九姑娘40866758
范文一：条件概率与乘法公式
(二) 条件概率与乘法公式
一、选择题
1、某批电阻共100件，其中含废品5件，对整批电阻进行无放回地抽样检查，共抽取5次，如被抽检的任何一件电阻为废品，则该批电阻被拒收，该批电阻被拒收概率为( )。
(A)0.23 (B) 0.77 (C) 0.32 (D) 0.13
2、设A,B是任意两个随机事件，且A,B,P(B),0,则下列各式中正确的式()。AP(A),P(AB)(B)P(A),P(AB)，，
(C)P(A),P(AB)(D)P(A),P(AB)
3、某学生从远方来，她乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别0.3,0.2,0.1,0.4，如果她乘
111火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别为，而乘飞机则不会迟到，她迟到的,,4312
概率为( )
(A)0.09 (B) 0.10 (C) 0.15 (D) 0.20
4、若100件零配中包含10件废品，今在其中任取两件，已知取出两件品有废品，则两件都是废品的概率为( )
2222CCCC10101010(A)(B)(C)(D) 11211112CCC，C，CCCC10901010901090100二、填空题
1、设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件，已知所取2件产品中有1件是不合格品，则另外一件也是不合格品的概率为 。
2、公司销售10台洗衣机，其中有3台次品，已售出2台，则从剩下的洗衣机中任取一台是正品的概率为 。
3、抽屉中有4枚正品硬币(两面均印有国徽)，在抽题中任取一枚，将它投掷2次，已知每次均得国徽，则此硬币是正品的概率为 。
4、盒子中有6个黑球和4个红球，从盒子中任取一球，然后放回盒子中，并且加入5个与取到的球具有相同颜色的球，则第二次任取的一球是红球的概率是 。 5、大型超市销售10台洗衣机，其中有3台次品，已知销售出一台，从剩下的洗衣机中任取2台发现均是正品，则第一台售出的是正品的概率______________。
三、计算题
1、甲、乙两人比赛乒乓球，甲发球，已知甲发球不会失误，乙接发球失误率为0.3，接甲回球的成功率为0.5，甲接乙回球的失误率为0.4，求乙在两个回合中丢分的概率。
参考答案:
一、 1,4 A B C B
17125二、1、 2、 3、 4、 5、 510258
三、1、本题中所给数据都是条件概率
记事件B是“乙接发球成功”，A是“甲接乙第一次回球成功”，B是“乙第二次回球12
成功”，则本题所求
P,P(B,BAB),P(B)，P(BAB)(B与BAB互斥)112112112由本题条件，有
P(B),0.3，P(AB),0.6，P(BBA),0.5，1121
则
P(BA),P(B)P(AB),0.42111
P(BAB),P(BA)P(BBA),0.2112121
P,0.3，0.21,0.51
范文二：条件概率与乘法公式
计算条件概率
例１：一个家庭中有二个小孩，已知其中有一个是女孩，问这时另一个小孩也是女孩的概率为多大？（假定一个小孩是男还是女是等可能的。）
例. 一个家庭有两个孩子。
(1) 已知至少有一个男孩，求两个都是男孩的概率？ (2) 已知年纪小的是男孩，求两个都是男孩的概率？
解: （1）记
B ={至少有一个男孩}
这时
A ={两个都是男孩}
?={GG,BB,BG,GB}，
每一种等可能发生，即1/4。而
B ={GB , BG , BB } A ={BB }
例6一个人依次进行四次考试，他第一次考试及格的概率为p(0<><1),又若他前一次考试及格，则本次考试的及格率为p>
范文三：1-4 条件概率、乘法公式
1.4 条件概率、乘法公式
一、条件概率 二、乘法定理 三、全概率公式与贝叶斯公式 四、小结
一、条件概率
1. 引例 将一枚硬币抛掷两次 , 观察其出现正反 两面的情况, 设事件 A 为 “至少有一次为正面”,事 件B 为“两次掷出同一面”. 现在来求已知事件A 已 经发生的条件下事件 B 发生的概率.
S = { HH , , TH , . TT }. 分析 设 H 为正面 HT为反面
2 1 A = { HH , HT ,TH }, B = { HH ,TT }, P( B) = = . 4 2
事件A 已经发生的条件下事件B 发生的概率, 记为
1 ? P( B= P (B A), 则 P ( B A) = = 3 3 4 P ( A)
2. 定义
设 A , B 是两个事件 , 且 P ( A) > 0,称
P ( AB) P ( B A) = P ( A)
为在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的条件概率.
