生活就像个冷笑话
范文一：函数单调性与奇偶性(奇偶性)
函数单调性与奇偶性(奇偶性)
教学目标：
1. 了解函数的单调性和奇偶性的概念, 掌握有关证明和判断的基本方法. (1)了解并区分增函数, 减函数, 单调性, 单调区间, 奇函数, 偶函数等概念. (2)能从数和形两个角度认识单调性和奇偶性.
(3)能借助图象判断一些函数的单调性, 能利用定义证明某些函数的单调性; 能用定义判断某些函数的奇偶性, 并能利用奇偶性简化一些函数图象的绘制过程.
2. 通过函数单调性的证明, 提高学生在代数方面的推理论证能力; 通过函数奇偶性概念的形成过程, 培养学生的观察, 归纳, 抽象的能力, 同时渗透数形结合, 从特殊到一般的数学思想. 教学建议： 一、知识结构
（1）函数单调性的概念. 包括增函数、减函数的定义，单调区间的概念函数的单调性的判定方法，函数单调性与函数图像的关系.
（2）函数奇偶性的概念. 包括奇函数、偶函数的定义，函数奇偶性的判定方法，奇函数、偶函数的图像. 二、重点难点分析
(1)教学的重点：函数的单调性, 奇偶性概念的形成与认识；
教学的难点：领悟函数单调性, 奇偶性的本质, 掌握单调性的证明.
(2)函数的单调性这一性质学生在初中所学函数中曾经了解过, 但只是从图象上直观观察图象的上升与下降, 而现在要求把它上升到理论的高度, 并用准确的数学语言去刻画它. 这种由形到数, 从直观到抽象的转变对高一的学生来说是比较困难的, 因此要在概念的形成上重点下功夫. 单调性的证明自然就是教学中的难点. 教学目标：
1. 让学生了解奇偶性的概念, 会利用定义判断简单函数的奇偶性;
2. 在奇偶性概念形成过程中, 培养学生的观察、归纳能力. 教学重点、难点:
1. 重点是奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断; 2. 难点是对概念的认识. 教学方法:引导发现法 教学过程: 一. 引入新课
前面我们已经研究了函数的单调性, 它是反映函数在某一个区间上函数值随自变量变化而变化的性质, 今天我们继续研究函数的另一个性质. 将从对称的角度来研究函数的性质.
教师提问:对称我们大家都很熟悉, 在生活中有很多对称, 在数学中也能发现很多对称的问题, 大家回忆一下在我们所学的内容中, 特别是函数中有没有对称问题呢? (学生可能会举出一些数值上的对称问题,
对称问题, 此时教师可以引导学生把函数具体化, 如
和
等, 也可能会举出一些图象的
等.)
结合图象提出这些对称是我们在初中研究的关于
我们还曾研究过关于 轴对称的问题.
轴对称和关于原点对称问题, 此外
由于函数是映射, 一个 只能对一个 , 而不能有两个不同的, 故函数的图象不可能关于 轴对称. 提出我们将重点研究图象关于
中找出它们在数值上的规律. 二. 讲解新课
函数的奇偶性
教师从刚才的图象中选出
怎样判断图象关于
, 指出这是关于
轴对称的图象, 然后问学生初中是
轴对称和关于原点对称的问题, 从形的特征
轴对称呢? 此时教师明确提出研究方向:将从数值角度研究图象的这种
特征体现在自变量与函数值之间的规律.
学生开始可能只会用语言去描述:自变量互为相反数, 函数值相等. 教师可引导学生先把它们具体化, 再用数学符号表示.(演示
, 再令
与
, 得到
不等呢?
比较
得出等式
), 进而再提出会不会在定义域内
存在 , 使
从这个结论中就可以发现对定义域内任意一个 , 都有
学生用完整的语言给出定义, 不准确的地方教师予以提示或调整. (1) 偶函数的定义:如果对于函数
那么
就叫做偶函数.
的定义域内任意一个 , 都有
成立. 最后让
,
(给出定义后可让学生举几个例子, 如
的初步认识
)
等以检验一下对概念
提出新问题:函数图象关于原点对称, 它的自变量与函数值之间的数值规律是什么呢?(同用
或
的图象让学生观察研究)
学生可比较刚才的方法, 很快得出结论, 再让学生给出奇函数的定义.
(2) 奇函数的定义: 如果对于函数
, 那么
就叫做奇函数.
的定义域内任意一个 , 都有
(由于在定义形成时已经有了一定的认识, 故可以先作判断, 在判断中再加深认识) 例1. 判断下列函数的奇偶性 (1)
; (2)
;
(3)
;
;
(5)
; (6)
.
(要求学生口答, 选出1-2个题说过程) 解: (1)
(3)
是奇函数.(2)
是偶函数.
,
是偶函数.
前三个题做完, 教师做一次小结, 判断奇偶性, 只需验证
且以第(1)为例, 说明怎样解决它不是偶函数的问题呢? 学生经过思考可以解决问题，指出只要举出一个反例说明
与
之间的关系. 并
与
不等.
