范文一:圆外Stokes问题的边界积分公式
3
圆外 Stokes 问题的边界积分公式
彭维红 董正筑 赵慧明 曹国华
( )中国矿业大学理学院 ,徐州 ,221008
Sto kes 问题 ,利用 Fo urier 展开法 ,通过自然边界归化得到了一个只与边界速度有 针对圆外区域的 摘 要
关的 Sto ke s 问题的边界积分公式 . 根据此公式及边界速度值 ,求得区域内速度及压力分布的解析表达式 ,并通过数
值积分的方法进行求解 ,计算量小 ,所得速度及压力分布图曲线光滑 . 最后借助流体软件进行数值计算 ,结果验证
了边界积分公式的正确性 、可行性 .
, Sto ke s 问题 , Fo urier 展开法 ,边界积分公式 圆外区域 关键词
引言0 . 力粘滞系数
Sto ke s 方程组的边界条件通常有以下两类 : 迄今为止 , 还没有一般的解析方法可以用来积
) 1第一类边界条件为约束边界条件 , 规定了边 [ 1 ,2 ] 分 Na vier2Sto ke s 方程,而只是在某些特殊情形 界上的速度 , 即 u = u, 它表示流体在边界上的速度0 下 , 得 出 了 对 所 有 粘 性 系 数 都 成 立 的 解 . 求 解 必须与边界本身的运动速度相等 . )2 第二类边界条件为自然边界条件 , 流体在自 Na vier2Sto ke s 方程的精确解的问题 ,一般都会遇到 2
σ由边界上必须满足 t= n = 0 , 或更一般些 , ti ij j 6 i = 1 难以克服的数学困难 . 这主要是因为方程是非线性
) ( = g. 其中 , n = n, n为界面外法向单位向量 , 它 1 2
的 ,而不能应用叠加原理的缘故. 因而许多学者转向 ( ) 指向所考察流体的外部 . g = g, g为流体在边界 1 2 对线性 Sto ke s 方程的研究. 祝家麟用单层位势表示 上所受到的力 .
2 Stokes 问题的 Poisson 积分公式 [ 3 ] 定常 Sto ke s 方程的 Di ric hlet 问题的解. 在二维情
设有如下 Sto ke s 方程组边值问题 ΔηΩ = 0 , 内 - u + gra d p况下 ,对于几何形状特殊的问题 ,余德浩采用与区域
div u = 0 , ( )Ω1 内 形状 相 关 的 Gree n 函 数 形 成 的 自 然 边 界 元 法 求 u = u0 Γ上 [ 4,6 ] () Ω单位圆外区域上的 Sto kes 方程组 1的任意一 解. 张耀明等以此为基础 ,归化出并建立了相应 [ 5 ]组解必可表示成如下复变函数的实部或虚部形式 [ 7 ] 的数值求解体系. 半解析法半数值方法也是当前 ( )φ( ) φ( ) ψ( ) x , yu= Re [ - ′z z + z- z] 1
( )φ( ) φ( ) ψ( ) ux , y= Im [′z z + z+z] ( )2 2 研究 Sto ke s 流的主流 ,其中四种为近年发展起来的 ( )ηφ( )p x , y = - 4Re′z [ 8,10 ] (新方法多极子配点法 ,边界积分方程法 , 体内 ( ) ψ( ) φΩ其中z,z为上的两个解析函数 , z = x + i y ,
= x - i y . 当单位圆内边界的合速度为零时 , 设 z ) 奇点分布法和多极子矩法. 本文考虑了在定常运动 ? - n φ( ) αz= z- n 情况下 , Reynol ds 数较小时不可压缩粘性流体的运 6 0 ( )3 ? 动 ,即略去 Na vie r2Sto ke s 方程的非线性项及局部惯 - n βψ( ) = zz- n 6 0 性力 项 , 讨 论 了 平 面 Sto ke s 问 题. 根 据 圆 外 区 域 ααββαβ其中 ,= ,= , n = 1 , 2 , ?, 且及 - n - n - n - n - n - n Sto ke s 问题的自然边界元法 , 利用相应的边界积分
为复系数 。 5 5 ( θ) θ ( θ)( θ) P r ,- co sP r ,3 ur R ,+θ5 r 5 ( ) ( )式即可得区域内以及单位圆 将 3式代入 2 2 2 5 r- R边界上速度与压力的表达式. 此外 , 设单位圆边界上 θ)( θθ) θ ( r P r , - co sP r ,-co s+ 2 5 r 2 r速度为 5 θ ( θ)( θ) 3 uθ R , si nP r ,? θ5 i n θ ( θ) = ae, u1 ,n a- n= a1 - n 6 5 5 η 2- ? θ) θ) ( ( θ) θ θP r ,( P r ,3 p r ,=- r co s+ si n( )4 5 r θ5 ? r θ i n ( θ) u1 , 2 = bn e,b- n= b- n 5 5 6 θ)θ ( θ)( θ - r r , P - ? ( θ) 3 si n- co sP r ,uR ,r + θ5 5 r
( ) 其中 a, b为实数 , a, b为复数 , i ?0 , 将 4式与所 0 0 i i ( θ) uθ R ,得单位圆边界上速度与压力的表达式进行比较 , 得
出未知系数并代入区域内速度及压力的表达式 , 可 其中 3 表示卷积 .
