δ+函数的可导性证明

范文一：δ+函数的可导性证明

!""! 年萍乡高等专科学校学报"" !! 第期# 23 4 # $%&’()* %+ ,-(./ -)(. 0%**1.1 ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

性证明函数的可导! !

刘鹏林

(萍乡高等专科学校江西萍乡 556""")

函数的提出，冲破了普通函数概念的框架，产生了广义函数。在广义函数的基础上，函"#$%& & ! !!

数及其性质得到了确立，并被广泛应用于信息技术、理论物理、微分方程等许多领域。但因涉及的泛

函分析知识较多(见、)，函数的主要性质之一:函数的可导性证明在一般教科书上却无 & & !"!!法给出。本文通过引入分段函数( ( )和 )，以初等的方法论证了函数导数的存在，进而获 ’ (’ & !#"

得了函数各阶导数都存在的结论。 & !

一、广义函数的定义

设是满足下列条件的普通函数类集: )

+ 中的元素 ( (，，， )具有任意阶导数，上的点。)或 () 是维欧氏空间7 * + 75 + ) ’’, !’-""+

! * 在某有界域内，) 中的收敛序列,(’ ),及其各阶导函数序列均一致收敛。而在此域外，所 + "

有 ( ’ )或 (’ )均为 "。 + ""

! $ & !! ， . / 0 / ’ $ & / ’ /$ 例如( 为正常实数)，则 ( )()。’ , ’ ) "$ $ " "， ’ / / $# + 若上的函数()与中元 ( “)积分”确定一个数值 (()，( ))，则称线性连续映-1 ’ ) ’ 21 ’ ’ ""

射 ((( 上的广义函数。:，即 :)，))为 1 3 1 21 )’’) ""% %

记为()( )1 ’ ’ 5’(7) "& & 8

显然，这是“函数”到“数值”的映射，(1 ’ )在映射中得到了确定。

对一切 ( ’ )) ，若 2( 1(’ )，( ’ ))2( 1(’ )，( ’ ))，称 1(’ )1(’ ) , , "$ 7 "! "7 !

6"7 若( ( ( ((( 是实变量，是 8 或实常数，称 )，)))，))，，21 21 & 8 4 ’’,’’ ""## " ## #%"

6"7 ()或 ( )(())。特别，若,( ),收敛于 ()，记为( ) 1’ 1 ’ 1’ ,1 ’ 1’ 1 ’ % # % #" #### #%"

6"7 6"7 6"7 ( ( )，( ))是个确定的数值，则1( ’ )存在，且 ( ( )，( )) 21’ ’ 21’ ’ ," " # # ## ## #"%" % # %#"

6"7 2( ( ( )。)，)()见 1’ ’ # "## %#"

于是，按通常四则运算，若 ( )()，( )( )，则1’ 1 ’ 8’ 8’ % % ##

万方数据收稿日期:!""! 9 7" 9 ": %

( ( )# $ %&# " # $ %& # !)( ) ( ) ( 、为实数)。"% !! ! !!

当 (" # )不是可积函数时(，!)式仅表示形式。

例如，作 ’ 上的映射( # ! ):)(( # ! )，( # ))如下 ( ( "" ! "" (( ( ( )，)))，当 # # * # * )( !!! """常数) ()# ( 是实 ! !( # ! )"，( * # " # 。则( 函数)是广义函数。这就是本文所要研究的# ( ! ( ""当 (" # )是普通可积函数时(，!)式表示积分运算。例如，设 (" # )是 # 的连续可微函数，( # )’ ， "$

( (( (( )，)))))"+ # # "+ # # ,#*""% ( $ $ $ $ $ (( (()) ))* " # # -" # + # #, "("% ( $ ( $ $ $

()()(由的定义，( )( ))" # + # ,# ’ $ $ $ * "* (( * """% ( $

(()，())(%) * ( )" # + # "

(%)式告诉我们，利用积分可以把对一个函数求导的运算“转嫁”到另一函数上去。这就启发我

们给出广义函数导数的定义了。

二、广义函数导数的定义

# )，设 (( ( ( ( ( (()是广义函数，)，若有广义函数 )使 )，))" # # &# )&# # * ( )"’ ""$

# ))，则称 (& # )是广义函数 (" 的导数，记为 ( "(+ # )，也称 (" # )可导。 )对 )(# # &# * + "

于是，按普通四则运算，若 ()、()可导，则 ()、()也可导，且"# "# !"# %"# ! # ! #

))( (((# * ( ((( (())，)，)))，)))!"# $ %"# +)!"# + # )%"# + # $ """! # ! #

( (( ( (( )，)))，))* ( )!"+ # # )%"+# # !"( " #

( ()()，( ))* ( )!"+# $ %"+ # # ! #" 又 ( "(# )%"(# ))，(+ # )( "(# )%"(# )+ ，( # )))!)!($ )* ($ ) ( # # !"!"( ()(# ))+ ()(# ) &!" # $ %" * !" + # $ %" + !#!#

