黄小花-
范文一：简明材料力学
8.2. 已知应力状态如图所示，应力单位为MPa。试用解析法和应力圆分别求：(1)主应力大
小，主平面位置；(2)在单元体上绘出主平面位置及主应力方向；(3)最大切应力。
(e)
(f
)
解：(e)
(1) 应力分量
?x?0 ?y??80MPa ?xy?20MPa
主平面位置和主应力大小
tg2?0??
2?xy
?x??y
??0.5
??0??13.3o ?0?90o?
76.7o
??max?x??y
????2?min
?4.7MPa?80 ????
2??84.7MPa
??1?4.7MPa ?2?0 ?3??84.7MPa
(2) 画主平面位置及主应力方向： ?x>?y，?0面对应?max。
(3) 最大剪应力
1
?max?
(4) 应力圆
?1??3
2
?
4.7?84.7
?44.7MPa 2
(f)
(1) 应力分量
?x??20MPa ?y?30MPa ?xy?20MPa
主平面位置和主应力大小
tg2?0??
2?xy
?x??y
?0.8
??0?19.3o ?0?90o?
109.3o
??max?x??y
???
2??min
?37MPa?20?30 ????
?27MPa2?
??1?37MPa ?2?0 ?3??27MPa
(2) 画主平面位置及主应力方向：?x
(3) 最大剪应力
?max?
(4) 应力圆
?1??3
2
?
37?27
?32MPa 2
8.3. 在图示应力状态应力单位为中MPa，试用解析法计算和应力圆求出指定斜截面上的应
力。
(e) (f)
解：(d)
(1) 应力分量
?x?70MPa ?y??70MPa ?xy?0 ??30o
(2) 用解析法求斜截面上的应力
???
?x??y
2270?7070?70??cos60??35MPa
22???y
???xsin2???xycos2?
270?70?sin60??60.6MPa
2
?
?x??y
cos2???xysin2?
(3) 应力圆
(e)
(1) 应力分量
σx?70MPa σy?70MPa τ
(2) 用解析法求斜截面上的应力
xy
?0 α?30o
σα?
σx?σy
2270?70??70MPa
2σx?σy
τα?sin2α?τxcos2α?0
2
(3) 应力圆：为一点圆
(f)
(1) 应力分量
?
σx?σy
cos2α?τxsin2α
?x?100MPa ?y?50MPa ?xy?0 ??60o
(2) 用解析法求斜截面上的应力
???
?cos2???xysin2?22100?50100?50??cos120??62.5MPa
22 ?x??y
???sin2???xycos2?
2100?50?sin120??21.7MPa
2
?x??y?x??y
(3) 应力圆
8.5. 图示锅炉直径D=1 m，壁厚t=10 mm，锅炉蒸汽压力p=3 MPa。试求：(1)壁内主应力
?1、?2及最大切应力?max；(2)斜截面ab上的正应力及切应力。
解：(1) 求主应力
pD3?106?1?1???150 MPa
2t2?0.01pD?1
?2???75 MPa
4t2?3?0
最大切应力
?max?
?1??3
2
?
150?0
?75 MPa 2
(2) 斜截面ab上的正应力及切应力：
?x??2 ?y??1 ?xy?0 ??60o
??????
?x??y
2?x??y
2
?
?x??y
2
cos2??
75?15075?150
?cos120o?131.3 MPa22
sin2??
75?150
sin120o??
32.5 MPa2
8.6. 图示矩形截面梁某截面上的弯矩和剪力分别为M=10 kN.m，Q=120 kN。试绘出截面上1、
2、3、4各点的应力状态单元体，并求其主应力。
解：(1) 截面上1点的应力：
?(1)??
M2bh6
??
10?103?0.05?0.126
??120 MPa ?(1)?0
应力状态单元：
主应力：
?1??2?0 ?3??120 MPa
(2) 截面上2点的应力：
?(2)?0 ?(2)
应力状态单元：
主应力：
3Q3120?103??????36 MPa
2bh20.05?0.1
36MPa
?1?36 MPa ?2?0 ?3??36 MPa
(3) 截面上3点的应力：
?(3)???(3)
应力状态单元：
主应力：
?(1)
2
?60 MPa
QSz*120?103??0.025?0.05?0.0375?
???27 MPa
0.05?0.13bIz
0.05?
12
60MPa
?max?60?70.4 MPa??????min?2??10.4 MPa ?1?70.4 MPa ?2?0 ?3??10.4 MPa
(4) 截面上4点的应力：
?(4)???(1)?120 MPa ?(4)?0
应力状态单元：
主应力：
?1?120 MPa ?2??3?0
8.8. 图为薄壁圆筒的扭转-拉伸示意图。若P=20 kN，T=600 NN·m，且d=50 mm，?=2 mm。
试求：(1)A点在指定斜截面上的应力。(2)A点主应力的大小及方向，并用单元体表示。
解：(1) A点的应力状态
属二向应力状态，应力分量是
P20000??63.7?106Pa?63.7MPa?6A??50?2?10?y?0
?x?
?xy??
T6006
????70.6?10Pa??70.6MPa22?9
2?rt2??26?2?10
(2) 斜截面的应力：
2263.763.7??cos240??70.6sin240???45.2MPa
22???y
???xsin2???xycos2?
