范文一:常微分方程的应用
常微分方程的应用及数学建模的重要性
在大二的上学期,我们学习了常微分方程这门课,通过这门课我们简单的学习了常微分方程的概念、解法、和其它一些简单的理论,对常微分方程有了初步的认识和了解,也学会了一些类型的常微分方程的解法。
在数学的应用中微分方程是一个活跃的分支,许多自然科学的定律可以通过微分方程得到精确的表达(例如牛顿的第二运动定律)。实际上,微分方程的应用已深入到许多学科之中。通过一些资料我们了解到了常微分方程的发展历史:20世纪以来,随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展,也出现不少新型的微分方程(特别是方程组)。70年代随着数学向化学和生物学的渗透,出现了大量的反应扩散方程。
而常微分方程在数学建模中的应用我们有如下想 一
在数学建模中,数学模型的建立尤为重要,只有建
立了模型,才能进行其他的工作。常微分作为数学科学的中心学科,已经有300多年的历史,其解法和理论一日臻完善,可以为分析和求得方程的解提供足够的方法,使得微分方程模型具有很大的普遍性,有效性和非常丰富的数学内涵,微分方程建模对于许多实际问题的解决时一种极
有效的数学手段。对于实际世界的 变化,人们关注的往往是其变化速度`加速度以及所处位置随时间变化的发展规律,其规律一般可以用微分方程或方程组来表示。 二
我们在建模时首先要根据建模目的和对问题的具体分析作出简化假设,然后对照对象内在的或可以类比的其他对象的规律列出微分方程,求出方程的解并将结果翻译回实际对象,就可以进行描述`分析,及预测和控制了。下面将举例子来说明。
例 1 现有每公升含有0.3千克食盐的水溶液,以
每分钟2公升的速度将其连续注入盛有10公升纯水的容器里,溶液到容器里经过稀释后又以同样的速度自容器里流出,问,经过5分钟后容器里将剩有多少食盐?
解:
把时间t取作自变量,二把实验开始后经过t分钟时容器里食盐的数量取作未知数y(t)。我们来求出在时刻t到t+△t这段时间内食盐的变化量是多少。
注入过程: 在这2△t公升中含有0.3*2△t=0.6△t千克的食盐。
流出过程: 如果在△t时间内容器中所含的食盐数量不变,流出2△t公升的溶液中将含有y(t)/(2△t)=0.2
△ty(t)千克的食盐。但是在这段时间里当△t→0时,它
变成一个无穷小量,那么在流出的溶液中将含有 0.2△t ((t)+a)千克的食盐,其中当△t→0时a→0,于是在这段时间内食盐的增量为
y(t+△t)-y(t)=0.6△t-0.2△t*(y(t)+a) 除以△t,并且当△t→0时取极限。
我们有微分方程y’(t)=0.6-0.2y(t)
解这个方程,得
y(t)=3-Ce^(-0.2t).
当t=0时容器里没有食盐,所以y(0)=0.所以C=3,即 y(t)=3-3e^(-0.2t)
当t=5时,容器中将有
y(5)=3-3e^(-0.2*5)=3-3e^(-1)≈1.9千克的食盐.
通过上面简单的例子,可以看出,常微分在解题中的重要性,,下面在举个较为复杂典型的建模题.
例2 试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型 解 假设在某一时刻t,商品的价格为p(t),它与该商品的均衡价格间有差别,此时,存在供需差,此供需差促使价格变动.对新的价格,又有新的供需差,如此不断调节,就构成市场价格形成的动态过程,假设价格p(t)的变化率dp
dt与需求和供给之差成正比,
并记f(p,r)为需求函数,g(p)为供给函数(r为参数),于是
?dp????f?p,r??g?p??, ?dt?p(0)?p0,?
其中p为商品在t?0时刻的价格,?为正常数. 0
若设f(p,r)??ap?b,g(p)?cp?d,则上式变为
①
其中a,b,c,d均为正常数,其解为 p(t)???p
?0?dp???(a?c)p??(b?d) ??dt?p(0)?p0,?, ?b?d???(a?c)tb?d??ea?c?a?c.
下面对所得结果进行讨论:
(1)设p为静态均衡价格 ,则其应满足
f(p,r)?g(p)?0,
, 即
于是得p?b?d
a?c?ap?b?cp?d,从而价格函数p(t)可写为 p)e??(a?c)t p(t)?(p0?
令t???,取极限得
t????p , limp(t)?p
?p这说明,市场价格逐步趋于均衡价格.又若初始价格p0,则动态价格就维持在均衡价格p上,整个动态过程就化为静态过程;
(2)由于
dp
dt?(p?p0)?(a?c)e??(a?c)t ,
所以,当p0
dp
dt?p时,dpdt?0,p(t)单调下降向p靠拢;当p0?p时, ?0,p(t)单调增加向p靠拢.这说明:初始价格高于均衡价格时,动态价格就要逐步降低,且逐步靠近均衡价格;否则,动态价格就要逐步升高.因此,式①在一定程度上反映了价格影响需求与供给,而需求与供给反过来又影响价格的动态过程,并指出了动态价格逐步向均衡价格靠拢的变化趋势.
以上两个例子说明我们从剖析模型到具体解题,都在利用常微分的知识.
