那晚越女说我?
范文一：直线和抛物线相交中弦的问题学案
直线和抛物线相交中弦的问题学案 一、完成下表:
标准方程 2222 ypxp,,,20xpyp,,20xpyp,,,20ypxp,,20，，，，，，，，
图形 焦半径长 焦点弦 (弦长)
通径
2yx,4问题1:点与抛物线的位置关系, 1,0，，
2yx,4问题2:过点的直线与抛物线的位置关系, 1,0，，
2yx,4问题3:所有过的直线与抛物线相交所形成的弦中，最短的弦长为______ 1,0，，
2yx,4例1:直线过点，斜率为1，求直线与抛物线相交所得的弦长和弦中点。 1,0ll，，
2yx,4变式(1):直线过点，与抛物线相交所得的弦长为8，求直线的斜率k，1,0ll，，
弦中点。
2变式(2):直线过点，斜率为1，直线与抛物线相交所得弦为AB，1,0ypxp,,20ll，，，，且AB中点的横坐标为3，求抛物线的标准方程和弦长。
2yx,4例2:直线过点，斜率为1，求直线与抛物线相交所得的弦长和弦中点。 3,1ll，，
尝试编题:
2ypxp,,2(0)例3:过抛物线的焦点，作一直线交抛物线于A、B两点，以AB为直径
的圆与抛物线的准线相切于点C(-2，-2)
求(1)抛物线的方程;
(2)直线AB的方程;
(3)圆的方程。
范文二：课题：直线和抛物线相交中弦的问题
数学课堂教学有效性因素探析
一节有效、高效的数学课应该是和谐的、生成的、变动的，是令人倾心神往的。学生如沐浴春分，是启迪智慧、引领生成的。下面就一节公开课《直线和抛物线相交中弦的问题》为例来谈谈自己对有效数学课堂谈一些想法:这节课是在学生掌握抛物线的定义，标准方程，几何性质，直线和抛物线的位置关系的基础上，进一步探究直线和抛物线相交中的弦长和弦中点问题。教学过程如下:
(一)情景设置
复习回顾:1、抛物线的定义(教师提问，并在黑板上画出图像)
2、用坐标表示焦半径，焦点弦，通径(以焦点在x轴的正半轴上为例)(教师板
书)
2yx,4:点与抛物线的位置关系,(几何画板演示) 问题11,0，，
2yx,4问题2:过点的直线与抛物线的位置关系,(几何画板演示) 1,0，，
【设计意图】焦半径，焦点弦，通径在抛物线的性质中已推导过，但如果直接提问让学生回答，有的学生未必能理解的记住，通过复习定义找到知识的生长点，而不是教师让学生去死记的。问题1的设计是想渗透经过抛物线内部一点的直线和抛物线始终是相交的。从而引出直线和抛物线相交中弦长，弦中点等相关的问题。
2yx,4问题3:所有过的直线与抛物线相交所形成的弦中，最短的弦长为______ 1,0，，
(二)例题分析
2yx,4例1:直线过点，斜率为1，求直线与抛物线相交所得的弦长和弦中点。 1,0ll，，
(要求学生先做，然后根据学生解答情况请学生回答，教师板书，之后请学生分析已知
什么，要求什么)
2yx,4变式(1):直线过点，与抛物线相交所得的弦长为8，求直线的斜率k，1,0ll，，
弦中点。
2变式(2):直线过点，斜率为1，直线与抛物线相交所得弦为AB，1,0ypxp,,20ll，，，，
且AB中点的横坐标为3，求抛物线的标准方程和弦长。
【设计意图】变式(1)(2)学生动手做，之后师生共同点评，并分析每个变式的已知和未知，启发学生总结题中涉及到的四个量(教师板书)，并总结一般解题思路。 问题:若将特殊点(1，0)改为(3，1)会怎样呢,
2yx,4例2:直线过点，斜率为1，求直线与抛物线相交所得的弦长和弦中点。 3,1ll，，
【设计意图】通过变点，将特殊的焦点弦推广到一般弦，请学生去完成，体会两者的联系。对于焦点弦可以用焦点弦公式，也可以用弦长公式，而一般弦则只能用弦长公式。解题思路是相同的。分析已知和未知，推出知二求二。
(三)尝试编题
问题:你能根据这几个量的关系设计一个题目来考考你的同桌吗,