263.7?sin240??70.6cos240??7.7MPa2
??120o
?x??y?x??y
????cos2???xysin2?
(3) 主方向
tg2?0??
2?xy
?x??y
??
2?(?70.6)
?2.22
63.7
?0?32.9o ?0?90o?122.9o
(4) 主应力
σx?σy2?σmaxσx?σy
??()?τ2?xy
22?σmin
?109.3MPa63.763.72
?()?(?70.6)2??
22??45.6MPa?σ1?109.3MPa σ2?0 σ3??45.6MPa ?
(5) 主单元体：?x>?y，?0面对应?max。
8.9. 图示简支梁为36a工字梁，P=140 kN，l=4 m。A点所在截面在P的左侧，且无限接近
于P。试求：(1)通过A点在与水平线成30o的斜面上的应力；(2)A点的主应力及主平面位置。
解：(1) A截面上的剪力和弯矩
Q?
P140Pl140?4??70 kN M???140 kNm 2244
(2) A点的应力状态
?x
(3) 截面几何性质
W?875cm3 Iz?15800cm4
h?360mm B?136mm b?10mm t?15.8mm
（4）应力分量
M?
?x??y?0?xy
h0.36
140?103???79.75MPaIz15800?10?8
22???h?2t??Q?Bbh2??2?????????h??h?2t???2?Izb?8416? ?????
70?1030.136?22??0.36?0.36?2?0.0158???8??15800?10?0.018
2
0.01??0.36?2?0.0158?0.362?????}2?416????20.56MPa
（5）斜截面上的应力
??60o
???y?x??y
???x?cos2???xysin2?
22
79.7579.75???cos120o?20.56?sin120o
22?2.13MPa ???y
???xsin2???xycos2?
279.75??sin120o?20.56?cos120o
2
?24.25MPa
2?xy
2?20.56
??0.516
79.75
（6）主方向
tg2?0??
?x??y
??
?0??13.6o ?0?90o?76.4o
（7）主应力
??max?x??y
????2?min
?84.7MPa79.75??? 2??5.0MPa??1?84.7MPa ?2?0 ?3??5.0MPa ?
8.12. 图示二向应力状态的应力单位为MPa。试作应力圆，并求主应力。
解：(1) 用水平面截得
其中
?x?80MPa ?xy?0 ???50MPa ??60o
(2) 求应力分量
???50?
?
?x??y
2?
?
?x??y
2
cos2???xysin2?
80??y80??y
22??y?40MPa
(3) 主应力
cos(120o)?0
?1??x?80MPa ?2??y?40MPa ?3?0
(4) 应力圆
8.15. 试求图示各应力状态的主应力及最大切应力，应力单位为MPa。
y x
z
(b)
解：(1) z面为一主平面，其上面的正应力为一主应力；
(2) 分析xy平面的应力分量
σx?30MPa σy??20MPa τxy?40MPa
(3) 求主应力大小
??max?x??y
????2?min
?52.2MPa30?20 ???
2??42.2MPa
??1?52.2MPa ?2?50MPa ?3??42.2MPa?
(4) 最大剪应力
?max?
?1??3
2
?47.2MPa
8.16. 列车通过钢桥时，用变形仪测得钢桥横梁A点的应变为?x=0.0004，?y= -0.00012。试求
A点在x和y方向的正应力。设E=200 GPa，μ=0.3。
解：根据广义虎克定义：
?x?
解得
11
(?x???y) ?y?(?y???x) EE
E200?109
?x?(?x???y)?(0.0004?0.3?0.00012)?80MPa
1??21?0.32
E200?109
?y?(?y???x)?(?0.00012?0.3?0.0004)?0
1??21?0.32
7-8. 边长为10 mm的立方铝块紧密无隙地置于刚性模内，如图所示，模的变形不计。铝的
E=70 GPa，?=0.33。若P=6 kN，试求铝块的三个主应力和主应变。
z
y
解：(1) z方向的应力
σz??P60006????60?10Pa??60MPa ?6A10?10?10
(2) x方向和y方向的线应变为零
1[?x??(?y??z)]?0E
1?y?[?y??(?z??x)]?0 E
??1???0.33?1?0.33?6?x??y????60?10??29.6 MPa??z221??1?0.33?x?
(3) x 、y、z三个方向是主方向，主应力是
?1??2??29.6 MPa ?3??60MPa
(4) x 、y、z三个方向的主应变
?1??2?0
?3?1[?3??(?2??1)] E
164?[?60?0.33?2??29.6]?10???5.78?10??70?109
8.18. 从钢构件内某一点的周围取出一部分如图所示。根据理论计算已经求得?=30 MPa，
?=15 MPa。材料E=200 GPa。?=0.30。试求对角线AC的长度改变?l。
σ
解：(1) 应力分量
?x?30MPa ?y?0 ?xy??15MPa
(2) 求30o和-60o斜截面上的正应力：
?30??
??x??y2??x??y2cos2???xysin2?
