爱国者I帕克
范文一：非线性电路
非线性电路学习报告
电路是由电气、电子器件按某种特定的目的而相互连接所形成的系统的总称。当电路中至少存在一个非线性电路元件时(例如非线性电阻、非线性电感元件等) ，其运动规律要由非线性微分方程或非线性算子来描述，我们称之为非线性电路或非线性系统。 一、非线性电路的特点:
1、非线性电路不满足叠加定理
是否满足叠加定理是线性系统与非线性系统之间的最主要区别。 2、非线性电路的解不一定唯一存在
对于仅由非线性电阻元件组成的电阻性电路，或考察非线性动态电路的稳态性质时，其电路的特性有一组非线性代数方程来描述。这组方程可能有唯一解，也可能有多个解，甚至可能根本无解。因此，在求解之前，应该对系统的解得性质进行判断。
3、非线性系统平衡状态的稳定性问题
线性系统一般存在一个平衡状态，并且很容易判断系统的平衡状态是否稳定。而非线性系统往往存在多个平衡状态，其中有些平衡状态是稳定的，有些平衡状态则是不稳定的。
4、非线性电路中的一些特殊现象
在非线性电路中常常会发生一些奇特的现象，这些奇特的现象在过去和现在一直都是非线性电路理论的重要研究课题，促进了非线性理论的研究和发展。例如，非线性电路在周期激励作用下的次谐波振荡和超次谐波振荡；系统解的形式因为参数的微小变化而发生本质性改变的分叉现象；对于某些非线性电路和系统，还会出现一种貌似随机的混沌现象。分叉和混沌现象的研究大大丰富了非线性系统科学的理论，促进了系统科学的发展。 二、非线性电阻电路
非线性电阻电路研究的内容大体可分为理论定性分析和定量分析两大部分。理论定性分析主要研究非线性电阻电路解得存在性和唯一性问题。对于由无源电阻网络组成的网络，其无增益性质也是研究的重要内容之一。定量分析大体包含四个方面：一是图解分析法和小信号分析法，二是数值分析方法，三是分段线性化方法，四是友网络法。
1、图解分析方法
图解分析法用来解决简单非线性电阻电路的工作点分析、DP 图和TC 图分析等问题。
（1）曲线相交法：将其中一些非线性元件用串并联方法等效为一个非线性电阻元件，将其余不含非线性电阻的部分等效一个戴维南电路，画出这两部分电路的伏安曲线，它们的交点为电路的工作点，或称为静态工作点Q (U Q , I Q ) 。
R i
+U -
U oc
R
U
oc
?+
_
I ?
Q
R i
Q
U Q
U oc
图1 曲线相交法
（2）DP 图法:若某非线性一端口网络的端口伏安关系也称为驱动点特性曲线DP 确定，则已知端口的激励波形，通过图解法可求得响应的波形。
（3）TC 图法：输入与输出是不同端口的电压、电流，其关系曲线称为转移特性TC 曲线。已知TC 曲线和激励波形，通过图解法可求得响应的波形。
2、小信号分析方法
小信号分析则是当交变信号激励幅值远小于直流电源幅值时，将非线性电路进行线性化处理的一种近似分析方法。小信号分析不仅适用于非线性电阻电路，也可用于非线性动态电路与系统的分析。小信号分析法的实质是在静态工作电处将非线性电阻的特性用直线来近似（线性化）。
图2 小信号分析法等效图
①当只有直流电源作用时，根据解析法、图解法或折线法求得静态工作点
Q (U Q , I Q ) ；
?
②当直流电源和小信号共同作用时，由于U s 的幅值很小，因此，非线性电阻上的响应必然在工作点附近变动。
u (t ) =U Q +?u
（1） i (t ) =I Q +?i
?u , ?i 可以看作是小信号引起的扰动，幅值也很小。
若非线性电阻的VAR 为： u =f (i ) ，将其在工作点处展开为泰勒级数：
u =f (i ) =f (I Q ) +f ' (I Q ) ?i +f " (I Q ) ?i + （2）
21
2
由于?
