怎样判断三角形的形状

范文一：怎样判断三角形的形状

怎样判断三角形的形状

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【摘要】判断三角形的形状，可分为判断几种特殊的类型:等腰三角形、等边三角形和直角三角形。文章从勾股定理逆定理的运用、三角法、韦达定理及判别式的运用以及利用平面几何知识四个方面进行判断。

【关键词】三角形;判断;边边;角角

三角形是由三条线段首尾顺次连结而形成的图形。它主要由元素“边”、“角”组成。因此，按其边分类可分为:不等边三角形、等边三角形、等腰三角形。按角分类可分为:锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

故一般判断三角形的形状，可分为判断几种特殊的类型:等腰三角形、等边三角形、直角三角形。下面浅淡一下判断这几类三角形的方法:

一、勾股定理逆定理的运用

根据勾股定理逆定理，在三角形中，只要三边满足关系式a2=b2+c2或b2=c2+a2或c2=a2+b2则此三角形定为直角三角形，因此当条件中有边边关系且有平方关系时，我们首先用勾股定理的逆定理进行考证:

例1 已知三角形三边满足关系:

a2+b2+c2+338=10a+24b+26c判断此三角形的形状。

分析:此题中只有边边关系，因此，我们用勾逆定理验证，但没有直接的条件说明，故应制造条件，求出边长或边边关系，这里主要运用配方法:

解:?a2+b2+c2+338=10a+24b+26c

?(a-5)2+(b-12)2+(c-13)2=0

?(a-5)2?0，(b-12)2?0+(c-13)2?0

?a=5，b=12，c=13

?a2+b2= c2

?三角形为直角三角形

二、三角法

首先将条件中的边角关系，由正余弦定理统一为“角角”关系或“边边”关系，再由三角变成代数，变形分解因式从而判别形状。

例2 ?ABC中，bcosB=ccosC，试判断三角形ABC的形状。

分析:已知条件中既有边，又有角。通常是把它统一为“角角”或“边边”关系。

解:方法1 由余弦定理有:

a2+c2-b2 a2+b2-c2

b?————=c?————

2ac 2ab

去分母得:b2(a2+c2-b2)=c2(a2+b2-c2)

即:a2b2-b4-a2c2+c4=0

?a2(b2-c2)-(b2+c2)(b2-c2)=0

?(b2-c2)(a2-b2-c2)=0

?b2=c2即b=c或a2=b2+c2

?ABC为等腰三角形(b=c)或直角三角形(?A=90?)

方法2:由正弦定理b=2RsinB c=2RsinC代入式中得:

2RsinBcosB=2RsinCcosC

?sin2B=sin2C

?B=C或2B=π-2C

?2B=π-2C

?B+C= π —2

??ABC为等腰三角形(B=C)或直角三角形(?A =90?)

三、韦达定理及判别式的运用

当题设中的条件与一元二次方程有联系，并且此一元二次方程的各项系数与三角形的边或角相关时，用韦达定理或判别式将其边或角转化为“边边”或“角角”关系，从而判别其形状。

例3 已知关于x的方程(a+c)x2+2bx-(c-a)=0的两根之和为-1，两根之差为1，其中a、b、c是?ABC的边长，判断?ABC的形状。

解:设此方程两根分别为x1，x2由韦达定理有:

x1+x2= 2b —— a+c =-1

x1?x2= c-a —— a+c

?x1-x2=

?x1- x2=

?=0，(a+c)?0

?a=c

又?-=-1

?=1 ?a=b

??ABC为等边三角形

四、利用平面几何知识

当题设中的条件与平面几何知识密切联系，此时，利用平面几何的有关知识找出所要判断的三角形的边角关系。

例4 已知等腰梯形ABCD中，AB//CD(AB 高尔夫球杆

范文二：判断三角形的形状

3(12 判断三角形的形状

1(三角形形状的判定方法:

?化边为角;

?化角为边.

2(通过正弦、余弦定理实施边角转换.

3(通过三角变换探索角的关系，符号规律.

【典型例题】

222,sinA，sinB，sinC,2,例1(在ΔABC中，满足试判断ΔABC的形状. ,222,cotA，cotB，cotC,2,

cos(C,B)例2(在ΔABC中，已知tanB,，试判断ΔABC的形状. sinA，sin(C,B)

AC3例3(在ΔABC中，，求证:ΔABC是锐角三角形. tan,tan且tanC,2tanB22

A,Ba,btan,.例4(在ΔABC中，满足 2a，b

(1)试判断ΔABC的形状.

