R 分别是它们边上的中点，因此，BP ⊥OA ，CR ⊥OD ．在Rt △BPC 与Rt △CRB 中，PQ ，RQ 分别是它们斜边BC(即等腰梯形的腰) 的中线，因此，PQ=RQ=腰BC 之半．问题获解．
的同一底上的两个角及对角线均相等．进而推知，∠OAB=∠OBA 及∠OCD=∠ODC ．又已知，AC 与BD 成60°角，所以，△ODC 与△OAB 均为正三角形．连接BP ，CR ，则BP ⊥OA ，CR ⊥OD ．在Rt △BPC 与Rt △CRB 中，PQ ，RQ 分别是它们的斜边BC 上的中线，所以
又RP 是△OAD 的中位线，所以
因为 AD=BC， ③ 由①，②，③得
PQ=QR=RP，
即△PQR 是正三角形．
说明 本题证明引人注目之处有二：
(1)充分利用特殊图形中特殊点所带来的性质，如正三角形OAB 边OA 上的中点P ，可带来BP ⊥OA 的性质，进而又引出直角三角形斜边中线PQ 等于斜边BC 之半的性质．
(2)等腰梯形的“等腰”就如一座桥梁“接通”了“两岸”的髀
使△PQR 的三边相等．
练习十三
鼎吉教育 遵循：“授人以鱼，不如授人以渔”的教育理念 秉承：以人为本，质量第一，突出特色， 服务家长 1．如图2-49所示．梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD=DC，BD ⊥CD ．求∠A 的度数．
4．如图2-52所示．梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 是腰DC 的中点，MN ⊥AB 于N ，且MN=b，AB=a．求梯形ABCD 的面积．
2．如图2-50所示．梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AE ∥DC 交BC 于E ，△ABE 的周长=13厘米，AD=4厘米．求梯形的周长．
5．已知：梯形ABCD 中，DC ∥AB ，∠A=36°，∠B=54°，M ，N 分别是DC ，AB 的中点．求证：
3．如图2-51所示．梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A+∠B=90°，AB=p，CD=q，E ，F 分别为AB ，CD 的中点．求EF ．
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范文四：-初中数学竞赛专题培训 (1)
第一讲:因式分解 (一 ) ...................................................... 1 第二讲:因式分解 (二 ) ...................................................... 4 第三讲 实数的若干性质和应用 ....................................... 7 第四讲 分式的化简与求值 ............................................. 10 第五讲 恒等式的证明 . .................................................... 13 第六讲 代数式的求值 . .................................................... 16 第七讲 根式及其运算 . .................................................... 19 第八讲 非负数 . ................................................................ 23 第九讲 一元二次方程 . .................................................... 27 第十讲 三角形的全等及其应用 ..................................... 31 第十一讲 勾股定理与应用 ............................................. 35 第十二讲 平行四边形 . .................................................... 38 第十三讲 梯形 . ................................................................ 41 第十四讲 中位线及其应用 ............................................. 45 第十五讲 相似三角形 (一 ) .............................................. 47 第十六讲 相似三角形 (二 ) .............................................. 50 第十七讲 * 集合与简易逻辑 ........................................... 54 第十八讲 归纳与发现 ..................................................... 59 第十九讲 特殊化与一般化 ............................................. 63 第二十讲 类比与联想 ..................................................... 67 第二十一讲 分类与讨论 ................................................. 70 第二十二讲 面积问题与面积方法 ................................. 74 第二十三讲 几何不等式 ................................................. 77 第二十四讲 * 整数的整除性 ........................................... 81 第二十五讲 * 同余式 ....................................................... 84 第二十六讲 含参数的一元二次方程的整数根问题 ..... 87 第二十七讲 列方程解应用问题中的量 ......................... 91 第二十八讲 怎样把实际问题化成数学问题 ................. 95 第二十九讲 生活中的数学 (三 ) ——镜子中的世界 . .... 98 第三十讲 生活中的数学 (四 ) ──买鱼的学问 ............... 99
第一讲:因式分解 (一 )
多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之 一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许 多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活,技巧性 强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容 所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生 的思维能力,都有着十分独特的作用.初中数学教材 中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解 法和十字相乘法.本讲及下一讲在中学数学教材基础 上, 对因式分解的方法、 技巧和应用作进一步的介绍. 1.运用公式法
在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现 将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,例如:
(1)a2-b 2=(a+b)(a-b) ;
(2)a2±2ab+b2=(a±b) 2;
(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) ;
(4)a3-b 3=(a-b)(a2+ab+b2) .
