全国高考所有的数学公式

范文一：全国高考所有的数学公式

高中数学常用公式及结论

1 元素与集合的关系:x ∈A ?x ?C U A ,

2 集合{a 1, a 2, , a n }的子集个数共有2n 个；真子集有2n -1个；非空子集有2n -1个；非空的真子集有2n -2个.

3 二次函数的解析式的三种形式：

(1) 一般式f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0) ;

(2) 顶点式f (x ) =a (x -h ) 2+k (a ≠0) ; （当已知抛物线的顶点坐标(h , k ) 时，设为此式） (3) 零点式f (x ) =a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0) ；（当已知抛物线与x 轴的交点坐标为(x 1, 0), (x 2, 0) 时，

设为此式）

（4）切线式：f (x ) =a (x -x 0) +(kx +d ), (a ≠0) 。（当已知抛物线与直线y =kx +d 相切且切点的

横坐标为x 0时，设为此式）

4 真值表：同真且真，同假或假 5

6 ）

充要条件： (1)、p ?q ，则P 是q 的充分条件，反之，q 是p 的必要条件；

（2）、p ?q ，且q ≠> p ，则P 是q 的充分不必要条件； (3)、p ≠> p ，且q ?p ，则P 是q 的必要不充分条件；

4、p ≠> p ，且q ≠> p ，则P 是q 的既不充分又不必要条件。

7 函数单调性:

增函数：(1)、文字描述是：y 随x 的增大而增大。

（2）、数学符号表述是：设f （x ）在x ∈D 上有定义，若对任意的

f (x 1)

x 1, x 2∈D , 且x 1

，都有

成立，则就叫f （x ）在x ∈D 上是增函数。D 则就是f （x ）的递增区间。

减函数：(1)、文字描述是：y 随x 的增大而减小。

（2）、数学符号表述是：设f （x ）在x ∈D 上有定义，若对任意的

f (x 1) >f (x 2)

x 1, x 2∈D , 且x 1

，都有

成立，则就叫f （x ）在x ∈D 上是减函数。D 则就是f （x ）的递减区间。

单调性性质：(1)、增函数+增函数=增函数；（2）、减函数+减函数=减函数； (3)、增函数-减函数=增函数；(4)、减函数-增函数=减函数；

注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。

(1)设x 1, x 2∈[a , b ], x 1≠x 2那么 (x 1-x 2) [f (x 1) -f (x 2) ]>0?(x 1-x 2) [f (x 1) -f (x 2) ]<>

f (x 1) -f (x 2)

x 1-x 2f (x 1) -f (x 2)

x 1-x 2

>0?f (x ) 在[a , b ]上是增函数； <0?f (x="" )="" 在[a="" ,="" b="">

(2)设函数y =f (x ) 在某个区间内可导，如果f '(x ) >0，则f (x ) 为增函数；如果f '(x ) <0，则f (x="" )="" 为减函数.="" 8函数的奇偶性：（注：是奇偶函数的前提条件是：定义域必须关于原点对称）="">

定义：在前提条件下，若有f (-x ) =-f (x ) 或f (-x ) +f (x ) =0，则f （x ）就是奇函数。

性质：（1）、奇函数的图象关于原点对称；

（2）、奇函数在x >0和x <>

（3）、定义在R 上的奇函数，有f （0）=0 . 偶函数：

定义：在前提条件下，若有f (-x ) =f (x ) ，则f （x ）就是偶函数。性质：（1）、偶函数的图象关于y 轴对称；

（2）、偶函数在x >0和x <0上具有相反的单调区间；>

(1)、奇函数·偶函数=奇函数；（2）、奇函数·奇函数=偶函数；

(3)、偶奇函数·偶函数=偶函数； (4)、奇函数±奇函数=奇函数（也有例外得偶函数的） (5)、偶函数±偶函数=偶函数； (6)、奇函数±偶函数=非奇非偶函数

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称; 反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 9函数的周期性：定义：对函数f （x ），若存在T ≠0，使得f （x+T）=f（x ），则就叫f （x ）是周期函数，其中，T 是f （x ）

的一个周期。

周期函数几种常见的表述形式：

(1)、f （x+T）= - f（x ），此时周期为2T ；

（2）、 f （x+m）=f（x+n），此时周期为2m -n ；

1f (x )

(3)、f (x +m ) =-

10常见函数的图像：

，此时周期为2m 。

a +b 2

11 对于函数y =f (x ) (x ∈R ), f (x +a ) =f (b -x ) 恒成立, 则函数f (x ) 的对称轴是x =

函数y =f (x +a ) 与y =f (b -x )

的图象关于直线x =12 分数指数幂与根式的性质：

; 两个

b -a 2

对称.

(1)a n =

（2）a

-m n

a >0, m , n ∈N *，且n >1）.

（a >0, m , n ∈N ，且n >

1）.

（3）=a .

（4）当n =a ；当n =|a |=?

?a , a ≥0?-a , a <>

13 指数式与对数式的互化式: log a N =b ?a b =N (a >0, a ≠1, N >0) .

指数性质： (1)1、a

-p

mn m n

；（2）、a =1（a ≠0）； (3)、a =(a )

(4)、a ?a =a 指数函数：

r +s

(a >0, r , s ∈Q ) ； (5)、a

；

(1)、 y =a (a >1) 在定义域内是单调递增函数；

（2）、 y =a (0

(1)、 log a M +log a N =log a (M N ) ；（2）、 log a M -log a N =log a (3)、 log a b =m ?log a b ；(4)、 log a b =

M N

；

m n

n m

?log a b ； (5)、 log a 1=0

(6)、 log a a =1 ； (7)、 a 对数函数：

l o a g b

(1)、 y =log a x (a >1) 在定义域内是单调递增函数；

（2）、y =log a x (0a

0?a , x ∈

(0或, 1) a x ∈,

, +(∞1

(4)、log a x <0?a ∈(0,1)则x="" ∈(1,+∞)="" 或="" a="" ∈(1,+∞)="" 则x="" ∈(0,1)="" 14="" 对数的换底公式="" :log="" a="" n="">

对数恒等式：a

log m N log m a

(a >0, 且a ≠1, m >0, 且m ≠1, N >0).

log a N

=N (a >0, 且a ≠1, N >0).

推论 log a b =

n m

log a b (a >0, 且a ≠1, N >0).

15对数的四则运算法则:若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则

(1)log a (M N ) =log a M +log a N ; (2) log a (3)log a M

M N

=log a M -log a N ; =n m

log a N (n , m ∈R ) 。

=n log a M (n ∈R ) ; (4) log a m N

16 平均增长率的问题（负增长时p <>

如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有y =N (1+p ) . 17 等差数列：

通项公式：（1） a n =a 1+(n -1) d ，其中a 1为首项，d 为公差，n 为项数，a n 为末项。

（2）推广： a n =a k +(n -k ) d

（3）a n =S n -S n -1(n ≥2) （注：该公式对任意数列都适用）

前n 项和：（1）S n =

n (a 1+a n )

；其中a 1为首项，n 为项数，a n 为末项。

（2）S n =na 1+

n (n -1)

（3）S n =S n -1+a n (n ≥2) （注：该公式对任意数列都适用）（4）S n =a 1+a 2+ +a n （注：该公式对任意数列都适用）

常用性质：（1）、若m+n=p+q ，则有 a m +a n =a p +a q ；

注：若a m 是a n , a p 的等差中项，则有2a m =a n +a p ?n 、m 、p 成等差。（2）、若{a n }、{b n }为等差数列，则{a n ±b n }为等差数列。

（3）、{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，则S m , S 2m -S m , S 3m -S 2m 也成等差数列。（4）、a p =q , a q =p , 则a p +q =0 ；（5） 1+2+3+?+n=

等比数列：

n (n +1)

通项公式：（1） a n =a 1q n -1=

a 1q

?q (n ∈N ) ，其中a 1为首项，n 为项数，q 为公比。

n *

（2）推广：a n =a k ?q

n -k

（3）a n =S n -S n -1(n ≥2) （注：该公式对任意数列都适用）

前n 项和：（1）S n =S n -1+a n (n ≥2) （注：该公式对任意数列都适用）

（2）S n =a 1+a 2+ +a n （注：该公式对任意数列都适用）

na 1?

（3）S n =?a 1(1-q n )

?1-q ?

(q =1) (q ≠1)

常用性质：（1）、若m+n=p+q ，则有 a m ?a n =a p ?a q ；

注：若a m 是a n , a p 的等比中项，则有 a m =a n ?a p ?n 、m 、p 成等比。

（2）、若{a n }、{b n }为等比数列，则{a n ?b n }为等比数列。

18分期付款(按揭贷款) ：每次还款x =19三角不等式：

（1）若x ∈(0,(2) 若x ∈

(0,

) ，则sin x

ab (1+b )

(1+b ) -1

元(贷款a 元, n 次还清, 每期利率为b ).

) ，则1

(3) |sin x |+|cos x |≥1.

20 同角三角函数的基本关系式：sin θ+cos θ=1，tan θ=

sin θcos θ

，

21 正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限） 22 和角与差角公式

sin(α±β) =sin αcos β±cos αsin β; cos(α±β) =cos αcos β sin αsin β;

tan(α±β) =

tan α±tan β1 tan αtan β

a sin α+

b cos αα+?)

(辅助角?所在象限由点(a , b ) 的象限决定, tan ?=23 二倍角公式及降幂公式

sin 2α=sin αcos α=

b a

2tan α1+tan α

cos 2α=cos α-sin α=2cos α-1=1-2sin α=

1-tan α1+tan α1-cos 2αsin 2α

tan 2α=

2tan α1-tan α

. tan α=

sin 2α1+cos 2α

sin α=

1-cos 2α

, cos α=

1+cos 2α

24 三角函数的周期公式

函数y =sin(ωx +?) ，x ?R 及函数y =cos(ωx +?) ，x ?R(A,ω, ?为常数，且A ≠0) 的周期

T =

2π；函数y =tan(ωx +?) ，x ≠k π+

, k ∈Z (A,ω, ?为常数，且A ≠0) 的周期T =

|ω|

三角函数的图像：

25 正弦定理：

a sin A =

b sin B =

sin C

=2R （R 为?ABC 外接圆的半径）.

?a =2R sin A , b =2R sin B , c =2R sin C ?a :b :c =sin A :sin B :sin C

26余弦定理：

a 2

=b 2

+c 2

-2bc cos A ; b 2

=c 2

+a 2

-2ca cos B ; c 2

=a 2

+b 2

-2ab cos C .

27面积定理：

（1

）S =12ah a =

12bh b =12

ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 边上的高）.

（2）S =

1ab sin C =122

bc sin A =

ca sin B .

(3)S ?O AB =

r 2S ?

?内切圆=

+b +c

, r +b －c 斜边

a 直角?内切圆=

a 2

28三角形内角和定理：

在△ABC 中，有A +B +C =π?C =π-(A +B )

C π

A +B 2=

?2C =2π-2(A +B ) .

29实数与向量的积的运算律:设(1) 结合律：λ(μa λ、μ)=(λμ) a

为实数，那么：

(2)第一分配律：(λ+μ) a =λa ;

+μa

(3)第二分配律：λ(30a 与 a + b )=λ

;

a +λb . b 的数量积(或内积) ：a ·b =|a

||b |cos θ。 31平面向量的坐标运算：(1)设a =

(x y

1, y 1) , b =(x 2, 2) ，则a +b =(x 1+x 2, y 1+y 2) .

(2)设a = (x ，则

1, y 1) , b =(x 2, y 2) (3)设A B a - b = (x 1

-x 2, y 1-y 2) .

(x 1, y 1) ，(x 2, y 2) , 则AB =OB -OA =(x 2-x 1, y 2-y 1) .

(4)设a =(x , y ), λ∈

R ，则λa

=(λx , λy ) .

(5)设a = · (x , b =(x

1, y 1) 2, y 2) ，则a b =(x 1x 2+y 1y 2) . 32 两向量的夹角公式：

cos θ=a ?b

= |a |?|b |

=(x 1, y 1) , b =(x 2, y 2) ).

平面两点间的距离公式：

d =|AB |=

A , B

(A(x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) ).

|ω|

34 向量的平行与垂直：设a =(x 1, y 1) , b =(x 2, y 2) ，且b ≠0，则：

||a b ?b =λa ?x 1y 2-x 2y 1=0. （交叉相乘差为零）

a ⊥b (a ≠0) ? a ·b =0?x 1x 2+y 1y 2=0. （对应相乘和为零）

P (x , y ) 35 线段的定比分公式：设P 1(x 1, y 1) ，是线段P 1P 2的分点, λ是实数，且P 1P =λPP 2，P 2(x 2, y 2) ，

x 1+λx 2? x =? O P +λO P 2?1+λ1

则? ?O P =

1+λ?y =y 1+λy 2

?1+λ?

?OP =tOP 1+(1-t ) OP 2（t =

11+λ

）.

36三角形的重心坐标公式： △ABC 三个顶点的坐标分别为A(x1,y 1) 、B(x2,y 2) 、C(x3,y 3) , 则△ABC

的重心的坐标是G (

x 1+x 2+x 3

y 1+y 2+y 3

) .

37三角形五“心”向量形式的充要条件：

设O 为?ABC 所在平面上一点，角A , B , C 所对边长分别为a , b , c ，则

（1）O 为?ABC （2）O 为?ABC （3）O 为?ABC （4）O 为?ABC （5）O 为?ABC 38常用不等式：

2 2 2

的外心?O A =O B =O C .

的重心?OA +OB +OC =0.

的垂心?OA ?OB =OB ?OC =OC ?OA .

的内心?aOA +bOB +cOC =0.

的∠A 的旁心?aOA =bOB +cOC .

（1）a , b ∈R ?a +b ≥2ab (当且仅当a ＝b 时取“=”号) ．（2）a , b ∈

R ?

a +b 2

≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号) ．

（3）a +b +c ≥3abc (a >0, b >0, c >0). （4）a -b ≤a +b ≤a +b . （5

）

2ab a +b

≤

a +b 2

≤

当且仅当a ＝b 时取“=”号) 。

39极值定理:已知x , y 都是正数，则有

（1）若积xy 是定值p ，则当x =y 时和x +y 有最小值2p ；（2）若和x +y 是定值s ，则当x =y 时积xy 有最大值

（3）已知a , b , x , y ∈R ，若ax +by =1则有

s .

=(ax +by )(

) =a +b +a x +b y

by x

ax y

≥a +b +=。

（4）已知a , b , x , y ∈R ，若

x +y =(x +y )(

a x +b y

=1则有

ay x +bx y

≥a +b +=

) =a +b +

40 一元二次不等式ax +bx +c >0(或<0) (a="" ≠0,="" ?="b" -4ac="">0) ，如果a 与ax +bx +c 同号，则

其解集在两根之外；如果a 与ax +bx +c 异号，则其解集在两根之间. 简言之：同号两根之外，异号两根之间. 即：

x 1<0(x>x 2?(x -x 1)(x -x 2) >0(x 1

41 含有绝对值的不等式：当a> 0时，有

x >a ?x >a ?x >a 或x <-a>

42 斜率公式：

k =

y 2-y 1x 2-x 1

（P 1(x 1, y 1) 、P 2(x 2, y 2) ）.

43 直线的五种方程：

（1）点斜式 y -y 1=k (x -x 1) (直线l 过点P 1(x 1, y 1) ，且斜率为k ) ．

（2）斜截式 y =kx +b (b为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式

y -y 1y 2-y 1x

x -x 1x 2-x 1

(y 1≠y 2)(P 1(x 1, y 1) 、P 2(x 2, y 2) (x 1≠x 2, y 1≠y 2)).

两点式的推广：(x 2-x 1)(y -y 1) -(y 2-y 1)(x -x 1) =0（无任何限制条件！）

=1(a 、b 分别为直线的横、纵截距，a ≠0、b ≠0)

a b

（5）一般式 Ax +By +C =0(其中A 、B 不同时为0).

直线Ax +By +C =0的法向量：l '=(A , B ) ，方向向量：l =(B , -A )

(4)截距式

44 夹角公式：

(1)tan α=|(2)tan α=|

k 2-k 11+k 2k 1

|. (l 1:y =k 1x +b 1，l 2:y =k 2x +b 2, k 1k 2≠-1)

|.(l 1:A 1x +B 1y +C 1=0, l 2:A 2x +B 2y +C 2=0, A 1A 2+B 1B 2≠0).

A 1B 2-A 2B 1A 1A 2+B 1B 2

直线l 1⊥l 2时，直线l 1与l 2的夹角是

45 l 1到l 2的角公式：

(1)tan α=(2)tan α=

k 2-k 11+k 2k 1

.(l 1:y =k 1x +b 1，l 2:y =k 2x +b 2, k 1k 2≠-1)

.(l 1:A 1x +B 1y +C 1=0, l 2:A 2x +B 2y +C 2=0, A 1A 2+B 1B 2≠0).

A 1B 2-A 2B 1A 1A 2+B 1B 2

直线l 1⊥l 2时，直线l 1到l 2的角是

46 点到直线的距离

：d =47 圆的四种方程：

(点P (x 0, y 0) , 直线l ：Ax +By +C =0).

（1）圆的标准方程 (x -a ) +(y -b ) =r .

（2）圆的一般方程 x +y +Dx +Ey +F =0(D +E -4F ＞0).

?x =a +r cos θ

（3）圆的参数方程 ?.

y =b +r sin θ?

（4）圆的直径式方程 (x -x 1)(x -x 2) +(y -y 1)(y -y 2) =0(圆的直径的端点是A (x 1, y 1) 、B (x 2, y 2) ). 48点与圆的位置关系：点P (x 0, y 0) 与圆(x -a ) +(y -b ) =r 的位置关系有三种：

若d =

d >r ?点P 在圆外;

d =r ?点P 在圆上; d

49直线与圆的位置关系：直线Ax +By +C =0与圆(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2的位置关系有三种

(d =

Aa +Bb +C A +B

d >r ?相离??<0; d="r" ?相切??="0;" d="">0.

50 两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，O 1O 2=d ，则：

d >r 1+r 2?外离?4条公切线;

d =r 1+r 2?外切?3条公切线;

r 1-r 2

r 2-r 1+r0

51 椭圆

x a

y b

?x =a cos θc

. 离心率e ===1(a >

b >0) 的参数方程是?

a ?y =b sin θ

准线到中心的距离为

，焦点到对应准线的距离(焦准距) p =

。

过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为：2 .

52 椭圆

x a

y b

=1(a >b >0) 焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积: a

PF 1=e (x +

) =a +ex ，PF 2=e (

2222

-x ) =a -ex ；S ?F 1P F 2=c |y P |=b tan

x 0a a x 0

2222

∠F 1P F 2

。

53椭圆的的内外部: （1）点P (x 0, y 0) 在椭圆（2）点P (x 0, y 0) 在椭圆54 椭圆的切线方程:

(1) 椭圆

x a

x a x a

y b y b

=1(a >b >0) 的内部?=1(a >b >0) 的外部?

y 0b b y 0

<1.>1.

+x a

y b +y b

=1(a >b >0) 上一点P (x 0, y 0) 处的切线方程是

x 0x a

y 0y b +

=1. =1.

（2）过椭圆（3）椭圆55 双曲线

x a

y b

=1外一点P (x 0, y 0) 所引两条切线的切点弦方程是

x 0x a

y 0y b

x a -

=1(a >b >0) 与直线Ax +By +C =0相切的条件是A a +B b =c .

c a =

=1(a >0, b >0) 的离心率e =

，焦点到对应

准线的距离(焦准距) p =。过焦点且垂直于实轴的弦叫通经，其长度为：2.

c a

焦半径公式PF 1=|e (x +

) |=|a +ex |，PF 2=|e (

两焦半径与焦距构成三角形的面积S ?F P F =b cot

-x ) |=|a -ex |，

c ∠F 1P F 2

。

56 双曲线的方程与渐近线方程的关系:

(1）若双曲线方程为

x a

b a

y b

=1?渐近线方程：x a ±y b

x a

y b

=0?y =±x a

b a

x .