同理可得
P ( AB) P ( A B) = P ( B) 为事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率.
3. 性质
(1) 非负性 : P ( B A) ε 0;
(2) 规范性 : P ( S B) = 1, P( B) = 0;
(3) P(A U2 B PA B1 A ) = ( 1 ) + P ( A 2 B ) ? P 1 (A A2 B);
(4) P ( A B) = 1 ? P( A B). , B (5)可列可加性 : 设 B 1 2 , L是两两不相容的事 件 , 则有 ? ? P ? U Bi A ?? = ? P ( Bi A). i =1 ? i =1
二、 乘法定理
设 P ( A) > 0, 则有
设 A , B, C 为事件, 且 P ( AB) > 0, 则有
推广 设 A 1 , A2 ,L , An 为 n 个事件, n ε 2,
且 P ( A1 A2 L An 1 ) > 0, 则有
例1 一盒子装有4 只产品, 其中有3 只一等品、1只 二等品. 从中取产品两次, 每次任取一只, 作不放回抽 样. 设事件A 为“第一次取到的是一等品” 、事件B 为 “第二次取到的是一等品”．试求条件概率 P (B |A ).
解 将产品编号, 1, 2, 3 为一等品 ; 4 号为二等品 .
以 (i , j ) 表示第一次、第二次分 别取到第 i 号、第 j 号产品, 则试验的样本空间为
S {(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4) ,L ,
(4,1), (4,2), (4,3)},
A = {(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4),
(3,1), (3,2), (3,4)},
AB = {(1,2), (1,3), (2,1), (2,3), (3,1), (3,2)}, 由条件概率的公式得
P ( AB) P ( B A) = P ( A)
= =9 12 3
例2 某种动物由出生算起活20岁以上的概率为 0.8, 活到25岁以上的概率为0.4, 如果现在有一个 20岁的这种动物, 问它能活到25岁以上的概率是 多少? 解 设 A 表示“ 能活 20 岁以上 ” 的事件， B 表示 “ 能活 25 岁以上”的事件, P ( AB) P ( B A) = 则有 . P ( A)
因为 P ( A) = 0.8, P( B) = 0.4, P ( AB) = P ( B),
P ( AB) 0.4 1 所以 P ( B A) = = = . P ( A) 0.8 2
抓阄是否与次序有关?
例3 五个阄, 其中两个阄内写着“有”
字， 三个阄内不写字 ，五人依次抓取, 问各人抓到“有”字阄的概率是否相同?
解 设 A i 表示“第 i 人抓到有字阄”的事件 ,
i = 1,2,3,4,5.
则有 P ( A1 )5
P ( A )(2 A S ( A2 = P ) = P ( A 2 I 1 U1 A ))
= P( A A A A ) = P( A1 A2 ) + P( A1 A2 ) 1 2 U 1 2
= P ( A1 )P ( A2 A1 ) + P ( A1 )P ( A2 A1 ) 2 1 3 2 = ? + ? 5 4 5 4 =5
P ( A3 ) = P ( A3 S ) = P ( A3 ( A1 A2 U A1 A2 U A1 A2 ))
= P( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 )
= P( A( A A + ) A )P ( A3 A A2 ) 1 ) P 21 ) P ( A1 3 A A 2 ) 1 P ( A 1 P ( A 21
+ P( A1 )P ( A2 A1 )P ( A3 A1 A2 ) 2 3 1 3 2 1 3 2 2 = ? ? + ? ? + ? ?
5 4 3 5 4 3 5 4 3
=5
依此类推 P ( A4 ) = P( A5 ) =5
故抓阄与次序无关.
摸球试验
例4 设袋中装有 r 只红球、t 只白球. 每次自袋中 任取一只球 , 观察其颜色然后放回 , 并再放入 a 只
与所取出的那只球同色 的球, 若在袋中连续取球 四次, 试求第一、二次取到红 球且第三、四次取
到白球的概率 .
解 设 A i (i 1,2,3,4) 为事件“第 i 次取到红球”
则 A 3 、 A 4 为事件第三、 .
因此所求概率为
P ( A1 A2 A3 A4 )
= P( A4 A1 A2 A3 )P ( A3 A1 A2 )P ( A2 A1 )P ( A1 )
t + a t r + a r = ⊕ ⊕ ⊕ r + t + 3a r + t + 2a r + t + a r + t
.