算例分析及结论3 得
? 1 1 - | n| i n θ πθ 一内径 R = 1 m 的圆外区域 , 在 - / 10 ?? ( θ) θ1 - ur ,= an r e+ co s2? 1 2 6 r 2 πππθ - ? / 10 , 9/ 10 ??11/ 10 的内边界处 , 某液体以 2 ? 1 - | n| i n m/ s 的不变速度沿其外法线的反向流动 , 切向速度 θ ) θ( - ai nbn re+ si n2? n | | n 6 2 - ? 为 0 , 内径的其它方向径向及切向速度均为 0 . 取粘 ? θ - | n| i n () η i na +| n | 滞系数= 1 , 求解以下 Sto ke s 问题 n bn re6 - ? ΔηΩ内 = 0 , - u + gra d p? 1 1 - | n| i nθ Ω内 div u = 0 , ( θ) 1 - θbr eur ,si n2? n 2 = + 2 6 2 r - ? ( θ) ur ,= -2 , r ? 1 θ - | n| i n ( )6 θπππ) π co s2? ( - - n | a 911| n i nbn re6 θ θ ?? , r = 1??, - 2 - ? 10 10 1010 ? θ - | n| i n ( θ) ur ,= 0 , el se , r = 1 r () i na +| n | bren n 6 - ? ( θ) uθ r ,= 0 ,r = 1 ? ? η 2- | n| i n θ ( ( θ) θ) p r ,co si nbre( ) |-a= n | n + 将此 Sto ke s 边值问题代入边界积分公式 5进 n 66 r- ? - ? 行计算 , 可得出单位圆外区域速度及压力的解析表 ? θ - | n| i n θ(si n) i na +| bren n | n 6 达式 , 对此公式采用数值积分的方法进行求解 , 计算 - ?
引入公式 ( ) ( ) 出区域内速度 m/ s及压力分布 Pa. 并将结果矩
? 2 1 - | n| θr- 1 阵调入数值计算软件 MA TL AB 中 , 绘制出极坐标 i n r e =2 6 π π( θ)221 + r- 2 rco s - ? 下的等值线图 , 图形如图 1 、2 所示 : ( )( θ) r > 1 5 P P r ,,
( ) 利用公式 5及坐标变换公式 , 容易求得极坐标分
[ 4 ]解下的圆外区域 Sto ke s 问题的边界积分公式
2 2 r- Rθ( θ) ( θ) θ ur ,co s- r ? = co sP r ,+r 2 2 r
5 5 ( θ) ( θ) θ ( θ) r ,+ si nP r ,P 3 ur R ,+ θ5 5 r
2 2 5 r- R ( θ)θ( θ) θ r P r ,- si nP r ,+si n- 2 5 r 2 r
5 θ ( θ)( θ)3 uθ R , co sP r , θ5 图 1 速度等值线图 2 2 r- R( θ) θθ) θ ( si n- r ? uθ r ,= - si nP r ,+2 2 r为了研究速度随半径 r 的变化趋势 , 取水平方
专 辑 彭维红等 : 圆外 Sto ke s 问题的边界积分公式 ?195 ?
