大大大大大大大鱼
范文一：高一数学集合的知识点
新状元教育罗老师专用
第1讲 集 合
【课标要求】
1(集合的含义与表示
(1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系;
(2)能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用;
2(集合间的基本关系
(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集;
(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义;
3(集合的基本运算
(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集;
(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集;
(3)能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用
【要点精讲】
1(集合:某些指定的对象集在一起成为集合
(1)集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作;若b不是集合A的元素，记作;
(2)集合中的元素必须满足:确定性、互异性与无序性;
确定性:设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立;
互异性:一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素;
无序性:集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关;
(3)表示一个集合可用列举法、描述法或图示法;
列举法:把集合中的元素一一列举出来，写在大括号 B; (2)简单性质:1);2);3)若，，则;4)若集合A是n个元素的集合，则集合A有2n个子集(其中2n,1个真子集);
3(全集与补集:
(1)包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U;
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(2)若S是一个集合，，则，且称S中子集A的补集;
(3)简单性质:1)CS(CS)=A;2)，
4(交集与并集:
(1)一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集。交集且。
(2)一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集。并集或
注意:求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。
5(集合的简单性质:
(1)
(2)
(3)
(4);
(5)CS(A?B)=(CSA)?(CSB)，CS(A?B)=(CSA)?(CSB)。
四(【典例解析】
:集合的概念 题型1
(2009湖南卷理)某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_12__
答案 :12
解析 设两者都喜欢的人数为x人，则只喜爱篮球的有人，只喜爱乒乓球的有人，由此可得，解得，所以，即 所求人数为12人。 例1((2009广东卷理)已知全集，集合
和
的关系的韦恩(Venn)图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有 ( )
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A. 3个 B. 2个
C. 1个 D. 无穷多个
答案 B
解析 由得，则，有2个，选B.
2例2((2009山东卷理)集合若则a的值
为
A.0 B.1 C.2 D.4
答案 D
解析 ?
??故选D.
【命题立意】:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,本题属于容易题.
题型2:集合的性质
2例3((2009山东卷理)集合若则a的值为
A.0 B.1 C.2 D.4
答案 D
解析 ?
??故选D.
【命题立意】:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,本题属于容易题.
随堂练习
1.( 广东地区2008年01月份期末试题汇编)设全集U=R，A={x?N,1?x?10}，
R 2,x+ x,6=0}，则下图中阴影表示的集合为 ( ) B={ x?
A({2} B({3}
C({,3，2} D({,2，3}
2. 已知集合A={y|y-(a+a+1)y+a(a+1)>0},B={y|y-6y+8?0}，若2222 A?B?φ，则实数a的取值范围为( )(
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分析:解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发，经过一系列的推理和运算，最后得到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手的情况，这时可从反面去考虑(从反面考虑问题在集合中的运用主要就是运用补集思想(本题若直接求解，情形较复杂，也不容易得到正确结果，若我们先考虑其反面，再求其补集，就比较容易得到正确的解答(
解:由题知可解得A={y|y>a2+1或y<a}, B={y|2?y?4},我们不妨先考虑当A?B,φ时a的范围(如图
由，得或
?或
即A?B,φ时a的范围为或而A?B?φ时a的范围显然是其补集,从而所求范围为或
评注:一般地，我们在解时，若正面情形较为复杂，我们就可以先考虑其反面，再利用其补集，求得其解，这就是“补集思想”(
例4(已知全集，如果，则这样的实数x是否存在,若存在，求出x，若不存在，说明理由
解:?;
?且，即,0，解得
当时，，为A中元素;
时， 当
当时，
?这样的实数x存在，是或。
另法:?CS
?且，
?,0且
?或。
点评:该题考察了集合间的关系以及集合的性质。分类讨论的过程中“当时，
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不能满足集合中元素的互异性。此题的关键是理解符号是两层含义:
且。
变式题:已知集合，其中且求q的值。
解:由可知，
2
(1)，或(2)
解(1)得，
解(2)得或， 2
又因为当时，与题意不符， 所以，。 2
题型3:集合的运算
例5((2008年河南省上蔡一中高三月考)
已知函数函数的定义域集合是B
(1)求集合A、B
(2)若求实数a的取值范围(
解 (1)A,或
B,或
(2)由,B得AB，因此
所以所以实数a的取值范围是
例6((2009宁夏海南卷理)已知集合则
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答案 A
解析 易有，选A
点评:该题考察了集合的交、补运算。
:图解法解集合问题 题型4
例7((2009年广西北海九中训练)已知集合，
，
则
( )
A(
C(
答案 C
例8(湖南省长郡中学2008届高三第六次月考试卷数学(理)试卷
设全集，函数的定义域为A，集合
B({(3,0),(2,0)} D(，若恰好有2个元素，求a的取值集合。
解:
时，?或
?