(教师巡视，找出几个典型写在黑板上，共同探究能否做的出来。)
以两个学生为示范，师生共同探讨是否合理。
其中学生编了这样一个题:
(四)小结与反思
本节课我们对直线和抛物线相交中的弦的问题进行了专题研讨，弄清了直线，抛物线，弦长，弦中点四个要素之间的关系。要学会解题后的反思，寻找问题间的联系，学会举一反三，多题一解和多解归一。
(五)布置作业
思考:本节课探讨的四个要素之间知二求二的关系可以推广到直线和圆，椭圆，双曲线吗,课后同学分析讨论。
这节课充分发挥了教师的主导作用，体现在教师设计的问题链由浅入深，层层递进，富有探究挑战性。也充分体现了学生的主体地位，如教学中保证学生充足的思考时间，使学生通过动脑、动手、动手，很好的调动了学生学习的积极性，受到了较好的教学效果。从中也给了我很多启示:
一、数学课教师讲什么，该如何讲
要搞清数学课该什么，首先得搞清不该讲什么。
二、数学课学生学什么，该如何学
三、学生能力的生长点建在何处
1、培养学生学会学习的习惯—反思、概括、提炼
2、
四、探究该如何把握适度性
五、如何体现数学理性思想和数学本质
六、如何推动学生思维的展开
一、教学目标
1、知识与技能:掌握直线和抛物线相交中，有关直线，抛物线，弦长，弦中点四个量之间的关系。
2、过程与方法:让学生经历探究直线，抛物线，弦长，弦中点四者之间的关系，体会变式训练的价值，学会举一反三。
3、情感态度价值观:激发学生参与的热情，体会数学研究的快乐，培养学生抽象概括的能力。
二、教学重点:直线，抛物线，弦长，弦中点四者之间的关系。
三、教学难点:
1、直线，抛物线，弦长，弦中点四者之间的关系;
2、编题训练。
四、教学方法:
先让学生求解过焦点的弦长，弦中点，及其变式变式训练，从中体会多解归一，进而探究出直线，抛物线，弦长，弦中点四者之间的关系，然后推广到一般弦的变式训练，在变式练习中训练学生的思维，培养学生的抽象概括能力，让学生去体验如何编题。 五、教学过程
范文三：椭圆与抛物线
北 京 四 中
高中数学高考综合复习
专题二十一 椭圆与双曲线 一、知识网络
二、高考考点
1. 椭圆与双曲线的定义、标准方程与几何性质；
2. 有关圆锥曲线的轨迹（或轨迹方程）的探求；
3. 直线与圆锥曲线的问题：对称问题；最值问题；范围问题等；
4. 圆锥曲线的探索性问题或应用问题；
5. 以圆锥曲线为主要内容的综合问题；
6. 数形结合、等价转化、分类讨论等数学思想方法以及数学学科能力、一般思维能力等基本能力。
三、知识要点 (一) 椭圆
Ⅰ 定义与推论 1、定义1的的认知 设M
为椭圆上任意一点，
分别为椭圆两焦点，
分别为椭圆长轴端点，则
有
（1）明朗的等量关系： （解决双焦点半径问题的首选公式）
（2）隐蔽的不等关系： ，
（寻求某些基本量取值范围时建立不等式的基本依据）
2、定义2的推论
根据椭圆第二定义，
设
为椭圆 上任意一点，别为椭圆左、右焦点，则有：
（d 1为点M 到左准线l 1的距离）
（d 2为点M 到右准线l 2的距离）
由此导出椭圆的焦点半径公式：
Ⅱ 标准方程与几何性质 1、椭圆的标准方程
中心在原点，焦点在x
轴上的椭圆标准方程 ①
中心在原点，焦点在y
轴上的椭圆标准方程
②
（1）标准方程①、②中的a 、b 、c
具有相同的意义与相同的联系：
（2
）标准方程①、②统一形式：
2
、椭圆 的几何性质
分
（1
）范围：
（有界曲线）
（2）对称性：关于x 轴、y 轴及原点对称（两轴一中心，椭圆的共性）
（3
）顶点与轴长：顶点予a 、b 名称与几何意义）
，长轴2a ，短轴2b （由此赋
（4
）离心率：
（5）
刻画椭圆的扁平程度
准线：左焦点
对应的左准线
右焦点
对应的右准线
椭圆共性：两准线垂直于长轴；两准线之间的距离为
；
中心到准线的距离为
Ⅲ 挖掘与引申
；焦点到相应准线的距离为 .