径为 100 m , 通过流体软件 f l ue nt 进行计算 , 并求出
水平方向及竖直方向速度随半径 r 的关系 , 以兹对
比 . 所得结果如 5 和图 6 所示 :
图 2 压力等值线图
向及竖直方向进行计算 ,所得结果如图 3 、4 所示 .
图 5 水平方向速度与半径 r 的关系
图 3 水平方向速度与半径 r 的关系
图 6 竖直方向速度与半径 r 的关系
由图 5 及图 6 可知 , 水平方向及竖直方向的速
度大小与变化趋势均与边界积 分公 式计 算 结果 吻
合 , 这验证了边界积分公式的正确性. 由于 Sto ke s
流动中扰动衰减很慢 , 这种纯数值解法应用于无界
流动时往往需取很大的计算区域 , 工作量太大. 本文
在半径 100 m 处将流场截断成有限区域 , 划分的网 4 竖直方向速度与半径 r 的关系 图 格较密但精度依然不够 , 在如图所示小区域内曲线
不光滑. 结论4
由图 3 可见 , 在水平方向速度入口处有最大值 Sto ke s 问题是一类从流体力学的研究中提出来 2 m/ s , 随着半径的增大 , 速度变小 , 且最终趋于 0 ; 同
的偏微分方程组的边值问题 ,利用边界积分公式 ,将 时由图 4 可知 ,在垂直方向内边界速度为 0 ,并随着半
径的增大而增大 , 在约 2 m 处有最大值 0. 079 m/ s , 自 平面问题从二维化为一维 , 这使得求解的工作量比 此往外 ,速度呈下降趋势 , 并最终趋于 0. 而且 , 由图 3
有限差分或有限元法大大减少 . 对于边界合速度为
() 学 , 1986 , 8 3: 281,289 满足的 ,所得结果与一般 C FD 方法计算结果相比具
4 余德浩 . 自然边界元方法的数学理论 . 北京 : 科学出版 有更高的精度 ;对于边界合速度不为零的问题 ,我们
社 , 1993 将另文讨论 . 本文的研究除了为解决 Sto ke s 问题本 5 董正筑 ,李顺才 ,余德浩 . 圆内平面弹性问题的边界积 身所反映的小 Reynol ds 数情况下不可压缩粘性流
() 分公式 . 应用数学和力学 ,2005 ,26 5: 556,560 董正体的定常问题外 ,还为处理更复杂的 Na vie r2Sto ke s 6 筑 ,李顺才 ,余德浩 . 圆外平面弹性问题的边界积 分公问题奠定了基础. () 式 . 应用数学和力学 ,2006 ,27 7: 867,873 7
参 考 文 献 张耀明 ,温卫东 . 平面定常 Sto ke s 问题的无奇异边界积
8 () 分方程 . 计算数学 , 2005 ,2 1:1,10
L i Chen , Wu Xio nghua . A linea rized diff erential quad2 1 严宗毅编 著 . 低 雷 诺 数 流 理 论 . 北 京 : 北 京 大 学 出 版
rat ure met ho d fo r navier2sto ke s equatio ns in t he st ream2 9 社 , 2002 , 62,63 f unctio n a nd vo rticit y fo r m. Chinese J o ur nal of Co mp u2 严宗毅 . Sto kes 流的积分方程法 . 力学进展 , 1986 , 16 () t atio nal Physics , 2006 , 23 1: 10,17 10 () 2:254,264 2 何银年 . Navier2Sto ke s 方程的有限元边界元耦合方法 . Ralli so n J M . The defo r matio n of small vi sco us drop s () 计算物理 , 2002 , 19 3:217,220 and bubble s in shea r f lo w s. A nn Rev Fl uid Mech ,1984 , 3 祝家麟 . 定常 Sto ke s 问题的边界积分方程法 . 计算数 16 :45,66
BO UND A RY I NTEGRAL FO RM UL A FO R STO KES P ROBL EM
OF O UTER CIRCL E DOMAI N
Pe ng Wei ho ng Do ng Zhe ngzh u Zhao H ui mi ng Cao Guo h ua
( )Col l e ge o f S cience , Chi n a U ni ve rs i t y o f M i ni n g a n d Tec hnol o g y , X uz hou , 221008
Abstract The i nt e ntio n of t hi s p ap er i s to di sc u ss t he nat ural bo unda r y ele me nt met ho d of sto ke s p ro ble m of o ut e r ci rcle do mai n . Wit h t hi s met ho d , bo unda r y i nt egral fo r mula j u st relat ed to bo u nda r y ve2 locit y ca n be o bt ai ne d by Fo urie r se rie s e xp a nde d t ech nique . Acco r di ng to Poi sso n i nt egral fo r mula a nd t he bo u nda r y velocit y , t he a nal ytical calculati ng fo r mula of i nner ci rcle val ue s ca n be sol ve d a nd af t er wa r ds t he di st ri butio n of velocit y a nd p re ssure i s give n a nd a nal yzed . It i s co nve nie nt to utilize numerical i nt e gral met ho d to sol ve t he a nal ytical fo r mula a bo ve , a nd t he cur ve s of t he fi gure s received a re slipp er y. Fi nall y , t he n ume rical met ho d i s u sed to co mp ut e t he e xa mp le i n t hi s p ap e r a nd vali dat e t he f ea si bilit y of t he met h2 o d i n t hi s p ap er by co mp a ri so n .
