范文一:均值定理是不等式中的一个重要不等式
浅析算术平均数定理的使用
关键词:算术平均数定理 正 定 等 最值 变形
参考资料:毕国振《应用均值不等式时条件不容忽视》《数学大世界》2011年第6期
薛金星《中学教材全解》
简介:本文主要总结了在使用算术平均数定理时一些常用的变形方法和注意事项。
算术平均数定理是不等式中的一个重要不等式,是一个重点考查内容,可用与求最值)证明等,应用非常广泛。应用此定理关健把握助一二三,即一正二定三相等,在有的题目中不能直接应用,只要是因为定等两条件不满足,必须将题目先适当变形。下面将一些常用的变形方法介绍一下。
一化负为正
因为算术平均数定理是只对正数才成立,所以引保证含字母的各项都是正数,负的须先转化为正数才可用
1例如:已知X,0 求函数f(x)=x++5的值域 x
11,,,()x解?X,0?-x,0 f(x)=x++5= +5 x,x
11-x+ ?2 ?x+?-2 ?f(x) ?3 ,xx
二。添加常数项
b形如 ax+型的常常通过添加常数的办法将其变形为a(x+e)+ cxd,
b+f的形式 cxe,,,
11例如:已知a,,求的最小值 3a,221_a,
13331131=3(a-)++?2+=+当且仅当3(a-)63a,122222221_a,2()_a,2
3611=即a=时取等。所以最小值+ 6,12622()_a,2
三。平均拆项法
将式子中的某项平均分成几项,使乘积出现定值。平均分的目的是保
ca证所有含字母的项都可相等适用于形如 +,a?b xbx
32例如y= x,(x,0)的最值 x
3662233x,y= = x,,?3 当且仅当x= 时取等。所以y的最小366xxx
3值为3 36
四,改变系数法
此种方法在求最大值时用的较多,把积式中的某一个因式乘以一个常
数,通过改变系数使含有字母的各项和为定值。 例如 1。已知y=x(8—3x) (0, x ,2)求y的最大值
2383xx,,11116,, y=x(8—3x)= ×3 x(8—3x)?×=×16=当且仅当,,33233,,
4163 x=8—3x即x=时取等.所以y有最大值 33
23再如 已知0,x,1,y=,求y的最大值 xx,
22xxx,,,22114,,23xxxxx(1)(1),,,解:y===xx(2—2x)?= xx,,,22273,,
4所以y有最大值 27
五。分子分母互化
fx,,对于形如y,形的函数可把次数高的用次数低的表示出来,并处gx,,
以次数低的那个式子。
(5)(2)xx,,例如求y=(x,-1)的最小值 x,1
22xxxx,,,,,,710(1)5(1)44?yx,,,,,,(1)5xxx,,,11(1)
42+5=9 (1)x,,x,1
4当且仅当x+1= 即 x=1时y的最小值为9 x,1
x,,21又如求的最大值 y,28x,
2设t=x,2x=t-2,
tt,,,1111131y=,,,,, 22328242(1)2(1)3ttt,,,,,232,2(1)2t,,,t,1
六。常量字母化。
在有限制条件的不等式中常常将待求式中的常数用条件中的字母代
换或乘以条件等式,再考虑用算术平均数定理。
11,例如:已知xyR,,且x+2y=3求的最小值 ,xy
xy,211xyxyyx,,222解法1:?x+2y=3 ?=1 ?,=?,,,,13xy3333xyxy
32yx221+当当且仅且x+2y=3即x=3(-1) y= (2-)时取最,222333xy
22小值1+ 3
112y1111x解法2:?x+2y=3 ?=()(x+2y)=(3++)?,,33xyxyxy
2y3x221+当且仅当=且x+2y=3即x=3(-1) y= (2-)时取最小22x2y3
22值1+ 3
另外有时还需注意是否可等,若不满足相等就利用打钩函数的单调性
2x,5y求解。 例如 = x,求函数的最值2x,4
2x,5122x,4x,4y==+这里虽然满足正定两条,但当?22x,4x,4
112x,4所以不能用算术平均数定理。可令t=则t?2又因y=t+2tx,4
5在t?1时单增,?当t=2即x=0时y有最小值 2
从 以上几例可以看出算术平均数定理的变形应用比较灵活,需要我们认真仔细切不可生搬硬套。
范文二:不等式在中专数学中的重要作用
中图分类号:G718.3
文献标识码:A
摘
要不等式是中专数学知识的一个重要组成部分,是学习中专数学和其他学科的重要工具。通过学习如何证明不等式、解不等式以及应用不等式,能提高学生解题、思维能力,培养学生的数学思想方法,以便更好地培养学生的能力,提出一些在教学过程中的对策。
关键词不等式中专数学数学思想方法
On the Importance of Inequality in Secondary Vocational Mathematics //Pan Jun
Abstract The inequality is an important component of the technical secondary school mathematics knowledge and an im -portant tool of learning technical secondary school mathematics and other subjects. Through learning how to prove inequality, solve inequality and apply inequality, students ' problem-solv -ing ability ' and thinking ability can be improved. Besides, stu -dents way of mathematical thinking can be developed. Finally, in order to better develop students ' ability, put forward some suggestions about inequality teaching.
