凹凸欧巴
范文一：幂法求多项式方程的模最大根matlab实现
幂法求多项式方程的模最大根 matlab 实现
要求:利用 matlab 编写通用子程序,利用幂法求多项式方程的解:
0) (0111=++??++=--a x a x a x x f n n n
思想:
1. 首先要将多项式转化成矩阵形式。通过老师上课讲的内容。将上述多项式转化成为如家格 式的矩阵:
1
20
-10-1-0-???
???????????????n a a a 此矩阵的特征值,就是上述多项式的解。
2. 幂法的思想就不多介绍了,书上讲的很详细,主要运用书上 6.2.6的迭代公式: ,
/, ,
)
(1k k k k k j k k k y u y m Au y μμ===-的模最大分量
实验代码:详见附录 1
实验结果:(代码详见附录)
(i ) 0352
3=+-+x x x
解:
其中 m 是模最大特征值, x 是 m 对应的特征向量, s 是迭代次数 15。精度为 1e-5
(ii ) 0133
=--x x
结果:
其中:m 是模最大特征值 (多项式模最大根) , x 是 m 对应的特征向量, s 是迭代次数为 57, 精度为 1e-5.
(iii ) 01000790999029. 7910808. 980201. 1089101. 208101234
5678=-+-+++++x x x x x x x x
结果:
其中:m 是模最大特征值(多项式模最大根) , x 是 m 对应的特征向量, s 是迭代次数 12次,精度为 1e-10.
结论:幂法求多项式模最大根的效果还是很不错的,迭代次数也不多,收敛比较快。
附录 1
幂法:
function [m,x,s]=powermethod(n,a,eps)
%A转化后的矩阵
%x0迭代初向量
%l模最大特征值
%n为最高次幂
A=zeros(n); %v为主特征向量 M = 500000; %迭代步数限制
l = 0;
for i=1:n
A(i,n)=-a(i);
end
for i=2:n
for j=1:n-1
if i-j==1
A(i,j)=1;
end
end
end
s=0;
n=max(size(A));
u=ones(n,1);
y=ones(n,1);%初始化,初始值是多少不重要 beta1=0;
eta=norm(u,2);
y=u./eta;
u=A*y;
beta2=y'*u;
while s<>
if abs((beta2-beta1)/beta1)>eps beta1=beta2;
eta=norm(u,2);
y=u./eta;
u=A*y;
beta2=y'*u;
end
s=s+1;
if (abs((beta2-beta1)/beta1)<=eps) break="">
end
end
if s<>
m=beta2;
x=y;
else
m=beta2; x=y;
end
范文二：matlab多项式运算和方程组的求解
二、多项式
(1)多项式的表达式和创建
MATLAB 中使用 一维向量 来表示多项式,将多项式的系数按照 降幂次序 存放 在向量中。
例如:多项式 2X 4+3X3+5X2+1可以用向量 [2 3 5 0 1]来表示。
例 2-1,输入多项式 3x 4-10x 3+15x+1000
在命令窗口输入:
p=[3 -10 0 15 1000]
输出结果如下:
(2)多项式求根
1、多项式的根
找出多项式的根,即使多项式为零的值, MATLAB 提供了特定的函数 roots 求 解多项式的根。
例 2-2,求解多项式 3x 4-10x 3+15x+1000的根。
在命令窗口输入:
输出的结果如下:
2、由根创建多项式
在 MATLAB 中,无论是一个多项式,还是它的根,都是以向量形式存储的,按 照惯例, 多项式是行向量, 根是列向量。 因此当我们给出一个多项式时, MATLAB 也可以构造出相应的多项式,这个过程需要使用函数 poly 。 例 2-3 输入及结果
(3)多项式四则运算
1,多项式的加法
MATLAB
并未提供一个特别的函数,如果两个多项式向量大小相同,那么多项
式相加时就和标准的数组加法相同。
例 2-4
在命令窗口输入:
a=[1 3 5 7 9];b=[1 2 4 6 8];
c=a+b
输出结果:
C (x ) =2x4+5x3+9x2+13x+17
2、多项式的乘法运算
在 MATLAB 中, 函数 conv 支持多项式乘法 (运算法则为执行两个数组的卷积) 。 例 2-5
在命令窗口输入:
a=[1 3 5 7 9]; b=[1 2 4 6 8];
c=conv(a,b)
输出的结果如下:
C(x)=x8+5x7+15x6+35x5+69x4+100x3+118x2+110x+72 PS :conv 指令只能进行两个多项式的乘法,两个以上的多项式的乘法需要重复 使用 conv 。
3、多项式的除法运算
在 MATLAB 中,由函数 deconv 完成的。
例 2-6
在命令窗口输入:
c=[1 5 15 35 69 100 118 110 72];b=[1 2 4 6 8]; [a,r]=deconv (c,b)
输出的结果:
(4)多项式微分
1、多项式的导数
MATLAB 为多项式求导提供了函数 polyder 。
例 2-7C(x)=x8+5x7+15x6+35x5+69x4+100x3+118x2+110x+72 在命令窗口输入:
输出结果为:
2、多项式的积分
MATLAB 为多项式的积分提供了函数 polyint 。具体的句法格式如下。 ① polyint (p , k ) :返回多项式 P 的积分,积分常数项为 K 。
② polyint (p ) :返回多项式 P 的积分,积分常数项为默认值 0。
例 2-8C(x)=x8+5x7+15x6+35x5+69x4+100x3+118x2+110x+72 在命令窗口输入:
输出的结果为:
(5)多项式求值
1、代数多项式求值
y=polyval(p,x):计算多项式 p 在 x 点的值
PS :若 x 是向量或矩阵,则采用数组运算(点运算) !