如
即可说明它不是偶函数.(从这个问题的解决中让学生再次认识到定义中任
意性的重要)
从(4)题开始, 可以让学生先讨论, 教师再做评述. 即第(4)题中表面成立的
不能经受任意性的考验, 当
时, 由于
, 故
=
不存在, 更谈不上与
相等了, 由于任意性被破坏, 所以不能讨论它的奇偶性.
教师由此引导学生, 通过刚才这个题目, 你发现在判断中需要注意些什么?(教师可再从定义启发, 在定义域中有1, 就必有-1, 有-2, 就必有2, 有
, 从而发现定义域应关于原点对称 ).
, 就必有
, 有 就必有
(3) 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件. 可以用(6)题辅助说明充分性不成立, 用(5)题说明必要性成立, 得出结论.
由学生小结判断奇偶性的步骤之后, 教师再提出新的问题:在刚才的几个函数中有是奇函数不是偶函数, 有是偶函数不是奇函数, 也有既不是奇函数也不是偶函数, 那么有没有这样的函数, 它既是奇函数也是偶函数呢? 若有, 举例说明. 经学生思考, 可找到函数
式都只能写成这样呢? 能证明吗? 例2. 已知函数
既是奇函数也是偶函数, 求证:
. (试由学生来完成)
. 然后继续提问:是不是具备这样性质的函数的解析
证明:
既是奇函数也是偶函数,
=
, 且
,
=
.
, 即
.
证后, 教师请学生记住结论的同时, 追问这样的函数应有多少个呢? 学生开始可能认为只有一个, 经教师提示可发现,
,
只是解析式的特征, 若改变函数的定义域, 如
,
, 它们显然是不同的函数, 但它们都是
,
既是奇函数也是偶函数. 由上可知函数按其是否具有奇偶性可分为四类
(4) 函数按其是否具有奇偶性可分为四类: 奇函数, 偶函数, 非奇非偶, 既是奇函数又是偶函数
例3. 判断下列函数的奇偶性
(1)
; (2)
;
(3)
.
由学生回答, 不完整之处教师补充. 解: (1)当
时,
为奇函数, 当
时,
既不是奇函数也不是偶函数.
(2)当
时, 既是奇函数也是偶函数, 当
时, 是偶函数.
(3) 当
时,
于是
,
当
时,
, 于是
=
,
综上
是奇函数.
教师小结 :(1)(2)注意分类讨论的使用,(3)是分段函数, 当
, 并不能说明
刻画, 因此必须
三. 小结
1. 奇偶性的概念 2. 判断中注意的问题 四. 作业 略 五. 板书设计
函数奇偶性 例1 例3
(1) 偶函数定义 (2) 奇函数定义
(3) 定义域关于原点对称是函数 例2 小结 具备奇偶性的必要条件 (4)函数按奇偶性分类分四类
思考题: (1)定义域为
能试证明之吗? (2)判断函数
在
上的单调性, 并加以证明.
的任意函数
均有
检验
具备奇偶性, 因为奇偶性是对函数整个定义域内性质的
成立, 二者缺一不可.
都可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和, 你
范文二：函数单调性与奇偶性
函 数 的 单 调 性
学习目标：
1、理解函数单调性的定义；
2、会根据函数的图像判断函数的单调性；
3、能根据单调性的定义证明函数在某一区间上是增函数还是减函数。 学习重点：
函数单调性的定义及单调性判断和证明 学习难点：
函数单调性的判断和证明 【复习引入】 1、函数表示法
2、取整函数与分段函数
3、画出常见函数的图象，分析其性质（定义域，值域，特殊点，最值，y 随x 的变化如何变化） 一次函数y =kx +b ，
二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0) ， 反比例函数y =
k
(k ≠0) x
【自主探究】 1、观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：
1 随x 的增大，y 的值有什么变化？ ○
2 能否看出函数的最大、最小值？ ○
3 函数图象是否具有某种对称性？ ○
2、画出下列函数的图象，观察其变化规律： 1．f(x) = x
1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○
2 在区间 ____________ 上，随着x 的增大，f(x)的值随着
○
2．f(x) = -2x+1
1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○
2 在区间 ____________ 上，随着x 的增大，f(x)的值随着○
3．f(x) = x2
1在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x 的增大而○
2 在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x 的增大而○
【新课教学】 函数单调性
1、增函数定义：
注意：
2、减函数定义：
3、函数的单调性（单调区间）定义
4、判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：
NO------
【典例剖析】
例1：证明函数f (x ) =3x +2在(-∞, +∞) 上是增函数.
归纳总结：证明函数单调性的一般步骤：
2：证明f (x ) =x 2在(0，+∞) 上是增函数。
练习：证明函数f (x ) =-x 2在(-∞, 0) 上是增函数，在(0, +∞) 上是减函数.
例3. 证明函数f (x ) =
1
在(0，+∞) 上是减函数。 x
同类练习：证明：函数f (x ) =
思考：能否说函数f (x ) =上是减函数？为什么？
例4． 判断函数y =x 在区间[0, +∞) 上的单调性，并证明你的结论.