，?
?
当时，在此区间上恰有2个偶数。
2、，a2，2，，k)，由A中的元素构成两个相，，其中
，
应的集合:
，，，，，，，(其中(a，b)是有序数对，集合S和T中的元素个数分别为m和n(若对于任意的，总有，则称集合A具有性质P(
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(I)对任何具有性质P的集合A，证明:; 2
(II)判断m和n的大小关系，并证明你的结论(
解:(I)证明:首先，由A中元素构成的有序数对(ai，aj)共有k个(
因为，所以(ai，，2，，k);
又因为当时，时，，所以当(ai，时，2(aj，，，，
，2k(
从而，集合T中元素的个数最多为， 22
( 2
(II)解:，证明如下: 即n?
(1)对于(a，，根据定义，，，且，从而，( 如果(a，b)与(c，d)是S的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从
与中也至少有一个不成立( 而
故，b)与，d)也是T的不同元素(
可见，S中元素的个数不多于T中元素的个数，即m?n，
(2)对于(a，，根据定义，，，且，从而，(如果(a，b)与(c，d)是T的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也不至少有一个不成立，
故，b)与(，d)也是S的不同元素(
可见，T中元素的个数不多于S中元素的个数，即n?m，
由(1)(2)可知，(
例9(向50名学生调查对A、B赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成;另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人。问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人,
解:赞成A的人数为50×3=30，赞成B的人数为530+3=33，如上图，记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合A;赞成事件B的学生全体为集合B。
设对事件A、B都赞成的学生人数为x,则对A、B
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x+1,赞成A而不赞成B的人数为30,x，赞成B而不赞成A的人数3
x为33,x。依题意(30,x)+(33,x)+x+(+1)=50,解得x=21。所以对A、B都赞成的同学有3都不赞成的学生人数为
21人，都不赞成的有8人
点评:在集合问题中，有一些常用的方法如数轴法取交并集，韦恩图法等，需要考生切实掌握。本题主要强化学生的这种能力。解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件，想到用韦恩图直观地表示出来。本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂，一时理不清头绪，不好找线索。画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系。
例10(求1到200这200个数中既不是2的倍数，又不是3的倍数，也不是5的倍数的自然数共有多少个,
解:如图先画出Venn图，不难看出不符合条件
的数共有(200?2)，(200?3)，(200?5) 5的倍数
,(200?10),(200?6),(200?15) 2的倍数，(200?30),146 3的倍数
所以，符合条件的数共有200,146,54(个)
点评:分析200个数分为两类，即满足题设条件的和不满足题设条件的两大类，而不满足条件的这一类标准明确而简单，可考虑用扣除法。
题型7:集合综合题
)设集合A={x||x,a|<2}，，若， 例11((1999上海，17
求实数
的取值范围。
a|<2，得a,2<x<a+2，所以A={x|a,2<x<a+2}。 解:由|x,
由，得<0，即,2<x<3，所以B={x|,2<x<3}。
因为，所以，于是0?a?1。
点评:这是一道研究集合的包含关系与解不等式相结合的综合性题目。主要考查集合的概念及运算，解绝对值不等式、分式不等式和不等式组的基本方法。在解题过程中要注意利用不等式的解集在数轴上的表示方法.体现了数形结合的思想方法。
例12(已知{an}是等差数列，d为公差且不为0，a1和d均为实数，它的前n项和记作Sn,设集合A={(an,Sn1)|n?N*},B={(x,y)| x2,y2=1,x,y?R}。 4n
试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明;如果不正确，请举例说明:
(1)若以集合A中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上;
(2)A?B至多有一个元素;
(3)当a1?0时，一定有。
则这表明点(an,n)n22n
S111的坐标适合方程于是点(an, n)均在直线y=x+a1上。 222n解:(1)正确;在等差数列{an}中，Sn=
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(2)正确;设(x,y)?A?B,则(x,y)中的坐标x,y应是方程组的解，由方程
组消去y得:2a1x+a12=,4(*)，
当a1=0时，方程(*)无解，此时;
当a1?0时，方程()只有一个解此时，方程组也只有一解
故上述方程组至多有一解。
?A?B至多有一个元素。
(3)不正确;取a1=1，d=1，对一切的x?N*，有an=a1+(n,1)d=n>0,Sn >0，这时集n
合A中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于a1=1?0如果
，
那么据(2)的结论，A?B中至多有一个元素(x0,y0),而,,2a1524
0，这样的产生矛盾，故a1=1,d=1时，所以a1?0时，一定有是不正确的。
点评:该题融合了集合、数列、直线方程的知识，属于知识交汇题。
变式题:解答下述问题:
(?)设集合，若求实数m的取值范围.
