范文一:讨论函数的单调性
1.(2015?四川)已知函数f (x )=﹣2(x+a)lnx+x﹣2ax ﹣2a +a,其中a >0. 设g (x )是f (x )的导函数,讨论g (x )的单调性;
2(2015?江苏)已知函数f (x )=x+ax+b(a ,b ∈R ).试讨论f (x )的单调性;
3.(2015?广东)设 a 为实数,函数 f (x )=(x ﹣a )+|x﹣a|﹣a (a ﹣1), 讨论 f (x )的单调性;
4(2015?上海)已知函数f (x )=ax+,其中a 为常数, 若a ∈(1,3),判断函数f (x )
[1,2]上的单调性,并说明理由.
5.(2014?广西)函数f (x )=ax+3x+3x(a ≠0), 讨论f (x )的单调性;
32223222
范文二:分类讨论函数的单调性(修改)
分类讨论函数的单调性
一、 求导后,考虑导函数为零是否有实根(或导函数的分子能否分解因式),从而引起讨论。
?1
, x <>
例1 设k ∈
R ,函数f (x ) =?1-x , F (x ) =f (x ) -kx , x ∈R ,试讨论函数F (x ) 的单调性。
?x ≥1?
二、 求导后,导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式),但不知导函数为零的实根是否
落在定义域内,从而引起讨论。 例2 已知a 是实数,函数f (
x )=(Ⅰ)求函数f (x )的单调区间;
(Ⅱ)设g (a )为f (x )在区间[0,2]上的最小值。
(i )写出g (a )的表达式;(ii )求a 的取值范围,使得-6≤g (a )≤-2。
三、 求导后,导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式), 导函数为零的实根也落在定义
域内,但不知这些实根的大小关系,从而引起讨论。
x -a )
2ax -a 2+1
例3已知函数f (x )=(x ∈R ),其中a ∈R 。 2
x +1
(Ⅰ)当a =1时,求曲线y =f (x )在点2, f (2)处的切线方程; (Ⅱ)当a ≠0时,求函数f (x )的单调区间与极值。
2
()
例4(改编)设函数f (x )=x +b ln (x +1),其中b ≠0,求函数f (x )的极值点。 例5已知函数f (x ) =(a +1) ln x +ax 2+1 (I ) 讨论函数f (x ) 的单调性;
(II ) (II )设a <-1. 如果对任意x="" 1,="" x="" 2∈(0,="" +∞)="" ,|f="" (x="" 1)="" -f="" (x="" 2)="" ≥4|x="" 1-x="" 2|,求a="" 的取值范围。="" 例6已知函数f="" (x="" )="In(1+x" )-x="">-1.>
x 2
x (k ≥0) 。 2
(Ⅰ) 当k =2时,求曲线y =f (x ) 在点(1,f (1))处的切线方程;(Ⅱ) 求f (x ) 的单调区间。
例7设f (x ) 是定义在区间(1, +∞) 上的函数,其导函数为f ' (x ) 。如果存在实数a 和函数h (x ) ,其中h (x )
2
对任意的x ∈(1, +∞) 都有h (x ) >0,使得f ' (x ) =h (x )(x -ax +1) ,则称函数f (x ) 具有性质P (a ) 。
(1)设函数f (x ) =ln x +
b +2
(x >1) ,其中b 为实数。 x +1
(i)求证:函数f (x ) 具有性质P (b ) ; (ii)求函数f (x ) 的单调区间。
(2)已知函数g (x ) 具有性质P (2) 。给定x 1, x 2∈(1,+∞), x 1
β=(1-m ) x 1+mx 2,且α>1, β>1,若|g (α) -g (β) |<|g (x="" 1)="" -g="" (x="" 2)="" |,求m="">|g>
?1-k (1-x )2
, x <>
-kx , x <1,>1,>
1-x )例1
解:F (x ) =f (x ) -kx =?1-x 。 , F '(x ) =??kx , x ≥1??x >1??