i 很小，可略去二次及高次项，得
u (t ) =f (I Q ) +f ' (I Q ) ?i =U Q +R d (I Q ) ?i ??u =R d (I Q ) ?i
u (t ) =U Q +?u （3）
因此，在小信号作用时非线性电阻可看作线性电阻，参数R d 为其在工作点处的动态电阻。然后，画出小信号等效电路，据线性电路的分析方法求出非线性电阻的电压电流增量。
3、分段线性化方法
所谓分段线性分析方法，实质上是用若干折线来代替非线性电阻的伏安特性，然后用每段折线都用戴维南等效电路或诺顿等效电路来替代，这样就将一个非线性电阻网络化为许多拓扑结构相同、而参数取不同数值的线性电阻网络。这样的线性网络称为分段迭代网络。
为了能够方便地使用分段线性化分析方法，假设： 1）、网络中所以非线性电阻都是二端元件。
2）、网络中每个非线性电阻的u -i 特性都可以用分段线性函数来表示。 下面说明分段线性化方法分析的一般方法。
设N 为一个规范形式的非线性电路，它可以包含线性电阻（如二端线性电阻、理想变压器、回转器、受控电源等）、独立源及由任意分段的线性函数表征的二端非线性电阻。令m 表示电路中二端非线性电阻的数目，S j 表示将第j 个非线性电阻u -i 曲线以分段线性函数进行分段的总个数，g jk 表示第j 个非线性电阻第
k
段线段的斜率，即该段曲线的动态电导，E jk 和I jk 分别表示第j 个非线性电阻
第k 段线段的延长线与u j 轴和i j 轴交点的坐标，即电压截距和电流截距，D jk (u ) 和D jk (i ) 分别表示第j 个非线性电阻第k 段线段的电压及电流定义域，即
D jk (u ) =(u jk , u jk ), D jk (i ) =(j jk , j jk ) 。图表示出第j 个非线性电阻第k 个典型线
-
+
-
+
段情形，并画出第j 个非线性电阻第k 个典型线段对应的戴维南等效电路和诺顿等效电路。
图3 戴维南等效电路和诺顿等效电路
i j
u j
E jk
i j
u j
g
jk
I
r jk
jk
E jk
u jk -u jk +
u
j
i jk +i jk -
I
g
jk
jk
图4 分段线性化图
若把非线性电阻电路N 中的每个非线性电阻都用其迭代等效电路来代替，就得到一个与N 拓扑结构相同的线性电路N ' ，其电路的参数则取决于我们所要研究的非线性电路的特殊定义域。如果有m 个非线性电阻，每个电阻包含S j 个线段，这样共可以得到n 组组合，即
n =S 1?S 2?S 3?????S m （4） 换句话说，N ' 可以取n 组不同的参数值。因此N ' 称为N 线性迭代网络，而我们就将对非线性电阻电路的分析转化成为对n 组线性网络N ' 的迭代分析。
工作点的确定
设非线性电路含有m 个非线性电阻，第j 个非线性电阻具有S j 个线段，从而一共有n =S 1?S 2?S 3?????S m 个线性电路组合。对此非线性电路，求电路工作点的步骤如下：
1）将非线性电路N 变换成为相应的线性迭代网络N ' 。
2）对网络N ' ，任取一组参数g 1k , I 1k , g 2k , I 2k , ???, g mk , I mk (k j =1, 2, ???, S j ) ，
1
1
2
2
m
m
代入N ' 中进行分析，计算得出u j , i j (j =1, 2, ???, m ) 。
3）对计算结果进行校验。若对所有j ，k j ，u j ∈D jk (u ) ，i j ∈D jk (i ) ，则
j
j
该次计算结果就是一个工作点的数值。若至少存在一个l ，使得u j ?D jk (u ) （或
j
，则该次计算结果不对应工作点，应将其舍弃。 i j ?D jk j (i ) ）
4）对所有可能的线段组合逐一进行迭代计算，共迭代n 次，以求得所有可能的工作点。
分段线性分析法与小信号分析法有所不同，分段线性分析法特别适合于大信号作用下的非线性电路的分析。与数值分析法相比，分段线性分析法可以求解具有多个工作点的电路，并且可以去电路的DP 图和TC 图，具有和图解法完全相同的功能。但分段线性分析法的分段结果要比图解法精确得多，并且适合于求解较大规模的非线性电路，便于编写计算机程序，这些优点有是图解法所无法相比的。
由于以上原因，使得分段线性分析法成为近年来分析非线性电阻电路的重要方法。
分段线性分析法也存在一些缺点，当网络中的非线性电阻较多时，而每个非线性电阻伏安特性又需要较多线段表示时，迭代的次数会急剧增加，而是计算效率降低。
4、友网络法
友网络法也是使用泰勒级数展开的思想，其基本思想是找出由k 次迭代值求第k+1次迭代值的线性化模型。令 u k , u k +1分别为第k 次和第k+1次的电压初值，其对应的电流分别为i k =f (u k ), i k +1=f (u k +1) 。
把i k +1=f (u k +1) 在u k 处展开成泰勒级数，取线性部分，即将非线性电阻在u k
处线性化。在进行第 k+1 次迭代时，i k =f (u k ) ，u k ，G d k 是已知的，上述关系即可用等效电路来描述，见图4。这样，将电路中所有非线性电阻分别用各自的线性化模型代替，就可得到和原电路对应的“友网络模型”。逐次迭代计算，即可得到所要求的解。
