大学数学基础教程课后答案(微

范文一：大学数学基础教程课后答案(微积分)

大学数学基础教程（微积分1-4章）习题答案

习题1—1解答1．设f(x,y)=xy+

x11x1，求f(?x,?y),f(,f(xy,yxyyf(x,y)

解f(?x,?y)=xy+

x111yx1y；f(,)=+;f(xy,=x2+y2;=2yxyxyxyf(x,y)xy+x

2．设f(x,y)=lnxlny，证明：f(xy,uv)=f(x,u)+f(x,v)+f(y,u)+f(y,v)

f(xy,uv)=ln(xy)?ln(uv)=(lnx+lny)(lnu+lnv)

=lnx?lnu+lnx?lnv+lny?lnu+lny?lnv=f(x,u)+f(x,v)+f(y,u)+f(y,v)

3．求下列函数的定义域，并画出定义域的图形：（1）f(x,y)=?x2+

y2?1;

4x?y2

（2）f(x,y)=;22

ln(1?x?y)

x2y2z2

（3）f(x,y)=?2?2?2;

abc（4）f(x,y,z)=

+y+z?x?y?z

解（1）

D={(x,y)x≤1,y≥

（2）

D=(x,y)0

??x2y22

（3）

D=?(x,y)2+2+ab?（4）D=(x,y,z)x≥0,y≥0,z≥0,x2+y2+z2

{}

4．求下列各极限：（1）lim

1?xy1?0

==122

x+y0+1ln(x+ey)

ln(1+e0)

==ln222

+0x+y

x→0

y→1

（2）lim

x→1y→0

2?xy+4(2?xy+4)(2+xy+4)1

（3）lim=lim=?

x→0x→0xy4xy(2+xy+4)y→0y→0（4）lim

sin(xy)sin(xy)

=lim?x=2

x→2x→2yxyy→0y→0

5．证明下列极限不存在：

x+y（1）lim;

x→0x?yy→0x2y2

（2）lim22

x→0xy+(x?y)2y→0

（1）证明如果动点P(x,y)沿y=2x趋向(0,0)则lim

x+yx+2x

=lim=?3；

x→0x→0x?yx?2xy=2x→0

x+y3y

=lim=3

y→0y→0yx?yx=2y→0

如果动点P(x,y)沿x=2y趋向(0,0)，则lim所以极限不存在。

（2）证明：如果动点P(x,y)沿y=x趋向(0,0)

x2y2x4

则lim22=lim4=1；2x→0x→0xxy+(x?y)y=x→0

x2y24x4如果动点P(x,y)沿y=2x趋向(0,0)，则lim=lim=022242x→0x→0xy+(x?y)4x+xy=2x→0

所以极限不存在。

6．指出下列函数的间断点：

y2+2x

（1）f(x,y)=；

y?2x解断。

（2）z=lnx?y。

（1）为使函数表达式有意义，需y?2x≠0，所以在y?2x=0处，函数间

（2）为使函数表达式有意义，需x≠y，所以在x=y处，函数间断。习题1—21．（1）z=

xy+yx

?z1y?z1x=?2；=?2.?xyx?yxy(2)

=ycos(xy)?2ycos(xy)sin(xy)=y[cos(xy)?sin(2xy)]?x

=xcos(xy)?2xcos(xy)sin(xy)=x[cos(xy)?sin(2xy)]?y(3)

=y(1+xy)y?1y=y2(1+xy)y?1,?x

lnz=yln(1+xy)，两边同时对y求偏导得

1?zx

=ln(1+xy)+y,z?y1+xy

xyxy?z

=z[ln(1+xy)+=(1+xy)y[ln(1+xy)+;?y1+xy1+xy2y

3?zx3?2yx(4)==,3y?x

x+2x(x+y)x

?z=?y

1x2

x+y

yx2

yy?uyz1?u1z?u

=x,=xlnx,=?2xzlnx(5)?xz;?yz?zz

?uz(x?y)z?1(6),=2z

?x1+(x?y)?uz(x?y)z?1

=?,2z?y1+(x?y)?u(x?y)zln(x?y)=;?z1+(x?y)2z2.(1)

zx=y,zy=x,zxx=0,zxy=1,zyy=0;

(2)zx=asin2(ax+by),zy=bsin2(ax+by),

zxx=2a2cos2(ax+by),zxy=2abcos2(ax+by),zyy=2b2cos2(ax+by).

fx=y2+2xz,fy=2xy+z2,fz=2yz+x2,fxx=2z,fxz=2x,fyz=2z,fxx(0,0,1)=2,fxz(1,0,2)=2,fyz(0,?1,0)=0.

ttttzx=?2sin2(x?),zt=sin2(x?),zxt=2cos2(x?),ztt=?cos2(x?2222

2ztt+zxt=?2cos2(x?+2cos2(x?)=0.

y1y1x

5.(1)zx=?2ex,zy=ex,dz=?2exdx+edy;

xxxx(2)z=

1xyxy22

,,,ln(x+y)zx=2zy=2dz=2dx+2dy;2222

2x+yx+yx+yx+y?

2yx?ydx+xdyxx(3)zx=,,dz=;=?2z==y22222yyx+yx+y1+(21+(2x+yxx(4)ux=yzxyz?1,uy=zxyzlnx,uz=yxyzlnx,

du=yzxyz?1dx+zxyzlnxdy+yxyzlnxdz.

6.设对角线为z,则z=x2+y2,zx=

xx2+y2

,zy=

yx2+y2

,dz=

xdx+ydyx2+y2

当x=6,y=8,?x=0.05,?y=?0.时,?z≈dz=

6×0.05+8×(?0.1)

=-0.05(m).

7.设两腰分别为x、y,斜边为z,则z=x2+y2,

zx=

xx+y

，zy=

yx+y

,dz=

xdx+ydyx+y

设x、y、z的绝对误差分别为δx、δy、δz,

当x=7,y=24,?x≤δx=0.1,?y≤δy=0.1时,z=2+242=25?z≤dz≤

7×0.1+24×0.1

7+24

=0.124,z的绝对误差δz=0.124

z的相对误差

?z0.124

≈=0.496%.z25

8.设内半径为r，内高为h，容积为V，则

V=πr2h,Vr=2πrh,Vh=πr2,dV=2πrhdr+πr2dh,当r=4,h=20,?r=0.1,?h=0.1时,

?V≈dV=2×3.14×4×20×0.1+3.14×42×0.1=55.264(cm3).习题1—3

yxyx

du?fdx?fdy?fdzzz1.=++=?2a(ax+1)+?aeax+

xyxyxydx?xdx?ydx?zdx

1+(21+()21+(2

zzz

y[z+axz?2axy(ax+1)](ax+1)eax(1+a2x2)

==.222422ax

z+xy(ax+1)+xe?z?f?ξ?f?ηη

2.=+=?x?ξ?x?η?x?ξ2

4x3arcsin?x2?y2

4x3

+arcsinξ?4=422x+y?x?y?x

xln(x4+y4)(1?x2?y2)(x2+y2)

x4+y4

η?z?f?ξ?f?η

=+=?y?ξ?y?η?y?ξ24y3arcsin?x2?y2

4y3

+arcsinξ?4=422x+y?x?y?y

yln(x4+y4)(1?x?y)(x+y)

x+y

3.(1)

?u?u

=2xf1+yexyf2,=?2yf1+xexyf2.?x?y

(2)

x1?u1?u?uy=?f1,=?2?f1+f2,=?2?f2.?xy?yyz?zz?u?u?u=f1+yf2+yzf3,=xf2+xzf3,=xyf3.?x?y?z?u?u?u=2xf1+yf2+f3=2yf1+xf2+f3,=f3.?x?y?z?z?z

,=yf1=xf1+f2,

?x?y

(3)

(4)

4.(1)

?2z?f12

=y=y(f?y)=yf11,11

?x2?x

?2z?

=(yf1)=f1+y?f1=f1+y(f11?x+f12)=f1+xyf11+yf12,?x?y?y?y

?2z??f1?f22

=(xf+f)=x+=x(f?x+f)+f?x+f=xf11+2xf12+f2212111221222

?y?y?y?y(2)

?z?z=y2f1+2xyf2,=2xyf1+x2f2,?x?y

?2z?2?f22?f1=yf+2xyf=y+2yf+2xy122

?x2?x?x?x

()

=y2(f11?y2+f12?2xy)+2yf2+2xy(f21?y2+f22?2xy)=2yf2+yf11+4xyf12+4xyf22

?2z?2?f?f

=yf1+2xyf2=2yf1+y21+2xf2+2xy2

?x?y?y?y?y

()

=2yf1+y2(f11?2xy+f12?x2)+2xf2+2xy(f21?2xy+f22?x2)=2yf1+2xf2+2xy3f11+2x3yf22+5x2y2f12

?2z??f122?f2

=2xyf+xf=2xf+2xy+x121

?y2?y?y?y

()

=2xf1+2xy(f11?2xy+f12?x2)+x2(f21?2xy+f22?x2)=2xf1+4x2y2f11+4x3yf12+x4f22

5∵

?u?u?x?u?y1?u3?u?u?u?x?u?y3?u1?u

=+=+,=+=?+,?s?x?s?y?s2?x2?y?t?x?t?y?t2?x2?y

(

?u21?u23?u?u3?u2?u23?u2?u?u1?u2)=()++(),()=(?+(),?s4?x2?x?y4?y?t4?x2?x?y4?y?u2?u2?u?u)+(=(2+()2.?s?t?x?y

∴(

6(1)设F(x,y,z)=x+y+z?e?(x+y+z),Fx=1+e?(x+y+z),Fy=1+e?(x+y+z),

Fz=1+e?(x+y+z),

FyFx?z?z

,=?=?1=?=?1

?xFz?yFz(2)设F(x,y,z)=z?x2?y2tan

zx?y

?122

(?)(x?y)22xz222x?y

Fx=?

xx?y

xx?yyx?yyx?y

222

tan

zx?y

?x?ysec

tan

x?yzx?yz

xz2

sec

x2?y2

zx?yz

Fy=

tan?x?ysec

3?122

(?x?y)2(?2yz)2x2?y2

=tan

x?y

yz2

sec

x2?y2z

zx?y

Fz=1?

x2?y2sec2

x?y

=?tan2

zx?yzx?y

F?zxzxz=?x=?cot+2csc2

Fz?xx2?y2x2?y2x?y

Fy?z=?=?yFz

yx?y

cot

zx?y

yz2

csc

x2?y2

yzx

zx?y

(3)设F(x,y,z)=x+2y+z?xyz,Fx=1?

Fy=2?

xzxy

,Fx=1?

Fyyz?xyz?z

,==?

Fzxyz?xy?y

xz?2xyzxyz?xy

?zF

=?x=

Fz?x

(4)设F(x,y,z)=

xzx11x1

?ln=?lnz+lny,Fx=,Fy=Fz=?2?,zyzzyzz

Fy?zFxz?zz2,,=?==?=

?xFzx+z?yFzy(x+z)

7.设F(x,y,z)=x+2y?3z?2sin(x+2y?3z),Fx=1?2cos(x+2y?3z),∵Fy=2?4cos(x+2y?3z),Fz=?3+6cos(x+2y?3z),∴

Fy2F?z1?z

=?x=,=?=,?xFz3?yFz3?z?z+=1.?x?y

∴

设F(x,y,z)=φ(cx?az,cy?bz),Fx=cφ1,Fy=cφ2,Fz=?aφ1?bφ2,

FyFxcφ1?zcφ2

=?==?=,?xFzaφ1+bφ2?yFzaφ1+bφ2?z

∴a

?z?z

+b=c.?x?y

(1)方程两边同时对x求导得

x(6z+1)dy?dy?dz=?,=2x+2y,??dx?dx2y(3z+1)dx解之得??dydz?dy=x?2x+4y+6z=0,

?dxdx??dx3z+1(2)方程两边同时对z求导得

?dxdy

?dz+dz+1=0,

解之得?dxdy

?2x+2y+2z=0

dz?dz

(3)方程两边同时对x求偏导得

?dx

=??dz?dy?=??dz

y?z

,x?yz?x

.x?y

sinv??u?u?v?u?u=,?u

?1=e?x+?xsinv+ucosv?x,??xe(sinv?cosv)+1

解之得??u

?u?v?vcosv?eu?u?0=e?=?cosv+usinv,.u

??x?x?x???xu[e(sinv?cosv)+1]同理方程两边同时对y求偏导得

?cosv??u?u?v?u?u=,0=e+sinv+ucosv,?u??xe(sinv?cosv)+1??y?y?y解之得?

??u

?u?v?vsinv+eu?u?1=e?=?cosv+usinv,.u

??y?y?y????xu[e(sinv?cosv)+1]

习题1－4

1．求下列函数的方向导数

（1）u=x2+2y+3z2,P0(1,1,0),l=(1,?1,2)解：

?u?x?u?y?u?z

=2x=4y

=2=4

P0P0

=6z

l0=(?u?l

112,?,666=2*

112

+4*(?=?.666

∴

（2）u=()z,P0(1,1,1),l=(2,1,?1);

x解：

?u?x

yz?1y=z()(?2)P0

=?1,

?u?y?u?z

y1=z()z?1()

=1,

yzy=()ln(P0

=0,

l0=(?u

211,,?666=(?1)*

211

+1*=?.66

∴

（3）u=ln(x2+y2),P0(1,1),l与ox轴夹角为解：

?x?u?y

P0=

π;3

2xx2+y22yx2+y2

=1,

P0=

=1,

由题意知α=

ππ,则β=,36

l0=(cos?u

ππ13,cos)=(,3622131++1*=.222

∴

=1*

（4）u=xyz,P0(5,1,2),P1(9,4,14),l=P0P1.

?x?u?y?u?z

=yz

=2,

=xzP0=10,=xy

=5,

P0P0

l=(4,3,12),∴l0=(∴?u?l

4312,,),131313

431298=2*+10*+5*=.

13131313

2．求下列函数的梯度gradf

（1）f(x,y)=sin(x2y)+(cos(xy2);解：

=cos(x2y)*(2xy)?sin(xy2)*y2,?x

=cos(x2y)*x2?sin(xy2)*(2xy),?y

∴gradf=(2xycos(x2y)?y2sin(xy2),x2cos(x2y)?2xysin(xy2))

(2)f(x,y)=ey.

?fyy11y解：=(?2)ey+ey=ey(1??xxxyxx

?f1yyyx11=e+e(?2=ey(??yxxxyy1y11∴gradf=(ey(1?，ey(?）。

xxxy

3．一个登山者在山坡上点(?,?1,)处，山坡的高度z由公式z=5?x2?2y2

24近似，其中x和y是水平直角坐标，他决定按最陡的道路上登，问应当沿什么方向上登。解：

?x?z?y

=?2x

=3,

33(=?1,)2433

(?1,24

(=?1,)24

=?4y

(=?1,)24

=4,

∴按最陡的道路上登，应当沿（3，4）方向上登。

4．解：

?T?T

=y(1?y)(1?2x),=x(1?x)(1?2y)?x?y

(43

沿方向?gradT

11=(?,?)

916

5．解：设路径为y=f(x)，在点(x,y)处gradT=(?2x,?8y)

y=f(x)在(x,y)点的切向量为τ=(1,

∵gradT平行于切向量τ,∴因为过(1,2),∴y=?2x4

dy)dx

dxdy

=?y=cx4

?2x?8y

习题1-5

tt+1,y=,z=t2在对应于t=1点处的切线及法平面方程。1+tt

解：当t=1时，x(1)=,y

(1)=2,z(1)=1，

21、求曲线x=

,2,1)2

={x'(1),y'(1),z'(1)}={

1?(1+t)?1?tt?(t+1)1

,,2t={,?1,2}22

(1+t)t4t=1

故所求切线方程为：

x?y?2z?1x?2y?2z?1

，即:====

4?121?48

即:2x?8y+16z=1

法平面方程为：(x??(y?2)+2(z?1)=0

2、求下列空间曲线在指定点处的切线和法平面方程

??x+y=2（1）?2

??y+z=2

在点(1,1,1)

解：将方程两端对x求导，得

xdy?dy?=?2x+2y=0????dxydx

???

dydz?2y+2z=0?dz=x???dxdx?dxz故所求的切线方程为：x?1=法平面方程：x?y+z=1?x2+y2+z2=6（2）?

?x+y+z=0

在M(1,1,1)处T=(1,?1,1)

y?1

=z?1?1

在点(1,?2,1)

解法1：将方程两端对x求导，得

dydzdz??dy

2x+2y?+2z?=0y?+z?=?x????dxdxdx??dx?

?1+dy+dz=0?dy+dz=?1???dxdx?dxdx当J=

=y?x≠0时，有11

dy1?xzz?xdz1y?xx?y=?=，=?=dxJ?11y?zdxJ1

?1y?z?z?xx?y??dydz?

=?1,,?=?1,,={1,0,?1}?

?dxdx?(1,?2,1)?y?zy?z?(1,?2,1)

1,?2,1)

?x?1z?1

故所求的切线方程为：??11

??y+2=0法平面方程：?(x?1)+0?(y+2)+(z?1)=0

即：x?z=0

?2xdx+2ydy+2zdz=0

解法2：将方程组两端求微分：得?

?dx+dy+dz=0∴曲线在点(1,?2,1)处的切向量为3.（题略）

y11

-z,Fx'(P0)=?,Fy'(P0)=,Fz'(P0)=-1，x2211π

曲面在点P0的切平面方程为：-(x?1)+(y?1)+(?1)(z?)=0，即：x-y-224

2z-=0；

ππz?z?

x?1y?1，即：x?1=y?1=法线方程为：==；11?11?12?22

2）令F(x,y,z)=z?y?ln

则Fx=?，Fy=?1，Fz=1+

xz解：（1）令F（x，y，z）=arctg

曲面在点(1,1,1)点处的切平面的法向量为：n={?1,?1,+2}

故所求的切平面方程为：(?1)?(x?1)+(?1)?(y?1)+2(z?1)=0即：

x+y?2z=0法线方程为：

x?1y?1z?1

==?1?12

（3）令F（x，y，z）=2

-8，

Fx'(P0)=4ln2,Fy'(P0)=?4ln2,Fz'(P0)=-

16ln2，曲面在点P0的切平面方程为：4ln2（x-2）-4ln2（y-2）-16ln2（z-1）

=0，

即：x-y-4z=0，法线方程为：

x?2y?2z?1

，即：==

4ln24ln2?16ln2

x?2y?2z?1

==11?44、解：∵

?z1?z1

=，=

?xx+y?yx+y

∴?z(1,2)={

1111,={,x+yx+y(1,2)33

又∵抛物线y2=4x在(1,2)点处的切线斜率为：

=1dx(1,2)

?={1,1}(1,2)??

??dy

∴抛物线y=4x在(1,2)点处偏向x轴正向的切线方向为=?1,

??dx

?11?

∴T0=?,

22??习题1-61（题略）.

,2)

222?11??11?

=?,??,=+=?

663?33??22?

解：由的驻点,

?f?f=4?2x=0,=?4?2y=0,有x=2,y=-2,即P0(2,-2)为f(x,y)?x?y

?2f?2f?2f

又2=?2,=0,2=?2,?x?x?y?y?2f

D（P0）=4>0,2(P0)=-2

故P0(2,-2)为f(x,y)的极大值点,其极大值为f(2,-2)=8.2（题略）.

??f2

=3x?6y?39令0??x2?2y?13=0??x

解：由?有?驻点：(5,6)和(1,?6)

?f?y?3x+9=0?=2y?6x+18令0???y

?2f

∵2=6x?x?(5,6)=6x?2?(?6)

2(5,6)

?2f

=2?y2?2f

=?6?x?y

?2f

=24>0，而2

=6x(5,6)=30

(5,6)

=(12x?36)(5,6)

∴f(x,y)在点(5,6)取得极小值f(5,6)=?88

又∵?(1,?6)=6x?2?(?6)2(1,?6)=(12x?36)(1,?6)=?24

3、求z=x2?y2在闭区域x2+4y2≤4上的最大值和最小值??z

=2x=0??x

解：由?，得唯一驻点(0,0)??z

?=?2y=0???y

又∵在边界x+4y=4即椭圆+y2=1上,z=x2?y2=4?5y2y∈(?1,1)

由

d(4?5y)

=0，得驻点：y=0∈(?1,1)dy

∴所有可能的极值点为：(0,0)相应的函数值为：

(2,0)4

(-2,0)4

（0,-1）-1

(0,1)-1

4、求抛物线y=x2和直线x?y?2=0之间的最短距离。

解：设P(x,y)为抛物线y=x2上任意一点，它到直线x?y?2=0的距离为

x?y?2

，d最小当且仅当d2最小

(x?y?2)2在条件y2=x下的最小值。2

此问题即是求d2=

解法1（用拉格朗日乘数法）

122

设L=(x?y?2)+λ(y?x)

?Lx=2?2(x?y?2)?1?2xλ令0

?(1?2λ)x?y?2=0?

111??

由?Ly=?2(x?y?2)?(?1)+λ令0，即?λ?x+y+2=0得唯一驻点(,224?y?x2=0?