随着人类的进步,科技的发展和社会的日趋数字化,应用领域越来越广泛,人们身边的数学内容越来越丰富。强调数学应用及培养应用数学意识对生活及学习以及日和工作意义十分巨大。数学建模在数学教育中的地位被提高到了新的高度,通过数学建模解数学应用题,将提高学生的综合素质。利用数学建模解数学应用题对于多角度,多层次,多侧面思考问题,培养我们发散思维能力是很有益的,是提高我们综合素质的一条有效途径。同时数学建模的应用也是科学实践,有利于实践能力的培养,是当今社会实施素质教育所必须的。
数学科学学院29101020
莫念凯 蒋太翔 陈卓
范文二:常微分方程的实际应用
常微分方程的实际应用
于萍
摘要:常微分方程在当代数学中是极为重要的一个分支,它的实用价值很高,应用也很广泛,本文主要介绍常微分方程在几何、机械运动、电磁振荡方面的应用,并举例说明,体会常微分方程对解决实际问题的作用,在解决实际问题过程中通常是建立起实际问题的数学模型,也就是建立反映这个实际问题的微分方程,求解这个微分方程,用所得的数学结果解释实际问题,从而预测到某些物理过程的特定性质,以便达到能动地改造世界,解决实际问题的目的。
关键字:常微分方程,几何,机械运动,电磁振荡,应用
1
Abstract: Nomal differential equation is an important part of math at it has a high practical value. This thesis shows the use in geometry, mechaics and electrothermal and makes some examples. Also, it summarizes the normal move of dealing with practical problems by the normal differential equation. Normal, we set up the maths matic model of the problem, solute the normal differentical equation make the use of the result to explain practical problems and make a forecast of some special character of physical process.
Key: Normal differetial equation geometry mechanics electrothermal use
2
引 言
数学分析中所研究的函数,是反映客观现实世界运动过程中量与量之间的一种关系,但在大量的实际问题中遇到稍为复杂的一些运动过程时,反映运动规律的量与量之间的关系(即函数)往往不能直接写出来,却比较容易地建立这些变量和它们的导数(或微分)间的关系式,不同的物理现象可以具有相同的数学模型,这一事实正是现代许多应用数学工作者和工程人员应用模拟方法解决物理或工程问题的理论依据。例如,利用电路来模拟某些力学系统或机械等等在现时已相当普遍。在自然科学和技术科学的其他领域中,例如化学、生物学、自动控制、电力技术等等,都提出了大量的微分方程问题,因此,社会的生产实践是常微分方程理论取之不尽的基本源泉。此外,常微分方程与数学的其他分支的关系也是非常密切的。它们往往互相联系、互相促进。例如,几何学、机械运动、电磁振荡就是常微分方程理论的丰富的源泉之一,常微分方程也是解决实际问题不可或缺的武器。
3
一、常微分方程在几何学的应用
在几何应用问题中,列的方程常常是含有变限定积分的方程。在求解时要化为相应的微分方程或微分方程初值问题。凡是能用定积分计算的量,一定分布在某个区间(比如)上,并且对于该区间具有可加性,,,a,b
A曲边梯形的面积与区间有关,当把分成个部分区间时,则所,,,,a,ba,bn
AA,A(i,1,2,?,n)求量也相应地分成个部分量,而就等于所有这些部ni
n
A分之和,即,这时我们就称面积对区间具有可加性,几A,,A,,a,b,i,1i
何中的面积、弧长,曲线方程等都具有这种特性。在求解微分方程的应用问题时,列出方程是关键性的一步,一定要逐字逐句地仔细阅读题目,根据题目的要求确定未知函数和自变量,然后利用题设中指出的(或包含的)相等关系列出方程,应用问题常常是初值问题。因而,要从题设中确定未知函数满足的初始条件。
常微分方程在解决几何问题的过程中通常采用数形结合,达到简易直观的效果。
dx,,,yx,y利用表示曲线上点处的切线斜率或表示曲线,y,f(x)
dy
x,,x,y上点的法线斜率以及表示由曲线f(t)dty,f(x),a
x,x,x,a,直线,轴所围图形的面积等方面的意义,y,f(x)(f(x),0)x
列方程。
解方程,在求解过程中一定要对常微分方程的解法熟悉于心,才能得心应手。首先要审视方程,判断方程类型,属于一阶微分方程还是可降阶微分方程或高阶微分方程等等。根据不同类型,确定解题方案。
4
下面就让我们结合具体例题来体会常微分方程在解决几何问题的应
用。
,,2例1、设是第一象限内连接点的一段连续曲y,f(x)A(0,1),B(1,0)
M线,为该曲线上任意一点,点C为在轴上的投影。O为坐标M(x,y)x
31x原点,若梯形OCMA的面积与曲边三角形CBM的面积之和为,求,
63的表达式。 f(x).
y 解:根据题意有:
A 1 f(0),1,f(1),0
311xx1()(),,且, ,,,,fxftdt,xM 263B x o 将上式两边对求导数, C x1
21xx,1()()(),,得 ,fx,fx,fx,
222
0,x,1当时,可化为一阶线性微分方程:
11,f(x),f(x),x,
xx
方程两边同除, x
,f(x)1,,即得 ,1,,,2xx,,
f(x)1,x,,c积分可得
xx
2f(x),x,1,cx于是,方程通解为
c,,2把代入通解,可确定常数 f(1),0
故所求函数的表达式为: f(x)
5
22f(x),x,1,2x,(x,1),0,x,1
,,2例2、在上半平面求一条向上凹的曲线,其任一点处的曲p(x,y)
率等于此曲线在该点的法线段长度的倒数,(Q是法线与轴的交点),PQx
且曲线在点处切线与轴平行。 (1,1)x
解:见图,所求曲线为,于是其在点处的曲率为: y,f(x)p(x,y)
,,y,,y k,, 33y 2222,,(1,y)(1,y)y=f(x)
,,y,0(?曲线为凹的,?)