下面再补充几个常用的公式:
(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2;
(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab -bc -ca) ;
(7)an -b n =(a-b)(an-1+an-2b+an-3b 2+? +abn-2+bn-1) 其中 n 为正整数;
(8)an -b n =(a+b)(an-1-a n-2b+an-3b 2-? +abn-2-b n-1) , 其中 n 为偶数;
(9)an +bn =(a+b)(an-1-a n-2b+an-3b 2-? -ab n-2+bn-1) , 其中 n 为奇数.
运用公式法分解因式时,要根据多项式的特点,根 据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式. 例 1 分解因式:
(1)-2x 5n-1y n +4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4;
(2)x3-8y 3-z 3-6xyz ;
(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab ;
(4)a7-a 5b 2+a2b 5-b 7.
解 (1)原式 =-2x n-1y n (x4n -2x 2ny 2+y4)
=-2x n-1y n [(x2n) 2-2x 2ny 2+(y2) 2]
=-2x n-1y n (x2n -y 2) 2
=-2x n-1y n (xn -y) 2(xn +y)2.
(2)原式 =x3+(-2y) 3+(-z) 3-3x(-2y)(-Z)
=(x-2y -z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz) .
(3)原式 =(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2
=(a-b) 2+2c(a-b)+c2
=(a-b+c)2.
本小题可以稍加变形, 直接使用公式 (5), 解法如下:原式 =a2+(-b) 2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)
=(a-b+c)2
(4)原式 =(a7-a 5b 2)+(a2b 5-b 7)
=a5(a2-b 2)+b5(a2-b 2)
=(a2-b 2)(a5+b5)
=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a 3b+a2b 2-ab 3+b 4) =(a+b)2(a-b)(a4-a 3b+a2b 2-ab 3+b4)
例 2 分解因式:a 3+b 3+c3-3abc .
本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的 公式 (6).
分析 我们已经知道公式
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
的正确性,现将此公式变形为
a 3+b3=(a+b)3-3ab(a+b).
这个 式也是一个常用的公式,本题就借助于它来 推导.
解 原式 =(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc
=[(a+b)3+c3]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)[(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab -bc -ca) .
说明 公式 (6)是一个应用极广的公式,用它可以推 出很多 有用的 结论,例如:我们将公式 (6)变形为 a 3+b3+c3-3abc
显然,当 a+b+c=0时,则 a 3+b3+c3=3abc;当 a+b+c >0时,则 a 3+b3+c3-3abc ? 0,即 a 3+b3+c 3? 3abc ,而 且,当且仅当 a=b=c时,等号成立.
如果令 x=a3? 0, y=b3? 0, z=c3? 0,则有
等号成立的充要条件是 x=y=z.这也是一个常用的 结论.
例 3 分解因式:x 15+x 14+x13+? +x2+x+1.
分析 这个多项式的特点是:有 16项,从最高次项 x 15开始, x 的次数顺次递减至 0,由此想到应用公式 a n -b n 来分解.
解 因为
x 16-1=(x-1)(x15+x 14+x13+? x 2+x+1),
所以
说明 在本题的分解过程中,用到先乘以 (x-1) ,再 除以 (x-1) 的技巧,这一技巧在等式变形中很常用. 2.拆项、添项法
因式分解是多项式乘法的逆运算.在多项式乘法运 算时,整理、化简常将几个同类项合并为一项,或将 两个仅符号相反的同类项相互抵消为零.在对某些多 项式分解因式时,需要恢复那些被合并或相互抵消的 项,即把多项式中的某一项拆成两项或多项,或者在 多项式中添上两个仅符合相反的项,前者称为拆项, 后者称为添项.拆项、添项的目的是使多项式能用分 组分解法进行因式分解.
例 4 分解因式:x 3-9x+8.
分析 本题解法很多, 这里只介绍运用拆项、 添项法 分解的几种解法, 注意一下拆项、 添项的目的与技巧. 解法 1 将常数项 8拆成 -1+9.
原式 =x3-9x -1+9
=(x3-1) -9x+9
=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)
=(x-1)(x2+x-8) .
解法 2 将一次项 -9x 拆成 -x -8x .