Key words inequality;technical secondary school mathemat -ics;way of mathematical thinking
Author ' s address Sanming Agricultural School of Fujian Province,365500,Sanming,Fujian,China
不等式是描述现实世界中的不等关系的数学模型,反映了事物在量上的区别,它与其他知识有紧密的联系,在涉及量的范围和最值的内容中几乎都会用到它。数学思想方法是数学知识的精髓,要利用数学思想的载体不等式来学
好数学思想方法并能处理问题。通过对不等式的学习,
培养学生的分类讨论、化归和数形结合的思想。本文从证明不等式、解不等式和应用不等式这三方面来培养学生的数学思想方法。
1不等式的证明
不等式的证明,方法灵活多样,它可以和很多内容结合,着重培养考生变形能力、逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。例1]证明不等式1+1+1+…+1<2本题是一道考查数学归纳法姨姨、不等式证明的综合性题姨姨(n>2本题是一道考查数学归纳法姨姨、不等式证明的综合性题姨姨(n>
目,考查学生观察能力、构造能力。求解时应首先想到应用数
学归纳法,另外还涉及不等式证明中的放缩法、
构造法等。证明:(1)当n 等于1时,不等式左端等于1,右端等于2,所以不等式成立;
(2)假设n=k(k≥1) 时,不等式成立,即1+1+1+…+
1姨姨<>
,
则1+1+1+…+1+1<>
姨姨姨姨姨=2+1
1姨姨<>
另从姨姨
k 到k+1时的证明还有下列证法:
∵2(k+1)-1-2姨=k-2姨+(k+1)=(姨-姨) 2
106
文章编号:1672-7894(2012)24-0106-02
∴2姨+1<>
∵姨>0,∴2姨+
1<2姨姨又如∵2姨-2姨=22+>=姨姨姨+1姨姨∴2姨+1<>
常见的方法有:①添加或舍去一些项,如:(或缩小姨a +1>|a|;)姨>n;②将分子或分母放大③利用基本不等式,
如:
log3·lg5<(lg3+lg5)>(lg3+lg5)>
=lg姨<>
n+(n+1)
④利用常用结论:
Ⅰ. 姨-姨=1+<1;11姨姨2姨ⅱ.>1;11姨姨2姨ⅱ.><=1-1>1=1-1程度大)k k Ⅲ. 111k
==1(1-1) ;(程度小)
[例2]已知a ,b ∈R ,且a+b=1求证:(a+2)2+(b+2)2
≥25
本题所用的是比较法,比较法有作差比较和作商比较两种方法。有时为了方便可以通过先变形再比较。
证明:∵a,b ∈R, 且a+b=1,∴b=1-a ∴(a+2)2+(b+2)2-25=a2
+b2+4(a+b)-9
=a2+(1-a) 2+4-9=2a2-2a+1=2(a-1) 2
≥0
即(a+2)2+(b+2)2
≥25当且仅当a=b=1时,取等号)
[例3]a a>0,m>0)本题用的是数形结合法,可以通过图像来使问题得到简化。证明:如图1,在RtABC 及RtADF 中,AB=a,AC=b,BD=m,作CE ∥BD ∵△ABC ∽△ADF,
∴a =a+m
2解不等式
解不等式有高次不等式、分式不等式、无理不等式、指数不等式、含绝对值的不等式的解法。解不等式与解方程以及函数图像、性质有着较为密切的联系,它们互相联系,又有所区别,要培养学生的分类讨论的思想和数形结合的思想。
[
范文三:几个重要不等式的证明
,当且仅当b i =la i (1£i £n ) 时取等号
柯西不等式的几种变形形式
1. 设a i ?R,b i >0 (i =1,2,…,n ) 则,当且仅当b i =la i (1£i £n ) 时取等号
2. 设a i , b i 同号且不为零(i =1,2,…,n ) ,则,当且仅当b 1=b 2=…=b n 时取等号 例1. 已知a 1, a 2, a 3,…,a n ,b 1, b 2,…,b n 为正数,求证:
证明:左边
=
例2. 对实数a 1, a 2,…,a n , 求证:
证明:左边
=
例3. 在DABC 中,设其各边长为a , b , c , 外接圆半径为R ,求证:
证明:左边3
例4. 设a , b , c 为正数,且a +b +c =1,求证:
证明:左边
=
3
= =
例5. 若n 是不小于2的正整数,试证: 证明:
所以求证式等价于