??60?3030?cos60??15sin60?35.5MPa22 ?x??y?x??y??cos2???xysin2?22
3030??cos(?120?)?15sin(?120?)??5.5MPa22
(3) 求30o方向的线应变
10
?30??1(?30????60?)E 16?4?(35.49?0.3?5.49)?10?1.86?10200?109
(4) 求AC的长度变化
?l??30??AC
25?3?3?1.86?10??10?9.3?10mmsin30??4
8.24. 某厚壁筒横截面如图所示。在危险点处，?t=500 MPa，?r=-350 MPa，第三个主应力垂
直于图面是拉应力。且其数值为420 MPa。试按第三和第四强度理论计算其相当应力。
解：(1) 危险点处的主应力为：
?1?500MPa ?2?420MPa ?3??350MPa
(2) 按第三强度理论计算其相当应力
?r3??1??3?500?350?850MPa
(3) 按第四强度理论计算其相当应力
?r4?
??813 MPa
8.25. 铸铁薄壁圆管如图所示。若管的外径为200 mm，厚度 =15 mm，管内压力p=4 MPa，
P=200 kN。铸铁的抗拉许用压力[?t]=30 MPa，?=0.25。试用第一和第二强度理论校核薄管的强度。
解：(1) 应力状态
11
(2) 计算应力 σ’ D?200?30?170mm
pDP?4??D?
4?106?0.17200?103
????13.64 MPa 4?0.015??0.17?0.015
pD4?106?0.17?''???22.7 MPa2?2?0.015
??1?22.7 MPa ?2?0 ?3??13.64 MPa ?'?
(3) 用第一强度理论校核
σr1?σ1?22.7MPa?[σt]
(4) 用第二强度理论校核
?r2??1??(?2??3)?22.7?0.25(0?13.64)?26.1 MPa]?t]
(5) 结论：强度足够。
12
范文二：简明材料力学
3-1. 用截面法求图示各杆在截面1-1、2-2、3-3上的扭矩。并于截面上有矢量表示扭矩，指
出扭矩的符号。作出各杆扭矩图。
(a) 解: (a)
(1) 用截面法求1-1截面上的扭矩
x
(2)
x
?m
x
?0 ?2?T1?0
?
T1?2 kN.m
?m
x
?0 ?2?
T2?0
?T2??2 kN.m
(3)
x
(b)
(1) 用截面法求1-1截面上的扭矩
m?
x
?0 ?T1?5?3?2?0?T1??4 kN.m
x
(2) 用截面法求2-2截面上的扭矩
x
?m
x
?0 ?T2?3?2?0?T2?1 kN.m
(3) 用截面法求3-3截面上的扭矩
?m
x
?0 ?T3?2?0
?T3??2 kN.m
(4) 画扭矩图
3-6. 图示阶梯形圆轴直径分别为d1=40 mm，d2=70 mm，轴上装有三个带轮。已知由轮3输
入的功率为P3=30 kW，轮1输出的功率为P1=13 kW，轴作匀速转动，转速n=200 r/min，材料的许用剪应力[τ]=60 MPa，G=80 GPa，许用扭转角[θ]=2 o/m。试校核轴的强度和刚度。
解：(1) 计算外力偶矩
P113?9549??620.7Nmn200
P330
m3?9549?9549??1432.4Nm
n200m1?9549
(2) 计算扭矩
T12??m1??620.7 N.m T23??m3??1432.4 N.m
(3) 计算抗扭截面系数
Wt1?Wt2?
(4) 强度校核
?
16
d13?
3d2?
?
16
?0.043?12.56?10?6m3
?
16
?
16
?0.073?67.31?10?6m3
?max1??max2
强度足够。
(5) 计算截面极惯性矩
T12620.7
??49.42MPa?????6
Wt112.56?10
T1432.4?23??21.28MPa?????6Wt267.31?10
Ip1?Wt1?Ip2
(6) 刚度校核
d10.04?12.56?10?6??25.12?10?8 m422 d20.07
?Wt2??67.31?10?6??23.56?10?7 m3
22
T12180o620.7180o
?max1?????1.77o/m9?8
GIp1?80?10?25.12?10?
[?]
?max2?
T231801432.4180
????0.435o/m9?7
GIp2?80?10?23.56?10?
oo
[?]
刚度足够。
注：本题中扭矩的符号为负，而在强度和刚度计算中，扭矩用其数值代入。
5.3. 设图示各梁的载荷P、q、m和尺寸a皆为已知。(1)列出梁的剪力方程和弯矩方程(a、
b)；(2)作剪力图和弯矩图；(3)判定?Q?max和?M?max。
q
(a)
(c)
解：(a)
(1) 求约束反力
MA
(b) (d)
A(2) 列剪力方程和弯矩方程
?Y?0 R?M
A
A
?2P?0
RA?2P
?0 MA
?2Pa?M0?0
MA?Pa
??R?2P x?(0,a)Q(x)?A
??RA?2P?0 x?(a,2a]
??R?x?MA?2Px?Pa x?(0,a]
M(x)?A
??RA?x?MA?2P?(x?a)?Pa x?[0,a)
(3) 画Q图和M图
(4) 最大剪力和最大弯矩值
x Qmax?2P Mmax?Pa
x
(1) 求约束反力
?Y?0 R?M
B
B
?qa?0
MB
RB?qa
?0 ?MB?qa?1.5a?0
3MB?qa2
2
(2) 列剪力方程和弯矩方程
B
???qx x?[0,a]
Q(x)?
??qa x?[a,2a)?
12??? x?[0,a]??2M(x)?
a???qa?(x?) x?[a,2a)
?2?
(3) 画Q图和M图
x
x
(4) 最大剪力和最大弯矩值
Qmax?qa Mmax?