??Lλ=y?x2令0

??故由实际问题知抛物线y=x2和直线x?y?2=0之间的最短距离在在，为：

dmin=d

11()24

728

解法2（转化为无条件极值）

设抛物线y=x2上点P(x,x2)，它到直线x?y?2=0的距离为

x?y?2

x?x2?2

(x?x2?2)2最小2

∵d最小当且仅当d2=1

设f(x)=(x?x2?2)2

∴f′(x)=(x?x2?2)?(1?2x)令0?唯一驻点x=

f′′(x)=(1?2x)?(1?2x)+(x?x2?2)?(?2)=(1?2x)2+2(x2?x+2)

∵f′′(=(1?2x)2+2(x2?x+2)

[]

7>02

∴当x=∵d

时，f(x)有极小值，从而该极小值就是所求的最小值（∵唯一驻点）2

x?x2?2

728

故抛物线y=x2和直线x?y?2=0之间的最短距离为

5、求抛物线z=x2+y2被平面x+y+z=1截成一椭圆，求原点到此椭圆的最长与最短距离。

解：设椭圆上任意一点为(x,y,z)，它到原点的距离为d=x2+y2+z2?z=x2+y2

此问题即是求d=x+y+z在条件?下的最大值和最小值。

x+y+z=1?

令L=?L

?x?Ly??由?Lz

??Lλ?L??μ

x2+y2+z2+λ(x2+y2?z)+μ(x+y+z?1)

=2x+2λx+μ令0

①

=2y+2λy+μ令0②=2z?λ+μ令0=x2+y2?z令0=x+y+z?1令0

③④⑤

由①-②得2(1+λ)(x?y)=0若λ=?1代入①，得μ=0，1

再代入④，∴z=?

∴λ≠?1，有x=y

?2x2=z?1±3

代入④，⑤由?，解得y=x=，z=2±2?2x+z=1∴驻点为：P1(

?1+?1+?1??1?,,?1+3)和P2(,,?1?)2222

∴dP=x2+y2+z2

=9+53，dP2=x2+y2+z2

=9?3

9+5

和

由实际问题知，所求最大值和最小值存在，分别为9?6（题略）.解:

设圆柱高为H,圆锥高为h,圆柱圆锥底半径为r,则浮标体积

V=πr2H+2

π2

rh,3故

:3V-

πr2(3H+2h)

(1)

浮标表面积S(r,h,H)=2πrH+2πrr2+h2=2πr(H+r2+h2)

令L(r,h,H)=2πr(H+r2+h2)+λ[3V?πr2(3H+2h)

]

?L由=2π(H+r2+h2)+2π?r

r2r+h

?2rπλ(3H+2h)=0（2）

=2π?h

(3)

rhr+h

?2πλr2

=2πr?3πλr2=0?H

(4)

有λr=

2,3

代入（3）有

hr2+h2

2r,=0,故=

3h2

h,再由（2），有2

H=h,h=

2r,(r,

2r,

2r)为S(r,h,H)

唯一驻点，由于实际问题存在最值，故当H=h,

r时,材料最省。=

7（题略）

解S=

设BC=a,则横截面积

11S

(BC+AD)h=(2a+2hctgθ )h=(a+h ctgθ )h,a= ?h?ctgθ,湿周22h

hSh

F(h, θ)==a+2CD=a+2=?h?ctgθ+2

sinθhsinθ

?fS2

由=?2?ctgθ+=0

?hhsinθ(1)

?f1?2cosθ

==02?θsinθ(2)

由(2)有1-2cosθ=0,θ=

由(1),h=

SπS

,即(,4)为唯一驻点，故当

3θ=

πS

,h=4时，湿周最小.3

习题2-11、解：在任意一个面积微元dσ上的压力微元

dF=ρgxdσ，所以，该平面薄片一侧所受的水压力F=

∫∫ρgxdσ

2、解：在任意一个面积微元dσ上的电荷微元dF=μ(x,y)dσ，所以，该平面薄片的电荷总量Q=∫∫μ(x,y)dσ

3、解：因为0≤x≤1,0≤y≤1，所以x2+y2+1≤x+y+1，又lnu为单调递增函数，所以lnx2+y2+1≤ln(x+y+1)，由二重积分的保序性得

(

0≤x≤10≤y≤1

)∫∫ln(x

+y2+1dσ≤

)

0≤x≤1

∫∫ln(x+y+1)dσ

0≤y≤1

4、解：积分区域D如图2-1-1所示，所以该物体的质量

M=∫∫(x2+y2)dσ=

∫

dy∫

2?y

1884

(x2+y2)dx=∫(?4y+4y2?y3)dy=

0333

5、解：（1）积分区域如图2-1-2所示，所以∫dy∫f(x,y)dx=∫dx∫f(x,y)dy

y11

（2）积分区域如图2-1-3所示，所以∫dy∫2f(x,y)dx=∫dx∫

22y4x

y0x/2

f(x,y)dy，

所

以

（3）

2x?x2

积分

区

2?y

域

?y2+1

如图2-1-4所示

∫

dx∫

2?x

f(x,y)dy=∫dy∫

f(x,y)dx

lnx

（4）积分区域如图2-1-5所示，所以∫dx∫f(x,y)dy=∫dy∫yf(x,y)dx

6、解：（1）积分区域如图2-1-6所示，所以

∫∫x

ydσ=∫0dx∫x22

22?41?6

xydy=∫0x(x3/4?x3)dx=?x11/4?x5?=

33?115?055

（）

积

4?y

分区

域如图2-1-7所示，所以

∫∫xydσ=∫dy∫

xy2dx=2∫

1264y(4?y2)dy=0215

（3）积分区域如图2-1-8所示，所以

x+y

e∫∫dσ=∫dx∫D

?100

1+x?1?x2x

ex+ydy+∫dx∫

11?x

?1+x

ex+ydy=∫ex(e1+x?e?1?x)dx+∫ex(e1?x?e?1+x)dx

=∫(ee?e)dx+∫(e?e?1e2x)dx=e?e?1

（4）积分区域如图2-1-9所示，所以

22(x+y?x)dσ=∫∫

∫

dy∫

yy/2

(x2+y2?x)dx=

13?19332?

y?ydy=?∫0?8?6?24

7、解：

（1）积分区域如图2-1-10所示，令x=rcosθ,y=rsinθ，所以

ππ

?≤θ≤,0≤r≤a，故22

∫∫

f(x,y)dσ=

∫

2π?2

dθ∫r?f(rcos,rsin)dr

（2）积分区域如图2-1-11所示，令x=rcosθ,y=rsinθ，所以0≤θ≤π,0≤r≤2sinθ

，

故

∫∫f(x,y)dσ=∫

dθ∫

2sinθ

r?f(rcosθ,rsinθ)dr

8、解：

（1）积分区域如图2-1-12所示，令x=rcosθ,y=rsinθ，所以0≤θ≤

πsinθ,0≤r≤4cos2θ

?12

，

sinθ

故

∫dx∫

(x+y)

dy=∫4dθ∫cosθr?rdr=∫4secθtanθdθ=[secθ0=2?1

（2）积分区域如图2-1-13所示，令x=rcosθ,y=rsinθ，所以0≤θ≤π,0≤r≤2sinθ

，

故

∫

dy∫

a2?y20

(x+y)dx=

1）积

∫

dθ∫

πa4

rdr=

9、解：（分区域如图

2-1-14所示，故

2x1x22

dσ=xdxdy=1∫∫2∫21

xyDy

∫

(?x+x3)dx=

（2）积分区域如图2-1-15所示，令x=rcosθ,y=rsinθ，所以

0≤θ≤

,0≤r≤12

，故

∫∫

11?r?x2?y2π2

σ=dθ?rdr=∫0∫01+r2

1+x2+y22

11?π?rr?=?dr?dr∫∫??04042??r?r?

11d(1?r)?π?1dr1?=?+∫∫??04042?24?r?r?

π?112142=?arcsinr0+(1?r)2?22?

∫

1?r2

rdr

?π

?=(π?2)?80?

（3）积分区域如图2-1-16所示，故

∫∫(x

+y)dσ=∫dy∫

3ayy?a

(x+y)dx=

∫

(2ay?ay+dy=14a4

（4）积分区域如图2-1-17所示，令x=rcosθ,y=rsinθ，所以

0≤θ≤2π,a≤r≤b，

故∫∫(x+y)dσ=∫dθ∫r2dr=

2πb

2π3

(b?a3)3

10、解：积分区域如图2-1-18所示，由图形的对称性得：S=4S1=4∫∫dσ，

所以

S=4∫dθ∫

π4

asin2θ

rdr=2∫asin2θ

dθ=?acos2θ04=a2

π4

图2-1-1图2-1-2图2-1-3图

2-1-4

图2-1-5图2-1-6图2-1-7图

2-1-8

图2-1-912

图2-1-10图2-1-11图2-1-

图2-1-131-16

图2-1-14图2-1-15图2-

图2-1-17

习题2-2

1、解：Q=∫∫∫μ(x,y,z)dv

图2-1-18

2、化三重积分为直角坐标中的累次积分

解：（1）因为积分区域?的上曲面为开口向上的旋转抛物面z=x2+y2，下曲面为z=0，积分区域?在xoy坐标面上的投影区域Dxy:0≤x≤1;0≤y≤1?x，所以

∫∫∫f(x,y,z)dv=∫dx∫

11?x

dy∫

x2+y2

f(x,y,z)dz

（2）因为积分区域?的上曲面为开口向下的抛物柱面z=2?x2与下曲面为开口向上的旋转抛物面z=x2+2y2围成，二曲面的交线在xoy平面上的投影为圆

?1≤x≤1?

?:???x2≤y≤1?x2

?x2+2y2≤z≤2?x2?

x2+y2=1

，即，所以

∫∫∫f(x,y,z)dv=∫

dx∫

??x

dy∫

2?x

x+2y

f(x,y,z)dz

（3）因为积分区域?的上曲面为开口向上的旋转抛物面z=x2+y2，下曲面为

z=0，积分区域?在xoy坐标面上的投影区域Dxy:?1≤x≤1;x2≤y≤1，所以

∫∫∫f(x,y,z)dv=∫

dx∫2dy∫

x2+y2

f(x,y,z)dz

3、解：积分区域?如图2-2-1所示

∫∫∫xzdxdydz=∫xdx∫2dy∫zdz=

11y

∫

xdx∫2

1211

ydy=∫x(1?x6)dx=026?1

另解：因为积分区域?关于坐标面yoz对称，又f(x,y,z)=xz关于第一坐标是奇函数，所以∫∫∫xzdxdydz=0。

4、解：积分区域?如图2-2-2所示，当0≤z≤h时，过(0,0,z)作平行与xoy面

?2R??x+y2≤?z??，因而D的半径为Rz，面的平面，与立体?的截面为圆Dz:?z?h?h?z=z?

πR22

积为2z，故

∫∫∫zdxdydz=∫

πR2

zdz∫∫dxdy=2

hDz

∫

πR2h2

zdz=

5、求下列立体?的体积

解（1）曲面所围立体是球体与旋转抛物面的一部分（如图2-2-3所示），用柱面坐标计算：

V=∫∫∫dv=∫∫∫rdrdθdz==

∫

2π

dθ∫drr

2?π

rdz

∫

2π

11222

[?(5?r)?r4]2=π(55?4)0

3163

图2-2-1图2-2-2图2-2-3

（2）因为积分区域?的上曲面为平面z=1?x，下曲面为z=0，积分区域?在xoy坐标面上的投影区域Dxy:y2≤x≤1;?1≤y≤1，所以

V=∫∫∫dv=∫dy∫2dx∫

111?x

111?11?8dz=∫dy∫2(1?x)dx=2∫??y2+y4?dy=

?1y022?15?

6、利用柱面坐标计算下列三重积分

解：（1）因为积分区域?的上曲面为开口向上的上半球面z=2?x2?y2，下曲面为开口向上的旋转抛物面z=x2+y2，将z=x2+y2代入z=2?x2?y2得

z=2?z，解此方程得z=1积分区域?在xoy坐标面上的投影区域Dxy:x2+y2≤1，由柱坐标公式得：Dxy:0≤θ≤2π,0≤r≤1

∫∫∫zdv=

∫

2π

dθ∫dr∫2

12?r

zrdz=2π∫

17π

。r2?r2?r4dr=

0212

()

（2）因为积分区域?的上曲面为平面z=2，下曲面为开口向上的旋转抛物面2z=x2+y2，将z=2代入2z=x2+y2得x2+y2=4，所以积分区域?在xoy坐标面上的投影区域Dxy:x2+y2≤4，由柱坐标公式得：Dxy:0≤θ≤2π,0≤r≤2

(x+y)dv=∫∫∫?

∫

2π

2221?16π?。dθ∫dr∫2r3dz=2π∫r3?2?r2?dr=

0r/2023??

7、利用球面坐标计算下列三重积分解：（1）用球面坐标计算

(x+y+z)dv=rsin?drd?dθ=dθsin?d?r∫∫∫∫∫∫∫∫∫dr?

2224

2ππ1

15?4=2π?(?cos?)0???r?=π

?5?05

（2）用球面坐标计算

∫∫∫zdv=

rcos??rsin?drd?dθ=∫∫∫?

∫

2π

dθ∫

π/4

sin?cos?dκ∫

2acos?

r3dr

=2π?∫0

π/4

sin?cos??

π/4

π/41

(2acos?)4d?=8πa4∫0sin?cos5?d?4

8πa4

=?cos6?

πa6

8、选用适当的坐标计算下列三重积分

?0≤r≤cos??π

解：（1）积分区域?为球，故用球面坐标计算：?:?0≤?≤，所以

?0≤θ≤2π

∫∫∫

x+y+zdv=

222

∫

2π

dθ∫

π/20

π/2

d?∫

cos?

r?rsin?dr=2π∫

π/2

sin?d?∫

cos?

r3dr

=2π∫

1π1ππ/2

sin??cos4??d?=??cos5?0=

42510

（2）将z=2y代入z=x2+y2得到xoy平面上的一个圆x2+(y?1)2=1，用直角坐标公式计算∫∫∫zdv=

∫

dx∫

1+?x

1?1?x

dy∫22y

x+y

zdz，由于计算量较大，请同学一试。

用柱坐标计算x=rcosθ,y=rsinθ,z=z

∫∫∫zdv=

∫

dθ∫

2sinθ

dr∫2

2rsinθ

zrdz=∫dθ∫

π2sinθ

r(4r2sin2θ?r4)dr2

=∫

8616531π5sinθdθ==π3364226

（3）用柱坐标x=rcosθ,y=rsinθ,z=z计算

zdv=dθdrz∫∫∫∫∫∫rdz=2π∫?

2π

132r16

r(z)0dr=π0315

（4）用直角坐标计算

∫∫∫xyz

dv=∫xdx∫ydy∫zdz=

∫xdx∫

121xy2441

xydy=∫dx=

0284364

习题2-3

1、解：（1）因为连接点（1，0）和（2，1）的直线段的方程为

y=x?1,1≤x≤2，所以

∫

（2）L

(x?y)?1ds=∫[x?(x?1)]?1+(1)2dx=∫

2dx=2

(x∫

+y2ds=∫

)

2π

cos2t+a2sin2t

)

(?asint)2+(acost)2dt

=∫a2n+1dt=2πa2n+1

2π

（3）

2yds=

2a∫

2π0

?costa(1?cost)]2+(asint)2dt

=2a2

∫

2π0

(1?cost)dt=4πa2

（4）因为星形线的参数方程为x=acos3t,y=asin3t，所以

22π

?2?

?x3+y3?ds=4∫2a3?3acos2tsint)2+(3asin2tcost)2dx??0L??

=12a

320

∫

costsintdx=6a3sin2t02=6a3

（5）因为折线ABCD由线段AB，BC和CD构成，在线段AB上，x≡y≡0,在线的BC上，y≡0,而在线段CD上，x≡1,z≡2,y=t,0≤t≤3且ds=dy=dt

∫x

yzds=

yzds+

yzds+xyzds=0+0+∫012?t?2dt=9

∫zds=∫t

cost?tsint2+(sint+tcost)2+1dt

（6）

=∫

11?

2+t2d(2+t2)=?2+t0223?

??22?

2、解：因为曲线L的极坐标方程为r=

，所以θ

s=∫Lds=4334

r+(r′)dθ=2

4334

+θ2

θ，又2

∫

θ=tanu

+θ2cosu1d(sinu)

θ=?du=∫sin2ucos2u∫sin2u(1?sin2u)θ2

1/21/2??1

=∫?2++?d(sinu)

1?sinu1+sinu?sinu?

111+sinu=?+ln+C

sinu21?sinu+θ21=?+ln

θ2

所以

+θ2+θ+θ?θ

334

+θ253

θ=+lnθ2122

3、解：

s=∫ds=∫

r2+r′2dθ=∫

aθ0

e2aθ+a2eaθdθ

=+a

∫

+a2a?

edθ=(e?1)

习题2-4

1、（1）解：将曲面向xoy平面投影，得投影区域Dxy：x2+y2≤R2,从而有

∫∫

zdS=

∫∫D

?x2?y

∫∫D

Rdxdy=R?πR=πR

(2)解：将平面向XOY平面投影，得投影区域，Dxy分

?0≤x≤2

:?3x

0≤y≤3??2

,从而有积

∫∫Σ

4(z+2x+y)dS=

Dxy

∫∫

(4?2x?

442

y+2x+y)+z2x+zydxdy33

∫∫D

dxdy=43

（3）解：由∑1:z=1

（x2+y2≤1）得

dS=dxdy,Dxy:x2+y2≤1由∑2:z=(x+y)(0≤z≤1)得

x2y2

dS=(1+2+dxdy=dxdy

x+y2x2+y2

Dxy:x2+y2≤1

2π

∫∫∑∫∫Σ

所以，

∑

zx+ydS=

∫∫D

Dxy

x+ydxdy=

dθr∫∫dr=2π?0

02π0

12π

=;33

zx2+y2dS=∫∫(x2+y2)2dxdy=2∫dθ∫r2rdr=

222222zx+ydS=(x+y)dS+(x+y)dS=∫∫∫∫∫∫

∑1

∑2

2π2

+π32

2、解：将被截得的平面向XOY平面投影，又有已知条件的，z=c?

x?y，ab

zx=?,zy=?，设所求的面积为A，则有

∫∫

dS=

∫∫D

+(?

c2c1

)+(?)2dxdy=ab2

a2b2+a2c2+c2b2

3、解：将曲面向XOY平面投影，得投影区域，

Dxy:x2+y2≤4,且zx=?2x,zy=?2y，设所求的面积为A，则有

∫∫Σ

dS=

∫∫D

+(?2x)

+(?2y)

dxdy

??1?

∫0

2π

dθ

∫0

+4rrdr

=π?(17)6?

4、解：以圆环的中心为坐标原点建立坐标系，则容易知道圆环薄片的面密度为：

ρ(x,y)=

x2+y2

,当x2+y2≠4时，设薄片的质量为M，则有1

2π

M=2π?2+∫∫

x2+y2

dxdy=4π+∫dθ∫

?rdr=8πr

aaa22

5、∵ρ(x,y)=k(x+y)，而ρ(,)=ρ0,∴ρ0=k?,k=2ρ0

222a

224a2ρ02222

M=∫∫2ρ0(x+y)ds=2ρ0∫dx∫(x+y)dy=

aa3s00

习题2-5

xρ(x,y)dσ=xydσ=(x∫∫∫∫∫∫2ydy)dx

1、解：

1x6x811=(?)|0=26848

yρ(x,y)dσ=xydσ=(x∫∫∫∫∫∫2ydy)dx

1x6x911=(?|0=36954

∫∫D

ρ(x,y)dσ=∫∫xydσ=∫(∫2x2ydy)dx

1x5x711=(?|0=25735

11?35?353535x=48=,y=54=,重心(,11485448543535

2、解：设P(x,y)为三角形上一点，则容易知道此点的密度为ρ(x,y)=x2+y2。

∫∫xρ(x,y)dσ=∫∫x(x

+y)dσ=

∫(∫

aa?x

x(x2+y2)dy)dx

4x5ax4a2x3a3x2aa5

=(?+?+)|0=

1523615

∫∫D

yρ(x,y)dσ=

∫∫D

y(x+y)dσ=

∫

(∫

a?y0

y(x2+y2)dx)dy

4y5ay4a2y3a3y2aa5

=(?+?+)|0=

1523615

∫∫

ρ(x,y)dσ=∫∫(x+y)dσ=∫(∫

aa?x

(x2+y2)dy)dx

4x42ax3a2x2a3xaa4

=(?+?+|0=

123236

重心：(

2a2a

,55

3、解：（1）由对称性知道重心一定在z轴上。

∫∫∫zρdv=∫∫∫zdv=∫∫(?