曲线在点处的法线方y,f(x)p(x,y)
P(x,y)
1,程: Y,y,,(X,x)(y,0)x ,yo
它与轴的交点的坐标Qx
,Q(x,yy,0),
12222,,于是PQ,(yy),y,y(1,y),
1k,由题设,
PQ
,,y1,即 312222,,(1,y)y(1,y)
2,,,yy,1,y——这是不显含的方程 x
,y|,1y|0初始条件为,, x,1x,1
dp,,,y,p,y,p令,于是方程变为
dy
dppdy2yp,1,p,dp, 2dy1,py
6
12,ln(1,p),lny,c, 12
,y|,0c,0代入,得 x,11
222,p,y,1,p,,y,1,
2ln(y,y,1),,(x,1),c积分得 2
c,0y|,1代入,得 x,12
故所求曲线为:
12,(x,1)x,1,(x,1)y,y,1,ey,(e,e),即
2
,,3Py例3、已知曲线过点,如果把曲线上任一点处的切线与轴(1,1)
的交点记作,则以为直径所做的圆都经过点,求此曲线方程。 QPQF(1,0)解:见图
y 所求曲线设为 y,f(x)
,Y,y,y(X,x)于是切线方程为 y=f(x)
y切线与轴的交点的坐标为PQQM P(x,y)
Q ,Q(0,y,xy)
x o F(1,0) M设点为切线段的中点,坐标为PQ
,xxy,, ,y,,,22,,
?圆经过点 F(1,0)
MQ,MF?
11,2,yyy1,,,,于是得方程 ? xx,
,y|,1x,1,
2y,z令,则方程?
7
1112222,,(y)y1zz2,,,,,,,, ?
2xxxx
2dz2,z,z,,dx,lnz,2lnx,lnc(1)
xzx
2 z,cx
2z,c(x)x(2)令为?的解,代入并整理,得
2222,,c(x)x,,2,,c(x),,, 23xxx
21~,c(x),,,c 2xx
21,,22~~故?的通解为: z,,,cx,2x,1,cx,,2xx,,
22~即方程的通解为, y,2x,1,cx
~y|,1c,0代入初值,得 x,1
2y,2x,1故所求曲线为
,1,例4、在制造探照灯的反射镜面时,总是要求将点光源射出的光线
平行地反射出去,以保证探照灯有良好的方向性,试求反射镜面的几何
形状。
解:取光源所在处为坐标原点,而轴平行于光的反射方向,(见图)。 x
设所求曲面由曲线 y
T y,f(x), ? ,z,0,α1 M 绕轴旋转而成,则求反射镜面xα2
xy问题归结为求平面上的曲线
α1 x o N P 的问题。 y,f(x)
Z 8
过曲线上任一点作切线 NTy,f(x)M(x,y)
,,,则由反射定律:入射角等于反射角,容易推知 12从而 OM,ON
dyMP,tg,注意到 ,2dxNP
22OP,x,MP,y,OM,x,y及
所满足的微分方程式 就得到函数y,f(x)
dyy,这是齐次方程。 22dxx,x,y
y,,设,将它化为变量分离方程求解
x
2y,c(c,2x)得 为任意常数 c
22y,z,c(c,2x)故反射镜面的形状为旋转抛物面
二、常微分方程在机械振动中的应用 常微分方程与物理联系甚为广泛,下面我们就一起来看一下常微分
方程在机械振动中的应用,常微分方程解决力学问题需要: 建立坐标系,对所研究物体进行受力分析;
F,ma根据牛顿第二定律,列方程;
解方程。
下面,让我们从实例中体会常微分方程在力学中的作用。
,,2vt,0例1:一个质量为的船以速度行驶,在时,动力关闭,假m0
n设水的阻力正比于,其中为一常数,为瞬时速度,求速度与滑行距nvv
离的函数关系。
9
n解:船所受的净力=向前推力-水的阻力=, 0,kv
dva,加速度=速度对时间的导数,即,
dt于是,由题设有
dv,nm,,kv, dt,
,v|,vt,00,
现在要求的不是速度与时间的关系,而是速度与距离的关系,设距
离为,于是,上述方程可化为: x
dvdvdxdvnm,m,,mv,,kv
dtdxdtdx
1,n (※) ,mvdv,,kdx
2,nmvn,2当时,两边积分,得 ,,kx,c
2,n
2,nmv0v|,v,x|,0c,把代入上式,得 t,00t,02,n
k,n(2)2,n2,nv,,x,v故 0m
,1n,2当时,(※), ,mvdv,,kdx
k,xm积分得, v,ce
c,v将初值代入,得 0
k,xmv,ve故 0
,,2例2、两个质量相同的重物挂于弹簧下端,其中一个坠落,求另一
个重物的运动规律,已知弹簧挂一个重物伸长为。 a
10
解:如图所示,建立坐标系设弹簧
l 自由状态时长度为l,取l,a处(即挂一
重物时弹簧的长度)为坐标原点,取xa
2a 轴铅直向下,设在时刻,重物在处,xtmg
x ? 由虎克定律知,此时弹性恢复力为
2mg
x 为弹性系数,负号“—”是因为,kx,k
弹性恢复力与位移反向,由牛顿第二定律有:
2,dxm,,kt,2dt,,x(0),a ,
,,x(0),0,,,
2a?挂两重物时,弹簧伸长,由虎克定律有:
mg2mg,k,2a,k,
a
2dxg?方程, ,,,x2adt
gg2,,,,,,,其特征方程: aa
ggx,ccost,csint于是方程通解为 12aa
gggg,x,,csint,ccost 12aaaa
,把初始条件代入以上两式 x(0),a,x(0),0
得 c,a,c,012
gx,acost?所求重物的运动规律为
a
11
,,1例3 数学摆是系于一根长度为l的线上而质量为的质点在重mM力作用下,它在垂直于地面的平面上沿圆周动运。如图所示,试确定摆的运动方程。
解:设取反时针运动的方向作为计算摆与铅o
,垂线所成的角的正方向,质点沿圆周的切M
,l
d,vl向速度可以表为作用于质点的重v,M
dt
M 力将摆拉回平衡位置。把重力分解为mgAmg
A 两个分量MQ和,第一个分量MQ沿着半径MPP
Q OM的方向,与线的拉力相抵消,它不会引起