例 2-9
已知 P (x ) =2x3-x 2+3,分别取 x=2和一个 2x2矩阵,求 p(x)在 x 处的值。 当 X=2时:
在命令窗口输入:
p=[2,-1,0,3];
x=2;polyval(p,x)
输出结果:
当 X 是矩阵时:
在命令窗口输入:
x=[-1, 2;-2,1];
polyval(p,x)
输出结果:
2、矩阵多项式求值
Y=polyvalm(p,X):以方阵 X 为自变量, 计算多项式的值,采用矩阵运算。
例 2-10P (x ) =2x3-x 2+3 在命令窗口输入:
结果为:
三、方程组的求解
1、线性方程组的求解
linsolve(A,b):解线性方程组
在窗口输入命令:
输出的结果为:
2、非线性方程组的求解
solve(f1,f2,...,fN,v1,v2,...,vN)求解由 f1,f2,...,fN 确定的方程组 关于 v1, v2,...,vN的解。
在窗口输入命令 :
[x,y,z]=solve('x+2*y-z=27','x+z=3', 'x^2+3*y^2=28','x','y','z') 输出的结果:
范文三：求2阶矩阵多项式方程的解。
矩阵多项式方程
2X,A1、 设是2阶复矩阵，求矩阵方程的解。 A
解:
已知是2阶复矩阵， A
,,01，，，，则，或者。 A~A~,,,,0,0,，，，，
2X,A已知，
2,1,1PXP,PAP所以，
2,1,1，，PXP,PAP即。
,1Y,PXP令，
,,01，，，，2有，或者。 Y,,,,,0,0,，，，，
,0，，2情形1 Y,,,0,，，
00，，2,,,,0情形1.1 ，即 ,Y,,00，，
00，，2M设是其非零解，即， M,,,00，，M则不可对角化。
由于， M,0
M说明有特征值0，
01，，于是， M~,,00，，
0100，，，，,1Q所以或，是任意可逆阵。 Y,QQ,,,,0000，，，，
,,,情形1.2 不全为0
,0，，2设是解，即， M,M,,0,，，则必可对角化。 M
,qq0，，，，12,1设，其中， Q,M,QQ,,,,qq0,34，，，，
,12,qqqq0，，,，，，，0，，1212使， ,,,,,,,,,2qqqq0,0,，，，，，，3434，，
22,,qq,，,，qq，，1212从而。 (1) ,,,,,22,q,qqq,,34，，34，，
,,, 情形1.2.1
由(1)知， ,,,
,,,000，，，，，，2,1,1Q,,,所以或，是任意可逆阵，。 Y,QQ,QQ,,,,,,0,0,0,,，，，，，，
,,,情形1.2.2
q0q0，，，，12由(1)知或。 Q,,,,,0qq034，，，，
,,00，，，，22,1,,,计算，这里，。 ,,,,QQ,,,,0,0,，，，，,,00，，，，22,1或，这里，。 ,,,,,,,QQ,,,,0,0,，，，，
,0，，22,,,所以，其中，。 ,,,Y,,,0,，，
,1，，2情形2 Y,,,0,，，
01，，2情形2.1 ，即 ,,0,Y,,00，，M设是其解，
则由于M,0，
所以有特征值0， M
而只有特征值0。 M
因为， M,0
01，，所以。 M~,,00，，
01，，,1令， M,QQ,,00，，
2M,0但是。矛盾。 方程组无解。
情形2.2 ,,0
设是其解， M
则M不可对角化。
,pp1，，，，12,1设，其中， P,M,PP,,,,pp0,34，，，，