1、具特殊联系的椭圆的方程
（1
）共焦距的椭圆的方程
且
（2
）同离心率的椭圆的方程
且
2、弦长公式：
设斜率为k 的直线l
与椭圆交于不同两点 ，
则 ；
或
（二）双曲线 Ⅰ、定义与推论 1．定义1的认知
。
设M
为双曲线上任意一点，点，则有：
（1）明朗的等量关系：
（2）隐蔽的不等关系：
2．定义2的推论
分别为双曲线两焦点， 分别为双曲线实轴端
（解决双焦点半径问题的首选公式）
，
（寻求某些基本量的取值范围时建立不等式的依据）
设右焦点，则有
为双曲线
上任意上点， 分别为双曲线左、
，其中， 为焦点
到相应准线l i
的距离
推论：焦点半径公式 当点M
在双曲线右支上时， 当点M
在双曲线左支上时，
Ⅱ、标准方程与几何性质 3．双曲线的标准方程
；
。
中心在原点，焦点在x
轴上的双曲线标准方程为
①
中心在原点，焦点在y
轴上的双曲线标准方程为
（1）标准方程①、②中的a 、b 、c
具有相同的意义与相同的联系：
②
（2
）标准方程①、②的统一形式：
或：
（3
）椭圆与双曲线标准方程的统一形式：
4
．双曲线 （1
）范围：
的几何性质
（2）对称性：关于x 轴、y 轴及原点对称（两轴一中心）
（3）顶点与轴长：顶点
（由此赋予a,b 名称与几何意义）
（4
）离心率：
（5）
准线：左焦点
对应的左准线
；右焦点
对应的右准线
双曲线共性：准线垂直于实轴；
两准线间距离为 ；
中心到准线的距离为
；
焦点到相应准线的距离为
（6
）渐近线：双曲线 的渐近线方程：
Ⅲ、挖掘与延伸
1．具有特殊联系的双曲线的方程
对于双曲线 （※）
（1）当λ+μ为定值时，（※）为共焦点的双曲线（系）方程：c 2=λ+μ;
（2）
当
为定值时，（※）为共离心率亦为共淅近线的双曲线（系）方程： ；
（3
）以直线 为渐近线的双曲线（系）方程为：
特别：
与双曲线
（左边相同，区别仅在于右边的常数）
2．弦长公式
设斜率为k 的直线l
与双曲线交于不同两点
共渐近线的双曲线的方程为：
则
经典例题 1、
（1）
若椭圆 的一个焦点是（-2，0），则a 等于 。
（2
）已知椭圆
的焦点为F 1、F 2，点P
是其上的动点，当
为钝角时，
点P 的横坐标的取值范围为 。
分析：
（1）从此椭圆的标准方程切入。
由题设知已知得：
这里
由此解得
（2）这里a=3, b=2, c=
①
∴以线段F 1F 2
为直径的圆的方程为
设
又由 ∴
，则由点P
在椭圆上得：
为钝角得： ②
∴
由①、②联立，解得：
∴ 所求点P
横坐标的取值范围为
点评：注意到点P 对
的大小的影响可用点P
与圆
推出
相对位置关系来反
的范围，请同学们尝试和比
映，故选择这一解法。当然，本题亦可由较。
2、
已知
为椭圆的两个焦点，过
的直线交椭圆于P 、Q
两点，
且
，求椭圆的离心率。
分析：不防设椭圆方程为 ， 为等腰直角三角形，注意
到这一三角形含有点P 、Q 处的两条焦点半径，故想到利用椭圆第一定义构建有关方程。
解：设椭圆方程为
设
，则由
为等腰
得：
又由椭圆第一定义得
∴
∴
即
注意到 ∴
∴
即
的周长为4a
① 为
，
② ②′
因此，①代入②′得
由此解得 ∴
点评：这里对条件 运用颇为充分：两次运用椭圆定义，第一次用于导出①，第二项用于导
出②；两次运用用
为
条件：第一次利用
为等腰
表示出
，第二次利
导出②′。充分利用题设条件，也是解题成功的保障之一。
3、
已知双曲线
，
成等比数列且
的左、右两个焦点为
，求双曲线方程。
，P
为双曲线上的点，又
分析：这里要求b
的值。注意到的方程或不等式。由题设得
，为了求b ，首先需要从题设条件入手寻找关于b ，为便于将其设为关于b 的方程，考虑推导并利
用双曲线的焦点半径公式。因此，解题便以判定点P 位置拉开序幕。
解：这里
∵
，即
（4的特殊性） ，
∴ 点P 在双曲线右支上
设点
，则由双曲线第二定义以及点P 在双曲线右支上得
又由题设得 ∴
①代入②得
再注意到由 ∴
∴
即
于是③、④得 而
①
②
③
得，
④
⑤
，所以由⑤得b=1
因此，所求双曲线方程为：
点评：这里对已知条件
的两次运用：第一次“粗”用，利用4=2a的特殊性判定点P