(c)
(1) 求约束反力
32qa 2
A
B?M
B
?0 ?RA?3a?P?2a?2P?a?0
RA?
4P3
?Y?0 RA?RB?P?2P?0
RB?
5P3
(2) 直接画Q图和M图
x
x
(3) 最大剪力和最大弯矩值
Qmax?
(d)
(1) 求约束反力
55P Mmax?Pa 33
?M
B
?0 ?RA?2a?m?2m?03m
2a
?Y?0 RA?RB?0
RA?RB?
3m2a
(2) 直接画Q图和M图
x
M
x
(3) 最大剪力和最大弯矩值
Qmax?
3m3
Mmax?m 2a2
(2) 直接画Q图和M图
x x
(3) 最大剪力和最大弯矩值
Qmax?
(d)
(1) 求约束反力
55P Mmax?Pa 33?MB?0 ?RA?2a?m?2m?03m2a?Y?0 RA?RB?0RA?
RB?3m
2a
(2) 直接画Q图和M图
x M x (3) 最大剪力和最大弯矩值
Qmax?3m3 Mmax?m 2a2
范文三：材料力学填空
1、 梁的支座形式按其对梁在荷载作用面的约束情况, 通常可以简化为
固定铰支座 、
和 可动铰支座 三种基本形式。 (3分)
2、 根据叠加原理, 当梁的内力与梁上荷载为线性关系, 即由几项荷载共同作用引起 某截面的弯矩等于 梁在各项荷载作用下同一截面上弯矩的叠加
(3分)
3、 矩形截面梁的高为 h , 宽为 b , 其上剪力大小为 Fs , 则最大切应力位于横截面上的 性轴 +-h/2,其大小等于 3Fs/2bh 。 (4分)
4、根据梁的正应力强度条件,为使梁提高承载能力,使梁设计更为合理,一般采取 以下三种措施 合理配置梁的荷载和支座 、 合理选 取截面的形状 、
以及合理设计梁的外形。 (4分)
5. 度量梁变形后横截面位移的两个基本量是
(4分)
6、在超静定问题中,都存在多于维持平衡所必需的支座和杆件,习惯上称为 “多余”约束 ,由于上述支座或杆件的存在,未知力必然多于独立平 衡 方 程 , 未 知 力 超 过 独 立 平 衡 方 程 的 数 目 , 称 为 超 静 定 次 数 。 (4分)
7. 如 右 图 外 伸 梁 , 横 截 面 1-1靠 近 支 座 C 右 侧 , 则 其 上 的 剪 力 为 。 (4分)
8、 圆截面直径为 d , 则它对通过其形心某轴的静矩为 , 惯性矩为 (4分)
范文四：简明材料力学复习
一、概念、理解、分析等类型 １、材料力学的主要任务 ２、材料力学的研究对象 ３、强度，刚度，稳定性概念 ４、材料力学中的基本假设
５、材料力学课程中为分析研究总是共作了哪些假设 ６、截面法是用来求解内力的方法
７、正应变(纵向与横向线应变的关系)，切应变的理解，
８、材料力学中杆件的基本变形形式有哪些？各变形形式的定义如何
９、圆形截面杆受扭转变形时，塑性材料与脆性材料杆的破坏情况有何不同
１０、 杆件中梁 ，轴，杆的命名是以什么区分，或者说，梁 ，轴，杆是怎样下定义的 １１、 圆形截面杆受扭时切应力，受弯曲变形时截面上的正应力如何分布 １２、 提高梁的强度的措施有哪些，或者说，怎样合理设计梁强度 １３、 挠度与转角的关系
１４、 一点处应力状态的概念，应力状态的分类 １５、 复杂应力状态下的四个强度理论
１６、 压杆稳定的欧拉公式两种表达式，以及与杆件的几何尺寸间关系，即物理含义 １７、 压杆临界应力总图及其选择方法 二、本课程中的主要知识点
1、内力图的绘制（包括，轴力图，扭矩图，剪力图，弯矩图。其中绘制弯矩图有列方程法，及微分关系法）
2、强度条件的应用，刚度条件的应用，（三方面，即可以校核，设计截面尺寸，求许可载荷）
包括，轴向拉压强度问题；扭转强度，刚度问题；弯曲强度，刚度问题 3、求变形方面的问题
轴向拉压杆求?l或节点位移问题；扭转变形求扭转角；弯曲变形求梁 段上各截面?,?问题
4、静不定问题，或者说，是超静定问题
拉压超静定问题；弯曲超静定问题；扭转静不定问题 5、组合变形 ① 拉（压）弯组合变形， ② 弯扭组合变形变形 6、一点处的应力状态分析
平面应力状态分析（用解析法，图解法求①任意斜截面上正应力σα，切应力τα②求主应力，主平面位置③最大切应力 7、广义胡克定律公式简单应用
8、惯性矩计算，主要是组合截面的IZ计算 9、应用安全因数法建立的稳定性条件计算
三、复习题
１、已知F1=10kN；F2=20kN； F3=35kN；F4=25kN;试画出图示杆件的轴力图。
２、如图所示右端固定的阶梯形圆截面杆，同时随轴向载荷
F1与F2作用，试计算杆内
横截面上的最大正应力。已知F1=20KN，F2=50KN，
直径d1=20mm,d2=30mm。
３、如图所示，杆系受铅垂力F作用，已知E1>E2，两杆横截面面积相等A1=A2，求结点A
的位移。
2
5、如图所示杆件，杆截面积A为200mm，E为200GPa，求杆总的伸长量。
6、简支梁受力和尺寸如图所示，材料为钢，许用应力[σ
]=160MPa，（1）按正应力强度条件分别设计两种截面的尺寸。（2）比较两种截面的Wz/A 值，以说明那种形式比较经济。
7、一传动轴如图，转速n = 300r/min； 主动轮输入的功率P1= 500kW，三个从动轮输出