(2)若渐近线方程为y =±

(3)若双曲线与

x a

x ?=0?双曲线可设为-

y b

=λ.

y b

=1有公共渐近线，可设为

x a

y b

=λ

（λ>0，焦点在x 轴上，λ<0，焦点在y 轴上）.="" (4)="" 焦点到渐近线的距离总是b="" 。="">

(1)双曲线

x a

-x a

2222

y b

=1(a >0, b >0) 上一点P (x 0, y 0) 处的切线方程是y b

2222

x 0x a

y 0y b

=1. y 0y b

(2)过双曲线（3）双曲线

-y b

=1外一点P (x 0, y 0) 所引两条切线的切点弦方程是

x 0x a

=1.

x a

-=1与直线Ax +By +C =0相切的条件是A a -B b =c .

58抛物线y =2px 的焦半径公式:

抛物线y 2=2px (p >0) 焦半径C F =x 0+过焦点弦长CD =x 1+

p 2

+x 2+

p 2

=x 1+x 2+p .

59二次函数y =ax +bx +c =a (x +

（1）顶点坐标为(-

b 2a ,

b 2a

) +

4ac -b 4a

(a ≠0) 的图象是抛物线：

4ac -b 4a

（2）焦点的坐标为(-) ；.

b 2a

4ac -b +1

) ；

（3）准线方程是y =

4ac -b -1

60 直线与圆锥曲线相交的弦长公式

AB =

或AB =

=|x 1-x 2|=|y 1-y 2|

?y =kx +b ?F (x , y ) =0

（弦端点A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) ，由方程?

消去y 得到ax +bx +c =0

?>0, α为直线A B 的倾斜角，k

为直线的斜率，|x 1-x 2|=

61证明直线与平面的平行的思考途径:

（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.

62证明直线与平面垂直的思考途径:

（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面。 63证明平面与平面的垂直的思考途径：

（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直；

(3) 转化为两平面的法向量平行。

64 向量的直角坐标运算：

设a ＝(a 1, a 2, a 3) ，b ＝(b 1, b 2, b 3) 则：

(1) a ＋b ＝(a 1+b 1, a 2+b 2, a 3+b 3) ；

(2) a －b ＝(a 1-b 1, a 2-b 2, a 3-b 3) ；

(3)λa ＝(λa 1, λa 2, λa 3) (λ?R) ；

(4) a ·b ＝a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3；

65 夹角公式：

设a ＝(a 1, a 2, a 3) ，b ＝(b 1, b 2, b

3) ，则cos =66 异面直线间的距离：

|C D ?n |

(l 1, l 2是两异面直线，其公垂向量为n ，C 、D 是l 1, l 2上任一点，d 为l 1, l 2间的距离). d =

|n |

|A B ?n |

d =（n 为平面α的法向量，A ∈α，A B 是α的一条斜线段）. |n |

67点B 到平面α的距离：

68球的半径是R ，则其体积V =πR , 其表面积S =4πR ．

69球的组合体：

(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.

(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体

的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3)球与正四面体的组合体: 棱长为a

(

3的

70 分类计数原理（加法原理）：N =m 1+m 2+ +m n .

(

的).

分步计数原理（乘法原理）：N =m 1?m 2? ?m n . 71排列数公式：A n =n (n -1) (n -m +1) =72 组合数公式：C =

n m

n ！

(n -m ) ！

.(n ，m ?N ，且m ≤n ) ．规定0! =1.

n ！

A n

m m

A m

n (n -1) (n -m +1)

1?2? ?m

m ！?(n -m ) ！

m -1

(n ?N ，m ∈N ，且m ≤n ).

组合数的两个性质:(1)C n =C n

n -m

;(2) C n +C n

n -1

=C n +1. 规定C n =1.

n -r

73 二项式定理 (a +b ) =C n a +C n a

二项展开式的通项公式T r +1=C n a

b +C n a

2n -2

b + +C n a b + +C n b ;

r n n

r n -r

b (r =0，1，2 ，n ) .

f (x ) =(ax +b ) =a 0+a 1x +a 2x + +a n x 的展开式的系数关系：

a 0+a 1+a 2+ +a n =f (1)； a 0-a 1+a 2+ +(-1) a n =f (-1) ；a 0=f (0)。

74 互斥事件A ，B 分别发生的概率的和：P(A＋B)=P(A)＋P(B)．

n 个互斥事件分别发生的概率的和：P(A1＋A 2＋?＋A n )=P(A1) ＋P(A2) ＋?＋P(An ) ． 75 独立事件A ，B 同时发生的概率：P(A·B)= P(A)·P(B).

n 个独立事件同时发生的概率：P(A1· A2·?· An )=P(A1) · P(A2) ·?· P(An ) ． 76 n次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率：P n (k ) =C n P (1-P ) 77 数学期望：E ξ=x 1P 1+x 2P 2+ +x n P n +

n -k

数学期望的性质

（1）E (a ξ+b ) =aE (ξ) +b . （2）若ξ～B (n , p ) , 则E ξ=np . (3) 若ξ服从几何分布, 且P (ξ=k ) =g (k , p ) =q k -1p ，则E ξ=78方差：D ξ=(x 1-E ξ)?p 1+(x 2-E ξ

标准差：σξ=D ξ. 方差的性质：

(1)D (a ξ+b )=a 2D ξ；

(2）若ξ～B (n , p ) ，则D ξ=np (1-p ) .

(3) 若ξ服从几何分布, 且P (ξ=k ) =g (k , p ) =q

k -1

)

?p 2+ +(x n -E ξ

)

?p n +

p ，则D ξ=

q p

方差与期望的关系：D ξ=E ξ-(E ξ

79正态分布密度函数：f (

x )=

, x ∈(-∞, +∞)，

(x -μ)

式中的实数μ，σ（σ>0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差.

?x -μ?2

对于N (μ, σ) ，取值小于x 的概率：F (x )=Φ ?.

?σ?

P (x 1

80 f (x ) 在x 0处的导数（或变化率）：

f '(x 0) =y '

x =x 0

=lim

?y ?x

?x →0

=lim

f (x 0+?x ) -f (x 0) ?x

s (t +?t ) -s (t )

?x →0

=lim . ?t →0?t ?t ?v v (t +?t ) -v (t )

=lim 瞬时加速度：a =v '(t ) =lim .

?t →0?t ?t →0?t

81 函数y =f (x ) 在点x 0处的导数的几何意义：

?t →0

瞬时速度：υ=s '(t ) =lim

函数y =f (x ) 在点x 0处的导数是曲线y =f (x ) 在P (x 0, f (x 0)) 处的切线的斜率f '(x 0) ，相应的切线方程是y -y 0=f '(x 0)(x -x 0) .

82 几种常见函数的导数：

n -1

(1) C '=0（C 为常数）.(2) (x ) '=nx (n ∈Q ) .(3) (sinx ) '=cos x .

(4) (cosx ) '=-sin x . (5) (lnx ) '=

x x x x

(6) (e ) '=e ; (a ) '=a ln a . 83 导数的运算法则：

；(loga x ) '=

log a e .

（1）(u ±v ) =u ±v . （2）(uv ) =u v +uv . （3）() =

' ' ' ' ' '

u v -uv v

' '

(v ≠0) .

84 判别f (x 0) 是极大（小）值的方法：

当函数f (x ) 在点x 0处连续时，

（1）如果在x 0附近的左侧f '(x ) >0，右侧f '(x ) <0，则f (x="" 0)="" 是极大值；="" （2）如果在x="" 0附近的左侧f="" '(x="" )=""><0，右侧f '(x="" )="">0，则f (x 0) 是极小值. 85 复数的相等：a +bi =c +di ?a =c , b =d . （a , b , c , d ∈R ）

86 复数z =a +bi 的模（或绝对值）|z |=|a +

bi |.

87 复平面上的两点间的距离公式：

d =|z 1-z 2|=

（z 1=x 1+y 1i ，z 2=x 2+y 2i ）.

88实系数一元二次方程的解

实系数一元二次方程ax +bx +c =0， ①若?=b -4ac >0,

则x 1,2=

-b ±2a b

;

②若?=b -4ac =0, 则x 1=x 2=-

;

③若?=b -4ac <0，它在实数集r>

内有且仅有两个共轭复数根

x =

b -4ac <0)>

高中数学公式提升

一、集合、简易逻辑、函数

1．研究集合必须注意集合元素的特征即三性(确定, 互异, 无序); 已知集合A={x,xy,lgxy},集合

B={0,｜x ｜,y},且A=B,则x+y=

2．研究集合, 首先必须弄清代表元素, 才能理解集合的意义。已知集合M={y｜y=x2 ,x ?R},N={y｜

y=x+1,x?R},求M ∩N ；与集合M={（x,y ）｜y=x2 ,x ?R},N={(x,y)｜y=x+1,x?R}求M ∩N 的区别。 3．集合 A、B ，A ?B =?时，你是否注意到“极端”情况：A =?或B =?；求集合的子集A ?B

时是否忘记?. 例如：(a -2)x +2(a -2)x -1<0对一切x ∈r="" 恒成立，求a="" 的取植范围，你讨论了a="">

4．对于含有n 个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2，2-1，

2-1， 2-2. 如满足条件{1}?M ?{1, 2, 3, 4}的集合M 共有多少个

n n

5．解集合问题的基本工具是韦恩图; 某文艺小组共有10名成员, 每人至少会唱歌和跳舞中的一项, 其

中7人会唱歌跳舞5人会, 现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人，表演一个唱歌和一个跳舞节目, 问有多少种不同的选法？ 6．两集合之间的关系。M ={x x =2k +1, k ∈Z },N ={x x =4k ±1, k ∈Z }

7． (CU A) ∩( CU B) = CU (A∪B) (CU A) ∪( CU B) = CU (A∩B) ；A B =B ?B ?A ； 8、可以判断真假的语句叫做命题. 逻辑连接词有“或”、“且”和“非”.

p 、q 形式的复合命题的真值表: （真且真，同假或假）

9、

原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.

10、你对映射的概念了解了吗？映射f ：A →B 中，A 中元素的任意性和B 中与它对应元素的唯一性，哪

几种对应能够成映射？ 11、函数的几个重要性质：

①如果函数y =f (x )对于一切x ∈R ，都有f (a +x )=f (a -x )或f （2a-x ）=f（x ），那么函数

y =f (x )的图象关于直线x =a 对称.

②函数y =f (x )与函数y =f (-x )的图象关于直线x =0对称；函数y =f (x )与函数y =-f (x )的图象关于直线y =0对称；函数y =f (x )与函数y =-f (-x )的图象关于坐标原点对称.

③若奇函数y =f (x )在区间(0, +∞)上是递增函数，则y =f (x )在区间(-∞, 0)上也是递增函数． ④若偶函数y =f (x )在区间(0, +∞)上是递增函数，则y =f (x )在区间(-∞, 0)上是递减函数． ⑤函数y =f (x +a )(a >0) 的图象是把函数y =f (x )的图象沿x 轴向左平移a 个单位得到的；函数

y =f (x +a )((a <0) 的图象是把函数y="f" (x="" )的图象沿x="">

a 个单位得到的；

函数y =f (x )+a(a >0) 的图象是把函数y =f (x )助图象沿y 轴向上平移a 个单位得到的; 函数y =f (x )+a(a <0) 的图象是把函数y="f" (x="" )助图象沿y="" 轴向下平移a="">

12、求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，你标注了该函数的定义域了吗？ 13、求函数的定义域的常见类型记住了吗？函数y=

x (4-x ) lg(x -3)

的定义域是；

复合函数的定义域弄清了吗？函数f (x ) 的定义域是[0,1],求f (log0. 5x ) 的定义域. 函数f (x ) 的定义域

是[a , b ],b >-a >0, 求函数F (x ) =f (x ) +f (-x ) 的定义域

14、一个函数的奇偶性时，你注意到函数的定义域是否关于原点对称这个必要非充分条件了吗？在公共

定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数; 两个偶函数的乘积是偶函数; 一个奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数;

15、据定义证明函数的单调性时，规范格式是什么？(取值, 作差, 判正负.) 可别忘了导数也是判定函数

单调性的一种重要方法。 16、函数y =x +

a x

(a >0)的单调区间吗？（该函数在-∞, -a 和

(]a , +∞上单调递增；在-

)[

a , 0

)

和0, a 上单调递减）这可是一个应用广泛的函数！

17、函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗？（真数大于零，底数大于零且不等于1）字母底数还需讨论呀. 18、换底公式及它的变形，你掌握了吗？（log 19、你还记得对数恒等式吗？（a

log a b

(]

b =

log log

c c

b a

, log

=log

b ）

=b ）

20、“实系数一元二次方程ax +bx +c =0有实数解”转化为“?=b -4ac ≥0”，你是否注意到必

须a ≠0；当a=0时，“方程有解”不能转化为?=b -4ac ≥0．若原题中没有指出是“二次”方

程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？

二、三角、不等式

21、三角公式记住了吗？两角和与差的公式________________；二倍角公式:________________；解题

时本着“三看”的基本原则来进行:“看角, 看函数, 看特征”, 基本的技巧有:巧变角, 公式变形使用,

化切割为弦, 用倍角公式将高次降次, 22、在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗？正切函数在整个定义域内是否为单

调函数？你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗？ 23、在三角中，你知道1等于什么吗？（1=sin

ππ

=tan x ?cot x =tan

4=sin

x +cos

x =sec

x -tan

=cos 0= 这些统称为1的代换) 常数 “1”的种种代换有着广

泛的应用．（还有同角关系公式：商的关系，倒数关系，平方关系；

诱导公试：奇变偶不变，符号看象限）

24、在三角的恒等变形中，要特别注意角的各种变换．（如β=(α+β) -α, β=(α-β) +α,

α+β

β??α??

= α-?- -β?等）

2??2??

25、你还记得三角化简题的要求是什么吗？项数最少、函数种类最少、分母不含三角函数、且能求出值

的式子，一定要算出值来）

26、你还记得三角化简的通性通法吗？（切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角. 异角化同

角，异名化同名，高次化低次）；你还记得降幂公式吗？cos x=(1+cos2x)/2;sinx=(1-cos2x)/2 27、你还记得某些特殊角的三角函数值吗？

（sin 15?=cos 75?=

6-4

, sin 75?=cos 15?=

6+4

, sin 18?=12lr )

5-14

）

28、你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？(l =r , S 扇形=29、辅助角公式：a sin x +b cos x =

角的值由tan θ=

b a

b 的符号确定，θa +b sin (x +θ)(其中θ角所在的象限由a,

确定) 在求最值、化简时起着重要作用.

30、三角函数（正弦、余弦、正切）图象的草图能迅速画出吗？能写出他们的单调区、对称轴，取最值

时的x 值的集合吗？（别忘了k ∈Z ）

三角函数性质要记牢。函数y=A sin(ω?x +?) +k 的图象及性质：

振幅|A|，周期T=

2π

, 若x=x0为此函数的对称轴，则x 0是使y 取到最值的点，反之亦然，使y 取到

最值的x 的集合为，当ω>0, A >0时函数的增区间为，减区间为；当ω<>

π3π

, 2π 求出x 与y ，依点(x , y )作图五点作图法：令ωx +?依次为0, π,

31、三角函数图像变换还记得吗？

→

平移公（1）如果点 P （x ，y ）按向量a =(h , k ) 平移至P ′（x ′，y ′），则

??x =x +h ,

??y =y +k .

（2）曲线f （x ，y ）=0沿向量a =(h , k )平移后的方程为f （x-h ，y-k ）=0

32、有关斜三角形的几个结论：(1) 正弦定理: (2) 余弦定理: (3)面积公式

33、在用三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时，你是否注意到它们各自的取值范围

及意义？

π?π?

①异面直线所成的角、直线与平面所成的角、向量的夹角的取值范围依次是 0, ?, [0, ],[0, π].

→

②直线的倾斜角、l 1到l 2的角、l 1与l 2的夹角的取值范围依次是[0, π), [0, π), (0, 34、不等式的解集的规范书写格式是什么？（一般要写成集合的表达式） 35、分式不等式

f (x )g (x )

]．

>a (a ≠0)的一般解题思路是什么？（移项通分，分子分母分解因式，x 的系数变

为正值，奇穿偶回）

36、含有两个绝对值的不等式如何去绝对值？(一般是根据定义分类讨论)

?a +b ?

37、利用重要不等式a +b ≥2ab 以及变式ab ≤ 你是否注意到a ，b ∈R +?等求函数的最值时，

?2?

（或a ，b 非负），且“等号成立”时的条件，积ab 或和a ＋b 其中之一应是定值？(一正二定三相等) 38、

a +b 2

≥

a +b 2

≥ab ≥

2ab a +b

取等号）； a、b 、c ∈R ， , (a , b ∈R ) (当且仅当a =b =c 时，

（当且仅当a =b =c 时，取等号）；

39、在解含有参数的不等式时，怎样进行讨论？（特别是指数和对数的底01）讨论完之后，

要写出：综上所述，原不等式的解集是??．

40、解含参数的不等式的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．” 41、对于不等式恒成立问题，常用的处理方式？（转化为最值问题）三、数列

42、等差数列中的重要性质：（1）若m +n =p +q ，则a m +a n =a p +a q ；（2）

+b +c

≥ab +bc +ca

数列{a 2n -1}, {a2n }, {kan +b }仍成等差数列

；S n , S 2n -S n , S 3n -S 2n 仍成等差数列

32d

（3）若三数成等差数列，则可设为a-d 、a 、a+d；若为四数则可设为a-、a-

、a+

；

（4）在等差数列中, 求S n 的最大(小) 值, 其思路是找出某一项, 使这项及它前面的项皆取正(负) 值或0, 而它后面各项皆取负(正) 值, 则从第一项起到该项的各项的和为最大(小). 即:当a 1 >0,d<0,解不等式组 an="" ≥0="" an+1="" ≤0="" 可得s="" n="" 达最大值时的n="" 的值;="" 当a="" 1=""><0,d>0,解不等式组 an ≤0 an+1 ≥0 可得S n 达最小值时的n 的值; （5）．若a n ,b n 是等差数列,S n ,T n 分别为a n ,b n 的前n 项和, 则

a m b m

=S 2m -1T 2m -1

。. （6）. 若{a n }是等差数列，则{a a }是等比数列，若{a n }是等比数列且a n

，则{log

a n

}

是等差数列.

43、等比数列中的重要性质：（1）若m +n =p +q ，则a m ?a n =a p ?a q ；（2）S k ，S 2k -S k ，S 3k -S 2k 成等比数列

44、你是否注意到在应用等比数列求前n 项和时，需要分类讨论．（q =1时，S n =na 1；q ≠1时，

S n =

a 1(1-q ) 1-q

m n

）

45、等比数列的一个求和公式：设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比为q , 则

S m +n =S m +q S n ．

46、等差数列的一个性质：设S n 是数列{a n }的前n 项和，{a n }为等差数列的充要条件是

S n =an

+bn （a, b为常数）其公差是2a.

47、你知道怎样的数列求和时要用“错位相减”法吗？（若c n =a n b n ，其中{a n }是等差数列，{b n }是等

比数列，求{c n }的前n 项的和）

48、用a n =S n -S n -1求数列的通项公式时，你注意到a 1=S 1了吗？ 49、你还记得裂项求和吗？（如四、排列组合、二项式定理

1n (n +1)

1n +1

.）

50、解排列组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合．

51、解排列组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；不邻问题插空法；多排问题单排法；定位问题优先法；

多元问题分类法；有序分配问题法；选取问题先排后排法；至多至少问题间接法，还记得什么时候用隔板法？

?C n 52、排列数公式是：组合数公式是：排列数与组合数的关系是：P n =m ！

组合数性质：C =C

n n -m n

C +C

r +1

m n m -1n

m n +1

∑C n =2n

r =0

C r +C r +1+C r +2+ +C n =C n +1

二项式定理： (a +b ) =C n a +C n a 二项展开式的通项公式：T r +1=C n a

n 0n 1n -1

b +C n a

2n -2

b + +C n a

2r n -r

b + +C n b

r n n

n -r

b (r =0，1，2 ，n )

五、立体几何

53、有关平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：线//线?线//面?面//面，线⊥线?线⊥面?