（将4作为一般正数）导出点P 横坐标存在的
在双曲线右支上；第二次“细”
用，利用
范围：
。粗细结合，将已知条件运用得酣畅淋漓。
4、
设椭圆
的焦点为 ，P 为椭圆上一点， 的最大
值为 。
（1）求椭圆的离心率；
（2）设直线l 与椭圆交于M 、N 两点，且直线l 与圆心在原点，半径等于b 的圆相切，已知线段MN 长度的最大值为4，求椭圆方程和直线l 的方程。
分析： 中
的最大值为
的最小值为
，循着特殊
的最小值切
与一般相互依存的辩证关系，想到从在入。
解： （1
）设
则在
= ， 中由余弦定理得
，
中运用余弦定理推导
，
即 ①
∴
的最小值为
又由题设知
的最大值，即
的最小值为
∴
∴
即 a=2b
∴
（2）由已知椭圆方程为
②
由题设知直线l 不垂直于x 轴 设直线l
的方程为
设
则由直线l
与圆
将③代入②得：
∴
④代入⑤得
相切得：
⑤
④
③
∴ 直线l 与椭圆相交于不同两点
又由韦达定理得： ∴
，
⑥
∴
（ 当且仅当
的最大值为2b
（当
时取得） （此时
，即 时等号成立）
∴ 由题设得
） ⑦
∴ a=2b=4 ⑧
进而由④得
，即
⑨
因此，由⑦、⑧、⑨得所求椭圆方程为 直线l 的方程为
或
，
点评：这里导出的①式为此类问题的共同基础：设P 为椭圆 上任
意一点，
，则 最小值为
据此
若
的最大值为
，则 （即 ）；
若
的最大值为
，则
（即 ）；
若
的最大值为
，则
（即 ）。
5、已知斜率为1的直线l
与离心率为两点，又直线l 与y 轴交于点R
，且
的双曲线
，
交于P 、Q
，求直线和双曲线方程。
分析：主要已知条件借助向量表出，故主要问题是认知已知条件，进而根据问题的具体情况进行推理或转化。
解：由
得
，
①
，直线l
的方程为
②
∴ 双曲线方程为
设
将②代入①得
对于方程③，
③ 恒成立
由韦达定理得
∵
∴
即
④ ⑤
由此得
又由题设得
，故得
⑥
∴
由④、⑥联立解得
将⑦代入⑤得
再注意到
∴
将⑦、⑧代入⑨得
解得 ∴
，
⑦
⑧ 得
⑨
⑩
因此，由①，②得所求双曲线方程为
所求直线方程为
点评：
，
（Ⅰ）关于此类直线与圆锥曲线相交的问题，对于交点坐标的处置适当与否，成为解题繁简成败的关键。于是，围绕着对交点坐标的“解”与“设”的应用选择，产生出解题策略：解而不设与设而不解；“既设又解”与“不设不解”。在这里，我们对交点P 、Q 的坐标运用的是“既设又解”，
请同学们注意品悟这里“解”的分寸的把握。
（Ⅱ）这里解题的层次分明，已知式一转化一代入一结论：
已知式（
已知式（
6、
已知
，
）→转化→代入→结论⑧；
）→转化→代入→结论⑩。
同学们应注意学习与追求这种解题的明晰与漂亮。
（1）求点P （x ，y ）的轨迹C 的轨迹方程； （2）
若直线试求m 的取值范围。
分析：
对于（1），从已知条件入手，利用向量的坐标表示进行推理；
对于（2），此类关于直线与圆锥曲线相交的比较复杂的问题，要刻意向基本的弦中点或弦长问题转化。
解：
（1
）由已知得 ∴
由
得
，
与曲线C 交于A 、B 两点，D （0，-1），
且有
，
， 得
∴ 所求点P 的轨迹C
的方程为：
（2
）设
则将l 的方程代入①得
，弦AB 的中点
①
，
②
由题意得 ③
且
④
∴
即中点M
的坐标为 注意到
点D 在弦AB 的垂直平分线上
∴
∴
于是将⑤代入③得
（ ， 且
， 且
）
） ⑤ 或
⑥
此时再注意到由⑤得
（关于k 的二次函数隐含范围的发掘）
⑦
于是由⑥、⑦所求m 的取值范围
点评：
（1
）认知已知条件
，这时将其向基本的弦长或弦中点问题转化，这是解决直
线与圆锥曲线复杂问题的基本策略之一；
（2）注意在寻求参数的取值范围的过程中，对所使用的二次函数等有关函数的值域的发掘
与运用：在这里， 为k
的二次函数，又由这里 ，故 。因此
可解关于k 的二次函数m 的取值范围：知这一些，便会导出
五、高考真题： （一）选择题
。这是本题导出正确结果的最后的屏障，不认
的错误结果。
1. 椭圆交点为P
，则
的两个焦点为 =（ ）
，过 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个
A.