由柯西不等式有
于是: 又由柯西不等式有
例6. 设x 1, x 2,…,x n 都是正数(n 32)且,求证: 证明:不等式左端即 (1) ∵,取,则
(2) 由柯西不等式有 (3) 及
综合(1)、(2)、(3)、(4)式得:
三、排序不等式
设a 1£a 2£…£a n , b 1£b 2£…£b n ; r 1, r 2,…,r n 是1,2,…,n 的任一排列,则有:
a 1b n + a2b n -1+…+ an b 1£a 1b r 1+ a2b r 2+…+ an b rn £ a1b 1+ a2b 2+…+ an b n
反序和£乱序和£同序和
例1. 对a , b , c ?R, 比较a +b +c 与a b +b c +c a 的大小
解:取两组数a , b , c ;a , b , c ,则有a +b +c 3a b +b c +c a 222333222+333222
例2. 正实数a 1, a 2,…,a n 的任一排列为a 1, a 2,…a n ,则有///
证明:取两组数a 1, a 2,…,a n ; 其反序和为,原不等式的左边为乱序和,有 例3. 已知a , b , c ?R求证:+
证明:不妨设a 3b 3c >0,则>0且a 3b 3c >0
121212
则
例4. 设a 1, a 2,…,a n 是1,2,…,n 的一个排列,求证:
证明:设b 1, b 2,…,b n -1是a 1, a 2,…,a n -1的一个排列,且b 1<>
c 1, c 2,…,c n -1是a 2, a 3,…,a n 的一个排列, 且c 1
利用排序不等式有:
例5. 设a , b , c ?R, 求证:+ 证明:不妨设a 3b 3c , 则,a 3b 3c >0 222
由排序不等式有:
两式相加得
又因为:a 3b 3c >0,333 故
两式相加得
例6. 切比雪不等式:若a 1£a 2£…£a n 且b 1£b 2£…£b n , 则
a 1£a 2£…£a n 且b 13b 23…3b n , 则 证明:由排序不等式有:
a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n = a1b 1+a 2b 2+…+a n b n
a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n 3 a1b 2+a 2b 3+…+a n b 1
a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n 3 a1b 3+a 2b 4+…+a n b 2
…………………………………………
a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n 3 a1b n +a 2b 1+…+a n b n -1
将以上式子相加得:
n (a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n )3 a1(b 1+b 2+…+b n )+ a2(b 1+b 2+…+b n )+…+ an (b 1+b 2+…+b n ) ∴
范文四:不等式的重要公式总结
高分中考zhongkao.gaofen.com
不等式的重要公式总结 【重要公式】
a,b222222,a,b,c,ab,bc,ca1、(可直接用) a,b,2ab,ab,()2
22a,ba,b2,2、(要会证明) ,,ab,(a,b,R)1122重,ab要
333公3、即可) a,b,c,3abc(a,b,c,0
式 a,b,c,334、,; (a,b,c,R)abc,()a,b,c,3,abc3
(a,b,c,R)|a|,|b|,|a,b|,|a|,|b|5、,
【证明方法】
方法一:作差比较法
1222 已知:a,b,c,1,求证:。 a,b,c,3
1的代换112222222 证:左,右= (3a,3b,3c,1),,,,[3a,3b,3c,(a,b,c)]33
1222 ,[(a,b),(b,c),(c,a)],03
方法二:作上比较法
,2a2b2cb,cc,aa,b,Rabc,abca,b,c设a、b、c,且,求证:
abc222左abcabca,ba,cb,cb,ac,ac,ba,bb,cc,a 证: aabbcc,,,(),(),()b,cc,aa,b右bcaabc