面⊥面，垂直常用向量来证。

54、作出二面角的平面角主要方法是什么？（定义法、三垂线法）三垂线法：一定平面，二作垂线，三

作斜线，射影可见.

55、二面角的求法主要有：解直角三角形、余弦定理、射影面积法、法向量 56、求点到面的距离的常规方法是什么？（直接法、等体积变换法、法向量法） 57、你记住三垂线定理及其逆定理了吗？

58、有关球面上两点的球面距离的求法主要是找球心角，常常与经度及纬度联系在一起，你还记得经度

及纬度的含义吗？(经度是面面角；纬度是线面角)

59、你还记得简单多面体的欧拉公式吗？(V+F-E=2，其中V 为顶点数，E 是棱数，F 为面数) ，棱的两种

算法，你还记得吗？(①多面体每面为n 边形，则E=

nF 2

；②多面体每个顶点出发有m 条棱，则E=

mV 2

)

六、解析几何

60、设直线方程时，一般可设直线的斜率为k ，你是否注意到直线垂直于x 轴时，斜率k 不存在的情况？

（例如：一条直线经过点 -3, -

3?22

且被圆x +y =25截得的弦长为8，求此弦所在直线的方程。?，2?

该题就要注意，不要漏掉x+3=0这一解. ）

61、定比分点的坐标公式是什么？（起点，中点，分点以及λ值可要搞清）

线段的定比分点坐标公式

→

设P （x ，y ），P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），且P 1P =λPP 2 ，则

x 1+λx 2x 1+x 2??x =x =????1+λ2

中点坐标公式? ?

?y =y 1+λy 2?y =y 1+y 2

??1+λ2??

62、若A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) ，C (x 3, y 3) ，则△ABC 的重心G 的坐标是

?x 1+x 2+x 3

y 1+y 2+y 3?

?在利

用定比分点解题时，你注意到λ≠-1了吗？

63、在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中一般提到的

两条直线可以理解为它们不重合.

64、直线方程的几种形式：点斜式、斜截式、两点式、截矩式、一般式．以及各种形式的局限性. （如点

斜式不适用于斜率不存在的直线）

65、对不重合的两条直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0，l 2:A 2x +B 2y +C 2=0，有：

?A 1B 2=A 2B 1

l 1//l 2??； l 1⊥l 2?A 1A 2+B 1B 2=0．

?A 1C 2≠A 2C 1

66、直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0.

67、直线在两坐标轴上的截距相等，直线方程可以理解为

x a

y b

=1，但不要忘记当 a=0时，直线y=kx

在两条坐标轴上的截距都是0，也是截距相等．

68、两直线Ax +By +C 1=0和Ax +By +C 2=0的距离公式d=——————————

69、直线的方向向量还记得吗？直线的方向向量与直线的斜率有何关系？当直线L 的方向向量为m =（x 0，y 0）时，直线斜率k=———————；当直线斜率为k 时，直线的方向向量m =————— 70、到角公式及夹角公式———————，何时用？ 71、处理直线与圆的位置关系有两种方法：（1）点到直线的距离；（2）直线方程与圆的方程联立，判别

式. 一般来说，前者更简捷．

72、处理圆与圆的位置关系，可用两圆的圆心距与半径之间的关系.

73、在圆中，注意利用半径、半弦长、及弦心距组成的直角三角形并且要更多联想到圆的几何性质. 74、在利用圆锥曲线统一定义解题时，你是否注意到定义中的定比的分子分母的顺序？两个定义常常结

伴而用，有时对我们解题有很大的帮助，有关过焦点弦问题用第二定义可能更为方便。（焦半径公式：椭圆：|PF1|=———— ；|PF2|=———— ；双曲线：|PF1|=———— ；|PF2|=———— （其中F 1为左焦点F 2为右焦

点）；抛物线：|PF|=|x0|+

p 2

）

75、在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零？判别式

（求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在?>0下进行）. ?≥0的限制．

76、椭圆中，a ，b ，c 的关系为————；离心率e=————；准线方程为————；焦点到相应准线距离为———— 双

曲线中，a ，b ，c 的关系为————；离心率e=————；准线方程为————；焦点到相应准线距离为———— 77、通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦.

78、你知道吗？解析几何中解题关键就是把题目中的几何条件代数化，特别是一些很不起眼的条件，有

时起着关键的作用：如：点在曲线上、相交、共线、以某线段为直径的圆经过某点、夹角、垂直、平行、中点、角平分线、中点弦问题等。圆和椭圆参数方程不要忘，有时在解决问题时很方便。数形结合是解决解几问题的重要思想方法，要记得画图分析哟！

79、你注意到了吗？求轨迹与求轨迹方程有区别的。求轨迹方程可别忘了寻求范围呀!

80、在解决有关线性规划应用问题时，有以下几个步骤：先找约束条件，作出可行域，明确目标函数，

其中关键就是要搞清目标函数的几何意义，找可行域时要注意把直线方程中的y 的系数变为正值。如：求2<><><><3求a+b的取值范围，但也可以不用线性规划。>

81、两向量平行或共线的条件，它们两种形式表示，你还记得吗？注意a =λb 是向量平行的充分不必要

条件。(定义及坐标表示) 82、向量可以解决有关夹角、距离、平行和垂直等问题，要记住以下公式：|a |=a ·a ，

cos θ=

x 1

x 1x 2+y 1y 22+y 1

x 22+y 2

83、利用向量平行或垂直来解决解析几何中的平行和垂直问题可以不用讨论斜率不存在的情况，要注意

a ?b <0是向量a 和向量b="">

84、向量的运算要和实数运算有区别：如两边不能约去一个向量，向量的乘法不满足结合律，即

a (b ?c ) ≠(a ?b ) c ，切记两向量不能相除。

85、你还记得向量基本定理的几何意义吗？它的实质就是平面内的任何向量都可以用平面内任意不共线

的两个向量线性表示，它的系数的含义与求法你清楚吗？

86、一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，这是题目中的天然条件，要注意运用，对于一个向

量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量。 87、向量的直角坐标运算

设a =(a 1, a 2, a 3), b =(b 1, b 2, b 3), 则a +b =(a 1+b 1, a 2+b 2, a 3+b 3)

→

→→→→

a -b =(a 1-b 1, a 2-b 2, a 3-b 3) λa =λa 1, λa 2, λa 3(λ∈R )

→→

()

→

a ?b =a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3 a =

→→

a ?a =

a 1+a 2+a 3

222

cos =

→

a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3a +a +a

→

b +b +b

2122

a //b ?a 1=λb 1, a 2=λb 2, a 3=λb 3, (λ∈R ), a ⊥b ?a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0

→

设A=(x 1, y 1, z 1), B=(x 2, y 2, z 2),

则AB =OB -OA =(x 2, y 2, z 2)- (x 1, y 1, z 1)=(x 2-x 1, y 2-y 1, z 2-z 1)

→

AB =AB ?AB +

(x 2-x 1)+(y 2-y 1)+(z 2-z 1)

八、导数

88、导数的几何意义即曲线在该点处的切线的斜率，学会定义的多种变形。 89、几个重要函数的导数：①C =0, （C 为常数）②(x n )=nx n -1(n ∈Q )

导数的四运算法则(μ±υ)=μ±υ

90、利用导数可以证明或判断函数的单调性，注意当f ’(x)≥0或f ’(x)≤0，带上等号。

91、f '(x0)=0是函数f(x)在x 0处取得极值的非充分非必要条件，f(x)在x 0处取得极值的充分要条件是

什么？

92、利用导数求最值的步骤：（1）求导数f

(x )（2）求方程

(x )=0的根x 1, x 2, , x n

（3）计算极值及端点函数值的大小

（4）根据上述值的大小, 确定最大值与最小值.

93、求函数极值的方法：先找定义域，再求导，找出定义域的分界点，根据单调性求出极值。告诉函数

的极值这一条件，相当于给出了两个条件：①函数在此点导数值为零，②函数在此点的值为定值。九、概率统计

94、有关某一事件概率的求法：把所求的事件转化为等可能事件的概率(常常采用排列组合的知识) ，转

化为若干个互斥事件中有一个发生的概率，利用对立事件的概率，转化为相互独立事件同时发生的概率，看作某一事件在n 次实验中恰有k 次发生的概率，但要注意公式的使用条件。（1）若事件A 、B 为互斥事件, 则P （A+B）=P（A ）+P（B ）（2）若事件A 、B 为相互独立事件, 则P （A ·B ）=P（A ）·P （B ）（3）若事件A 、B 为对立事件, 则P （A ）+P（B ）=1一般地, p A =1-P (A )

（4）如果在一次试验中某事件发生的概率是p, 那么在n 次独立重复试验中这个事恰好发生K 次的概率： P n (K )=C n k p k (1-p )

n -k

()

95、抽样方法主要有：简单随机抽样(抽签法、随机样数表法) 常常用于总体个数较少时，它的主要特征

是从总体中逐个抽取；系统抽样，常常用于总体个数较多时，它的主要特征就是均衡成若干部分，每一部分只取一个；分层抽样，主要特征分层按比例抽样，主要使用于总体中有明显差异。它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等。

96、用总体估计样本的方法就是把样本的频率作为总体的概率。十、解题方法和技巧

97、总体应试策略：先易后难，一般先作选择题，再作填空题，最后作大题，选择题力保速度和准确度

为后面大题节约出时间，但准确度是前提，对于填空题，看上去没有思路或计算太复杂可以放弃，对于大题，尽可能不留空白，把题目中的条件转化代数都有可能得分，在考试中学会放弃，摆脱一个题目无休止的纠缠，给自己营造一个良好的心理环境，这是考试成功的重要保证。 98、解答选择题的特殊方法是什么？

(顺推法，估算法，特例法，特征分析法，直观选择法，逆推验证法、数形结合法等等) 99、答填空题时应注意什么？（特殊化，图解，等价变形） 100、解答应用型问题时，最基本要求是什么？

101、审题、找准题目中的关键词，设未知数、列出函数关系式、代入初始条件、注明单位、作答学会

跳步得分技巧，第一问不会，第二问也可以作，用到第一问就直接用第一问的结论即可，要学会用

“由已知得”“由题意得”“由平面几何知识得”等语言来连接，一旦你想来了，可在后面写上“补证”即可。

数学高考应试技巧

数学考试时，有许多地方都要考生特别注意．在考试中掌握好各种做题技巧，可以帮助各位在最后关头鲤鱼跃龙门。考试注意：

１．考前５分钟很重要

在考试中，要充分利用考前５分钟的时间。考卷发下后，可浏览题目。当准备工作（填写姓名、考号等）完成后，可以翻到后面的解答题，通读一遍，做到心中有数。

２．区别对待各档题目

考试题目分为易、中、难三种，它们的分值比约为３：５：２。考试中大家要根据自身状况分别对待。

⑴做容易题时，要争取一次做完，不要中间拉空。这类题要１００％的拿分。 ⑵做中等题时，要静下心来，尽量保证拿分，起码有８０％的完成度。 ⑶做难题时，大家通常会感觉无从下手。这时要做到： ①多读题目，仔细审题。 ②在草稿上简单感觉一下。

③不要轻易放弃。许多同学一看是难题、大题，不多做考虑，就彻底投降。解答题多为小步设问，许多小问题同学们都是可以解决的，因此，每一个题、每一个问，考生都要认真对待。３．时间分配要合理

⑴考试时主要是在选择题上抢时间。

⑵做题时要边做边检查，充分保证每一题的正确性。不要抱着“等做完后再重新检查”的念头而在后面浪费太多的时间用于检查。

⑶在交卷前３０分钟要回头再检查一下自己的进度。注意及时填机读卡。

二〇一〇年一月

范文二：上海高中高考数学所有公式汇总

上海高考高三数学所有公式汇总

集合命题不等式公式

1、C U (A ?B ) =_____C U A ?C U B ____；C U (A ?B ) =_____C U A ?C U B ______。 2、

A ?B =A ?

__A ?B ___；A ?B =B ?__A ?B __；

C U B ?C U A ?__A ?B ___；

A ?C ____A ?B ____；C U A ?B =U ?______A ?B _____。 U B =??3、含n 个元素的集合有：__2n __个子集，__2n -1__个真子集，__2n -1__个非空子集，__2n -2__个非空真子集。

4、常见结论的否定形式

命题____与____逆命题___互为等价命题。

6、若p ?q ，则p 是q 的___充分____条件；q 是p 的____必要____条件。 7、基本不等式：

（1）a , b ∈R ：________a 2+b 2≥2ab _____________等且仅当a =b 时取等号。（2）a , b ∈R +：__________a +b ≥__________等且仅当a =b 时取等号。（3）绝对值的不等式：__________||a |-|b ||≤|a ±b |≤|a |+|b |_________ 8、均值不等式：

a , b ∈R +

时，

a +b _____________≤≤______≤____

112+a b

等且仅当a =b 时取等号。 9、分式不等式：10

、

) 0?f (x ) ?g (x ) ≥0?f (x ) ?g (x ≤f (x ) f (x )

≥0??≤0?? g (x ) g (x ) ?g (x ) ≠0?g (x ) ≠0绝

对

值不

等

式

：

|f (x ) |>a (a >0) ?____f (x ) <-a 或f="" (x="" )="">a ________________

|f (x ) |0) ?____-a

11、指、对数不等式：（1）a >1时：

a f (x )

g (x )

?____f _x (

___<_f __x=""><0g x="">

l o g (<) a="" f="">

() ________

（2）0

a f (x ) g (x ) ________

log a f (x ) g (x ) >0________

函数公式

1、函数y =f (x ) 的图象与直线x =a 交点的个数为 1 个

2、一元二次函数解析式的三种形式：

b 24ac -b 2

(a ≠0)

_；一般式：y =ax +bx +c (a ≠0) __；顶点式：y =a (x +) +

零点式：____y =a (x x (a ≠0) ___________。

3、二次函数y =f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0) ，x ∈[m , n ]的最值：

b ?

f (n ) -≥n ?b m +n 2a ?

?f (m ) ->?b b ??2a 20

0时，y max =? y m i n =?f (-) m <>

2a 2a ??f (n ) -b ≤m +n

?b ?2a 2?f (m ) -≤m ?2a ?

b ?

f (n ) -≥n ?b m +n 2a ??f (m ) ->?b b ??2a 2<0时，y max="?f" (-)="" m=""><>

2a 2a b m +n ??f (n ) -≤

b ??2a 2?f (m ) -≤m ?2a ?

4、奇函数f (-x ) =_____ -f (x ) _____，函数图象关于原点对称；

偶函数f (-x ) =_____ f (x ) ____=___f (|x |)___，函数图象关于 y 轴对称。

奇函数若在x=0有意义，则f (0) = 0

5＊、若y =f (x ) 是偶函数，则f (x +a ) =______f (-x -a ) _______；

若y =f (x +a ) 是偶函数，则f (x +a ) =______f (-x +a ) _______。

6、函数y =f (x ) 在x ∈[m , n ]单调递增(减) 的定义：_____________任取

x 1, x 2∈[m , n ]，且x 1f (x 2) ，则函数y =f (x ) 在x ∈[m , n ]单调递减________。 7、如果函数f (x ) 和g (x ) 在R 上单调递减，那么f (x ) +g (x ) 在R 上单调递__减___，f [g (x )]在R 上单调递___增____。

8、奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性。（填写“相同”或“相反”） 9、互为反函数的两个函数的关系：f (a ) =b ?___f -1(b ) =a _____。

10、y =f (x ) 与y =f -1(x ) 互为反函数，设f (x ) 的定义域为D ，值域为A ，则有

f [f -1(x )]=____x (x ∈A ) _____；f -1[f (x )]=______x (x ∈D ) ______。 11、定义域上的单调函数一定有反函数。（填写“一定有”，“可能有”，“一定没有”）

12、奇函数如果存在反函数，则反函数的奇偶性奇函数；

互为反函数的两个函数具有相同的单调性。（填写“相同”或“相反”） 13、函数y =f (x ) 的图像向右移a 个单位，上移b 个单位，得函数____y =f (x -a ) +b ____的图像；

曲线f (x , y ) =0的图像向右移a 个单位，上移b 个单位，得曲线f (x -a , y -b ) =0的图像。

1、函数图像的对称性与周期性

（1）一个函数y =f (x ) 本身的对称性与周期性

（2y =f (a +x ), y =f (b -x ) 图像关于x =

b -a

对称； 2

y =f (a +x ), y =-f (b -x ) 图像关于(

b -a

, 0) 对称； 2

y =f (x ) 和y =f -1(x ) 图像关于____直线y =x _____对称。

2、写出满足下列恒等关系的一个（组）具体的函数：

幂指对函数公式

1、a =a

-m n

=______(a >0, m , n ∈N *, n >1)

?___a ___ n为奇数

2、n =_____|a |_____=?