考虑导函数F '(x ) =0是否有实根,从而需要对参数k 的取值进行讨论。
(一)若x <1,则f '(x="" )="">1,则f>
1-k (1-x )
2
(1-x )
2
F '(x ) =0无实根,F '(x ) =0。由于当k ≤0时,而当k >0时,
有实根,
因此,对参数k 分k ≤0和k >0两种情况讨论。
(1) 当k ≤0时,F '(x ) ≥0在(-∞,1) 上恒成立,所以函数F (x ) 在(-∞,1) 上为增函数;
(2) 当k >0时,F '(x ) =
1-k (1-x )
2
(
1-x )
??
2
??????-k ?x - 1-x -1?? ?
??????=。 2(1-x )
由F '(x ) =
0,得x 1= 1?
, x =12 ,因为k >0,所以x 1<>
?
由F '(x ) >
0,得1
0,得x <1 上为减函数,在(1上为增函数。="" 因此,当k="">0时,函数F (x
) 在(-∞,1
(二)若x >
1,则F '(x )=。由于当k ≥0时,F '(x ) =0无实根,而当k <>
F '(x )=0有实根,因此,对参数k 分k ≥0和k <>
(1) 当k ≥0时,F '(x ) <0在[1, +∞)上恒成立,所以函数f="" (x="" )="" 在[1,="">0在[1,>
1?-k ?
=(2) 当k
0时,F '(x ) =。
由F '(x ) >0,得x >1+
11
1
4k 24k 2
因此,当k <0时,函数f (x="" )="">0时,函数f>
?
?1?1??
上为减函数,在1+, +∞?上为增函数。 2?2?4k ??4k ?
a ??
3 x -?
'
例2解:(Ⅰ)函数的定义域为[0, +∞),f (
x )===x >0),由
f ' (x ) =0得x =
a a
。考虑是否落在导函数f ' (x ) 的定义域(0, +∞)内,需对参数a 的取值分a ≤0及33
a >0两种情况进行讨论。
(1) 当a ≤0时,则f ' (x ) >0在(0, +∞)上恒成立,所以f (x )的单调递增区间为[0, +∞)。 (2) 当a >0时,由f ' (x ) >0,得x >
a a
;由f ' (x ) <>
因此,当a >0时,f (x )的单调递减区间为?0, ?,f (x )的单调递增区间为?, +∞?。
33
(Ⅱ)(i )由第(Ⅰ)问的结论可知:
(1) 当a ≤0时,f (x )在[0, +∞)上单调递增,从而f (x )在[0,2]上单调递增,所以
?a ????a
???
g (a )=f (0)=0。
(2) 当a >0时,f (x )在?0, ?上单调递减,在?, +∞?上单调递增,所以:
33① 当
?a ????a
???
a ?a ??a ?
∈(0, 2),即0
所以g (
a )=f ② 当
2a 3a ?a ?
。 =-=?93??
a
∈[2, +∞),即a ≥6时,f (x )在[0,2]上单调递减,所以g (a )=f (
2)=2-a )。 3
例3解:(Ⅰ)当a =1时,曲线y =f (x )在点2, f (2)处的切线方程为6x +25y -32=0。
()
1??
-2a x -a x +() ?2a (x +1)-2x (2ax -a +1)a ??'
=(Ⅱ)由于a ≠0,所以f (x )=。 2222
(x +1)(x +1)
2
2
由f
'
(x )=0,得x 1=-a , x 2=a 。这两个实根都在定义域R 内,但不知它们之间的大小。因此,需
??
1??1?,内为减函数,在区间a , +∞()? -, a ?为a ??a ?
1
对参数a 的取值分a >0和a <0两种情况进行讨论。 (1)="" 当a="">0时,则x 1
增函数。故函数f (x )在x 1=-
1?1?