Key words o ut er ci rcle do mai n , sto ke s p ro ble m , Fo urie r se rie s e xp a nded t ec h nique , bo unda r y i nt e gral fo r mula
范文二:圆外Stokes问题的边界积分公式
圆外Stokes问题的边界积分公式
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2006??12?T
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ACTAMECHANICASOLIDASINICA
Vol.27S.Issue
December2006
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(2)
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BOUNDARYINTEGRALFORMULAFORSTOKESPROBLEM
OFOUTERCIRCLEDOMAIN
PengWeihongd?d?DongZhengzhud?d?ZhaoHuimingd?d?CaoGuohua
(CollegeofScience,ChinaUniversityofMiningandTechnology,Xuzhou,221008) Abstractd?Theintentionofthispaperistodiscussthenaturalboundaryelementmethodofstokes
problemofoutercircledomain.Withthismethod,boundaryintegralformulajustrelatedtoboundaryve2
locitycanbeobtainedbyFourierseriesexpandedtechnique.AccordingtoPoissonintegralformulaandthe
boundaryvelocity,theanalyticalcalculatingformulaofinnercirclevaluescanbesolvedandafterwardsthe
distributionofvelocityandpressureisgivenandanalyzed.Itisconvenienttoutilizenumericalintegral
methodtosolvetheanalyticalformulaabove,andthecurvesofthefiguresreceivedareslippery.Finally,
thenumericalmethodisusedtocomputetheexampleinthispaperandvalidatethefeasibilityofthemeth2
odinthispaperbycomparison.
Keywordsd?outercircledomain,stokesproblem,Fourierseriesexpandedtechnique,bound
aryintegral
formula
??691??????????????d?d?d?d?d?d?d?d?d?d?d?d?d?d?d?d?d?2006???n27??
范文三:积分公式
① ?
f (ax +b ) dx =
1
a
?f (ax +b ) d (ax +b ), (a ≠0) ②
?f (sinx )cos xdx =?f (sinx ) d (sinx )
?
f (cosx )sin xdx =-?f (cosx ) d (cosx )
③
?f (lnx ) 1
x dx =?f (lnx ) d (lnx )
?f (e x ) e x dx =?f (e x ) d (e x ) ④
?
f (x n ) x n -1dx =
1
n
?f (x n ) dx n ,(n ≠0) f (
⑤
?1x n ) 1x n +1dx =-1n ?f (1x n ) d (1x n
), (n ≠0); 特别地?
f (1x ) 1x =-?f (1x ) d (1x ), ?f 2dx =2?f ?f (tanx )
dx
⑥
cos 2
x
=?f (tanx ) d tan x
?
f (cotx ) dx
sin 2x =-?f (cotx ) d cot x
f (arcsinx =⑦
??f (arcsinx ) d arcsin x
?
f (arctanx ) dx
1+x 2
=?f (arctanx ) d arctan x ⑧ ?