?___±a ___ n 为偶数

3、有理指数幂的运算性质：

a r a s =___a r +s ____;(a r ) s =____a rs ______;(ab ) r =___a r b r ___.(a >0, b >0, r , s ∈Q ) 4、指数式与对数式的互化：log a N =b ?_____a b =N ______.(a >0, a ≠1, N >0)

5、对数换底公式：log a N =_

l o a m g b n =

l b o g

log c N

_.(a >0, a ≠1, N >0) ，推论：log c a

6、对数的四则运算：(a >0, a ≠1, M , N >0)

log a (MN ) =log a M +log a N ;log a

=log a M -log a N ;log a M n =n ?log a M N

=_______N_________(a >0, a ≠1, N >0)

7、对数恒等式a log a N

8、幂函数：y =x α（α为常数，α≠0），图像恒过点（1，1），画出幂函数在第一象限的图像。

9、指数函数与对数函数

三角比公式

1、设α终边上任意一点坐标为P (x , y ) ，这点到原点的距离为r =x 2+y 2(r >0) ，

y x y x r r

则sin α=,cos α=, tan α=,cot α=,sec α=,csc α=。

r r x y x y

2、同角三角比公式：平方关系：1=cos 2α+sin 2α=sec 2α-tan 2α=csc 2α-cot 2α。商数关系：tan α=

sin απc o s α

(α≠k π+, k ∈Z ) c o αt =(α≠k π, k ∈Z ) cos α2s i n α

αs e c α=1(α≠k π+倒数关系：sin αcsc α=1(α≠k π, k ∈Z ) c o s

tan αcot α=1(α≠

k π

, k ∈Z ) 2

, k ∈Z )

3、两角和与两角差公式：

_______sin(α±β) =sin αcos β±cos αsin β)

tan α±tan β

___ tan(α±β) =__

1 tan αtan β

cos(α±β) =___cos αcos β sin αsin β) ___。

、辅助角公式：a sin x +b cos x =__x +arctan ) ___(a >0)

5、二倍角公式

sin 2α=2sin αcos α；cos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2-sin 2α；

2tan απk ππ

__(α≠k π+, α≠+, k ∈Z ) 2

1-tan α224α

6、半角公式：sin =cos =22tan 2α=_

；

-cos α1-cos αsin α

==(α≠k π, k ∈Z )

21+cos αsin α1+cos α

7、万能置换公式：

tan

=±2tan

sin α=

，cos α=

1-tan 21+tan 2

α，tan α=2

2tan

。

1+tan 2

其中α≠k π+

, α≠2k π+π(k ∈Z ) 2

8、（理）三角比的积化和差与和差化积公式

sin αcos β=[sin(α+β) +sin(α-β)]cos αsin β=[sin(α+β) -sin(α-β)]

22， 11

cos αcos β=[cos(α+β) +cos(α-β)]sin αsin β=-[cos(α+β) -cos(α-β)]

22， 22 ，

α+βα-βα+βα-β

cos α+cos β=2cos cos cos α-cos β=-2sin sin

22，22

a b c

===2R ，其中R 是三角形外接圆半径。 9、正弦定理：

sin A sin B sin C

b 2+c 2-a 2222

10、余弦定理：a =b +c -2bc cos A ；cos A =。

2bc

sin α+sin β=2sin

1-tan 2

α+β

cos

α-β

sin α-sin β=2cos

α+β

sin

α-β

、三角形面积公式：S =

1=x 2

2x 3

x 1

y 11y 2y 3

1ab sin C =2其中

p =

a +b +c

（第三格用行列式表示，第四格用向量表示）

诱导公式

1、1o =

180

rad ，1rad =

180

lR =αR 2 22

2、扇形的弧长公式l =αR ；扇形的面积公式S =

3、在直角坐标系中用“+”、“—”标出各个三角比在各个象限中的符号。

（k ∈Z ) 4、诱导公式

cot α

sin α

cos α

tan α

sec α csc α

诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限

三角函数图像与性质

反三角函数与三角方程

反三角函数图像与性质

2、恒等式(写明x 的取值范围) ：

ππππ

arcsin(sinx ) =x , x ∈[-, ]；arccos(cosx ) =x , x ∈[0, π]；arctan(tanx ) =x , x ∈(-, )

2222

sin(arcsinx ) =x , x ∈[-1, 1]；cos(arccosx ) =x , x ∈[-1, 1]；tan(arctanx ) =x , x ∈R

arcsin(-x ) =

-arcsin x ，x ∈[--arctan x , x ∈(-

ππ

, ]；arccos(-x ) =

π-arccos x ，x ∈[0, π]；π

arctan(-x ) =

ππ

, ) ；arcsin x +arccos x =, x ∈[-1, 1] 222

3、最简单的三角方程：

数列公式

2、a 与b 的等差中项____

a +b

_______；a 与b 的等比中项

____________。 2

(n =1) ?S 1

3、数列的通项公式与前n 项和的关系：a n =?*。 S -S (n ≥2, n ∈N ) n -1?n

4、a n =ka n -1+b （k ≠0,k ≠1,b ≠0），求通项时，将该式变形

a n +

b b （。 n ≥2, n ∈N *）=k (a n -1+)

k -1k -1

5、已知{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，则

（1）求数列{a n +b n }前n 项和用分组求和法；（2）求数列{a n ?b n }前n 项和用错位相减法；（3）求数列6、lim

前n 项和用裂项相消法。 a n a n +1

=__0__；lim C =__C __；（其中C 为常数），

n →∞n →∞n

|q |<>

lim q n =?1q =1 n →∞

?不存在|q |>1或q =-1?

7、无穷等比数列各项和：S =lim S n =1，其中公比q 的取值范围为

n →∞1-q

__|q |<1, q="">

8、已知lim a n =A ，lim b n =B ，则lim (a n ±b n ) =A ±B ；lim (a n ?b n ) =A ?B ；

n →∞

lim

a n A

=(b n ≠0, B ≠0) n →∞b B n

矩阵行列式公式

1、通过对线性方程组增广矩阵的变换可以得到线性方程组的解，这里所用的矩阵变换有下列三种：

（1）互换矩阵的两行；

（2）把某一行同乘（除）以一个非零的数；（3）某一行乘以一个数加到另一行。

通过上述三种矩阵变换，使线性方程组系数矩阵变成单位矩阵时，其增广矩阵的最后一个列向量给出了方程的解。

2、已知矩阵A n ?k ，矩阵B k ?m ，矩阵C n ?m ，如果矩阵C 中第i 行，第j 列的元素c ij 为A 的第i 个行向量与B 的第j 个列向量的数量积，i =1,2, n , j =1,2, n ，那么C=AB。

（1）只有当A 的列数和B 的行数相等时, 矩阵之积AB 才有意义；（2）一般的，AB ___≠____BA 。（填=或≠）

?4??4812?

? ?

例如：若A =(123)，B = 5?，则AB=(32)， BA= 51015?。

6? 61218?????

?x ??a b ?

3、矩阵变换：向量 ?的左边乘一个2阶方阵 ?，就可以得到另一个向量

?y ??c d ?

?x ' ??x ' ??a b ??x ?

，即 = ? ? ???，这个矩阵变换把向量(x y )变换成向量(x ' y ' )。y ' y ' c d y ????????

a 1

b 1b 2b 3

c 1

c 2按对角线法则展开a 1b 2c 3+a 2b 3c 1+a 3b 1c 2-a 3b 2c 1-a 2b 1c 3-a 1b 3c 2

c 3

4、a 2

a 3

按第一行展开a 1

b 2b 3

c 2c 3a 1a 3

-b 1b 1b 3

a 2a 3

c 2c 3

+c 1

a 2a 3

b 2b 3

，

c 2的代数余子式是-

b 1c 1

，Dx=b 2c 2

b 1a 1

，Dy=b 2a 2

c 1

c 2

a 1?a 1x +b 1y =c 1

5、二元一次方程?记D=

a 2?a 2x +b 2y =c 2

?x =??

当D ≠0时，方程组有唯一解，其解为?

?y =??

D x

D ； D y D

当D =0, 且D x ≠0或D y ≠0时，方程组无解；当D =D x =D y =0时，方程组有无数多解。

?a 1x +b 1y +c 1z =d 1?

6、三元一次方程?a 2x +b 2y +c 2z =d 2

?a x +b y +c z =d

333?3

a 1b 1b 2b 3

c 1d 1b 1b 2b 3

c 1a 1d 1d 2d 3

c 1a 1b 1b 2b 3

d 1d 2 d 3

记D=a 2

a 3c 2，Dx=d 2c 3d 3c 2，Dy=a 2

c 3a 3c 2，Dz=a 2

c 3a 3

?x =??

当D ≠0时，方程组有唯一解，其解为?y =

???z =?当D =0时，方程组无解或有无穷多解。 7、算法部分请看书

D x D D y D D z D

；

向量复数公式

1、向量a =(x 1, y 1), b =(x 2, y 2) ，则a +b =(x 1+a -b =(x 1-x 2, y 1-y 2) ，x 2, y 1y 2+) ，

λa =(λx 1, λy 1) ，a ?b =|a ||b |cos θ=x 1?x 2+y 1?y 2，向量夹角

a ?b

cos θ=

|a |=

|a ||b | 2、设a =(x 1, y 1), b =(x 2, y 2) ，则

→→

a //b ?a =λb ?x 1y 2-x 2y 1=0?a ?b =±|a ||b |

→→ a ⊥b ?a ?b =0?x 1x 2+y 1y 2=0?|a +b |=|a -b |

3、向量与向量夹角为锐角?a ?b >0且a 不平行于b

4、向量a 在向量b 上的投影为|a |cos θ

5、定比分点公式：P y ) PP 1(x 1, y 1) , P 2(x 2, ，1=λPP 2，则P 坐标为x +λx 2y 1+λy 2(1, ) 。 1+λ1+λ6、?ABC 顶点A (x 1, y 1), B (x 2, y 2), C (x 3, y 3) ，则?ABC 重心坐标为

(

x 1+x 2+x 3y 1+y 2+y 3

, ) 。 33

7、三角形四心定义：内心：三角形角平分线的交点；外心：三角形中垂线的交点；

重心：三角形中线的交点；

垂心：三角形高的交点；三角形四“心”向量形式的充要条件：

设O 为?ABC 所在平面上一点，a , b , c 是A , B , C 对应的边。

2 2 2

（1） O 为?ABC 的外心?OA =OB =OC

（2） O 为?ABC 的重心?OA +OB +OC =0

（3） O 为?ABC 的垂心?OA ?OB =OB ?OC =OA ?OC

AB AC

（4） AP =λ(+) (λ∈R ) ，则P 的轨迹过三角形的内心

AB AC

8、A 、B 、C 三点共线?AB =λAC (λ≠0) ?OA =tOB +(1-t ) OC （OA 、OB 、

OC 的关系式）

9、复数z =a +bi ,(a , b ∈R ) ，则|z

|z 是纯虚数?a =0, b ≠0。 10、|z 1-z 2|的几何意义是：Z 1, Z 2两点间的距离。

222

11、|z |=|z |≠z ；|a |=|a |=a （填写=, ≠） 12、z ∈R ?z =。

13、负实数a

的平方根是i 。 14、实数a

、

实

系

数

一

元二次方程

_0_

ax 2+bx +c =0

的

解

?? ??x =? ??? ?

-b a c ?_____

2a b ___?_=___ _2a >0

b ?i

?_<>

16、实系数一元二次方程ax 2+bx +c =0的两根为x 1, x 2，则

|x 1-

x 2|=|2b |??

?≥0

。 ?<>

直线公式

y -y 2

1、已知A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) ，则k AB =1(x 1≠x 2)

x 1-x 2

|AB |=(x 1-x 2) 2+(y 1-y 2) 2=+k 2|x 1-x 2|=+

|y 1-y 2| k 2

2、直线的方程：（应用以上直线方程时应考虑其存在的条件）（1）点方向式：

x -x 0y -y 0

=（过P (x 0, y 0) , 一个方向向量为(u , v ) ，uv ≠0） u v

当u =0时，该直线方程为x =x 0；当v =0时，该直线方程为y =y 0 （2）点法向式：a (x -x 0) +b (y -y 0) =0（过P (x 0, y 0) ，一个法向量为(a , b ) ）（3）点斜式：y -y 0=k (x -x 0) （过P (x 0, y 0) ，斜率为k ）当斜率不存在时，该直线方程为x =x 0 （4）一般式：Ax +By +C =0（A 、B 不同时为零）（5）斜截式：y =kx +b （斜率为k ，在y 轴上的截距为b ）当斜率不存在时，该直线方程为x =0

?x =x 0+ut

（6）(理) 参数方程：?（过P (x 0, y 0) , 一个方向向量为(u , v ) ）

?y =y 0+vt ?x =x 0+t cos α

（7）(理) 参数方程：?（过P (x 0, y 0) , 倾斜角为α）

y =y +t sin α0?

3、直线斜率k 和倾斜角α的关系：

(k >0) ?arctan k

?πππ

k =tan α, α∈[0, ) ?(, π) ； α=? (k 不存在)

222?

?π+arctan k (k <>

4、已知直线的法向量为n =(a , b ) ，则该直线的方向向量为d =(b , -a ) ，斜率为

k =-

（b ≠0） b

5、两条直线的平行和垂直

（1）若l 1:y =k 1x +b 1，l 2:y =k 2x +b 2

?k 1=k 2；此时两平行直线l 1，l 2间的距离d

= l 1//l 2??

?b 1≠b 2在。 l 1⊥l 2?k 1k 2=-1, 或一个为零另一个不存

（2）若l 1:A 1x +B 1y +C 1=0，l 2:A 2x +B 2y +C 2=0

?A 1B 1

=0即A 1B 2=A 2B 1?

A B ?22

；此时两平行直线l 1，l 2间的距离l 1//l 2??

?A 1C 1≠0即AC ≠A C

1221?A C

2?2

d =

|C 1-C 2|A +B

；

l 1⊥l 2?A 1A 2+B 1B 2=0。 6、两直线夹角公式：（1）tan θ=|

k 2-k 1

|（l 1:y =k 1x +b 1，l 2:y =k 2x +b 2）

1+k 1k 2

|A 1A 2+B 1B 2|A 1+B 1

（2）cos θ=

A 2+B 2

l 1:A 1x +B 1y +C 1=0，l 2:A 2x +B 2y +C 2=0）

7、常见的直线系方程：

（1）定点直线系方程：经过定点P (x 0, y 0) 的直线系方程为y -y 0=k (x -x 0) （除直线x =x 0），其中k 是待定的系数。

（2）共点直线系方程：经过两直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0，l 2:A 2x +B 2y +C 2=0的交点的直线系方程为A 1x +B 1y +C 1+λ(A 2x +B 2y +C 2) =0（除l 2），其中λ是待定的系数。

（3）平行直线系方程：与直线Ax +By +C =0平行的直线系方程为

Ax +By +C ' =0(C ' ≠C ) 。

（4）垂直直线系方程：与直线Ax +By +C =0垂直的直线系方程为

Bx -Ay +C ' =0。

8、点P (x 0, y 0) 到直线Ax +By +C =0的距离d=

|Ax 0+By 0+C |

A +B

。

、δ=

的符号确定了点P (x 0, y 0) 关于直线l :ax +by +c =0的相对位

置。在直线同侧的所有点，δ的符号是相同的，在直线异侧的所有点，δ的符号是相反的。（填写“相同”或“相反”）

10、点A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) 在直线Ax +By +C =0异侧

?(Ax 1+By 1+C )(Ax 2+By 2+C ) <>

11、点A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) 在直线Ax +By +C =0同侧

? (Ax 1+By 1+C )(Ax 2+By 2+C ) >0

直线与圆锥曲线联立勿忘△

1、对于曲线C 和方程F (x , y ) =0，满足：（1）曲线C 上的点的坐标都是方程

F (x , y ) =0的解；（2）以方程F (x , y ) =0的解为坐标的点都是曲线C 上的点，我

们就把方程F (x , y ) =0叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程F (x , y ) =0的曲线。 2、圆的方程：

（1）圆的标准方程：(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2。

（2）圆的一般方程：x 2+y 2+Dx +Ey +F =0(D 2+E 2-4F >0) 。

?x =a +r cos α

（3）圆的参数方程：?α∈[0, 2π) ，α是参数。

?y =b +r sin α（4）圆的复数方程：|z -z 0|=r

3、已知点M (x 0, y 0) ，圆C ：(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2。点在圆外?|CM |>r ?(x 0-a ) 2+(y 0-b ) 2>r 2；点在圆上?|CM |=r ?(x 0-a ) 2+(y 0-b ) 2=r 2；点在圆内?|CM |

?d =

=r ；

相离

?d =

>r 。

5、圆C 1与圆C 2位置关系：

外离?|C 1C 2|>r 1+r 2；外切?|C 1C 2|=r 1+r 2；相交?|r 1-r 2|<|c 1c=""><|r 1-r="" 2|(r="" 1≠r="" 2)="" 。="">

（1）过圆C ：x 2+y 2=r 2上一点M (x 0, y 0) 的圆的切线方程为x 0x +y 0y =r 2。（2）过圆C ：(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2上一点M (x 0, y 0) 的圆的切线方程为

(x 0-a )(x -a ) +(y 0-b )(y -b ) 2=r 2。

（3）过圆C ：x 2+y 2+Dx +Ey +F =0(D 2+E 2-4F >0) 上一点M (x 0, y 0) 的圆的切线方程为x 0x +y 0y +D

x 0+x y +y

+E 0+F =0。 22

（4）斜率为k 的圆C ：x 2+

y 2=r 2的切线方程为y =kx ± 7、圆的弦AB 的长度

=（圆半径为R ，圆心到AB 距离为d ） 8、椭圆的定义是x 2y 2

的点的轨迹。焦点在x 轴的椭圆标准方程为2

+2=1(a >b >0) ，长轴长为2a ，

a b

短轴长为2b ，焦点坐标为(0) ，对称轴为x 轴、y 轴，对称中心为(0, 0) 。

?x =a cos αx 2y 2

9、椭圆2+2=1(a >b >0) 的参数方程是?α∈[0, 2π), α是参数；

a b ?y =b sin α 复数方程是|z -z 1|+|z -z 2|=2a , 2a >|Z 1Z 2|。

x y x 2y 2

10、点M (x 0, y 0) 在椭圆2+2=1(a >b >0) 内部?02+02<>

a b a b

11、双曲线的定义是x 2y 2

x 轴的双曲线标准方程为2-2

=1(a >0, b >0) ，

a b

实轴长为2a ，虚轴长为2b ，焦点坐标为(, 0) ，对称轴为x 轴、y 轴，对称中心为(0, 0) 。 12

、

双

曲

线

x 2y 2

-2=1(a >0, b >0) 2a b

的参数方程是

?x =a sec α

α∈[0, 2π), α是参数； ?

y =b tan α?

复

数

方

程

是

||z -z 1|-|z -z 2||=2a , 2a <|z 1z="">

b x 2y 213、（1）双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的渐进线方程为y =±x 。

a a b x y x 2y 2

（2）渐进线为±=0的双曲线方程可设为2-2=λ，λ≠0。

a b a b

14、抛物线的定义是等的点的轨迹。

p p

15、抛物线y 2=2px (p >0) ，焦点坐标为(, 0) ，准线方程为x =-，p 的几何

意义是焦点到准线的距离。 16、（1）曲线F (x , y =)

关0于点M (x 0, y 0) 成中心对称的曲线是

F (2x 0-x ,2y 0-y ) =0。（2）曲线F (x , y =)

F (-y -c , -x -) c 。=0

关0于直线x +y +C =0成轴对称的曲线是

*****（3）曲线F (x , y ) =0关于直线Ax +By +C =0成轴对称的点是

F (x -

2A (Ax +By +C ) 2B (Ax +By +C )

, y -) 。 2222

A +B A +B

排列组合二项式定理概率统计公式

1、排列数公式：P n m =__n (n -1) (n -m +1) __=__2

C n =_

n !

___(n , m ∈N *, m ≤n )

(n -m )!

、组合

n -

数

+(m

_m !

公

n _(n

式

∈_ N m )

) n

：

! m ∈

! N

n (- n 1

m !

m n -m m m -1m

3、组合数性质：C n = C n =_C n _；C n +C n +1。

4、组合数恒等式：

r r +1（1）C r r +C r r +1+C r r +2+ +C n =C n +1；

012n （2）C n =2n ； +C n +C n + +C n

024135（3）C n +C n +C n + =2n -1=C n +C n +C n + 。

1k （4）nP n k --1=_P n _;

n m -1m

C n -1=_C n _. m

m m m

5、排列数与组合数的关系：P n =_P m _C n

0n 1n -1r n -r r n n 6、二项式定理(a +b ) n =C n a +C n a b + +C n a b + +C n b (n ∈N *) ，

r n -r r

其中通项公式T r +1=C n a b 。

7、二项式系数，当n 是偶数时，中间一项C 取得最大值，当n 是奇数时，中间

两项C

n -12n

n +12n

取得最大值。

8、记必然事件为Ω，不可能事件为Φ，随机事件为A

P (Ω) =_1__;P (Φ) =_0__;P (A ) ∈__[0,1]___

设E 、F 是两个随机事件（填写独立、对立、互斥）（1）满足E ?F =Ω且E ?F =Φ的E 和F 叫做对立事件；

（2）（理）E 、F 不可能同时出现，则E 和F 叫做互斥事件；此时

P (E ?F ) =P (E ) +P (F )

（3）（理）E 、F 互相之间没有影响，则E 和F 是互相独立事件；此时

P (EF ) =P (E ) P (F )

9、（理）概率加法公式：P (A ?B ) = P (A ) +P (B ) -P (AB ) 。

10、设总体有N 个个体，它们分别是x 1, x 2, x 3, x N ，且它们的平均数为μ

则总体方差σ2=

[(x 1-μ) 2+(x 2-μ) 2+ +(x n -μ) 2] N

σ叫做总体标准差，反映总体中各个个体之间的差别的大小。

11、抽样方法：

（1）随机抽样：抽样过程中能使总体中的每一个个体都有同样的可能性被选入样本。（抽签、利用随机数抽样等）

（2）系统抽样：把总体的每一个个体编号，按某种相等的间隔抽取样本的方法。（3）分层抽样：把总体分成若干个部分，然后再每个部分进行随机抽样的方法。将总体个数N 分成k 层，每层的个体数分别记作N 1, N 2, N 3, N k ，

在每层中分别随机抽取n 1, n 2, n 3, n k 个个体组成容量为n 的样

本。

n n n 1n 2n

==3= =k = N 1N 2N 3N k N

12、样本为x 1, x 2, x 3, x n ，样本容量为n ，则

总体均值的点估计值为=

x 1+x 2+x 3+ +x n

第 21 页

总体标准差的点估计值为s =

均值的σ估计区间为[-σ, +σ]。

13、（理）取离散值的随机变量叫做离散型随机变量，其取值概率可用下表给出

随机变量所有的取值x 12n 1, p 2, , p n 叫做随机变量的概率分布律。

随机变量ξ的数学期望为E ξ=x 1p 1+x 2p 2+ +x n p n

随机变量ξ的方差D ξ=(x 1-E ξ) 2p 1+(x 2-E ξ) 2p 2+ +(x n -E ξ) 2p n

数学期望是随机变量的加权平均数，表示随机变量取值的平均水平，因此也叫做随机变量的均值；随机变量的方差或标准差刻画了随机变量取值的离散程度。 14、（理）把直角坐标系的远点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，并且取相同的单位长度。

设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标为(x , y ) ，极坐标为(ρ, θ)

?ρ2=x 2+y 2

?x =ρcos θ?则?， ?y

y =ρsin θt a n θ=x (≠??

x ?