（四）归纳总结: 变形定号注意：
【随堂训练】
1. 如图已知函数y =f (x ), y =g (x ) 的函数图象，（包括端点）根据函数图象指出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上，函数的单调性。
11
在实数集上是减函数？能否说f (x ) =在它的定义域x x
1
（-∞，0） 在上是减函数。 x
2. 若函数y =mx +b 在(-∞, +∞) 上是增函数，那么 （ ）A. b>0 B. b<0 c.="" m="">0 D. m<>
3. 函数f (x ) =2x 2-mx +3，当x ∈[-2, +∞) 时是增函数，当x ∈(-∞, -2]时是减函数，则f (1) 等于
A.-3 B.13 C.7 D.由m 而定的常数
4. 下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是 （ ）
A. y =-3x +1 B. y =x C.y =x 2-4x +3 D.y =4
x
5．函数f (x ) =3x 2-6x +1在x ∈(3, 4) 上的单调性是_______________. 6. 设函数f (x ) 在(-∞, +∞) 上为减函数，则 ( ) A . f (a ) >f (2a ) B . f (a 2)
1. 函数f (x ) =2x 2-mx +3，当x ∈(-∞, -2]时是增函数，则m 的取值范围是____________. 2．证明函数f (x ) =x +1
x
在(0, 1) 上是减函数
3. 如果函数y=f(x)是R 上的增函数，证明k >0时，kf(x)在R 上的增函数
【拓展练习】
1. 画出下列函数的图象，并指出它们的单调区间： （1）y =x -1 （2） y =x -
2．研究下列函数的单调区间并画出他们的图象 （1）y =
1 （2）
y = x -2
函 数 的 奇 偶 性
【课前预习】
1. 观察如下两图，思考并讨论以下问题： （1）这两个函数图像有什么共同特征？
（2）相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？
2. 观察函数f （x ）＝x 和f (x ) 个函数有什么共同特征？
1
的图像，并完成下面的两个函数值对应表，然后说出这两x
【学习目标】 (一) 学习目标：
1. 结合具体函数，了解奇偶性的含义；
2. 学会运用函数图像理解和研究函数的性质，理解奇函数、偶函数的几何意义，能熟练判别函数的奇偶性。 （二）学习重点及难点：
重点：函数奇偶性的概念。 难点：函数奇偶性的判断。
1、设函数y =f (x ) 的定义域为D ，如果对D 内的x ，都有，则这个函数叫做奇函数。
2、设函数y =g (x ) 的定义域为D ，如果对D 内的，都有，则这个函数叫做偶函数。
并且可以得到：具有奇偶性的函数定义域关于---------------对称，奇函数的图象关于----------------对称，偶函数图象关于------------------对称。 巩固练习：
1. 判断下列说法是否正确。
（1） 如果一个函数的的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数。 （2） 如果一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称。
（3） 如果一个函数的的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数。 （4） 如果一个函数的图象关于y 轴对称，则这个函数为偶函数。
2. 如图给出了奇函数y =f (x ) 的局部图象，求
f (-4)
3. 若第2题中的图形为偶函数的一部分，试比较
f (-3) 与f (2)
【典例讲解】
【例1】判别下列函数的奇偶性：
（6）f (x ) =x 3-
1
； （7）f (x ) =|x -1|+|x +1|；（8）f (x ) =x 2-x 3 x
【同类练习】
教材 P49页练习A 第一题
归纳总结：判断函数奇偶性的一般步骤：
【例2】判别下列函数的奇偶性： （1）f (x ) =x 2+1+-x 2
（2）f (x ) =x (
1+) 2x -121
?x 2+2x -3(x <0) ?x="">
(x =0) （4）f (x ) =(x -1) （3）f (x ) =?0
x -1
?-x 2+2x +3(x >0) ?
【巩固练习】
1．函数y =x (|x |-1) (|x|≤3) 的奇偶性是（ ）.
A ．奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 既奇又偶函数 2． 函数f (x ) =-x 的图像关于（ ）.
A．y 轴对称 B ．直线y =-x 对称 C．坐标原点对称 D．直线y =x 对称 3．函数f (x ) =x +1-x -，那么f (x ) 的奇偶性是（ ）.
A．奇函数 B．既不是奇函数也不是偶函数 C．偶函数 D．既是奇函数也是偶函数 4．若奇函数f (x ) 在[3,7]上是增函数，且最小值是1，则它在[-7, -3]上是（ ）. A. 增函数且最小值是－1 B. 增函数且最大值是－1
C. 减函数且最大值是－1 D. 减函数且最小值是－1 5．已知f (x ) =x 5+ax 3+bx -8，f (-2) =10，则f (2)= . 6．已知函数f (x ) =x (
11
+) . x 2-12
（1）求函数f (x ) 的定义域； （2）判断函数f (x ) 的奇偶性并证明你的结论.