aaa,bab 当a>b>0时 ,,1,,,0,(),1bb
aaa,bab 当0
baca,bb,cc,a ? 不论a>b还是a
方法三:公式法
设a>0,b>0,且a+b=1,求证:
111254422()() ? ? a,b,a,,b,,82ab
1
高分中考zhongkao.gaofen.com
2222A,BA,BA,BA,B2 证?由公式:得: ,,,()2222
442211a,ba,ba,b22244()[()],,,,a,b, 222168
222()A,BA,BA,B222() 证?由 ,,A,B,222
1111a,b11222 ? 左 (*) ,[(a,),(b,)],[a,b,],(1,)2ab2ab2ab
a,b112 ? ab,(),,,424ab
1252 ? (*) (14),,,22
方法四:放缩法
(n,1)(n,2)log,log(n,1) n(n,1)
(n,1)log,0 ? n>1, ? n
n(n,2)log,log,1 ? 只要证: 即可 (n,1)(n,1)
11n(n,2)2n(n,2)2 左<>
2211(n,2n,1)2(n,1)2 < [(log],[log],1n,1(n,1)22="">
方法五:分析法
,,R设a,a,b,b,求证:(自证) (a,b)(a,b),aa,bb121211221212方法六:归纳猜想、数学归纳法
nna,ba,bna,0,b,0(),设,求证:(自证) 22
2
范文五:几个重要的不等式
高二数学竞赛讲义一
——几个重要的不等式
证明不等式的常用方法,除了我们比较熟悉的比较法,分析法,综合法,放缩法,变量代换法等以外,有时还需运用以下一些重要的不等式来加以解决:
1n
1. 平均不等式
设ai?R(i?1,2,?,n),则?ai?,当且仅当
ni?1?
a1?a2???an时等号成立。
2. 排序不等式 设有两个有序数组a1?a2???an及b1?b2???bn,则
a1b1?a2b2???anbn(顺序和)?a1bj1?a2bj2???anbjn(乱序和)
,其中j1,j2,?,jn是1,2,?a1bn?a2bn?1???anb1(倒序和)?,n的任一排列,当且仅当a1?a2???an,或b1?b2???bn时等号成立。
利用排序不等式可以得到切比雪夫不等式:
nn1n
若a1?a2???an及b1?b2???bn,则?aibi??ai?bi??aibn?1?i。 ?ni?1i?1i?1i?1
n
利用排序不等式及切比雪夫不等式,证明其它不等式的关键是构造出两个合适的有序数组。
3. 柯西不等式 设ai,bi?R(i?1,2,?,n),则(
?aibi)?
2
i?1
n
2
a?b?i?i,等
2
i?1
i?1
nn
号当且仅当
aa1a2
。 ????n时成立(约定ai?0时,bi?0)
b1b2bn
运用柯西不等式,证明不等式的关键是构造两组数,并依照柯西不等式的形式进行
探索。在遇到分式型不等式时,通常运用柯西不等式的一些变形。
实践探索:
1. 在锐角?ABC中,a?b?c,记P?
a?b?c
,Q?acosC?bcosB?ccosA,则P,Q2
的关系为 ( )
(A)P〈Q (B)P=Q (C) (PD〉)Q不 能 确 定
2. 已知a,b,x1,x2为互不相等的正数,y1?
ax1?bx2bx?ax2
,y2?1,则y1y2与x1x2
a?ba?b
的关系适合 ( )
(A)y1y2 2 ?n?1?111 ????,n?3. 已知a1?a2???an,设m?,则有( ) a1?aa?aa?aa?a2231n?n1n (A)m 4. 若x?y?z?6,则x2?y2?z2的最小值为 。 5. 已知x,y,z为正数,且xyz(x?y?z)?1,则(x?y)(y?z)的最小值为。 6. 设n为自然数,a,b为正实数且满足a?b?2,则 为 。 11 ?的最小值nn 1?a1?b xy7. 设x,y?R,且x2?y2?1,则x?y? 8. 已知x,y,z?R?,且x?y?z?1,求证: 的最大值是,最小值是。 149 ???36。 xyz z2?x2x2?y2y2?z2 9. 设x,y,z?R,求证:???0。 x?yy?zz?x ? 10. 设0?a?b?c?d?e,且a?b?c?d?e?1,求证:ad?dc?cb?be?ea? 1。 5 转载请注明出处范文大全网 » 均值定理是不等式中的一个重要