B.
C. D. 4
分析：由已知
不防设点P 在x
轴正方，则以 代入椭圆方程得
，故得点 ，
从而
，故选C 。
2. 点P （-3，1）在椭圆 （a>b>0）的左准线上，过点P
且方向为 的
光线经过直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D.
分析：运用入射光线与反射光线的物理性质，刻意运用入射光线与反射光线的性质与联系。 点P （-3，1）关于直线y=-2
的对称点为 左焦点
又方向为 的直线的斜率为
，
设入射光线与直线y=-2的交点为M ，则由入射光线与反射光线倾斜角之间的关系得
∴
∴
，
解得：c=1.
再由点P （-3，1
）在左准线上得 ，
∴
，应选A 。
3. 若动点（x ，y ）在曲线 （b>0
）上变化，则 的最大值为（
A.
B.
C. D. 2b
分析：注意到曲线方程二次方程，故考虑向二次函数的最值问题转化。
由
得 ①
设 ，则
②
又由①中 得
，且②的对称轴为
（1
）当
，即 时， ；
（2
）当
，即 时， ，
于是由（1）、（2）知应选A 。
）
4.
设直线
关于原点对称的直线为
，若
与椭圆
的交点为A 、B ，P 为椭圆上的动点，
则使
的点P 的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
分析：
的方程为
的面积为
，且易知 的下方有两个满足题设条件的点。
以下考察直线 上方是否存在满足题设的点P
设在 上方且与椭圆相切于点P
的直线 的方程为
将它与椭圆方程联立，消去y 得
由△=0
得：
， 取
，
∴
与
之间的距离
∴
，
∴
直线 上方不存在满足题设的点P ② 于是由①，②知应选B 。
点评：运用数形结合的方法，解题过程变得简捷。
5.
已知双曲线 的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A
，
的面积为 （O 为原点），则两条渐近线的夹角为（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
分析：首先着眼于寻找a ，b 的联系，由题设知F （c ，0）
，右准线方程为
，并且取
点 ，
则 ∴a=b，
，
∴双曲线为等轴双曲线，两渐近线夹角为90°， ∴应选D 。
6.
已知双曲线直线
的焦点为 ，点M 在双曲线上，
且 轴，
则 到
的距离为（ ）
A.
B.
C.
D.
分析：立足于计算与推理，由已知得： ∴
∴
轴， ∴
，代入椭圆方程得
， 即
∴
当点
到直线
的距离为h ，则由
∴ 应选C 。
得 ，
点评：这里线段
为半正焦弦，故 ，利用它更为方便。
7.
已知双曲线
的焦点为 ，点M
在双曲线上且 ，则点
M 到x 轴的距离为（ ）
A.
B.
C.
D.
分析：由已知得
∴
∵
∴
∴由①，②得
∴
设所求距离为h ，
， ，
① ，
∴
②
于是由
得 ，故选C 。
8.
已知
，若边
是双曲线
的两个焦点，以线段
为边作正
的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D.
分析：从认知
∵
设边 ∵
∴
的特性切入，寻找关于a ，c 的等式（或方程）
为正三角形， ∴点M 在y 轴上 的中点为P ，连结
，
，
①
，得
，
又由题设知点P 在双曲线左支上，
∴
∴ ①代入②得
②
∴
（二）填空题
，应选D 。
1.
若双曲线的渐近线方程为 。
，它的一个焦点是 ，则双曲线方程为
分析：由题设得： ∴ 由
∴
，
得
，
∴
所求双曲线方程为
2. 设双曲线
Q
两点，如果
为
的右焦点为F ，右准线l 与两条渐近线交于P 、
，则双曲线的离心率为。
分析：设右准线l 与x 轴交于点R ，则
，
又
由此解得 a=b，故得
3.