处取得极小值f -?=-a 2;函数f (x )在x 2=a 处取得极大值a ?a ?
f (a )=1。
(2) 当a <0时,则x 1="">x 2。易得f (x )在区间(-∞, a ) ,(-减函数。故函数f (x )在x 1=-
11
, +∞) 内为增函数,在区间(a , -) 为a a
1?1?
处取得极小值f -?=-a 2;函数f (x )在x 2=a 处取得极大值a ?a ?
f (a )=1。
b 2x 2+2x +b
=例4解:由题意可得f (x )的定义域为(-1, +∞),f (x )=2x +,f ' (x )的分母x +1x +1x +1
'
在定义域(-1, +∞)
上恒为正,方程2x +2x +b =0是否有实根,需要对参数b 的取值进行讨论。 (1)当?=4-8b ≤0,即b ≥
2
112
时,方程2x +2x +b =0无实根或只有唯一根x =-,所以22
g (x )=2x 2+2x +b ≥0
在(-1, +∞)上恒成立,则f
'
(x )≥0在(-1, +∞)上恒成立,所以函数f (x )在(-1, +∞)上单调递增,从而
函数f (x )在(-1, +∞)上无极值点。 (2)当?=4-8b >0,即b
12'
时,方程2x +2x +b =0,即f (x )=0有两个不相等的实根:
2
x 1=
x 2=
这两个根是否都在定义域(-1, +∞)内呢?又需要对参数b 的取值分情况作如下讨论: (
ⅰ
)
当
b <>
时
,
x 1=
-1-1+<-1, x="" 2="">-1,所以
22
x 1?(-1, +∞), x 2∈(-1, +∞)。
此时,f
'
(x )与f (x )随x 的变化情况如下表:
由此表可知:当b <0时,f (x="">0时,f>
所
极小值点x 2=
(
ⅱ
)
当
0
12
时
,
x 1=
-1-1+>-1, x 2=>-122
,以
x 1∈(-1, +∞), x 2∈(-1, +∞)。
此时,f ' (x )与f (x )随x 的变化情况如下表: 由此表可知:当0
1时,f (x )有一个极大值
点x 1=和一个极小值
点2x 2=
-1。
2
a +12ax 2+a +1
+2ax =例5解:(Ⅰ)f (x ) 的定义域为(0,+∞). f '(x ) =. x x
当a ≥0时,f '(x ) >0,故f (x ) 在(0,+∞)单调增加; 当a ≤-1时,f '(x ) 0
;x ∈+∞) 时,f '(x ) 0,讨论函数f (x ) =ln x +a (1-a ) x 2-2(1-a ) x 的单调性. 讨论函数
四、 求导后,考虑导函数为零是否有实根(或导函数的分子能否分解因式),从而引起讨论。
a
f (x ) =x ++ln x 的单调性.
x
?1
, x <>
例1 设k ∈
R ,函数f (x ) =?1-x , F (x ) =f (x ) -kx , x ∈R ,试讨论函数F (x ) 的单调性。
?x ≥1?