此模型被波利亚用来作为描述传染病的数学模型.
例5 设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时 打破的概率为1/2,若第一次落下未打破, 第二次落 下打破的概率为7/10 , 若前两次落下未打破, 第三 次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未 打破的概率.
解 以A i (i = 1,2,3)表示事件" 透镜第 i 次落下打破", 以B 表示事件“透镜落下三次而未打破”. 因为 B = A1 A2 A3 ,
所以 P ( B) = P( A1 A2 A3 )= P( A3 A1 A2 )P ( A2 A1 )P ( A1 )
9 7 1 3
= = (1 ? )(1 ? )(1 ? ).
10 10 2 200
三、全概率公式与贝叶斯公式
1. 样本空间的划分
定义 设 S 为试验E 的样本空间, B1 , B 2 ,L , Bn 为 E 的一组事件 , 若
(i) Bi B j = ?, i ? j, i , j = 1, 2,L , n;
(ii) B1 U B2 U L U Bn = S . , B 则称 B 1 2 ,L , Bn 为样本空间 S 的一个划分 .
2. 全概率公式
定理 设试验 E 的样本空间为 S , A 为 E 的事
件 , B 1 , B2 ,L , Bn 为 S 的一个划分 , 且 P ( Bi ) > 0(i =
全概率公式
证明 A = AS = A I ( B1 U B2 U L U Bn )
= AB1 U AB2 U L U ABn .
由 B i B j = ? ? ( ABi )( AB j ) = ?
? P( A) = P( AB1 ) + P( AB2 ) + L + P( ABn )
= P(AB ) P ) + P(AB 2) P (B 2) +L + P(AB n ) P (B n ). 1 ( B 1
图示
说明 全概率公式的主要用处在于它 可以将一个复杂事件的概率计算问题, 分解为若干个简单事件的概率计算问 题, 最后应用概率的可加性求出最终 结果.
例6 有一批同一型号的产品，已知其中由一厂 生产的占 30% ，二厂生产的占 50% ，三厂生 产的占 20%，又知这三个厂的产品次品率分别 为2% ， 1%，1%，问从这批产品中任取一件 是次品的概率是多少?
解 设事件 A 为“任取一件为次品”,
事件 B i 为“任取一件为 i 厂的产品 ” , i = 1, 2, 3.
B 1 U B2 U B3 = S ,
B i B j = ?, i , j = 1,2,3.
由全概率公式得
P (A ) = P(AB 1 ) P ( B 1 ) + P(AB 2) P (B 2) + P(AB 3) P (B 3).
P ( B1 ) = 0.3, P ( B2 ) = 0.5, P ( B3 ) = 0.2, P ( A B1 ) = 0.02, P( A B2 ) = 0.01, P( A B3 ) = 0.01,
故 P (A ) = P(AB )B 1 P ( 1 ) + P(AB 2) P (B 2) + P(AB 3) P (B 3)
= 0.02 ? 0.3 + 0.01 ? 0.5 + 0.01 ? 0.2 = 0.013 .
3. 贝叶斯公式
定理 设试验 E 的样本空间为 S . A为 E 的事件 , B1 B 2 ,L , Bn 为 S 的一个划分 , 且 P ( A) > 0, P ( Bi ) > 0, (i = 1,2,L , n), 则
称此为贝叶斯公式.
证明
P ( Bi A)
P ( Bi A) =
P ( A)
P ( A Bi ) P ( Bi ) = , i = 1,2,L , n.
) P ( B
j =1 P ( A B j j )
例7 某电子设备制造厂所用 的元件是由三家元 件制造厂提供的. 根据以往的记录有以下 的数据 :
元件制造厂 次品率 提供元件的份额
1 2 3
无区别的标志.