原式 =x3-x -8x+8
=(x3-x)+(-8x+8)
=x(x+1)(x-1) -8(x-1)
=(x-1)(x2+x-8) .
解法 3 将三次项 x 3拆成 9x 3-8x 3.
原式 =9x3-8x 3-9x+8
=(9x3-9x)+(-8x 3+8)
=9x(x+1)(x-1) -8(x-1)(x2+x+1)
=(x-1)(x2+x-8) .
解法 4 添加两项 -x 2+x2.
原式 =x3-9x+8
=x3-x 2+x2-9x+8
=x2(x-1)+(x-8)(x-1)
=(x-1)(x2+x-8) .
说明 由此题可以看出, 用拆项、 添项的方法分解因 式时,要拆哪些项,添什么项并无一定之规,主要的 是要依靠对题目特点的观察,灵活变换,因此拆项、 添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种. 例 5 分解因式:
(1)x9+x6+x3-3;
(2)(m2-1)(n2-1)+4mn;
(3)(x+1)4+(x2-1) 2+(x-1) 4;
(4)a3b -ab 3+a 2+b2+1.
解 (1)将 -3拆成 -1-1-1.
原式 =x9+x6+x3-1-1-1
=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)
=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)
=(x3-1)(x6+2x3+3)
=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x 3+3).
(2)将 4mn 拆成 2mn+2mn.
原式 =(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn
=m2n 2-m 2-n 2+1+2mn+2mn
=(m2n 2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)
=(mn+1)2-(m-n) 2
=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1).
(3)将 (x2-1) 2拆成 2(x2-1) 2-(x2-1) 2.
原式 =(x+1)4+2(x2-1) 2-(x2-1) 2+(x-1) 4
=[(x+1)4+2(x+1)2(x-1) 2+(x-1) 4]-(x2-1) 2 =[(x+1)2+(x-1) 2]2-(x2-1) 2
=(2x2+2)2-(x2-1) 2=(3x2+1)(x2+3).
(4)添加两项 +ab-ab .
原式 =a3b -ab 3+a2+b2+1+ab-ab
=(a3b -ab 3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)
=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)
=a(a-b) [b(a+b)+1]+(ab+b2+1)
=[a(a-b)+1](ab+b2+1)
=(a2-ab+1)(b2+ab+1).
说明 (4)是一道较难的题目,由于分解后的因式结 构较复杂,所以不易想到添加 +ab-ab ,而且添加项后 分成的三项组又无公因式,而是先将前两组分解,再 与第三组结合,找到公因式.这道题目使我们体会到 拆项、添项法的极强技巧所在,同学们需多做练习, 积累经验.
3.换元法
换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分 看作一个整体,并用一个新的字母替代这个整体来运 算,从而使运算过程简明清晰.
例 6 分解因式:(x2+x+1)(x2+x+2)-12.
分析 将原式展开, 是关于 x 的四次多项式, 分解因 式较困难.我们不妨将 x 2+x看作一个整体,并用字母 y 来替代,于是原题转化为关于 y 的二次三项式的因 式分解问题了.
解 设 x 2+x=y,则
原式 =(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10
=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)
=(x-1)(x+2)(x2+x+5).
说明 本题也可将 x 2+x+1看作一个整体,比如今 x 2+x+1=u,一样可以得到同样的结果,有兴趣的同学 不妨试一试.
例 7 分解因式:
(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90.
分析 先将两个括号内的多项式分解因式, 然后再重 新组合.
解 原式 =(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90
=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90
=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90.
令 y=2x2+5x+2,则
原式 =y(y+1)-90=y2+y-90
=(y+10)(y-9)
=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)
=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1) .
说明 对多项式适当的恒等变形是我们找到新元 (y)的基础.
例 8 分解因式:
(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2.
解 设 x 2+4x+8=y,则
原式 =y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)
=(x2+6x+8)(x2+5x+8)
=(x+2)(x+4)(x2+5x+8).
说明 由本题可知, 用换元法分解因式时, 不必将原 式中的元都用新元代换,根据题目需要,引入必要的 新元,原式中的变元和新变元可以一起变形,换元法 的本质是简化多项式.
例 9分解因式:6x 4+7x3-36x 2-7x+6.
解法 1 原式 =6(x4+1)+7x(x2-1) -36x 2
=6[(x4-2x 2+1)+2x2]+7x(x2-1) -36x 2 =6[(x2-1)2+2x2]+7x(x2-1) -36x 2
=6(x2-1) 2+7x(x2-1) -24x 2
=[2(x2-1) -3x ][3(x2-1)+8x]
=(2x2-3x -2)(3x2+8x-3)
=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3).