Dxy

x2+y2

zdz)dxdy=

122

[1?(x+y)]dxdy∫∫2Dxy

12π112πr2r41π2

=∫(∫(1?r)rdr)dθ=∫(?|0dθ=20020244

而圆锥的体积为：V=

π3

。所以重心为：(0,0,)。34

（2）容易知道此几何体是两个同心半球之间的部分，且重心一定在z轴上。而

∫∫∫ρdv=∫∫∫dv=∫

2π

dθ∫d?∫ρ?ρsin?dρ

ρ3A2π3

=2π?[(?cos?)|]?(|a)=(A?a3)

∫∫∫zρdv=∫∫∫zdv=∫

2π

π20

dθ∫d?∫aρcos??ρ?ρsin?dρ

122ρ4Aπ4

=2π?(sin?|0)?(|a)=(A?a4)

244

3(A4?a4)

重心：(0,0,)。

8(A3?a3)

4、解：以圆柱下底面的圆心为坐标原点，以转动轴为z轴建立坐标系，设P(x，y，z)为圆柱体上一点，则此点到转动轴的距离为r=x2+y2，因此

Iz=∫∫∫r2ρ(x,y,z)dv=∫∫∫(x2+y2)dv=∫dz∫dθ∫r2?rdr

h2πa

πha42

5、解：设P(x,y,z)为弹簧上一点，则P到Z轴的距离为r=x2+y2，因此有

Iz=∫r?ρ(x,y,z)ds=∫a2?(a2+k2t2)?a2+k2dt

2π

1222π

=a2a2+k2?(a2t+k2t3)|2=aa+k2(3πa2+4k2π3)0

6、解：有对称性知道Fy=0。

Fx=G∫∫

DR2

ρ(x,y)x

(x2+y2+a2)2

dσ=Gρ∫(∫

2π?2

rcosθ

rdr)dθ

(r2+a2)2

=2Gρ∫R[

]dr

(r2+a2)2(r2+a2)2

rr2R2r2

=2Gρ[(ln(++2)|R1)?(|RR1)]

aaa2+r2=2Gρ[ln

2R2+R2+a2

R1+R+a2

R2a+R

R1a+R

π2π?2

(x2+y2+a2)2R21122

=?aGρπ∫d(r+a)3R12

(r2+a2)212

=aGρπ|RR1

a2+r2

=aGρπ(?)

a2+R22a2+R127、解：由对称性知道Fx=Fy=0。

Fz=?aG∫∫

ρ(x,y)

dσ=?aGρ∫(∫

rdr)dθ

(r2+a2)2

[x2+y2+(z?a)2]2πRh(z?a)=Gρ∫dθ∫rdr∫dz3000

[r2+(z?a)2]2=?2πGρ∫{[(z?a)+r]

Fz=G∫∫∫

ρ(x,y,z)(z?a)

1212

|h0}rdr

?[a+r]2}rdr

2?1

=?2πGρ∫{[(h?a)+r]

=?2πGρ{[(h?a)+r]?(a+r)}|R0

=?2πGρ{[(h?a)+R]?(a+R)?[(h?a)?a]}=?2πGρ{[(h?a)+R]?(a+R)2?h+2a}

122

习题2-11、解：在任意一个面积微元dσ上的压力微元

dF=ρgxdσ，所以，该平面薄片一侧所受的水压力F=

∫∫ρgxdσ

2、解：在任意一个面积微元dσ上的电荷微元dF=μ(x,y)dσ，所以，该平面薄片的电荷总量Q=∫∫μ(x,y)dσ

3、解：因为0≤x≤1,0≤y≤1，所以x2+y2+1≤x+y+1，又lnu为单调递增函数，所以lnx2+y2+1≤ln(x+y+1)，由二重积分的保序性得

(

0≤x≤10≤y≤1

)∫∫ln(x

+y2+1dσ≤

)

0≤x≤1

∫∫ln(x+y+1)dσ

0≤y≤1

4、解：积分区域D如图2-1-1所示，所以该物体的质量

M=∫∫(x+y)dσ=

∫

dy∫

2?y

884

(x+y)dx=∫(?4y+4y2?y3)dy=

0333

5、解：（1）积分区域如图2-1-2所示，所以∫dy∫f(x,y)dx=∫dx∫f(x,y)dy

y11

（2）积分区域如图2-1-3所示，所以∫dy∫2f(x,y)dx=∫dx∫

22y4x

y0x/2

f(x,y)dy，

所

以

（3）

2x?x2

积分

区

2?y

域

?y2+1

如图2-1-4所示

∫

dx∫

2?x

f(x,y)dy=∫dy∫

f(x,y)dx

lnx

（4）积分区域如图2-1-5所示，所以∫dx∫f(x,y)dy=∫dy∫yf(x,y)dx

6、解：（1）积分区域如图2-1-6所示，所以

∫∫x

ydσ=∫0dx∫x22

22?41?6

xydy=∫0x(x3/4?x3)dx=?x11/4?x5?=

33?115?055

（）

积

4?y

分区

域如图2-1-7所示，所以

∫∫xydσ=∫dy∫

xy2dx=2∫

1264y(4?y2)dy=0215

（3）积分区域如图2-1-8所示，所以

∫∫e

x+y

dσ=∫dx∫

?10?1

01+x

?1?x

x+y

dy+∫dx∫

010

11?x

?1+x

x+y

dy=∫ex(e1+x?e?1?x)dx+∫ex(e1?x?e?1+x)dx

=∫(ee2x?e?1)dx+∫(e?e?1e2x)dx=e?e?1

（4）积分区域如图2-1-9所示，所以

∫∫(x+y?x)dσ=

∫

dy∫

yy/2

(x+y?x)dx=

13?19332?

y?ydy=??∫0?248?6

7、解：

（1）积分区域如图2-1-10所示，令x=rcosθ,y=rsinθ，所以

ππ

?≤θ≤,0≤r≤a，故22

∫∫

f(x,y)dσ=

∫

π?2

dθ∫r?f(rcos,rsin)dr

（2）积分区域如图2-1-11所示，令x=rcosθ,y=rsinθ，所以

0≤θ≤π,0≤r≤2sinθ，故

∫∫f(x,y)dσ=∫

dθ∫

2sinθ

r?f(rcosθ,rsinθ)dr

8、解：

（1）积分区域如图2-1-12所示，令x=rcosθ,y=rsinθ，所以0≤θ≤

πsinθ,0≤r≤4cos2θ

，

sinθ

故

π40

∫dx∫

(x2+y2)

dy=∫4dθ∫cosθr?r?1dr=∫4secθtanθdθ=[secθ=?1

（2）积分区域如图2-1-13所示，令x=rcosθ,y=rsinθ，所以

0≤θ≤π,0≤r≤2sinθ，故

∫

dy∫

a2?y20

(x+y)dx=

1）积

∫

π20

dθ∫

πa4

rdr=

9、解：（分区域如图

2-1-14所示，故

2x1x22

dσ=∫xdx12dy=∫∫21yxyD

∫

(?x+x3)dx=

（2）积分区域如图2-1-15所示，令x=rcosθ,y=rsinθ，所以

0≤θ≤

,0≤r≤12

，故

∫∫

π2

11?r?x2?y2π2dθσ=?rdr=∫0∫01+r2

1+x2+y22

∫

1?r2?r

rdr

11?π?rr?=?∫dr?∫dr??04042??r?r?π?11dr211d(1?r4)?

?=?+∫∫?04042?24?r?r??11?1π?11π

=?arcsinr20+(1?r4)2?=(π?2)2?22?80??

（3）积分区域如图2-1-16所示，故

∫∫(x

+y)dσ=∫dy∫

3ayy?a

(x+y)dx=

∫

(2ay?ay+dy=14a4

（4）积分区域如图2-1-17所示，令x=rcosθ,y=rsinθ，所以0≤θ≤2π,a≤r≤b，

故∫∫(x+y)dσ=∫dθ∫r2dr=

2π

2π3

(b?a3)3

10、解：积分区域如图2-1-18所示，由图形的对称性得：S=4S1=4∫∫dσ，

所以

S=4∫dθ∫

π4

asin2θ

rdr=2∫asin2θ

dθ=?acos2θ04=a2

π4

图2-1-1图2-1-2图2-1-3图2-1-4

图2-1-5图2-1-6图2-1-7图

2-1-8

图2-1-912

图2-1-10图2-1-11图2-1-

图2-1-131-16

图2-1-14图2-1-15图2-

图2-1-17

习题2-2

1、解：Q=∫∫∫μ(x,y,z)dv

图2-1-18

2、化三重积分为直角坐标中的累次积分

解：（1）因为积分区域?的上曲面为开口向上的旋转抛物面z=x2+y2，下曲面为z=0，积分区域?在xoy坐标面上的投影区域Dxy:0≤x≤1;0≤y≤1?x，所以

∫∫∫f(x,y,z)dv=∫dx∫

11?x

dy∫

x2+y2

f(x,y,z)dz

（2）因为积分区域?的上曲面为开口向下的抛物柱面z=2?x2与下曲面为开口向上的旋转抛物面z=x2+2y2围成，二曲面的交线在xoy平面上的投影为圆

?1≤x≤1?

?:???x2≤y≤1?x2

?x2+2y2≤z≤2?x2?

x2+y2=1

，即，所以

∫∫∫f(x,y,z)dv=∫

dx∫

??x

dy∫

2?x

x+2y

f(x,y,z)dz

（3）因为积分区域?的上曲面为开口向上的旋转抛物面z=x2+y2，下曲面为

z=0，积分区域?在xoy坐标面上的投影区域Dxy:?1≤x≤1;x2≤y≤1，所以

∫∫∫f(x,y,z)dv=∫

dx∫2dy∫

x2+y2

f(x,y,z)dz

3、解：积分区域?如图2-2-1所示

∫∫∫xzdxdydz=∫xdx∫2dy∫zdz=

11y

∫

xdx∫2

1211

ydy=∫x(1?x6)dx=026?1

另解：因为积分区域?关于坐标面yoz对称，又f(x,y,z)=xz关于第一坐标是奇函数，所以∫∫∫xzdxdydz=0。

4、解：积分区域?如图2-2-2所示，当0≤z≤h时，过(0,0,z)作平行与xoy面?2R?x+y2≤??的平面，与立体?的截面为圆Dz:??h?z=z?

z?，因而D的半径为Rz，面

z?h

πR22

积为2z，故

∫∫∫zdxdydz=∫

πR2

zdz∫∫dxdy=2

hDz

∫

πR2h2

zdz=

5、求下列立体?的体积

解（1）曲面所围立体是球体与旋转抛物面的一部分（如图2-2-3所示），用柱面坐标计算：

=∫∫∫dv=∫∫∫rdrdθdz==

∫

2π

dθ∫drr

2?π

rdz

∫

2π

11222

[?(5?r)?r4]2=π(55?4)0

3163

图2-2-1图2-2-2图2-2-3

（2）因为积分区域?的上曲面为平面z=1?x，下曲面为z=0，积分区域?在xoy坐标面上的投影区域Dxy:y2≤x≤1;?1≤y≤1，所以

V=∫∫∫dv=∫dy∫2dx∫

111?x

1?8?1

dz=∫dy∫2(1?x)dx=2∫??y2+y4?dy=

?1y022?15?

6、利用柱面坐标计算下列三重积分

解：（1）因为积分区域?的上曲面为开口向上的上半球面z=2?x2?y2，下曲面为开口向上的旋转抛物面z=x2+y2，将z=x2+y2代入z=2?x2?y2得

z=2?z，解此方程得z=1积分区域?在xoy坐标面上的投影区域Dxy:x2+y2≤1，由柱坐标公式得：Dxy:0≤θ≤2π,0≤r≤1

∫∫∫zdv=

∫

2π

dθ∫dr∫2

12?r

zrdz=2π∫

17πr2?r2?r4dr=。0212

()

(x+y)dv=∫∫∫?

∫

2π

2221?16π?

dθ∫dr∫2r3dz=2π∫r3?2?r2?dr=。0r/2023??

7、利用球面坐标计算下列三重积分解：（1）用球面坐标计算

22244

∫∫∫(x+y+z)dv=∫∫∫rsin?drd?dθ=∫dθ∫sin?d?∫rdr?

2π

π1

15?4π

=2π?(?cos?)0???r?=π

?5?05

（2）用球面坐标计算

∫∫∫zdv=∫∫∫rcos??r

sin?drd?dθ=

∫

2π

dθ∫

π/4

sin?cos?dκ∫

2acos?

r3dr

=2π?∫0

π/4

sin?cos??

π/4

π/41

(2acos?)4d?=8πa4∫0sin?cos5?d?4

8πa4

=?cos6?

πa6

8、选用适当的坐标计算下列三重积分

?0≤r≤cos??π

解：（1）积分区域?为球，故用球面坐标计算：?:?0≤?≤，所以

?0≤θ≤2π

∫∫∫

x2+y2+z2dv=

∫

2π

dθ∫

π/20

π/2

d?∫

cos?

r?r2sin?dr=2π∫

π/2

sin?d?∫

cos?

r3dr

=2π∫

1π1ππ/2

sin??cos4??d?=??cos5?0=

42510

（2）将z=2y代入z=x2+y2得到xoy平面上的一个圆x2+(y?1)2=1，用直角

坐标公式计算∫∫∫zdv=

∫

dx∫

1+?x

1?1?x

dy∫22y

x+y

zdz，由于计算量较大，请同学一试。

用柱坐标计算x=rcosθ,y=rsinθ,z=z

∫∫∫zdv=

∫

dθ∫

2sinθ

dr∫2

2rsinθ

zrdz=∫dθ∫

π2sinθ

r(4r2sin2θ?r4)dr2

=∫

8616531π5sinθdθ==π3364226

（3）用柱坐标x=rcosθ,y=rsinθ,z=z计算

zdv=dθdrz∫∫∫∫∫∫rdz=2π∫?

2π

132r16

r(z)0dr=π0315

（4）用直角坐标计算

∫∫∫xyz

dv=∫xdx∫ydy∫zdz=

∫xdx∫

1xy2441

xydy=∫dx=

0284364

习题2-3

2、解：（1）因为连接点（1，0）和（2，1）的直线段的方程为

y=x?1,1≤x≤2，所以

∫

（2）L

(x?y)?1ds=∫[x?(x?1)]?1+(1)2dx=∫

2dx=2

(x∫

+y2ds=∫

)

2π

cos2t+a2sin2t

)

(?asint)2+(acost)2dt

=∫a2n+1dt=2πa2n+1

2π

（3）

2yds=

2a∫

2π0

?costa(1?cost)]2+(asint)2dt

=2a2

∫

2π0

(1?cost)dt=4πa2

（4）因为星形线的参数方程为x=acos3t,y=asin3t，所以

22π

?2?222233?23?x+yds=4a?3acostsint)+(3asintcost)dx∫??0L??

=12a

320

∫

costsintdx=6a3sint02=6a3

（5）因为折线ABCD由线段AB，BC和CD构成，在线段AB上，x≡y≡0,在线的BC上，y≡0,而在线段CD上，x≡1,z≡2,y=t,0≤t≤3且ds=dy=dt

∫Lx2yzds=

x2yzds+

t00

x2yzds+x2yzds=0+0+∫012?t?2dt=9

∫zds=∫t

（6）

=∫

t00

cost?tsint2+(sint+tcost)2+1dt

11?

2+t2d(2+t2)=?2+t0223?

??22?

2、解：因为曲线L的极坐标方程为r=

，所以θ

s=∫Lds=4334

r2+(r′)dθ=2

4334

+θ2

θ，又θ2

∫

θ=tanu

+θ2cosu1d(sinu)

θ=?du=∫sin2ucos2u∫sin2u(1?sin2u)θ2

1/21/2??1

=∫?2++?d(sinu)

1?sinu1+sinu?sinu?

111+sinu=?+ln+C

sinu21?sinu+θ21=?+ln

θ2

所以

+θ2+θ+θ?θ

+2θ

334

+θ253

θ=+lnθ2122

3、解：

s=∫ds=∫

r2+r′2dθ=∫

aθ0

e2aθ+a2eaθdθ

=+a

∫

+a2a?

edθ=(e?1)

习题2-4

1、（1）解：将曲面向xoy平面投影，得投影区域Dxy：x2+y2≤R2,从而有

∫∫

zdS=

∫∫D

?x2?y

∫∫D

Rdxdy=R?πR=πR

(2)解：将平面向XOY平面投影，得投影区域，Dxy分

?0≤x≤2

:?3x

0≤y≤3??2

,从而有积

∫∫Σ

(z+2x+y)dS=

Dxy

∫∫

(4?2x?

442

y+2x+y)+z2x+zydxdy33

∫∫D

dxdy=43

（3）解：由∑1:z=1

（x2+y2≤1）得

dS=dxdy,Dxy:x2+y2≤1由∑2:z=(x+y)(0≤z≤1)得

x2y2

dS=(1+2+22dxdy=dxdy22

x+yx+y

Dxy:x2+y2≤1

2π

∫∫∑∫∫Σ

所以，

∑

zx+ydS=

∫∫D

Dxy

x+ydxdy=

∫dθ∫rdr=2π?0

02π0

12π=;33

zx2+y2dS=∫∫(x2+y2)2dxdy=∫dθ∫r2rdr=

222222zx+ydS=(x+y)dS+(x+y)dS=∫∫∫∫∫∫

∑1

∑2

2π2

+π32

2、解：将被截得的平面向XOY平面投影，又有已知条件的，z=c?

x?y，ab

zx=?,zy=?，设所求的面积为A，则有

∫∫

dS=

Dxy

∫∫

+(?

c2c1

)+(?)2dxdy=ab2

a2b2+a2c2+c2b2

3、解：将曲面向XOY平面投影，得投影区域，

Dxy:x2+y2≤4,且zx=?2x,zy=?2y，设所求的面积为A，则有

∫∫Σ

dS=

∫∫D

+(?2x)

+(?2y)

dxdy

??1?

∫0

2π

dθ

∫0

+4rrdr

=π?(17)6?

4、解：以圆环的中心为坐标原点建立坐标系，则容易知道圆环薄片的面密度为：

ρ(x,y)=

x2+y2

,当x2+y2≠4时，设薄片的质量为M，则有1

2π

M=2π?2+∫∫

x2+y2

dxdy=4π+∫dθ∫

?rdr=8πr

aaa22

5、∵ρ(x,y)=k(x+y)，而ρ(,)=ρ0,∴ρ0=k?,k=2ρ0

222a

224a2ρ02222

M=∫∫2ρ0(x+y)ds=2ρ0∫dx∫(x+y)dy=

aa3s00

习题2-5

xρ(x,y)dσ=xydσ=(x∫∫∫∫∫∫2ydy)dx

8、解：

1x6x811=(?)|0=26848

yρ(x,y)dσ=xydσ=(x∫∫∫∫∫∫2ydy)dx

1x6x911=(?|0=36954

∫∫

ρ(x,y)dσ=∫∫xydσ=∫(∫2x2ydy)dx

1x5x711=(?|0=25735

11?35?353535x==,y==,重心(,11485448543535

9、解：设P(x,y)为三角形上一点，则容易知道此点的密度为ρ(x,y)=x2+y2。

∫∫

xρ(x,y)dσ=

∫∫

x(x2+y2)dσ=

∫

(∫

a?x

x(x2+y2)dy)dx

4x5ax4a2x3a3x2aa5=(?+?+)|0=

1523615

∫∫D

yρ(x,y)dσ=

∫∫D

y(x+y)dσ=

∫

(∫

a?y0

y(x2+y2)dx)dy

4y5ay4a2y3a3y2aa5

=(?+?+)|0=

1523615

∫∫

ρ(x,y)dσ=∫∫(x2+y2)dσ=∫(∫

aa?x

(x2+y2)dy)dx

4x42ax3a2x2a3xaa4

=(?+?+|0=

123236

重心：(

2a2a

,55

10、解：（1）由对称性知道重心一定在z轴上。

∫∫∫zρdv=∫∫∫zdv=∫∫(?

Dxy

x2+y2

zdz)dxdy=

122

[1?(x+y)]dxdy∫∫2Dxy

12π112πr2r41π2

=∫(∫(1?r)rdr)dθ=∫(?|0dθ=20020244

而圆锥的体积为：V=

π3

。所以重心为：(0,0,)。34

（2）容易知道此几何体是两个同心半球之间的部分，且重心一定在z

轴上。而

∫∫∫ρdv=∫∫∫dv=∫

2π

dθ∫d?∫ρ?ρsin?dρ

π2

ρ3A2π3

=2π?[(?cos?)|]?(|a)=(A?a3)

∫∫∫zρdv=∫∫∫zdv=∫

2π

π20

dθ∫d?∫aρcos??ρ?ρsin?dρ

122ρ4Aπ4

=2π?(sin?|0)?(|a)=(A?a4)

244

3(A4?a4)

重心：(0,0,)。33

8(A?a)11、

解：以圆柱下底面的圆心为坐标原点，以转动轴为z轴建立坐标系，设

P(x，y，z)为圆柱体上一点，则此点到转动轴的距离为r=x2+y2，因此

Iz=∫∫∫r2ρ(x,y,z)dv=∫∫∫(x2+y2)dv=∫dz∫dθ∫r2?rdr

h2πa

=12、有

πha42

解：设P(x,y,z)为弹簧上一点，则P到Z轴的距离为r=x2+y2，因此

Iz=∫r2?ρ(x,y,z)ds=∫a2?(a2+k2t2)?a2+k2dt

2π

1222π

=a2a2+k2?(a2t+k2t3)|2=aa+k2(3πa2+4k2π3)0

13、解：有对称性知道Fy=0。

Fx=G∫∫

DR2

ρ(x,y)x

(x2+y2+a2)2

dσ=Gρ∫2π(∫

rcosθ

rdr)dθ

(r2+a2)2

=2Gρ∫R[

]dr

(r2+a2)2(r2+a2)2

rr2R2r2

=2Gρ[(ln(++2)|R1)?(|RR1)]

aaa2+r2=2Gρ[ln

2R2+R2+a2

R1+R+a2

a2+R2

π2π?2

R1a2+R12

(x2+y2+a2)2R211

=?aGρπ∫d(r2+a2)3R12

(r2+a2)212

=aGρπ|RR1

a2+r2

=aGρπ(?)

2222a+R2a+R114、

Fz=?aG∫∫

ρ(x,y)

dσ=?aGρ∫(∫

rdr)dθ

(r2+a2)2

解：由对称性知道Fx=Fy=0。

Fz=G∫∫∫

?2π

ρ(x,y,z)(z?a)[x2+y2+(z?a)2]

=Gρ∫dθ∫

0rdr∫

(z?a)[r2+(z?a)2]

2?1212

=?2πGρ∫0{[(z?a)+r]=?2πGρ∫{[(h?a)+r]

|h0}rdr

?[a+r]}rdr

2?1

=?2πGρ{[(h?a)+r]?(a+r)2}|R0

=?2πGρ{[(h?a)2+R2]2?(a2+R2)2?[(h?a)?a]}=?2πGρ{[(h?a)+R]?(a+R)2?h+2a}

习题4－1

1．（1）记一般项为un，则

u1=

111

，u2=，u3=，2?1?12?2?12?3?1

u4=

，…

2?4?1

故un=

12n?1

1?1

（2）记一般项为un，则1)3?1·

1+3

，…3

u1=(-1)

1+11+2

，u2=(-1)2?1·，u3=(-12

故un=(-1)n?1·

1+n

x2x2x2x2

（3）记一般项为un，则u1=，u2=2，u3=3，u4=4，…

2?1!2?2!2?3!2?4!