f '(x ) f (x ) dx =?df (x )
f (x )
=ln f (x ) +C
①
?dx x 2+a 2=1a arctan x
a
+C , (a 0) ②
?dx 1x x 2-a 2=2a ln -a
x +a +C , (a 0)
③
x
=arctan
a
+C ④
=ln(x +C , (a 0)
⑤
=ln x ++C , (a 0)
dx =ln tan x
+C =ln csc x -cot x +⑥ ?sin x 2
C ?dx
sin 2x =-cot x +C dx =ln tan(x +π
) +C =ln sec x +tan x +C ⑦ ?cos x 24
?dx
cos 2x =tan x +C
⑧ ?tan xdx =-ln cos x +C ⑨ ?cot xdx =ln sin x +C
⑩ ?x n -11+x n
dx =1n
ln +x n
+C
? 原函数、不定积分、变限定积分和导数的关系
?f (x ) dx =F (x ) +C (?f (x ) dx )' =f (x )
?F '(x ) dx =F (x ) +C
?f (x ) dx =?
x
x f (t ) dt +C
? 若f (x ) 在区间I 上有第一类间断点,则f (x ) 在I 上不存在原函数; 若f (x ) 在区间I 上有第二类间断点,则f (x ) 在I 上不一定存在原函数
当a a
?
f (x ) 为偶函数时,?-a f (x ) dx =2?0
f (x ) dx , 且f (x ) 的全体原函数均为偶函数
当f (x ) 为奇函数时,?a
f (x ) dx =0, 且f (x ) 只有唯一原函数为奇函数即?x
-a
f (t ) dt
? 周期函数的积分:
a +T
T
?a f (x ) dx =?0
f (x ) dx , 即在任何长度为T 的区间上的积分值是相等的
?
x
T 0
f (t ) dt 以T 为周期的充要条件是?0
f (t ) dt =0
? 可积的必要条件:f (x ) 在[a , b ]上可积?f (x ) 在[a , b ]上有界
1)f (x ) 在[a , b ]上连续
可积的充分条件:2)f (x ) 在[a , b ]上有界且只有有限个间断点
3)f (x ) 在[a , b ]上单调
? 三角有理式的万能代换,即设t =tan x 2dt
2, 则dx =1+t 2
2
此时s i n
x =2t 1+t 2
, c o t =1-t
1+t 2
,
t t 2t 1-t
2 ? 已知平行截面面积的立体体积:V =?β
α
S (x ) dx 旋转体的体积:V x =π?b
f 2
(x ) dx V y =2π?b
a
a
xf (x ) dx
① 液体的静压力:F =P ?S =?b
a ρgx ?f (x ) dx
② 变力做功:W =?b
a
F (x ) dx
③ 连续函数f (x ) 在[a , b ]上的平均值:=
1b
b -a
?a f (x ) dx ④ 交流电路一个周期内的平均功率:=1T
T ?0
i 2(t ) Rdt
⑤ 平面曲线的质心:
★ 取弧长为参数,则=1l 1l
l ?0x (s ) ds , =l ?0
y (s ) ds
β
=
x (t ★ t 为参数,则
β
=y (t ⑥ 平面图形的质心
b
x [f (x ) -g 1b ?f 2(x ) -g 2
(x ) ?=?a (x ) ]dx ?b =?a ??dx a
[,
f (x ) -g (x ) ]dx
?b
a
[ f (x ) -g (x ) ]dx
? 估计积分值
★ 若f (x ) 在[a , b ]上的最大值为M ,最小值为m ,f (x ) 不恒为常数,则m (b -a ) ?b
a f (x ) dx M (b -a )
★ 若有g (x ) ≥0, f (x ) g (x ) Mg (x ), mg (x ) ,则
m ?b g (x ) dx ?b f (x ) g (x ) dx b
a
a
M ?a
g (x ) dx
★ 若f (x ) ≤g (x ), f (x ) g (x ), 则?b f (x ) dx ?b
a
a
g (x ) dx
? 若积分I =?f (x ) dx 在变量替换t =b -x 下积分区间保持不变,则
b
I =?f (b -) t d =t ?
b b
(f -b ) x d ?x 2=?[I
a -a
b
() f +x (]-f b )
x d x
若积分区间是对称的如I =?f (x ) dx ,则作变量替换x =-t ,此时积分区间保持不变,I =?f (-t ) dt ,于是2I =?
-a a
a -a
[f (x ) +f (-x ) ]dx
x
b
b
a
a
a
⑴
?
b
a
(f (x ) ?g (y ) dy ) dx =?(?g (y ) dy ) dF (x )=(F (x ) ?g (y ) dy ) -?F (x ) g (x ) dx
a
a
a
x b x
其中F '(x ) =f (x ) (还可以利用交换积分次序的方法)
π
π
⑵
?