A (2)当a = 10，c =10时，求的值. tan2

【基础训练】

222(在ΔABC中，sinA + sinB = sinC，则ΔABC是____________. 1

4442222222(在ΔABC中，a+b+c,ab,bc,ac = 0，则ΔABC是_____________. 3(在ΔABC中，cos(A,B)cos(B,C)cos(C,A) = 1，则ΔABC是_____________. 4(在ΔABC中，tanAtanB > 1，则ΔABC是_____________.

2225(在ΔABC中，sinA + sinB + sinC = 2，则ΔABC是_____________. 【拓展练习】

1(已知tanA + tanB + tanC > 0，则ΔABC是 ( )

A(锐角三角形 B(直角三角形 C(钝角三角形 D(任意三角形

2atanA(在ΔABC中，2，则ΔABC是 ( ) ,2tanBb

A(等腰三角形 B(直角三角形 C(等腰三角形 D(等腰或直角三角形

12sinA，cosA,3(在ΔABC中，已知，则ΔABC的形状是___________. 13

1,cosA4(在ΔABC中，已知cosBcosC = ，则ΔABC的形状是___________. 2

5(在ΔABC中，已知a cosA = b cosB，则ΔABC的形状是___________. 6(在ΔABC中，已知sinAsinB+sinAcosB+cosAsinB+cosAcosB =2,则ΔABC的形状是_________.

abc,,7(在ΔABC中，已知，则ΔABC的形状是___________. cosAcosBcosC

sinA，sinBsinC,8(在ΔABC中，已知，则ΔABC的形状是___________. cosA，cosB

9(在ΔABC中，分别根据下列条件，判断三角形的形状.

lga,lgc,lgsinB,,lg2(1)(B为锐角).

(2)sinA = 2cosCsinB.

(3)A、B、C成A?P，a，b，c成G?P.

(4)acosB + bcosC + ccosA = bcosA + ccosB + acosC.

333a，b,c32(5) ,c,且sinAsinB,.a，b,c4

2222(a，b)sin(A,B),(a,b)sin(A，B).(6)

范文三：如何判断三角形的形状

如何判断三角形的形状

sin Acos Bcos C3,若,,，则?ABC是( ) abc

A,等边三角形 B,直角三角形，且有一个角是30? C,等腰直角三角形 D,等腰三角形，且有一个角是30? 14,在?ABC中，如果lga,lgc,lgsinB,,lg2，并且?B为锐角，试判断此三角形的形状,

3,在中，已知2sin Acos B,sin C，那么?ABC一定是( ) ,ABC

A,直角三角形 B,等腰三角形 C,等腰直角三角形 D,正三角形

2222(sinA，sinB，sinC),3(sinA，sinB，sinC)8,在中，， ,ABC

则这三角形是, ,

A,锐角三角形 B,直角三角形 C,钝角三角形 D,等边三角形

10,在中，lg(sin A，sin C),2lgsin B,lg(sin C,sin A)，则该三角形的形状是,ABC

_______,

cos Ab413,在中，若,,，试判断三角形的形状, ,ABCcos Ba3

Abc，27,在中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，，则?ABC的形状 , , ,ABCcos,22cA,正三角形 B,直角三角形 C,等腰直角三角形 D,等腰三角形或直角三角形 14,在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcos C,(2a,c)cos B. ,ABC

(1)求角B的大小,

2(2)若b,ac，试确定?ABC的形状,

1,已知的三边长分别是2、3、4，则此三角形是( ) ,ABC

A,锐角三角形 B,钝角三角形

C,直角三角形 D,等腰直角三角形 12,在中，若2cos Bsin A,sin C，则?ABC的形状是______, ,ABC

1，cos2Cb?cosC14,已知中，,，试判断?ABC的形状, ,ABCc?cosB1，cos2B

,在中，若，则?ABC的形状是, , 4lgsinA,lgcosB,lgsinC,lg2,ABC

A,直角三角形 B,等边三角形 C,不能确定 D,等腰三角形

8,在中，角均为锐角，且则?ABC的形状是, , AB,cosA,sinB,,ABC

A,直角三角形 B,锐角三角形

C,钝角三角形 D,等腰三角形

111,在?ABC中，A为锐角，lgb+lg()=lgsinA=-lg2,则?ABC为 . c2221,在?ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2c,2a，2b，ab，则?ABC

是( )