0.02 0.01 0.03
0.15 0.80 0.05
设这三家工厂的产品在 仓库中是均匀混合的 , 且
(1) 在仓库中随机地取一只 元件 , 求它是次品的 概率;
(2) 在仓库中随机地取一只 元件 , 若已知取到的是
次品, 为分析此次品出自何厂 , 需求出此次品由三
家工厂生产的概率分别 是多少 . 试求这些概率 . 解 设 A 表示“取到的是一只次品”, Bi (i = 1,2,3)
表示“所取到的产品是由第 i 家工厂提供的”. 则 B 1 , B2 , B3 是样本空间 S 的一个划分 ,
且
P ( B1 ) = 0.15, P ( B2 ) = 0.80, P ( B3 ) =
P ( A B1 ) = 0.02, P ( A B2 ) = 0.01, P ( A B3 ) = 0.03. (1) 由全概率公式得
P ( A) = P( A B1 )P (B 1 ) + P( A B2 )P (B 2 ) + P( A B 3 )P (B 3 )
= 0.0125. (2) 由贝叶斯公式得
P ( A B1 )P ( B1 ) = = 0.24. P ( B1 A) =
P ( A) 0.0125
P ( A B2 )P ( B2 ) = 0.64,
P ( B2 A) = P ( A)
P ( A B3 )P ( B3 ) = 0.12.
P ( B3 A) =
P ( A)
故这只次品来自第 2 家工厂的可能性最大 .
例8 对以往数据分析结果表 明 , 当机器调整得 良好时 , 产品的合格率为 98% , 而当机器发生某 种故障时 , 其合格率为 55% . 每天早上机器开动 时 , 机器调整良好的概率为 95%.试求已知某日
早上第一件产品是合格 品时 , 机器调整得良好的
概率是多少 ?
解 设 A 为事件“产品合格”,
B 为事件“机器调整良好”. 则有
P ( A B ) = 0.98, P ( A B ) = 0.55,
P ( B) = 0.95, P ( B) = 0.05, 由贝叶斯公式得所求概率为
P ( A B) P ( B) P ( B A) =
P ( A B) P ( B) + P( A B) P ( B)
0.98 ? 0.95
= 0.97. =
0.98 ? 0.95 + 0.55 ? 0.05
即当生产出第一件产品 是合格品时 , 此时机器调
整良好的概率为
先验概率与后验概率
上题中概率 0.95 是由以往的数据分析得到的, 叫
做先验概率.
而在得到信息之后再重新加以修正的概率 0.97
叫做后验概率.
例9 根据以往的临床记录 , 某种诊断癌症的试 验具有如下的效果 : 若以 A 表示事件“试验反应 为阳性”, 以 C 表示事件“被诊断者患 有癌症”, 则 有 P ( A C ) = 0.95, P( A C ) = 0.95. 现在对自然人群
进行普查, 设被试验的人患有癌症 的概率为0.005, 即 P (C ) = 0.005, 试求 P (C A).
解
因为 P ( A C ) = 0.95,
P ( A C ) = 1 ? P( A C ) = 0.05,
P (C ) = 0.005, P (C ) = 0.995,
由贝叶斯公式得所求概率为 P ( A C )P (C ) P (C A) = P ( A C )P (C ) + P( A C )P (C )
= 0.087. 即平均1000个具有阳性反应的人中大约只有87人 患有癌症!
四、小结
P ( AB) 1. 条件概率 P ( B A) = 乘法定理 P ( A) P ( AB) = P( B A) P ( A)
全概率公式
P (A ) = P(AB )1 P ( B 1 ) + P(AB 2) P (B 2) +L + P(AB n ) P (B n )
贝叶斯公式 P ( Bi A) = n P ( A Bi ) P ( Bi )
j j P ( A B ) P ( B )
j =1 , i = 1, 2,L , n
2. 条件概率 P ( A B) 与积事件概率 P ( AB) 的区别.
P ( AB) 表示在样本空间 S 中, AB 发生的
概率, 而 P ( B A) 表示在缩小的样本空间 S A 中, B 发生的概率 . 用古典概率公式 , 则
AB 中基本事件数 P ( B A) = , S A 中基本事件数 AB 中基本事件数 P ( AB) = , S 中基本事件数
一般来说, P ( B A) 比 P ( AB) 大 .