1x
【归纳小结】
1、什么是奇函数与偶函数？ 2、如何判断函数的奇偶性？
3、已知函数的奇偶性，如何求对称区间的解析式并判断其单调性？
【课后练习】
1、教材P49页练习A 2、教材P50页练习B
单调性奇偶性综合练习
【典例讲解】
【例1】已知f (x ) 是奇函数，g (x ) 是偶函数，且f (x ) -g (x ) =1，求f (x ) 、g (x ) x +1
【例2】已知f (x ) 是偶函数，x ≥0时，f (x ) =-2x 2+4x ，求x <0时f (x="" )="">
巩固练习
已知f (x ) 是奇函数，x ≥0时，f (x ) =-2x 2+4x ，求x <0时f (x="" )="">
结论：根据上面两个题，我们可以给得出已知函数在某一区间上的解析式，求对称区间上上解析式一般步骤：
【例4】已知：函数f （x ）是偶函数，且在（－∞，0）上是减函数，判断f （x ）在（0，＋∞）上是增函数，还是减函数，并证明你的结论．
变式训练：
已知：函数f （x ）是奇函数，且在（－∞，0）上是减函数，判断f （x ）在（0，＋∞）上是增函数，还是减函数，并证明你的结论．
结论：根据上面两个题，我们可以给得出结论:
奇函数在对称区间上单调性-------------（相同还是相反），偶函数在对称区间上单调性-------------。
拓展：
设函数f (x ) 是定义在R 上的奇函数，且在区间(-∞,0) 上是减函数，实数a 满足不等式f (3a 2+a -3)
变式训练：设函数f (x ) 是定义在R 上的偶函数，且在区间(-∞,0) 上是减函数，实数a 满足不等式f (3a 2+a -3)
讨论：由上面六个题，你可以得出什么结论，如何处理抽象函数单调性，奇偶性，解抽象不等式问题
【巩固练习】
1．下列四个命题：其中正确的命题个数是
（1）f(x)=1是偶函数；
（2）g(x)=x3,x ∈（－1，1]是奇函数； （ ）
（3）若f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则H(x)=f(x)·g(x)一定是奇函数；
（4）函数y=f(|x|)的图象关于y 轴对称，
A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
2．已知f(x)=ax3+bx+1，且f(5)=7，则f(－5) 的值是 （ ）
A ．－5 B ．－7 C ．5 D ．7
3. 已知函数f (x ) 是奇函数，当x >0时，f (x ) =x (1-x ) ；当x <0时，f (x="" )="" 等于（="">
A.-x (1+x ) B. x (1+x ) C.x (1-x ) D. -x (1-x )
二、填空题
4、设f(x)是R 上的奇函数，且当x ∈(0,+∞) 时，f(x)=x(1+x )+1，则f(x)表达式为__________.
5. 已知f(x)=x4+ax3+bx－8，且f(－2)=10，则f(2)=_____________.
6．已知f(x)是定义在R 上的奇函数，x>0时，f(x)=x2－2x+3，则f(x)=________________.
2x -a 7．若函数f (x )=x 是奇函数，那么实数a=___________________. 2+1
三 ：解答题：
8、是否存在常数m 、n 使函数f(x)=(m2－1)x 2+(m－1)x+n+2为奇函数？
9、已知f (x ) 是定义在R 上的奇函数，在(0, +∞)是增函数，且f (1)=0，求f (x +1) <0的解集。>
10、函数f (x ) =ax +b 12f () =(-1,1) 是定义在上的奇函数，且， 1+x 225
（1）确定函数f (x ) 的解析式；
（2）用定义证明f (x ) 在(-1,1) 上是增函数；
（3）解不等式：f (t -1) +f (t ) <>
附加题：
1.f(x)在（0，2）上是增函数，函数f(x+2)是偶函数，则 （ ） 577575A f (1)
3、已知f (x ) =x (1（2）证明f(x)>0. +) （1）判断f(x)的奇偶性；2x -12
x 3(a x -1)
a x +1(a >0, a ≠1) 的奇偶性，并加以证明. 14、判断函数f (x ) =
5、函数f(x)满足f(x+y)+f(x－y)=2f(x)·f(y) (x∈R ，y ∈R) ，且f(0)≠0，试证明f(x)是偶函数。
范文三：函数单调性奇偶性
函数单调性、奇偶性、周期性
1. 若函数 2() () a
f x x a x
=+
∈R ,则下列结论正确的是( ) A . a ?∈R , () f x 在 (0,) +∞上是增函数 B . a ?∈R , () f x 在 (0,) +∞上是减函数
C . a ?∈R , () f x 是偶函数 D . a ?∈R , () f x 是奇函数
2. 下列函数 () f x 中,满足“对任意 1x , 2x ∈(0, +∞) ,当 1x <2x>
1() f x >2() f x 的是( )
A . () f x =
1
x
B. () f x =2(1) x - C .() f x =x e D () ln(1) f x x =+ 3. 已知偶函数 () f x 在区间 [0, ) +∞单调增加,则满足 (21) f x -<>
() 3
f 的 x 取值范
围是( )
(A ) (13, 23) (B) [13, 23) (C)(12, 23) (D) [12, 2
3
)
4. 已知函数 ) (x f 是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数, 且对任意实数 x 都有
) () 1() 1(x f x x xf +=+,则 ) 25
(f 的值是( )
A. 0 B. 21 C. 1 D. 2
5
5. 已知定义在 R 上的奇函数 ) (x f ,满足 (4) () f x f x -=-, 且在区间 [0,2]上是增函 数 , 则 ( ).