说明 本解法实际上是将 x 2-1看作一个整体,但并 没有设立新元来代替它,即熟练使用换元法后,并非 每题都要设置新元来代替整体.
解法 2
原式 =x2[6(t2+2)+7t-36]
=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)
=x2[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8]
=(2x2-3x -2)(3x2+8x-3)
=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3).
例 10 分解因式:(x2+xy+y2) -4xy(x2+y2) .
分析 本题含有两个字母, 且当互换这两个字母的位 置时,多项式保持不变,这样的多项式叫作二元对称 式. 对于较难分解的二元对称式, 经常令 u=x+y, v=xy, 用换元法分解因式.
解 原式 =[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy].令 x+y=u, xy=v,则
原式 =(u2-v) 2-4v(u2-2v)
=u4-6u 2v+9v2
=(u2-3v) 2
=(x2+2xy+y2-3xy) 2
=(x2-xy+y2) 2.
第二讲:因式分解 (二 )
1.双十字相乘法
分解二次三项式时,我们常用十字相乘法.对于某 些二元二次六项式 (ax2+bxy+cy2+dx+ey+f),我们也 可以用十字相乘法分解因式.
例如,分解因式 2x 2-7xy-22y 2-5x+35y-3.我们将上 式按 x 降幂排列,并把 y 当作常数,于是上式可变 形为
2x 2-(5+7y)x-(22y2-35y+3),
可以看作是关于 x 的二次三项式.
对于常数项而言,它是关于 y 的二次三项式,也可 以用十字相乘法,分解为
即:-22y 2+35y-3=(2y-3)(-11y+1).
再利用十字相乘法对关于 x 的二次三项式分解
所以,原式 =[x+(2y-3)][2x+(-11y+1)]
=(x+2y-3)(2x-11y+1).
上述因式分解的过程,实施了两次十字相乘法.如 果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起,可得 到下图:
它表示的是下面三个关系式:
(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y 2;
(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3;
(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3.
这就是所谓的双十字相乘法.
用双十字相乘法对多项式 ax 2+bxy+cy2+dx+ey+f进 行因式分解的步骤是:
(1)用十字相乘法分解 ax 2+bxy+cy2,得到一个十字 相乘图 (有两列 ) ;
(2)把常数项 f 分解成两个因式填在第三列上, 要求 第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中 的 ey ,第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于 原式中的 dx .
例 1 分解因式:
(1)x2-3xy-10y 2+x+9y-2;
(2)x2-y 2+5x+3y+4;
(3)xy+y2+x-y-2;
(4)6x2-7xy-3y 2-xz+7yz-2z2.
解
(1)
原式 =(x-5y+2)(x+2y-1).
(2)
原式 =(x+y+1)(x-y+4).
(3)原式中缺 x 2项,可把这一项的系数看成 0来分 解.
原式 =(y+1)(x+y-2).
(4)
原式 =(2x-3y+z)(3x+y-2z).
说明 (4)中有三个字母,解法仍与前面的类似. 2.求根法
我们把形如 a n x n +an-1x n-1+? +a1x+a0(n为非负整数 ) 的 代数式称为关于 x 的一元多项式, 并用 f(x), g(x), ? 等记号表示,如
f(x)=x2-3x+2, g(x)=x5+x2+6,?,
当 x=a时, 多项式 f(x)的值用 f(a)表示. 如对上面 的多项式 f(x)
f(1)=12-331+2=0;
f(-2)=(-2)2-33(-2)+2=12.
若 f(a)=0,则称 a 为多项式 f(x)的一个根. 定理 1(因式定理 ) 若 a 是一元多项式 f(x)的根, 即 f(a)=0成立,则多项式 f(x)有一个因式 x-a . 根据因式定理, 找出一元多项式 f(x)的一次因式的 关键是求多项式 f(x)的根.对于任意多项式 f(x), 要求出它的根是没有一般方法的, 然而当多项式 f(x)的系数都是整数时,即整系数多项式时,经常用下 面的定理来判定它是否有有理根.
定理 2
的根,则必有 p 是 a 0的约数, q 是 a n 的约数.特别 地,当 a 0=1时,整系数多项式 f(x)的整数根均为 a n 的约数.