五、 求导后,导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式),但不知导函数为零的实根是否
落在定义域内,从而引起讨论。 例2 已知a 是实数,函数f (
x )=(Ⅰ)求函数f (x )的单调区间;
(Ⅱ)设g (a )为f (x )在区间[0,2]上的最小值。
x -a )
(i )写出g (a )的表达式;(ii )求a 的取值范围,使得-6≤g (a )≤-2。
六、 求导后,导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式), 导函数为零的实根也落在定义
域内,但不知这些实根的大小关系,从而引起讨论。
2ax -a 2+1
例3已知函数f (x )=(x ∈R ),其中a ∈R 。
x 2+1
(Ⅰ)当a =1时,求曲线y =f (x )在点2, f (2)处的切线方程; (Ⅱ)当a ≠0时,求函数f (x )的单调区间与极值。
()
例4(改编)设函数f (x )=x 2+b ln (x +1),其中b ≠0,求函数f (x )的极值点。 例5已知函数f (x ) =(a +1) ln x +ax 2+1 (III ) 讨论函数f (x ) 的单调性;
(IV ) (II )设a <-1. 如果对任意x="" 1,="" x="" 2∈(0,="" +∞)="" ,|f="" (x="" 1)="" -f="" (x="" 2)="" ≥4|x="" 1-x="" 2|,求a="" 的取值范围。="" 例6已知函数f="" (x="" )="In(1+x" )-x="">-1.>
x 2
x (k ≥0) 。 2
(Ⅰ) 当k =2时,求曲线y =f (x ) 在点(1,f (1))处的切线方程;(Ⅱ) 求f (x ) 的单调区间。
例7设f (x ) 是定义在区间(1, +∞) 上的函数,其导函数为f ' (x ) 。如果存在实数a 和函数h (x ) ,其中h (x ) 对任意的x ∈(1, +∞) 都有h (x ) >0,使得f ' (x ) =h (x )(x 2-ax +1) ,则称函数f (x ) 具有性质P (a ) 。 (1)设函数f (x ) =ln x +
b +2
(x >1) ,其中b 为实数。 x +1
(i)求证:函数f (x ) 具有性质P (b ) ; (ii)求函数f (x ) 的单调区间。
(2)已知函数g (x ) 具有性质P (2) 。给定x 1, x 2∈(1,+∞), x 1
β=(1-m ) x 1+mx 2,且α>1, β>1,若|g (α) -g (β) |<|g (x="" 1)="" -g="" (x="" 2)="" |,求m="">|g>
?1-k (1-x )2
, x <>
-kx , x <1,>1,>
1-x )例1
解:F (x ) =f (x ) -kx =?1-x 。 , F '(x ) =??kx , x ≥1??x >1??
考虑导函数F '(x ) =0是否有实根,从而需要对参数k 的取值进行讨论。
(一)若x <1,则f '(x="" )="">1,则f>
1-k (1-x )
2
(1-x )
2
F '(x ) =0无实根,F '(x ) =0。由于当k ≤0时,而当k >0时,
有实根,
因此,对参数k 分k ≤0和k >0两种情况讨论。
(3) 当k ≤0时,F '(x ) ≥0在(-∞,1) 上恒成立,所以函数F (x ) 在(-∞,1) 上为增函数;
(4) 当k >0时,F '(x ) =
1-k (1-x )
2
(1-x )
??
2
????= 1-x 由F '(x ) =
0,得x 1= 1?
, x =12 ,因为k >0,所以x 1<>
?
由F '(x ) >
0,得1
0,得x <1上为减函数,在(1上为增函数。 因此,当k="">0时,函数F (x
) 在(-∞,1
(二)若x >
1,则F '(x )=。由于当k ≥0时,F '(x ) =0无实根,而当k <>
F '(x )=0有实根,因此,对参数k 分k ≥0和k <>
(1) 当k ≥0时,F '(x ) <0在[1, +∞)上恒成立,所以函数f="" (x="" )="" 在[1,="">0在[1,>
1?-k ?
=(2) 当k
0时,F '(x ) =。 由F '(x ) >0,得x >1+
11
1
4k 24k 2
因此,当k <0时,函数f (x="" )="">0时,函数f>
?
?1?1??
上为减函数,在1+, +∞??上为增函数。 22?4k ??4k ?
a ??
3 x -?
'
例2解:(Ⅰ)函数的定义域为[0, +∞),f (
x )===x >0),由
f ' (x ) =0得x =
a a '
。考虑是否落在导函数f (x ) 的定义域(0, +∞)内,需对参数a 的取值分a ≤0及33
'
a >0两种情况进行讨论。
(3) 当a ≤0时,则f (x ) >0在(0, +∞)上恒成立,所以f (x )的单调递增区间为[0, +∞)。
'
(4) 当a >0时,由f (x ) >0,得x >
a a '
;由f (x ) <>
因此,当a >0时,f (x )的单调递减区间为?0, ?,f (x )的单调递增区间为?, +∞?。
33
?a ????a
???