mg
的速度的数值改变,因为总是使质质点vMMP
,,点向着平衡位置的方向运动,即当角为正时,向减小的方向运动,MA
,,当角为负时,向增大的方向运动,所以的数值等于,因 ,mgsin,MP
2,dgdv,,sin,此,摆的运动方程是,即。 m,,mgsin,2ldtdt
,(1)如果只研究摆的微小振动,即当比较小时的情况,我们可以取
,的近似值代入上式,这样就得到微小振动时摆的运动方程:sin,
2,dg,,,0 2ldt
(2)如果我们假设摆是在一个粘性的介质中摆动,那么,沿摆的运动方向就存在一个与速度成比例的阻力,若阻力系数为,则摆动方程为v,2ddg,,,,,,,0。 2mdtldt
(3)如果沿摆的运动方向恒有一个外力作用于它,这时摆的运动F(t)
12
2,,,ddg1称为强迫微小振动,其方程为:。 ,,,,F(t)2mdtlmldt
t,0当要确定摆的某一个特定运动时,我们应给出摆的初始状态:当
d,时,,。 ,w,,,00dt
这里代表摆的初始位置,代表初始角速度。 ,w00
,,3例4:生产实践中很多机械问题都归结为弹性振动问题,下面便是一个弹簧振动的典型例子。设有弹性系数而自c
l然长度为的弹簧竖着悬挂着。它的上端固定,
l 下端悬挂,一个质量为的物体,物体受到垂直m
干扰力,求物体的运动规律所满足的微f,f(t)1δ 分方程。
解:如图所示,取通过悬挂点的直线为轴,xx=x(t) 向下记为正方向,原点取在系统平衡位置,为确x 定物体运动规律,先分析它的位置,处的x,x(t)
受力情况。
,(1) 弹簧弹性力,依虎克定律,其中为弹簧在物体ff,,c(,,x)00
重力作用下的伸长量。
(2) 物体所受重力 p,mg
(3) 介质阻力与物体运动速度成正比,与运动方向相反,R
dxRv,,,,,,
dt
,其中为常数,称为阻尼系数。
(4) 重力干扰力 f,f(t)1
13
因此,这时物体所受合外力
dx,,F,f,p,R,f,,c,,x,mg,,,f(t) 01dt
再由牛二定律,得方程:
2dxdx m,,c,,,,x,mg,,,f(t)12dtdt
由于系统的平衡位置处,弹性力与重力平衡,故有f,,c,p,mg0
,c,,mg,0
于是上述方程写成
2dxdx ? m,,,cx,f(t)12dtdt
,f(t)c21,2n若记, ,k,f(t)
mmm
则?可写成
2dxdx2 ? ,2n,kx,f(t)2dtdt
这就是该物体在外力作用下运动规律。 f(t)
所满足的微分方程 x,x(t)
若物体振动过程中,未受外力干扰,即,则微分方程f(t),02dxdx2,2n,kx,0 2dtdt
三、常微分方程在电磁振荡中的应用
建立起实际问题的数学模型一般是比较困难的,因为这需要对与问
题有关的自然规律有一个清晰的了解,如前面所求的力学问题就要对牛
二定律有清楚的认识,同时也需要有一定的数学知识,为了要建立起实
14
际问题的数学模型,一定要学习有关的自然科学和工程技术的专业知识,微分方程往往可以看作是各种不同物理现象的数学模型,我们在建立微分方程的时候,只能考虑影响这个物理现象的一些主要因素,而把其它一些次要因素忽略掉,如果的确考虑到了那些最主要的因素,那么,我们所得到的微分方程,它的解和所考虑的物理现象就是比较接近的,这时,我们得到的数学模型是有用的,否则,我们还应考虑其它一些因素,以便建立起更为合理的数学模型,为了解决热电学问题,需要了解其中的一些基本规律,如下面将用到牛顿冷却定律,其内容为热量总是从物体中温度高的向温度低的物体传导;在一定温度范围内,一个物体的温度变化速度与这一物体的温度和其所在介质温度差值成比例,等等,我们将在实例中一一解答。
常微分方程解决电磁振荡问题通常建立起电热学问题的数学模型,也就是反映这个实际问题的微分方程。
求解这个微分方程。用所得的数学结果解释实际问题,从而预测到某些物理过程的特定性质,以便达到能动地改造世界,解决实际问题的目的。
接下来,就让我们从实例中体会常微分方程在电热方面的应用。
,,1t,0例1. 电路,如图,它包含电感,电阻和电源,设R,LLRE
k时,电路中没有电流,我们要求建立:当开关闭合后,电流应该满足I
R,L,E的微分方程,假设都是常数。
R k
解:为了建立电路的微分方程,我
E
们引用关于电路的基尔霍夫第二定律:
L
15
在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和等于零。
dIRI注意到经过电阻的电压降是,而经过电感的电压降是,LRL
dt
dI由基尔霍夫第二定律得到。 E,L,RI,0
dt
dIRE即,I,
dtLL
求出的应满足条件: I,I(t)
t,0I,0当时,,如果假定在时,,电源突然短路,因t,tI,IE00而变为零,此后亦保持为零,那么电流满足方程。 EI
dIR,及条件时, ,I,0t,tI,I00dtL
,,1R,L,CC例2 电路,如图所示,它包括电感,电阻和电容,LR设R,L,C均为常数,电源是时间的已知函数,我们要求建立:当开e(t)t
k关闭合后,电流应满足的微分方程。 I
L k
解:注意到经过电感,电阻和LR
dIe(t) QR CL电容的电压降分别为,和,RI
dtC
其中Q为电量,因此由基尔霍夫第二定
dIQe(t),L,RI,律得到
dtC
dQI,? ,微分上式得到
dt
2dIRdII1de(t),,, 2LdtLCLdtdt
这就是电流应满足的微分方程,如果=常数,得到e(t)I
16
2dIRdII,,,0 2LdtLCdt
R,0如果又有,则得到
2dI1,,0 2LCdt
,,1R,CC例3. 电容器的充电和放电,如图所示电路,开始时电容上
k没有电荷,电容两端电压为零,我们把开关闭合“1”后,电池就对E
UCC电容充电,电容两端电压逐渐升高,经过相当时间后,电容充电c