我们根据上述定理,用求多项式的根来确定多项式 的一次因式,从而对多项式进行因式分解.
例 2 分解因式:x 3-4x 2+6x-4.
分析 这是一个整系数一元多项式,原式若有整数 根, 必是 -4的约数, 逐个检验 -4的约数:±1, ±2, ±4,只有
f(2)=23-4322+632-4=0,
即 x=2是原式的一个根,所以根据定理 1,原式必
有因式 x-2.
解法 1 用分组分解法,使每组都有因式 (x-2). 原式 =(x3
-2x 2
)-(2x2
-4x)+(2x-4) =x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2) =(x-2)(x2
-2x+2).
解法 2 用多项式除法,将原式除以 (x-2),
所以
原式 =(x-2)(x2
-2x+2).
说明 在上述解法中, 特别要注意的是多项式的有理
根一定是 -4的约数,反之不成立,即 -4的约数不一 定是多项式的根.因此,必须对 -4的约数逐个代入 多项式进行验证.
例 3 分解因式:9x 4
-3x 3
+7x2-3x-2.
分析 因为 9的约数有±1,±3,±9; -2的约数有
±1
,±
为:
所以,原式有因式 9x 2
-3x-2. 解 9x4
-3x 3
+7x2
-3x-2 =9x4
-3x 3
-2x 2
+9x 2
-3x-2 =x2
(9x3
-3x-2)+9x2
-3x-2 =(9x2
-3x-2)(x2
+1) =(3x+1)(3x-2)(x2
+1)
说明 若整系数多项式有分数根, 可将所得出的含有
分数的因式化为整系数因式,如上题中的因式
可以化为 9x 2
-3x-2,这样可以简化分解过程. 总之,对一元高次多项式 f(x),如果能找到一个一
次因式 (x-a),那么 f(x)就可以分解为 (x-a)g(x), 而 g(x)是比 f(x)低一次的一元多项式,这样,我们 就可以继续对 g(x)进行分解了. 3.待定系数法
待定系数法是数学中的一种重要的解题方法,应用
很广泛,这里介绍它在因式分解中的应用. 在因式分解时,一些多项式经过分析,可以断定它
能分解成某几个因式,但这几个因式中的某些系数
尚未确定,这时可以用一些字母来表示待定的系 数.由于该多项式等于这几个因式的乘积,根据多
项式恒等的性质,两边对应项系数应该相等,或取 多项式中原有字母的几个特殊值,列出关于待定系 数的方程 (或方程组 ) ,解出待定字母系数的值,这 种因式分解的方法叫作待定系数法. 例 4 分解因式:x 2
+3xy+2y2
+4x+5y+3. 分析 由于
(x2
+3xy+2y2
)=(x+2y)(x+y),
若原式可以分解因式,那么它的两个一次项一定是
x+2y+m和 x +y +n 的形式,应用待定系数法即可求
出 m 和 n ,使问题得到解决. 解 设
x 2
+3xy+2y2
+4x+5y+3 =(x+2y+m)(x+y+n)
=x2+3xy+2y2
+(m+n)x+(m+2n)y+mn, 比较两边对应项的系数,则有
解之得 m=3, n=1.所以
原式 =(x+2y+3)(x+y+1).
说明 本题也可用双十字相乘法, 请同学们自己解一
下.
例 5 分解因式:x 4
-2x 3
-27x 2
-44x+7.
分析 本题所给的是一元整系数多项式, 根据前面讲
过的求根法,若原式有有理根,则只可能是±1,±7(7的约数 ) , 经检验, 它们都不是原式的根, 所以, 在有理数集内,原式没有一次因式.如果原式能分 解,只能分解为 (x2
+ax+b)(x2
+cx+d)的形式. 解 设
原式 =(x2
+ax+b)(x2+cx+d)
=x4
+(a+c)x3
+(b+d+ac)x2
+(ad+bc)x+bd, 所以有
由 bd=7,先考虑 b=1, d=7有
所以
原式 =(x2
-7x+1)(x2
+5x+7).
说明 由于因式分解的唯一性,所以对 b=-1, d=-7
等可以不加以考虑.本题如果 b=1, d=7代入方程组 后,无法确定 a , c 的值,就必须将 bd=7的其他解 代入方程组,直到求出待定系数为止. 本题没有一次因式,因而无法运用求根法分解因
式. 但利用待定系数法, 使我们找到了二次因式. 由 此可见,待定系数法在因式分解中也有用武之地.