过双曲线
的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于M 、N 两
点，以MN 为直径的圆恰好经过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于 。
分析：设左焦点为
则由题意得
，右顶点为A ，
（※）
注意到MN 为双曲线的正焦弦，故
∴
由（※）得
由此解得 e=2。
4. 以下四个关于圆锥曲线的命题中 ①设A 、B 是两个定点，k 为非零常数，若
，则动点P 的轨道为双曲线；
②过定圆C 上的一定点A 作圆的动弦AB ，O 为坐标原点，若
点P 的轨迹为椭圆； ③方程
的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
，则动
④双曲线
与椭圆 有相同的焦点。
其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）。
分析：对各命题依次辩析，由双曲线定义知，①中点P 轨迹是双曲线一支；对于②，点P
轨迹是椭圆上除去点A 的曲线；对于③，方程两根分别为离心率；对于④，可知是真命题，综上可知应填③、④。
（三）解答题
和2，可分别作为椭圆和双曲线的
1. 如图，点A 、B
分别是椭圆在椭圆上，且位于x 轴上方， （1）求点P 坐标；
长轴的左、右端点，点F 为椭圆右焦点，点P
（2）设M 是椭圆长轴AB 上一点，M 到直线AP 的距离等于
，求椭圆上的点到点M
的距离d 的最小值。
分析：从设点P 坐标切入，解题运用向量垂直的充要条件列方程，以解出点P 坐标。
解：
（1）这里
∴
设点
则 ∴
由
， ，
， 得
①
，
，
，
又点P 在椭圆上 ∴
∴ 将①、②联立，消去y
得
②
或
注意到 y>0
，故 ，从而
∴ 点P 坐标为
（2）由（1）知，直线AP
的方程为
设 ，则点M 到直线AP 的距离为
，
∴
由已知得 又
又设椭圆上的
，解得 m=2
，即
到点M 的距离为d ，则
∵
点评：将
，∴当 时，d
取得最小值
转化为
，从而使解题辟出另一途径。
2.
如图，已知椭圆中心在原点，焦点轴的交点为M
， （1）求椭圆方程； （2）若直线
Q 的坐标（用m 表示）
分析：
（1）以设椭圆标准方程切入； （2）从设点P 坐标切入，
易知
解：
（1）设椭圆方程为 ：
。
在x
轴上，长轴 的长为4，左准线l 与x
，P 为
上的动点，使 最大的点P 记为Q ，求点
为锐角或零角，故从求 的最大值突破。
，
则 ，
∴由题意得 ， 解得a=2， ，c=1
∴
所求椭圆方程为
（2
）设
；
（Ⅰ）当 时， ；
（Ⅱ）当 ∴
时，为锐角
的最大值
，
∴ 只需求出
由题意，直线 的斜率 ，
直线
的斜率
∴
当且仅当
即
时等号成立。
∴
的最大值为
（当且仅当 时取得）
注意到正切函数在 内为增函数
∴
当且仅当 此时点Q 坐标为
点评：欲求因此，欲求
时，
取得最大值
的最大值，当 为锐角时，可转化为求 的最大值。
的范围，以决定
的最大值，在进入实质性计算之前，要首先考察
这一转化是否适当。
3.
已知椭圆
的左、右焦点分别为 ，离心率为e ，直线
与x 轴、y 轴分别交于A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P
是点
于直线l
的对称点，设 （1
）证明：
；
是等腰三角形。 。
关
（2
）确定 的值，使得
分析：
（1）从得出点A 、B 、M
的坐标切入，利用两向量相等的充要条件求解 ； （2）由题设知，l 为线段然性，
的垂直平分线，利用这一特性来判定
的特殊性或必
为钝角（可从图形受到启发）
，故只有 一种情况。由这一等式入
手并将其演变为关于e 的方程，则解题便胜利在望了。
解：
（1）证：由题设易得
，
由
解得
∴ 点M 坐标为
∴
，
∴ 由
得
故得
由此解得
（2）解：由题设知，直线l
为线段 的垂直平分线。
∴
由 ∴
知
为等腰三角形必有
为钝角
即
①
注意
表示点 到l 的距离，所以
设点 到l 的距离为d ，则
即
由此解得
∴ 由（1
）的结果得
即当
时， 为等腰三角形。
点评：充分利用本题特殊性，导出
为等腰三角形，必有且只得 ，从
而使解题避免了解点P （或点M ）坐标的运算，简捷明快。
4. （2005·辽宁卷）已知椭
圆 的左、右焦点分别
为
，Q 是椭圆外的动点，满足
点，点T
在线段
上，并且满足
，
，点P
是线段
。
与该椭圆的交
（1）设x 为点P
的横坐标，证明： （2）求点T 的轨迹C 的方程；
；
（3）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M
，使
的正切值；若不存在，请说明理由。
的面积
若存在，求
分析：
（1
）要证 ，即证
由此想到利用椭圆第二定义。
（2
）设
故想到由
（3
）从设存在点
边角关系。
解：
切入，导出
的充要条件后再借助向量的运算考察
，又
入手认知点Q 运动规律。
，
（1
）设点 ，又椭圆左准线方程为
，
∴ 由椭圆第二定义得
∴
①
∵
， ∴
，
∴
②
∴
由①，②得
（2）设点T 坐标为（x ，y ）， 当
当
。
时，点（a ，0）和点（-a ，0）在轨迹上。 且
时，由
得
③
又
∴
， ，
④
的中点。
∴ 由③、④知 T 为线段
在
于是由⑤
中，
，
⑤
综上，点T 的轨迹C
的方程为
（3）解：注意到轨迹C 上存在点
.