图4 非线性电阻在第 k+1 次迭代时的线性化模型图。 使用友网络对电路的求解就转化为使用直流线性电路的求解。 5、数值分析方法
在非线性电阻电路的数值分析方法中，常用的有不动点方法和牛顿-拉夫逊方法。这些数值方法很早就已提出，只是在数字计算机广泛应用后才变为非线性电阻电路实用的数值分析技术。数值分析方法可以得到较精确的数值解，但在计算前需要估计解的个数及大致范围。 三、非线性动态电路
非线性动态电路的分析具有更加广泛的内容，目前人们对它的规律性还所知甚少。由于非线性微分方程一般不存在闭式解，故非线性动态电路目前还不存在统一的分析方法。从研究内容来看，非线性电路分析研究的内容和方法大体可分为二阶系统相平面方法和近似解析方法，高阶电路系统的定性分析，基于Volterra 级数的非线性系统的频域方法以及计算机辅助电路分析等。
非线性动态电路的计算机辅助分析主要有两方面的内容：
一是非线性动态电
路方程的建立，主要有状态变量法、混合法和稀疏表格法。二是非线性微分方程的数值解法，常用的有欧拉法、梯形法、龙格-库塔法、基尔法等。 四、非线性系统的分叉和混沌
分叉和混沌现象的研究自20世纪70年代后期以来得到非线性科学工作者的普遍重视，成为当代科学研究的热点之一。
分叉这一概念是Poincare 首次提出的，他用这一术语来描述微分方程组平衡点的分裂现象。所谓混沌现象，通俗地讲是指具有整体稳定性的耗散系统由于其内部的不稳定性而出现的貌似随机的现象。混沌系统具有对初始条件的极度敏感依赖性，而系统的轨道又只能在有限范围内运动，这样就造成了轨道在有限空间内缠绕往复而形成非常复杂的情况。
1、分叉
如果某个动力系统是结构不稳定的，则系统任意小的扰动都会使系统的拓扑结构发生突然的变化，这种变化称为分叉，亦称为分支、分岔。
分叉研究可以分为局部分叉和全局分叉。当只关心在平衡点或闭轨附近轨线拓扑结构的变化时，研究在平衡点或闭轨附近轨线的某个邻域内向量的分叉，这类分叉问题称为局部分叉。如果在分叉问题中需要考虑向量场的全局结构，则称为全局分叉。
Hopf 分叉是一类比较简单但是又很重要的动态分叉，它不仅在分叉研究中具有重要的价值，而且由于和自激振荡有密切的联系，所以在工程中有着重要的应用。Hopf 分叉是指当参数变化经过分叉值时由极限环从平衡点“冒”出来的现象，即从平衡状态产生孤立的周期运动的现象。
2、混沌
混沌现象是非线性系统所特有的一种复杂现象，它是一种由确定性系统产生的对于初始条件极为敏感的具有内禀随机性、局部不稳定而整体稳定的非周期运动。混沌运动模糊了确定性运动和随机运动的界限，为分析各种自然现象提供了一种全新的思路，甚至对人类认识自然界的一些基本观念如因果性、决定论等也有深刻启示。
1）混沌现象的定义
虽然混沌现象已引起学术界的普遍关注，但是混沌仍然没有一个公认的普遍适用的数学定义。下面介绍两个比较常用的定义。 （1）混沌映射
设（X, ρ）是一紧致的度量空间，f ：X →X 是连续映射，称f 在X 上是混沌的，如果：
①f 对初值具有敏感性，即存在δ>0，使得对任意x ∈X 及x 的邻域，总存在y ∈N (x ) 及n ≥0，使得ρ(f n (x ), f n (y )) >δ。
②f 在X 上具有拓扑传递性，即对任意开集U ，V ?X, 存在k>0，使得
f (U ) ?V ≠φ
k
。
③f 的周期点在X 中稠密。
该定义说明了混沌的重要特征：由于对初始值具有敏感性，所以混沌系统长期的行为是不可预测的；由于拓扑传递性，则系统不能进一步被分解成几个相互无影响的不变开子集合，即系统从任一初值出发的流具有普遍性；由于周期点稠密，是系统的流可以无限多次地经过X 中的任一点。 （2）混沌系统
设f 是区间I 到自身的连续映射，如果满足下列条件： A. f 的周期点的最小周期没有上界。 B. 存在I 的不可数子集S ，满足 ①对任何x ，y ∈S 且x ≠y 有
lim sup f n (x ) -f n (y ) >0 （5）
n →∞
②对任何x ，y ∈S 有
lim inf f n (x ) -f n (y ) =0 （6）
n →∞
则称f 所描述的系统为混沌系统。
此定义表面系统的长期行为没有规律，类似于一种随机现象。 2) 混沌的识别问题
混沌的识别问题是指对给定系统判断其运动是否为混沌。目前数值方法是混沌运动识别的主要方法，如Poincare 截面、功率谱分析、Lyapunov 指数及分形维数等方法。
a ．Poincare 截面法
Poincare 截面法可以将高维的动力系统轨道降低维数来进行分析，通过计算机，可以用数值方法计算出系统的流于Poincare 截面的交点。根据系统的流于Poincare 截面交点的变化规律，可以判断混沌是否出现。周期运动的轨线与Poincare 截面的交点为有限个离散点；当系统出现混沌运动时，其轨线与Poincare 截面的交点是沿一段曲线分布的点集，并具有自相似的分形结构的特
点。
b. 功率谱分析法
周期信号的功率谱为离散的函数序列δ，非周期确定信号的频谱为频率的连续函数。由于混沌运动的时间变化特征类似于各态遍历的随机信号，它是非周期信号，所以可以通过信号的功率谱来判断是否出现混沌。
C ．Lyapunov 指数