的具体意义，首先要从数学意义上解释 分析:关键是准确理解
的意义，然后才能提出解决问题的具体方法。
解: 22
命题方程至少有一个负实数根,
设关于x的方程两根均为非负实数},
则
设全集
的取值范围是UM={m|m<-2}.
(解法二)命题方程的小根
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(解法三)设这是开口向上的抛物线，其对称轴，则二次函数性质知命题又等价于
注意，在解法三中，f(x)的对称轴的位置起了关键作用，否则解答没有这么简单。 (?)已知两个正整数集合A={a1,a2,a3,a4},
其中
若且且的所有元素之和是124,求集合A、B.
分析:命题中的集合是列举法给出的，只需要根据“交、并”的意义及元素的基本性质解决，注意“正整数”这个条件的运用， 2222
只可能有
2而
2(1)若则
(2)若则同样可得与条件矛盾,不合;
综上
(?)设集合
问是否存在自然数k,b,使
试证明你的结论.
分析:正确理解并转化为具体的数学问题.
,必须且要使
由
当k=0时，方程有解1,不合题意; 2
当时由得? 4k222
又由
得?， 82 由
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由?、?得而
?b为自然数，?b=2，代入?、?得k=1
点评:这是一组关于集合的“交、并”的常规问题，解决这些问题的关键是准确理解问题条件的具体的数学内容，才能由此寻求解决的方法。
题型6:课标创新题
例13(七名学生排成一排，甲不站在最左端和最右端的两个位置之一，乙、丙都不能站在正中间的位置，则有多少不同的排法,
解:设集合A={甲站在最左端的位置}，
B={甲站在最右端的位置}，
C={乙站在正中间的位置}，
D={丙站在正中间的位置}，
则集合A、B、C、D的关系如图所示，
765?不同的排法有种.
点评:这是一道排列应用问题，如果直接分类、分步解答需要一定的基本功，容易错，若考虑运用集合思想解答，则比较容易理解。上面的例子说明了集合思想的一些应用，在今后的学习中应注意总结集合应用的经验。
例14(A是由定义在[2,4]上且满足如下条件的函数组成的集合:?对任意
，都有; ?存在常数，使得对任意的
，都有
(1)设，证明:
(2)设如果存在使得那么这样的x0是唯一的;
(3)设任取令证明:给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式
解:
对任意所以
对任意的， 。
，
，
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所以0<2
令
，
，
所以
使得。 反证法:设存在两个x0,x0
则由，
得|，所以，矛盾，故结论成立。 ////
，
所以
。
点评:函数的概念是在集合理论上发展起来的，而此题又将函数的性质融合在集合的关系当中，题目比较新颖
思维总结】
集合知识可以使我们更好地理解数学中广泛使用的集合语言，并用集合语言表达数学问题，运用集合观点去研究和解决数学问题。
1(学习集合的基础能力是准确描述集合中的元素，熟练运用集合的各种符号，如、、、、=、CSA、?，?等等;
2(强化对集合与集合关系题目的训练，理解集合中代表元素的真正意义，注意利用几何直观性研究问题，注意运用Venn图解题方法的训练，加强两种集合表示方法转换和化简训练;解决集合有关问题的关键是准确理解集合所描述的具体内容(即读懂问题中的集合)以及各个集合之间的关系，常常根据“Venn图”
来加深对集合的理解，一个集合能化简(或求解)，一般应考虑先化简(或求解);
3(确定集合的“包含关系”与求集合的“交、并、补”是学习集合的中心内容，解决
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问题时应根据问题所涉及的具体的数学内容来寻求方法。
? 区别?与、与、a与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2};
? 时，A有两种情况:A,φ与A?φ
?若集合A中有个元素，则集合A的所有不同的子集个数为2，所有真子集的个数是2,1, 所有非空真子集的个数是?区分集合中元素的形式:
如;
; nnn
;
;
;
;
。 x
?空集是指不含任何元素的集合。{0}、和的区别;0与三者间的关系。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。条件为，在讨论的时
的情况。 候不要遗忘了
?符号是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现点与直线(面)的关系 ;符号是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现面与直线(面)的关系。
逻辑是研究思维形式及其规律的一门学科，是人们认识和研究问题不可缺少的工具，是为了培养学生的推理技能，发展学生的思维能力
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范文二：高一数学集合知识点
1.1集合
1.1.1集合的含义与表示
一、集合的含义
集合是一定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合，简称集，其中各事物叫做集合的元素或简称元，是具有某种特定性质的事物的总体．
关键词：确定的、总体
【特征】
确定性、无序性、互异性、
【表示方法】
列举法、描述法、图示法．
二、元素与集合关系得判断