,12,pppp1，，,,，，，，2，，1212使， ,,,,,,,,,2pppp0,0,，，，，，，3434，，
22,,pppp,，,,，，，p2pp，，，1324112从而。 (1) ,,,,,22,,ppp2pp,,，,34，，334，，发现。 p,03
2,,,从而，和。 p,02,p,p114
于是
,1,pppp1，，，，，，1212 M,,,,,,,02,02,pp0,，，，，，，11
1，，,,,， ,,2,,0,，，
1，，,2,,,,,Y,所以，其中。 ,2,,0,，，
2AX，BX，C,02、 针对复数域上的2阶矩阵多项式方程，介绍一种求解
方法。
2AX，BX，C,0解:设是的解， M
2AM，BM，C,0。 (1) 即
有特征值， M,
设，， (2) Mv,,vv,0
则由(1)(2)知
2， ，，A,，B,，Cv,0
2因而是的解。 (3) At，Bt，C,0,
设是(3)的解，,,,12
2i,1,2是，，的非零解，。 (4) A,，B,，Cv,0viiii
取， ，，P,v,v12
2,,00，，，，11则，，，，，，， Av,v，Bv,v，Cv,v121212,,,,,,0022，，，，
(4)22 ，，，，，，,A,，B,，Cv,A,，B,，Cv,0111222
2,,00，，，，11即AP，BP，CP,0， ,,,,,,0022，，，，
P当可逆时，
2,,,,,,00，，，，11,1,1,,,,。 APP，BPP，CP,0,,,,,,,,,,00，，，，22,,,,
,0，，12,1AX，BX，C,0于是是的一个解。 PP,,0,，2，
3、 求2阶矩阵多项式方程的解。 011312，，，，，，2 X，X，,0,,,,,,01010,2，，，，，，
011312，，，，，，2解:， t，t，,0,,,,,,01010,2，，，，，，
得。 t,,1,t,1,t,,2123
代入方程组
2y，，0，，ttt，，，1，3，21 ,,,,,,,2y0tt0，,22，，，，，，
1，，当，，， t,,1y,0v,21,,0，，
3，，当，，， t,1y，3y,0,v122,,,1，，
0，，当，，。 t,,2y,0v,13,,1，，
,1,6,,取，， ,,，，P,v,v,X121,,01,,
,10,,取，， ，，P,v,v,,,X132,,0,2,,
10,,取，。 ，，P,v,v,,,X233,,,1,2,,
范文四：多项式除法及高次方程的解
例1 计算（
）
(x 3+2x -7) ÷(x -2)
例2 用综合除法计算
（1）
（2）
例3、求4x -2x +7x -4被下列各式所除得的余数
1) x -1
例4、若3x +hx -5x +k 恰好能被x +3整除，被x +1除余数为4，求h , k ，并将多项式3x +hx -5x +k 进行因式分解。
例5、因式分解x -x -4x +4
例6、解方程2x +11x -7x -6=0
3232323232； 2) x +3 3) 3x +2
1、当多项式除以多项式时，其余式为（ ）。
（A ）2 （B ）-2 （C ）2x-2 （D ）-2x-2
2、多项除以多项式x-3所得余数为（ ）。
（A ）-71 （B ）71 （C ）-59 （C ）59
3、若多项式含有因式x-1和x-2，则mn=_________。
4、如果，则_______。
5、练习
1、因式分解
1）2x +x -22x +24