A. (25) (11)(80)f f f -< b.="" (80)(11)(25)="" f="" f="" f=""><- c.="" (11)(80)(25)="" f="" f="" f=""><- d.="" (25)="" (80)(11)f="" f="" f=""><>
、
已
知
()
f x 在 R 上 是 奇 函 数 , 且
(4) f x f x +=2
(0, 2
) () 2, (7)
x f x x f ∈==当 时, 则
( ) A. — 2 B.2 C. — 98 D.98
7、 设 f(x)为定义在 R 上的奇函数, 当 x ≥ 0时, f(x)=2x +2x+b(b为常数 ) , 则 f(-1)=( )
(A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)-3
8、给定函数① 12
y x =,② 12
log (1) y x =+,③ |1|y x =-,④ 12x y +=,其中在区间
(0, 1)上单调递减的函数序号是( )
(A )①② (B )②③ (C )③④ (D )①④
9、若函数 f (x ) =3x +3-x 与 g (x ) =3x -3-x 的定义域均为 R ,则( )
A . f (x )与 g (x )均为偶函数 B. f (x )为偶函数, g (x )为奇函数 C . f (x )与 g (x )均为奇函数 D. f (x )为奇函数, g (x )为偶函数 10、
11、设函数 f(x)=x(ex +ae-x )(x∈R) 是偶函数,则实数 a 12、 以 下 4个 函 数 : ① 12+=x ) x (f ; ② 11+-=x x ) x (f ; ③ 2
2
11x
x ) x (f -+=; ④ x
x
lg ) x (f +-=11. 其 中 既 不 是 奇 函 数 , 又 不 是 偶 函 数 的 是
( )
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①②③
13、 已 知 函 数 ), x x ( lg x ) x (f 122+++=若 f (a)=M, 则 f (-a) 等 于 ( )
A. M a -22 B. 22a M - C. 22a M - D. M a 22-
14、设 y =f (x)是定义在 R 上的奇函数 , 当 x ≥ 0时 , f (x)=x 2-2 x, 则在 R 上 f (x)的表达式为 ( )
A. ) x (x 2-- B. ) |x | (x 2- C. ) x (|x |2- D. ) |x | (|x |2- 15.函数 1) (+-=x a x f () 1, 0≠>a a 是减函数,则 a 的取值范围是( ) A . ()1, 0∈a B . (]+∞∈, 1a C . R a ∈ D . +∈R a 16.函数 ) (x f 1
1
2+-=
x x 的单调增区间是( ) A . (][)∞+--∞-11, B . (][)∞+--∞-1, 1, C . (]1, -∞- D . ()()+∞--∞-, 11,
17. 已知 (31) 4, 1
() log , 1a a x a x f x x x -+?
是 (, ) -∞+∞上的减函数, 那么 a 的取值范围是
( )
(A ) (0,1) (B ) 1(0,) 3 (C ) 11[, ) 73 (D ) 1
[,1) 7
18.若 f(x)=-x2+2ax与 1
) (+=x a
x g 在区间 [1,2]上都是减函数,则 a 的值范围是
( )
A . ) 1, 0() 0, 1(?- B. ]1, 0() 0, 1(?- C . (0, 1)
D . ]1, 0(
19.若函数 ) 1, 0( ) (log ) (3≠>-=a a ax x x f a 在区间 ) 0, 2
1
(-内单调递增,则 a 的
取值范围是( )
A . ) 1, 41[ B . ) 1, 43[ C . ) , 49(+∞ D . ) 4
9
, 1(
20.函数 ) lg() (2x x x f ++=是( )
A .奇函数 B .偶函数 C .是奇函数也是偶函数 D .非奇非偶函数 21.函数 2222) (x x x f -+-=是( )
A .奇函数 B .偶函数 C .是奇函数也是偶函数 D .非奇非偶函数
22.函数 ?????>+<>
0(, )
0(, ) (22
x x x x x x x f 是( )
A .奇函数 B .偶函数 C .是奇函数也是偶函数 D .非奇非偶函数
23.定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x)=f(x+2),当 x ∈ [3, 5]时, f(x)=2-|x -4|, 则( )
A . f (sin6π)
) B . f (sin1)>f (cos1)
C . f (cos32π)
) D . f (cos2)>f (sin2)
24.定义在 R 上的函数 ) (x f 既是偶函数又是周期函数 . 若 ) (x f 的最小正周期是
π,且当 ]2
, 0[π
∈x 时, x x f sin ) (=,则 ) 3
5(
π
f 的值为( ) A . 2
1
-
B .
2
1
C . 2
-
D .