k完毕,我们再把开关合上“2”,这时电容就开始放电过程,现在要求找
C出充、放电过程中,电容两端的电压随时间的变化规律。 Utc
解:对于充电过程,由闭合回路的Uc 基尔霍夫第二定律有
C
U,RI,E ? CR
2 C对电容充电时,电容上的电量Q
1 k 逐渐增多,根据得到: Q,CUc
E dUdQdcICUC,,(), ? cdtdtdt
将?代入?,得满足的微分方程: Uc
dUc ? RC,UC,E
dt
R,C,E这里都是常数,方程?属于变量分离方程,将?变量分离得到dUdtc,,
UERC,c
两边积分,得到
17
1 ,,,,lnUECc1RC
11t,tCRCRC1U,E,,ee,Ce即 c2
C1C,,e这里为任意常数。 2
t,0将初始条件:时,代入得到 U,0C,,Ec2
1,,,tRC,,? ? ,,UE1ec,,,,
R,CC这就是电路充电过程电容两端的电压变化规律,由?知道,
从零开始逐渐增大,且当时,,在电工学中,通常电压UU,Et,,,Cc
,,RCt,3,3,称为时间常数,当时,,就是说,经过的时间U,0.95Ec
C后,电容上的电压已达到外加电压的95%,实际上,通常认为这时电
C容的充电过程已基本结束,易见充电结果,对于放电过程,可以U,Ec
类似地进行。
,,1t,0例4(将某物体放置于空气中,在时刻时,测量它的温度为u,150:Cu,100:C,10分钟后测量得温度为,我们要求决定此物体的01
温度和时间的关系,并计算20分钟后物体的温度,这里假定空气的温ut
u,24:C度保持为。 a
du解:设物体在时刻的温度为,则温度的变化速度以来表u,u(t)tdt示,根据牛顿冷却定律知,热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导,?,所以温差为正,又?物体将随时间而逐渐冷却,故u,uu,u0aa
dudu温度变化速度恒为负,因此由牛顿冷却定律得到 ? ,,k(u,u)adtdt
k,0这里是比例常数?式就是物体冷却过程数学模型,为了决定物
18
体的温度和时间的关系,我们从方程?中“解出”,注意到是常uuuta
,0数,且,将?改写成: u,ua
d(u,u)a,,kdt,两边积分,得 u,ua
~~,c为“任意常数” uuktcln(,),,,a
~ktc,,u,u,e根据对数定义,得到 a
~,ktcu,u,ce令,即得 ? e,ca
t,0根据“初始条件”:当时, u,u0
t,0容易确定的数值,为此,将,代入?式,得 cu,u0
c,u,u0a
? ? u,u,(u,u)ea0a
k若的数值确定了,?就完全决定了温度与时间的关系,根据条ut
,10kt,10u,u,(u,u)e件,,得到 u,u1a0a1
u,u10a由此,k, ln
u,u101a
由给定,,代入,得 u,150u,100u,2401a
1150,241 k,ln,ln1.66,0.051
10100,2410
,0.051t? ? u,24,126e
这样,利用?式就可以算出任何时刻的温度的数值。 ut
19
参考文献:
1、王高雄,周之铭,朱思铭、王寿松编《常微分方程》
2、陈文灯,黄先开,曹显兵编《聚集考研——数学》
3、李永乐,李正元编《数学历年试题解析》
20
目 录
引 言 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3 一、常微分方程在几何学的应用 ????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4
二、常微分方程在机械振动中的应用 ????????????????????????????????????????????????????????????? 9
三、常微分方程在电磁振荡中的应用 ??????????????????????????????????????????????????????????? 14
参考文献: ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 20
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范文三:常微分方程的应用探讨
摘 要: 微分方程是数学分析的一个重要分支,本文通过对一些医学模型的分析,说明了常微分方程在医学上的应用。随着人类的进步,科技的发展,以及社会的日趋数字化,微分方程应用的领域越来越广泛,相关的数学内容越来越丰富。 关键词: 微分方程 应用 医学模型 一、引言 微分方程作为《数学分析》的一个重要的分支,萌芽于17世纪,建立于18世纪。从17世纪末开始,科学家们在研究摆的运动、弹性理论及天体力学等实际问题时,引出了一系列的常微分方程。在当代,常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用,如飞机和导弹飞行的稳定性的研究、自动控制、人口发展模型、交通流模型、化学反应过程稳定性的研究等。因此,微分方程的研究是与人类社会密切相关的。下面我就通过一些实际模型,讨论常微分方程在医学上的应用。 二、应用举例 1.模型一:胰脏功能检测 有一种医疗手段,是把示踪染色注射到胰脏里检查其功能,正常胰脏每分钟吸收掉染色的40%,现内科医生给某人注射了0.3克染色,30分钟后还剩0.05克,试问此人的胰脏正常吗? 解:假设此人的胰脏是正常的。 用P(t)表示注射染色后t分钟时此人胰脏中的染色量。由于正常胰脏每分钟吸收染色的40%,即染色的衰减率为40%,从而得到 ■=-0.4,即■=-0.4P(1) 这是一阶可分离变量的微分方程,分离变量可得■=-0.4dt 两边积分可得?蘩■=-?蘩0.4dt 故方程(1)的通解为ln|P|=-0.4t+C■,整理得 P(t)=Ce■ 由P(0)=0.3有C=0.3,故胰脏中所含的染色量与时间的关系为 P(t)=0.3e■ 30分钟后剩下的染色应为P(30)=0.3e■。