Lyapunov 指数是混沌系统中重要统计特征量之一。混沌运动的重要特征之一就是系统对初始条件的极度敏感性，而这种敏感性实际上是相空间中两个非常邻近点出发的轨线指数分离的体现。
3) 两类典型的非线性混沌电路 (1)含负阻元件的非自治电路的混沌； (2)蔡氏电路。 五、Hopfield 神经网络
Hopfield 神经网络是连续神经网络中应用最广泛的神经网络，得到了很多研究。Hopfield 提出的连续时间神经网络模型如图所示。其中电阻R i 和电容C i 并联，模拟了生物神经元输出的时间常数；而跨导T ij 则模拟神经元之间互连的突触特性；运算放大器则模拟神经元互连，则神经网络的状态方程可描述为
C i
i
du i dt
n
=
i
∑T ij V j -
j =1
1R i
u i +I i
1
1
i
（7） n V =g (u )
+∑T ij 其中，V i =g (u i ) 为神经元的非线性特性，。 R r j =1
=
i
图5 Hopfield神经网络图
对于Hopfield 神经网络，我们非常关注两个问题，第一是神经元的输入电压是否有界，第二是计算能量是否有下界，因为这是应用不变原理证明神经网络
u
T ij
V j
j
-V j
u i
I i
V i -V i
R i C i
稳定性的基本前提，也是神经网络能用硬件实现并求解优化问题的必要条件。
Hopfield 神经网络的稳定性定理：
对于Hopfield 神经网络，若g -1为单调递增且连续，C i >0，T ij =T ji ，则从任意初始点出发的轨线一定最终趋于网络的一个渐近稳定平衡点，且网络的稳定平衡点就是计算能量的极小点。
但是，Hopfield 神经网络存在这样一些问题：①模拟神经元之间突触特性的跨导必须对称，即T ij =T ji ；②对于非线性部分，普遍采用硬限幅函数，即f i 为连续可微单调饱和函数；③没有考虑自反馈特性。另外，虽然人们普遍认为在神经网络这样一类高度非线性系统中，神经网络模型随着参数的变化，可能出现极限环和混沌现象。
范文二：非线性电路报告
典型二阶非线性Duffing方程的MATLAB仿真
摘要:作为一类具有广泛物理意义的动力系统～Duffing方程及其混沌现象
长期以来为人们关注。本文在详细阐释Duffing方程物理意义的基础上讨论了这
一类方程的数值计算方法并采用MATLAB软件包完成了Duffing方程的求解以
及相图的绘制。文章通过对相图和一些信号波形的分析说明了一些混沌振荡的特
征。
关键词:Duffing方程; Runge-Kutta法
Abstract: As one important kind of dynamical system with profound physical background, Duffing equation has been a hot topic for a long period. This article illustrates its physical significance before introducing some Runge-Kutta methods to solve the equation. With one method adopted and the use of MATLAB, the paper realizes the visualization of phase portrait and some signal waveforms of the equation with two different kinds of coefficients. Finally, basic characteristics of chaos are analyzed based on phase portrait and signal waveforms in both time and frequency dormain.
Key words: Duffing equation; Runge-Kutta methods
1. 引言
广义二阶Duffing方程形式为x″ + g ( x) = e ( t).其中e(t)代表激励函数。本文讨论的是一类具有广泛应用的Duffing方程，其形式为
3,,,xkxaxbxAt，，，,cos, (1)
方程(1)具有典型的物理意义，它代表了一个二阶动力系统，其中包含一个阻
3,axbx，尼部件(反映)，一个正弦激励源和一个非线性储能部件(用kxAtcos,
反映)。值得注意的是，对于不是用多项式表示的非线性储能部件的函数关系g(x)，可以根据Taylor定理在局部展开为Taylor级数形式，然后应用方程(1)描述。
下面举例说明方程(1)的物理意义。对于一个如图1所示的由滑块m，计入摩
[1]擦的墙壁以及经过淬火处理的弹簧的典型力学系统，若F= ,Fsp= Atcos,
3,ky，其中y代表滑块距离墙的位移，Ff= ，表示阻尼力和滑块速度成正ayby，
比。
图1、由滑块和弹簧构成的力学系统
本系统包括一个非线性储能弹簧，一个与速度成正比的摩擦力和一个周期外
,,myFFF，，,力激励。根据牛顿定律列出方程，代入各项表达式得 fsp