当 (" # )是普通函数时，(& # )就是通常意义下的导数 "(+ # )。

例( ( )，)# &# *’ # "$

$ $ $ $ $ $ ! ! # + # ( ) (( ( )，( ))( )# - )( )&# # # # #* # # # #),(,* """" % # #( $ % ( $ ( $ $ $ ! ! #+#+ ) ( ( #)( ，())* (# ,# * ( )# # "" %# # ( $

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三、函数是可导函数( "

! 当 "# & 设( )))# *( 处不可导，但因 (( (# * ，通常意义下，)在 )， # # * " )# + "# ##当 # " " . $ $ $ $

( ((())))# + # ,# + # ,# "** ( """# %万方数据% ( $ "

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()+, &$ # - # 。! "# $ # (/ ) 反复利用所得结果和同样的方法，即可得( )的任意阶导数均存在，且# !!

(/ ) ( )+,- &# # (/) 。(# )! ! "# # $

参考文献:

夏道行、吴卓人、严绍宗、舒五昌编《实变函数论与泛函分析》* * ! 人民教育出版社

(%++ * ) ) ,

陈建功著 )《实函数论》，科学出版社(* %+- ,"

，，* / * ，01，.*#$%&’()*+ *-.&/0$112%))3% ’)56...*%7890.:)(*).;.$/8, 4 * 2 * * (%+(-)3<=9>%850.*../,(.;(;;/(’?4?

责任编辑:周增来

万方数据

范文二：绝对值函数的可导性

绝对值函数的可导性

2005第13卷Vo1.13.2005

第4期北京市计划劳动管理干部学院NO.4 (总51期)JOURNALOFBEUINGINSTITUTEOFPLANNINGLAB0UR删

INIRAT10NGeneralNo.51 ?

教学与管理?

绝对值函数的可导性

邓云辉

(四川工程职业技术学院四川德阳618000) 摘要:用导数的定义,得到了统一处理绝对值函数的可导性问题的方法,简化了此

类相关问

题的讨论和求解,具有一定的理论意义. 关键词:可导性;零点

中图分类号:G633.6文献标识码:B文章编号:1008—6684(2005)04—60—02

如众所知,若一元函数厂(z)在z—z.点连续, 则厂(z)在z.点不一定可导.一个常见的例子是厂 (z)一lz1,此函数在z一0处连续,但不可导.我们自然要问:若厂(z)在(a,b)内连续且可导,函数 I厂(z)I在(a,b)内是否连续,可导呢?

我们比较容易证明:若厂(z)在(a,b)内连续, 则l厂(z)I在(a,b)内亦连续.并且其逆定理不成立.在此,我们要讨论的是:厂(z)在(a,b)内连续且可导时,1.厂(z)l在(a,b)内的可导性.

为了叙述简便,我们定义:厂(z)一(z—

z0)kg(z),k?N,g(x0)?0称z一是厂(z)的k 阶零点,k一1时简称零点.显然函数厂(z)和I厂

(z)I具有相同的零点,其阶亦相同. 定理1:设,(z)在(a,b)内连续且可导,若Xo? (口,6)且.7co不是,(z)的零点,则l,(z)l在.7co点可导,并且有If(_{.

我们注意到,当f(x.)dO时,存在以z.为中心的邻域U(z.,),使Vz?U(z.,)时,有I 厂(z)I一厂(z),从而l厂(z)I一-厂(z). 类似的,当f(x)d0时,有I厂(z)l一一厂(z), z?U(z0,).

定理2:设f(z)在(a,b)内连续,可导,若 z.?(口,6)且Xo是f(x)的零点,则

(1)当-厂(zo)一O时,l,(z)1在z—z.可导, 且l八z)ll=一0.

(2)当f(Xo)?0时,l厂(z)l在xo点不可导. 证明:(1)因为

l厂(z川一一/..k

)上

r?r—?O

lim(因厂(z.)一o)

?r—?O~kr

一

~kr?r—+0

一

~kr?

?r—Jl

…

lim?