2
3 25.已知定义在 R 上的奇函数 f (x ) 满足 f (x+3) =-f (x ), 则 ,f (6)的值为 ( )
(A)-1 (B) 0 (C) 1 (D)2 26. ) (x f 是定义在 R 上的以 3为周期的偶函数,且 0) 2(=f ,则方程 ) (x f =0在 区间(0, 6)内解的个数的最小值是 ( )
A . 5 B . 4 C . 3 D . 2
27.下列函数既是奇函数,又在区间 []1,1-上单调递减的是( ) (A ) () sin f x x =(B ) () f x x =-+C ) ()1() 2x x
f x a a -=+(D ) 2() ln 2x f x x
-=+ 28.若函数 f(x)=
1
21
+X , 则该函数在 (-∞ ,+∞ ) 上是 ( ) (A)单调递减无最小值 (B) 单调递减有最小值
(C)单调递增无最大值 (D) 单调递增有最大值 29.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 ( )
A. R x x y ∈-=, 3 B. R x x y ∈=, sin
C. R x x y ∈=, D. R x x y ∈=, ) 2
1
(
30.已知 R a ∈,函数 R x a x x f ∈-=|,|sin ) (为奇函数,则 a =( )
(A ) 0 (B ) 1 (C )-1 (D )±1
31.若函数 f (x ) 是定义在 R 上的偶函数,在 ]0, (-∞上是减函数,且 f (2)=0,则使 得 f (x )<0的 x="" 的取值范围是="" (="">
(A) (-∞,2) (B) (2,+∞) (C) (-∞, -2) ?(2,+∞) (D) (-2,2) 32.设 () f x 是 R 上的任意函数 , 则下列叙述正确的是( ) (A)() () f x f x -是奇函数 (B)() () f x f x -是奇函数 (C) () () f x f x --是偶函数 (D) () () f x f x +-是偶函数
33. 函 数 ) 2(l o g ) (22--=x x x f 的 单 调 增 区 间 是 ___________,减 区 间 是 ______________.
34. 函 数 1
231) (+--?
?? ??=x x x f 的 单 调 增 区 间 是 ___________,减 区 间 是
______________.
35. 设 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数,且 y=f (x ) 的图象关于直线 2
1=x 对称,则
f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=______________.
36.若函数 ) 2(log ) (22a x x x f a ++=是奇函数,则 a . 37、函数 f (x )=
1
12
2+++-++x x x x 的图象 ( ) A. 关于 x 轴对称 B. 关于 y 轴对称 C. 关于原点对称
D. 关于直线 x =1对称
38、函数 f (x ) 在 R 上为增函数,则 y =f (|x +1|)的一个单调递减区间是 _________. 39、若 f (x ) 为奇函数,且在 (0, +∞ ) 内是增函数,又 f (-3)=0,则 xf (x )<0的解集为>
40、如果函数 f (x ) 在 R 上为奇函数,在 (-1, 0) 上是增函数,且 f (x +2)=-f (x ), 试 比较 f (31), f (3
2), f (1)的大小关系 ______
范文四：函数单调性、奇偶性总结
（一）函数单调性 1. 增函数、减函数
如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1, x 2，当x 1
f (x )
如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1, x 2，当x 1 x ) 减函数： x 1 []设x 那么 ?x ∈a , b , x ≠x 1212 (x -x )(f x ) -f (x ) >0?[]1212 f (x ) -f (x ) 12 上是增函数； []>0?f (x ) 在a , b x -x 12 f (x ) -f (x ) 12 (x -xf )(x ) -f (x ) <0上是减函数.><0?f (x="" )="" 在a="" ,="" b=""> x -x 12 3、判断函数单调性的方法步骤： 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤： 1) 、取值： 设任意两个实数x 1, x 2有， x 1, x 2∈D ，且x 12) 、作差：f (x 1) -f (x 2) ； 3) 、变形：通常方法：①因式分解；②配方；③分母有理化； 4) 、定号：即判断差f (x 1) -f (x 2) 的正负； 5) 、下结论：即指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性． 