故un=n

2?n!

（4）记一般项为un，则u1=(-1)

1?1

a1+1?，u2=(-1)2?1+1

2?1

a2+1?，u3=(-2?2+1

3?1

a3+1

，…?

2?3+1

故un=(-1)

n?1

an+1?

2n+1

2．（1）Σ（2）Σ（3）Σ（4）Σ

∞∞∞

1+n1+11+21+3

=+++?2222

1+n1+11+21+3n=1

∞

1?3?(2n?1)11?31?3?5

=+++?

2?4?2n22?42?4?6n=1

(?1)n?1

n=1

111

?+??51015

n!1!2!3!

=1+2+3+?nn123n=1

范文二：微积分(大学数学基础教程答案)大学数学基础教程(二)多元函数微积分

习题2-1 1、解:在任意一个面积微元上的压力微元，所以，该dF,,gxd,d,

平面薄片一侧所受的水压力 F,,gxd,,,D

2、解:在任意一个面积微元上的电荷微元，所以，该平面薄片的电荷dF,,(x,y)d,d,

总量 Q,,(x,y)d,,,D

223、解:因为，所以，又为单调递增函数，0,x,1,0,y,1x，y，1,x，y，1lnu

22所以，由二重积分的保序性得，，，，lnx，y，1,lnx，y，1

22 ，，，，lnx，y，1d,,lnx，y，1d,,,,,0,x,10,x,1

0,y,10,y,1

4、解:积分区域D如图2-1-1所示，所以该物体的质量

12,y1884222223()()(44) M,x，yd,,dyx，ydx,,y，y,ydy,,,,,,0y0333D

y1115、解:(1)积分区域如图2-1-2所示，所以 dyf(x,y)dx,dxf(x,y)dy,,,,x000

224yx(2)积分区域如图2-1-3所示，所以 dyf(x,y)dx,dxf(x,y)dy2,,,,00/2yx

2222x,x11,y，1(3)积分区域如图2-1-4所示，所以 dxf(x,y)dy,dyf(x,y)dx,,,,12,x02,y

elnx1e(4)积分区域如图2-1-5所示，所以 dxf(x,y)dy,dyf(x,y)dxy,,,,000e6、解:(1)积分区域如图2-1-6所示，所以

11x122416,,3/4311/45 ，，xyd,,dxxydy,xx,xdx,x,x,,,2,,,,,0x03311555,,D0

224,y21642222(2)积分区域如图2-1-7所示，所以 xyd,,dyxydx,y,ydy,2(4),,,,,2,00215D

(3)积分区域如图2-1-8所示，所以

01，x11,x0x，yx，yx，yx1，x,1,xx1,x,1，x,ed,dxedy，dxedy,e(e,e)dx，e(e,e)dx,,,,,,,,,1,1,x0,1，x,1D 012x,1,12x,1,(ee,e)dx，(e,ee)dx,e,e,,,10

(4)积分区域如图2-1-9所示，所以

2y219313,,222232()() x，y,xd,,dyx，y,xdx,y,ydy,,,,,,,,0y/202486,,D

7、解:

,,(1)积分区域如图2-1-10所示，令，所以，x,rcos,,y,rsin,,,,,0,r,a,22

,a2故，，fx,yd,,d,r,f(rcos,rsin)dr,,,,,0,D2

(2)积分区域如图2-1-11所示，令，所以，x,rcos,,y,rsin,0,,,,,0,r,2sin,

,2sin,故 f(x,y)d,dr,f(rcos,rsin)dr,,,,,,,,00D

8、解:

,,sin,0,,,0,r,(1)积分区域如图2-1-12所示，令，所以，x,rcos,,y,rsin,24cos,

1sin,,,,,1x222,12444cos,故 dx(x，y)dy,d,r,rdr,sec,tan,d,,,,sec,,2,102,,,,,0000x

(2)积分区域如图2-1-13所示，令，所以，x,rcos,,y,rsin,0,,,,,0,r,2sin,

,422aa,ya,a223()2故，,,dyxydxd,rdr,,,,80000

22x219x239、解:(1)积分区域如图2-1-14所示，故 ()d,,xdxdy,,x，xdx,1,,,,,22114yyxD

,(2)积分区域如图2-1-15所示，令，所以，故x,rcos,,y,rsin,0,,,0,r,1,2

,,2222111,x,y1,r1,r,,2d,d,rdr,rdr222,,,,,000421，x，y1，r1,rD

3,11,,rr,,,dr,dr,,,,004421,r1,r,,

24,11,,1dr1d(1,r),,,，,,,,00442241,r1,r,,

11，，1,,11242,,，，,arcsinr，(1,r),,,202228,,0，，

(3)积分区域如图2-1-16所示，故

333ayaa2222224 (x，y)d,,dy(x，y)dx,(2ay,ay，)dy,14a,,,,,,ayaa3D

(4)积分区域如图2-1-17所示，令x,rcos,,y,rsin,，所以0,,,2,,a,r,b，

12,b2,222332故 (xy)ddrdrba，,,，，,,,,,,,0a3D

10、解:积分区域如图2-1-18所示，由图形的对称性得:，所以 S,4S,4d,1,,D1

,,,sin2a,222444 S,4d,rdr,2asin2,d,,,acos2,,a,,,0000

图2-1-1 图2-1-2 图2-1-3 图2-1-4

图2-1-5 图2-1-6 图2-1-7 图2-1-8

图2-1-9 图2-1-10 图2-1-11 图2-1-12

图2-1-13 图2-1-14 图2-1-15 图2-1-16

图2-1-17 图2-1-18

习题2-2

1、解:Q,,(x,y,z)dv,,,,

2、化三重积分为直角坐标中的累次积分

22解:(1)因为积分区域的上曲面为开口向上的旋转抛物面，下曲面为，,z,x，yz,0

积分区域在坐标面上的投影区域，所以 ,D:0,x,1;0,y,1,xxoyxy

2211,，xyx ，，，，fx,y,zdv,dxdyfx,y,zdz,,,,,,000,

2(2)因为积分区域,的上曲面为开口向下的抛物柱面与下曲面为开口向上的旋z,2,x

2222转抛物面围成，二曲面的交线在平面上的投影为圆，即xoyz,x，2yx，y,1

1x1,,,,22,,11x2x,22:1xy1x,,,,,,，所以，，，，fx,y,zdv,dxdyfx,y,zdz,222,,,,,,,,,，11xx2y222,,x2yz2x，,,,,

22(3)因为积分区域,的上曲面为开口向上的旋转抛物面，下曲面为，积z,x，yz,0

2分区域,在坐标面上的投影区域，所以 D:,1,x,1;x,y,1xoyxy

22x，y11 ，，，，fx,y,zdv,dxdyfx,y,zdz2,,,,,,,x10,

3、解:积分区域,如图2-2-1所示

y111111126 xzdxdydz,xdxdyzdz,xdxydy,x(1,x)dx,022,,,,,,,,,,x,x,101126,

,另解:因为积分区域关于坐标面对称，又f(x,y,z),xz关于第一坐标是奇函数，yoz

所以。 xzdxdydz,0,,,,

,4、解:积分区域如图2-2-2所示，当时，过(0,0,z)作平行与面的平面，xoy0,z,h

2,R2,,22,RR,x，y,z2,,与立体的截面为圆，因而的半径为，面积为，,DzD:z,zzh2,,hh,z,z,

故

222hh,R,Rh3 ,,,zdxdydzzdzdxdyzdz,,,,,,,2004h,Dz

5、求下列立体的体积 ,

解(1)曲面所围立体是球体与旋转抛物面的一部分(如图2-2-3所示)，用柱面坐标计算:

,,225,,,2V,dv,rdrddz,,ddrrdzr,,,,,,,,,004,, 32,1122422,[,(5,r),r],,(55,4)0,03163

图2-2-1 图2-2-2 图2-2-3 (2)因为积分区域,的上曲面为平面，下曲面为，积分区域,在坐标xoyz,1,xz,0

2面上的投影区域，所以 D:y,x,1;,1,y,1xy

,x111111118,,24(1)2 V,dv,dydxdz,dy,xdx,,y，ydy,,,22,,,,,,,,,,y,y10102215,,,

6、利用柱面坐标计算下列三重积分

22,解:(1)因为积分区域的上曲面为开口向上的上半球面z,2,x,y，下曲面为开

222222口向上的旋转抛物面，将代入z,2,x,y得，z,x，yz,x，yz,2,z

22解此方程得z,1,积分区域在坐标面上的投影区域D:x，y,1，由柱坐标公式xoyxy

得:D:0,,,2,,0,r,1 xy

22,12,r117,2422。 zdv,ddrzrdz,r，，,r,rdr,,,2,,,,,,,00r0212,

22,z,2(2)因为积分区域的上曲面为平面，下曲面为开口向上的旋转抛物面2z,x，y，

2222将代入得，所以积分区域在坐标面上的投影区域z,2,xoy2z,x，yx，y,4

22，由柱坐标公式得: D:x，y,4D:0,,,2,,0,r,2xyxy

2222,116,,,22332。 ()22x，ydv,ddrrdz,r,rdr,,,,,2,,,,,,,00/20r23,,,

7、利用球面坐标计算下列三重积分

解:(1)用球面坐标计算

,,2122244,,,,,,()sinsinx，y，zdv,rdrdd,ddrdr,,,,,,,,,000,, 114,,,52(cos),,,,,,r,,,,055,,0(2)用球面坐标计算

,,,a2/42cos23,,,,,,,,zdv,rcos,rsindrdd,dsincosdrdr,,,,,,,,,000,,

,,/4/41445,,,,,,,,,,2,sincos,(2acos)d,8asincosd ,,004

,/44,8a764,,,,,cosa660

8、选用适当的坐标计算下列三重积分

,0rcos,,,

,,,解:(1)积分区域,为球，故用球面坐标计算:，所以 :0,,,,2,0,2,,,,

,,,,,2/2cos/2cos22223,,,,,,sin2sinx，y，zdv,ddr,rdr,drdr,,,,,,,,00000

,/211,,,/2452sincoscos,,,d,,,,,,,,,,0042510

2222(2)将代入得到平面上的一个圆，用直角坐标公z,2y，，z,x，yxoyx，y,1,1

2，,111x2y式计算，由于计算量较大，请同学一试。 zdv,dxdyzdz222,,,,,,,,,，111xxy,

用柱坐标计算 x,rcos,,y,rsin,,z,z

,,,,,2sin2sin2sinr1224,,,(4sin)zdv,ddrzrdz,drr,rdr2,,,,,,,,0000r2, ,,81653156sin,,d,,,,,03364226

(3)用柱坐标计算 x,rcos,,y,rsin,,z,z

2,121rr2116223 2()zdv,d,drzrdz,,rzdr,,,,,,,,,00000315,

(4)用直角坐标计算

212xxyx1111yx232344 xyzdv,xdxydyzdz,xdxxydy,dx,,,,,,,,,,000000428364,

习题2-3

1、解:(1)因为连接点(1，0)和(2，1)的直线段的方程为，所以 y,x,1,1,x,2

22,,112 (x,y)ds,[x,(x,1)]1，(1)dx,2dx,2,,,L11

,2nn22222222x，yds,acost，asint(,asint)，(acost)dt，，，，,,0L(2) 2,2n，12n，1,adt,2,a,02,222yds,2a1,cost[a(1,cost)]，(asint)dt,,0L(3) 332,22,2a(1,cost)dt,4,a,0

33(4)因为星形线的参数方程为，所以 x,acost,y,asint

,222,,22223332,,x，yds,4a(,3acostsint)，(3asintcost)dx,,,,0L,,

555,,233322,12acostsintdx,6asint,6a,00

(5)因为折线ABCD由线段AB，BC和CD构成，在线段AB上，x,y,0,在线的BC

上，y,0,而在线段CD上，x,1,z,2,y,t,0,t,3且ds,dy,dt

322222 xyzds,xyzds，xyzds，xyzds,0，0，1,t,2dt,9,,,,,L0ABBCCD

t022,,，，，zdstcosttsint(sinttcost)1dt，，,,0L

3(6) 3，，t11022222，，,2，td(2，t),2，t,2,,0,023，，

12、解:因为曲线L的极坐标方程为，所以 r,,

442,1，2233,，又，，sdsrrd,d,,,，,33,,,2L,44

,2tan,,u1，cosu1d(sinu),d,,du,,22222,,,sinucosusinu(1,sinu)

11/21/2,,2 ,，，d(sinu)1，,,,,2,1,sinu1，sinusinu,,

111，sinu,,，ln，Cu,usin21sin

22,,,1，11，，,,，，Cln2,21，,,,

42,153，3所以 ln s,d,,，3,2122,4

,,,,2aa222,,,s,ds,r，rd,e，aed，，,,,L00

3、解: 2,1，aa,a,2,1，aed,,(e,1),0a

习题2-4

2221、(1)解:将曲面向xoy平面投影，得投影区域D:x+y?R,从而有 xyR222zdS,R,x,y,dxdy,,,,222DxyR,x,y,

23,Rdxdy,R,,R,,R,,Dxy

0,x,2,D:(2) 解:将平面向XOY平面投影，得投影区域，,从而有积分 xy3x0,y,3,,442xy(4,2x,y，2x，y)1，z，zdxdy4(z，2x，y)dS,3322,,,,3Dxy

461,dxdy,461,,3Dxy

22(3)解:由 ()得 ,:z,1x，y,11

22 dS,dxdy,D:x，y,1xy

1222 由得 ,:z,(x，y)(0,z,1)2

122xy2dS,(1，，)dxdy,2dxdy2222x，yx，y

22D:x，y,1xy21,12,222222;zx，ydS,x，ydxdy,,drdr,,,,,,,,,,33,D001xy 212,22222()22zx，ydS,x，ydxdy,d,rrdr,,,,,,,,002,D2xy

22,222222()()所以， zx，ydS,x，ydS，x，ydS,，,,,,,,,32,,,12

cc2、解:将被截得的平面向XOY平面投影，又有已知条件的，， z,c,x,yabcczz，设所求的面积为A，则有 ,,,,,xyab

cc122222222AdS1()()dxdyabaccb ,,，,，,,，，,,,,ab2,Dxy

223、解:将曲面向XOY平面投影，得投影区域，， D:x，y,4,且z,,2x,z,,2yxyxy

,,，,，,AdS1(2x)(2y)dxdy设所求的面积为A，则有 ,,,,22

,Dxy ，，1,3,，,,d,14rrdr,(17)1,,22,,226，，004、解:以圆环的中心为坐标原点建立坐标系，则容易知道圆环薄片的面密度为:

122，设薄片的质量为M，则有 ,(x,y),,当x，y,4时22x，y

24,11 M,,2,2，dxdy,4,，d,,rdr,8,,,,,0222rx，y,

2aaa222,？,k,k,5、，而 ,,,,？,(x,y),k(x，y)(,),,0002a222

2aa422a,22220 ()(),，,，,Mxydsdxxydy,,0022,,,,3aa00s

习题2-5

1x33(,)(),,xxydxydxydydx,,,2,,,,,,0xDD

1、解: 6811xx1()|,,,026848

1x2222(,)(),,yxydxydxydydx,,,2,,,,,,0xDD

6911xx1()|,,,036954

1x22(,)(),,xydxydxydydx,,,2,,,,,,0xDD

5711xx1()|,,,025735

,,353535354854 x,,,y,,,重心(,).1148544854

3535

222、解:设P(x,y)为三角形上一点，则容易知道此点的密度为。 ,(x,y),x，y

axa2222(,)()(()),,，,，xxydxxydxxydydx,,,00,,,,,,DD 54233254xaxaxaxaa()|,,，,，,01523615

aya2222,(,)()(()),，,，yxydyxydyxydxdy,,,00,,,,,,DD

54233254yayayayaa()|,,，,，,01523615

axa,2222(,)()(()),，,，xydxydxydydx,,,,,,,,,00DD

43223442xaxaxaxaa()|,,，,，,0123236

2a2a重心: (,)55

3、解:(1)由对称性知道重心一定在z轴上。

1122,zdv,zdv,(zdz)dxdy,[1,(x，y)]dxdy22,,,,,,,,,,,，xy2,,DDxyxy

24,,212,11rr21,,rrdrd,,d,((1))()|,,0,,,00022244

3,而圆锥的体积为:。所以重心为:。 V,(0,0,)34

(2)容易知道此几何体是两个同心半球之间的部分，且重心一定在z轴上。而

,,2A2,,,,,,,dv,dv,dd,sind,,,,,,,,,00a,,

,3,,2A332,2,[(,cos)|],(|),(A,a),,0a33

,,2A2,,,,,,,,,zdv,zdv,ddcos,,sind,,,,,,,,,00a,,

,4,,12A442,2,(sin|),(|),(A,a),,0a244

44A,a3()重心:。 (0,0,)33A,a8()

4、解:以圆柱下底面的圆心为坐标原点，以转动轴为z轴建立坐标系，设P(x，y，z)为圆

22柱体上一点，则此点到转动轴的距离为r,x，y，因此

2h,a2222,,Ir(x,y,z)dv(xy)dvdzdrrdr,,，,,z,,,,,,,,,000,, 14ha,,2

225、解:设P(x,y,z)为弹簧上一点，则P到Z轴的距离为r,x，y，因此有

,22222222,I,r,(x,y,z)ds,a,(a，kt),a，kdtz,,0L 122222232,222223,aa，k,(at，kt)|,aa，k(3,a，4k,)033

6、解:有对称性知道F=0。 y

,,,R(x,y)xrcos2,,,2F,Gd,G(rdr)dx33,,,,,R,122222D222(x，y，a)(r，a)

2R1a2,,2G[,]dr13,R1222222(r，a)(r，a) 2rrrRR22,,2G[(ln(，1，)|),(|)]RR21122aaa，r

22R，R，aRR22212,[ln],G,，222222R，R，aa，Ra，R1121

,,Rxy(,)12,,,2F,,aGd,,aGrdrd()z,33,,,,R,122222D222x，y，ar，a()()

R11222,,,,aGdr，a()3,R12222r，a()

1R2,,,aG|R122a，r

11,aG,,(,)2222a，Ra，R21

7、解:由对称性知道F=F=0。 xy

(x,y,z)(z,a)F,Gdvz,,,3222,2[x，y，(z,a)]

,,,Rh2(z,a),Gdrdrdz,,,3000222[r，(z,a)]

1,R,,h222,,2G{[(z,a)，r]|}rdr0,0

11,,R2222,,22 ,,2G{[(h,a)，r],[a，r]}rdr,0

11R222222,,,,2G{[(h,a)，r],(a，r)}|0

11222222,,,,2G{[(h,a)，R],(a，R),[(h,a),a]}

11222222,,2,G,{[(h,a)，R],(a，R),h，2a}

习题3-1

1、计算下列第二类曲线积分:

222(1)L为抛物线上由点(0,0)到点(2,4)的一段弧; y,x(x,y)dx,,L

x，ydx,x,ydy()()222(2)L为按逆时针方向饶行的圆; x，y,a,22,x，yL

(3)L为螺旋线上由t=0到t=2的x,acost,y,asint,z,bt,ydx，zdy，xdz,,L

有向弧段;

(4)L为由点(1，1，1)到点(2，3，4)的一段直线; xdx，ydy，(x，y,1)dz,,L

(5)其中F,,(y,x),L为由y=x,x=1及y=0所构成的三角形闭路，取逆时针F,dl,,L

方向;

ye,xe12(6)其中，L按逆时针方向饶行的圆x,acost,y,asint. F,F,dl,22,x，yL

2解(1)化为对x的定积分，L: ，x从0到2，所以 y,x

211562222435=()() x,xdx,x,x,,(x,y)dx,,003515L

(2)圆周的参数方程为: x,acost,y,asint(0,t,2,)

x，ydx,x,ydy()() 22,x，yL

2,1= (acost，asint)d(acost),(acost,asint)d(asint),20a

2,1= [(acost，asint)(,asint),(acost,asint)(acost)]dt,20a

2,12= ,adt,,2,,20a

(3)L的参数方程为:，t从0到2，所以x,acost,y,asint,z,bt,

2,= ydx，zdy，xdzasintd(acost)，btd(asint)，acostd(bt),,L0

2,222 = (,asint，abtcost，abcost)dt,,,a,0

(4)直线的参数方程为: x,1，t,y,1，2t,z,1，3t(0,t,1)

代入？dx,dt,dy,2dt,dz,3dt

xdx，ydy，(x，y,1)dz,L

1 = [(1，t)，2(1，2t)，3(1，t，1，2t,1)]dt,0

1 = (6，14t)dt,6，7,13,0

(5)三条直线段的方程分别为

y=0,x从0到1;

x=1,y从0到1;

y=x,x从1到0.