?r一0rr

—lf(xo)lL一o(Nf(xo)一o)

?r—?Olz

所以I,(z)I在z一勘点可导,且l,(z)ll (2)~f(xo)4=0

r-,,o

一

l厂(勘)I4=0.

但lf(xo)一一?

—

?一

f(xo)1]~

…

lim?

?r一0二

一一

l-厂(zo)l

所以,limL?二.—不存在,

L.kzc凸

收稿日期:2005—10—15

作者简介:邓云辉(196l一),男,四川德阳人,四川工程职业技术学院副教授.

2005年第13卷第4期北京市计划劳动管理干部学院

故I,(z)I在z—z.处不可导.

注:从上述证明可知:z.是If(z)I的跳跃间断点.

定理3:如果厂(z)在(a,b)内连续,可导,且z.

是厂(z)的二阶(或二阶以上)零点,则I厂(z)I在z. 点可导且I厂(z):----0.

证明:设z.是厂(z)的k阶零点(志?2), 设,(工)一(工一工o)kg(x),g(x0)?0,且g(工)在 z.点连续或有界.

If(x.?r—O'

一

lim?Ig(X0十)I一0.(k?2)

从上述证明可知:当z—z.时,厂(z)是(x—xo) (k>1)的等价无穷小量,同时,}(z)l在z.处可导, 且其导数为零.

例如:f(x)一xX.,当z—z.时,厂(z)是z的詈阶J .

无穷小量(吾>1),则If(x)I—1I在x=O处可导,J 且f厂(z)f一.===0.

例1:1998年考研《高等数学》(一)有选择题: 函数厂(z)一(z一z一2)Iz.一zf的不可导点个数为()

(A)3(B)2(C)1(D)0

我们考虑z)一(z一2)(z+1)Iz+1llzllz一1I知, z一一1,0,1,2是厂(z)的零点,其中有3个零点:z一一1,x=0,z一1与绝对值有关,而z一一1是 ,(z)的二阶零点,故厂(z)在z一一1处可导,x=0,32 —

1是厂(z)的一阶零点,所以,厂(z)在此两点处不可导,故本题应选择(B).

例2:求在厂(z)一(z一1)Iz一5x+4IIzII sinxI在(一,不)内不可导点的个数?

因为厂(z)一(z一1)Iz一1}IzIIsinxIIz+2II

z一2f,所以.厂(z)在(一不,不)内共有5个零点:x=O, z一1,z一一1,z一2,z===一2,其中只有一一2,z一2 为一阶零点,故厂(z)在z一2,z一一2处不可导,即厂 (z)在(一不,不)内只有两个不可导点.

例3:求函数厂(z)一max{z一2x+1,+一

2)的极值?显然,原函数可变形为:

厂(z)一二;上

厶

一

1(z一1)(2x+1)+fz一1f

厶厶

当z一1时,厂(z)不可导,且厂()无其他驻点, 而-厂(z)在z:1处的左邻域内小于0,在其右邻域内 f(z)大于0,故厂(z)在z===1处有极小值厂(1)----0. 例4:构造一个连续函数,使其在已知点:a,az, a3,a4…,a处不可导?

根据上述理论,所求函数厂(z)只要以a..,a 为一阶零点,则F(z)一l厂(z)l便在z—a,a…., a处不可导,从而我们构造函数:F(z)一f(z— a】)(z一.2)…(z—a)I,显然F(z)在(一?,+?) 内连续,且x—a,a,…a为其一阶零点,故F(z)在 z一口1,a2….,a处不可导.

另外,还可以利用本文的结论,构造一个函数 g(z)一苎I在无穷多个点z1,志?2,志?0处连续,但不可导.

参考文献:

Eli同济大学数学教研室.高等数学(四版)[M].高等教育出版社, 北京:1996.

[2]薛嘉庆.高等数学试题库精编(二版)[M].东北大学出版社,沈

阳:2001.

(责任编辑:冯琦琳)

范文三：分段函数的连续可导性

分段函数的连续可导性

()安徽财经大学统计与应用数学学院安徽蚌埠 233041 李天胜

, 得到了一个分段函数具有任意阶导数的充分条件 , 并介绍了一个求讨论了分段函数的连续可导性摘要

分段函数在其分段点处 n阶导数的公式

分段函数 ; 任意阶导数 ; 幂级数展开式 O172 关键词中图分类号

关于分段函数可导性的讨论 , 通常都是集中在分段点处是否可导、以及导函数是否连续等问题上 , 对于分段函数是否具有高阶导数讨论的却不是很多 . 本文利用函数的幂级数展开式 , 得到了一个分段函数具有任意阶导数的充分条件 , 并介绍了一个求分段函数在其分段点处 n 阶导数的公式 .