2
sin xdx =?2cos n xdx =
n
?1, n 为奇数(n -1)!! *
I , 其中I *=?π
n 为偶数n !! ?
范文四:积分公式
积分公式
?有理函数的积分列表 ?无理函数积分列表 ?三角函数的积分列表 ?反三角函数的积分列表 ?双曲函数的积分列表
?反双曲函数的积分列表 ?指数函数的积分列表 ?对数函数的积分列表 ?高斯函数的积分列表
?有理函数的积分列表
积分形式x m (a x + b ) n
More generally,[1]
积分形式x m / (a x2 + b x + c ) n
积分形式x m (a + b xn ) p
积分形式 (A + B x) (a + b x) m (c + d x) n (e + f x) p
积分形式 x m (A + B xn ) (a + b xn ) p (c + d xn ) q
积分形式 (d + e x) m (a + b x + c x2) p 当 b 2 ? 4 a c
= 0
积分形式 (d + e x) m (A + B x) (a + b x + c x2) p
积分形式 x m (a + b xn + c x2n ) p 当 b 2 ? 4 a c
= 0
积分形式 x m (A + B xn ) (a + b xn + c x2n ) p
?无理函数积分列表 积分因子
积分因子
如果
,
Here , where the positive value of
is to be taken.
积分因子
积分因子
假设 (ax 2 + bx + c ) 不能转化成 (px + q ) 2 这种形式
积分因子
?三角函数的积分列表 积分形式sine
积分形式
积分形式tangent
积分形式
[1]
积分形式
积分形式cotangent
积分形式sine 和 cosine
also:
also:
also:
also:
also:
积分形式和
积分形式和
积分形式 和
积分形式 和
区间对称的积分
?反三角函数的积分列表 Arcsine 积分因子
Arccosine 积分因子
Arctangent 积分因子
Arccotangent 积分因子
Arcsecant 积分因子
Arccosecant 积分因子
?双曲函数的积分列表
also:
also:
also:
also:
also:
also:
also:
also:
also:
also:
?反双曲函数的积分列表
积分因子
sine
积分因子
cosine
积分因子
tangent
积分因子
cotangent
积分因子secant
积分因子cosecant
?指数函数的积分列表
for
( is the
)
where
where
and is the
when
,
, and
when
,
, and
for , which is the
(the
)
(see
)
(!! 是
)
( 是第一种
)
?对数函数的积分列表
?高斯函数的积分列表
[nb 3]
2012-08-27
范文五:积分公式
(一)含有 ax b +的积分 (0a ≠)
1. d x ax b +?
=1
ln ax b C a
++ 2. () d ax b x μ+?=11
() (1)
ax b C a μμ++++(1μ≠-)
3. x x ax b +?
=21
(ln ) ax b b ax b C a
+-++ 4. 2x x ax b +?=22311() 2() ln 2ax b b ax b b ax b C a ??
+-++++????
5. d () x x ax b +?=1ln ax b
C b x +-+
6. 2d () x x ax b +?=21ln a ax b
C bx b x +-++
7. 2
()
x
x ax b +?
=21(ln) b ax b C a ax b ++++ 8. 2
2
()
x x ax b +?=231(2ln ) b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9. 2d () x x ax b +?
=211ln () ax b C b ax b b x
+-++
的积分
10
. x
C 11
. x ?
=2
2(3215ax b C a - 12
. x x ?
=2223
2(15128105a x abx b C a
-+ 13
. x
=22(23ax b C a -
14
. 2x
=222
3
2(34815a x abx b C a -++
15
.
=(0)
(0)
C b C b ?+>
16
.
2a bx b -- 17
. x
=b 18
. x
=2a + (三)含有 22x a ±的积分
19. 22d x x a +?=
1arctan x C a a
+ 20. 22d () n x x a +?=22212221
23d 2(1) () 2(1) () n n x n x
n a x a n a x a ---+-+-+? 21. 22d x x a -?
=1ln 2x a
C a x a
-++
(四)含有 2(0) ax b a +>的积分
22. 2d x ax b +?
=(0)
(0)
C b C b ?+>+
23. 2
x x ax b +?