【知识点的认识】一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母 A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a?A．
【命题方向】元素与集合之间的关系命题方向有二，一是验证元素是否是集合的元素；二是知元素是集合的元素，根据集合的属性求出相关的参数．
【解题方法点拨】如题型一：已知A是偶数集，试判断a=2b2+4b，b∈N是否是集合的元素？
方法点拨：因为偶数都可以写成整数2倍的形式，故解决本题的方法就是看元素a能否变成数的2倍的形式．
三、集合的确定性、互异性、无序性
知识点的认识】集合中元素具有确定性、互异性、无序性三大特征．
（1）确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都说明它是或者不是某个集合的元素，两种情况必居其一且仅居其一，不会模棱两可，例如“著名科学家”，“与2接近的数”等都不能组成一个集合．
（2）互异性：一个给定的集合中，元素互不相同，就是在同一集合中不能出现相同的元素．例如不能写成{1，1，2}，应写成{1，2}．
（3）无序性：集合中的元素，不分先后，没有如何顺序．例如{1，2，3}与{3，2，1}是相同的集合，也是相等的两个集合．
【解题方法点拨】解答判断型题目，注意元素必须满足三个特性；一般利用分类讨论逐一研究，转化为函数与方程的思想，解答问题，结果需要回代验证，元素不许重复．
【命题方向】本部分内容属于了解性内容，但是近几年高考中基本考查选择题或填空题，试题多以集合相等，含参数的集合的讨论为主．
四、集合的分类
【知识点的认识】集合的分类主要依集合中元素个数的多少来划分，有限集和无限集两种．
有限集元素个数是确定的，元素个数有限个，可以利用列举法或描述法表示；无限集元素个数是无限的，只能利用描述法表示．
【解题方法点拨】从集合的元素个数直接判断．
【命题方向】这一考点，是了解内容，会考多以选择题判断为主，高考多与集合之间的关系联合命题．
五、集合的表示法
【知识点的认识】
1．列举法：常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来，写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法．{1，2，3，?}，注意元素之间用逗号分开．
2．描述法：常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字，符号或式子等描述出来，写在大括号内，这种表示集合的方法叫做描述法．即：{x|P}（x为该集合的元素的一般形式，P为这个集合的元素的共同属性）如：小于π的正实数组成的集合表示为：{x|00}表示实数x的范围；{（x，y）|y-2x=0}表示方程的解或点的坐标．
【命题方向】本考点是考试命题常考内容，多在选择题，填空题值出现，可以与集合的基本关系，不等式，简易逻辑，立体几何，线性规划，概率等知识相结合．
1.1.2集合间的基本关系
一、子集与真子集
【知识点的认识】子集定义：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集（subset）．
记作：A?B（或B?A）．
而真子集是对于子集来说的．
真子集定义：如果集合A?B，但存在元素x∈B，且元素x不属于集合A，我们称集合A是集合B的真子集．
也就是说如果集合A的所有元素同时都是集合 B 的元素，则称 A 是 B 的子集， 若 B 中有一个元素，而A 中没有，且A 是 B 的子集，则称 A 是 B 的真子集， 注 ①空集是所有集合的子集
②所有集合都是其本身的子集
③空集是任何非空集合的真子集
例如：所有亚洲国家的集合是地球上所有国家的集合的真子集．
所有的自然数的集合是所有整数的集合的真子集．
{1，3}?{1，2，3，4}
{1，2，3，4}?{1，2，3，4}
真子集和子集的区别
子集就是一个集合中的全部元素是另一个集合中的元素，有可能与另一个集合相等；
真子集就是一个集合中的元素全部是另一个集合中的元素，但不存在相等； 注意集合的元素是要用大括号括起来的“{}”，如{1，2}，{a，b，g}；
另外，{1，2}的子集有：空集，{1}，{2}，{1，2}．真子集有：空集，{1}，{2}．一般来说，真子集是在所有子集中去掉空集和它本身，所以对于含有n个（n不等于0）元素的集合而言，它的子集就有2n个；真子集就有2n-2．但空集属特殊情况，它只有一个子集，没有真子集．
【解题方法点拨】注意真子集和子集的区别，不可混为一谈，A?B，并且A?B时，有A=B，但是A?B，并且B?A，是不能同时成立的；子集个数的求法，空集与自身是不可忽视的．
【命题方向】本考点要求理解，高考会考中多以选择题、填空题为主，曾经考查子集个数问题，常常与集合的运算，概率，函数的基本性质结合命题．
二、集合的包含关系及其应用
【知识点的认识】如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A?B； 如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A?B；
如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，那么我们就说集合A等于集合B，即A=B．
【解题方法点拨】1．按照子集包含元素个数从少到多排列．
2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．
3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系．