使 的充要条件为
∴ 当
时，存在点M 使 ；
当
时，不存在满足条件的点M
又当
时，
∴
又 ∴
⑥
⑦
∴
于是由⑦，⑧得：
⑧
点评：
（Ⅰ）对于（2），在一般情况下，利用题设条件与椭圆定义知图形特征是解题的关键： ①
T 为线段
中点；
②由OT
为
的中位线
（Ⅱ）对于（3），在认知题特色：由解得
的充要条件后，充分运用关于 的表达式凸显解
的两种表达式导出⑦，运用三角形面积公式导出⑧，由⑧与⑦两式相除
范文四：在讲解直线与抛物线相交所得弦长问题时，我研究了如下的教学设计
数学第三次作业
创设情境的案例
在讲解直线与抛物线相交所得弦长问题时，我研究了如下的教学设计
2yxAB,8与、引例:已知直线y=x-2 交抛物线 两点，求弦长?AB?。
(因为有了前面椭圆与双曲线的知识的铺垫，学生能马上说出联立法用弦长公式解决)
2yx,8如下， 学生1: y=x-2与联立
B
2整理得 xx,，,1240
A
xy,xy,xxxx，,,,124设A() B()由韦达定理可知， 11221212
2222()()xxyy,，,(1)[()4]，，,kxxxx|AB|===12121212
22(11)(1244)，,，=16
有的学生在下边小声嘀咕:还有解法，我及时鼓励，学生主动站起，得到了如我所愿的结果。
学生2:因为抛物线的焦点与直线和x轴的交点重合.所以说弦AB为经过焦点的弦，可以根据抛物线的定义解决问题(好)
ppxxxxp，，，,，， |AB|==16 121222
教师因势利导，提出以下问题
2yPx,2(1)若已知抛物线方程为，则经过焦点的弦长?AB?是多少
,，，xxp?AB? 12
(,)xy(2)若设该弦的中点的坐标为M则?AB?又是多少, 00
学生马上说出?AB?=2x+p 0
(3)若已知过焦点的弦AB=a,那么?AB? 的中点N到准线的距离是多少,
有了上面的铺垫，学生思索片刻，有人回答如下
Q B
学生3: R
N
P 过A、B、N分别作准线的垂线，垂足分别为P、Q、 A
R，由 抛物线定义知?AB?=?AN?+?BN?
=?AP?+?BQ?，NR是AP与BQ的中位线，所以
111?NR?=(?AP?+?BQ?)=?AB?=a 222
我突发奇想，提出了以下问题
问题1:如果我以N为圆心，以AB为直径作圆，那么，该圆与准线的位置关系又怎样,学生脱口而出:相切
思考:在椭圆和双曲线中以焦点弦为直径的圆与相应准线有何位置关系, 小结:以椭圆、抛物线、双曲线的焦点弦为直径的圆分别与其相应的准线相离、相切、相交。
好～我对学生们的回答给予肯定，一句由衷的赞扬，学生表现的积极性更高了。
2ypx,2例2过抛物线 (p>0)的焦点作倾斜角为的直线L，L,
与抛物线交于A、B两点，求弦长?AB?