=2
1ln 2ax b C a
++ 24. 2
2x x ax b
+?=2d x b x a a ax b -+?
25. 2d () x
x ax b +?=221ln
2x C b ax b
++
26. 22d ()
x
x ax b +?
=21d a x bx b ax b --+? 27. 32d () x x ax b +?=22221
ln 22ax b a C b x bx +-+
28. 22d () x ax b +?
=221d 2() 2x x
b ax b b ax b
+++? (五)含有 2ax bx c ++(0) a >的积分
29. 2d x ax bx c ++?
=2
2(4) (4)
C b ac C b ac +<+> 30. 2x x ax bx c ++?
=2
21d ln 22b x ax bx c a a ax bx c
++-++?
(0) a >的积分 31
. ?=1arsh
x
C a
+
=ln(x C + 32
.
=
C +
33
. x ?
=C +
34
. x
=C +
35
. 2
x
=2ln(2a x C -++ 36
. 2x ?
=ln(x C +++
37
. ?
1C a + 38
. ?
C + 39
. x
=2ln(2
a x C +++ 40
. x
=2243
(25ln(88x x a a x C +++
41
. x ?
=C + 42
. x x ?
=422(2ln(88
x a x a x C ++
43
. x
a C + 44
. x
=ln(x C +++
(0) a >的积分
45
. =
1arch x x
C x a +
=ln x C + 46
.
C +
47
. x ?
=C
48
. x
=C +
49
. 2
x
2ln 2a x C ++ 50
. 2x ?
=ln x C ++
51
. ?1arccos a
C a x + 52
. ?
C + 53
. x
2ln 2
a x C -+ 54
. x
=2243
(25ln 88x x a a x C -++
55
. x ?
=C 56
. x x ?
=422(2ln 88
x a x a x C -++
57
. x ?
=arccos a a C x +
58
. x
=ln x C +++
(0) a >的积分
59
. ?=arcsin
x
C a
+ 60
.
C +
61
. x ?
=C
62
. x
=C +
63
. 2
x
=2arcsin 2a x C a + 64
. 2x ?
=
arcsin
x
C a
-+
65
. ?
1C a + 66
. ?
C + 67
. x
2arcsin 2a x C a
+ 68
. x
=2243(52arcsin 88x x
a x a C a -+
69
. x ?
=C 70
. x x ?
=422(2arcsin 88x a x x a C a
-+
71
. x
a C + 72
. x
=arcsin x
C a
-+
(0) a >的积分
73
. ?
2ax b C +++ 74
. x
=
2
2a x b c C
+
++ 75
. x
=
2a x b c C
+++ 76
. ?
=C +
77
. x
2C +
78
. x
=C
或
79
. x
=((x b b a C --+
80
. x
=((x b b a C -+- 81
.
C
() a b
82
.
x
=
2() 4b a C -+
() a b
(十一)含有三角函数的积分
83. sin d x x ?=cos x C -+ 84. cos d x x ?=sin x C + 85. tan d x x ?=ln cos x C -+ 86. cot d x x ?=ln sin x C +
87. sec d x x ?=ln tan() 42
x
C π++=ln sec tan x x C ++
88. csc d x x ?=ln tan
2
x
C +=ln csc cot x x C -+ 89. 2sec d x x ?=tan x C + 90. 2csc d x x ?=cot x C -+ 91. sec tan d x x x ?=sec x C + 92. csc cot d x x x ?=csc x C -+
93. 2sin d x x ?=
1
sin 224x x C -+ 94. 2cos d x x ?=1
sin 224x x C ++
95. sin d n x x ?=12
11sin cos sin d n n n x x x x n n
----+? 96. cos d n x x ?=12
11cos sin cos d n n n x x x x n n ---+
? 97. d sin n x x ?=121cos 2d 1sin 1sin n n x n x
n x n x ----?+--?
98. d cos n x x ?=121sin 2d 1cos 1cos n n x n x
n x n x
---?+--?