3,,, (2) mykyaybyAtcos,，，，,
这是一个典型的Duffing方程。
Duffing方程亦可用于描述电路系统，这将在下一节进行分析。 2. Duffing方程描述的电路系统分析
[2]需要描述的并联LC二阶铁磁混沌振荡电路如图2所示，其中，uUt,sin,s
3iab,，,,电容C和电阻R为线性元件，L为非线性电感，其韦安特性表示为 . L
R
+
L
R=0
C
图2、由非线性电感和线性电容电阻构成的二阶电路系统
对于图2，根据KVL与KCL列写电路方程如下:
duuu,cscCi，,LdtR ,d,ucdt
化简并代入表达式可得:
d,,ucdt 3sinduUtu,,,ab,,,cc,，dtCRC
[3]通过增加一个变量可以将这个非自治其化为三阶自治方程 ，如下:
d,,ucdt
3sinduUuu,,,ab,,,cc,， dtCRC
du1,dt
经过变量替换以后可以得到简化后的方程，见公式(3). 可见本电路的方程就
,,,,,,acbckRCfURC/,/,1/,/是典型二阶非线性Duffing方程。其中.变量具有对应关系，即. xyuzu,,,,,,,c
dx (3.1) ,ydt
dy3 (3.2) ,,,,，,,,,kyfzsindt
dz,1 (3.3) dt
本电路中的非线性电感作为非线性储能部件，R作为阻尼，激励是电压源。因此从物理含义上来说本电路具有Duffing方程描述的动力系统的一切特点，故
根据KCL和KVL列出的方程和Duffing方程等价应在意料之中。 3. 常微分方程数值解法
非线性微分方程组因其解析解难以找到故需要数值方法求解，从而得到在一系列自变量值处的函数值，即寻找真解y(x)在上的近似值. yyy,...xxx,,,...12n12n
[4]4级4阶标准Runge-Kutta法是较为常用的数值解法之一，它的优点是:具有4阶精度，显式方法，无需迭代。这些优点使得Runge-Kutta法不仅可以单独使用，也可以和与其同阶的隐式法配合构成更加精确的预测-校正方法或者作为同阶多步法求解初始值的工具。例如，在由Adams显式法和Adams隐式法组合构成的预测-修正-校正-修正计算体系中需要前k+1个初值，而由于此计算系统阶数较高，采用欧拉法进行初值运算由于阶数不够导致误差较大，这将在后面的计算中积累，导致经过若干步计算后误差淹没真值，因此应采取和此计算体系同阶数的算法进行初值计算，这时即可应用4阶或5阶Runge-Kutta法。
MATLAB软件中包含了几个常微分方程数值计算函数。其中ode45最为常用。它应用显式4阶Runge-Kutta法和5阶Runge-Kutta法结合的方式进行计算，由于是单步方法，ode45速度较快，又因为采用了较高阶数的Runge-Kutta法，因此其精度有保证。ode23是一个常微分方程求解函数，其采用单步的显式2阶与3阶Runge-Kutta法结合的算法，速度更快，但是精度较差。ode113函数采用了Adams显式法与Adams隐式法结合构成的预测-修正-校正-修正计算体系，正如上文所述，此算法由于是多步的(需要多个初值)，且阶数较高，因而采用Runge-Kutta法进行初值计算。其精度最高，但速度较慢，不过在本仿真实践证明其耗时在5秒以内，尚可以接受，因此为了保证精度，本仿真采用ode113函数。
4. 仿真结果及分析
本仿真选取了两组不同的韦安特性参数，并进行了两组仿真。
,首先，=-1，=1. 此时，理论分析可知，当方程组(3)中的参数满足,
,,,4时，同宿点存在。这说明，阻尼越小(k越小)，激励越,2sec()fh,,23[4]强(f越大)，系统越容易发生混沌振荡。
当k=0.25，,,1时，要存在同宿点，必须有f>0.188。因此进行了两组仿真，分别为f=0.1以及f=0.45时的相图以及电容电压的时域波形及频谱，如图3和图4所示。
(a)
(b)
图3、f=0.1时的一些波形. a. 相图 b. 的时域波形 ui~ucLc
由图3可见，此时系统的轨迹从初始状态迅速被吸引进入一个极限环上，随后进行周期振荡，因此没有形成混沌震荡。从时域波形来看，uc在一个短暂的暂态过程后变为稳定的正弦波。可以想见，其频谱是一个单一谱线，而不是连续谱线。
当取f=0.45时，仿真波形如下图4所示。
(a)
(b)
(c)
图4、f=0.45时的一些波形. a. 相图 b. 的时域波形 c. 的频谱 ui~uucLcc
由图4可见，在f=0.45的情况下，轨道在相平面内既不趋于平衡点也不发
c的波形图可见，电散，而是在一个有界区域内无限填充，形成混沌振荡。从u
压为非正弦波，其频谱为连续的，这些都是典型的混沌振荡的特征。
,下面改变非线性电感的韦安特性，=1，=1. 此时，理论分析可知，当方,
,,,4程组(3)中的参数满足时，同宿点存在。这说明，阻尼越,2*e()fcsh,,23[4]小(k越小)，激励越强(f越大)，系统越容易发生混沌振荡。当取f=98.825时，可以得到仿真波形图如图5所示。
(a)
(b)
(c)
图5、f=98.825时的一些波形. a. 相图 b. 的时域波形 c. 的频谱 ui~uucLcc