2）x -5x -x +5
3）12x -8x -3x +2
4）x -8
2、解方程
1）x +2x -x -2=0
2）x +2x -7x -8x +12=0
3）3x -16x -37x +14=0
4）2x -19x +61x -74x +24=0
43232432323323232
范文五：解矩阵方程的一种多项式预处理技术
第３１卷第１期２０１０年１月
吉首大学学报（自然科学版）
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＪｉｓｈｏｕＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ
ＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）
Ｖ０１．３ｌＮｏ．１
Ｊａｎ．２０１０
文章编号：１００７—２９８５（２０１０）０１—００２２一０５
解矩阵方程的一种多项式预处理技术
田
静，周富照，钟志宏
（长沙理工大学数学与计算科学学院，湖南长沙４１００７６）
摘要：先引入多项式预处理技术，用一次插值多项式法构造出一个合理的多项式预处理矩阵并对矩阵方程进行预处理，这样不仅可以缩小矩阵的奇异值的分布范围，而且能达到改善其奇异值比的目的；然后给出了新的算法，并分析了该算法的收敛速率的估计式，此估计式表明，只要采用恰当的预处理技术就可显著地提高迭代法的收敛速度；最后给出了数值例子，结果说明经过预处理后的矩阵方程比原来的矩阵方程的收敛速度更快，这充分表明了矩阵方程在多项式结构的预处理矩阵下求解速度的优越性，也说明通过一次插值多项式的构造来选取预处理矩阵是可行的．
关键词：矩阵方程；多项式；预处理技术；迭代法中图分类号：０２４１．６
文献标识码：Ａ
文中将讨论矩阵方程：
ＡＸ＝Ｂ
（１）
的加速法．其中：Ａ，Ｂ为已知的优×胛矩阵，Ｘ为未知的ｍ×卯矩阵．一般来讲，求解（１）式有多种方法，不同的研究领域可以用不同的方法口－－８３，但归纳起来一般是２种，一种是直接法，另一种是迭代法．但是，生活中很多问题最后都常常归结为解１个矩阵方程或者是解一些大型的系数矩阵方程，而对这样一种方程一般是利用迭代法求解，这时迭代格式的收敛性及收敛速度就成为一个非常关键的问题．对于不收敛的迭代法当然不会用。而用虽收敛但收敛速度却很慢的迭代法，不只机器时间和人工比较浪费，而且还不一定能够及时解出近似或正确的结果，所以，寻找一种预处理方法是提高迭代法收敛速度的主要途径之一．正是这种技术的优越性，使得关于它的许多研究在近些年来快速发展，同时作为一种加速方法，因为于它的利用范围广，所以国内外的许多专家、学者根据不同的需要提出各种预处理方法［９“２］．然而，虽然预处理方法在解线性方程组中有很多成功的事例，但是这些方法应用于矩阵方程中的却不多，文献［８］介绍了一种加速方法，但也只是简单的说明．
一个成功的预处理矩阵，至少应该满足２个要求：一是预处理矩阵形式简洁、便于计算，并且其计算复杂程度要比解方程组的算法低｝二要能显著提高求方程组解的收敛速度，使得通过预处理之后的迭代次数比之前的能大大降低，从而弥补构造预处理矩阵上带来的花费．笔者在文献［１２］的基础上，将求解线性方程的多项式预处理法成功地应用到求解约束矩阵方程中，提出新的算法并给出收敛速率的估计式，此估计式说明，只要采用恰当的多项式预处理方法就可明显地提高求解矩阵方程的收敛速度．