99. cos sin d m n x x x ?=11211cos sin cos sin d m n m n
m x x x x x m n m n -+--+++? =11211
cos sin cos sin d m n m n n x x x x x m n m n
+----+++? 100. sin cos d ax bx x ?=11cos() cos() 2() 2() a b x a b x C a b a b -+--++-
101. sin sin d ax bx x ?=11
sin() sin() 2() 2()
a b x a b x C a b a b -++-++-
102. cos cos d ax bx x ?=
11
sin() sin() 2() 2()
a b x a b x C a b a b ++-++-
103. d sin x
a b x +?
tan x
a b C ++22() a b >
104. d sin x a b x +?
C
+22() a b
105. d cos x a b x +?
=) 2
x
C
+22() a b >
106. d cos x a b x +?
=C +22() a b
107. 2222
d cos sin x a x b x +?=1arctan(tan ) b
x C ab a + 108. 2222d cos sin x a x b x -?
=1tan ln 2tan b x a
C ab b x a
++-
109. sin d x ax x ?=
211sin cos ax x ax C a a -+ 110. 2sin d x ax x ?=223122
cos sin cos x ax x ax ax C a a a -+++
111. cos d x ax x ?=211
cos sin ax x ax C a a ++
112. 2cos d x ax x ?=223122
sin cos sin x ax x ax ax C a a a
+-+
(十二)含有反三角函数的积分(其中 0a >)
113. arcsin x x a ?
=arcsin x
x C a
+
114. arcsin d x x x a ?
=22()arcsin 24x a x C a -+
115. 2
arcsin x x x a ?
=3221
arcsin (239
x x x a C a ++
116. arccos x x a ?
=arccos x
x C a
-
117. arccos x x x a ?
=22()arccos 24x a x C a --
118. 2
arccos d x x x a ?
=3221
arccos (239
x x x a C a -+
119. arctan d x x a ?=22arctan ln() 2x a
x a x C a -++
120. arctan d x x x a ?=221()arctan 22
x a
a x x C a +-+
121. 2
arctan d x x x a ?=33
222arctan ln() 366
x x a a x a x C a -+++
(十三)含有指数函数的积分
122. d x a x ?=
1ln x
a C a + 123. e d ax x ?=1
e ax C a +
124. e d ax x x ?=21
(1)e ax ax C a -+
125. e d n ax x x ?=11e e d n ax n ax n
x x x a a
--?
126. d x xa x ?=
21ln (ln)
x x x a a C a a -+ 127. d n x x a x ?=
11d ln ln n x n x
n x a x a x a a --?
128. e sin d ax bx x ?=2
2
1
e (sin cos ) ax a bx b bx C a b -++ 129. e cos d ax bx x ?=2
2
1e (sin cos ) ax
b bx a bx C a b
+++ 130. e sin d ax n bx x ?=1
2
22
1e sin (sin cos ) ax n bx a bx nb bx a b n --+ 22
2
22(1) e sin d ax n n n b bx x a b n
--++? 131. e cos d ax n bx x ?=
1222
1e cos (cos sin ) ax n bx a bx nb bx a b n
-++ 22
2
22(1) e cos d ax n n n b bx x a b n
--++? (十四)含有对数函数的积分
132. ln d x x ?=ln x x x C -+
133. d ln x
x x
?
=ln ln x C + 134. ln d n x x x ?=
111(ln) 11
n x x C n n +-+++
135. (ln) d n x x ?=1(ln) (ln) d n n x x n x x --? 136. (ln) d m n x x x ?=11
1
(ln) (ln) d 11m n m n n x x x x x m m +--++?
(十五)含有双曲函数的积分
137. sh d x x ?=ch x C +
138. ch d x x ?=sh x C +
139. th d x x ?=ln ch x C +
140. 2sh d x x ?=1
sh224x
x C -++
141. 2ch d x x ?=1
sh224x
x C ++
(十六)定积分
142. cos d nx x π-π?=sin d nx x π
-π?=0
143. cos sin d mx nx x π
-π?=0
144. cos cos d mx nx x π
-π?=0, , m n m n ≠??π=? 145. sin sin d mx nx x π-π?=0, , m n
m n ≠??π=?
146. 0sin sin d mx nx x π?=0cos cos d mx nx x π?=0, , 2m n
m n ≠??
?π
=??
147. n I =20sin d n x x π?=20cos d n x x π
?
n I =21
n n I n --
1
3
4
2
253n n n I n n --=????- (n 为大于 1的正奇数) ,
1I =1 133
1
2422n n n I n n --π
=?????- (n 为正偶数) , 0I =2π
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