的功率分别为： P2= 150kW， P3= 150kW， P4= 200kW。 试求：（1）作轴的扭矩图，求最大扭矩。
（2）已知最大切应力不得超过 40MPa,试设计轴径d。
8、某传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输入功率P1 = 400 KW 输出功率分别 P2 = 160KW及 P3 = 240KW，已知：G=80GPa ，[? ]=70M Pa，[? ]=1o/m ，试确定：①AC 段直径 d1和 BC 段直径 d2 ？②若全轴选同一直径，应为多少？③主动轮与从动轮如何安排合理？
9、图示钢制实心圆截面轴，已知： M1=1592N?m, M2=955 N?m，M3=637 N?m， d =70mm， lAB=300mm，lAC=500mm，钢的切变模量G=80GPa。求横截面C相对于B的扭转角φCB。
10、试作图示梁的剪力图，弯矩图。
11、T型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。材料的许用拉应力[?t]＝30MPa，许用压应力[?c]＝120MPa。试校核梁的强度。
12、已知简支梁受力如图，q、l、EI均为已知。求C 截面的挠度wC ；B截面的转角?B
13、分别用解析法和图解法求图示单元体 (1)指定斜截面上的正应力和剪应力; (2)主应力值及主方向，并画在单元体上。
14、铸铁压力机框架，立柱横截面尺寸如图所示，材料的许用拉应力[?t]＝30MPa，许用压应力[?c]＝120MPa。试按立柱的强度计算许可载荷F。
15、课本第233面例8-5
范文五：简明材料力学习题答案
弯曲应力
6-1 求图示各梁在m－m截面上A点的正应力和危险截面上最大正应力。
题 6-1图
解：（a）M
m?m
?2.5KN?m M
max
?3.75KN?m
Jx?
?d64
4
?
??10?10
64
3
4?8
?490.8?10
?8
m
4
?
A
?
2.5?10?4?10
490.8?10
?8
?2
?20.37MPa （压）
?
max
?
3.75?10?5?10
490.8?10
?8
3?2
?38.2MPa
（b）M
m?m
?60KN?m M
3
max
?67.5KN?m
Jx?
bh12
?
12?18?10
12
3
?2
3?8
?5832?10
?8
m
4
?
A
?
60?10?6?10
5832?10
3
?8
?61.73MPa （压）
?
max
?
67.5?10?9?10
5832?10
?8
?2
?104.2MPa
（c）M
m?m
?1KN?m M
max
?1KN?m
?84
Jx?25.6?10m
?63
Wx?7.8?10m
yA?1.52?0.53?0.99cm
1?10?0.99?10
25.6?101?10
3?8
?8
3
?2
?
A
??38.67MPa （压）
?
max
?
25.6?10
?128.2MPa
6-2 图示为直径D＝6 cm的圆轴，其外伸段为空心，内径d＝4cm，求轴内最大正应力。
解：Wx1?
?D32
3
(1??)
4
?
??632
3
?10
?6
44??
??1?()?
6??
?17.02?10?6m3
Wx2?
?D32
3
?
??6?10
32
3?6
3?6
?21.21?10
?4
m
3
?1?
0.9?10
17.02?101.172?1021.21?10
?52.88MPa
3?6
?1? ?
?55.26MPa
max
?55.26MPa
6-3 T字形截面铸铁梁的尺寸与所受载荷如图示。试求梁内最大拉应力与最大压应力。
已知Iz=10170cm4，h1=9.65cm，h2=15.35cm。
解：A截面： ?
?
40?10
3?8
max1
10170?10
?9.65?10
?2
?37.95Mpa （拉）
?min1?? E截面 ?
?
40?10
3?8
10170?10
?15.35?10
?2
??60.37Mpa（压）
20?10
3?8
max2
10170?10
20?10
?15.35?10
?2
?30.19Mpa （拉）
3?8
?
min2
??
10170?10
?9.65?10
?2
??18.98Mpa （压）
6-4 一根直径为d的钢丝绕于直径为D的圆轴上。
（1） 求钢丝由于弯曲而产生的最大弯曲正应力（设钢丝处于弹性状态）
（2） 若 d＝lmm，材料的屈服极限?s=700MPa，弹性模量E=210GPa，求不使钢丝产生
残余变形的轴径D。 解：
1?MEJEJ
?
M?
?
?
E?d
4
32D
?32M
dD
?
m
?ax
MW
?d
3
?E?
9
?3
D?
E?d
?
?
210?10?1?10
6
s
700?10
?0.3m?30cm
6-5 矩形悬臂梁如图示．已知l= 4 m，试确定此梁横截面尺寸。 解：M
max
bh
?
23
，q=10kN/m，许用应力[σ]=10Mpa。
?
12
2
ql
2
?
12
?10?4
2
2
?80KN?m
2
W?