为了下面叙述的方便，先说明一些会在文中出现的符号．∥“表示卅×挖阶矩阵的集合，Ａ７表示矩阵Ａ的转置，盯表示Ａ７Ａ
的任意奇异值，Ｓ＝Ｉ－ａ，６］为口的取值区间，其中口和ｂ分别为ｄ的最小与最大奇异值，ｌ｜?０表示矩阵的１一范数．１
预处理技术
预处理技术是改变奇异值分布的一种方法．这种方法一般有２个类型．对矩阵方程而言，其一是要选一个恰当的预处理矩
阵并对原系数矩阵进行预处理，从而改善矩阵奇异值的分布．二是选取一个多项式矩阵再对原系数矩阵进行预处理．为了后面叙述的方便，这里只对多项式矩阵的选取类型做一个简单的介绍．
假设一个方程，如（１）式所示．选取一个预处理多项式矩阵Ｃ（Ａ）并假设它可逆，得Ｃ（Ａ）－１ＡＸ＝Ｃ（Ａ）－１口．令直＝Ｃ（Ａ）－１口，Ａ—Ｃ（Ａ）～Ａ，得新方程组
－收稿日期：２００９—０６—２４
基金项目：国家自然科学基金资助项目（１０６７１０２６；１０９０１０２７；６０５７２１１４）
作者简介：田静（１９８４一），女（土家族），湖南张家界人，长沙理工大学数学与计算科学学院硕士研究生，主要从事数值代数研究．
第１期田静，等：解矩阵方程的一种多项式预处理技术
２３
叙一直
（２）
（２）式称为多项式预处理矩阵方程组．其解与（１）式相同，但是（２）式的求解速度远远要比（１）式的求解速度快．所以在选取多项式预处理矩阵ｃ（Ａ）时，应考虑所选取的Ｃ（Ａ）能够容易被构造及利用，并本着使Ｃ（Ａ）－１在某种意义下接近Ａ＿１的原则，使经过预处理后的矩阵方程更容易求解．但一般来说，要在求解的过程中同时满足这些条件是有难度的，因此需要寻求一个平衡，使矩阵方程经过多项式预处理之后的迭代次数远远比之前的要少．２
基于插值多项式的矩阵方程的预处理方法
因为Ａ不是对称阵，所以为了便于估计矩阵Ａ的奇异值，对方程（１）做下面的等价变换：
Ａ】ｒ＝ｇ－－＇》Ａ７ＡＸ＝Ａ７Ｊ｝＝争Ｃ（Ａ７Ａ）Ａ７ＡＸ—Ｃ（Ａ７Ａ）Ａ１Ｂ，
２．１预处理法的介绍
其中Ｃ（?）是一个次数小于矩阵方程Ａ７ＡＸ＝Ａ７Ｂ阶数为，ｌ的实系数多项式．
记ＡＴＡ一互，则有
Ｃ伍）Ｘｘ—Ｃ伍）ＡＴＢ．
（３）
笔者的目的是使Ｃ（Ｘ压的条件数远远小于Ａ的条件数，再应用迭代法求解（３）式，其收敛速度将比直接用迭代求解（１）式的收敛速度快．
假设系数矩阵五可逆。理想中的情形是Ｃ（五）一伍）一，则由（３）式，有
Ｃ伍）互＝伍）－１五一Ｊｒ．
（４）
此时通过多项式预条件处理之后的矩阵方程就不再需要利用任何其他方法求解了．当然，这在现实中是不可能实现的，因为求互＿１很难．所以，根据矩阵多项式预条件法的基本思想，是要寻求一个次数不仅小于五的并且阶数可能地接近予五＿１的矩阵多
项式．
，
但在实际应用中，系数矩阵五一般是不可逆的，因此根据这一情形，考虑利用Ｃ伍＋Ｄ一伍＋１０＿１代替ｃ伍），则有
Ｃ伍＋Ｉ沤一伍＋１）一１五≈Ｊ．
记Ｆ伍）＝Ｃ伍＋Ｄ互，则方程（１）的求解问题转化为
Ｆ（五）Ｘ＝Ｃ伍＋１０ＡＴ口，
且假设（５）式有解．
２．２预处理法的构造
（５）
前面讲过。构造多项式预处理矩阵的核心在于怎样寻求一个恰当的Ｃ伍＋Ｊ），一方面使其次数不要太高，另一方面运算量
也尽可能的少．
记ｆ（口＋１）为ｃ（Ｘ＋Ｄ的奇异值，八口）为Ｆ伍）的奇异值．令五的全都奇异值满足０≤晚≤…≤巩且西∈Ｓ，ｉ一１，２，
…?，１．
基于（４）式的思想，过２点（口，ｉ上－）和（６，矿ｂ）作一条直线ｃ（口＋１）一“（口＋１）＋口，其中“，＂为待定的系数?令；一口＋
１，得
ｆＧ）＝茹－Ｉ－饥
再将２点分别代入（７）式，则有