(Ⅱ)(i )由第(Ⅰ)问的结论可知:
(3) 当a ≤0时,f (x )在[0, +∞)上单调递增,从而f (x )在[0,2]上单调递增,所以
g (a )=f (0)=0。
(4) 当a >0时,f (x )在?0, ?上单调递减,在?, +∞?上单调递增,所以:
33③ 当
?a ????a
???
a ?a ??a ?
∈(0, 2),即0
所以g (
a )=f ④ 当
2a 3a ?a ?
。 =-=?9?3?
a
∈[2, +∞),即a ≥6时,f (x )在[0,2]上单调递减,所以g (a )=f (
2)=2-a )。 3
例3解:(Ⅰ)当a =1时,曲线y =f (x )在点2, f (2)处的切线方程为6x +25y -32=0。
()
1??
-2a x -a x +() ?2a (x +1)-2x (2ax -a +1)a ??'
=(Ⅱ)由于a ≠0,所以f (x )=。 2222
(x +1)(x +1)
2
2
1
, x 2=a 。这两个实根都在定义域R 内,但不知它们之间的大小。因此,需a
对参数a 的取值分a >0和a <>
由f ' (x )=0,得x 1=-
(1) 当a >0时,则x 1
??1??1?,内为减函数,在区间a , +∞()? -, a ?为a ??a ?
增函数。故函数f (x )在x 1=-
1?1?2
处取得极小值f -?=-a ;函数f (x )在x 2=a 处取得极大值a ?a ?
f (a )=1。
(2) 当a <0时,则x 1="">x 2。易得f (x )在区间(-∞, a ) ,(-减函数。故函数f (x )在x 1=-
11
, +∞) 内为增函数,在区间(a , -) 为a a
1?1?2
处取得极小值f -?=-a ;函数f (x )在x 2=a 处取得极大值a ?a ?
f (a )=1。
b 2x 2+2x +b '
=例4解:由题意可得f (x )的定义域为(-1, +∞),f (x )=2x +,f (x )的分母x +1x +1x +1
'
在定义域(-1, +∞)
上恒为正,方程2x +2x +b =0是否有实根,需要对参数b 的取值进行讨论。
2
(1)当?=4-8b ≤0,即b ≥
112
时,方程2x +2x +b =0无实根或只有唯一根x =-,所以22
g (x )=2x 2+2x +b ≥0
在(-1, +∞)上恒成立,则f ' (x )≥0在(-1, +∞)上恒成立,所以函数f (x )在(-1, +∞)上单调递增,从而函数f (x )在(-1, +∞)上无极值点。 (2)当?=4-8b >0,即b
12
时,方程2x +2x +b =0,即f ' (x )=0有两个不相等的实根:
2
x 1=
-1-1 x 2=
22
这两个根是否都在定义域(-1, +∞)内呢?又需要对参数b 的取值分情况作如下讨论: (
ⅰ
)
当
b <>
时
,
x 1=
所以<-1, x="" 2="">-1,
x 1?(-1, +∞), x 2∈(-1, +∞)。
此时,f ' (x )与f (x )随x 的变化情况如下表: 由此表可知:当b <0时,f (x="">0时,f>
值点
x 2=
(
-1。
2
ⅱ
)
当
0
-1x 1=>-1, x 22,所以x 1∈(-1, +∞), x 2∈(-1, +∞)。
此时,f ' (x )与f (x )随x 的变化情况如下表: 由此表可知:当0
1时,f (x )有一个极大值点x 1=和一个极小值点2x 2=
-1。
2
a +12ax 2+a +1
+2ax =例5解:(Ⅰ)f (x ) 的定义域为(0,+∞). f '(x ) =. x x
当a ≥0时,f '(x ) >0,故f (x ) 在(0,+∞)单调增加; 当a ≤-1时,f '(x ) 0
;x ∈+∞) 时,f '(x ) 0,讨论函数f (x ) =ln x +a (1-a ) x 2-2(1-a ) x 的单调性. 【解答】 函数f (x ) 的定义域为(0,+∞) .