4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．
【命题方向】通常命题的方式是小题，直接求解或判断两个或两个以上的集合的关系，可以与函数的定义域，三角函数的解集，子集的个数，简易逻辑等知识相结合命题．
三、集合的相等
【知识点的认识】
（1）若集合A与集合B的元素相同，则称集合A等于集合B．
（2）对集合A和集合B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B，记作A=B．就是如果A?B，同时B?A，那么就说这两个集合相等，记作 A=B．
（3）对于两个有限数集A=B，则这两个有限数集 A、B中的元素全部相同，由此可推出如下性质：①两个集合的元素个数相等；②两个集合的元素之和相等；③两个集合的元素之积相等． 由此知，以上叙述实质是一致的，只是表达方式不同而已．上述概念是判断或证明两个集合相等的依据．
【解题方法点拨】集合A 与集合B相等，是指A 的每一个元素都在B 中，而且B中的每一个元素都在A中．解题时往往只解答一个问题，忽视另一个问题；解题后注意集合满足元素的互异性．
【命题方向】通常是判断两个集合是不是同一个集合；利用相等集合求出变量的值；与集合的运算相联系，也可能与函数的定义域、值域联系命题，多以小题选择题与填空题的形式出现，有时出现在大题的一小问．
四、集合中元素个数的最值
【知识点的认识】
【命题方向】
【解题方法点拨】求集合中元素个数的最大（小）值问题的方法通常有：类分法、构造法、反证法、一般问题特殊化、特殊问题一般化等．需要注意的是，有时一道题需要综合运用几种方法才能解决．
五、空集的定义、性质及运算
【知识点的认识】空集的定义：不含任何元素的集合称为空集．记作?．空集的性质：空集是一切集合的子集．
空集不是没有；它是内部没有元素的集合，而集合是存在的．这通常是初学者的一个难理解点．
将集合想象成一个装有其元素的袋子的想法或许会有帮助；
袋子可能是空的，但袋子本身确实是存在的．
例如：{x|x2+1=0，x∈R}=?．虽然有x的表达式，但方程中根本就没有这样的实数x使得方程成立，所以方程的解集是空集．
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
【解题方法点拨】解答与空集有关的问题，例如集合A∩B=B?B?A，实际上包含3种情况：①B=?；②B?A且B≠?；
③B=A；往往遗漏B是?的情形，所以老师们在讲解这一部分内容或题目时，总是说“空集优先的原则”，就是首先
考虑空集．
【命题方向】一般情况下，多与集合的基本运算联合命题，是学生容易疏忽、出错的地方，考查分析问题解决问题的细心程度，
难度不大，可以在选择题、填空题、简答题中出现．
1.1.3集合的基本运算
一、并集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合A或属于集合B的元素的组成的集合叫做A与B的并集，记作A∪B．
符号语言：A∪B={x|x∈A或x∈B}． 图形语言：．
A∪B实际理解为：①x仅是A中元素；②x仅是B中的元素；③x是A且是B中的元素．
运算形状：
①A∪B=B∪A．②A∪?=A．③A∪A=A．④A∪B?A，A∪B?B．⑤A∪B=B?A?B．⑥A∪B=?，两个集合都是空集．⑦A∪（CUA）=U．⑧CU（A∪B）=（CUA）∩（CUB）．
【解题方法点拨】解答并集问题，需要注意并集中：“或”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；注意并集中元素的互异性．不能重复．
【命题方向】掌握并集的表示法，会求两个集合的并集，命题通常以选择题、填
空题为主，也可以与函数的定义域，值域联合命题．
二、交集及其运算
【知识点的认识】由所有属于集合A且属于集合B的元素的所有元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．
符号语言：A∩B={x|x∈A，且x∈B}．
图形语言：．
A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．
运算形状：
①A∩B=B∩A．②A∩?=?．③A∩A=A．④A∩B?A，A∩B?B．⑤A∩B=A?A?B．⑥A∩B=?，两个集合没有相同元素．⑦A∩（CUA）=?．⑧CU（A∩B）=（CUA）∪（CUB）．
【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．
【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．
命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．
三、补集及其运算
【知识点的认识】一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．（通常把给定的集合作为全集）． 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作CUA，即CUA={x|x∈U，且x?A}．其图形表示如图所示的Venn图．．
【解题方法点拨】常用数轴以及韦恩图帮助分析解答，补集常用于对立事件，否命题，反证法．
【命题方向】通常情况下以小题出现，高考中直接求解补集的选择题，有时出现在简易逻辑中，也可以与函数的定义域、值域，不等式的解集相结合命题，也可以在恒成立中出现．
四、全集及其运算
【知识点的认识】一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．（通常把给定的集合作为全集）．全集是相对概念，元素个数可以是有限的，也可以是无限的．例如{1，2}；R；Q等等．