6h6
?3
h?h6
?
h
3
9
36
??
MW
?W?
M
?
?
80?1010?10
?
h
2
9
h?0.416m?41.6cm b?27.7cm
6-6 20a工字钢梁的支承和受力情况如图所示。若[σ]＝160MPa，试求许用载荷P。
解：W?237cm M ?M
?2P3
3
2max
KN?m ??????W
32
?160?10
6
?237?10
?6
?
23
P （M图）
23
P
?P??
?160?237?56.880KN
6-7 压板的尺寸和载荷情况如图所示。材料为 45钢，?s＝380 MPa，取安全系数
n?1.5。试校核压板强度。
解：W?
110
?(
30?20
12
3
?
30?1212
3
)?1568mm
2
M?18?103?20?10?3?360N?m ??
MW
?
3601568?10
?9
?229.6MPa????
6-8 由两个槽钢组成的梁受力如图示。已知材料的许用应力[σ]＝150 MPa，试选择槽钢号码。 解：M
max
?60KN?m
Wx?
M
max
??
60?10150?10
36
?0.4?10
?3
m
3
?400cm
3
查表：（22a， Wx?217.6cm
3
?200cm）
3
20KN?m
（ M 图）
6-9 割刀在切割工件时，受到P＝1kN的切销力的作用。割刀尺寸如图所示。试求割刀内最大弯曲应力。
解：M
?
?3
?p?8?10?8N?m
?3
M
?
?p?30?10?30N?m
W??
2.5?13
64?156
2
2
?70.42mm
3
W?
?
?150mm
3
????max
?
M
?
W?M
?
?
870.4?10
30150?10
?9?9
?114MPa
????max
?
W?
??200MPa
6-10 图示圆木，直径为D，需要从中切取一矩形截面梁。试问（1）如要使所切矩形截面的抗弯强度最高，h、b分别为何值？（2）如要使所切矩形截面的抗弯刚度最高，h、b又分别为何值？
2
解：W?
bh6
?
b(D
2
?b2
)
6
dWdb
?0
2
3b
2
?
D?6
?0
2
? b2
?
D3
2
h
2
?D2
?
D23
?
3
D2
?
b?0.57735D
? h?0.8165
D
J?
dJdb
bh12
2
?
b(D
2
?b)
23
12
?0
3
(D2?b2)2?b?
?从刚度讲
b?0.50D
32
1
?(D
2
?b)2?(?2b)?0
2
h?0.866D
6－11 T字形截面的铸铁梁受纯弯曲如图示，欲使其最大压应力为最大拉应力的3倍，巳知h= 12cm，t=3cm，试确定其翼板宽度b之值。
?
解：
压max拉max
?
?
y上y下
＝3
y上＝3y下 y上＋y下＝h?12
y下＝
124
＝3cm
32
)?(9?3)?4.5?0
S?(b?3)(3?b?
9?3?4.53?1.5
?27cm
6-12 图示简支梁，由No.18工字钢制成，在外载荷作用下，测得横截面A处梁底面的纵向正应变??3.0?10?4，试计算梁的最大弯曲正应力σa=1m。
解：?
A
9
?4
max。已知钢的弹性模量E=200GPa,
?E??200?10?3.0?10?60MPa
?
maxA
?
?
M
maxA
M
?
3/43/8
?2
?
max
?2?A?2?60?120MPa
3
qa
2
3qa
2
14qa
2
（M 图）
6-13 试计算图示矩形截面简支梁的1-1面上a点和b点的正应力和剪应力。
解：1－1截面
Q?3.6364KN
M?3.6364KN?m
J?
bh12MJ
3
?
7.5?15
12
3
?2109.375cm
4
?a?
y?
3.6364?10
3?8
2109.375?10
?3.5?10
?2
?6.03MPa
?b?
3.6364?10?7.5?10
2109.375?10
?8
3?2
?12.93MPa
?a?
QSJb
?
3.6364?10?(4?7.5)?5.5?10
2109.375?10
?8
3?6
?7.5?10
?2
?0.379MPa
6-14 计算在均布载荷 q＝10 kN／m作用下，圆截面简支梁的最大正应力和最大剪应力，并指出它们发生在何处。
解：M
max
?
18
ql
2
?
18
?10?10?1
3
32
?1.25?10N?m Qmax?
12ql?
12
?10?10?1
3
3
?
5?10N
?
max
?
MW
?
1.25?10
3
?
32
?6
?5?10
3
?101.86MPa 在跨中点上、下边缘 ?m
?x
QA?43?
5?10
3
a
?
4
?
?4
43
?5?10
2
?25.46MPa 在梁端，中性轴上
6-15 试计算6-12题工字钢简支梁在图示载荷下梁内的最大剪应力。
3
解： 8
qaW
2
?60MPa
14
qa
3
W?185cm
q? Q
60?10
6
?185?103?12
?6
?8
?29.6KN/m
4
qa
max
?
34
qa?
34
?29.6?1?22.2KN （Q 图）
?max?
QSJt
?
22.2?10
15.4?10
?2
3
?3
?6.5?10
?22.12MPa
6-16 矩形截面木梁所受载荷如图示，材料的许用应力[σ]=10Mpa。试选择该梁的截面尺寸，设h:b?2:1
19KN
8KN?m 21KN
（Q 图） （ M 图）
解：RA?19KN RB?29KN
16
2
W?bh?
h
3
12
3
?
max
?