ｆｍ＋ｔ，＝１／（ａ＋１），
（６）
解得摊＝一石了了赢，移＝瓦｛赫．所以ｃＧ）＝一石了靠；＋石号揣．又显然有
Ｉ西＋口＝１／（ｂ＋’１）．
Ｌ口十ｌＪＬＤ十ｌＪ
，（叮）＝ｃＧ）Ｊ＝一石ｉｊ毓，＋瓦ｉ焉揣仉
又根据（８）式可知，当口＝ａ—－ｒｋ－ｂ时，（盯）在闭区间ｓ上取得最大值为
ａａ＋６、一Ｊ、丁７一
以口）２
ｃ（口＋１）ｎ—ｉ备≈１，
（７）
（８）
因此根据（７），（９）式可以得知，二次函数八一）将奇异值的取值区间ｓ一［口，６］映射到闭区间［１，虱ｉ等‰］上．所以有
４≤西≤ｂ
ｉ＝１，２，…，竹，
ｉ一１，２，…，儿
瓦ｉｊ灭丽’
（４＋６）２
（９）
１≤，（西）≤（口＋６）２／［４（ａ＋１）（６十１）］
２４
吉首大学学报（自然科学版）
第３１卷
从而司知
Ｆ伍）＝ｃ伍＋瓜＝一瓦ｉＦ亩浠２＋瓦ｉｆ芍知，
（１０）
其中
ｃ伍＋Ｊ）一丽吾两分＋看揣Ｉ．
ＰｏｌｙｎｏｍｉａｌＰｒｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｅｒＰｒｏｃｅｓｓｉｎｇ）．
（１１）
令Ｓ＝［１。（口＋６）２／４（ａ－．１－１）（６＋１）］．通过（１０）式能看出Ｆ伍）是对称的，且０≤，（们）≤…≤，（“），，（西）∈Ｓ，则（１１）式就是所构造出的多项式预处理矩阵．
定义哼，且令叩一簧筹，其中，（口），，（６）分别为Ｆ伍）的最小与最大奇异值．
一般来说，加速法的目的就是要（５）式中系数矩阵Ｆ晤）的非零奇异值比能尽可能地趋向于１，等价于叩一１，即，（ｎ）≈∥６）．因此，当利用一次多项式预条件处理不能将Ｆ伍）的可值改善到令人满意的程度时，可对预处理后的系数矩阵再使用相同的方法进行１次或多次多项式预条件处理，直到呀值变到符合要求为止．
下面是多项式多次预条件处理的算法（Ｍａｎｙ给定￡（Ｅ即为刁值）：
（Ｉ）给出初始解墨和初始边界口ｏ，ｂｏＩ（¨）对ｋ一０，１，．．?，求矩阵多项式
胍?）＿一百玎；ｌ＿丽厕＋百者精¨
（Ｖ）令ｍ一１，玩一砭≤等军壬犏，转步骤（ｉｉ）．
（ｉｉｉ）若系数矩阵的叩值已变到设定的ｅ值，则不用再进行预处理，算法终止；（１ｖ）求新的五＾，甄，此时ｋ—ｋ＋１，五＾一Ｆ，－ｌ伍｝１），取一耻。伍ｐｌ十Ｊ）Ａ｝ｌ甄一１；算法终止后，再用文献［８］中的正交投影迭代法对预条件处理后的矩阵方程求解．Ｃ伍＋Ｄ时，对于粕，６Ｄ可利用合适的估计式，比如ａｏ＝１／ＩＩ五０，６Ｄ＝Ｉ｜五０．
定理１
Ｇ晤．＋Ｊ）一一石＿日毓伍ｔ＋Ｊ）＋石竺古揣Ｉ，
需要注意的是，在实际求解中，系数矩阵的最大与最小奇异值很难求出，其难度并不比求五－１小，因此利用上述算法在求
设文献［８３中的正交投影迭代法的收敛速率为￡，且由文献［８］知ｆ≥一寺Ｉｎ（１一万ａ），则经过多项式预条件处理
后，ｔ以高于原迭代法速率的０．５１ｎ４曲倍速度收敛（七一１，２，…），其中ａ与ｂ分别为系数矩阵的最小与最大奇异值．
证明
由ｆ≥一
１ｎ（１一等）知，提高￡即为增大口２与６ｚ的比值（即增大等）．
１
ａ矿ｚ
ｌｉＰ口２≈６２时，ｆ的速度趋向于ｏ。．
令厶，＾分别为Ｆ伍）的最小与最大非零奇异值，由（１０）式，
＾
！垒±盟：
（口＋６）２
丁ｆａ＝＿扣一等半≥两４ａ两ｂ一４
７（４＋６）２
４（ａ＋１）（６＋１）
１
—ａ—／——ｂ‘—＋————２——＋———ｂ——／—ａ—‘
当ｂ》口时，有口／６≈０，６／口》２．所以
丢≈４蕊１＝ｔ－－６－ａ巧ｆｌ≈ｔ２南一ｔ２等?