取值→作差→变形→定号→下结论 3 例：证明函数 在R 上是增函数. f (x ) =x +x 一些重要函数的单调性： 1、一次函数的图象y=kx+b的单调性： （1）当k>0时，函数在R 上是增函数 （2）当k<0时，函数在r 上是减函数="" 2、反比例函数的图象y=""> k (k ≠0) 的单调性： x （1）当k>0时，函数在(-∞, 0), (0, +∞)上是减函数 （2）当k<0时，函数在(-∞, 0),="" (0,="" +∞)上是增函数="" 3、二次函数的图象y="ax" 2+bx="" +c="" (a="" ≠0)="" 的单调性="" （1）当a="">0时，函数在 -∞, - ???? b ??b ? , +∞?上是增函数 ?上是减函数, 在 - 2a ??2a ?b ??b ? , +∞?上是减函数 ?上是增函数, 在 - 2a ??2a ? （2）当a<0时，函数在 -∞,="" -=""> 已知偶函数f (x ) 在区间[0, +∞) 单调增加，则满足f (2x -1) f (3) C ．f (－1)=f (－3) D ．f (2)0) ，试确定：当a 取什么值时，函数f (x ) 在0，＋∞) 上 为单调函数． 21．已知f (x ) 是定义在(－2，2) 上的减函数，并且f (m －1) －f (1－2m ) ＞0，求实数m 的取值 范围． x 2+2x +a 22．已知函数f (x )=，x ∈［1，＋∞］ x 1 （1）当a =时，求函数f (x ) 的最小值； 2 （2）若对任意x ∈[1，＋∞) ，f (x ) ＞0恒成立，试求实数a 的取值范围． 参考答案 一、选择题： CDBBD ADCCA BA 二、填空题：13. (1，＋∞) ， 14. (－∞，3) ，15. [3, +∞)， -∞, -? 2 ?? 1?? 三、解答题：17. 解析：①在等式中令x =y ≠0，则f (1)=0． ②在等式中令x=36，y=6则f ( 36 ) =f (36) -f (6), ∴f (36) =2f (6) =2. 6 故原不等式为：f (x +3) -f () x 2232 ) ＋x 2］． 42 x 2232 ) ＋x 2＞0，∴f (x 1) ＞f (x 2) ． 42 ∴函数f (x )=－x 3＋1在(－∞，＋∞) 上是减函数． 19. 解析： 设x 1、x 2∈－1，1］且x 10-x 1+-x 2＞0，∴当x 1＞0，x 2＞0时，x 1＋x 2＞0，那么f (x 1) ＞f (x 2) ． 当x 10，即f (x 1) ＞f (x 2) ∴a ≥1时，函数f (x ) 在区间［0，＋∞) 上为减函数． (2)当0|x 1|≥x 1; x 2+1＞x 2； 22 ③从a 的范围看还须讨论00，得f (m －1) ＞f (1－2m ) ? ?-1 ?-2 12312??1 ∴?-2<1-2m><2,> 22323?m -1<1-2m> ?2? m <> 22. 解析： (1)当a = 11时，f (x )=x ＋＋2，x ∈1，＋∞) 22x x -x 2111 -x 1-=(x 2－x 1) ＋1=(x 2－x 1)(1－) 2x 22x 12x 1x 22x 1x 2 设x 2＞x 1≥1，则f (x 2) －f (x 1)=x 2＋ ∵x 2＞x 1≥1，x 2－x 1＞0，1－ 1 ＞0，则f (x 2) ＞f (x 1) 2x 1x 2 可知f (x ) 在［1，＋∞) 上是增函数．∴f (x ) 在区间［1，＋∞) 上的最小值为f (1)= 7． 2 x 2+2x +a (2)在区间［1，＋∞) 上，f (x )=＞0恒成立?x 2＋2x ＋a ＞0恒成立 x 2 设y =x ＋2x ＋a ，x ∈1，＋∞) ，由y =(x ＋1) 2＋a －1可知其在[1，＋∞)上是增函数， 当x =1时，y min =3＋a ，于是当且仅当y min =3＋a ＞0时函数f (x ) ＞0恒成立．故a ＞－3． 2.3函数的奇偶性和单调性 【考纲要求】 1. 了解函数奇偶性的含义，能利用定义去判断一些简单函数的奇偶性 2. 理解函数单调性、最大（小）值及其几何意义，会运用单调性的定义判断或证明一些函数的增减性。 【难点疑点】 1. 如何判断奇偶性？要能利用定义去判断一些简单函数的奇偶性。并且能运用定义的等价形式。f (-x ) =-f (x ) ?f (-x ) +f (x ) =0?f (-x ) -f (x ) =0. 简便地判断函数的奇偶性，还可以利用函数图像的对称性判断函数的奇偶性 2. 定义域对奇偶性有影响吗？函数y=f(x)为奇函数或偶函数的必要、但不充分条件是：它的定义域关于原点对称。不具备上述对称性的，既不是奇函数，也不是偶函数。 如：f (x ) =x 2, x ∈[-1, 2]并不是偶函数 3. 如何判断函数H (x ) =f (x ) ?g (x ) 的奇偶性？若非零函数f(x),g(x)的奇偶性相同，则在其公共定义域内H(x)为偶函数；若非零函数f(x),g(x)的奇偶性相反，则在其公共定义域内H(x)为奇函数。 4. 判断函数单调性有哪些常用的方法？（1）定义法（2）两个增（减）函数的和仍为增（减）函数，一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）函数，（3）奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性（4）互为反函数的两个函数有相同的单调性（5）如果f(x)在区间D 上是增（减）函数，那么f(x)在D 的任一个子区间上也是增（减）函数（6）如果y=F(x)和u=g(x)单调性相同，那么y=f[g(x)是增函数，如果y=f(x)与u=g(x)的单调性相反，则y=f[g(x)是减函数 5. 