2a (1-a )x 2-2(1-a )x +1
f ′(x ) =,
x
1a -. 当a ≠1时,方程2a (1-a ) x 2-2(1-a ) x +1=0的判别式Δ=12(a -1) ??31
①当00,f ′(x ) 有两个零点,
3
(a -1)(3a -1)(a -1)(3a -1)11
x 1=>0,x 2=+
2a 2a 2a (1-a )2a (1-a )
且当0 1 ②当≤a <1时,δ≤0,f ′(x="" )="" ≥0,所以f="" (x="" )="" 在(0,+∞)="">1时,δ≤0,f> 3 1 ③当a =1时,f ′(x ) =x >0),f (x ) 在(0,+∞) 内为增函数; x (a -1)(3a -1)1 ④当a >1时,Δ>0,x 1=->0, 2a 2a (1-a ) (a -1)(3a -1)1 <0, 2a="" 2a="" (1-a="">0,> 所以f ′(x ) 在定义域内有唯一零点x 1, 且当0 类比变题 方法小结: 在利用导数求函数极值、最值及单调区间等问题时,若函数中含有参数,我们需对参数进行讨论。 1)若导函数的二次项系数为参数,需对二次项系数为正、负或零进行分类讨论; 2)若需考虑判别式Δ,需对Δ>0、 Δ=0、 Δ<> 3)在求最值或单调区间时,由f ’(x)=0解出的根,需与给定区间的两个端点比较大小,进行分类讨论。 x 2= 青藤教育:为你倾注我心 郭金专用 关于函数单调性的讨论 12. (2009安徽卷理)(本小题满分12分) 已知函数f (x ) =x -2+a (2-ln x ),(a >0) ,讨论f (x ) 的单调性. x 本小题主要考查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调性,考查分类讨论的思想方法和运算求解的能力。本小题满分12分。 2a x 2-ax +2解:f (x ) 的定义域是(0,+∞), f '(x ) =1+2-=. 2x x x 设g (x ) =x -ax +2, 二次方程g (x ) =0的判别式?=a -8. 2 2 2① 当?=a -8 0,即00都有f '(x ) >0, 此时f (x ) 在(0,+∞) 上是增函数。 ② 当?=a -8=0, 即a = x =2f '(x ) =0, 对其余的x >0都有f '(x ) >0, 此时f (x ) 在 (0,+∞) 上也是增函数。 ③ 当?=a -8> 0,即a > 2 a a 方程g (x ) = 0有两个不同的实根x 1= x 2=, 0 x f '(x ) f (x ) (0,x 1) + 单调递增 x 1 0 极大 (x 1, x 2) _ 单调递减 x 2 0 极小 (x 2, +∞) + 单调递增 上单调递增, 在+∞) 是上单调递减, 在此时f (x ) 在上单调递增. 1 ----------------------------知识改变生活 精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- 函数单调性的综合运用 【题组一】 2axa,R1、已知,求函数的单调区间。 f(x),xe xe2、(09江西)设函数, ()fx,x 'k,0(1)求函数的单调区间;(2)若,求不等式的解集( fx()fxkxfx()(1)()0,,, 1,a13、(10山东)已知函数.当时,讨论的单调性。 a,fxxax()ln1,,,,()aR,fx()2x 24、(10辽宁)已知函数讨论函数的单调性。 f(x)f(x),(a,1)lnx,ax,1, 1,xa,05、(09陕西)已知函数,其中,求的单调区间。 fxaxx()ln(1),0,,,,fx()1,x 26、(09安徽)已知函数,a,0,讨论的单调性. fxxax()1ln,,,,fx()x xe,7、设函数f(x)=其中a为实数.当f(x)的定义域为R时,求f(x)的单减区间. 2x,ax,a 32a,R8、(08河南)已知函数,( fxxaxx()1,,,, 21,,(?)讨论函数的单调区间;(?)