的速度趋向于１．从而（５）式的收敛速率ｔ比（１）式的收敛速率快ｏ．５Ｉｎ４２倍．
ｃ，ｚ，
通过（１２）式可以看出，利用完一次多项式预条件处理后，可让系数矩阵的奇异值比的值高于原系数矩阵的４２倍，即７Ｊ４１以４２倍
如果（５）式经过一次多项式预条件处理后，还不能符合实际的要求，可再对其进行同样的一次多项式预条件处理，直到刁值变为满意为止．
设杀为（５）式第ｋ次多项式预条件处理后的非零奇异值最值比，则有
筹＝≤带≥器＝ｔ霹１
虿２—磅可砑ｒ乒硪矿盱＝４芹—ｊ１≯乒妒～。晔¨
≥
第１期田静，等：解矩阵方程的一种多项式预处理技术
２５
即筹≥筹．又…
其中ｋ＝１，２，…．
由（１３）式可知
”
辟斧
一＂
＋２＋
型ｒ
≤４了１—１，则由有限次迭代得到
筹≤…≤笨≤筹≤?，
４２等≤…≤４２（卜”矿ａ２≤４矬簪≤１
口一６时等号成立．
ｍ，
（１４）
即当系数矩阵的７值由鲁变为ｔ２矿ａ２时，得ｔ≥一÷Ｉｎ（１－－４２等，，由是变为ｔ４等时，得ｔ≥一号Ｉｎ（１－－４４等卜…?由龛变
为４“等时，得ｆ≥一÷ｌｎ（１—４“等），点一１，２，…，因此，当差变为４２等时，经过一次多项式预条件处理后的系数矩阵的叩
值循９薏’以高于原系数矩阵的奇异值比等的４２倍的速度趋近于１．
所以，根据不等式￡≥一
－－Ｃ等）可知，ｆ是Ｐ．．（Ｏ．５Ｉｎ４２倍的速度收敛．同理，由“当象变为４“矿ａ２时，有ｆ≥一丢ｌｎ（１
—４２＾－害－－）’’可知，ｆ以ｏ．５ｌｎ４２‘倍速度收敛．
证毕．推论１
由上述算法可知，多项式预条件处理法最多经过丢ｌ。舀等步循环．
Ｉ±ｌ（１４）式知＇４２‘等≤１净４“≤等净２惫≤ｌ咱等ｊ矗≤号ｌ嘴等．
证明
３
数值算例例１有矩阵方程肛一．Ｂ，Ａ，Ｂ∈Ｒ一且其值如下，求Ｘ解取Ｘｏ一０（其中‰＝５０００，‰＝９４），
１００１２
Ａ一
３４５
０．９４４２——２．１２０４——０．６４４７
Ｂ＝
——０．７０４３——１．０１８１——０．１８２１
——０．６９６２
０．００７５——０．７８２９
０．６６８２——０．０７８
０．８８９
３
１５０００３４５６
０
２３１００５６７０．５８６９
３４５１００７８
４５６７Ｉ６００９２．３０９３０．５２４６
０
６
７８９２５００
０．４８５５—０．００５０——０．２７６２
１．２７６５１．８６３４——０．５２２６
０．１０３４——０．８０７６
０．６８０４——２．３６４６
０．９９０１０．２１８９
１．５２１
——０．０３８４
１．２２７４
——０．２５１２
０．４８０１
一Ｏ．０１１８
Ｏ．９１３１０．０５５９—１．１０７１
２
计算结果见表１．
表１
８次预条件
Ｏ
●
各次迭代预条件矩阵的奇异值
１０次预条件
０２Ｏ２６
●
１２次预条件
ＯＯＯ
●
１３次预条件
ＯＯ
●
１５次预条件
Ｏ
●
Ｏ６ＯＯ６
９
４３７４
４４６
４９２２５ＯＯＯＯ
，（‰）
●
Ｏ
●
５１Ｏ
●
２１３８
●
３
●
４９４２
７
０５Ｏ０
●
００７５８
●
０２４Ｏ９
●
●
４６３９
５ＯＯＯ
Ｏ４９
●４Ｏ
Ｏ
Ｏ５
●●
ＯＯＯ
，（‰）
Ｏ４１
●
Ｏ５
Ｏ
Ｏ
●
４９９５
Ｏ０
Ｏ
●
ＯＯ
●
５５
ＯＯＯ５ＯＯＯ５ＯＯ
●
Ｑ
Ｏ
ＯＯ
●
５ＯＯ５
Ｏ５ＯＯ
●Ｏ５ＯＯ０
●
●
ＯＯ
ＯＯ
●
０ＯＯＯ
●
５ＯＯ
Ｏ５ＯＯ
●ＯＯ５
●ＯＯ５
●ＯＯＯ
２６
吉首大学学报（自然科学版）
裹２
多项式多次预条件正交投影迭代法计算结果对照表
第３１卷
值得注意的是，表１中，（‰），，（‰）表示做多次预处理后的系数矩阵的最大与最小奇异值，叩表示系数矩阵的最小与最
大奇异值的比等笋号，现在的目的是使叩一１，即八‰）一，（‰）．
Ｊ、Ｏｍａｘ，
从表１可看出，随着多次的多项式预条件处理，，（‰）逐步趋向于，（‰），叩也慢慢向１靠拢．由表２可知，通过多次多项式
预条件处理后，矩阵方程的迭代次数大大减少，这充分表明了基于多项式结构的预条件方法在矩阵方程求解速度方面的优越性，也说明了利用构造多项式的思想来选取多项式预处理矩阵是可行的．
４
结语
对一般矩阵方程Ａｘ—Ｂ，其中Ａ，Ｂ∈Ｊ己“，从多项式矩阵的构造开始，利用Ｃ伍）五＝伍）＿１五一Ｉ这个基本原理，提出了
多项式预处理矩阵的构造方法，并对该方法的收敛速度做出了合理的估计，不仅从理论上说明了以Ｃ（ＡＴＡ＋Ｊ）作ＡＴＡｘ—ＡＴ的预处理矩阵的可行性，而且从实验数例的结果上也看出了此方法的优点．但是由于构造多项式预处理矩阵本身会带来一定的开销，因此该算法对误差还没有做出很好的分析，其算法的总体复杂度以及一些相关的性能还有待进一步的研究．