这与实际上30分钟后还剩下0.05克染色相矛盾,故此人的胰脏不正常。 2.模型二:静脉输液问题 静脉输入葡萄糖是一种重要的医疗手段。为了研究的方便,假设葡萄糖以固定的速度输入到血液中。与此同时,血液中的葡萄糖会转化为其他物质转移到其他地方,其速率与血液中的葡萄糖含量成正比。那么,血液中葡萄糖的含量与输液时间之间存在什么关系呢? 解:设G(t)为t时刻血液中的葡萄糖含量,葡萄糖的输入数率为a克/每分钟。 因为血液中葡萄糖含量的变化率■等于增加速率与减少速率之差,增加速率为常数a,减少速率为kG(t),其中k为比例常数。所以 ■=a-kG(t)(2) 这是一个一阶线性微分方程,其通解为 G(t)=e■[C+?蘩ae■dt]=e■[C+■e■]=Ce■+■ 若最初血液中的葡萄糖含量用G(0)表示,则有 G(0)=C+■,即C=G(0)-■ 这样便得到血液中葡萄糖的含量与时间的关系: G(t)=■+[G(0)-■]e■ 三、结语 除了上面列举的模型之外,还有很多的医学模型可以用微分方程解决,例如血管中血液的流速问题、人体的主动脉脉压、肿瘤生长的数学模型等。随着人类的进步,科技的发展和社会的日趋数字化,常微分方程作为数学分析的一个活跃的分支,应用的领域越来越广泛,相关的数学内容越来越丰富。我们要充分发挥常微分解决实际问题的潜力,让科学更好地为人类服务。 参考文献: [1]周义仓,勒祯,秦军林.常微分方程及其应用[M].北京:科技出版社,2003. [2]肖勇.常微分方程在数学建模中的应用[J].荆楚理工学院学报,2009,24(11):50.
范文四:常微分方程知识的应用
常微分方程知识的应用
1 研究小孔口自由出流的规律,应用可分离变量的微分方程知识
此问题主要出现在水利工程专业的《水力学》课程中,主要应用于研究水力学中小孔口自由出流时水面高度(h )随时间(t)变化的规律。所谓孔口出流,是指水流从容器壁上的孔口中流出的现象。孔口出流在水利工程中应用较多,如水库放水计算,船闸充水、放水计算;给排水工程中各类取水、泄水闸孔,以及一些量测流量设备等均属孔口。当d?H/10(d为孔口直径,H为孔口形心以上的
2gH水头)时,这种孔口称为小孔口。小孔口自由出流的流量计算公式是Q,us 032(m/s),式中H为从孔口中心起算的包括行近流速水头V/2g在内的水头(m); 00
2s为孔口过水断面面积(m);为孔口自由出流时的流量系数,初步计算时,可,
采用0.60—0.62.
〔实例〕有高为1m 的半球形容器,水从它的底部小孔流出,小孔横截面积为
21cm,如图所示。开始时容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t变化的规律。
y
h
1m h+dh r h
x O
分析:首先建立合适的直角坐标系,如图所示。由水力学知道,水从孔口流出的流量(即通过孔口横截面的水的体积V对时间t的变化率)Q可用公式
2ghQ=dv/dt=us计算。其中,u为流量系数,取0.62;s 为孔口横截面面积,
22ghs=1cm;g为重力加速度。所以,dv=0.62dt.然后,运用求解可分离变量的微分方程的方法和步骤,即可得出水从小孔口流出的规律。
解答:(计算过程略)
,533/25/2T=(7×10-10h+3h).
4.652g
2 研究水污染防治问题,应用可分离变量的微分方程知识
此问题主要出现在水利工程专业的《水利工程管理》课程中,主要应用于水质管理、水污染控制和水源保护。水在自然循环和社会循环中会混入各种各样的杂质,包括自然界各种地球化学和生物过程的产物,人类生活和生产的各种废弃物。当水中某些杂质的数量达到一定程度后,就会对人类环境或水的利用产生不良影响,水质的这种恶化称为水污染。造成水污染的主要原因是工业废水和生活污水的超标排入。水污染按造成污染的原因可分为自然污染和人为污染;按污染物的性质可分为物理污染、化学污染和生物污染;按污染源平面分布又可分为点源污染、线源污染和面源污染等。近年来,我国水体水质总体上呈恶化趋势,水污染加剧了我国水资源短缺的矛盾,对工农业生产和人民生活造成一定的危害。因此,必须进一步加强水质管理,加大水污染防治力度,切实保护好人类赖以生存的水资源。
[实例]某湖泊的水量为V,每年排入湖泊内含污染物砷的水量为V/6,流入湖泊的不含污染物砷的水量为V/6,流出湖泊的水量为V/3。已知2005年底湖中砷的含量为5m,超过国家规定指标,为了治理污染,从2006年起,限定排入湖泊中含砷污水的浓度不超过m/V。问至少需要经过多少年,湖泊中的污染物砷的0
含量降至m以内,(注:设湖水中砷的浓度是均匀的。) 0
分析:设从2006年初(t=0)开始,第 t年湖泊中污染物砷的总量为m ,浓
mmV00,dt,dt,度为m/V,则在时间间隔[t,t+dt]排入湖泊中砷的量为流出湖泊的V66
mVm水中砷的含量为.因而在时间间隔dt 湖泊中污染物砷的改变量,dt,dtV33
mm0dm,(,)dt,它是一阶可分离变量的微分方程。然后,运用求解可分离变量63
的微分方程的方法和步骤,便可求得至少所需的年限。
解答:(计算过程略)
至少需要经过6ln3年,湖泊中污染物砷的含量降至m 以内. 0
范文五:常微分方程的应用
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《常微分方程应用》结课作业
学院:轻工与纺织学院
班级:服装设计与工程13-1班
学号:201321805024
姓名:周志彬
常微分方程经济应用
微分方程在不仅在物理学、力学上有广泛的应用,在经济学和管理科学等实际问题中也比比皆是,本次我们将集中讨论微分方程的经济应用。读者可从中感受到应用数学建模的理论和方法解决经济管理实际问题的魅力.