奇函数、偶函数在其对称区间上的单调性：奇函数在其对称区间上的单调性相同；偶函数在其对称区间的单调性相反，并能结合函数图像验证这一性质。 6. 单调区间表示误区：函数在区间（a,b ）,(c,d)上单调不能说该函数在 (a , b ) (c , d ) 上单调。 如：函数f (x ) = 1 的单调递减区间不能写成(-∞, 0) (0, +∞) x 【课前预习】 1+x 21-x -x x 1. 给出4个函数：(1) f (x ) =; (2) f (x ) =-2x +5; (3) f (x ) =e -e ; (4) f (x ) =lg 1+x 3-x 4 其中 是奇函数； 是偶函数； 既不是奇函数，也不是偶函数y =kx +b (k ≠0) 2.(1) 一次函数 (2) 二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0) 3. 若f (x ) =2x -2-x lg a 为奇函数，则a 4. 下列函数中，在区间(0, 2) 1 x (1) y =x -; (2) y =x 2+2x +1; (3) y =-x ; (4) y =- 3 5. 函数f (x ) =x +的单调增区间为x 6. 函数f (x ) =x 2-1+-x 2是7. 以下四个函数： x -11+x 21-x (1) f (x ) =2x +1; (2) f (x ) =; (3) f (x ) =; (4) f (x ) =(1+x ) x +11-x 21+x 既不是奇函数，又不是偶函数的是 8. 函数y =x x 【例题解析】 题型一 函数奇偶性的判断 1. 判断下列五个函数的奇偶性 (1+2x ) 2 (1) f (x ) = (2) f (x ) =lg(x +x 2+1) x 2 (3) f (x ) =lg x 2+lg 1+x (x ≠0) (4) f (x ) =(1-x ) x 21-x 2 ??-x +x , (x ≥0) (5) f (x ) =?2 ??x +x , (x <> 题型 二 函数奇偶性的运用 px 2+25 2. 已知f (x ) =是奇函数，且f (2) = 3x +q 3 (1) 求实数p , q 的值 (2) 判断函数f (x ) 在（-∞，-1）上的单调性，并加以证明 3. 已知函数f (x ) =(m 2-1) x 2+(m -1) x +n +2，则当m ，n 为何值时，f (x ) 是奇函数 题型三 函数单调性的判断 4. 求下列函数的单调区间 x 2-2x (1) y =x -2x -3 (2) y = 1-x -2 题型四 函数增减证明 5. 确定函数f (x ) = 1 的单调性 -2x 6. 试判断函数f (x ) =log a log a x (a >0且a ≠1) 在区间(1, +∞) 上的单调性 题型五 函数奇偶性、单调性的混合运算 1 7. 设f (x ) 为奇函数，g (x ) 为偶函数，若f (x ) -g (x ) =() x ，比较f (1), g (0), g (-2) 三者的大小 2 8. 已知f (x ) =x ( 11 +) ，(1) 判断f (x ) 的奇偶性；(2) 求证f (x ) >0 2x -12 9. 减函数y =f (x ) 定义在[-1, 1]上，且是奇函数，若f (a 2-a -1) +f (4a -5) >0， 求实数a 的取值范围 【随堂练习】 1. 若f (x ) 是奇函数，且x ≥0, f (x ) =lg(x +1), 则x ∈R 时，则f (x ) = π1 2. 若偶函数f (x ) 在[0, π]上单调递增，则f (-π), f (-) ，f (log2) 的大小关系是 24 3. 若f (x ) 是奇函数，且区间(-∞, 0) 上是单调增函数，又f (2) =0, 则xf (x ) <> 4. 已知f (x ) 是R 上的奇函数，且x ∈(-∞, 0) 时，f (x ) =-x lg(2-x ), 则f (x ) = 5. 若函数f (x ) =a x -b +2在[0. +∞) 是增函数，则实数a , b 6. 函数f (x ) =lg(x 2-ax -1) 在区间(1, +∞) 上是单调增函数，则a 的取值范围 7. 已知f (x ) 与g (x ) 均为奇函数，若H (x ) =af (x ) +bg (x ) +2在区间(0, +∞) 上有最大值5， 则H (x ) 在区间(-∞, 0) 上的最小值 ax +1 在区间(-2, +∞) 上是增函数，试求a 的取值范围x +2 8. 已知函数f (x ) = 9. 已知函数f (x ) =x 2+10x +3, 当x ∈[-2, +∞]时，f (x ) ≥a 2+2a -16恒成立， 则实数a 的取值范围 10. 已知函数f (x ) 是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x ) =1-2-x , 1 则不等式f (x ) <> 211. 已知函数f (x ) = 11 -(a >0) a x (1) 用函数单调性的定义证明f (x ) 在(0, +∞) 上是单调递增函数 1 (2) 若f (x ) 的定义域，值域都是[, 2],求实数a 的值 2 12. 如果函数f (x ) =a x (a x -3a 2-1)(a >0且a ≠1) 是[0, +∞) 上的增函数，那么实数a 的取值范围 转载请注明出处范文大全网 » 函数单调性与奇偶性(奇偶性)范文五：函数的奇偶性单调性