由图5可见，相图说明此时产生了混沌吸引子，从时域仿真图中可以看到波形的非周期性。尽管激励是由单一频率分量的正弦波，响应却是一个频谱连续的复杂非周期波形，这些都充分说明此时该系统已经进入混沌振荡。
最后需要注意的是，本系统由于是非自治系统，故其在混沌振荡下的相图中轨迹发生无限次相交的情形。可以设想利用公式3将时间变量分离出来后形成一个自治系统，其三维相空间中不会有轨迹的相交，因为第三个坐标z单调增加。图6示出了在f=98.825的情形下三维相图。
图6、f=98.825时的三维相图
5. MATLAB源程序
在同一个文件夹内创建两个M文件，分别输入以下两个程序，运行DuffingSolver即可得到数值计算结果，相图及波形图。
function fty = Duffing(t, y)
ek = 0.1;
ef = 92.825;
fty = [y(2)
-(y(1)^3 + y(1)) - ek * y(2) + ef * sin(y(3))
1];
function DuffingSolver
tic
tspan = 0 : 1.0e-2 : 200;
initial = [0 0 0]';
[t, y] = ode113('Duffing', tspan, initial);
figure(1);plot(y(:, 1), y(:, 2));
figure(2);plot(tspan, y(:, 2));
参考文献
[1] Hassan K. Khalil. Nonlinear Systems (Third Edition) Prentice Hall, 2002 [2] 刘崇新. 非线性电路理论及应用[M]. 西安交通大学出版社. 2007 [3] Morris W. Hirsh, Stephen Smale, Robert L. Devaney. Differential Equations, Dynamical
Systems & An Introduction to Chaos Elsevier Academic Press, 2007
[4] 邓建中，刘之行. 计算方法(第二版)[M]. 西安交通大学出版社. 2001
范文三：非线性电阻电路
姓名：学号：学院：时间：
电工电子综合实验论文
----非线性电阻电路的研究
xxx
xxxxxxxxxxxxxxxx xxxxx xxxxx
非线性电阻电路研究论文
一、摘要
在了解常用的非线性电阻元件的伏安特性、凹电阻、凸电阻等基础上，自行设计非线性电阻电路进行综合电路设计，通过线性元件设计非线性电阻电路，用软件仿真并观察非线性电阻的伏安特性。 二、关键词
非线性电阻，伏安特性，Multisim10仿真，凹电阻，凸电阻，串联分解，并联分解。 三、引言
非线性系统的研究是当今科学研究领域的一个前沿课题，其涉及面广，应用前景非常广阔。对于一个一端口网络，不管内部组成，其端口电压与电流的关系可以用U~I平面的曲线称为伏安特性。各种单调分段线形的非线性元件电路的伏安特性可以用凹电阻和凸电阻作为基本积木块，综合出各种所需的新元件。常用串联分解法或并联分解法进行综合。本文主要介绍在电子电工综合实验基础上，根据已有的伏安特性曲线图来设计非线性电阻电路，并利用multisim10软件进行仿真实验。测量所设计电路的伏安特性，记录数据，画出它的伏安特性曲线并与理论值比较。 四、正文 1、设计要求：
（1）用二极管、稳压管、稳流管等元件设计如图9.8、图9.9伏安特
性的非线形电阻电路。
（2）测量所设计电路的伏安特性并作曲线，与图9.8、图9.9比对。 2、非线性电阻电路的伏安特性： （1）常用元件
常用元件有二极管、稳压管、恒流管、电压源、电流源和线性电阻等。（如图1）
图1 （2）凹电阻
当两个或两个以上元件串联时，电路的伏安特性图上的电压是各元件电压之和。如图所示，是将上图中电压源、线性电阻、理想二极管串联组成。主要参数是Us 和G ，改变Us 和G 的值，就可以得到不同参数的凹电阻，其中电压源也可以用稳压管代替。总的伏安特性形状为凹形。
图2
（3）凸电阻
与凹电阻对应，凸电阻是当两个或以上元件并联时，电流是各元件电流之和。是将图1中电流源、电阻、理想二极管并联组成。主要参数为Is 和R ，改变Is 和R 的值就可以得到不同参数的凸电阻。总的伏安特性为凸形。
图3
3、非线性元件电路的综合 （1）串联分解法
串联分解法在伏安特性图中以电流I 轴为界来分解曲线。分解得分电路在相同的I 轴坐标上U 值相加得原电路。实际电路为分电路的串联。 对于图(a)进行串联分解，在伏安特性图中以电流i 轴来分解曲线
图（a-1）
图（a-2）
对图（a-1）进行分析可知，其伏安特性曲线电路为一个二极管和一个电阻的并联，一个二极管和一个电流源的并联，然后以上二者串联。
图（a-2）是图（a-1）伏安线旋转180度，即以上电路的二极管和电流源反接。 （2）并联分解法
并联分解法在伏安特性图中以电压U 轴为界来分解曲线。分解得分电路在相同的U 轴坐标上I 值相加得原电路。实际电路为分电路的并联。
可以将特性曲线上下两部分并联（如图b ）
u/v
图(b) =
图(b-1)
由于特性曲线上下部分是对称的，这里只分析下半部分的设计思路，上半部分只需把下半部分设计的电路图中的所有电源和二极管反向即可。
图b-1又可以分为三部分曲线的并联。即：