随着社会经济的迅速发展, 数学在我们的生活中可以说无处不在, 尤其是在经济管理中的应用越来越广泛. 经济学必须进行定量研究. 而常微分方程是对经济管理问题进行定量研究的最重要、最基本的数学工具之一,为了研究经济变量之间的联系及其内在规律, 常常需要建立某一经济函数及其导数所满足的关系式, 并由此确定所研究函数的形式, 从而根据一些已知条件来确定该函数的表达式. 从数学上讲, 就是建立微分方程并求解微分方程. 用微分方程解决问题,下面就是几个例子:
一、公司资产函数
例。某公司t 年净资产有W (t ) (百万元), 并且资产本身以每年5%的速度连续增长, 同时该公司每年要以300百万元的数额连续支付职工工资.
(1) 给出描述净资产W (t ) 的微分方程;
(2) 求解方程, 这时假设初始净资产为W 0;
(3) 讨论在W 0=500, 600, 700三种情况下, W (t ) 变化特点.
解 (1) 利用平衡法,即由净资产增长速度=资产本身增长速度-职工工资支付速度 得到所求微分方程
(2) 分离变量,得 dW =0. 05W -30. dt dW =0. 05dt . W -600
两边积分,得 ln |W -600|=0. 05t +ln C 1
|W -600|=C 1e 0. 05t (C 1为正常数),于是 (C =±C 1). , 或 W -600=Ce 0. 05t
将W (0) =W 0代入,得方程通解:
W =600+(W 0-600) e 0. 05t .
上式推导过程中W ≠600, 当W =600时,dW =0知 dt
W =600+(W 0-600) e 0. 05t , W =600=W 0,
通常称为平衡解,仍包含在通解表达式中.
(3) 由通解表达式可知,当W 0=500百万元时,净资产额单调递减,公司将在第36年破产;
当W 0=600百万元时,公司将收支平衡,将资产保持在600百万元不变;当W 0=700百万元时,公司净资产将按指数不断增大.
二、价格调整模型
例 如果设某商品在时刻t 的售价为P , 社会对该商品的需求量和供给量分别是P 的函数D (P ), S (P ), 则在时刻t 的价格P (t ) 对于时间t 的变化率可认为与该商品在同时刻的超额需求量D (P ) -S (P ) 成正比, 即有微分方程
dP =k [D (P ) -S (P )](k >0) (1.3) dt
在D (P ) 和S (P ) 确定情况下, 可解出价格与t 的函数关系,这就是商品的价格调整模型.
例如: 某种商品的价格变化主要服从市场供求关系. 一般情况下, 商品供给量S 是价格P 的单调递增函数, 商品需求量Q 是价格P 的单调递减函数, 为简单起见, 分别设该商品的供给函数与需求函数分别为
S (P ) =a +bP , Q (P ) =α-βP (8.6)
其中a , b , α, β均为常数, 且b >0, β>0.
当供给量与需求量相等时, 由(8.6)可得供求平衡时的价格
P e =
并称P e 为均衡价格. α-a β+b
一般地说, 当某种商品供不应求, 即S dP =k [Q (P ) -S (P )] dt 其中k >0, 用来反映价格的调整速度. 将(8.6)代入方程, 可得 dP =λ(P e -P ) (8.7) dt 其中常数λ=(b +β) k >0, 方程(8.7)的通解为 P (t ) =P e +Ce -λt 假设初始价格P (0) =P 0, 代入上式, 得C =P 0-P e , 于是上述价格调整模型的解为 P (t ) =P e +(P 0-P e ) e -λt 由于λ>0知, t →+∞时, P (t ) →P e . 说明随着时间不断推延, 实际价格P (t ) 将逐渐趋近均衡价格P e . 三、新产品的销售速度分析 记时刻t 时已售出的新产品数为X(t),假设该产品使用方便, 这些正在使用的新产品实际上起着宣传的作用, 吸引着尚未购买的顾客, 设每一个新产品在单位时间内平均吸引K 个顾客, 由此可知,X(t)满足微分方程: dXdt=KX,X(0)=0. 其解为: X(t)=X0eKt . 若取t=0表示新产品诞生的时刻: 则X(t)=0, 与事实不符,它只考虑了实物广告的作用, 而忽略了厂家可以通过其他方式宣传新产品从而打开销路的可能性,所以呢应该有个上界,设需求量的上界为K, 则尚未使用新产品的户数为(K-X(t))由统计规律可知,dXdt 与X(K-X)成正比, 比例系数为r, 则: dXdt=rX(K-X) 它的解为X(t)=K/1+ce-Krt 一阶导数Xc(t)=cK2re-Krt /1+ce-Krt 二阶导数Xd(t)=cK3r 2(ce-Krt -1)(1+ce-Krt ) 2 当Xc(t)>0时,X(t)单调增加, 由Xd(t)=0 得出c 0=1, 此时 X(t0)=K/2 当t 所以,用户采用某一新产品的这段时期, 应是该产品正式大批量生产的较合适的时期, 初期应采用小批量生产并加以广告宣传, 后期则应适时转产, 这样做可以取得较高的经济效益! 四、差分方程在经济学中的应用 采用与微分方程完全类似方法,我们可以建立在经济学中的差分方程模型,下面举例说明其应用. 1. “筹措教育经费”模型 某家庭从现在着手, 从每月工资中拿出一部分资金存入银行, 用于投资子女的教育, 并计算20年后开始从投资账户中每月支取1 000元, 直到10年后子女大学毕业并用完全部资金. 要实现这个投资目标, 20年内要总共筹措多少资金? 每月要在银行存入多少钱? 假设投资的月利率为0.5%, 为此, 设第t 个月, 投资账户资金为a t , 每月存资金为b 元, 于是20年后, 关于a t , 的差分方程模型为 e-Krt a t +1=(1. 