作业
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范文四：03 条件概率与概率乘法定理 全概率公式与贝叶斯公式2
概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率 3 条件概率与概率乘法定理?全概率公式与贝叶斯公式
一、设求( P(A),0.5,P(B),0.4,P(A|B),0.6,P(AB),P(A|A:B)
A,A(B，B),AB，ABP(A),P(AB)，P(AB)解:因为，所以，即
P(AB),P(A),P(AB),P(A),P(B)P(AB),0.5,(1,0.4)，0.6,0.14
P[A(A:B)]P(A)0.50.5 P(A|A:B),,,,,0.680.5，(1,0.4),0.360.74P(A:B)P(A)，P(B),P(AB)
二、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求他拨号不超过两次而接通所需电话的概率(若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少,
AB解:设表示“第一次拨通”，表示“第二次拨通”，表示“拨号不超过两次而拨通” C
111CCC11911(1) P(C),P(A)，P(BA),，,,，,0.21111010CCC10109111AAA11141(2) P(C),P(A)，P(BA),，,，,0.41255AA55
三、两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是
0.02(加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多
一倍(
(1)求任意取出的零件是合格品的概率;
(2)如果任意取出的零件是废品，求它是第二台车床加工的概率(
BAi解:设表示“第台机床加工的零件”;表示“出现废品”;表示“出现合 (i,1,2)Ci
格品”
(1) P(C),P(AC，AC),P(AC)，P(AC),P(A)P(CA)，P(A)P(CA)12121122
21 ,，(1,0.03)，，(1,0.02),0.97333
1，0.02P(A)P(BA)P(AB)2232(2) P(AB),,,,0.25221P(B)P(A)P(BA)，P(A)P(BA)1122，0.03，，0.0233
四、猎人在距离100米处射击一动物，击中的概率为0.6;如果第一次未击中，则进行第二次射击，但由于动物逃跑而使距离变为150米;如果第二次又未击中，则进行第三次射击，这时距离变为200米(假定击中的概率与距离成反比，求猎人三次之内击中动物的概率(
kAi(i,1,2,3)()0.6解:设表示“第次击中”，则由题设，有，得，从 PA,,k,60i1100
而有
概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率
k60k60， P(A),,,0.4P(A),,,0.3.23200200150150
AA,A，AA，AAA 设表示“三次之内击中”，则，故有 112123
P(A),P(A)，P(A)P(A)，P(A)P(A)P(A)112123
,0.6，(1,0.6)，0.4，(1,0.6)，(1,0.4)，0.3,0.832
B(另解)设表示“猎人三次均未击中”，则
P(B),(1,0.6)(1,0.4)(1,0.3),0.168
P(B),1,P(B),0.832故所求为
五、盒中放有12个乒乓球，其中有9个是新的(第一次比赛时从其中任取3个来用，比赛后仍放回盒中(第二次比赛时再从盒中任取3个，求第二次取出的都是新球的概率(
Ai解:设表示“第一次取得个新球”，则 (i,0,1,2,3)i
21123CCCCC27108139393 ()()()PA,,PA,,PA,,012333220220220CCC12121203CC8439 ()PA,,33220C12
B设表示“第二次取出的都是新球”，则
33333CCCC127108849876 P(B)P(A)P(BA),,,，,，,，,,ii3333220220220220CCCCi,012121212
1212714108784177616 ,,，,，,，,,,0.14622055220552204422011532400
范文五：条件概率、乘法公式、贝叶斯公式、全概率公式的定义
条件概率、乘法公式、贝叶斯公式、全概率公式的定义。
解答:
(1)关于条件概率:P(A|B)的定义服从概率公理体系的要求，从而是“概率”。它与前几节所述“概率”的差别在于对事件A多了一个“在B发生的条件下”的限制，即考虑的是事件(A|B)，而不是A。从而一般来说(A|B)?A;P(A|B)?P(A)。但当B=Ω时，则有P(A|B)=P(A)。于是，可讲以前所述概率看作是在Ω发生条件下A发生的条件概率，也有称其为无条件概率的。
条件概率的定义在公理体系中是定义出来的。而在古典概型中是可推导出来的，从而使P(A|B)=P(AB)/P(B)式有牢固的实际基础。注意，一般地说，P(A|B)，P(A|B),1
。 P(A|B)，P(A|B),1
(2)关于乘法公式:乘法公式可直接从条件概率公式中推导出来。
(3)关于全概率公式与贝叶斯公式:这两个公式在这一章中是两个比较重要的公式，要回推正，明其意，并会用例子去说明其中的概念.当然要记住公式，特别是样本空间Ω的
P(A|B)分割及B的结构。通过例子与练习掌握的计算。这里的一切均可推广至不可数无i
穷多个样本点的情形。贝叶斯公式的推广在统计学中占有很重要的位置，是贝叶斯统计的基础。目前，已形成了贝叶斯学派，其理论、方法和观点日趋重要。