【解题方法点拨】注意审题，可以借助数轴韦恩图解答．
【命题方向】本考点属于理解，常出现的类型有直接求出全集，利用全集求解子集的个数，集合在参数的范围等问题，难度属于容易题．
五、交、并、补集的混合运算
【知识点的认识】集合交换律 A∩B=B∩A，A∪B=B∪A．
集合结合律 （A∩B）∩C=A∩（B∩C），（A∪B）∪C=A∪（B∪C）．
集合分配律 A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C）．
集合的摩根律 Cu（A∩B）=CuA∪CuB，Cu（A∪B）=CuA∩CuB．
集合吸收律 A∪（A∩B）=A，A∩（A∪B）=A．
集合求补律 A∪CuA=U，A∩CuA=Φ．
【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．
【命题方向】理解交集、并集、补集的混合运算，每年高考一般都是单独命题，一道选择题或填空题，属于基础题．
六、Venn图表达集合的关系及运算
【知识点的认识】用平面上一条封闭曲线的内部来代表集合，这个图形就叫做Venn图（韦恩图）．集合中图形语言具有直观形象的特点，将集合问题图形化，利用Venn图的直观性，可以深刻理解集合的有关概念、运算公式，而且有助于显示集合间的关系．
运算公式：card（A∪B）=card（A）+card（B）-card（A∩B）的推广形式：
card（A∪B∪C）=card（A）+card（B）+card（C）-card（A∩B）-card（B∩C）-card（A∩C）+card（A∩B∩C），
或利用Venn图解决．公式不易记住，用Venn图来解决比较简洁、直观、明了．
【解题方法点拨】在解题时，弄清元素与集合的隶属关系以及集合之间的包含关系，结合题目应很好地使用Venn图表达集合的关系及运算，利用直观图示帮助我们理解抽象概念．Venn图解题，就必须能正确理解题目中的集合之间的运算及关系并用图形准确表示出来．
【命题方向】一般情况涉及Venn图的交集、并集、补集的简单运算，也可以与信息迁移，应用性开放问题．也可以联系实际命题．
范文三：高一数学关于集合的知识点总结
一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。2、集合的中元素的三个特性：①.元素的确定性; ②.元素的互异性; ③.元素的无序性说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。3、集合的分类：1.有限集 含有有限个元素的集合2.无限集 含有无限个元素的集合3.空集 不含任何元素的集合 例：{x|x2=-5｝4、集合的表示：{ } 如{我校的篮球队员}，{太平洋大西洋印度洋北冰洋}1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员}B={12345}2.集合的表示方法：列举法与描述法。注意啊：常用数集及其记法：非负整数集(即自然数集) 记作：N正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R关于属于的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作 aA ，相反，a不属于集合A 记作 a?A列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}②数学式子描述法：例：不等式x-32的解集是{x?R| x-32}或{x| x-32}二、集合间的基本关系1.包含关系子集注意： 有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。反之: 集合A不包含于集合B或集合B不包含集合A记作A B或B A2. 不含任何元素的集合叫做空集，记为规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。3.相等关系(55，且55，则5=5)实例：设 A={x|x2-1=0} B={-11} 元素相同结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B① 任何一个集合是它本身的子集。A?A②真子集:如果A?B且A? B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或
B A)③如果 A?B B?C 那么 A?C④ 如果A?B 同时 B?A 那么A=B三、集合的运算1、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做AB的并集。记作：AB(读作A并B)，即AB={x|xA，或xB}.2.交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合叫做AB的交集.记作AB(读作A交B)，即AB={x|xA，且xB}.3、全集与补集
(1)补集：设S是一个集合，A是S的一个子集(即 )，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集(或余集)记作： CSA 即 CSA ={x ? x?S且 x?A}(2)全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。(3)性质：⑴CU(C UA)=A ⑵(C UA) ⑶(CUA)A=U4、交集与并集的性质：AA = A A= B = BA，AA = AA= A AB = BA.