MW
?
14?10
h
3
????
12
14?10
3
h?
?12
6
10?10
?0.256m?25.6cm
b?12.8cm ?max?1.5
QA
?1.5?
21?10
3
?4
12.8?25.6?10
?0.961MPa????
6-17 试为图示外伸梁选择一工字形截面，材料的许用应力[σ]= 160MPa，[τ]＝80Mpa。
解：W?
M
??
20?1000160?10
6
?125cm
3
取I16， W?141cm J:S?13.8(cm)
QSJt
15?10
3
?3
3
???
13.8?6?10
?0.181MPa????
故 取No16工字钢
?m
10KN
（Q 图） （M 图）
6-18 图示起重机安装在两根工字形钢梁上，试求起重机在移动时的最危险位置及所采用工字型钢的号码。已知 l＝10 m，a＝4 m，d=2 m。起重机的重量 W＝50 kN，起重机的吊重P=10 kN，钢梁材料的许用应力［σ］=160 MPa，[τ]= 100Mpa。
解：轻压：10KN ，50KN
R?
110
?50(10?x)?10(8?x)??58?6x
M(x)?Rx?(58?6x)?x
dMdx
?0 58?12x?0
m x?4.833
M
max
?(58?6?4.833)?4.833?140.17KN?m
W?
M
max
???
?
140.17?10160?10
6
3
?0.876?10
?3
m
3
3
?876cmW2
3
3
取 两个 I28a Wz?508.15cm
??438cm
6-19 等腰梯形截面梁，其截面高度为h。用应变仪测得其上边的纵向线应变
?6
?1??42?10
，下边的纵向线应变?2?14?10?6。试求此截面形心的位置。
解：?上＝
M?y1
Jb
?E??1
?下＝
M?y2
Jb
y1y2
?
?E??2
4214
?1?2
＝?3
y1?y2?h
?3y2?y2?h ?y2?
14h y1?
34h
6-20 简支梁承受均布载荷q，截面为矩形b?h，材料弹性模量E，试求梁最底层纤维的总伸长。 解：M(x)?
ql2x?
qx2
2
?(x)?
M(x)Ebh6
2
?l?
?
l
?(x)dx?
6qEbh
2
?
l
(
l2
?
x
2
2
)dx?
ql
3
2
2Ebh
6-21 矩形截面悬臂梁受力如图（a）所示，若假想沿中性层把梁分开为上下两部分： （1）试求中性层截面上剪应力沿x轴向的变化规律，参见图（b）； （2）试说明梁被截下的部分是怎样平衡的？ 解：（1）?x?
3Q2A
?3qx2bh
（2）由?产生的合力为T T?
?
l
?
x
?bdx?
?
l
3qx2bh
?bdx?
3ql4h
2
由弯曲产生的轴间力为N
ql
N?
2
?
h/2
??b?dy?
?
h/2
M
max
J
b?dy?
?
h/2
2
b12
y
dy（自证） h
3
jql4h
2
?T
6-22 正方形截面边长为a，设水平对角线为中性轴。试求 （1）证明切去边长为
a9
的上下两棱角后，截面的抗弯模量最大；
（2）若截面上的弯矩不变，新截面的最大正应力是原截面的几倍？（提示：计算Iz时可按图中虚线分三块来处理）。 解：原来正方形：
Jz0?
a
4
12
y0max?
a2
2
Wz0?
12
a?0.1179a
33
削去x后：
4
Jz
?
(a?x)12
a?x3?
(2?x)()?
2
?2??
?12???2?
a?x(a?x)?2?x??
222?
??
Wz?
Jzymax
?
Jza?x2
?
212
2
(a?x)(a?3x)
dWdx
?0 9x?10ax?a
a9
2
22
?0
x?
212
89
129
8
2
Wx?
(a)(a)?
81
a
3
?0.1397a
3
??
max新max原
＝
Wz0Wz
?
0.11790.1397
?0.844(倍)
6-23 悬臂梁AB受均布载荷q及集中力P作用如图示。横截面为正方形a?a，中性轴即正方形的对角线。试计算最大剪应力τmax值及其所在位置。 解：Q?(P?ql)
QSJzb
??
Jz?
a
4
12
b?2(
222
a?y)
??12?S?(a?y)?(a?y)?y?(a?y)? ??2232??
2
??
P?ql4
?(
22
a?y)?(
26
a?
23
y)
12
?2
?d?dy
6(P?ql)12222
(a?ay?y) 4
663a
?0 y?
28
a
?max?
QS
?
Jzb
?
(P?ql)
a
4
12
?(
22a?
28
?2?(
26
22a?
a?23?
2828
?(a)a)?
22
a?
28
a)?
a)?(
9(P?ql)8a
2
6-24 试绘出图中所示各截面的剪应力流方向，并指出弯曲中心的大致位置。
解：
6-25 确定开口薄壁圆环截面弯曲中心的位置。设环的平均半径R0，壁厚t，设壁厚t与半径R0相比很小。
解：dS?R0d??t?R0?sin
?
2
S?
?
?
tR0sin?d??tR0
?
2
(1?cos?)
2
3
Jz?2?tR0d?(R0sin?)?tR0??
e?
2?tR0(1?cos?)R0?R0d?