。

15、（理）ρ=ρ0+a θ对应的曲线叫做等速螺线（阿基米德螺线）

立体几何公式

1、如果直线l 上有两个点在平面α上，那么直线l 与平面α 如果平面α与平面β相交，那么它们所有的交点构成的图形是直线确定平面的条件是不在同一直线上的三点确定一个平面，或直线和直线外一

第 22 页

点确定一个平面，或两条相交直线确定一个平面，或两条平行直线确定一个平面。平行与同一直线的两条直线平行。

如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等或互补。 2、空间直线l 1与直线l 2所成角是指在直线l 1上任取一点M ，过M 作l 2的平行线l 3，

l 1与l 3的夹角就是直线l 1与直线l 2所成角，范围是[0,

]。

空间直线l 与平面α所成角是指当直线l 与平面α不垂直时，直线l 与平面α所成角是指直线l 与其在平面上α的投影l ' 所成的角，范围是[0,

]。

空间平面α1与平面α2所成角是指在两平面的交线l 上任取一点O ，过点O 分别在两平面上作垂线OM 、ON ，∠MON 就是平面α1与平面α2所成角，范围是

[0, π) 。

3、与平面上任何直线都垂直的直线叫做平面的垂线。如果一条直线与平面上的两条相交直线垂直，那么它与平面上的任意直线都垂直。

4、已知平面α与平面β互相平行，平面γ与它们的交线分别为直线a ，b ，那么直线a ，b 的位置关系是a //b 。

已知直线l 平行于平面α，平面β经过l 且与平面α相交于直线l ' ，那么直线l 与l ' 的位置关系是l //l ' 。

5、请写出定理“在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直”的逆定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直。

6、斜二测法规定在x 轴方向上线段的长度是其表示的真实长度的一半，在y 轴和z 轴方向上线段的长度与其表示的真实长度相等。

斜二测画法中原图形和直观图的面积比为1:

。 4

7、祖暅原理是：体积可以看成是由面积叠加而成，用一组平行平面截两个空间图形，若在任意等高处的截面面积都对应相等，则两空间图形的体积相等。 8、圆柱是由长方形绕其一条边所在直线旋转形成的，圆锥是由直角三角形绕其

第 23 页

一条直角边所在直线旋转形成的，球是由半圆绕其直径所在直线旋转形成的。

9、设几何体的底面周长为C ，母线或斜高长为h ' ，则圆柱或直棱柱的侧面积为

Ch ' ；圆锥或正棱锥的侧面积为Ch ' ；半径为R 的球的表面积为4πR 2。

10、柱体体积公式为Sh ，锥体体积公式为Sh ，半径为R 的球的体积为πR 3。

11、半径为R 的球的小圆半径为r

（球心到小圆所在平面距离为d ） 12、球面距离是指联结球面上两点的路径中，通过该两点的大圆劣弧的长度。 13、（理）已知空间中，直线l 1，l 2方向向量分别为d 1，d 2，平面α、β分别法向量为n 1，n 2，则

d 1?d 2| 直线l 1与l 2所成角θ满足：cos θ=||d 1||d 2|d 1?n 1

| 直线l 1与平面α所成角θ满足：sin θ=||d 1||n 1|

n ?n 2n ?n 2

或cos θ=1 平面α与平面β所成二面角θ满足：cos θ=1|n 1||n 2||n 1||n 2|

AM ?n

点A 到平面α的距离d=|1|

|n 1|

第 24 页

范文三：[高考数学]高中函数所有公式

三角函数公式

两角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

sin(A-B)=sinAcosB-

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)

tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)

cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式

tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2] cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2

半角公式

sin(A/2)=?((1-cosA)/2)

sin(A/2)=-?((1-cosA)/2)

cos(A/2)=?((1+cosA)/2)

cos(A/2)=-?((1+cosA)/2)

tan(A/2)=?((1-cosA)/((1+cosA))

tan(A/2)=-?((1-cosA)/((1+cosA))

cot(A/2)=?((1+cosA)/((1-cosA)) cot(A/2)=-?((1+cosA)/((1-cosA))

和差化积

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)

2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B))

2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)

-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2

cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB

范文四：高考数学所有公式及知识点总结

高考前数学知识点总结

一. 备考内容:

知识点总结

二. 复习过程:

高考临近，对以下问题你是否有清楚的认识,

1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。

如:集合，，，、、AxyxByyxCxyyxABC,,,,,,|lg|lg(,)|lg,,,,,, 中元素各表示什么,

2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。, 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

3. 注意下列性质:

n()集合，，??，的所有子集的个数是;12aaa,,12n

()若，;2ABABAABB,,,,:: (3)德摩根定律:

CCCCCCABABABAB::::,,，，，，，，，，，，，，，UUUUUU 4. 你会用补集思想解决问题吗,(排除法、间接法) 5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”，“且”和()(),,

“非”().，

若为真，当且仅当、均为真pqpq,

若为真，当且仅当、至少有一个为真pqpq,

若为真，当且仅当为假，pp 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么,

(互为逆否关系的命题是等价命题。)

原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。

7. 对映射的概念了解吗,映射f:A?B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几

种对应能构成映射,

(一对一，多对一，允许B中有元素无原象。)

8. 函数的三要素是什么,如何比较两个函数是否相同,

(定义域、对应法则、值域)

9. 求函数的定义域有哪些常见类型,

10. 如何求复合函数的定义域,

如:函数的定义域是，，，则函数的定fxabbaF(xfxfx())()(),,,,，,0,, 义域是_____________。

(答:，)aa,,, 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗,

12. 反函数存在的条件是什么,

(一一对应函数)

求反函数的步骤掌握了吗,

(?反解x;?互换x、y;?注明定义域)

13. 反函数的性质有哪些,

?互为反函数的图象关于直线y,x对称;

?保存了原来函数的单调性、奇函数性;

,1?设的定义域为，值域为，，，则yf(x)ACaAbCf(a)=bf,,,,,()ba

第 1 页

,,,111？,,,,ffafbaffbfab()()()()，,,,, 14. 如何用定义证明函数的单调性,

(取值、作差、判正负)

如何判断复合函数的单调性,

(，，则yfuuxyfx,,,()()(),,,,

(外层)(内层)

当内、外层函数单调性相同时为增函数，否则为减函数。)fxfx,,()(),,,,

2如:求的单调区间yxx,,，log2，，1

2 2(设，由则uxxux,,，,,,2002 2且，，如图:loguux,,,,，11，，1

O 1 2 x

当，时，，又，?xuuy,,,,(]log011

当，时，，又，?xuuy,,,,[)log121

2 ???)

15. 如何利用导数判断函数的单调性,

在区间，内，若总有则为增函数。(在个别点上导数等于abfxfx'()(),0，，

零，不影响函数的单调性)，反之也对，若呢,fx'(),0 3如:已知，函数在，上是单调增函数，则的最大afxxaxa,,,，,01()，, 值是( )

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

,,,,aa2(令fxxax'(),,,，33x,,0,,,,33,,,,

aa则或x,,,x33

a由已知在，上为增函数，则，即fx()[)1，,,,13a3 ?a的最大值为3)

16. 函数f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么,

(f(x)定义域关于原点对称)

若总成立为奇函数函数图象关于原点对称fxfxfx()()(),,,,,

第 2 页

若总成立为偶函数函数图象关于轴对称fxfxfxy()()(),,,, 注意如下结论:

(1)在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个偶函数与奇函数的

乘积是奇函数。

()若是奇函数且定义域中有原点，则。2f(x)f(0)0, 17. 你熟悉周期函数的定义吗,

(若存在实数()，在定义域内总有，则为周期TTfxTfxfx,，,0()()，，函数，T是一个周期。)

如:若，则fxafx，,,()，， (答:是周期函数，为的一个周期)fxTafx()(),2 又如:若图象有两条对称轴，fxxaxb(),,,，，即，faxfaxfbxfbx()()()()，,,，,, 则是周期函数，为一个周期fxab()2, 如:

18. 你掌握常用的图象变换了吗,

fxfxy()()与的图象关于轴对称,

fxfxx()()与的图象关于轴对称,

fxfx()()与的图象关于原点对称,, ,1fxfxyx()()与的图象关于直线对称, fxfaxxa()()与的图象关于直线对称2,, fxfaxa()()()与的图象关于点，对称,,20

yfxa,，()左移个单位aa(),0将图象yfx,(),,,,,,,,,,yfxa,,()右移个单位aa(),0

yfxab,，，()上移个单位bb(),0,,,,,,,,,,yfxab,，,()下移个单位bb(),0 注意如下“翻折”变换:

fxfx()(),,,

fxfx()(||),,, 19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗,

第 3 页

(k<0) y="" (k="">0)

y=b

O’(a,b)

O x

x=a ()一次函数:10ykxbk,，,，，

kk()反比例函数:推广为是中心，200y,,,，kybkOab,'()，，，，xxa, 的双曲线。

22b4acb,,,2()二次函数图象为抛物线30yaxbxcaax,，，,,，，，，,,,,2a4a

2,,b4acb,b顶点坐标为，，对称轴,x,,,,2a42aa,, 24acb,开口方向:，向上，函数ay,,0min4a 24acb,ay,,0，向下，max4a 应用:?“三个二次”(二次函数、二次方程、二次不等式)的关系——二次方程 22axbxcxxyaxbxcx，，,,,，，00，时，两根、为二次函数的图象与轴,12 2的两个交点，也是二次不等式解集的端点值。axbxc，，,,00() ?求闭区间,m，n,上的最值。

?求区间定(动)，对称轴动(定)的最值问题。

?一元二次方程根的分布问题。

x()指数函数:，401yaaa,,,，，

()对数函数，501yxaa,,,log，，a 由图象记性质～ (注意底数的限定～)

x y=a(a>1)

(01) a

O 1 x

第 4 页

k()“对勾函数”60yx,，,k，，x 利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么,

O x k

20. 你在基本运算上常出现错误吗,

10,p指数运算:，aaa,,,,10(())a0pa mm,1mnnnaaaa,,,,((0))，a0mna

对数运算:?，logloglogMNMNMN,，,,00，，aaa

M1nlogloglogloglog,,,MNM，MaaaaaNn logxa对数恒等式:ax,

logbnnc对数换底公式:logb,,,loglogbbmaaalogamc 21. 如何解抽象函数问题,

(赋值法、结构变换法)

如:()，满足，证明为奇函数。1xRfxfxyfxfyfx,，,，()()()()()

(先令再令，??)xyfyx,,,,,,000() ()，满足，证明是偶函数。2xRfxfxyfxfyfx,,，()()()()() (先令?xytfttftt,,,,,,,()()(),,

?ftftftft()()()(),，,,，

???)ftft()(),,

()证明单调性:??3fxfxxx(),,，,，，,,2212 22. 掌握求函数值域的常用方法了吗,

(二次函数法(配方法)，反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。)

如求下列函数的最值:

()123134yxx,,，,

24x,()2y,

x，3 22x()，33xy,,x,3

第 5 页

2()设，，44930yxxx,，，,,,cos,,,,,，，

9()，，54yx,，,x(]01x 23. 你记得弧度的定义吗,能写出圆心角为α，半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗,

112(?，??)ll,,,,,RSRR扇22

1弧度

O R

24. 熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义

sincostan,,,,,,MPOMAT，，

T B S P

A x O M

,如:若，则，，的大小顺序是,,,,,,,0sincostan8

,,,又如:求函数的定义域和值域。yx,,,12cos,,,,2 ,,,(?)12,,cossinxx,,,120,,,,2

2?，如图:sinx,2

第 6 页

5,,?，2kxkkZy,,,,，,,,，2,012，，44 25. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗,并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗,

sincosxx,,11，

y ytgx,

x ,,, O , 22

,,,对称点为，，kkZ0,,,,,2

,,，，yxkkkZ,,，sin的增区间为，2,2,,，，,,22，，

,3,，，减区间为，2kkkZ,，，2,,，，,,22，，

,图象的对称点为，，对称轴为kxkkZ,,0,，,，，，，2

第 7 页

yxkkkZ,，,cos的增区间为，22,,,，，,,

减区间为，222kkkZ,,,,，，,，，,,

,,,图象的对称点为，，对称轴为kxkkZ,，0,,,，，,,,,2

,,,,yxkkkZ,,，tan的增区间为，,,,,,,,22 26. y=Asinx+正弦型函数的图象和性质要熟记。或,,,,yAx,，cos，，，，,,

2,()振幅，周期1||AT,||,

若，则为对称轴。fxAxx,,,，，00

若，则，为对称点，反之也对。fxx,00，，，，00

,3,()五点作图:令依次为，，，，，求出与，依点20,,xxy，,2,22 (x，y)作图象。

()根据图象求解析式。(求、、值)3A,,

,,()x，,0,1,如图列出,,,,()x，,2,2,

解条件组求、值,,

,,正切型函数，yAxT,，,tan,,，，||, 27. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值，再判定角的范围。

,23,,,，，如:，，，求值。cosxxx，,,,,,,,,,,622，，

3,,,,,,75513(?，?，?，?),,,,，,，,,xxxx,26636412 28. 在解含有正、余弦函数的问题时，你注意(到)运用函数的有界性了吗, 如:函数的值域是yxx,，sinsin|| (时，，，时，，?，)x,,,,,,,,02220022yxxyysin,,,, 29. 熟练掌握三角函数图象变换了吗,

(平移变换、伸缩变换)

平移公式:

第 8 页

,xxh',，,ahk,()，()点(，)1Pxy,,,,,,,Pxy'''(，)，则,yyk',，平移至, ,

()曲线，沿向量，平移后的方程为，200fxyahkfxhyk()()(),,,,,

,,,如:函数的图象经过怎样的变换才能得到的yxyx,,22sinsin,,1,,,,4 图象,

,,1，，,,,,横坐标伸长到原来的倍2(yxyx,,22sinsin,,,122,,,,,,,,,,,,1,,,,,,,,,,424，，

,左平移个单位,,,1上平移个单位4,,2sinsinsinxyxyx,,,1,,,,,,,,,,212,,,,,,,,,,,4

1纵坐标缩短到原来的倍

2,,,,,,,,,,,,yxsin) 30. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗,

,2222如:??1,，,,,,,sincossectantancotcossectan,,,,,,,,4 ,,,,sincos0??称为的代换。12

,“?”化为的三角函数——“奇变，偶不变，符号看象限”，k,,,2 “奇”、“偶”指k取奇、偶数。

9,,7,,如:costansin，,，,21,，，,,,,46

sintan,,，又如:函数，则的值为yy,coscot,,， A. 正值或负值 B. 负值 C. 非负值 D. 正值

sin,sin,，2sincos,,，1，，cos,(，?)y,,,,,002cos,cossin,,，1，，cos,，sin, 31. 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗,

理解公式之间的联系:

令,,,sinsincoscossinsinsincos,,,,,,,,,,,,,,,22,,,，，

第 9 页

令,,,22coscoscossinsincoscossin,,,,,,,,,,,,,,,,2,,, ，，

tantan,,,22tan,,,, ,,,,,2112cossin,, ，，1,tantan,,?

12，,cos2cos,,2tan,2tan2,, 21,tan,12,cos,2sin,,2

b22ababsincossintan,,,,,，,，，,，，，a

,,,sincossin,,,，,，2,,,,4

,,,sincossin,,,，,，32,,,,3 应用以上公式对三角函数式化简。(化简要求:项数最少、函数种类最少，分母中不含三角函数，能求值，

尽可能求值。)

具体方法:

,,，,,,,,,()角的变换:如，??1,,,,,，,,,,,,,，，,,,,,,,,222 (2)名的变换:化弦或化切

(3)次数的变换:升、降幂公式

(4)形的变换:统一函数形式，注意运用代数运算。

sincos,,2如:已知，，求的值。,,,,,1tantan,,,,2，，，，12,cos,3

sincos,,cos,1(由已知得:，?,,,1tan,22sin,22sin,

2又tan,,,,，，3

21,tantan,,,,,，，132?tantan,,,,,,,,,,2,,)，，，，,,2181，,tantan,,,?，，1，?32 32. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗,如何实现边、角转化，而解斜三角形,

222bca，,222余弦定理:abcbcAA,，,,,2coscos2bc (应用:已知两边一夹角求第三边;已知三边求角。)

aRA,2sin,abc,正弦定理:,,,,2RbRB,2sin,sinsinsinABC,cRC,2sin,

1SabC,?sin,2

第 10 页

?，?ABCABC，，,，,,,,

ABC，?，sinsinsincosABC，,,，，22

AB，2如中，,ABC2sincos，,21C2 ()求角;1C 2c22()若，求的值。2ab,，,coscos22AB2 2(()由已知式得:11211,，，,,coscosABC，， 2又，?ABCCC，,,，,,,210coscos

1?或(舍)coscosCC,,,12

,又，?0,,,CC,3

1222()由正弦定理及得:2abc,，2

,3222222sinsinsinsinABC,,,,34

31212,,，,coscosAB4

3?)coscos22AB,,,4 33. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。

,,，，反正弦:，，，arcsinxx,,,,11,,,,22，，反余弦:，，，arccosxx,,,011,,,,,

,,,,反正切:，，arctanxxR,,,，，,,,,22 34. 不等式的性质有哪些,

cacbc,,,0()，1ab,cacbc,,,0

()，2abcdacbd,,,，,， ()，300abcdacbd,,,,,,

1111()，40ab,,,,,,,,ab0abab nnnn()，50ababab,,,,, ()，或60||||xaaaxaxaxaxa,,,,,,,,,,,，， 35. 利用均值不等式:

2ab，,,22，abababRababab，,,，,,22，;;求最值时，你是否注,,，，,,2

第 11 页

，意到“，”且“等号成立”时的条件，积或和其中之一为定abRabab,，()() 值,(一正、二定、三相等)

注意如下结论:

22，，2ababab,,,,，ababR，，，22，ab

当且仅当时等号成立。ab, 222abcabbccaabR，，,，，,，，，

当且仅当时取等号。abc,,

abmn,,,,000，，，则

bbm，an，a,,,1,aam，bn，b

4如:若，的最大值为xx,,,023x

4,,(设yx,,，23,,,,2212243,,,,x

423当且仅当，又，?时，)3x,,,,,xxy0243maxx3 xy又如:，则的最小值为xy，,，2124

xyxy221，(?，?最小值为)22222222，,, 36. 不等式证明的基本方法都掌握了吗,

(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等)