分解后的图形又可以分解成一步并联和一步串联，其中并联由二极管和电流源实现，再串接一个凹电阻。 4、电路设计以及数据记录 电路1：
（1）根据串联分解法可知，图（a ）所示伏安特性曲线电路为一个二极管和一个电阻的并联，一个二极管和一个电流源的并联，然后以上二者串联。因此电路图如下：
（2）参数选择：R1:500 Ohm I1 : 2 mA I2 : 2 mA 调节电压源大小，记录电路中电流的变化，绘制I-U 曲线。 （3）数据记录
（4）由表中数据画出I-U 特性曲线:
（5）误差分析：
通过（-0.6，-1.117）和（0.6，1.117）两点求得斜率K=1.862，斜率误差E=|1.862-2|/2=6.92%，且在V=1V的点，误差为：E=|1.814-2|/2=9.3%。由此可知，二极管并不是完全理想的。 电路2：
（1）根据并联分解法，图（b ）所示的曲线可以通过电流源、二极管和线性电阻的并联实现，因此对应的电路图如下：
（2）参数选择：
V1从-26V 到24V 进行调节 V2=6V V3=12V V4=6V V5=12V
R1=2KΩ R2=2KΩ R3=0.667KΩ R4=2KΩ R5=2KΩ R1=0.667KΩ I1=6mA I2=6mA
（3）数据记录：
（4）由表中数据画出I-U 特性:
（5）误差分析：
由图表得出:
当 -6V<><6v>
当6V<><12v时,k=(3.13-0.179) 12-6)="" ＝0.4918，e="">
当12V<><15v时，k=(5.617-3,13) 15-12)="">
当|v|>15V时,k=(9.198-5.617)/(21-15)=0.5968，
E=|0.5968-0.6|/0.6=0.53%。
由此可知，在第三个拐点处误差偏大。
五、小结
本次实验研究了使用基本的电路原件设计所需要的非线性电路。实验中，结合电路书本中非线性电阻的相关知识，并通过查找相关书籍资料，设计了相关的非线性电阻电路。并且通过实验获得了一般的伏安特性曲线为单值函数的非线性电阻电路设计的并联分解法和串联分解法，是对电路书本知识的延伸和探索。
可见非线性元件的伏安特性曲线可以近似地用若干条直线来表示，但会有一定的误差，使用时应考虑导通电压等因素。
实验中，利用所学知识和Multisim10.0软件的仿真，按实验要求方向设计出了两个非线性电阻电路，出了在u —i 曲线的转折点处略有偏差外，较好的满足了实验设计的要求。而且，根据不同的分解方法，可以获得多种满足要求曲线的非线性电阻电路。
由上述非线性电阻电路实验可知，非线性电阻电路构造灵活，运用方便。同时，在电学，光学，声学等方面也存在着丰富的非线性问题，非线性电阻电路具有线性电阻电路无可比拟的性质，这就需要我们运用学过的只是去解答他分析它从而解决难题。
六、致谢
感谢我的电路老师黄锦安老师，他教会我基本的电路知识。 感谢电工电子中心的实验老师认真细致的讲解mutisim 仿真软件并对实验中出现的问题进行解疑。
感谢同班同学的帮助，在共同学习中互相帮助，可以了解到了不同的思维方式及解决问题的方法。
七、参考文献
《电路》 黄锦安 主编
《电工仪表与电路实验技术》 马鑫金 编著
范文四：非线性电路
含有非线性元件的电路。这里的非线性元件不包括独立电源。非线性元器件在电工中得到广泛应用。例如避雷器的非线性特性表现在高电压下电阻值变小，这性质被用来保护雷电下的电工设备；铁心线圈的非线性由磁场的磁饱和引起，这性质被用来制造直流电流互感器。非线性电路的研究和其他学科的非线性问题的研究相互促进。20世纪20年代，荷兰人B.范德坡尔描述电子管振荡电路的方程成为研究混沌的先声。与线性电路比较，非线性电路有许多特点。
编辑本段 稳态不惟一
线性电路通常只有一个稳态。但有些非线性电路的稳态可以不止一个。例如，用刀开关断开某个直流电路，当开关的刀和固定触头之间的距离不够大（例如距离为d）时,刀与触头之间可以出现稳定的电弧，电路中有电流，这是电路的一个稳态；增加上述距离使电弧熄灭后,再使此距离减少到d,却见不到电弧,电路中没有电流，这是另一个稳态。电弧的非线性特性使这个电路有两个稳态。电路处于何种稳态由起始条件决定。
编辑本段 自激振荡
在含有直流独立电源的线性电路中，稳态下的电压、电流是不随时间变化的直流电压、直流电流。但在有些非线性电路里，独立电源虽然是直流电源，电路的稳态电压(或电流)却可以有周期变化的分量，电路里出现了自激振荡。例如，音频信号发生器的自激振荡电路中因有放大器这一非线性元件而成为非线性电路。这个电路可以产生其波形接近正弦的周期振荡。自激振荡可以分为两种。①软激励：电路接通后就能激起振荡。②硬激励：电路接通后，一般不能激起振荡，电路处于直流稳态。必须另外加一个幅度较大、作用时间很短的激励，电路里才会激起振荡。在这样的电路中便有两个稳态：一个是直流稳态，一个是含周期振荡的稳态。
编辑本段 谐波
正弦激励作用于非线性电路而且电路有周期响应时，响应的波形一般是非正弦的。响应中可以含有频率高于激励频率的高次谐波分量，也可以有频率低于激励频率的次谐波分量。整流电路中的电流常会有高次谐波分量。将铁心线圈和合适的电容器串联接到正弦电压源上，构成铁磁谐振电路，其中的电流可含有频率是电源频率1/3的次谐波分量，称1/3次谐波。