005) a t -1000 (9.11) 且a 120=0, a 0=x . 例: 某家庭从现在开始, 从每月工资中拿出一部分资金存入银行, 用于投资子女的教育, 计划20年后开始从投资帐户中每月只取1000元, 直到10年后子女大学毕业并用完全部资金. 要实现这个投资目标,20年内要总共筹措多少资金? 每月要在银行存入多少钱? 假设投资的月利率为0.5%, 解:设第t 个月, 投资帐户资金为ta, 每月存资金为b 元, 于是,20年后, 关于ta 的差分方程模型为 a t +1=1. 005a t -1000 (9.11) 且a 120=0, a 0=x . 解方程(9.11)得其通解为 a t =(1. 005) t A -=(1. 005) t A +200000, 1-1. 005 其中A 为任意常数. 因为 a 120=(1. 005) 120A +200000=0, a 0=A +200000=x , 从而有 x =200000-200000=90073. 45. 120(1. 005) 从现在到20年内, a t 满足方程 a t +1=(1. 005) a t +b (9.12) 且a 0=0, a 240=90073. 45. 解方程(9.12)得通解 a t =(1. 005) t A -b =(1. 005) t A +200b , 1-1. 005 以及a 240=(1. 005) 240A -200b =90073. 45, a 0=A -200b =0, 从而有b =194. 95. 即要达到投资目标,20年内要筹措资金90073.45元, 平均每月要存入194.95元. 2. 价格与库存模型 本模型考虑库存与价格之间的关系 设P (t ) 为第t 个时段某类产品的价格, L (t ) 为第t 个时段的库存量. 为该产品的合理库存量. 一般情况下, 如果库存量超过合理库存, 则该产品的售价要下跌, 如果库存量低于合理库存, 则该产品售价要上涨, 于是有方程 P t +1-P t =k (-L t ) (9.13) 其中k 为比例常数. 例: “百花”小商店是一个专门经营各类毛巾的商店。每年营业时间为360天,每天平均售出400张毛巾,每张毛巾的批发价平均为0·70元,每次订货的平均费用为 112元。即每次订货,不论购买的数量多少都要支出112元。现在商店是每半年进一次货,一年进两 次货 。每张毛巾的存贮费用一年为0·126元。这个商店的经理感觉到每年订货两次看来并非是一个好的订货方法,他希望能找到一种方法能帮助他确定每年应该订货几次。每次的数量应该为多少,将可能为他节约一笔总的库存费用。 解析: 现在“百花”商店是每年进货两次 ,每年毛巾的需求量是H=(400*360)144000张 ,则每次订货数量为 144000/2=72000张。 这个库存问题是等量需求及时补充的 ,因此不会产生脱销费用。这时的年度总库存费用=年订货费用+年存贮费用, 用公式表示为∶ A=B+C 其中∶ A为年总库存费用; B为年订货费用,B=HS/Q,式中H 为年需求量,本例H=144000张 。S 为每次订货费用 , S=112元。 Q为每次订货量 ,本例 Q=72000张。则 B=HS/Q =144000 ×112/72000=224元。 每年订货次数( N= H/Q) ,则 B=NS=2 ×112=224元 。 C为年存贮费用, C=Q/2×K , K 为单位商品的存贮费用,Q/2为平均库存量。本例 K=0.126元 , 则 C=72000/2 ×0.126=4536元 。 因此“百花”商店每年订货两次,每次订货量 为 72000张时的总库存费用为A=B十C=224 + 4536=4760元。 3. 国民收入的稳定分析模型 本模型主要讨论国民收入与消费和积累之间的关系问题. 设第t 期内的国民收入y t 主要用于该期内的消费G t , 再生产投资I t 和政府用于公共设施的开支G (定为常数), 即有 y t =C t +I t +G (9.17) 又设第t 期的消费水平与前一期的国民收入水平有关, 即 C t =Ay t -1(0 第t 期的生产投资应取决于消费水平的变化, 即有 I t =B (C t -C t -1) (9.19) 由方程(9.17), (9.18), (9.19)合并整理得 y t -A (1+B ) y t -1+BAy t -2=G (9.20) 于是, 对应A , B , G 以及y 0, y , 可求解方程, 并讨论国民收入的变化趋势和稳定性. 例: 社会原收入水平1000亿元,消费为800亿元。当收入增加至1200亿元时,消费增加至900亿元。 解:平均消费倾向:APC=C/Y=900/1200=0.75 平均储蓄倾向:APS=1-APC=1-0.75=0.25 边际消费倾向:MPC=△C/△Y=(900-800)/(1200-1000)=0.5 储蓄倾向:MPS=1-MPC=1-0.5=0.5 自发总支出增加50亿元,GDP 会增加多少。 Y=1/(1-c) ×AE △Y=1/(1-c) ×△AE=1/(1-0.5) ×50=100亿元 自发总支出减少40亿元,GDP 会减少多少。 △Y=1/(1-c) ×△AE=1/(1-0.5) ×40=80亿元 五、总结与体会 常微分方程在经济管理中有着重要的应用, 通过建立数学模型能够解决很多复杂的实际经济问题. 这次的论文所讲述的只是常微分方程在企业经济管理中应用的一小部分, 有很多东西还需要我们进一步的探讨. 而且, 使用常微分方程解决问题时, 要根据实际问题适当地使用微分方程,他在其他方面应用也很广泛,为人们解决越来越多的实际问题。 Q 时, 该商品价格要落. 因此, 假设t 时刻的价格P (t ) 的变化率与超额需求量Q -S 成正比, 于是有方程