(给学生两分钟时间进行，一位同学给出了如下答案)
p2ypx,2学生4:直线的方程为 与抛物线 联立，得yx,,tan(),2
2p2222xtanpx,,，，,,,,(tan2)tan0 4
2p(tan2),，xy,xy,xx，设A() B()由韦达定理可知，= 1122122tan,
22p(tan2),，1tan，,12p,，，xxpAB?=+p=2p(1+_)=2p= 122222tantan,,tansin,,
(有的学生不由自主的点点头，有的学生布满疑云，有的在下面嘀咕，我请嘀咕的同学之一回答)
“你有什么疑问,”我反问道
学生4;(慢慢站起)“应该讨论吧,直线的斜率为，成立应tan,有条件吧” 什么条件,”
0学生4: ,,90
那么这就意味着此题应用到。。。。
学生4:“分类讨论的数学思想～”(这次很肯定)
“应该怎样做,”
过了几分钟，该生给出了答案，而且很圆满
0如下:1)当时，?AB?=2p ,,90
2p02)当时，?AB?= ,,902,sin
0当时?AB?=2p与1)相符 ,,90
2p0综上可知?AB?=() ,,02,sin
“相当漂亮～”我再赞许，刚开始认为对的那些同学投去赞许的目光，同时也打消了另一部分学生的疑虑。
2yPx,2那么，如果我们去求过抛物线焦点的弦长时，就得到两种作题方法。
2p01.?AB?=() ,,02,sin
,，，xxp2. ?AB?(讲解时向学生申明了结论的合理运用) 12
问题3:过抛物线的焦点的弦中，弦长的取值范围是什么,
0学生5:应该有最段的，没有最长的，最段的是的时候2P。 ,,90教师总结结论:过焦点的弦中，通径最段为2P。 我顺势给出了如下的练习，学生当然做的得心应手了
2yx,41、过抛物线的焦点作直线，设于抛物线交于A、B两点，它们的横坐ll
) 标之和等于5，则这样的直线(
A、有且只有一条 B、有且只有两条 C、有无数条 D、不存在
和通径的大小就能解决 分析:比较AB
范文五：抛物线的焦点弦
抛物线的焦点弦
创新题设计
松阳一中 蔡家良
新课标下，学生学习方式的改变是教育教学发展的新方向，是培养学生的创新意识、科学精神和实验能力突破口。教师如何引导学生改变学习方式成为一个新课题。
原教材上的习题内容单调，思维方式相对死板，设计一些学习方法、思维方式开放的数学专题，让学生针对学习目标，选择与之适应的学习形式，对问题展开探讨、猜想、验证猜想，利用所得结论指导学习，提高分析问题和解决问题的能力，使学生的思维方式从平面到立体，从单一到多元，从静态发展到动态，从被动发展到主动，从封闭到开放。
高考试题:
2y,2px(p,0)高抛物线的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线准线上，且轴，求证:AC经过原点。 BC//x
这道题主要考查抛物线的焦点弦的性质、考查证明三点共线的思想方法，斜率法、方程法、距离法、向量法，其中平面向量解解析几何问题，能够把比较复杂的几何问题转化为简单的代数运算，能够充分体现数学中的数形结合思想。是一道很好的高考题。
为了更全面地掌握抛物线的焦点弦的相关性质、培养学生利用数形结合，方程的思想解题的能力，发展学生自主学习勇于探索的能力，设计一个专题。
2y,2px(p,0)问题:已知抛物线过焦点F的直线与抛物线交于
p(x,y)A(x,y),B(x,y)两点，是线AB的中点，抛物线的准线为分别过A、l001122
xB、P作轴的平行线，依次交于点M、N、Q连结FM、FN、FQ、AQ和BQ。
(1)试尽可能多地找出点A、B、P的纵，横6个坐标间的等量关系
(2)图中各线段的垂直关系
(3)如果允许引辅助线，你还可以发现哪些结论,
一、试尽可能多地找出点A、B、P的纵，横6个坐标间的等量关系 这是方程法解决此问题的关键，学生利用方程的思想，设AB的斜率为R，则
2,ypx,2p,AB的方程，联立方程 y,k(x,),pzykx,(,),z,
22pk222kx,(KP，2P)x，,0消去整理得 y4
？有两个交点， ？x,x是方程的两实根 ？k,012
2pxx,可得，两根之积为常数 124
222y,2px,y,2pxyy,,p又由可得 112212
二、图中各线段的垂直关系
(判断两直线垂直可以利用两直线的斜率之积为,1，或者利用两直线的方向向量之积为0，可以得到FMFN。 ,
?AQFM ?BQFN ?AQBQ ?FQAQ ,,,,
三、如果允许引辅助线，你还可以发现哪些结论,
辅助线可以是直线或圆等曲线，容易得到高考题中的:
?A、O、N三点共线 ?B、O、M三点共线
还可以发现更多的结论 ?以AB为直径的圆切线于Q点
?MN为直径的圆切AB于点F
?AQ与FM的交点，BQ与FN的交点均在轴上 y
?AN与BM相交于坐标原点
以上这样一个探讨集点弦的性质的专题，可以作为一堂课师生共同探讨，真正培养学生自主学习，勇于探索的能力，通过多设计这样的专题讨论学习，必变学生学习方式。
转载请注明出处范文大全网 » 直线和抛物线相交中弦的问题学