编辑本段 跳跃现象
电路的响应与电路的各种参数有关。电阻、电感、正弦电源的振幅和频率都是参数。当某个参数有微小变化时，响应一般也有微小变化。但在非线性电路里，当参数改变到分岔值时，响应会突变，出现跳跃现象。考虑一个有合适电容值的铁磁谐振电路，以正弦电压源的有效值U 作为控制参数。平滑地、缓慢地改变U 时,电流有效值I一般随之平滑地变化，
非线性电路
图中两条实线表示这种变化，箭头代表变化方向。当电压U由0增加时，电流按曲线①变化。当U 达到分岔值U2时,电流会突然增加,以后电流沿曲线②变化。当U由大于U2的值减少到分岔值U1时,电流会突然减少。电流跳跃性变化用图中虚线表示。平滑地改变电源的频率，也可以看到类似的现象。
编辑本段 频率捕捉
正弦激励作用于自激振荡电路时，看来有两种频率的振荡在电路里起作用，一个是激励的频率，一个是自激振荡频率。但当二者相差很小时，电路里只存在频率为激励频率的振荡：响应与激励同步。这种现象称为频率捕捉。
编辑本段 混沌
非线性电路可以出现的一种稳态响应波形，看似无规律可循，类似随机输出。它的频谱中有连续频谱成分。响应对起始条件极为敏感。在两组相差极微小的起始条件下，经过较长的时间以后两个响应的波形差别很大。这种稳态响应是一种混沌现象。在三阶（或三阶以上）自治电路和二阶（或二阶以上）非自治电路里可以出现混沌。低阶电路的混沌常作为理论研究对象。
范文五：非线性电路理论
非线性电路理论报告
蔡氏混沌电路分析
摘要
混沌是非线性系统中的常见现象。本文对产生混沌现象的最简单三阶自治电路-蔡氏电
路进行了研究，建立了数学模型，并根据建立的数学模型对其进行了仿真分析，仿真结果表明在一定的条件下该电路能够出现混沌双涡卷吸引子。
关键词:蔡氏电路;双涡卷混沌吸引子
1. 引言
混沌是自然界客观存在的一种运动形式，混沌系统具有对初值特别敏感的特性。混沌信 号具有随机信号的许多性质，然而混沌信号是确定性信号。由于混沌信号介于随机信号与一般确定性信号的特殊性而具有较高的应用价值，对 混沌的研究已经从单纯的物理和数学上的理论研究走向了各种应用研究。目前，混沌成为控制、测量、保密通信、雷达及信号处理等诸多领域的研究热点。在电路与系统领域，由于蔡氏电路的提出，对混沌理论及其应用 的研究也变得十分活跃。蔡氏混沌电路是一个物理结构及数学模型都相对简单的混沌系统， 然而它也是一个典型的混沌电路，对蔡氏电路的研究有助于理解混沌的演化过程及其了解混沌相关特性。由于混沌动力学系统的复杂性，绝大多数混沌动力学系统难以用已知的函数表示其通解，所以通过数值计算对混 沌行为的时空演化进行描述是研究混沌的一种 重要方法。MATLAB软件是以矩阵计算为基础的数值计算、模型仿真的优秀数学工具。借助MATLAB软件强大的数值计算及仿真能力，使得对许多复杂的混沌系统的研究变得相对容易和直观。
本文首先对蔡氏电路及 MATLAB仿真工具进行了介绍，然后应用MATL AB软件对蔡氏混沌电路进行了仿真研究。
2. 蔡氏电路仿真
Rn
L2
L1R0
C
图1 蔡氏对偶电路 图2 Rn的伏安特性曲线
蔡氏电路是一种物理结构和数学模型简单的混沌系统，该混沌系统也常被用来进行混沌理论及应用方面的研究。该电路使用三个储能元件和一个分段线性电阻，电路如图1所示。可以把电路分为线性部分和非线性部分。其中线性部分包括:电阻R0、两个电感L1和L2和电容C;非线性部分只有一个分段线性电阻Rn,其伏安特性如图2所示。流过L1的电流为i1，流过L2的电流为i2，C上的电压为Uc。对于图1，列出电路的状态方程如下
di1L1,R0(i2,i1),r(i1)dt
di2L2,R0(i1,i2)，Uc (1) dt
dUcC,,i2dt
x,i1z,Uc/R0令，，，将上述方程转化为标准的蔡氏方程，即为 y,i2
dx,,[y,f(x)]dt
dy,x,y，z (2) dt
dz,,,ydt
L2L2其中,,， ,,， 2L1CR0
r(x),f(x),mx，0.5(m,m)(x，1,x,1) 101
为了进行计算机仿真分析，我们令
L2L2,,,8,,,12.5， 2L1CR0
取，。 m,,0.2m,0.401
我们取初始值为(0.025，-0.022，0.8)，应用MATLAB进行仿真，蔡氏电路仿真结果
为
图3 Uc-i1-i2双涡卷混沌吸引子 图4 Uc-i1平面双涡卷混沌吸引子
图5 i2-i1平面双涡卷混沌吸引子 图6 i2-Uc平面双涡卷混沌吸引子
3. 结论
在三维蔡氏混沌系统吸引子的仿真中发现，对初值的选取时，很细微的差别就能导致吸引子的变化非常明显，从而证明了混沌现象对初值的敏感性.对迭代次数的要求，即步长的选取也是非常重要的，在混沌现象吸引子的产生里面都有一个迭代步长的问题。在对蔡氏电路进行仿真时，通常选取区间为:[1，100]，是充分考虑了仿真的计算时间与吸引子的效果. 借助MATLAB仿真功能，使我们可以更好地对混沌系统进行分析研究。
参考文献
[1] 刘崇新.非线性电路理论及应用[M].西安:西安交通大学出版社，2007 [2] 杨琨.蔡氏混沌电路的MATLAB仿真[J].电光系统，2005，1
[3] 王启志等. 基于蔡氏电路的MATLAB仿真[J].福建电脑，2008，6