所以 = F,dl,ydx,xdy,,LL

100 ,,1dy，,xdx，,xdx,,,011

(6)F,dl,L

,2yx,dx,dy,22220x，yx，y ,2asintacost,d(acost),d(asint)22,0aa

2,,,1dt,,2,,0

2、一力场由以横轴正向为方向的常力F构成，试求当一质量为m的质点沿圆周222按逆时针方向走过第一象限的弧段时，场力所作的功. x，y,R

解:由题意知，场力所作的功为

W,Fdx,L

222L: ,x从R变到0， x，y,R

0于是，w= Fdx,Fdx,,FR,,RL

3、有一平面力场F，大小等于点(x,y)到原点的距离，方向指向原点.试求单位质量

22xy的质点P沿椭圆逆时针方向绕行一周，力F所作的功. ，,122ab

解: F,(,x,,y)

22xy 椭圆的参数方程为:，t从0到2 ，,1x,acost,y,bsint,22ab

所以，

,2,,,,cos(cos),sin(sin)WFdlatdatbtdbt,,0L 2,2,2222cossinatbt,,,,02200

4、有一力场F，其力的大小与力的作用点到xoy平面的距离成反比且指向原点，试求单位质量的质点沿直线x,at,y,bt,z,ct(c,0)从点(a,b,c)移动到(2a,2b,2c)时，该场力所作的功.

kxyzF,,,,解: (,,)222222222zx，y，zx，y，zx，y，z

直线的参数方程为:x,at,y,bt,z,ct(c,0)，t从1到2

2k222W,F,dl,(,at,bt,ct))dt,,1222222ctat，bt，ctL

所以， 222ka，b，cln2,,c

习题3-2答案

1、解:记S在x>0一侧为，在x<>

为，在y>0一侧为，在y<0一侧为，则由题有>

Q,xdydz，xdydz，xdydz，xdydz,xdydz，ydzdx，zdxdy，xdydz，ydzdx，zdxdy1,,,,,,,,,,,,ssssSS123412

,,yy2222,,,(r,y，y)dydz,,r,y，ydydz,,,,2222,,r,yr,yDDyzyz,,

22,2r,ydydz,,Dyz

rh22,2dyr,ydz,,,r0

r222,2hr,ydy,,hr,,r

Q,zdxdy，zdxdy，zdxdy，zdxdy,xdydz，ydzdx，zdxdy，xdydz，ydzdx，zdxdy2,,,,,,,,,,,,ssssSS123434

2,zdxdy,hdxdy,,hr,,,,DDxyxy

2同理可得: Q,ydzdx,hr,3,,，SS56

2 ？Q,Q，Q，Q,3,hr123

2222222、解:(1)由题在xoy面上的投影区域， S:z,,R,x,y,SD:x，y,Rxy

222222222222xyzdxdyxyRxydxdyxyRxydxdy？,,,,,,,,，，,,,,,,SDDxyxy,2R52222,,,,drcossinR,rdr,,00 ,2R12522,sin2rRrdr,,,,004

,,275272,Rsintcostdt,,R,04105

22xy，z22,eer2(2) ，，dxdy,dxdy,d,edr,2,e,e,,,,,,012222x，yx，ySDxy

222(3)将S分成和，其中:z=h，取上侧， sSsx，y,h121

22:，x>0取下侧 z,x，ys0,z,h2则

,,xy2222,(,),0,,,[(,，),，(，,),，(,)]xydxdyyxyxyxxydxdy,,,,,,,,2222，，xyxysssD112xy,0

？,，,0,,,,,,sss12

22(4)记S在z=0上的部分为，在x=0上的部分为,在y=0上的部分为,在上SSSx，y,1312

22的部分为,在上的部分为.有 SSz,x，y54

2222yzdxdy，xzdydz，xydzdx,yzdxdy，xzdydz，xydzdx,,,,SS12 22,yzdxdy，xzdydz，xydzdx,0,,S3

2,,xz2222,,yzdxdy，xzdydz，xydzdx,，x1,xdxdz,,,,,,21,xSD,,4xz 2,,11xz3,22,,,dx，x1,xdz,.,,,,002161,x,,

22222222，，，，，，，，，，yzdxdy，xzdydz，xydzdx,yx，y，xx，y,2x，xy,2ydxdy,,,,SD5xy

,1442254422,,,,,2，，，，,y,2x,3xydxdy,drsin,2cos,3sincosdr,,,,00Dxy ,12,54422,,,,,,,dr[sin,2cos,3cos(1,cos)]d,,,,1600

,,,3？原式,,,16168

33z,3,x,y,3、解:(1) 23

22,,,z3,z3,z,z5,,,,,,,,,,1，，,3,,,,,,x2,y3,x,y6,,,,

,z,z,,32,y,x,, cos,,,cos,,,222255,,,,,z,z,z,z,,,,,,,,1，，1，，,,,,,,,,,x,y,x,y,,,,,,,,

12cos,,,3225,,,z,z,,,,1，，,,,,,x,y,,,,

,,3223,,原式=. ，，,，，，，Pcos,Qcos,Rcos,dSPQRdS,,,,,,555SS,,,z,z,,2x,,,2y,(2) ,x,y

,z,,2x,xcos,,22221，4x，4y,,,z,z,,,,1，，,,,,,x,y,,,,

,z,2y,y, cos,,22221，4x，4y,,,z,z,,,,1，，,,,,,x,y,,,,

11,cos,,22221，4x，4y,,,z,z,,,,1，，,,,,,x,y,,,,

2，2，xPyQRcos，cos，cos,原式= ，，P,Q,R,dSdS,,,,221，4，4xySS

?3-3格林公式及其应用

,Q,P,p,Q2y(1) ，， P,x,y,Q,x,e,,1,,1故原式,(,)dxdy,2ab,,,,y,x,x,yD

,p,Q (2) , , P,(x，1)y,Q,,x(y,2),x，1,,2,y,y,x

1,y11,Q,P 故原式()(1),,dxdy,dy,x,ydx,,,,,6,x,yD00

,p,Q222(3)， P,(x，y),Q,,(x，y),2(x，y),,,2x,y,x

0,y10131,,QPy2()(42)()1 ,,,,,,，,,,,故原式dxdyydydyxydx,,,,,33,,xyD1001

,p,Qxxxx,esiny,,,e(y,siny)(4)， P,e(1,cosy),Q,,e(y,siny),y,x

(0,0)xx而在以(,,0)为起点(0,0)为终点的直线上 e(1,cosy)dx,e(y,siny)dy,0,,(,0)

,,xsin1xxx2x,[,e(y,siny),esiny]dxdy,,edxydy,,sinx,edx,,,,,2D000所以原式 ,xx1cos2x,e，2sin2x,e1x,,[,e，],(1,e)42050

,p,Q43,,12422,2,2(， P,x，4xy,Q,6xy,5y,12xy,,6y(,,1)x,y,x

,p,Q因为积分与路径无关，所以,得 ,,,3,y,x

(1,2)127943224424 (x4xy)dx(6xy5y)dyxdx(6y5y)dy，，,,，,,,,,,5(0,0)00

,p,Q3.(1) ，是二元函数u(x,y)(的全微分. ,2,p,x，2y,Q,2x，y,y,x

1,u2，得由,p,x，2yu(x,y),(x，2y)dx,x，2xy，,(y),,x2,u,u 由,2x，,'(y)及,Q,2x，y得，,'(y),y,y,y

111222(,)2()，故 ,y,y，Cuxy,x，xy，y，C222(2)

,p,Q ，是二元函,12sinxcosxcos3y,p,4sinxsin3ycosx,Q,,3cos3ycos2x,y,x

数u(x,y)(的全微分.

,uu(x,y),(2sin2xsin3y)dx,,sin3ycos2x，,(y)，得由,p,2sin2xsin3y,,x

,u,u 由,,3cos3ycos2x，,'(y)及,Q,,3cos3ycos2x得，,'(y),0,y,y

，故 ,(y),Cu(x,y),,sin3ycos2x，C

,p,Q22(3) ,,2xsiny,2ysinx,，是p,2xcosy,ysinx,Q,2ycosx,xsiny,y,x

二元函数u(x,y)(的全微分.

,u2，得由,p,2xcosy,ysinx,x

222 u(x,y),(2xcosy,ysinx)dx,xcosy，ycosx，,(y),

,u,u22 由,,xsiny，2ycosx，,'(y)及,Q,2ycosx,xsiny得，,'(y),0,y,y

22，故 ,(y),Cu(x,y),xcosy，ycosx，C(4)

y1,p,Q1 ，是二元函数u(x,y)(的全微分. p,Q,,,,,22xx,yx,x,uyyy由,p,，得 u(x,y),dx,,，,(y)22,,xxxx,u1,u1 由,,，,'(y)及,Q,,得，,'(y),0,yx,yx

y，故 ,(y),Cu(x,y),,，Cx

(1)

2222 P,3x，6xy,Q,6xy，4y

,P,Q,故为全微分方程。 ,12xy,,y,x

,u2222322 由,P,3x，6xy,得u(x,y),(3x，6xy)dx,x，3xy，,(y),,x

4,u,u32'22'2()，故 ,y,y，C由,6xy，,(y)及,Q,6xy，4y得,(y),4y3,y,y

432233通解为 x，xy，y,C3

(2)

yy P,e,Q,xe,2y

,P,Qy,故为全微分方程。 ,e,,y,x

,uyyy 由,P,e,得u(x,y),edx,xe，,(y),,x

,u,u2y'y'，故 ,(y),,y，C由,xe，,(y)及,Q,xe,2y得,(y),,2y,y,y

y2通解为 xe,y,C

(3)

2,2, P,1，e,Q,2,e,P,Q2,,e,,故为全微分方程。 2,,,,

,u,22,2, 由,P,1，e,得u,(,,),(1，e)d,,,，,e，,(,),,,

,u,u2,'2,'，故 ,(,),C由,2,e，,(,)及,Q,2,e得,(,),0,,,,

2,通解为 ,(1，e),C(4)

2 P,y(x,2y),Q,,x,P,Q,x,4y,,,2x,故不是全微分方程。 ,y,x

?3-4高斯公式和斯托克斯公式

(1)

,P,Q,R原式= (，，)dxdydz,,,,x,y,z,

222 = 3(x，y，z)dxdydz,,,,

,2a2,4 = 3d,sin,d,,d,,,,00,,2

125 =a ,5

(2)

,P,Q,R原式= (，，)dxdydz,,,,x,y,z,

2 = (x，1)dxdydz,,,,

a2 = bc(x，1)dx,0

13 = abc，abc3

(3)

,P,Q,R原式= (，，)dxdydz,,,,x,y,z,

= 2(y，z，xz)dxdydz,,,,

21,y31

= 2dzdy(y，z，xz)dx,,,000

32,1

= 2dzd,(rsin,，z，rcos,z)rdr,,,000

3 = ,2

(4)

,P,Q,R原式= (，，)dxdydz,,,,x,y,z,

= 3dxdydz,,,,

3 = 2,R

(5)

,P,Q,R原式= (，，)dxdydz,(Pdydz，Qdzdx，Rdxdy),,,,,,,x,y,z',S

= (,4x，8x,4x)dxdydz，4zxdxdy,,,,,,',S

= 4xdxdydz,,,1S

2a2 = 2(e,1),a

222.解:(1)圆周事实上就是xoy面上的圆,取为圆域 ,x，y,9

22的上侧, x，y,9

dydzdzdxdxdy

,,,2 2ydx，3xdy,zdz,,dxdy,dxdy,9,,,,,,,,L,x,y,z,,DXY22y3xz

2(2) 取为平面被L所围成的部分的上侧, 的面积为的单位法,x，y，z,0,,a,,

,,111向量为, ,cos,cos,cos,,,,,n,,,,,333,,

111

333

,,,，，，，，，y，zdx，z，xdy，x，ydz,,0ds,0 ,,,,,L,x,y,z,,

y，zz，xx，y

dydzdzdxdxdy

,,,22解: ，，，，3ydx,xzdy，yzdz,,z，xdydz,z，3dxdy ,,,,,L,x,y,z,,23y,xzyz

其中为平面z=2被L所围成的部分的上侧,因为在yoz面上的投影区域为线段,所,,

222以,又在xoy面上的投影区域为,所以 ,，，x，y,4z，xdydz,0,,,

2, ，，，，,z，3dxdy,,2，3dxdy,,5,，2,,20,,,,,,Dxy

2 ？3ydx,xzdy，yzdz,,20,,L

习题3—5

2221( 解:(1)， P,x，yz,Q,y，xz,R,z，xy

,P,Q,RdivA,，，,2x，2y，2z,2(x，y，z) ， ,x,y,z

？divA,10(1,1,3)

xy2 (2)，，，，，P,e,Q,cosxy,R,cosxz

,P,Q,Rxy2，，，，divA,，，,ye,xsinxy,2xzsinxz ， ,x,y,z

？divA,0(0,0,1)

2 (3)， P,y,Q,xy,R,xz

,P,Q,R ， divA,，，,0，x，x,2x,x,y,z

。？divA,2(1,2,3)

kk2( 证明:场力沿路径L所作的功为，要证明场力所作的功与所W,,xdx,ydy33,Lrr取的路径无关，只需证明上面的积分与路径无关，显然，半平面x>0是单连通域。

,Qk,R3kk,xy, 在该区域具有一阶连续偏导数，另外，所以P,,x,Q,,y533,x,yrrr

上面的积分与路径无关，因而结论正确。

ijk

,,,3(解:(1) rotA,,0,x,y,z

yzzxxy

ijk

,,, (2) ，，，，，，rotA,,xz,xyi，xy,yzj，yz,zxk,x,y,z

xyzxyzxyz

ijk

,,, (3) rotA,,i，j,x,y,z

z，siny,z，xcosy0

ijk

,,,rotA,,x,y,z (4) 22，，，，xsinyysinxzxysincosz

222，，，，,,,,，，，，,xsincosz,xycosxzi,ysincoszj，yzcosxz,xcosyk

,,4(证明:(1) rotA,,0,x,y222xcosy,ysinx,2ycosx,xsixy

所以A为有势场

xy22Hx,y,2xcosb,bsinxdx，2ycosx,xsinydy，，，，，，,,ab 22，，,ycosx，xcosy，c

ijk

,,, (2) rotA,,0,x,y,z

ycos(xy)xcos(xy)sinz

所以A为有势场

xyzHx,y,z,bcos(bx)dx，xcos(xy)dy，sinzdz，，,,,abc

,sin(xy),cosz，c

习题4,1

11111((1)记一般项为，则 =，=，=，=，… uuuuun31242,1,12,2,12,3,12,4,1

1故= un2n,1

1，21，31，11,12,13,1 (2)记一般项为，则 =(-1)?，=(-1)?，=(-1)?，… uuuun312231

1，nn,1故=(-1)? unn

1234

2222xxxxu (3)记一般项为u，则 =，= ，=，=，… uuun31243242,1!2,2!2,3!2,4!

2x 故u= nn2,n!

1，12，13，1aaa2,13,11,1,, (4)记一般项为u，则=(-1)，=(-1)，u=(-1),，… uun3122,1，12,2，12,3，1

n，1an,1, 故u=(-1) n2n，1

,1n111213，，，，2((1) ,，，，？,22221n111213，，，，n,1

,132n1113135,？,,,,，， (2) ,，，，？,242n224246,？,,,n1,

n,1,1111,，， (3) ,,，,？,5n51015n,1

,n!1!2!3!4) (,，，，？,n123n123n,1

333((1)该级数为几何级数，,，由于，故该级数收敛。 rr,,1,44

1,1n (2)该级数的一般项，故由级数收敛的必要条件可知，u,,5,1,0(n,,)nn5

该级数发散。

33 (3)该级数为几何级数，，由于，故该级数发散。 r,,1r,,122

1111 (4)设s ,，，，，？2342222

232221 ,,，，，，？23333

12 因为为的几何级数，为r,的几何级数，故，均为收敛级数， sr,,s,23故原级数收敛。

习题4,2

1,11n2,11( (1)因为，而级数发散，故该级数发散。 lim,,n,,1n2n,1

,,nn，，1111u(2) 因为，而发散，故原级数u发散。 ,,,,,nn22nnnnn，，1n,1n,1

2,nnn，，，，，1，41(3)因为，而且收敛，故原级数收敛。 lim,lim,1,22n,,n,,1nn，5，4nn,12n

,,sinsinnn,221limlim(4)因为，而且收敛，故原级数收敛。 ,,,,,nn,,n,,1,2n,1nn22

n，13

nn，1u3n33n(，1),2n，12((1)u,，因为， lim,lim,lim(,),,1nnnn,,n,,n,,n,2un2，123nnn,2

故级数发散。

2n(，1)

n，1un1，1123n，1 (2)因为,故级数收敛。 lim,lim,lim(),,12n,,n,,n,,unn33nn3

n，1n2,(，1)!

n，1un12n(，1)nn，1(3)因为, lim,lim,lim2(),2lim,,1n,,,,,,,,nnnn1unen，12,!nn(1，)nnn

故级数收敛。

,,,n(，1)tantann，2n，2n，2unn，1，11n，12224)因为， (lim,lim,lim,,lim,,,1n,,n,,n,,n,,,,,unn2nntantann，1n，1n，1222

故级数收敛。

n1nu3.(1)因为，故级数收敛。 lim,lim,,1nn,,n,,n2，12

1nu(2)因为lim,lim,0,1，故级数收敛。 nn,,n,,nln(，1)

n,211,2nnnnnu,,(3)因为 limlim()lim()nnnn,,,,,,n,n,3131

12ln1n1123，故级数收敛。 ,e[lim(2,)ln()],e,(),,1n,,n3n,139

bbn(4)因为， ulim,lim,nnn,,,,aan

bb故当时，，级数收敛;当时，，级数发散; ,1,1b,ab,aaa

b当时，，无法判断。 ,1b,aa

3n，1n(，1)()u3n，133nn，414((1)，而， u,n()lim,lim,lim,,,1nn,,n,,n,,34un44nnn()4故级数收敛

4n(，1)

4unn，11n(，1)!4n，1u(2),，而，故级数收敛。 lim,lim,lim(),,0,1n4n,,n,,n,,n!unnn，1n

n，1

,u1nnn，1(，2)n，1(3)因为，而级数发散，故级数发散。 lim,lim,lim,1,n,,n,,n,,11nn，2n,1

n，1n2,(，1)!

n，1un12n(，1)nn，1(4)因为, lim,lim,lim2(),2lim,,1n,,,,,,,,nnnn1unen，12,!nn(1，)nnn

故级数收敛。

1n，12u(5)因为，故级数发散。 lim,(),1,0n,,nn

,,111111u(6)，而级数发散，从而,发散，故原级数发散。 ,,,,,nnannaban，nn1,1,

,11n,5((1)，显然u为一交错级数，且满足，， u,ulimu,0,,u(1),nnn，1nn1n,,n,12n

,,,1u 因而该级数收敛。又是的级数，所以u发散， p,1p,,,,nn1n1n1n,1,,2n

即原级数是条件收敛。

n,1,unn，131，11n，1 (2)对于，故收敛， ulim,lim,,lim,,,1,nnn,,n,,n,,unn333n,1n

从而原级数绝对收敛。

,,,1111n,1 (3),,，显然u,,收敛，故原级数绝对收敛。 u(1),,,nnnnn3232,,32n1nn11,,,

,11n,1u,(,1)u,,0(n,,)u (4)，为一交错级数，又， ,nnnln(n，1)ln(n，1)n,1

1u, 且，故由莱布尼兹定理可知，原级数收敛。但由于， u,unn，1nn，1

u发散，故原级数是条件收敛。 ,nn,1

2nnnnnn,222？222,,,ulimlim (5)因为,,,,，故级数发散。 ,n,,,,nnn!n(n1)？321,,,1,n

n1,n1,,,,(,1)111n6((1)因为为几何级数，且， ,(,),(,)r,,,,,n1,4444n1n1n0,,,

114其和为。 ,,11,r51,(,)4

nn,,,,,,3，211111111nnnnnn (2)因为 ,[()，()],()，(),()，(),,,,,,n623232233n1n1n1nn10n0,,,,,,

,1111n 而由知，其和为 ()r,,,2,1221,rn,01,2

,11311n由知，其和为 (),,r,,1331,r2n,01,3

nn,321133，2故 ,，，，,,n232261n,

7(设排球每一次下落后的高度依次为:

h,34h,1

2h,34h,(34)h,21

3h,34h,(34)h,32 , 4h,34h,(34)h,43

？？

nh,34h,(34)hnn,1

,,,331nn反弹的总距离 s,h,h(34),h(34),h，,3h,,,n441,34nn11n0,,,8(由已知可得:

,sin,CD,b

o2,,,cos(90)sin(sin),DE,CD,,CD,b

3,,sin(sin),EF,DE,b o4FG,EFcos(90,,),EFsin,,b(sin,),

？？

L=|CD|+|DE|+|EF|+|FG|+… ,,,1sinbnn,,,,(sin),sin(sin),sin，,= bbb,,1,sin,1,sin,nn10,,