并注意简单放缩法的应用。

111如:证明?1，，，，,222223n

111111(????1，，，，,，1，，，22212，23，nn,123n，，

11111,，,，,，，11??,223nn,1

1,,,22)n

fx()370.解分式不等式的一般步骤是什么,,,aa，，gx() (移项通分，分子分母因式分解，x的系数变为1，穿轴法解得结果。)

38. 用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始

23如:xxx，,,,1120，，，，，，

第 12 页

39. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论

如:对数或指数的底分或讨论aa,,,101 40. 对含有两个绝对值的不等式如何去解,

(找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。) 例如:解不等式||xx,,，,311

1,,(解集为)xx|,,,2,,

41.||||||||||会用不等式证明较简单的不等问题ababab,,,,， 2如:设，实数满足fxxxaxa()||,,，,,131 求证:fxfaa()()(||),,，21 22|()()||()()|fxfaxxaa,,,，,,，1313 证明:

,,，,,,|()()|(||)xaxaxa11？

,,，,,，,||||||xaxaxa11

,，，||||xa1

又，?||||||||||xaxaxa,,,,,，11

?fxfaaa()()||||,,，,，2221，， (按不等号方向放缩)

42. 不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么,(可转化为最值问题，或“?”问题)

如:恒成立的最小值afxafx,,,()()

afxafx,,,()()恒成立的最大值

afxafx,,,()()能成立的最小值

例如:对于一切实数，若恒成立，则的取值范围是xxxaa,，，,32

(设，它表示数轴上到两定点和距离之和uxx,,，，,3223 uaa,,,,,,32555，?，即，，min

或者:，?)xxxxa,，，,,,，,,323255，，，， 43. 等差数列的定义与性质

定义:为常数，aaddaand,,,，,()1，，nnn，11 等差中项:，，成等差数列xAyAxy,,，2

aan，1nn,，，，，n1前项和nS,,，nadn122

性质:是等差数列a,,n

()若，则;1mnpqaaaa，,，，,，mnpq ()数列，，仍为等差数列;2aakab，,,,,,,212nnn, SSSSS，，??仍为等差数列;,,nnnnn232 ()若三个数成等差数列，可设为，，;3adaad,，

aSmm21,()若，是等差数列，为前项和，则;4abSTn,nnnnbTmm21, 2()为等差数列(，为常数，是关于的常数项为5aSanbnabn,,，,,nn

第 13 页

0的二次函数)

2SSanbna的最值可求二次函数的最值;或者求出中的正、负分界,，,,nnn 项，即:

a,0,n当，，解不等式组可得达到最大值时的值。ad,,00Sn,1na,0，,n1

a,0,n当，，由可得达到最小值时的值。ad,,00Sn,1na,0，n1, 如:等差数列，，，，则aSaaaSn,，，,,,1831,,nnnnn,,123

(由，?aaaaa，，,,,,3331nnnnn,,,,1211

，aa1，，13,331,,,又?，?Saa32223

1,,1，n,,aanaan，，?,,，，，，3nn121,18?S,,,,n222 ？,n27) 44. 等比数列的定义与性质

an,1n，1定义:(为常数，)，,,,qqqaaq0n1an

2等比中项:、、成等比数列，或xGyGxyGxy,,,,

naq,()1,1,n前项和:(要注意)nS,!aq,1,，，n1q,()1,,q1, 性质:是等比数列a,,n

()若，则??1mnpqaaaa，,，,mnpq

()，，??仍为等比数列2SSSSS,,nnnnn232 45.由求时应注意什么,Sann

(时，，时，)naSnaSS,,,,,12111nnn, 46. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗,

例如:(1)求差(商)法

111如:满足??aaaan，，，,，,,251,,n12n2n222

1naa,,，，,1时，，?21514112 解:

111naaan,，，，,,，,,2时，??215212n,12n,1222

1,,,,,,12得:a2nn2 n，1?a,2n

第 14 页

n,141(),?a,,nn，1n,22(), ,练习,

5数列满足，，求aSSaaa，,,4,,nnnnn，，1113

Sn，1(注意到代入得:aSS,,,4nnn，，11Sn n又，?是等比数列，SSS,,44,,1nn n,1naSS,,,,,234时，???nnn,1 (2)叠乘法

ann1，例如:数列中，，，求aa,,3a,,n1nan，1n

aaaa,12n1123nn,,??????，?aaa23nan,1211n 解:

3又，?aa,,31nn (3)等差型递推公式

由，，求，用迭加法aafnaaa,,,()nnn,110

,naaf,,,22时，()21,aaf,,()3,32两边相加，得:,????,

,aafn,,()nn,1, aafffn,,，，，()()()23??n1

???aafffn,，，，，()()()23n0 ,练习,

n1,数列，，，求aaaana,,，,132，，,,nn1nn1,

1n()a,,31，，n2 (4)等比型递推公式

acadcdccd,，,,,、为常数，，，010，，nn,1 可转化为等比数列，设axcax，,，，，nn,1 ,,，,acacx1，，nn1,

d令，?()cxdx,,,1c,1

dd,,?是首项为，为公比的等比数列a，a，c,,n1c,11c,,,

dd,,n,1??a，,，ac,,n1,,11c,c,

第 15 页

dd,,n,1?aa,，c,,,n1,,11c,c, (5)倒数法

2an例如:，，求aa,,1a11n，na，2n

a，2111n由已知得:,,，aaa22n，1nn

111?,,aa2nn，1

,,111？为等差数列，，公差为,1,,aa2n1,,

111？,，,,，11nn?1，，，，a22n

2?a,nn，1 47. 你熟悉求数列前n项和的常用方法吗,

例如:(1)裂项法:把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。

n1如:是公差为的等差数列，求ad,,,naak,1kk，1

,,11111d由,,,,0，，,,aaddaaaa，?,,，，kkkk，1kk，1 解: nn,,1111?,,,,,,aadaa,,k,1k,1kk，1kk，1

，，,,,,,,1111111,,，,，，,??,,,,,,,,daaaaaa,,,,,,12231nn，，，

,,111,,,,daa,,11n， (2)错位相减法:

若为等差数列，为等比数列，求数列(差比数列)前项ababn,,,,,,nnnn

和，可由求，其中为的公比。SqSSqb,,,nnnn n231,如:??Sxxxnx,，，，，，,,12341n nn2341,xSxxxxnxnx???,，，，，，,，,,23412，，n nn21,,,,,,,,，，，，,1211:??xSxxxnx，，n nn1,x，，nxxS,,1时，,n21,x1,x，，

nn，1，，xSn,,，，，，,1123时，??n2

第 16 页

(3)倒序相加法:把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。

,Saaaa,，，，，??,nnn121,相加,,Saaaa,，，，，??nnn,121,

2Saaaaaa,，，，，，，????，，，，，，nnnn1211, 48. 你知道储蓄、贷款问题吗,

?零存整取储蓄(单利)本利和计算模型:

若每期存入本金p元，每期利率为r，n期后，本利和为:

nn，1，，，，Sprprpnrpn,，，，，，，,，1121????等差问题r，，，，，，,,n2，， ?若按复利，如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型(按揭贷款——分期等额归还本息的借款种类)

若贷款(向银行借款)p元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期(如一年)后为第一次还款日，如此下去，第n次还清。如果每期利率为r(按复利)，那么每期应还x元，满足

nn,,12nprxrxrxrx()1111，,，，，，，，，??，，，，，，

nn，，,，r，,r1111，，，，,x,x,,,，rr11，，,,，， nprr1，，，?x,n11，,r，， p——贷款数，r——利率，n——还款期数

49. 解排列、组合问题的依据是:分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。

()分类计数原理:??1Nmmm,，，，12n

(为各类办法中的方法数)mi

分步计数原理:???Nmmm,12n

(为各步骤中的方法数)mi (2)排列:从n个不同元素中，任取m(m?n)个元素，按照一定的顺序排成一

m列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列，所有排列的个数记为nmA.n

n!mAnnnnm,,,,，,121??mn,，，，，，，，，nnm,!，，

规定:0!1, (3)组合:从n个不同元素中任取m(m?n)个元素并组成一组，叫做从n个不

m同元素中取出个元素的一个组合，所有组合个数记为mC.n mnnnm,,，11??A，，，，n!mnC,,,nmm!mnm!!,A，，m 0规定:C,1n

()组合数性质:4 mnmmmmnn,,101CCCCCCCC,，,，，，,，，??2nnnnnnnn，1 50. 解排列与组合问题的规律是:

相邻问题捆绑法;相间隔问题插空法;定位问题优先法;多元问题分类法;至多至少问题间接法;相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。

如:学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩

第 17 页

xixxxx,,,,,89909192931234，，，，，，，，且满足，(),,i1234 则这四位同学考试成绩的所有可能情况是( )

A. 24 B. 15 C. 12 D. 10

解析:可分成两类:

()中间两个分数不相等，1

4有(种)C,55 (2)中间两个分数相等

xxxx,,,1234 相同两数分别取90，91，92，对应的排列可以数出来，分别有3，4，3种，?有10种。

?共有5，10,15(种)情况

51. 二项式定理

n011222nn,,,nrnrrnn()abCaCabCabCabCb，,，，，，，，??nnnnn rnrr,二项展开式的通项公式:，??TCabrn,,()01rn，1 rC为二项式系数(区别于该项的系数)n 性质:

rnr,()对称性:，，，??，1012CCrn,,，，nn 01nn()系数和:?2CCC，，，,2nnn 1350241n,CCCCCC，，，,，，，,??2nnnnnn (3)最值:n为偶数时，n，1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第

nn,,211，项，二项式系数为;为奇数时，为偶数，中间两项的二项式()，Cnn,,n,,2 nn,，11nn，，1122系数最大即第项及第项，其二项式系数为CC，,1nn22 11如:在二项式的展开式中，系数最小的项系数为(用数字x,1，，表示)

(?,n11

12?共有项，中间两项系数的绝对值最大，且为第或第项12,672 rrr11,由，?取即第项系数为负值为最小:Cxr(),,15611 65,,,,,CC4261111 200422004又如:??，则12,,，，，，,xaaxaxaxxR，，，，0122004 aaaaaaaa，，，，，，，，,??(用数字作答)，，，，，，，，01020302004

(令，得:xa,,010

令，得:??xaaa,，，，,11022004

?原式??),，，，，,，，,20032003112004aaaa，，0012004 52. 你对随机事件之间的关系熟悉吗,

()必然事件，，不可能事件，110,,PP，,,)(),,

第 18 页

()包含关系:，“发生必导致发生”称包含。2ABABBA,

A B

()事件的和(并):或“与至少有一个发生”叫做与3ABABABAB，: 的和(并)。

()事件的积(交):?或“与同时发生”叫做与的积。4ABABABAB:

(5)互斥事件(互不相容事件):“A与B不能同时发生”叫做A、B互斥。 AB?,,

(6)对立事件(互逆事件):

“不发生”叫做发生的对立(逆)事件，AAA

AAAA::,,,，,

(7)独立事件:A发生与否对B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。 ABABABAB与独立，与，与，与也相互独立。 53. 对某一事件概率的求法:

分清所求的是:(1)等可能事件的概率(常采用排列组合的方法，即

Am包含的等可能结果PA(),,n一次试验的等可能结果的总数

()若、互斥，则2ABPABPAPB，,，()()，，

()若、相互独立，则??3ABPABPAPB,，，，，，， ()41PAPA()(),, (5)如果在一次试验中A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中A恰好发生

第 19 页

nk,kkk次的概率:PkCpp(),,1，，nn 如:设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。

(1)从中任取2件都是次品;

2,,C24P,,,,1215C,,10 (2)从中任取5件恰有2件次品;

23,,CC1046P,,,,25C21,,10 (3)从中有放回地任取3件至少有2件次品; 3 解析:有放回地抽取3次(每次抽1件)，?n,10

而至少有2件次品为“恰有2次品”和“三件都是次品”

2213??mC,，4643 223C??464，443?P,,3312510 (4)从中依次取5件恰有2件次品。

解析:?一件一件抽取(有顺序)

5223?，nAmCAA,,10456 223CAA10456?P,,45A2110 分清(1)、(2)是组合问题，(3)是可重复排列问题，(4)是无重复排列问题。

54. 抽样方法主要有:简单随机抽样(抽签法、随机数表法)常常用于总体个数较少时，它的特征是从总体中逐个抽取;系统抽样，常用于总体个数较多时，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一个;分层抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要用于总体中有明显差异，它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等，体现了抽样的客观性和平等性。

55. 对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的概率，用样本的期望(平均值)和方差去估计总体的期望和方差。

要熟悉样本频率直方图的作法:

()算数据极差;1xx,，，maxmin (2)决定组距和组数;

(3)决定分点;

(4)列频率分布表;

(5)画频率直方图。

频率其中，频率小长方形的面积组距×,,组距

1样本平均值:??x,，，，xxx，，12nn

12222样本方差:??Sxxxxxx,,，,，，,，，，，，，12n,,n 如:从10名女生与5名男生中选6名学生参加比赛，如果按性别分层随机抽样，则组成此参赛队的概率为____________。

42CC105()6C15 56. 你对向量的有关概念清楚吗,

(1)向量——既有大小又有方向的量。

第 20 页

()向量的模——有向线段的长度，2||a ,,,a()单位向量，31||aa,,00,

||a ,,

()零向量，4000||,

,,长度相等,()相等的向量5,ab,,方向相同, 在此规定下向量可以在平面(或空间)平行移动而不改变。

(6)并线向量(平行向量)——方向相同或相反的向量。

规定零向量与任意向量平行。

,,,,,,

babba?存在唯一实数，使(),,,0,, (7)向量的加、减法如图:

,,,

OAOBOC，, ,,,

OAOBBA,, (8)平面向量基本定理(向量的分解定理)

,,,

eea，是平面内的两个不共线向量，为该平面任一向量，则存在唯一12 ,,,,,

实数对、，使得，、叫做表示这一平面内所有向量,,,,aeeee,，12121212 的一组基底。

(9)向量的坐标表示

ijxy，是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数，，使得

第 21 页

,,,,,

axiyjxyaaxy,，,，称，为向量的坐标，记作:，，即为向量的坐标()，，表示。

设，，，axybxy,,，，，，1122 ,,

则，，，abxyyyxyxy,,,,,,，，，，，，11121122 ,

,,,,axyxy,,，，，，，，1111 若，，，AxyBxy，，，，1122 ,

则，ABxxyy,,,，，2121 ,22||ABxxyyAB,,，,，、两点间距离公式，，，，2121 57. 平面向量的数量积

,,,,,,

()??叫做向量与的数量积(或内积)。1ababab,||||cos, ,,

,,,为向量与的夹角，，ab,0,,

B ,

b ,,a O

D A 数量积的几何意义:

,,,,,

ababab?等于与在的方向上的射影的乘积。||||cos, (2)数量积的运算法则

,,,,

???abba, ,,,,,,,

???()abcacbc，,， ,,

??，?，abxyxyxxyy,,，，，，，11221212 ,,,,,,注意:数量积不满足结合律????()()abcabc, ,,

()重要性质:设，，，3axybxy,,，，，，1122 ,,,,

?????ababxxyy,,,，,001212 ,,,,,,,,,,

????或??ababababab,,,,|||||||| ,,,

,,,abb,,(，惟一确定)0

,,,xyxy01221 2,,,,,,222?，??aaxyabab,,，,||||||||11 ,,

，xxyy?ab1212?cos,,,,,2222，，?xyxy||||?ab1122 ,练习,

第 22 页

,,,,,,

()已知正方形，边长为，，，，则11ABCDABaBCbACc,,, ,,,

||abc，，,

22 答案:

,,,,

()若向量，，，，当时与共线且方向相同214axbxxab,,,，，，，答案:2

,,,,o()已知、均为单位向量，它们的夹角为，那么3603abab||，,

13 答案:

58. 线段的定比分点

设，，，，分点，，设、是直线上两点，点在PxyPxyPxyPPPl，，，，，，11122212 ,,l上且不同于、，若存在一实数，使，则叫做分有向线段PPPPPPP,,,,1212 ,

PPPPPPPP所成的比(，在线段内，，在外)，且,,,,00121212

,xx，xx，,,1212x,x,,,,,1,，2，为中点时，PPP,,12yy，,yy，1212,,y,y,,,1，,2,,

如:，，，，，，,ABCAxyBxyCxy，，，，，，112233

，，，，xxxyyy,,123123则重心的坐标是，,ABCG,,,,33 ※. 你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗,

59. 立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗,

平行垂直的证明主要利用线面关系的转化:

线?线线?面面?面,,,,,,

判定性质,,,,,,线?线线?面面?面,,,,,,,,

线?线线?面面?面,,,,,, 线面平行的判定:

abbaa?，面，?面,,,,,,

线面平行的性质:

,,,,,,?面，面，?,,,:bab 三垂线定理(及逆定理):

PAAOPO?面，为在内射影，面，则,,,a,

aOAaPOaPOaAO??;??,,

第 23 页

O a

线面垂直:

abacbcbcOa?，?，，，?,,,,,:

α b c

面面垂直:

aa?面，面?,,,,,,

面?面，，，??,,,,,,:,,,llaaa

α a

β abab?面，?面?,,,

面?，面??,,,,aa,

a b

60. 三类角的定义及求法

(1)异面直线所成的角θ，0?,θ?90?

(2)直线与平面所成的角θ，0??θ?90?

o,,,,时，?或0bb,

第 24 页

oo()二面角:二面角的平面角，30180,,,,,,,,l

(三垂线定理法:A?α作或证AB?β于B，作BO?棱于O，连AO，则AO?棱l，??AOB为所求。)

三类角的求法:

?找出或作出有关的角。

?证明其符合定义，并指出所求作的角。

?计算大小(解直角三角形，或用余弦定理)。

,练习,

(1)如图，OA为α的斜线OB为其在α内射影，OC为α内过O点任一直线。

证明:?coscoscos,,,,

α θ O B β

, C

(为线面成角，?，?),,,AOC=BOC= (2)如图，正四棱柱ABCD—ABCD中对角线BD,8，BD与侧面BBCC所成的为30?。 11111111

?求BD和底面ABCD所成的角; 1

?求异面直线BD和AD所成的角; 1

?求二面角C—BD—B的大小。 111

第 25 页

D C 11

B A11

D C

A B

36o(?;?;?)arcsinarcsin6043 (3)如图ABCD为菱形，?DAB,60?，PD?面ABCD，且PD,AD，求面PAB与面PCD所成的锐二面角的大小。

P F

D C

A E B (?AB?DC，P为面PAB与面PCD的公共点，作PF?AB，则PF为面PCD与面PAB的交线??)