第三讲 实数的若干性质和应用
实数是高等数学特别是微积分的重要基础.在初中代 数中没有系统地介绍实数理论,是因为它涉及到极限 的概念. 这一概念对中学生而言, 有一定难度. 但是, 如果中学数学里没有实数的概念及其简单的运算知 识,中学数学也将无法继续学习下去了.例如,即使 是一元二次方程,只有有理数的知识也是远远不够用 的.因此,适当学习一些有关实数的基础知识,以及 运用这些知识解决有关问题的基本方法,不仅是为高 等数学的学习打基础,而且也是初等数学学习所不可 缺少的. 本讲主要介绍实数的一些基本知识及其应用.
用于解决许多问题,例如,不难证明:任何两个有理 数的和、差、积、商还是有理数,或者说,有理数对 加、减、乘、除 (零不能做除数 ) 是封闭的. 性质 1 任何一个有理数都能写成有限小数 (整数可 以看作小数点后面为零的小数 ) 或循环小数的形式, 反 之亦然. 例 1
分析 要说明一个数是有理数, 其关键要看它能否写 成两个整数比的形式. 证 设
两边同乘以 100得
② -①得
99x=261.54-2.61=258.93,
无限不循环小数称为无理数.有理数对四则运算是封
闭的,而无理
是说,无理数对四则运算是不封闭的,但它有如下性 质.
性质 2 设 a 为有理数, b 为无理数,则 (1)a+b, a -b 是无理数;
有理数和无理数统称为实数,即
在实数集内,没有最小的实数,也没有最大的实 数.任意两个实数,可以比较大小.全体实数和数轴 上的所有点是一一对应的.在实数集内进行加、减、 乘、 除 (除数不为零 ) 运算, 其结果仍是实数 (即实数对 四则运算的封闭性 ) . 任一实数都可以开奇次方, 其结 果仍是实数;只有当被开方数为非负数时,才能开偶 次方,其结果仍是实数.
例 2
分析
证
所以
分析 要证明一个实数为无限不循环小数是一件极 难办到的事. 由于有理数与无理数共同组成了实数集, 且二者是矛盾的两个对立面,所以,判定一个实数是 无理数时,常常采用反证法.
证 用反证法.
所以 p 一定是偶数.设 p=2m(m是自然数 ) ,代入① 得
4m 2=2q 2, q 2=2m 2,
例 4 若 a 1+b1a=a2+b2a(其中 a 1, a 2, b 1, b 2为有理数, a 为无理数 ) ,则 a 1=a2, b 1=b2,反之,亦成立.
分析 设法将等式变形, 利用有理数不能等于无理数 来证明.
证 将原式变形为 (b1-b 2)a=a2-a 1.若 b 1≠ b 2,则
反之,显然成立.
说明 本例的结论是一个常用的重要运算性质. 是无理数,并说明理由.
整理得:
由例 4知
a =Ab , 1=A,
说明 本例并未给出确定结论, 需要解题者自己发现
正确的结
有理数作为立足点,以其作为推理的基础.
例 6 已知 a , b 是两个任意有理数, 且 a
分析 只要构造出符合条件的有理数, 题目即可被证 明.
证 因为 a
说明 构造具有某种性质的一个数, 或一个式子, 以 达到解题和证明的目的,是经常运用的一种数学建模 的思想方法.
例 7 已知 a , b 是两个任意有理数,且 a <>
即
由①,②有
存在无理数 α,使得 a <>
b 4
+12b3
+37b2
+6b-20
的值.
分析 因为无理数是无限不循环小数, 所以不可能把 一个无理数的小数部分一位一位确定下来,这样涉及 无理数小数部分的计算题,往往是先估计它的整数部 分 (这是容易确定的 ) ,然后再寻求其小数部分的表示 方法.