设函数在区间内是减函数,求的取值范围( afx()fx(),,,,,33,, 【题组二】 xeR()fx,1、(11安徽)设,其中为正实数。若为上的单调函数,求的取值范围。 aafx()21,ax 11232a2、(11江西)设f(x),,x,x,2ax.(,,,)若在上存在单调递增区间,求的取值范围; f(x)332 2,3、设函数若上是增函数,求的取值范围 f(x)在(0,1]af(x),,ax,1,x,a,x,(0,1],a,R. 224、设函数,,在区间1,,,上是减函数,求实数a的取值范围. f(x),lnx,ax,ax 42,1,1a5、(10全国I文)已知函数在上是增函数,求的取值范围. fxaxaxx()32(31)4,,,,,, kxk6、(09北京)设函数在区间内单调递增,求的取值范围 (1,1),fxxek()(0),, 327、(09浙江文)已知函数f(x)=x+(1-a) x-a(a+2)x+b(a,bR)在区间(-1,1)上不单调,求a的取值范围 ,(((( ----------------------------知识改变生活 精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- ----------------------------知识改变生活 精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- 32222k,R8、(09浙江理)已知函数,,其中(设函fxxkkxx()(1)52,,,,,,gxkxkx()1,,, k数在区间上不单调,求的取值范围; pxfxgx()()(),,(0,3)((( ----------------------------知识改变生活 精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- 函数-分类讨论 1例1、已知函数f (x ) =x 3+x 2+ax +1(a ∈R ) ,求函数f (x ) 的单调区间; 3 例2、设a >0,讨论函数f (x ) =ln x +a (1-a ) x 2-(a +1) x 的单调性. 例3、已知函数f (x ) =x 2-2a ln x (a ∈R 且a ≠0). (1) 求函数f (x ) 的单调区间; (2)求函数f (x ) 在区间[1,2]上的最小值 例4、已知函数f (x ) =-x 3+ax 2+b (a , b ∈R ). (1)求函数f (x ) 的单调递增区间; (2)若对任意a ∈[3,4],函数f (x ) 在R 上都有三个零点,求实数b 的取值范围. 1例5、已知函数f (x )=ln x -ax 2+x ,a ∈R . 2 (1)求函数f (x )的单调区间; (2)是否存在实数a ,使得函数f (x )的极值大于0?若存在,求a 的取值范围;若不存在,说明理由. 练习: 1、求函数f (x ) = 12、求函数f (x ) =ax 3-(a +1) x 2+4x +1(a ≠0) 的单调区间 3 1312x +ax +x +1(a ∈R ) 的单调区间 32 3、讨论函数f (x ) =ax +ln x (a ∈R ) 单调性 4、已知函数f (x ) =ln x -a x (1)求函数f (x )的单调区间; (2)f (x )在[1, e ]上的最小值为 3,求a 的值 2 5、已知函数f (x )=ln x +x 2+ax ,a ∈R .(1)求函数f (x ) 的单调区间; (2)当a =1时,函数g (x )=f (x )-x 在区间[t , +∞)(t ∈N *) 上存在极值,求t 的最x +1大值.( 参考数值: 自然对数的底数e ≈2.71828) 6、(13S2W)已知函数f (x ) =ln x -ax 2-(1-2a ) x (a >0) . (1)求函数f (x ) 的最大值;f (1) (2)求函数f (x ) 在区间( 1,2) 上的零点的个数(e 为自然对数的底数);2 e a 范文三:关于函数单调性的讨论
范文四:4讨论函数的单调性
范文五:单调性的分类讨论--导数