61. 空间有几种距离,如何求距离,

点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。

将空间距离转化为两点的距离，构造三角形，解三角形求线段的长(如:三垂线定理法，或者用等积转化法)。

如:正方形ABCD—ABCD中，棱长为a，则: 1111

(1)点C到面ABC的距离为___________; 11

(2)点B到面ACB的距离为____________; 1

(3)直线AD到面ABC的距离为____________; 1111

(4)面ABC与面ADC的距离为____________; 111

(5)点B到直线AC的距离为_____________。 11

D C

A B

C D11

A B 11 62. 你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质,

正棱柱——底面为正多边形的直棱柱

正棱锥——底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。

第 26 页

正棱锥的计算集中在四个直角三角形中:

RtSOBRtSOERtBOERtSBE,,,,，，和它们各包含哪些元素,

1SChCh,?(——底面周长，为斜高)''正棱锥侧2

1V,底面积×高锥3 63. 球有哪些性质,

22()球心和截面圆心的连线垂直于截面1rRd,, (2)球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此，要找球心角～

(3)如图，θ为纬度角，它是线面成角;α为经度角，它是面面成角。

423()，44SRVR,,,,球球3 (5)球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半径R与内切球半径r之比为R:r,3:1。

如:一正四面体的棱长均为，四个顶点都在同一球面上，则此球的表面2 积为( )

ABCD....34336,,,, 答案:A

64. 熟记下列公式了吗,

yy,,,,21()直线的倾斜角，，，10l,,,,,,,ktan,,xx,,，,12,,xx,221 ,PxyPxyak，，，是上两点，直线的方向向量，ll,1，，，，，，111222 (2)直线方程:

点斜式:(存在)yykxxk,,,，，00

斜截式:ykxb,，

xy截距式:，,1ab

一般式:(、不同时为零)AxByCAB，，,0

AxByC，，00()点，到直线:的距离30PxyAxByCdl，，,,，，0022AB，

第 27 页

kk,21()到的到角公式:4lltan,,121,kk12

kk,21ll与的夹角公式:tan,,121,kk12 65. 如何判断两直线平行、垂直,

ABAB,,1221,ll?,12ACAC,1221,

kkl,,l?(反之不一定成立)1212 AABB，,,0ll?121212

kk??,,,1ll1212 66. 怎样判断直线l与圆C的位置关系,

圆心到直线的距离与圆的半径比较。

直线与圆相交时，注意利用圆的“垂径定理”。

67. 怎样判断直线与圆锥曲线的位置,

联立方程组关于(或)的一元二次方程“”,,xy,

,,,,,,,,,000相交;相切;相离 68. 分清圆锥曲线的定义

,椭圆，,，,,,PFPFaacFF2221212,,第一定义双曲线，,,,,,PFPFaacFF222,1212,抛物线,,PFPK,,

PFc第二定义:e,,PKa

0111,,,,,,,eee椭圆;双曲线;抛物线

2 ax, b c

F F a x 12

22xy，,,,10ab，， 22ab 222abc,，，，

第 28 页

22xy222,,,,100，ab，，22cab,，，，ab e>1 e=1

P 0<><1>

2222xyxy6910.与双曲线有相同焦点的双曲线系为,,,,,,,，，2222abab 70. 在圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程，要注意其二次项系数是否为零,??0的限制。(求

交点，弦长，中点，斜率，对称存在性问题都在??0下进行。)

22弦长公式PPkxxxx,，，,14，，，，121212,,

12,,yyyy,，1，,4，，,,1212,,2,,k 71. 会用定义求圆锥曲线的焦半径吗,

如:

,y) P(x00

O F x F12

22xy,,122ab 2PF,,a2,,,，,,ePFexexa,,200PKc,,

PFexa,，10

第 29 页

A P 2

O F x

P1 B 2ypxp,,20，，通径是抛物线的所有焦点弦中最短者;以焦点弦为直径的圆与准线相切。

72. 有关中点弦问题可考虑用“代点法”。

22如:椭圆与直线交于、两点，原点与中点连mxnyyxMNMN，,,,11

2m线的斜率为，则的值为2n

m2,n2 答案:

73. 如何求解“对称”问题,

(1)证明曲线C:F(x，y),0关于点M(a，b)成中心对称，设A(x，y)为曲线C上任意一点，设

A'(x'，y')为A关于点M的对称点。

xx，''yy，(由，，)a,b,,,,,,xaxyby''2222

只要证明，也在曲线上，即AaxbyCfxy'(')'22,,,，，

AA'?l,()点、关于直线对称2AA'l,,AA'中点在上l,

?1kk,,,AA'l,,'中点坐标满足方程lAA,

xr,cos,,22274.圆的参数方程为(为参数)xyr，,,,yr,sin,, 22xa,cos,,xy椭圆的参数方程为(为参数)，,1,,22yb,sin,ab, 75. 求轨迹方程的常用方法有哪些,注意讨论范围。

(直接法、定义法、转移法、参数法)

76. 对线性规划问题:作出可行域，作出以目标函数为截距的直线，在可行域内平移直线，求出目标函数的

最值。

第 30 页

第 31 页

范文五：高考数学所有公式及结论总结大全

高考数学所有公式及结论总结大全

《《王老师13086894561》

集合

元素与集合的关系

x A x CUA,x CUA x A.

德摩根公式

CU(A B) CUA CUB;CU(A B) CUA CUB.

包含关系

A B A A B B A B CUB CUA

A CUB CUA B R

容斥原理

card(A B) cardA,cardB,card(A B)

card(A B C) cardA,cardB,cardC,card(A B)

,card(A B),card(B C),card(C A),card(A B C).

集合{a1,a2, ,an}的子集个数共有2 个;真子集有2–1个;非空子集有2 –1个;非空

的真子集有2n–2个.

集合A中有M个元素，集合B中有N个元素，则可以构造M*N个从集合A到集合B

的映射; 二次函数，二次方程

二次函数的解析式的三种形式

(1)一般式f(x) ax,bx,c(a 0);

(2)顶点式f(x) a(x,h),k(a 0);

(3)零点式f(x) a(x,x1)(x,x2)(a 0).

解连不等式N f(x) M常有以下转化形式 22nnn

N f(x) M [f(x),M][f(x),N] 0 f(x),NM,NM,N 0 | |f(x), M,f(x)22

11. f(x),NM,N

方程f(x) 0在(k1,k2)上有且只有一个实根,与f(k1)f(k2) 0不等价,前者是后者的一个

必要而不是充分条件.特别地, 方程ax,bx,c 0(a 0)有且只有一个实根在(k1,k2)页共 27 页

2013-7-20 1

《《王老师13086894561》

，则设f(x) x2,px,q

p2,4q 0 (1)方程f(x) 0在区间(m,, )页共 27 页2013-7-20

《《王老师13086894561》

四种命题的相互关系

充要条件

(1)充分条件:若p q，则p是q充分条件.

(2)必要条件:若q p，则p是q必要条件.

(3)充要条件:若p q，且q p，则p是q充要条件.

注:如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件;反之亦然.

函数

函数的单调性

(1)设x1 x2 a,b ,x1 x2那么

f(x1),f(x2) 0 f(x)在 a,b 上是增函数; x1,x2

f(x1),f(x2)(x1,x2) f(x1),f(x2) 0 0 f(x)在 a,b 上是减函数. x1,x2

(2)设函数y f(x)在某个区间页共 27 页2013-7-20 3

《《王老师13086894561》

f(2a,x) f(x).

(2)函数y f(x)的图象关于直线x a,b对称 f(a,mx) f(b,mx) 2

f(a,b,mx) f(mx).

两个函数图象的对称性

(1)函数y f(x)与函数y f(,x)的图象关于直线x 0(即y轴)对称.

(2)函数y f(mx,a)与函数y f(b,mx)的图象关于直线x

(3)函数y f(x)和y f,1a,b对称. 2m(x)的图象关于直线y=x对称.

若将函数y f(x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数y f(x,a),b的图象;若将曲线

f(x,y) 0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线f(x,a,y,b) 0的图象.

互为反函数的两个函数的关系

f(a) b f,1(b) a.

若函数y f(kx,b)存在反函数,则其反函数为y

而函数y [f,11,1[f(x),b],并不是y [f,1(kx,b),k1(kx,b)是y [f(x),b]的反函数. k

几个常见的函数方程

(1)正比例函数f(x) cx,f(x,y) f(x),f(y),f(1) c.

(2)指数函数f(x) a,f(x,y) f(x)f(y),f(1) a 0.

(3)对数函数f(x) logax,f(xy) f(x),f(y),f(a) 1(a 0,a 1).

(4)幂函数f(x) x,f(xy) f(x)f(y),f(1) .

(5)余弦函数f(x) cosx,正弦函数g(x) sinx，f(x,y) f(x)f(y),g(x)g(y)，

?xf(0) 1,limx 0g(x) 1. x

几个函数方程的周期(约定a>0)

(1)f(x) f(x,a)，则f(x)的周期T=a;

(2)f(x) f(x,a) 0，或f(x,a)

或f(x,a) ,

T=2a; 1(f(x) 0)， f(x)11(f(x) 0),

或f(x)2 f(x,a),(f(x) 0,1 ),则f(x)的周期

1(f(x) 0)，则f(x)的周期T=3a; f(x,a)

f(x1),f(x2)(4)f(x1,x2) 且f(a) 1(f(x1) f(x2) 1,0 |x1,x2| 2a)，则f(x)的周期

1,f(x1)f(x2)(3)f(x) 1,

T=4a;

(5)f(x),f(x,a),f(x,2a)f(x,3a),f(x,4a)

f(x)f(x,a)f(x,2a)f(x,3a)f(x,4a),则f(x)的周期T=5a;

(6)f(x,a) f(x),f(x,a)，则f(x)的周期T=6a.

指数与对数

分数指数幂

(1)a

4 mn (a 0,m,n N，且n 1).(2)a,,mn 1amn(a 0,m,n N，且n 1). ,高考数学常

用公式及结论200条

第页共 27 页2013-7-20

《《王老师13086894561》

根式的性质

n(1

) a.(2)当n

a;当n

|a| a,a 0. ,a,a 0

有理指数幂的运算性质

(1) a a a

rrsrrrsr,s(a 0,r,s Q). (2) (a) a(a 0,r,s Q). (3)(ab) ab(a 0,b 0,r Q).

p注: 若a,0，p是一个无理数，则a表示一个确定的实数(上述有理指数幂的运算性质，

对于无理

数指数幂都适用.

指数式与对数式的互化式

logaN b ab N(a 0,a 1,N 0).

对数的换底公式

logmN (a 0,且a 1,m 0,且m 1, N 0). logma

nn推论 logamb logab(a 0,且a 1,m,n 0,且m 1,n 1, N 0). mlogaN

对数的四则运算法则

若a,0，a?1，M,0，N,0，则

(1)loga(MN) logaM,logaN;(2) loga

(3)logaM nlogaM(n R).

2 设函数f(x) logm(ax,bx,c)(a 0),记 b,4ac.若f(x)的定义域为R,则a 0，

2nM logaM,logaN; N

且 0;若f(x)的值域为R,则a 0，且 0.对于a 0的情形,需要单独检验. 对数换

底不等式及其推广

1,则函数y logax(bx) a

11 (1)当a b时,在(0,)和(,, )上y logax(bx)为增函数. aa

， (2)当a b时,在(0,)和(,, )上y logax(bx)为减函数. aa 若a 0,b 0,x 0,x

推论:设n m 1，p 0，a 0，且a 1，则

2(1)logm,p(n,p) logmn.(2)logamlogan logam,n. 2

x 平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总

产值y，有y N(1,p).

39.数列的同项公式与前n项的和的关系

n 1 s1,an ( 数列{an}的前n项的和为sn a1,a2, ,an). sn,sn,1,n 2

数列

等差数列的通项公式an a1,(n,1)d dn,a1,d(n N); *

高考数学常用公式及结论200条

第页共 27 页2013-7-20 5

《《王老师13086894561》

n(a1,an)n(n,1)d1 na1,d n2,(a1,d)n. 2222

a 等比数列的通项公式an a1qn,1 1 qn(n N*); q其前n项和公式为sn

其前n项的和公式为

a1(1,qn) a1,anq,q 1,q 1 sn 1,q或sn 1,q.

na,q 1 na,q 1 1 1

等比差数列 an :an,1 qan,d,a1 b(q 0)的通项公式为

b,(n,1)d,q 1 an bqn,(d,b)qn,1,d; ,q 1 q,1

其前n项和公式为

nb,n(n,1)d,(q 1) sn . d1,qnd(b,),n,(q 1) 1,qq,11,q

分期付款(按揭贷款) ab(1,b)n

每次还款x 元(贷款a元,n次还清,每期利率为b). (1,b)n,1

三角函数

常见三角不等式

)，则sinx x tanx.(2) 若x

(0,)，则1 sinx,cosx 22

(3) |sinx|,|cosx| 1. (1)若x (0,

同角三角函数的基本关系式

sin2 ,cos2 1，tan =

正弦、余弦的诱导公式 sin ，tan cot 1. cos

n n (,1)2cos , cos(, ) n,12 (,1)2sin , n n (,1)2sin ,sin(, )

n,12 (,1)2cos ,

和角与差角公式

sin( ) sin cos cos sin ;

cos( ) cos cos sin sin ;

tan tan . tan( ) 1 tan tan

sin( , )sin( , ) sin2 ,sin2 (平方正弦公式);

cos( , )cos( , ) cos2 ,sin2 .

6 高考数学常用公式及结论200条

第页共 27 页2013-7-20

《《王老师13086894561》

asin ,

bcos , )(辅助角所在象限由点(a,b)的象限决定,tan 半角正余切公式:tan

二倍角公式 b ). a 2 sin sin ,cot 1,cos 1,cos

sin2 sin cos .cos2 cos2 ,sin2 2cos2 ,1 1,2sin2 .tan2

三倍角公式 2tan . 21,tan

sin3 3sin ,4sin3 4sin sin(, )sin(, ). 33

cos3 4cos3 ,3cos 4cos cos(, )cos(, )33

3tan ,tan3 tan3 tan tan(, )tan(, ). 1,3tan2 33

三角函数的周期公式

函数y sin( x, )，x?R及函数y cos( x, )，x?R(A,ω, 为常数，且A?0，ω,0)的

周期T .2

;函数y tan( x, )，x k ,

2,k Z(A,ω, 为常数，且A?0，ω,0)的周期T .

正弦定理

余弦定理 abc 2R. sinAsinBsinC

a2 b2,c2,2bccosA;b2 c2,a2,2cacosB;c2 a2,b2,2abcosC.

面积定理

111aha bhb chc(ha、hb、hc分别表示a、b、c边上的高). 222

111(2)S absinC bcsinA casinB.

222(3)S OAB (1)S

三角形页共 27 页2013-7-20 7

《《王老师13086894561》 sinx a(|a| 1) x (2k,arcsina,2k,,arcsina),k Z.

sinx a(|a| 1) x (2k , ,arcsina,2k ,arcsina),k Z.

cosx a(|a| 1) x (2k ,arccosa,2k ,arccosa),k Z.

cosx a(|a| 1) x (2k ,arccosa,2k ,2 ,arccosa),k Z. tanx a(a R) x (k ,arctana,k ,

2),k Z.

,k ,arctana),k Z. 2

2 ( , ),( , )

角的变形:2 ( , ),( , )

( , ),

向量

实数与向量的积的运算律

设λ、μ为实数，那么

(1) 结合律:λ(μa)=(λμ)a;

(2)第一分配律:(λ+μ)a=λa+μa;(3)第二分配律:λ(a+b)=λa+λb. 向量的数量积的运算律:

(1) a?b= b?a (交换律);(2)( a)?b= (a?b)= a?b= a?( b);

(3)(a+b)?c= a ?c +b?c.

平面向量基本定理

如果e1、e 2是同一平面 (3)设A(x1,y1)，B(x2,y2),则AB OB,OA (x2,x1,y2,y1).

(4)设a=(x,y), R，则 a=( x, y).

(5)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a?b=(x1x2,y1y2).

两向量的夹角公式

(2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a-b=(x1,x2,y1,y2).

cos (a=(x1,y1),b=(x2,y2)).

平面两点间的距离公式

A,B=|AB| (x1,y1)，B(x2,y2)).

向量的平行与垂直

设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b 0，则

A||b b=λa x1y2,x2y1 0.

8 高考数学常用公式及结论200条

第页共 27 页2013-7-20

《《王老师13086894561》

a b(a 0) a?b=0 x1x2,y1y2 0.

线段的定比分公式 PP2，则设P112的分点, 是实数，且PP1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)是线段PP

x1, x2 x OP 1, 1, OP2OP y, y1, 2 y 1

1, 1,(1,t)OP(). t OP tOP121,

三角形的重心坐标公式

?ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则?ABC的重心的坐标是G(x1,x2,x3y1,y2,y3,). 33

点的平移公式

?? ? x x,h x x,h? OP OP,PP .

?? y y,k y y,k ?注:图形F上的任意一点P(x，y)在平移后图形F上的对应点为P(x,y)，且PP的坐标为(h,k). ????

“按向量平移”的几个结论

(1)点P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到点P(x,h,y,k).

(2) 函数y f(x)的图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C,则C的函数解析式为y f(x,h),k.

(3) 图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C,若C的解析式y f(x),则C的函数解析式为?????

y f(x,h),k.

(4)曲线C:f(x,y) 0按向量a=(h,k)平移后得到图象C,则C的方程为f(x,h,y,k) 0.

(5) 向量m=(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到的向量仍然为m=(x,y).

三角形五“心”向量形式的充要条件

设O为 ABC所在平面上一点，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，则 ?? 2 2 2(1)O为 ABC的外心 OA OB OC.

(2)O为 ABC的重心 OA,OB,OC 0.

(3)O为 ABC的垂心

OA OB OB OC OC OA. (4)O为 ABC的页共 27

页2013-7-20 9

《《王老师13086894561》

已知都是正数，则有

(1)若积xy是定值p，则当x y时和x,y有最小值2p;

(2)若和x,y是定值s，则当x y时积xy有最大值

推广已知x,y R，则有(x,y) (x,y),2xy

(1)若积xy是定值,则当|x,y|最大时,|x,y|最大;

当|x,y|最小时,|x,y|最小.

(2)若和|x,y|是定值,则当|x,y|最大时, |xy|最小;

当|x,y|最小时, |xy|最大.

一元二次不等式ax,bx,c 0(或 0)(a 0, b,4ac 0)，如果a与ax2,bx,c同号，则其解

集在两根之外;如果a与ax2,bx,c异号，则其解集在两根之间.简言之:同号两根之外，异号

两根之间.

x1 x x2 (x,x1)(x,x2) 0(x1 x2); 2212s. 422

x x1,或x x2 (x,x1)(x,x2) 0(x1 x2).

含有绝对值的不等式

当a> 0时，有

x a x2 a ,a x a. 2

x a x2 a2 x a或x ,a.

75.无理不等式

f(x) 0 g(x) 0 .

f(x) g(x)

f(x) 0 f(x) 0 g(x) g(x) 0或 . g(x) 0 f(x) [g(x)]2

f(x) 0 g(x) g(x) 0.

f(x) [g(x)]2 (2

指数不等式与对数不等式

(1)当a 1时,

af(x) ag(x) f(x) g(x);

f(x) 0 logaf(x) logag(x) g(x) 0.

f(x) g(x)

(2)当0 a 1时,

af(x) ag(x) f(x) g(x);

f(x) 0 logaf(x) logag(x) g(x) 0

f(x) g(x)

直线方程

斜率公式

10 高考数学常用公式及结论200条

第页共 27 页2013-7-20

《《王老师13086894561》

y2,y1

(P1(x1,y1)、P2(x2,y2)).? k=tanα(α为直线倾斜角)

x2,x1

直线的五种方程

(1)点斜式 y,y1 k(x,x1) (直线l过点P1(x1,y1)，且斜率为k)( (2)斜截式 y kx,b(b

为直线l在y轴上的截距).

y,y1x,x1

(y1 y2)(P 1(x1,y1)、P2(x2,y2) (x1 x2)).

y2,y1x2,x1xy

(4)截距式 , 1(a、b分别为直线的横、纵截距，a、b 0)

(5)一般式 Ax,By,C 0(其中A、B不同时为0).

(3)两点式

两条直线的平行和垂直

(1)若l1:y k1x,b1，l2:y k2x,b2 ?l1||l2 k1 k2,b1 b2; ?l1 l2 k1k2 ,1.

(2)若l1:A1x,B1y,C1 0,l2:A2x,B2y,C2 0,且A1、A2、B1、B2都不为零,

A1B1C1

;

A2B2C2

?两直线垂直的充要条件是 A1A2,B1B2 0;即:l1 l2 A1A2,B1B2 0

?l1||l2 夹角公式

k2,k1

1,k2k1

(l1:y k1x,b1，l2:y k2x,b2,k1k2 ,1)

AB,A2B1

(2)tan |12|.