14=9+6b+b2
,所以 b 2
+6b=5.
b 4
+12b3
+37b2
+6b-20
=(b4
+226b 3
+36b2
)+(b2
+6b)-20 =(b2
+6b)2
+(b2
+6b)-20 =52+5-20=10. 例 9 求满足条件
的自然数 a , x , y . 解 将原式两边平方得
由①式变形为
两边平方得
范文五：初中数学视频-数学竞赛专题培训.doc
初中数学视频-数学竞赛专题培训 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具(因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用(初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法(本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍(
1(运用公式法
在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如:
(1)a2-b2=(a+b)(a-b);
(2)a2±2ab+b2=(a±b)2;
(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2);
(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)(
下面再补充几个常用的公式:
(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2;
(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca);
(7)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1)其中n为正整数;
(8)an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1)，其中n为偶数;
(9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1)，其中n为奇数(
运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式(
例1 分解因式:
(1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4;
(2)x3-8y3-z3-6xyz;
(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab;
(4)a7-a5b2+a2b5-b7(
解 (1)原式=-2xn-1yn(x4n-2x2ny2+y4)
=-2xn-1yn[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]
=-2xn-1yn(x2n-y2)2
=-2xn-1yn(xn-y)2(xn+y)2(
(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)
=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)(
(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2
,(a-b)2+2c(a-b)+c2
=(a-b+c)2(
本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下:
原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)
=(a-b+c)2
(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)
=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)
=(a2-b2)(a5+b5)
=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)
=(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)
例2 分解因式:a3+b3+c3-3abc(
本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)(
分析 我们已经知道公式
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
的正确性，现将此公式变形为
a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)(
这个 式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导(
解 原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc
=,(a+b)3+c3,-3ab(a+b+c)
=(a+b+c),(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)(
说明 公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如:我们将公式(6)变形为
a3+b3+c3-3abc
显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc;当a+b+c,0时，则a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立(
如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有
等号成立的充要条件是x=y=z(这也是一个常用的结论(
例3 分解因式:x15+x14+x13+…+x2+x+1(
分析 这个多项式的特点是:有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式an-bn来分解(
解 因为
x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)，
所以
说明 在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用(
2(拆项、添项法
因式分解是多项式乘法的逆运算(在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零(在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项(拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解(
例4 分解因式:x3-9x+8(
分析 本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧(
解法1 将常数项8拆成-1+9(
原式=x3-9x-1+9
=(x3-1)-9x+9
=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)(
解法2 将一次项-9x拆成-x-8x(
原式=x3-x-8x+8
=(x3-x)+(-8x+8)
=x(x+1)(x-1)-8(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)(
解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3(
原式=9x3-8x3-9x+8
=(9x3-9x)+(-8x3+8)
=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)
=(x-1)(x2+x-8)(
解法4 添加两项-x2+x2(
原式=x3-9x+8
=x3-x2+x2-9x+8
=x2(x-1)+(x-8)(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)(
说明 由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种(
例5 分解因式:
(1)x9+x6+x3-3;
(2)(m2-1)(n2-1)+4mn;
(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4;
(4)a3b-ab3+a2+b2+1(
解 (1)将-3拆成-1-1-1(
原式=x9+x6+x3-1-1-1
=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)
=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)
=(x3-1)(x6+2x3+3)
=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)(
(2)将4mn拆成2mn+2mn(
原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn
=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn
=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)
=(mn+1)2-(m-n)2
=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)(
(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2(
原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4
=,(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2
=,(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2
=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)(
(4)添加两项+ab-ab(
原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab
=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)
=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)
=a(a-b),b(a+b)+1]+(ab+b2+1)
=[a(a-b)+1](ab+b2+1)
=(a2-ab+1)(b2+ab+1)(
说明 (4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式(这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验(
3(换元法
换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰(
例6 分解因式:(x2+x+1)(x2+x+2)-12(
分析 将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难(我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题
转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了(
解 设x2+x=y，则
原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10
=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)
=(x-1)(x+2)(x2+x+5)(
说明 本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试(
例7 分解因式:
(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90(
分析 先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合(
解 原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90
=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90
=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90(
令y=2x2+5x+2，则
原式=y(y+1)-90=y2+y-90
=(y+10)(y-9)
=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)
=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)(
说明 对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础(
例8 分解因式:
(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2(
解 设x2+4x+8=y，则
原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)
=(x2+6x+8)(x2+5x+8)
=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)(
说明 由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式(
例9 分解因式:6x4+7x3-36x2-7x+6(
解法1 原式=6(x4+1)，7x(x2-1)-36x2
=6,(x4-2x2+1)+2x2,+7x(x2-1)-36x2
=6[(x2-1)2+2x2]+7x(x2-1)-36x2
=6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2
=[2(x2-1)-3x,,3(x2-1)+8x]
=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)
=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)(
说明 本解法实际上是将x2-1看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体(
解法2
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