A,钝角三角形 B,直角三角形 C,锐角三角形 D,等边三角形

a,ccos Bsin A18,在?ABC中，若,，试判断?ABC的形状, sin Bb,ccos A

范文四：判断三角形的形状

判断三角形的形状一般有两种思路:

其一是化边为角，求出三个角之间的关系式; 其二是化角为边，求出三条边之间的关系式。实施转化的主要策略是运用三角函数的关系式、向量和正(余)弦定理等。

一、运用三角函数的关系直接判断

例1:给出下列4个命题:

? 若，则是等腰三角形。 sin2sin2AB,,ABC

(引申呢,) sinsinAB,

? 若<0，则是钝角三角形。>

cos()cos()cos()1ABBCCA,,,,,,? 若，则是等,ABC边三角形。

?在，若，则形状一定,ABCcos2sinsin1CAB,,,ABC是等腰三角形;

? 中，若，则的形状,ABCsinsincoscosABAB,,ABC为钝角三角形;

22sinsin1BC，,?,ABC中，边最长，且，则,ABC是a

直角三角形。

以上命题正确的是( )

二、运用正(余)弦定理判断

lga,lgc例2:在中，如果=，,ABClgsinlg2B,,

B且角为锐角，判断此三角形的形状。

22巩固练习:在,ABC中，若试判断tan:tan:,ABab,,ABC的形状。

[拓展思考]

ABC,, 在,ABC中，三个内角的对边分别是abc、、，

cos4Ab其中 c,,,10,且cos3Ba

(1)求证:,ABC是直角三角形;

ABC,,PO(2)设圆过三点，点位于劣弧上，AC

60，PABABCP=。求四边形的面积。

三、由向量运算性质来判断

例3:向量满足条件，OAOBOC,,OAOBOC，，,0

=1，试判断的形状。 ,ABCOAOBOC,,

2,,,

ABBCAB?，,01. 在?ABC中，有，则?ABC为_________三角形。

2. 已知O为?ABC所在的平面内一点，且满足,,,,,

，判断?ABC的形状。 ()()OBOCOBOCOA,?，,20,

,,,,,,3. 在?ABC中，已知，试ABcBCaCAb,，，,,证:?ABC为正三角形的充要条件为:,,,,,,

。 abbcca???,,

,,,,,,,

OAOBOC，，,04. 已知，且，则?ABC||||||OAOBOC,,为_________三角形。

5. 在?ABC中，有,,,,,,,,,

，()()()ABBCACBCCAABCAABCB，???,，,，试判断?ABC的形状。

范文五：判断三角形的形状

一、判定三角形的形状

例1 根据下列条件判断三角形ABC的形状:

22(1)若atanB=btanA;

解:由已知及正弦定理得

sinBsinA22(2RsinA) = (2RsinB) ,cosBcosA

2sinAcosA=2sinBcosBsin2A=sin2B ,,

2cos(A + B)sin(A – B)=0

o? A + B=90 或 A – B=0

所以?ABC是等腰三角形或直角三角形.

2222(2)bsinC + csinB=2bccosBcosC;

解: 由正弦定理得

22sinBsinC=sinBsinCcosBcosC

? sinBsinC?0, ? sinBsinC=cosBcosC,

oo即 cos(B + C)=0, ? B + C=90, A=90,

故?ABC是直角三角形.

3(12 判断三角形的形状

1(三角形形状的判定方法:

?化边为角;

?化角为边.

2(通过正弦、余弦定理实施边角转换.

3(通过三角变换探索角的关系，符号规律.

【典型例题】

222,ABCsin，sin，sin,2,例1(在ΔABC中，满足试判断ΔABC的形状. ,222,ABCcot，cot，cot,2,

cos(C,B)tanB,例2(在ΔABC中，已知，试判断ΔABC的形状. sinA，sin(C,B)

AC3tan,tan且tanC,2tanB例3(在ΔABC中，，求证:ΔABC是锐角三角形. 22

A,Ba,btan,.例4(在ΔABC中，满足 2a，b

(1)试判断ΔABC的形状.

Atan (2)当a = 10，c =10时，求的值. 2

【基础训练】

2221(在ΔABC中，sinA + sinB = sinC，则ΔABC是____________.

4442222222(在ΔABC中，a+b+c,ab,bc,ac = 0，则ΔABC是_____________.

3(在ΔABC中，cos(A,B)cos(B,C)cos(C,A) = 1，则ΔABC是_____________.

4(在ΔABC中，tanAtanB > 1，则ΔABC是_____________.