习题4-3

n2a2(n1)1，n1( (1) Rlimlim,,,n，12n,,n,,2a2((n1)1)，，n，1

111当时，级数收敛，所以该级数的收敛域为 x,,[,,]222

an1n (2) R,lim,lim,1n,,n,,an1，11n，

当时，级数收敛，当时，级数发散， x,4x,6

所以该级数的收敛域为 [4,6)

n2,1nx (3)该幂级数只含有奇次幂项，记，则有 ,unnn，,2(3)

n，n，n，2111u(n1)x(2(3))1，，,2n，1 limlimx,,n,nn21n,,n,,u3nx(2(3))，,n

当时，级数收敛，当时，级数发散，于是收敛半径 x,3x,3R,3

当时，级数发散，所以该级数的收敛域为 (,3,3)x,,3

n2n (4)该幂级数只含有偶次幂项，记，则有 u,2(x，a)n

nn122，，u2(x，a)2n1， lim,lim,2x，ann2nn,,,,u2(x，a)n

222当时，级数收敛，当时，级数发散，于是收敛半径R, x，a,x，a,222

222x,,a,当时，级数发散，所以收敛域为 (,a,,,a，)222

,n1,s(x),nx(,1,x,1)2( (1)设 ,n1,

,,xxxn1n, s(x)dx,(nx)dx,x,(,1,x,1) ,,,,001,xn1n1,,

,x1,, 故 s(x),,(,1,x,1),,21,x(1,x),,

2n1,,xs(x),(,1,x,1) (2)设 ,2n,1n1,

,12n2,, s(x),x,(,1,x,1),21,xn1,

xxx111s(x),s(0)，dx,,dx,,dx,,,2220001,xx,1x,1

xx1111,,dx,[,dx],,00(x,1)(x，1)2x，1x,1 xx1111,[dx，dx],[ln(1，x),ln(1,x)],,002x，11,x211，x,ln(,1,x,1)21,x

,n (3)设 s(x),(2n，1)x(,1,x,1),n1,

,,nn 则 s(x),2(n，1)x,x(,1,x,1),,n1n1,,

,n 令u(x),(n，1)x(,1,x,1),n1,

2,xxn，1 u(x)dx,x,(,1,x,1) ,,01,x,n1

,22,,x2x,x,, u(x),,(,1,x,1)2,,1,x(1,x),,

222x,xx3x,x故 s(x),2,,,(,1,x,1)221,x(1,x)(1,x)

n,x(4)设s(x),(,1,x,1) ,n(n,1)n2,

n1,,x,s(x),(,1,x,1) ,n,1n2,

,1n2,,,s(x),x,(,1,x,1) ,1,xn2,

x1,, s(x),s(0)，dx,,ln(1,x)(,1,x,1),01,x

x s(x),s(0),ln(1,x)dx,(1,x)ln(1,x)，x(,1,x,1),0

习题4-4

1( (1)

1111，，,n()(1)(1),,,,,，n22,2,,，，,,11111xx222,,,，,,，1()1,,,,,,,222242!4n1n,4,xx，，,,,,1,，，4

,n1(21)!!,2n,，,,,xx(22),31n，2!2nn,1

2n12n,,1,cos2x12x2n1,(2) sinx,,,(,1)(,,,x,，,),22(2n)!n1,

2(3)设 f(x),ln(x，1，x)

111()(1)(1),,,,,，n1,,1n222222,fxxx()(1)1(),,，,，,2n!n,11，x

,(21)!!n,nn2,，,,,,1(1)(11)xx,(2)!!nn,1

,xx(2n,1)!!n2nf(x),f(0)，dx，(,1)xdx,,,00(2n)!!n1, ,(2n,1)!!n2n1，,x，(,1)x(,1,x,1),(2n)!!(2n，1)n1,

n,(lna)xxlnan(4)a,e,x(,,,x,，,) ,n!n0,

(5)设 f(x),(1，x)ln(1，x)

n,xn1,,f(x),1，ln(1，x),1，(,1)(,1,x,1) ,nn1,

n,xxxn1,f(x),f(0)，dx，(,1)dx,,,00nn1, n1，,xn1,,x，(,1)(,1,x,1),n(n，1)n1,

,,x(2n1)!!n2n,x[1，(,1)x](6) ,2(2n)!!,n11，x

,(2n,1)!!n2n1，,x，(,1)x(,1,x,1) ,(2n)!!n1,

1111111f(x)2( ,,,,,,，,2x4x4，，x1x232x3x2，，，，11,,32

,,1111nn ,,(x，4)，(x，4),,nn3232n0n0,,

,11n ,,，,,,,xx()(4)(62),11nn，，230n,

x，4,,,,11,,,,,71x,,3注:收敛域: ,,,,,,62x,,,,,,62xx，4,,,,,11,,2

,o3( (1) 18,10

111,,,,246 cos,1,()，(),()，？102!104!106!10

1,6,4 |r|,(),1026!10

11,,,24 cos,1,()，(),0.9511102!104!10

,1(2n,1)!!n4n,1，(,1)x(,1,x,1)(2) ,4(2n)!!n,11，x

1,(2n,1)!!111，n4n12dx(1)(),，, ,,042(2n)!!(4n，1)2,n11x，

5!!1113,4|r|,,,(),10 26!!132

1111111592dx,,,()，(),0.4969 ,0421022421，x

2,nn4( 设s(x),x,,,x,，, ,n!n1,

,,,n11nnnxx2,,，,，,,,,，,sxxxxxexex()(),,,,,,(1)!(2)!(1)!nnnnnn121,,,

2,n,s(1),2e则 ,n!n1,

,mM1mnn5( ,,,m,,m(,1)(),mm，MMn0,1，M

2m|r|,由于很小，则 ,,m0M

习题4-5

2,,2,,,11e,exx221、解:(1)因为 ;a,edx,e,0,,,,,,,,22,,,11xxx222,,a,ecosnxdx,ecosnx，nesinnxdx,,,,,n,,,,,,,,,2,,n,22,,(,1)(e,e)nxx22,,,，esinx,encosnxdx,,,,,,,,,,,24 ,,n,222(,1)(e,e)n,,an,24

n,,,222(,1)(e,e),a,n2(n，4),

,,,11n222xxx,,b,esinnxdx,esinnx,necosxdx,,a,,nn,,,,,,,,,,,,22 122n，,,,(,1)n(e,e),b,n2(n，4),

所以的傅氏展开式为 f(x)

22n,,,,，，e,e1(,1)f(x),，(2cosnx,nsinnx),,,2,。 4n，4n1,，，

(x,(2n，1),,n,0,,1,,2,？)

,11,232(2,,)因为 a,3xdx,x,2,;,0,,,,,,

2,,,,,113x6x2,,a,3xcosnxdx,sinnx,sinnxdxn,,,,,,,,,,,,nn,, n,612(,1),,,,xcosnx,cosnxdx,,,22,,,,,,,,nn

,12 (奇函数在以零为对称中心的区间上的定积分等于零)。 b,3xsinnxdx,0n,,,,

n,(,1)2f(x),,，12cosnx,x,(,,,，,)所以f(x)的傅氏展开式为。 ,2nn1,

x(3)因为是奇函数，所以。 a,0(n,0,1,2,？)2sin(,,,x,,)n3

,,，，2x211,,,,b,2sinsinnxdx,cos,nx,cos，nxdx,,,,n,,,,,,00333,,,,，，

,,，，11,,,,，，,,,,sinn,sinn，,,,,,cosn,sincosn,sin,,,,2633,,,,33,, ,,,,,,,,113n,13n，1,,,,n,n，,,,,33，，，，

183nn，1,(,1)2,9n,1

n1，,183(,1)n所以的傅氏展开式为。 f(x)f(x),sinnx,x,(,,,,),2,9n,1n1,

22、解:(1)因为为偶函数，所以，而 b,0,(n,0,1,2,？)f(x),1,xn

112112222， (1)4(1)a,,xdx,,xdx,0,,0016

11,2nx22,22a,1,xcosdx,41,xcos2nxdx，，，，，，n,,0011

1n，212，，1,x2x2(,1),,,，，，，,4sin(2nx),cos2nx，sin2nx, ,,2233222n,4n,8n,n,，，0

(n,1,2,？)

由于在，，内连续，所以 f(x),,,，,

n1，,111(,1)f(x),，cos(2n,x),x,(,,,，,)。 ,2212n,n1,

x(1，x),,1,x,0,(2)因为为奇函数，所以 f(x),a,0,且l,1,nx(1,x),0,x,1,

l1,1n b,f(x)sinxdx,2x(1,x)sinn,xdxn,,,,l1ll

112 ,2xsinn,xdx,2xsinn,xdx,,00

11222,,,xd(,cosnx)，xd(cosnx),,00,,nn 111222212，，,,xcos,nx,cos,nxdx，，，xcosn,x,2xcosn,xdx,,0000nnnn,,,,

1224,,,,,cosn，cosn,xd(sinnx)2,,,,0nn(n)

1441,,,,xsinnx，sinnxdx 22,00,,(n)(n)

41,,cosn,x30(n),

44,,,cosn，33,,(n)(n)

0,n,2k,,,8,nk,,2,13,(n,),

,81 ？f(x),sin(2n,1),x,,,,x,，,,33(2n,1),n1,

xf(x),cos3(解:因为为偶函数，所以; b,0(n,1,2,？)n2

,,1x2x a,coscosnxdx,coscosnxdxn,,,0,,,22

,111 ,[cos(,n)x，cos(，n)x]dx,0,22

,11，，sin(,n)xsin(，n)x,,122,， ,,11,,,,n，n,,22，，0

2,cosncosn,,,, ,， ,,2n,12n，1,,,

211,,n，11，， ,,, ,,,2n12n1,，,,

41n，，，,,1(n,0,1,2,？)2，，,4n,1

x4f(x),cos令得a,，且在,,上连续， ,,,,n,00,2

,x24cosnxn1，，，？cos,，,1,(,,,x,,),22,,4n,1n1,

,fxx(),,0,,，,

,4(解:作奇延拓，得,使有 Fxx,0,,0F(x),x,(,,,,]，，,

,，，fxx,,(,),,,,0,

计算系数:

，，a,0,n,0,1,2,;？n

,,,,2,x2x,11，，b,sinnxdx,cosnx,sinnx,,(n,1,2,？) n,2,,0,,22nn2n，，0

,1？f(x),sinnx,(0,x,,),n,n1

25(解:作偶延拓:，计算系数: ，,F(x),2x,x,,,,,

,2422,a,2xdx,;0,,03

,,24822na,2xcosnxdx,xcosnxdx,(,1),(n,1,2,？)n,,200,,n

b,0,(n,1,2,？)n

n,2(,1)2？f(x),,，8cosnx,(0,x,,),23nn1,

6(解:

?:用正弦级数逼近:作奇延拓，由题知周期为，由系数公式: l,2

a,0,(n,0,1,2,？)n

,,,

l122nnnb,f(x)sinxdx,xsinxdx，(2,x)sinxdxn,,,001ll22,,,

1222nnn,,,xd(cosx)，2sinxdx,xsinxdx,,,011n222,,,,12，，，，122n2n2n2n,,,,,,xcos,cosxdx，,2,cosx，xd(cosx),,,,,,01n2n2n2n201,,,,，，，，

,,,1，，,2n4n44n，，,,,,cos，sinx，,cosn，cos,,,,2,,n22nn2(n)，，,,0，，

,2,，，22n2n，xcosx,cosxdx,,,,,1n2n2,1,，，

,,,,2n4n44n42n,,,,cos，sin,0,cosn，cos，cosn,cos2,,,,,,n22nn2nn2(n)

,44n,,sinn，sin,022,,2(n)(n)

,8n,sin2,2(n)

,,,81nn？f(x),sinsinx,0,x,2,2222n,n,1

?:用余弦级数逼近:作偶延拓，由系数公式:

b,0,(n,0,1,2,？)n

l122，，a,f(x)dx,xdx，2,xdx,10,,,001l

,,,l122nnnaf(x)cosxdxxcosxdx(2x)cosxdx,,，,n,,,001ll22

1222,nn,n,,xd(sinx)，2cosxdx,xcosxdx ,,,011n222,

,,,,,122，，，，122n2n4n2n2n,xsin,sinxdx，sinx,xsinx,sinxdx,,,,,,,,,,,01n2n2n2n2n2,,,,011，，，，

1,,,,2n4n44n42n,,,sin，cosx，sinn,sin,sinn，sin,,,,,2,n22nn2nn2(n)0

2,4n ,cosx2,2(n)1

,8n44n,cos,,(,1)222,,,2(n)(n)(n)

,an,0？f(x),，acosx,n2ln,1

,141nn,,，，n ,，2cos,1,(,1)cosx,0,x,2,22,,222n,，，n1,

范文三：考研数学基础教程例题答案

考研数学基础教程

例题答案

第一讲函数、极限、连续性

一、函数

1、函数的概念

例、① 不是同一个函数,定义域不同 ② 不是同一个函数,对应法则不同 ③ 是同一个函数

例、令 ln , , () 1, () 1t t x t x x e f t e f x e ===+=+ 2、函数的几何特性

例、 () f x 为奇函数, () g x 为奇函数例、证 (22) () f x b a f x +?=

例、 y 在 1[1,2]I =上有界,在 2(0,1)I =上无界。例、 y 在 1(, ) I =?∞+∞不单调,在 2(0,) I =+∞上单调递增 3、常见函数类例、 arctan [()]x f x e ?=

常考题型

例 1、答案为 D ;

例 2、 ) 1arcsin(2x ?; ].2, 2[?

例 3、 =)]([x f g ???≥+<>

0, 2,

0, 22x x x x

2, 0,

(()) () 2, 0, x x f g x g x x x ?≤?=?=???>?

二、极限

例、 2

lim [

1]()()

lim(

()()

x x x

x a b x a x b x x

e e x a x b →∞

???+→∞

==?+

例、 1

lim (1) (1) 01lim()

1n n

n n

n n e e n

→∞??→∞+=== 例、 30tan sin 1

lim

x x x x →?=

例、 () sin f x x x =在 (0,) +∞上无界,当 x →+∞时, () f x 不是无穷大量

常考题型

1求极限方法 1 例 1、

;例 2、 1 方法 2 例 1、 ) (abc

方法 3 例、 1

方法 4 例 1、 21

; 例 2、3; 例 3、 1max{}i i n a ≤≤

方法 5 例、 a

2无穷小量阶的比较

例 1、答案为 3

;例 2、答案为 2。

三、连续常考题型

例 1、答案为 ) (2

例 2、因为 1

lim () 1(1)x f x f ?

→=?≠,故不连续例 3、因为 0, 1; 1, 11; () 2, 1; 0, 1.

x x x f x x x ≤???+?<>

=??>? 所以 () f x 在 1x =?连续,在 1x =是跳跃间断点。例 4、 0x =为无穷间断点,在 1x =?2x =为跳跃间断点。例 5、令 () () F x f x x =?

则 () () 0, () () 0F a f a a F b f b b =?>=?

由零点定理,存在 (, ) a b ξ∈,使得 () 0F ξ=,即 () f ξξ=

例 6、设 ) (x f 在 [, ]c d 上最大值为 M ,最小值为 m,

则 () , () , m f c M m f d M ≤≤≤≤ 所以 () ()

pf c qf d m M p q

+≤

≤+

故由介质定理,存在 [, ]c d ξ∈,使得 () ()

() pf c qf d f p q

ξ+=+

即 ) () () () (ξf q p d qf c pf +=+。

第二讲导数与微分

一、导数

1、导数的概念

例、 '(0)f 不一定存在,比如 () f x x = 例、 () f x 在 0x =处连续且可导

4、导数的计算例、 sin 2y x ′=

例、 11xy

ye y xe +′=?+ 5、高阶导数

例、 12(0)(1) ! 3

n y n +=?

例、 22() 1xy xy xy y e e y xy y xe ′′++′′=+,将 11

xy ye y xe +′=?+带入即可。

二、微分

2、微分的计算

例、 0=++y x e xy

,得 11

xy ye y xe +′=?+

常考题型

例 1、选 C 和 D;

例 2、

(0)

f f ′; 例 3、 0;

例 4、直接利用导数的定义; 例 5、 (1) 245(123) (26) x x x +++;

;

(3) 11(ln1) [(ln1) ln ]x

x x x x x x x x x x x ?+++++ 例 6、 e ?;

例 7、 2

111, 24t t t +?; 例 8、

221xx yy a b

+=; 例 9、 2(1)2n n n ??; 例 10、 π?; 例 11、 2(6). y x =?

第三讲微分学中值定理及其应用

一、微分中值定理

例将 sin 6x 展开带入原式得所求极限为 36

常考题型

中值定理证明

(一)用罗尔定理的有关方法

例 1、 20111

() 2n n F x a x a x a x n

=++L ,则 (0)(1)F F =

由罗尔定理即可得要证的结论

例 2、因为 () f x 在 [0, 3]上连续,所以 () f x 在 [0, 2]上连续,则在 [0, 2]上必有最大值 M 和最小值 m ,于是

M f m ≤≤) 0(, M f m ≤≤) 1(, M f m ≤≤) 2(.

三式相加 3(0)(1)(2)3. m f f f M ≤++≤ 从而有 (0)(1)(2)

1. 3

f f f m M ++≤

=≤

由介值定理知,至少存在一点 ]2, 0[∈c ,使

. 13

)

2() 1() 0() (=++=

f f f c f

因为 () (3)1f c f ==, 且 () f x 在 [,3]c 上连续, 在 (,3) c 内可导, 由罗尔定理知, 必存在 ) 3, 0() 3, (?∈c ξ,使 . 0) (=′ξf 例 3、因为 0

()

lim

0x f x x

→=,所以可得 (0)0, (0)0f f ′== 因为 (0)(1)0f f ==由罗尔定理存在 (0,1),() 0f ηη′∈=

又因为 () (1)0f f η′′==,由罗尔定理存在 ()0,1ξ∈,使 ()0f ξ′′= 例 4、令 () () x F x e f x α?=,对 () F x 用罗尔定理即可。 (二)用拉格朗日中值定理和柯西中值定理的有关方法例 1、令 () ln f x x =,则 (1) (1)() ,11x

f x f f x x ξξξ

′+?==

所以

ln(1) (1) (1)() 1x x

x f x f f x x x

ξξ′<><>

例 2、由洛比达法则 ()0

0() (0)

0lim lim () x x f x f f f x A x

+→→?′′=== 例 3、对

ln x

在 [, ]a b 用拉格朗日中值定理。例 4、对 (),ln f x x 在 [, ]a b 用柯西中值定理。

二、洛比达法则

例、 220011

3sin cos

lim

lim (1cos ) ln(1) 2x x x x x x x x x

→→++=++ 001

cos

3sin 3lim

lim

222

x x x x

→→=+= 常考题型

例 1、 2; 例 2、 1

; 例 3、 3

2; 例 4、 1

3e ?;

例 5、 C ; 例 6、 1; 例 7、题目有误; 例 8、 e

三、利用导数研究函数的性态常考题型

例 1、 C ; 例 2、 D ; 例 3、 B ; 例 4、 B ; 例 5、 3b =; 例 6、 D ; 例 7、 2个; 例 8、命 22() (1)ln (1) , x x x x ?=++?

则有 (0)0, ?=

[]2() ln (1) 2ln(1) 2, (0)0. 2

() ln(1) . 1x x x x x x x x

???′′=+++?=′′=

+?+

再单独取出 () ln(1) x x x ψ=+?讨论, (0)0, ψ=() 1x

x x

ψ?′=

+,当 (0,1)x ∈时, () 0. 1x

x x

ψ?′=

<+所以函数 ()="" x="" ψ在区间="" [0,1]上单调减少.="" 因此,当="" 0x="">时 () 0, x ψ<>

() () 0() 1x x x x

?′′=

<>+当 0. 由此可知, () x ?′在区间 [0,1]上单调减少,又因 (0)0, ?′=所以 () 0x ?′<>

0x >时).

则有, () x ?在区间 [0,1]上单调减少, 由 (0)0?=,所以 () 0x ?<(当 0x="">时) 证毕.

例 9、由 ' () 0F x >,可知 F (x )是单调递增的。

第四讲不定积分

四、积分方法

例、 2231

sin cos sin sin sin 3

x xdx xd x x C ==+∫∫

例、 22111

ln ln ln ln x C x x

x x ==?+∫∫

例

ln 2+

令

t =

得 ()

()ln 2ln 22

2ln 2ln(2) 2t t dt t t +==+++∫∫

())

ln 2ln 2t C C =++=++

例、令 1t x

642

82211

(1) 1dx I t t t dt x x t ==?+?+?++∫∫ 例、 2(22) x x x e C ?++

例、 2111

arctan (1)arctan 22

I x xdx x x x C ==+?+∫

常考题型

例 1、 A ; 例 2、 221

() (1) 3xf x I x C =

∴==??+∫Q

例 3、 (1)3

(1ln ) 3x C ??

+; (2) cos(1) x e C ?++ 例 4、 1ln

2C +。例 5、 66

[6lnln(1) ]61x x C x ?++++

例 6、 C x

?+; 例 7、 22ln(1) 1ln(1) 11

ln(1) x x x dx dx dx dx x d x x x x x

+??=+=??∫

∫∫∫∫ 1ln(1) 11ln(1) 1ln(1) (1) x x dx d x dx dx x x x x x x x ????

=???=???????∫∫∫∫ 1ln(1) 1

1ln(1) 111x x dx dx dx x x x x x x ????=??+=????????∫∫∫ ln(1) 1ln(1) 1ln(1) x x x x x ???

+?=??????

例 8、

2222211

arctan (1) arctan arctan arctan 111x I xdx xdx xdx xdx x x x

==?=?+++∫∫∫∫

221arctan arctan 12

x x dx x x =??+∫

arctan 2arctan arctan 2

x x x x C =??+

例 9、 232235111

sin cos sin (1sin ) sin sin sin 35I x xdx x x d x x x C

==?=?+∫∫

2sin 21cos 2sin cos (sincos ) cos 42

x x

I x xdx x x xdx dx

+===∫∫∫

22sin 2sin 2cos 288x x x

dx dx =+∫∫

21cos 4sin 2sin 21616x x dx d x ?=+∫∫

3sin 4sin 2166448

x x x C =?++ 例 10、 , 0;

() sin 1, 0.

x e C x f x dx x C x ?+≥=??++<>

例 11、 22ln ln x x C ?+; 例 12、 2ln(1) x x C +?+

第五讲定积分及其应用

一、定积分

例、 0

∫

四、定积分的计算方法

例、 5

0215

I x a ==

∫ 例、 3

ln ln 3ln ln 2ln I x x ==?∫

例、 12011

arctan ln 21266

x xdx π=?+∫

常考题型

例 1、证明略例 2、 (1)

;

(2)

8; (3) 4π?; (4)、 113; (5)

、 ; (6)、 17

e ?? 例 3、 B ;

例 4、 1

10;

例 5、 A ; 例 6、 A ;

例 7、 D ;

例 8

、 () 3f x x =?