? n φ( ) 定理如果在 x = 0的某空心邻域内 ,x 可以展开为 x的幂级数 ρ ax , 则 n n = 0

φ( ) ? 0 x x ,( ) f x = x = 0 a, 0 ( )n ( ) 具有任意阶连续的导数 , 且 f 0 = n ! a. n? n ( φ) 证明因为x = ρ ax , 所以 n n = 0 2 3 n x + a, x ? 0 a+ ax + ax x + + + a3 0 1 2 n ( ) f x = a, x = 0 0 2 n - 1 ( ) ( )显然 f x 在 x = 0处连续 , 且 x ? 0时 , 有 f ′x + 2 ax + 3 ax +0 = = a + n ax + ; x 2 3 1n

( )( )f x 0 f - ( ) = a , 故时 , 有 f ′0 = lim 1 x?0 0 x - 2 n - 1 a+ 2 ax + 3 ax ++ n ax, x ? 0 + 1 2 3 n ( )f ′x = = 0 a, x 1

( ) 显然 , f ′x 也在 x = 0处连续.

类似地 , 有

2 n - 2 ( ) 2 a+ 3 ?2 ax + 4 ?3 ax? 0 x + n n - + 1 ax + , 2 3 4 n ( ) f ″x =

x = 0 2 a, 2 n - 3 3 ?2 a+ 4 ?3 ?2 ax + x ? 0 3 4 ) ( ) 1 n - ( + n n - 2 ax + , n ( ) f ?x = x = 0 3 ?2 a, 3

( )n ( ) ( ) 由归纳法即知 f x 具有任意阶连续导数 , 且 f 0 = n ! a. n

若令 x - x= t, 则可以得到如下的推论 :0

3 收稿日期 : 2005 - 04 - 06

高等数学研究 2006年 9月 34

? n 推论( ) φ( ) ( ) 如果在 x? 0 的某空心邻域内 ,x 可以展开为泰勒级数 ρ ax - x, 则 0 n 0 n = 0

φ( ) x ? xx , 0( ) f x = a, x = x 0 0( )n ( ) 具有任意阶连续导数 , 且 f x= n ! a. 0 n

下面就举两个运用这个定理解题的例子 :

1 + x - 1 ,x ? 0 x ( )(在例 1 函数 f x x = 0 处 ) . = 1 ,x = 0 2

A 1连续但不可导 B 1连续且仅有一阶导数

C1连续且仅有二阶导数 D1连续且有任意阶导数解因为

1 1 1 1 3 ( 1 + x - 1 1)( ) ( )? -? - - 1 23 = 2 1 +x +2 2 2 2 - 1 x + x+ x x 2 2 ! 3 !

1 1 1 1 3 ( ( ) ( ))? -? - - 1 2 2 2 2 2 2 = +x +x+ 2 2 ! 3 !

1 ( ) ( ) f 0 = , 所以由定理知 f x 在 x = 0处连续且具有任意阶导数 , 故选 D.且 2

()注 :如果本题采用逐阶求导验证的方法求解将是十分繁琐的 , 因而也是不可取的 .

2 x 1e - ,x ? 0 ( )( )例 2设 f x , 则 f ″0 x = = .

2, = 0 x

解因为

2 x 2 3 2 3 1- 1 2 2 e 2( ) ( )2 x 2 x = 2 + x + +x= ( )1 + 2 x - 1 + ++ 2 ! 3 ! xx 2 ! 3 ! 2 3 22 即 ( ) x = 0处连续且具有任意阶导数 , 故有 a= 2, a= , a= ,, 所以 f x 在 0 1 2 2 ! 3 !

8 ( )= 2 ! a=f ″0 2 3 不难验证 , 这与利用定义逐阶求导所得到的结果是完全相同的 .

sinx , x ? 050 ( ) ( ) , 则 f 0 = .x 例 3 设 f x =

1, x = 0

解因为

3 5 51 53 sinx 1 x x x x = x - +- +- - x x 3 ! 5 ! 51 ! 53 ! 2 4 50 52 x x x x = 1 - + - - + - 3 ! 5 ! 51 ! 53 !

范文四：考研数学典型例题：分段函数在分段点处可导性

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范文五：分段函数可导性的判别方法

分段函数可导性的判别方法

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