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ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ
ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ
ｍｅｔｈｏｄ
ａｒｅ
ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ
ｐｒｏｐｅｒ
ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ
ｐｒｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｅｒｓ
ｔＯ
ｔｒａｎｓｆｏｒｍｔｈｅｓｙｓｔｅｍ．Ｔｈｉｓｒｅｄｕｃｅｓｔｈｅｄｉｓ＇ｔｒｉｂｕｔｉｏｎｒａｎｇｅ
ｏｆｓｉｎｇｕｌａｒｖａｌｕｅａｎｄｉｍｐｒｏｖｅｓｔｈｅｒａｔｉｏｏｆｓｉｎｇｕｌａｒｖａｌｕｅ．Ｂｅｓｉｄｅｓ，ａｎｅｗａｌｇｏｒｉｔｈｍｉｓｇｉｖｅｎａｎｄｔｈｅｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅｏｆｔｈｅａｌｇｏｒｉｔｈｍｉｓａｎａｌｙｓｅｄ．Ｔｈｅｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎｏｆｅｓｔｉｍａｔｉｏｎａｂｏｕｔｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅｉｍｐｒｏｖｅｔｈｅｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ
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ｃａｎ
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ｔｈａｔ
ｔｈｅｐｒｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｉｎｇｍａｔｒｉｘｉｓｍｏｒｅｅｆｆｅｃｔｉｖｅｉｎｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅｏｆａｌｇｏｒｉｔｈｍ
ｏｒｉｇｉｎａｌｍａｔｒｉｘ．Ｔｈｅｓｕｐｅｒｉｏｒｉｔｙｏｆｔｈｅｐｒｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｉｎｇ
ｍａｔｒｉｘ
ｉｎｓｏｌｖｉｎｇｓｐｅｅｄｉｓｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅｄ．Ｔｈｅｒｅ—
ｆｏｒｅ，ｔｈｅｆｅａｓｉｂｉｌｉｔｙｏｆｔｈｅ
ａｌｇｏｒｉｔｈｍ
ｉｓｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｄ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｍａｔｒｉｘｅｑｕａｔｉｏｎ；ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ；ｐｒｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｉｎｇｔｅｃｈｎｉｑｕｅ；ｉｔｅｒａｔｉｖｅｍｅｔｈｏｄ
（责任编辑向阳洁）
解矩阵方程的一种多项式预处理技术
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
田静， 周富照， 钟志宏
长沙理工大学数学与计算科学学院,湖南,长沙,410076吉首大学学报（自然科学版）
JOURNAL OF JISHOU UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE EDITION)2010,31(1)
参考文献(12条)
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本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_jsdxxb-zr201001008.aspx
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