() 3f x x =?

例 9、 (1)0

() (2) ()d x F x u x f x u u ??=

+??∫

令 t u =?,则 u t =?, du dt =?, :0t x →,所以

() (2) ()d () (2) ()d() x x F x u x f x u uF x t x f x t t ??=+???=

?+?+?∫

∫

[(2)][()]d() x t x f x t t =

?????∫

(2) ()d x t x f x t t =

??∫

() F x =

所以, () F x 为 x 的偶函数。

(2)令 t x u =?,则 u x t =?, du dt =?, :0t x →,所以

() (2) ()d() (2) ()d ()d 2

()d x

F x x t f t t x t f t t x

f t t tf t t =

??=

?=?∫

∫

所以 0

() ()d () 2() ()d () x

F x f t t xf x xf x f t t xf x ′=

+?=

?∫

∫

[]() () () () () F x f x f x xf x xf x ′′′′=?+=?

由于 () f t 为 t 的单调减函数,所以 () 0f x ′≤.

所以,当 0x >时, () 0F x ′′>, () F x ′单调递增,所以 () (0)0F x F ′′≥= 当 0x <时, ()="" 0f="" x=""><, ()="" f="" x="" ′单调递减,所以="" ()="" (0)0f="" x="" f="" ′′≥="总之,当" (,="" )="" x="" ∈?∞+∞时,="" ()="" 0f="" x="" ′≥,所以="" ()="" f="" x="" 为="" x="" 的单调增函数.="" 例="">

例 11、

11()() d () d () 22b b a a f x x b x x b f x ′′′?=?∫∫ 2

11() () () 2()d 22

b b a a x b f x f x x b x ′′??=??????∫ 2

1() () ()d () 2

b a a b f a x b f x ′=????∫

[]() () ()d b

a a

x b f x f x x =??+∫

() () ()d b

a b f a f x x =?+∫

()d b

f x x =∫

五、反常积分常考题型

例 1、 24π; 例 2、 3π 例 3、 8π

例 4、C ; 例 5、B

六、定积分的应用常考题型

例 1、 32

例 2、 A 例 3、 3a = 例 4、

例 5、

π;

第六讲多元函数微分学

一、多元函数、极限、连续性

例、证明

(, ) (0,0)

(, ) (0,0)lim

(, ) lim

x y x y xy

f x y x y →→=

因为 22

2222200lim lim 1x x y kx y kx

xy kx k

x y x k x k →→====+++与 k 有关,故 (, ) (0,0)lim (, ) x y f x y →不存在. 例、证明:342

262242000lim lim lim 0x x x y kx

x y kx kx x y x k x x k →→→====+++, 但是 3

366

266001

lim lim 2x x y x

x y x x y x x →→===++,故 (, ) (0,0)lim (, ) x y f x y →不存在. 常考题型

例 1、 a e , 0;

例 2、当 x,y 趋近于零时,在路径 y=-x上式子无意义,所以极限不存在;

例 3、 0;

二、多元函数的偏导数与全微分

例、解 22(, ) (0,0)

00x y →≤

≤

≤=?????→

所以

由夹逼法则知 00

0x y →→=.

例、

, xy xy z z

ye xe x y

??==?? 例、解 0

() (0)(0,0)lim

x x f x f f x →?′==?, 0() (0)

(0,0)lim

00y x f y f f y →?′==?,偏导数存在. (, ) f x y 在 (0,0)不连续.

lim (, ) lim() 0(0,0)x x y x g x y x y g →→→→=+==故连续

(,0) g x x =在 0x =导数不存在,故 (0,0)x g ′不存在.

例、解由于前面已证 0

lim (, ) x y g x y →→不存在,故 (, ) g x y 在 (0,0)不可微.

已求出 (0,0)(0,0)0x y f f ′′==, (0,0) (0,0)(0,0)(0,0)f x y f f x f y

ρρ→→′′+Δ+Δ??Δ?Δ=

ρ→=不存在,

故 (, ) f x y 在 (0,0)不可微.

常考题型

例 1、 A ; 例 2、 C ; 例 3、 C ;

三、多元函数微分法

例 (1,0)

2ln 21z

x ?=+? 例

123z u v f f f x x x

???′′′=++??? 例 13213232F F F F dz dx dy F F F F ′′′′

??=

+′′′′

?? 1332, F F z x F F ′′??=′′??2132F F z y F F ′′??=′′??

例

211212221, z F F z z y x y F F F F z y z y

?′′??=?=???′′′′++ 常考题型

例 1、2和 3; 例 2、 dx dy ?

例 3、

(1)1sin cos x x z x x e e x y y y ???=?+?, 2

sin x z x x

e y y y ???=??

(2)

2(1) [ln(1) 1xy

x y

x y y x y x y

+++++++; 2

2(1) [ln(1) 1xy

y x y x y x y

+++++++ 例 4、 2

1222212222

z xf f yx f xf f xyf x y

?=++?=++?? 例 5、

[() ()]() y y e f x y f x e f x y ??′?+?++

例 6、 ()

() () () f xy f xy x y y x y x

??′′′′′′?

++++ 例 7、

1z y e +; 1z

x e +; 例 8、

22123F f F xf xf F F F xf

′′′′′

+?′′′+;

例 9、 B

三、微分学的应用

常考题型

例 1、 D ; 例 2、 B ;

例 3、 11

(0,) f e e

=?;

例 4、解:设 2222212(, , ) () (4) F x y z x y z x y z x y z λλ=++++?+++?

得方程组 22

(, , ) 0(, , ) 0(, , ) 0040x y z F x y z F x y z F x y z x y z x y z =??=??=??+?=?

?++?=?即 12121222220

220

20040x x y y z x y z x y z λλλλλλ++=??

++=???+=??+?=??

++?=?,解得 228x y z =???=???=? 或 112x y z =??

=??=?

得 222max (2) (2) 872U =?+?+=. 222min 1126U =++=.

例 5、解求 z 在 22

14y x +<中的驻点. 由="" 2,="" 2z="">

x y x y

??==???

得驻点 (0,0),对应的 (0,0)2z f ==,为讨论 222z x y =?+在 D 的边界 2

=14

y x +上的最值,有两个方法.

把 224(1) y x =?代入 z 的表达式,有

2222=52z x y x =?+?, 11x ?≤≤, 10x z x ′=

命 0x z ′=解得 0x =,对应的 2y =±, 0, 2

2x y z

==±=?

还要考虑 11x ?≤≤的端点 1x =±,对应的 0y =, 1, 0

3x y z =±==

由 2, 2, 3z z z ==?=比较大小,故

min 2z =?(对应于 0x =, 2y =±), max 3z =(对应于 0x =, 2y =±)

第七讲二重积分

一、二重积分

例、 123I I I

例、由二重积分中值定理

2I()=

(, ) (, ) x y R R f x y d f R σξηπ+≤=∫∫

所以 2

22000I() (, ) lim =lim lim (, ) (0,0)R R R R f R f f R R

ξηπξηππ→→→== 当 (0,0)0f ≠时, I() R 为 R 的二阶无穷小当 (0,0)0f =时, I() R 为 2R 高阶的无穷小例、 42

常考题型

例 1、 2(arctan2arctan1) ?;

例 2、

; 例 3、 312(323

a π?;

例 4、 21

1200sin sin () 1sin1x

x x

x dx dy x x x x

=?=?∫∫∫

例 5、 2

22242

132(sin ) 21

y D

xy y dxdy xy dxdy dy xy dx ?

??+===?

∫∫∫∫∫∫

例 6、D;

例 7、解将 D 分成 2212{}, {}D y x D D y x D =≥=≤I I

22() () D D I y x dxdy x y dxdy =?+?∫∫∫∫

211

11() () 15

x x

dx y x dy dx x y dy ??=?+?=

∫∫∫∫ 例 8、 4

π、

例 9、 csc 220

4() I d f r rdr π

πθ=∫

、

例 10、 (

, dy f x y dx =∫

例 11、D; 例 12、

解:当 b →+∞时,有界区域 {}(, ) |0b D D y b x y y b x ??=≤=≤≤≤≤?????

I 将趋向于无界区域 D,从而

lim lim b

y y y b b D

D xe

dxdy xe

dxdy e

dy xdx ???→∞

→∞

==∫∫∫∫∫

220555

lim lim (1) b y b b b ye dy e ??→∞→∞==?=

∫。第八讲常微分方程

二、一阶微分方程常考题型

例 1、可分离变量微分方程,

(1) dy y x dx x

?=, (1)

dy x dx y x ?=

dy dx dx y x =?∫∫∫,即 ln ln y x x c =?+

x y cxe ?= 例 2、令 y ux =,有

dy du u x dx dx =+,原方程化为 312

du u x u u dx +=? 即 32, du dx u

=?积分得 21ln x C u =+,化为 y,得 22

x y =

解出 y =

1, 1x y ==代入,得 C=1,

所以得特解 y =

例 3、将原方程化简,

得

dy dx =令

y u x =,则 dy du u x dx dx

=+,代入上式,得

u x u dx

+=+

得

,由有积分公式, 得 ln(ln u Cx =,其中 C 是常数, 因为 0, x >所以 0C >,去掉根号,得 u Cx =

即

Cx =,把 10x y ==代入并化简,得 211

, 022

y x x =

?> 例 4、实质上 () y x 可导,求导得 1

() () 22

y x y x x ′+

= 又原方程中令 0x =得 (0)0y =。求解初值问题 24(0)0y y x

y ′+=??

=? 两边乘 22dx

x e e μ∫

==得 22() 4x x ye xe ′= 积分得

222242x x x x ye xe dx C xe e C =+=?+∫

由 (0)01y C =?=。所以 221x y x e ?=?+。例 5、将 2ln xy y x x ′+=化为 2

ln y y x ′+

=,代入通解公式,得 222ln 2ln 222

1ln ln ln ln dx dx x x y e x e C e x e dx C x xdx C x x x C x x

???∫∫????=?+=?+=+????????=?+∫∫∫ 由 1(1)y =?,求得 C=0,所以 1(lnx

y x =?

例 6、

3dx xy y dy =+,即 3dx

yx y dy

所以 3[]ydy

ydy

x e e y dy C ?∫

∫

=+∫

例 7、 22

21, 1() (1) , 1

x x e x y x e e x ???<>

=??≥?? 三、可降阶微分方程(数一、二) 常考题型

例 1、令 y p ′=, dp dp dy dp

y p dx dy dx dy

′′=

=?=,原方程化为 20dp yp p dy +=, 得 0p =或 0. dp

p dy

+=0p =不满足初始条件 01x y ==,舍弃。由 0. dp y

p dy +=按分离变量法解之,

得 1C

p 。由初始条件可将 1C 先求出来:1111, C C ==,于是得 1

2dy dx y =,解之,得 22, y x C y =+=01x y ==代入,得 1=,所以应取+号且 21C =。即 y =例 2、 1

2C y C x =?

+ 四、二阶线性微分方程解的性质

例、 (A) 例、 (C)

五、高阶常系数线性微分方程

例、 123cos sin x y C e C x C x =++

常考题型

例 1、 22131244

x x y xe e =

++ 例 2、 220y y y ′′′?+=

例 3 与所给方程对应的齐次方程为 430y y y ′′′?+=,

它的特征方程为 2430, r r ?+=则 ()()310r r ??=,得特征根 121, 3, r r == 对应齐次方程的通解 1231212r x r x x x Y C e C e C e C e =+=+

由于这里 2λ=不是特征方程的根,所以应设该非齐次方程的一个特解为

*2, x y Ae =()*22x y Ae ′=, ()

*24x y Ae ′′=,代入原方程:

222244232x x x x Ae Ae Ae e ??+=, 即 222x x Ae e ?=, 则 2A =?, 所以 *22. x y e =?

故得原方程的通解为 32122x x x y C e C e e =+?. 例 4、 ()x x e C C y x sin cos 2

21?+

+= 例 5、 4

13252221+?

++=??x x e C e C y x x 例 6、 2212(2) x x x y C e C e e x x =+?+ 例 7、 B 例 8、 () () sin (0)0, (0)1

f x f x x f f ′′+=???′==?,解得 11

sin cos 22y x x x =+

六、差分方程(数三) 常考题型

例、原方程的一般形式为 15

5, t t y y t ++=其对应的齐次差分方程为 150, t t y y ++=

其通解为 () (5) t C y t C =? (C为任意常数)。

因为 5

() 2

f t t =是 t 的一次多项式,且 51a =≠?,故设原方程的特解为

, t y At B ?=+代入原方程,得 5(1) 5() 2A t B At B t ++++=,即 5

662

At A B t ++=。

比较系数知 55, , A B ==?故 51

(t y t ?=?,从而原差分方程的通解为

() (5) (t t C t y y t y C t ?=+=?+?。

范文四：大学物理基础教程答案

第一章质点运动学习题解答

第一章质点运动学习题解答 1-1 质点作曲线运动,在时刻质点的位矢为,速度为,速率为,

在至时间内的位移为, 路程为, 位矢大小的变化量为

( 或称),平均速度为,平均速率为(

(1) 根据上述情况,则必有( B )

习题1-1图 (A) (B) ，当时有

(D) ，当时有

(2) 根据上述情况,则必有( C )

(A) ， (B) ，

1-2 一运动质点在某瞬时位于位矢的端点处,对其速度的大小有四种意见,即 (1); (2); (3); (4)(

下述判断正确的是( D )

(A) 只有(1)(2)正确 (B) 只有(2)正确

1-3 质点作曲线运动,表示位置矢量,表示速度,表示加速度,表示路程, 表示切

向加速度(对下列表达式,即

(1) ;(2) ;(3) ;(4) 。

下述判断正确的是( D )

(A) 只有(1)、(2)是对的 (B) 只有(3)、(4)是对的 (C) 只有(2)是对的 (D) 只有(3)是对的 1-4 一个质点在做圆周运动时,则有( B )

第一章质点运动学习题解答

(A) 切向加速度一定改变,法向加速度也改变

(B) 切向加速度可能不变,法向加速度一定改变

(D) 切向加速度一定改变,法向加速度不变

1-5 一质点沿轴运动，其坐标与时间的关系为，则该质点速度方向沿轴正向的时间区间为( A )。

(A) (B) (C) (D)

1-6 质点的运动方程为，则质点在秒时到原点的距离为 m ，速度矢量为 m/s 。

1-7 一质点做半径为、周期为的匀速率圆周运动，试问经过四分之一周期的时间间隔内，质点所发生的位移的大小是( )，走过的路程是( )。

1-8 已知质点以初速度、加速度作直线运动()，则速度与时间的关系式为( )。

1-9 一质点沿半径米的圆周运动，其所走路程与时间的关系为，则在

秒时速率为()，切向加速度的值为()。

1-10 飞机驾驶员想往正北方向航行，而风以的速度由东向西刮来，如果飞机的航速(在静止空气中的速率)，试问驾驶员应取什么航向,飞机相对于地面的速率为多少,试用矢量图说明。

解:设下标A 指飞机，F 指空气，E 指地面。由题可知:

v =60 km/h 正西方向。 FE

v =180 km/h 方向未知 AF习题1-11图

v 大小未知，正北方向 AE

,,,由相对速度关系有: ,,,,，AEAFFE

,,,、、构成直角三角形，可得: ,,,AEAFFE

第一章质点运动学习题解答

,,,22,10; ，，，，，，,,,,,,170km/h,,tg,,,19.4AEAFFEFEAE

1-11 如图，一人用绳拉一辆位于高出地面的平台上的小车在水平地面上奔跑，已知人的速度u为恒量，绳端与小车的高度差为h。设人在滑轮正下方时开始计时，求t时刻小车的速度和加速度。

分析:根据图可知绳的变化与人运动的时间有关。在任何时刻t,绳、人距离墙的距离和高度h满足:

2222h，ut,l

由于绳长对时间一阶导数就是小车的速率，因此可对上式进行求导得到速度(速率)，速度求导得到加速度。

222222h，ut,l解:由可求出。，，l,h，ut

2dlut,,上式对时间求一阶导数: ,22dt，，h，ut

上式再求导:

1-12 一质点沿轴方向作直线运动,其速度与时间的关系如习

题图1-12所示(设时,(试根据已知的图，画出C 20 B 图以及图。

10 分析根据加速度的定义可知,在直线运动中v-t曲线的斜率为

加速度的大小(图中AB、CD 段斜率为定值,即匀变速直线运动;而D

4 1 2 6 线段BC 的斜率为0,加速度为零,即匀速直线运动)(加速度为恒量,

10 在a-t 图上是平行于t 轴的直线,由v-t 图中求出各段的斜率,即可作习题1-12图出a-t 图线(又由速度的定义可知,x-t 曲线的斜率为速度的大小(因A 20 此,匀速直线运动所对应的x -t 图应是一直线,而匀变速直线运动所

对应的x–t 图为t 的二次曲线(根据各段时间内的运动方程x,x(t),求出不同时刻t 的位置x,采用描数据点的方法,可作出x-t 图(

解将曲线分为AB、BC、

CD 三个过程,它们对应的加速

度值分别为 20

46 00 2

10 3 B

习题1-12图

第一章质点运动学习题解答

vv,,2BAa (匀加速直线运动) ,,20m,sABtt,BA

(匀速直线运动) a,0BC

vv,,2DCa (匀减速直线运动) ,,,10m,sCDtt,DC

根据上述结果即可作出质点的a-t 图,图(B),(

在匀变速直线运动中,有

12x,x，vt，t 02

由此,可计算在0,2,和4,6,时间间隔内各时刻的位置分别为

由表中数据可作0,2,和4,6,时间内的x -t 图(在2,4,时用描数据点的作图方法,

,1间内, 质点是作的匀速直线运动, 其x -t 图是斜率k,20的一段直线,图(c),( v,20m,s

1-13 一质点P 沿半径R,3.0m的圆周作匀速率运动,运动一周所需时间为20.0s，设t ,0

时，质点位于O 点。按习题1-13(a)图中所示Oxy坐标系，求(1) 质点P在任意时刻的位矢;(2)5

s时的速度和加速度。

分析该题属于运动学的第一类问题,即已

知运动方程r ,r(t)求质点运动的一切信息(如

位置矢量、位移、速度、加速度)(在确定运动

方程时,若取以点(0,3)为原点的O′x′y′坐标系,并

采用参数方程x′,x′(t)和y′,y′(t)来表示圆周运

动是比较方便的(然后,运用坐标变换x ,x0 ，

x′和y ,y0 ，y′,将所得参数方程转换至Oxy 坐

标系中,即得Oxy 坐标系中质点P 在任意时刻习题1-13图的位矢(采用对运动方程求导的方法可得速度和加速度(

2π解 (1) 如图(B)所示,在O′x′y′坐标系中,因,则质点P 的参数方程为 θ,tT

2π2π,,, x,Rsinty,,RcostTT坐标变换后,在Oxy 坐标系中有

2π2π,,, x,x,Rsinty,y，y,,Rcost，R0TT则质点P 的位矢方程为

第一章质点运动学习题解答

2π2π,,,3sin(0.1πt)i，3[1,cos(0.1πt)]j r,Rsinti，,Rcost，Rj,,TT,,

(2) 5,时的速度和加速度分别为

dr2π2π2π2π,1 v,,Rcosti，Rsintj,(0.3πm,s)jdtTTTT

1-14 一质点在半径为R的圆周上以恒定的速率运动,质点由位置A运动到位置B,OA和OB所对的圆心角为Δθ。(1)试证位置A和B之间的平均加速度为

;(2) 当Δθ分别等于90?、30?、10?和1?时,平均加速度各为多少,并对结果加以讨论。

dv分析瞬时加速度和平均加速度的物理含义不同,它们分别表示为和a,dt

2ΔvvΔva(在匀速率圆周运动中,它们的大小分别为, ,式中,Δv,可由图a,,a,nΔtRΔt

(B)中的几何关系得到,而Δt 可由转过的角度Δθ 求出(

由计算结果能清楚地看到两者之间的关系,即瞬时加速度是平均加速度在Δt?0 时的极限值(

解 (1) 由图(b)可看到Δv ,v -v ,故 21

22Δv,v，v,2vvcosΔθ 1212

,v2(1,cosΔθ)

而

ΔsRΔθΔt,, vv

所以

2Δvv (b) (a) a2(1cosΔθ) ,,,ΔtRΔθ习题1-14图

(2) 将Δθ,90?,30?,10?,1?分别代入上式,

得

22vv,0.9003a,0.9886a, 12RR

22vvaa,0.9987,1.000, 34RR

以上结果表明,当Δθ?0 时,匀速率圆周运动的平均加速度趋近于一极限值,该值即为法

第一章质点运动学习题解答

2v向加速度( R

1-15 一质点在半径为0.10m的圆周上运动,其角位置为,式中θ的单位为rad，t

的单位为s。(1) 求在t,2.0s时质点的法向加速度和切向加速度。 (2) 当切向加速度的大小恰等于总加速度大小的一半时，θ值为多少, (3) t为多少时，法向加速度和切向加速度的值相等,

解:

(1) 由题意，得

d,d,2,,12t,,,24t, dtdt

则质点的切向加速度和法向加速度分别为

24a,R,,144Rt(2)a,R,,24Rt(1) nt

则 t =2.0s 时，切向加速度和法向加速度分别为

,22222,aR,,，，,,,240.12.04.8msaR,,，，,,,0.1(122.0)230.4mstn

(2) 由题意知

22aa，a22nt由 ,可得 3a,aa,,tnt22 13将式(1)、(2) 代入上式得 t,

23 3,,，,243.15radt此时角位置为

24aa,(3) 要使 ,且 ; a,R,,144Rta,R,,24Rtntnt

414424RtRt,t,0.55s可得到,最后

范文五：微积分(大学数学基础教程答案)大学数学基础教程(二)多元函数微积分王宝富钮海第二章习题解答(下)

习题2-1 1、解：在任意一个面积微元d σ上的压力微元dF =ρg x d σ，所以，该平面薄片一侧所受的水压力

F =??ρgxd σ

2、解：在任意一个面积微元d σ上的电荷微元dF =μ(x , y ) d σ，所以，该平面薄片的电荷总量Q =??μ(x , y ) d σ

3、解：因为0≤x ≤1, 0≤y ≤1，所以x 2+y 2+1≤x +y +1，又ln u 为单调递增函数，所以ln (x 2+y 2+1)≤ln (x +y +1)，由二重积分的保序性得

0≤x ≤1

??(

ln x 2+y 2+1d σ≤

)

0≤x ≤1

??ln (x +y +1)d σ

0≤y ≤10≤y ≤1

4、解：积分区域D 如图2-1-1所示，所以该物体的质量

M =??(x +y ) d σ=?dy ?