?
2
tR0?
3
?2R0
6-26 试导出图示不对称工字形截面的弯曲中心位置（当在垂直于对称轴的平面内弯曲时）。假设厚度t与其他尺寸相比很小。
解：e
1
?
(2b)
2
ht
z
2
4Jbht4J
z2
2
e
11
?
Jz?2(3b?t)?
h
2
4
2
2
?
th
3
12
e?e?e
111
?
3bht4Jz
?
3bht
?thh?4??2(3bt)??124???
3
2
22
?
9b
2
h?18b
6-27 在均布载荷作用下的等强度悬臂梁，其横截面为矩形，并宽度b=常量，试求截
面高度沿梁轴线的变化规律
1ql
2
22
解：?
l
?
MW
?2
bh0
6
?
3qlbh0
1
?
x
??22??W(x)bhx
6
M(x)
qx
2
l
?
3qlbh0
22
?x?
xl
22
3qxbh
2
2
x22
?
3qlbh0
22
?
hxh0
2
hx?
h0xl
2
2
?
h0xl
6-28 图示变截面梁，自由端受铅垂载荷P作用，梁的尺寸l、b、h均为已知。试计算梁内的最大弯曲正应力。 解：M(x)?P?x
h(x)?h(
l2?x)/
l2
2
W(x)?b
ll??h(?x)/??22??
6
?(x)?
M(x)W(x)
?
6lPx4bh(12
2
2
l2
2
?x)
d?(x)dx
?0 x?l M?
2
12
Pl
lll??
)/?h(??
222??
W?b
6
?
2b?h
3
2
?
max
Pl
3Pl2?? 22
2bh4bh
1
3
6-29 当载荷P直接作用在跨长为l＝6m的简支梁AB的中点时，梁内最大正应力超过容
许值30％。为了消除此过载现象，配置如图所示的辅助梁CD，试求此梁的最小跨长a。
解：
Pl4
?0.70?
P2
x
x?0.35l
a?l?2x?l?0.7l?0.3l?1.8m
6-30 图示外伸梁由25a号工字钢制成，跨长l=6 rn，在全梁上受集度为q的均布载荷作用。当支座截面A、B处及跨度中央截面C的最大正应力σ均为140MPa时，试问外伸部分的长度及载荷集度q等于多少？
解：RA?
M
?
38
ql?qa?
qa2l
2
12
A
qa
2
M
C
?(
3ql8
2
?qa?
qa2l
2
)?
la?qll?
??qa?(?)??(?) 2?22?24
l
?
ql
16
?
qa4
2
M
A
?MC?l?l?a
a??0.2887l?1.7322m
查表：
12qa
2
?140?10
6
?401.883?10
?6
q?
2?140?401.883
1.7322
2
?37.503KN/m
M
M
A
C
M
B
(M图)
6-31 图示悬臂梁跨长L=40cm，集中力P＝250N，作用在弯曲中心上，梁的截面为等肢角形，尺寸如图，试绘剪应力流分布图，并计算了?max和?max之值。
4012
4
解：Jz?
M
?
3812
4
?39571.999mm
4
max
?Pl?250?0.4?100N?m
Qmax?250N
100?
2
?
max
?
2
39572?10
40?10
?12
?3
?71.46MPa
?max?
QSJt
250?40?2??
39572?10
2?12
?20?10
?3
?9
?2?10
?3.57MPa
6-32 圆锥形变截面悬臂梁其两端直径之比db:da＝3:1，在自由端承受集中力P作用，试求梁内的最大弯曲正应力，并将此应力与支承处的最大应力比较。
解：M(x)?Px
l??
?da?(?x)?
??? W(x)??
l32??
??
l??
3
?(x)?
d?dx
M(x)W(x)
l4
?0 xm?
P?
?
max
l4da
3
?
27??8?32
?
64Pl27?da
3
?
b
?
Pl
?(3da)
32
3
?
32Pl27?da
3
?
?
max
?b
?2
6-33 工字形截面的简支钢梁，跨度l＝4m，跨度中央受集中载荷P作用。如材料屈服点?s=240MPa，安全系数n=1.6，试按极限载荷法计算此梁的许可载荷。
解：200?50?(y1?50)?25?100?50??(300?y1)?50??25 y1?50mm
S1?200?50?25?25?10?5m3
S2?100?50?225?25?200?100?162.5?10?5m3 M
max
?240?10
6
?(25?10
?5
?162.5?10
?5
)?450KN?m
Pjx?
4M
l
max
?
4?450
4
?450KN
?P??
Pjx1.6
?281.25KN
6-34 矩形截面简支梁，在跨度中央承受集中力P。论确定塑性区域的长度和塑性区城边界方程式a?f?x?。
解：Wz? W
jx
16?
bh 14bh
14
2
2
M
故
jxs
M
s
?1.5 M
P2?(
12
jx
?Pl
M?l?e)
Pl4?1.5 ?
P1
(l?e)22
1
故 e?l
6PlP
?x Ma?42
1
?
s
?
M
jx
Ws
?
Plbh
2
a
M
a
?
??
A
?ydA?2b?2
2?aba4
2
h
s
ydy?2bs
2
2a2
yd y
??s(
ba6
2
?
bh4
2
?)
将?s及Ma代入上方程：
13
2
a?
2hxl6xl
2
? a?h