范文四：高一数学知识点：集合的含义与表示
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高一数学知识点:集合的含义与表示
高一数学知识点:集合的含义与表示
常见考点考法
1.集合的概念
一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集);构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员)。集合的元素可以是我们看到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到的各种各样的事物或者一些抽象符号。
2.集合元素的特征
由集合概念中的两个关键词“确定的”、“不同的”可以知道集合元素有两大特征性质:
?确定性特征:集合中的元素必须是明确的，不允许出现模棱两可、无法断定的陈述。
设集合给定，若有一具体对象，则要么是的元素，要么不是的元素，二者必居
其一，且只居其一。
?互异性特征:集合中的元素必须是互不相同的。设集合给定，的元素是指含于其中的互不相同的元素，相同的对象归于同一集合时只能算集合的一个元素。
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3.集合与元素之间的关系
集合与元素之间只有“属于”或“不属于”。例如:是集合的元素，记作，读作“属于”;不是集合的元素，记作，读作“不属于”。
4.集合的分类
集合按照元素个数可以分为有限集和无限集。特殊地，不含任何元素的集合叫做空集，记作。
5.集合的表示方法
?列举法是把元素不重复、不计顺序的一一列举出来的方法，非常直观，一目了然。
?特征性质描述法是用确定的条件描述集合内元素特点的集合表示方法。
例如:集合可以用它的特征性质描述为{}，这表示在集合中，属于集合的任意一个元素都具有性质，而不属于集合的元素都不具有性质。
除此之外,高二，集合还常用韦恩图来表示，韦恩图是用封闭曲线内部的点来表示集合的方法(有时，也用小写字母分别定出集合中的某些元素)
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范文五：高一数学“集合”知识点总结
一、集合有关概念
1. 集合的含义
2. 集合的中元素的三个特性：
(1) 元素的确定性如：世界上最高的山
(2) 元素的互异性如：集合中的任意两个元素都是不同的
(3) 元素的无序性: 集合中的元素之间是没有顺序的。如：{a,b,c} 和{a,c,b}是表示同一个集合
3.集合的表示方法：列举法与描述法。
注意：常用数集及其记法：
非负整数集(即自然数集) 记作：N
正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R
1) 列举法：将集合中的元素一一列举出来{a,b,c}
2) 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{xR| x-32} ,{x| x-32}
3) 语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
4) Venn图:
4、集合的分类：
(1) 有限集 含有有限个元素的集合
(2) 无限集 含有无限个元素的集合
(3) 空集 不含任何元素的集合 例：{x|x2=-5｝
二、集合间的基本关系
属于：;包含于：;
属于与包含于的区别：
属于是元素与集合之间的关系，例如：元素a属于集合A{a，b｝
包含于是集合与集合之间的关系。例如：集合A{a}包含于集合B {a，c｝
1.包含关系子集
注意： 有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A
2.相等关系：A=B (55，且55，则5=5)
实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} 元素相同则两集合相等
即：① 任何一个集合是它本身的子集。AA
②真子集:如果AB,且A B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)
③如果 AB, BC ,那么 AC
④ 如果AB 同时 BA 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为
规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集
三、集合的运算
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