A1A2,B1B2

(l1:A1x,B1y,C1 0,l2:A2x,B2y,C2 0,A1A2,B1B2 0).

(1)tan |

直线l1 l2时，直线l1与l2的夹角是

. 2

l1到l2的角公式

k,k1

(1)tan 2.

1,k2k1

(l1:y k1x,b1，l2:y k2x,b2,k1k2 ,1)

AB,A2B1

(2)tan 12.

A1A2,B1B2

(l1:A1x,B1y,C1 0,l2:A2x,B2y,C2 0,A1A2,B1B2 0).

直线l1 l2时，直线l1到l2的角是

. 2

四种常用直线系方程

(1)定点直线系方程:经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为y,y0 k(x,x0)(除直线x x0),其中k

是待定的系数; 经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为A(x,x0),B(y,y0) 0,其中A,B是待定的系

数(

(2)共点直线系方程:经过两直线l1:A1x,B1y,C1 0,l2:A2x,B2y,C2 0的交点的直线系方程为

(A1x,B1y,C1), (A2x,B2y,C2) 0(除l2)，其中λ是待定的系数(

(3)平行直线系方程:直线y kx,b中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程(与

直线

高考数学常用公式及结论200条

第页共 27 页2013-7-20

《《王老师13086894561》

Ax,By,C 0平行的直线系方程是Ax,By, 0( 0)，λ是参变量(

(4)垂直直线系方程:与直线Ax,By,C 0 (A?0，B?0)垂直的直线系方程是Bx,Ay, 0,λ是

参变量(

点到直线的距离

或 0所表示的平面区域

设直线l:Ax,By,C 0，若A>0,则在坐标平面页共 27 页2013-7-20

《《王老师13086894561》 d r 相交 0. Aa,Bb,C其中d . 22A,B

两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，O1O2 d

d r1,r2 外离 4条公切线;

d r1,r2 外切 3条公切线;

r1,r2 d r1,r2 相交 2条公切线;

d r1,r2 ab

PF1 a,ex，PF2 a,ex,F1,F2分别为左右焦点

x2y2 PF1F22 焦点三角形:P为椭圆2,2 1(a b 0)上一点，则三角形PF1F2的面积

S=b tan;ab2

2特别地，若PF1 PF2,此三角形面积为b;

x2y2

在椭圆2,2 1(a b 0)上存在点P，使PF1 PF2的条件是c?b,即椭圆的离心率e的范

; 围是2

椭圆的的页共 27 页2013-7-20 13

《《王老师13086894561》

椭圆的切线方程

xxyyx2y2

(1)椭圆2,2 1(a b 0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是02,02 1.

abab

xxyyx2y2

(2)过椭圆2,2 1(a b 0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是02,02 1.

ababx2y222222

(3)椭圆2,2 1(a b 0)与直线Ax,By,C 0相切的条件是Aa,Bb c.

双曲线

x2y2

双曲线2,2 1(a 0,b 0)的焦半径公式

aba2a2

PF1 |e(x,)|，PF2 |e(,x)|.

双曲线的双曲线的切线方程

xxyyx2y2

(1)双曲线2,2 1(a 0,b 0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是02,02 1.

ababx2y2

(2)过双曲线2,2 1(a 0,b 0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是

x0xy0y

,2 1. 2ab

x2y222222

(3)双曲线2,2 1(a 0,b 0)与直线Ax,By,C 0相切的条件是Aa,Bb c.

焦点到渐近线的距离等于虚半轴的长度(即b值)

抛物线

焦点与半径

抛物线y2 ax(a 0),焦点是(,0),准线x ,;

44 aa

抛物线x2 ay(a 0),焦点是(),准线y ,;

焦半径公式

抛物线y 2px(p 0)，C (x0,y0)为抛物线上一点，焦半径CF x0,

高考数学常用公式及结论200条第页共 27 页2013-7-20

p. 2

《《王老师13086894561》

过焦点弦长CD x1, 设点方法

,x2, x1,x2,p.对焦点在y轴上的抛物线有类似结论。 22

y022

2px0. 抛物线y 2px上的动点可设为P(,y0)或P(2pt2,2pt)或 P(x ,y )，其中 y0

二次函数

b24ac,b2

y ax,bx,c a(x,),(a 0)的图象是抛物线:

2a4ab4ac,b2

(1)顶点坐标为(,,);

2a4a

b4ac,b2,1

(2)焦点的坐标为(,,);

2a4a4ac,b2,1

(3)准线方程是y .

抛物线的 (3)抛物线y 2px(p 0)与直线Ax,By,C 0相切的条件是pB 2AC. 过

抛物线

y2 2px(p>0)的焦点

A(x1,y1)B(x2,y2),则有y1y2 ,p2,x1x2 4p2,

F的直线与抛物线相交于

即kOA.KOB=-(O为原点)

A(x1,y1)B(x2,y2),则有y1y2 ,p2,x1x2 4p2,即kOA.KOB=-(O为原点) ;

圆锥曲线共性问题

两个常见的曲线系方程

(1)过曲线f1(x,y) 0,f2(x,y) 0的交点的曲线系方程是

f1(x,y), f2(x,y) 0( 为参数).

x2y2

,2 1,其中k max{a2,b2}.当k min{a2,b2}时,(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程2

a,kb,k

2222

表示椭圆; 当min{a,b} k max{a,b}时,表示双曲线.

直线与圆锥曲线相交的弦长公式

高考数学常用公式及结论200条第页共 27 页2013-7-20

《《王老师13086894561》

AB |x1,x2| |y1,y2|

(弦端点A(x1,y1),B(x2,y2)

由方程 y kx,b2 消去y得到ax,bx,c 0，. 0, 为直线AB的倾斜角，k为直线的

斜率) F(x,y) 0

涉及到曲线上的点A，B及线段AB的中点M的关系时，可以利用“点差法:，比如在

椭圆中:

A(x1,y1),B(x2,y2),中点M(x0,y0),则有:

x12y12, 1(1)a2b2

x22y22, 1(2) a2b2

x0y1,y2x1,x2b2b2

(1),(2) (,2) (,2)x1,x2y1,y2ay0a

圆锥曲线的两类对称问题

(1)曲线F(x,y) 0关于点P(x0,y0)成中心对称的曲线是F(2x0-x,2y0,y) 0.

(2)曲线F(x,y) 0关于直线Ax,By,C 0成轴对称的曲线是

F(x,2A(Ax,By,C)2B(Ax,By,C),y,) 0. A2,B2A2,B2

22 “四线”一方程对于一般的二次曲线Ax,Bxy,Cy,Dx,Ey,F 0，用x0x代x，用y0y代

y，用

代xy，用22x0y,xy02x0,xy,y代x，用0代y即得方程 22

xy,xy0x,xy,yAx0x,B 0,Cy0y,D 0,E 0,F 0，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方222

立体几何程均是此方程得到.

109(证明直线与直线的平行的思考途径

(1)转化为判定共面二直线无交点;

(2)转化为二直线同与第三条直线平行;

(3)转化为线面平行;

(4)转化为线面垂直;

(5)转化为面面平行.

110(证明直线与平面的平行的思考途径

(1)转化为直线与平面无公共点;

(2)转化为线线平行;

(3)转化为面面平行.

111(证明平面与平面平行的思考途径

(1)转化为判定二平面无公共点;

(2)转化为线面平行;

(3)转化为线面垂直.

112(证明直线与直线的垂直的思考途径

(1)转化为相交垂直;

(2)转化为线面垂直;

(3)转化为线与另一线的射影垂直;

高考数学常用公式及结论200条

第页共 27 页2013-7-20

《《王老师13086894561》

(4)转化为线与形成射影的斜线垂直.

113(证明直线与平面垂直的思考途径

(1)转化为该直线与平面空间一点P位于平面MAB设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使118.共面向量定理向量p与两个不共线的向量a、b共面的存在实数对x,y,使p ax,by( OP xOA,yOB,zOC.

121.射影公式 ?已知向量AB=a和轴l，e是l上与l同方向的单位向量.作A点在l上的射影A，作B点在l上的射影B?，则 ??AB |AB|cos〈a，e〉=a?e

122.向量的直角坐标运算

设a,(a1,a2,a3)，b,(b1,b2,b3)则

(1)a，b,(a1,b1,a2,b2,a3,b3);

(2)a,b,(a1,b1,a2,b2,a3,b3);

(3)λa,( a1, a2, a3) (λ?R);

(4)a?b,a1b1,a2b2,a3b3;

高考数学常用公式及结论200条

第页共 27 页2013-7-20 17

《《王老师13086894561》

123.设A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则

124(空间的线线平行或垂直 AB OB,OA= (x2,x1,y2,y1,z2,z1).

rr设a (x1,y1,z1)，b (x2,y2,z2)，则

x1 x2rrrrrr aPb a b(b 0) y1 y2;

z z2 1rrrra b a b 0 x1x2,y1y2,z1z2 0.

125.夹角公式

设a,(a1,a2,a3)，b,(b1,b2,b3)，则

cos〈a，b〉

222. 222推论 (a1b1,a2b2,a3b3) (a1,a2,a3)(b1,b2,b3)，此即三维柯西不等式.

126. 四面体的对棱所成的角

四面体ABCD中, AC与BD所成的角为 ,则 2

|(AB2,CD2),(BC2,DA2)|. cos 2AC BD

rrcos |cosa,b|

rr|a b|= |a| |b|roo(其中 (0 90)为异面直线a,b所成角，a,b分别表示异面直线a,b的方向向量)

128.直线AB与平面所成角 AB m (m为平面的法向量).

arcsin|AB||m|

129.若 ABC所在平面若与过若AB的平面成的角 ,另两边AC,BC与平面成的角分别是 1、 2,A、B为 ABC的两个页共 27 页2013-7-20

《《王老师13086894561》

132.三余弦定理

设AC是α |CD n|d (l1,l2是两异面直线，其公垂向量为n，C、D分别是l1,l2上任一点，d为l1,l2间的距离). |n|

137.点B到平面的距离 |AB n| d (n为平面的法向量，AB是经过面的一条斜线，A ). |n|

138.异面直线上两点距离公式

d d E,AA?,F).

(两条异面直线a、b所成的角为θ，其公垂线段AA的长度为h.在直线a、b上分别取两点E、F，?

A?E m,AF n,EF d).

139.三个向量和的平方公式 2 2 2 2 (a,b,c) a,b,c,2a b,2b c,2c a

2 2 2 a,b,c,2|a| |b|cosa,b,2|b| |c|cosb,c,2|c| |a|cosc,a

140. 长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为l1、l2、l3，夹角分别为 1、 2、 3,则有

l2 l12,l22,l32 cos2 1,cos2 2,cos2 3 1 sin2 1,sin2 2,sin2 3 2.

(立体几何中长方体对角线长的公式是其特例).

141. 面积射影定理

S . cos

(平面多边形及其射影的面积分别是S、S，它们所在平面所成锐二面角的为 ).

142. 斜棱柱的直截面

已知斜棱柱的侧棱长是l,侧面积和体积分别是S斜棱柱侧和V斜棱柱,它的直截面的周长和面积分别是c1和S1,则

?S斜棱柱侧 c1l.

高考数学常用公式及结论200条

第页共 27 页2013-7-20 19 ?

《《王老师13086894561》

?V斜棱柱 S1l.

143(作截面的依据

三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行.

144(棱锥的平行截面的性质

如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比(对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方);相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比( 145.欧拉定理(欧拉公式)

V,F,E 2(简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F).

(1)E=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为n的多边形，则面数F与棱数E的关系:E 1nF; 2

(2)若每个顶点引出的棱数为m，则顶点数V与棱数E的关系:E

146.球的半径是R，则 1mV. 2

43 R, 3

2其表面积S 4 R( 其体积V

147.球的组合体

(1)球与长方体的组合体:

长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.

(2)球与正方体的组合体:

正方体的页共 27 页2013-7-20

《《王老师13086894561》

(4)nAn An,1,An;

(5)An,1 An,mAnmmm,1nn,1n.

(6) 1!,2 2!,3 3!, ,n n! (n,1)!,1.

组合数公式

n=Anmn(n,1) (n,m,1)n～*==(?N，m N，且m n). nmAmm～ (n,m)～1 2 m

mn,m 组合数的两个性质 (1)Cn=Cn

0 ; =Cn,1. m(2) Cn+Cnm,1注:规定Cn 1.

组合恒等式

n,m,1m,1Cn; m

nmm(2)Cn Cn,1; n,m

nm,1m(3)Cn Cn,1; m(1)Cn m

(4) C

r 0

0nrn=2n; rrrr,1(5)C,Cr,1,Cr,2, ,Cn Cn,1. (6)Cn,Cn,Cn, ,Cn, ,Cn 2.

(7)Cn,Cn,Cn, Cn,Cn,Cn, 2

(8)Cn,2Cn,3Cn, ,nCn n2

r0r,110rr123nn,1135024n,112rnn. . (9)CmCn,CmCn, ,CmCn Cm,n.

(10)(Cn),(Cn),(Cn), ,(Cn) C2n.

排列数与组合数的关系

mmAn m～ Cn . r021222n2n

单条件排列

以下各条的大前提是从n个元素中取m个元素的排列.

(1)“在位”与“不在位”

?某(特)元必在某位有An,1种;?某(特)元不在某位有An,An,1(补集思想) An,1An,1

(着眼位置) An,1,Am,1An,1(着眼元素)种.

(2)紧贴与插空(即相邻与不相邻)

?定位紧贴:k(k m n)个元在固定位的排列有AkAn,k种.

?浮动紧贴:n个元素的全排列把k个元排在一起的排法有An,k,1Ak种.注:此类问题常用

捆绑法; ?插空:两组元素分别有k、h个(k h,1)，把它们合在一起来作全排列，k个的

一组互不能挨近的所有排列数有AhAh,1种.

(3)两组元素各相同的插空

高考数学常用公式及结论200条

第页共 27 页2013-7-20 21 hkn,k,1kkm,km1m,1m,1mm,11m,1

《《王老师13086894561》

个大球个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法,

nAmn,1

Cm当n m,1时，无解;当n m,1时，有n,1种排法. An

(4)两组相同元素的排列:两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列数为Cm,n.

分配问题

(1)(平均分组有归属问题)将相异的m、n个物件等分给m个人，各得n件，其分配方法数共有

(mn)!

. m

(n!)

(2)(平均分组无归属问题)将相异的m?n个物体等分为无记号或无顺序的m堆，其分配方法数共有 nnnnnCmn Cmn(mn)!,n Cmn,2n... C2n Cn

N .

m!m!(n!)m

(3)(非平均分组有归属问题)将相异的P(P=n1+n2+ +nm)个物体分给m个人，物件必须被分完，分别得到n1，n2，,，nm件，且n1，n2，,，nm这m个数彼此不相等，则其分配方法数共有

p!m!nnn

. N Cp Cp...C m! ,nn

n1!n2!...nm!

(4)(非完全平均分组有归属问题)将相异的P(P=n1+n2+ +nm)个物体分给m个人，物件必须被分完，分别得到n1，n2，,，nm件，且n1，n2，,，nm这m个数中分别有a、b、c、,个相等，则其分

nnnnn

N Cmn Cmn,n Cmn,2n C2n Cn

p!m!

a!b!c!...n1!n2!...nm!(a!b!c!...)

(5)(非平均分组无归属问题)将相异的P(P=n1+n2+ +nm)个物体分为任意的n1，n2，,，nm件无

记号的m堆，且n1，n2，,，nm这m个数彼此不相等，则其分配方法数有N .

n1!n2!...nm!

(6)(非完全平均分组无归属问题)将相异的P(P=n1+n2+ +nm)个物体分为任意的n1，n2，,，nm

配方法数有N

件无记号的m堆，且n1，n2，,，nm这m个数中分别有a、b、c、,个相等，则其分配方法数有

nmn1n2

Cp Cp,n1...Cnm m!

n1!n2!...nm!(a!b!c!...)

(7)(限定分组有归属问题)将相异的p(p n1+n2+ +nm)个物体分给甲、乙、丙，,,

等m个人，物体必须被分完，如果指定甲得n1件，乙得n2件，丙得n3件，,时，则无论n1，n2，,，nm等m个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有

nmn1n2

N Cp Cp,n1...Cnm

n1!n2!...nm!

“错位问题”及其推广

贝努利装错笺问题:信n封信与n个信封全部错位的组合数为

1111,,, ,(,1)n]. 2!3!4!n!

推广: n个元素与n个位置,其中至少有m个元素错位的不同组合总数为 f(n) n![

1234

f(n,m) n!,Cm(n,1)!,Cm(n,2)!,Cm(n,3)!,Cm(n,4)!

, ,(,1)C(n,p)!, ,(,1)C(n,m)!

1234pmCmCmCmCmpCmmCm

n![1,1,2,2,4, ,(,1), ,(,1)]. pm

AnAnAnAnAnAn

高考数学常用公式及结论200条

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《《王老师13086894561》不定方程x1+x2+ +xn m的解的个数

(1)方程x1+x2+ +xn m(n,m N)的正整数解有Cm,1个.

,(2) 方程x1+x2+ +xn m(n,m N)的非负整数解有 Cn,m,1个. n,1,n,1

(3) 方程x1+x2+ +xn m(n,m N)满足条件xi k(k N,,2 i n,1)的非负整数解有n,1Cm

个. ,1,(n,2)(k,1),

(4) 方程x1+x2+ +xn m(n,m N)满足条件xi k(k N,,2 i n,1)的正整数解有

n,12n,1n,2n,2n,1Cnn,,m1,1,C1C,CC, ,(,1)Cn,2Cm,1,(n,2)个. n,2m,n,k,2n,2m,n,2k,3k,

二项式定理 (a,b) Cna,Cnan0n1n,12n,22rn,rrnnb,Cnab, ,Cnab, ,Cnb ; 二项展开式的通项公式

T Crn,rr

r,1nab(r 0，1，2 ，n).

概率

等可能性事件的概率

P(A) m

互斥事件A，B分别发生的概率的和

P(A，B)=P(A)，P(B)(

n个互斥事件分别发生的概率的和

P(A1，A2，,，An)=P(A1)，P(A2)，,，P(An)(

独立事件A，B同时发生的概率

P(A?B)= P(A)?P(B).

.n个独立事件同时发生的概率

P(A1? A2?,? An)=P(A1)? P(A2)?,? P(An)(

n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率

Pk) Ckk

n(nP(1,P)n,k.

期望与方差

.离散型随机变量的分布列的两个性质

(1)Pi 0(i 1,2, );

(2)P1,P2, 1.

数学期望

E x1P1,x2P2, ,xnPn,

数学期望的性质

(1)E(a ,b) aE( ),b.

(2)若 ,B(n,p),则E np.

(3) 若服从几何分布,且P( k) g(k,p) qk,1p，则E 1

方差

D ,x2,,x22

1,E , p12,E , p2, ,,xn,E , pn,

标准差

=D .

方差的性质

(1)D,a ,b, a2D ;

高考数学常用公式及结论200条

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《《王老师13086894561》

(2)若 ,B(n,p)，则D np(1,p).

(3) 若服从几何分布,且P( k) g(k,p) qk,1p，则D q. 2p 方差与期望的关系

D E 2,,E ,.

正态分布密度函数 2

x, ,,x, ,226,x ,, ,, ,，式中的实数μ， ( >0)是参数，分别表示个体的平均数与标

准差.

.标准正态分布密度函数

x,f,

x, 2,x ,, ,, ,. 2 .对于N( , )，取值小于x的概率

x, F,x, .

P,x1 x0 x2, P,x x2,,P,x x1, 2

F,x2,,F,x1,

x, x1, 2, .

回归直线方程

n ,xi,,,yi,, i 1 b n,2y a,bx，其中 ,xi,, i 1 a , xy,nxyiii 1nn xi2,2i 1.