2-y y

884

(x +y ) dx =?(-4y +4y 2-y 3) dy = 0333

5、解：（1）积分区域如图2-1-2所示，所以

dy ?f (x , y ) dx =?dx ?f (x , y ) dy

y 11

（2）积分区域如图2-1-3所示，所以

dy ?2f (x , y ) dx =?dx ?

2y 4x

x /2

f (x , y ) dy

（3）积分区域如图2-1-4所示，所以

?dx ?

2x -x 2

2-x

f (x , y ) dy =?dy ?

1-y 2+1

2-y

f (x , y ) dx

（4）积分区域如图2-1-5所示，所以

dx ?

ln x

f (x , y ) dy =?dy ?y f (x , y ) dx

6、解：（1）积分区域如图2-1-6所示，所以

??x

y d σ=?dx ?2

22?41?6

x y dy =?x x 3/4-x 3dx = x 11/4-x 5?= 033?115?055

()

（2）积分区域如图2-1-7所示，所以

??xy d σ=?dy ?

-2

4-y 2

xy dx =2?

1264

y (4-y 2) dy = 215

（3）积分区域如图2-1-8所示，所以

x +y

e ??d σ=?dx ?D

-100

1+x -1-x

e x +y dy +?dx ?

010

11-x

-1+x

e x +y dy =?e x (e 1+x -e -1-x ) dx +?e x (e 1-x -e -1+x ) dx

-1

=?(ee 2x -e -1) dx +?(e -e -1e 2x ) dx =e -e -1

-1

（4）积分区域如图2-1-9所示，所以

??(x +y -x ) d σ=?dy ?

3?13?19

(x +y -x ) dx =? y 3-y 2?dy = y /20248?6?

7、解：

（1）积分区域如图2-1-10所示，令x =r cos θ, y =r sin θ，所以

≤θ≤

, 0≤r ≤a

，

r ?f (r cos, r sin) dr

故

??f (x , y )d σ=?πd θ?

-2

（2）积分区域如图2-1-11所示，令x =r cos θ, y =r sin θ，所以

0≤θ≤π, 0≤r ≤2sin θ

，

r ?f (r cos θ, r sin θ) dr

故

??f (x , y ) d σ=?

d θ?

2sin θ

8、解：

（1）积分区域如图2-1-12所示，令x =r cos θ, y =r sin θ，所以

0≤θ≤

, 0≤r ≤

-1

sin θcos 2θ

sin θ

，

故

?dx ?

(x 2+y 2) dy =?4d θ?cos θr ?r -1dr =?4sec θtan θd θ=[sec θ04=2-1

（2）积分区域如图2-1-13所示，令x =r cos θ, y =r sin θ，所以

0≤θ≤π, 0≤r ≤2sin θ

，

故

dy ?

a 2-y 2

(x +y ) dx =

d θ?r dr =

πa 4

9、解：（1）积分区域如图2-1-14所示，故

2x 12x 2923

d σ=x dx dy =(-x +x ) dx =122????114x y D y

（2）积分区域如图2-1-15所示，令x =r cos θ, y =r sin θ，所以

0≤θ≤

, 0≤r ≤1

，故

11-r 11-r 1-x 2-y 2π

d σ=?2d θ??rdr =?rdr 222000421+x +y 1+r -r

π?

?02 -r 4??02 2?

?a 2?2?

dr -?

?dr ??4

-r ?r 3

π?1

11d (1-r 4) ?

?+??0444-r -r ?dr 2r

210

11?

1π

+(1-r 4) 2?r =(π-2)2?80?

（3）积分区域如图2-1-16所示，故

??(x

+y ) d σ=?dy ?

3a y

y -a

(x +y ) dx =?

a 3

(2ay -a y +) dy =14a 4

（4）积分区域如图2-1-17所示，令x =r cos θ, y =r sin θ，所以

0≤θ≤2π, a ≤r ≤b ，

故??(x

+y ) d σ=?d θ?r 2dr =

122

2πb

2π3

b -a 33

()

10、解：积分区域如图2-1-18所示，由图形的对称性得：

S =4S 1=4??d σ

D 1

，所以

S =4?d θ?

a 2θ

rdr =2?a sin 2θd θ=-a cos 2θ

π40

=a 2

图2-1-1 图2-1-2 图2-1-3 图

2-1-4

图2-1-5 图2-1-6 图2-1-7 图

2-1-8

图2-1-9 图2-1-10 图2-1-11 图

2-1-12

图2-1-13 图2-1-14 图2-1-15 图2-1-16

图2-1-17 图2-1-18

习题2-2

1、解：Q =???μ(x , y , z ) dv

2、化三重积分为直角坐标中的累次积分

解：（1）因为积分区域Ω的上曲面为开口向上的旋转抛物面下曲面为z =0，积分区域Ω在xoy 坐标面上的投影区z =x 2+y 2，

域D xy :0≤x ≤1; 0≤y ≤1-x ，所以

???f (x , y , z )dv =?dx ?

11-x

dy ?

x 2+y 2

f (x , y , z )dz

（2）因为积分区域Ω的上曲面为开口向下的抛物柱面z =2-x 2与下曲面为开口向上的旋转抛物面z =x 2+2y 2围成，二曲面的交线在

x o 平y

面上的投影为圆

，

2-x 2

x 2+y 2=1

，即

以

-1≤x ≤1?

Ω:?--x 2≤y ≤-x 2

?x 2+2y 2≤z ≤2-x 2?

所

???f (x , y , z )dv =?

-1

dx ?

1-x 2

--x 2

dy ?2

x +2y 2

f (x , y , z )dz

（3）因为积分区域Ω的上曲面为开口向上的旋转抛物面下曲面为z =0，积分区域Ω在xoy 坐标面上的投影区z =x 2+y 2，

域D xy :-1≤x ≤1; x 2≤y ≤1，所以

???f (x , y , z )dv =?

-1

dx ?2dy ?

x 2+y 2

f (x , y , z )dz

3、解：积分区域Ω如图2-2-1所示

???xzdxdydz =?xdx ?2dy ?zdz =?xdx ?2

-1

11y 11

1211

y dy =?x (1-x 6) dx =0 26-1

另解：因为积分区域Ω关于坐标面yoz 对称，又f (x , y , z ) =xz 关于第一坐标是奇函数，所以???xzdxdydz =0。

4、解：积分区域Ω如图2-2-2所示，当0≤z ≤h 时，过(0, 0, z ) 作

?2R ??2

x +y ≤ z ?平行与xoy 面的平面，与立体Ω的截面为圆D z :???h ??z =z ?

，

R πR 22

因而D z 的半径为z ，面积为2z ，故

h h

???zdxdydz =?

zdz ??dxdy =

D z

πR 2

z dz =

πR 2h 2

5、求下列立体Ω的体积

解（1）曲面所围立体是球体与旋转抛物面的一部分（如图2-2-3所示），用柱面坐标计算：

V =???dv =???rdrd θdz ==?d θ?dr r

2π

5-2

rdz

2π1122=?[-(5-r 2) -r 4]0=π(55-4) 03163

图2-2-1 图2-2-2 图

2-2-3

（2）因为积分区域Ω的上曲面为平面z =1-x ，下曲面为z =0，积分区域Ω在xoy 坐标面上的投影区域D xy :y 2≤x ≤1; -1≤y ≤1，所以

V =???dv =?dy ?2dx ?

-1

1-x 0

111?11?8dz =?dy ?2(1-x ) dx =2? -y 2+y 4?dy = -1y 022?15?

6、利用柱面坐标计算下列三重积分

解：（1）因为积分区域Ω的上曲面为开口向上的上半球面

z =2-x 2-y 2

，下曲面为开口向上的旋转抛物面z =x 2+y 2，将

得z =

2-z ，解此方程得z =1积分区

z =x 2+y 2代入z =2-x 2-y 2

域Ω在xoy 坐标面上的投影区域D xy :x 2+y 2≤1，由柱坐标公式得：D xy :0≤θ≤2π, 0≤r ≤1

???zdv =?d θ?dr ?2

2π1

2-r 2

zrdz =2π?

17π

。 r 2-r 2-r 4dr =

0212

()

（2）因为积分区域Ω的上曲面为平面z =2，下曲面为开口向上的旋转抛物面2z =x 2+y 2，将z =2代入2z =x 2+y 2得x 2+y 2=4，所以积分区域Ω在xoy 坐标面上的投影区域D xy :x 2+y 2≤4，由柱坐标公式得：D xy :0≤θ≤2π, 0≤r ≤2

2π22212?16π2233?(x +y ) dv =d θdr r dz =2πr 2-r dr = ????????00r 2/2023??Ω

。

7、利用球面坐标计算下列三重积分解：（1）用球面坐标计算

???(x

+y +z ) dv =???r sin ?drd ?d θ=?d θ?sin ?d ??r 4dr

224

2ππ1

4?1?

=2π?(-cos ?) 0? r 5?=π

?5?05

（2）用球面坐标计算

zdv =r cos ??r sin ?drd ?d θ=?d θ???????Ω

02π

π/4

sin ?cos ?d κ?

2a cos ?

r 3dr

=2π??

π/4

π/41

sin ?cos ??(2a cos ?) 4d ?=8πa 4?sin ?cos 5?d ?

π/4

8πa 4

=-cos 6?

=πa 4

8、选用适当的坐标计算下列三重积分

?0≤r ≤cos ??

解：（1）积分区域Ω为球，故用球面坐标计算：Ω:?0≤?≤π，

?0≤θ≤2π

所以

???x 2+y 2+z 2dv =?d θ?

2ππ/2

d ??

cos ?

r ?r 2sin ?dr =2π?

π/2

sin ?d ??

cos ?

r 3dr

=2π?

π/2

1π1ππ/2

sin ??cos 4??d ?=-?cos 5?0=

42510

（2）将

z =2y

代入

z =x 2+y 2

得到

x o y 平面上的一个圆

1+1-x 21-1-x 2

x +(y -1)=1，用直角坐标公式计算???zdv =?dx ?

-1

dy ?2

x +y 2

zdz ，

由于计算量较大，请同学一试。

用柱坐标计算x =r cos θ, y =r sin θ, z =z

???zdv =?d θ?

π2sin θ

dr ?2

2r sin θ

zrdz =?d θ?

π2sin θ

r (4r 2sin 2θ-r 4) dr 2

8616531π5sin θd θ==π3364226

（3）用柱坐标x =r cos θ, y =r sin θ, z =z 计算

22z dv =d θdr z ??????rdz =2π?Ω

2π12r

2r 116

r (z 3) dr =π003151

（4）用直角坐标计算

???xy

z dv =?xdx ?y dy ?

1x y 2441

z dz =?xdx ?x y dy =?dx =

0040283643

习题2-3

1、解：（1）因为连接点（1，0）和（2，1）的直线段的方程为y =x -1, 1≤x ≤2，所以

?(x -y )

-1

ds =?[x -(x -1)]

12π

-1

+(1) dx =?

2dx =2

（2）

)ds =?(a

2π0

cos 2t +a 2sin 2t

)

(-a sin t ) 2+(a cos t ) 2dt

=?a 2n +1dt =2πa 2n +1

（3）

2y ds =

2a ?

2π

-cos t a (1-cos t )]2+(a sin t ) 2dt

=2a

2π

(1-cos t ) dt =4πa

（4）因为星形线的参数方程为x =a cos 3t , y =a sin 3t ，所以

22π

?2?33?2a 3(-3a cos 2t sin t ) 2+(3a sin 2t cos t ) 2dx x +y ds =4?0 ?L ??

=12a

cos t sin t dx =6a sin t 02=6a

（5）因为折线ABCD 由线段AB ，BC 和CD 构成，在线段AB 上，x ≡y ≡0, 在线的BC 上，y ≡0, 而在线段CD 上，

x ≡1, z ≡2, y =t , 0≤t ≤3且ds =dy =dt

x 2yzds =

2x yzds +

x yzds +

x yzds =0+0+1??t ?2dt =9

（6）

?zds =?t

t 0

cos t -t sin t 2+(sint +t cos t ) 2+1dt

t 0

11?222

2+t d (2+t ) =?2+t 023?

?-2?

2、解：因为曲线L 的极坐标方程为r =1，所以

s =?ds =L

4334

r +r 'd θ=2

4334

+θ2

，又

+θ2

θ2

θ=

θ=tan u

cos u 1d (sinu )

?du =?sin 2u cos 2u ?sin 2u (1-sin 2u )

1/21/2??1

=? 2++?d (sinu ) ?sin u 1-sin u 1+sin u ?111+sin u =-+ln +C

sin u 21-sin u =-

4334

+θ2

1+θ2+θ+ln +C

22+θ-θθ=

53+ln 122

所以 3、解：

s =θ2

s =?ds =?

r 2+r 'd θ=?

e 2a θ+a 2e a θd θ

=+a 2?e a θd θ=

(e a ?-1) a

习题2-4

1、（1）解：将曲面向xoy 平面投影，得投影区域D xy ：x 2+y2≤R 2, 从而有

??zdS =

∑

D xy

R 2-x 2-y 2?

R R

-x -y

D xy

Rdxdy =R ?πR =πR ??

(2) 解：将平面向XOY 平面投影，得投影区域，

?0≤x ≤2

D xy :?3x , 从而有积分 0≤y ≤3-

(z +2x +y ) dS =??3∑=

D xy

(4-2x -

4422

y +2x +y ) +z x +z y dxdy 33

D xy

461

dxdy =4613

（3）解：由

∑1:z =1

（x 2+y 2≤1）得

dS =dxdy , D xy :x 2+y 2≤1

由∑2:z =(x

+y ) (0≤z ≤1)

得

x 2y 2

dS =(1+2+2) 2dxdy =2dxdy 22

x +y x +y D xy :x 2+y 2≤1

2π

??z x +y dS =

∑1∑2

D xy

x +y dxdy =

?d θ?r dr =2π?0

02π

12π=; 33

22222

??z x +y dS =??(x +y ) 2dxdy =2?d θ?r rdr =

D xy

所以， ??z

∑

x 2+y 2dS =??(x 2+y 2) dS +??(x 2+y 2) dS =

∑1

∑2

2π2+π32

2、解：将被截得的平面向XOY 平面投影，又有已知条件的，

z =c -

c c

x -y ， a b c c

z x =-, z y =-，设所求的面积为

a b

A =

A ，则有

a 2b 2+a 2c 2+c 2b 2

??dS =

∑

D xy

+(-

c 2c 1

) +(-) 2dxdy =a b 2

3、解：将曲面向XOY 平面投影，得投影区域，

D xy :x 2+y 2≤4, 且z x =-2x , z y =-2y ，

设所求的面积为A ，则有

A ==

??dS =??

∑

D xy

+(-2x ) 2+(-2y ) 2dxdy

π?(17) 6?

2π

d θ?

+4r 2rdr =

?-1?

4、解：以圆环的中心为坐标原点建立坐标系，则容易知道圆环薄片的面密度为：

ρ(x , y ) =

1x +y

, 当x 2+y 2≠4时，设薄片的质量为1

2π

M ，则有

M =2π?2+??

∑

x 2+y 2

dxdy =4π+?d θ?

?rdr =8π r

a a a 2

5、 ρ(x , y ) =k (x +y ) ，而ρ(, ) =ρ0, ∴ρ0=k ?, k =22ρ0

222a

a a

4a 2ρ0222222

M =??2ρ0(x +y ) ds =2ρ0?dx ?(x +y ) dy =

3a s a 00

习题2-5

x ρ(x , y ) d σ=x yd σ=(x ??????2ydy ) dx

x 0

1、解：1x 6

D D

x 811=(-) |0=26848

y ρ(x , y ) d σ=x y d σ=(x ??????2y dy ) dx D

1x 6x 911=(-) |0=36954

ρ(x , y ) d σ=??x yd σ=?(?x 2ydy ) dx

x 2

1x 5x 711=(-) |0=25735

1-35-x ==, y =

14835

=35, 重心(35, 35). 154485435

2、解：设P(x,y)为三角形上一点，则容易知道此点的密度为ρ(x , y ) =x 2+y 2。

x ρ(x , y ) d σ=x (x +y ) d σ=?(?????D

a -x 0

x (x 2+y 2) dy ) dx

=(-

4x ax a x a x a a

+-+) |0=1523615

a -y 0

5423325

??y ρ(x , y ) d σ=??y (x +y ) d σ=?(?

y (x 2+y 2) dx ) dy

=(-

4y ay a y a y a a

+-+) |0=1523615

a -x 0

5423325

ρ(x , y ) d σ=??(x +y ) d σ=?(?

(x 2+y 2) dy ) dx

4x 42ax 3a 2x 2a 3x a a 4

=(-+-+) |0=

123236

重心：(2a , 2a )

3、解：（1）由对称性知道重心一定在z 轴上。

???z ρdv =???zdv =

D xy

??(1x 2+y

zdz ) dxdy =2

122

[1-(x +y )]dxdy ??2D xy

12π112πr 2r 41π2

=?(?(1-r ) rdr ) d θ=?(-) |0d θ=20020244

而圆锥的体积为：V

。所以重心为：(0, 0, 3) 。

（2）容易知道此几何体是两个同心半球之间的部分，

且重心一定在z 轴上。而

???ρdv =???dv =?

2π

d θ?d ??ρ?ρsin ?d ρ

π20

=2π?[(-cos ?) |]?(

π20

ρA 2π33

|a ) =(A -a ) 33

2π04

???z ρdv =???zdv =?

d θ?d ??ρcos ??ρ?ρsin ?d ρ

1ρA π4

=2π?(sin 2?|) ?(|a ) =(A -a 4)

244

3(A 4-a 4)

重心：(0, 0, 33) 。

8(A -a )

π20

4、解：以圆柱下底面的圆心为坐标原点，以转动轴为z 轴建立坐标系，设P(x，y ，z) 为圆柱体上一点，则此点到转动轴的距离为r =

x 2+y 2

，因此

2π

I z =???r 2ρ(x , y , z ) dv =???(x 2+y 2) dv =?dz ?d θ?r 2?rdr =1

πha 42

5、解：设P(x,y,z)为弹簧上一点，则P 到Z 轴的距离为

r =

x 2+y 2

，因此有

2π0

I z =?r 2?ρ(x , y , z ) ds =?a 2?(a 2+k 2t 2) ?a 2+k 2dt =a

122π

a +k ?(a t +k 2t 3) |0=a 2a 2+k 2(3πa 2+4k 2π3)

6、解：有对称性知道F y =0。

F x =G ??

D R 2

ρ(x , y ) x

(x 2+y 2+a 2)

1(r 2+a 2)

d σ=G ρ?2π(?

-2

R 2

r cos θ(r 2+a 2)

R 1

rdr ) d θ

=2G ρ?[

R 1

a 2(r 2+a 2)

]dr

r r 2R 2r 2

=2G ρ++2) |R 1) -(|R R 1)]

a a a 2+r 2=2G ρ[ln

2R 2+R 2+a 2

R 1+R +a

R 2

a 2+R 2

R 1a 2+R 12

R 2

]

(x 2+y 2+a 2) R 211

=-aG ρπ?d (r 2+a 2) 3R 1

(r 2+a 2) 212

=aG ρπ|R R 1

22a +r 11

=aG ρπ(-)

a 2+R 2a 2+R 12

F z =-aG ??

ρ(x , y )

d σ=-aG ρ?2π(?

-2

1(r 2+a 2)

R 1

rdr ) d θ

7、解：由对称性知道F x =Fy =0。

[x 2+y 2+(z -a ) ]2πR h (z -a ) =G ρ?d θ?rdr ?

Ω0

F z =G ???

ρ(x , y , z )(z -a )

322

[r 2+(z -a ) ]

2-1212

h |0}rdr

=-2πG ρ?{[(z -a ) +r ]

=-2πG ρ?{[(h -a ) +r ]

122

-[a +r ]}rdr

=-2πG ρ{[(h -a ) +r ]-(a +r ) }|0

=-2πG ρ{[(h -a ) 2+R ]-(a 2+R 2) -[(h -a ) -a ]}=-2πG ρ{[(h -a ) +R ]-(a +R ) -h +2a }

122

12212

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